二项式定理十大典型问答及例题

1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈,2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式;②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rnC a b -叫做二项式展开式的通项;用1r n r r r n T C a b -+=表示; 3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项;②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改;()n a b +与()n b a +是不同的;③指数：a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列;b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列;各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数包括二项式系数;4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nnn n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n nn n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =,···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=,变形式1221rnn nn n n C C C C +++++=-;③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n nn nn n n n C C C C C -+-++-=-=,从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时,则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值;如果二项式的幂指数n 是奇数时,则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值;⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项,一般采用待定系数法;设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅,设第1r +项系数最大,应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩,从而解出r 来;专题一题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .nn nn n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=解：012233(16)6666n nn n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距,练：1231393 .n nnn n n C C C C -++++=解：设1231393n nn nn n n S C C C C -=++++,则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-(13)14133n n n S +--∴==题型二：利用通项公式求n x 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有3x 的项的系数 解：由条件知245n nC -=,即245n C =,2900n n ∴--=,解得9()10n n =-=舍去或,由 2102110343411010()()r r rrrr r T C x x C x--+--+==,由题意1023,643r r r --+==解得, 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210; 练：求291()2x x-展开式中9x 的系数 解：291821831999111()()()()222r r r r r r r rr r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-,令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-; 题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(x +的展开式中的常数项解：5202102110101()()2r rrrr r r T C x C x --+==,令52002r -=,得8r =,所以88910145()2256T C ==练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-,令620r -=,得3r =,所以3346(1)20T C =-=-练：若21()n x x+的二项展开式中第5项为常数项,则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==,令2120n -=,得6n =. 题型四：利用通项公式,再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项 解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-,令276rZ -∈,09r ≤≤得39r r ==或, 所以当3r =时,2746r -=,334449(1)84T C x x =-=-, 当9r =时,2736r -=,3933109(1)T C x x =-=-; 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-,求n .解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①,1x =令,则有0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=- 有题意得,1822562n --=-=-,9n ∴=;练：若n的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项; 解：0242132112r r n nn n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=,121024n -∴=,解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==,565451462nT C x -+==⋅,611561462T x-+=⋅题型六：最大系数,最大项；例：已知1(2)2n x +,若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少解：46522,21980,nn n C C C n n +=∴-+=解出714n n ==或,当7n =时,展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数,434571()270,2T C ==的系数当14n =时,展开式中二项式系数最大的项是8T ,7778141C ()234322T ∴==的系数; 练：在2()n a b +的展开式中,二项式系数最大的项是多少解：二项式的幂指数是偶数2n ,则中间一项的二项式系数最大,即2112n n T T ++=,也就是第1n +项;练：在(2n x -的展开式中,只有第5项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少解：只有第5项的二项式最大,则152n+=,即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =例：写出在7()a b -的展开式中,系数最大的项 系数最小的项解：因为二项式的幂指数7是奇数,所以中间两项4,5第项的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有34347T C a b =-的系数最小,43457T C a b =系数最大; 例：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项解：由01279,nn n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大,12121211(2)()(14)22x x +=+ 1111212111212124444r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩,化简得到9.410.4r ≤≤,又012r ≤≤,10r ∴=,展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x == 练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少解：假设1r T +项最大,1102rr r r T C x +=⋅ 111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得,化简得到6.37.3k ≤≤,又010r ≤≤,7r ∴=,展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x == 题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++,2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+,当且仅当1r =时,1r T +的展开式中才有x 的一次项,此时124125(2)3r T T C x x +==+,所以x 得一次项为1445423C C x它的系数为1445423240C C =; 解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 故展开式中含x 的项为4554455522240C xC C x x +=,故展开式中x 的系数为240. 练：求式子31(2)xx+-的常数项解：361(2)x x +-=,设第1r +项为常数项,则66261661(1)()(1)rr rr r rr T C xC x x--+=-=-,得620r -=,3r =, 33316(1)20T C +∴=-=-.题型八：两个二项式相乘；例：342(12)(1)x x x +-求展开式中的系数.解：333(12)(2)2,m m m m m x x x +⋅=⋅⋅的展开式的通项是C C 342,02,11,20,(12)(1)m n m n m n m n x x +=======+-令则且且且因此20022111122003434342(1)2(1)2(1)6x C C C C C C ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-的展开式中的系数等于.练：610(1(1+求展开式中的常数项.解：436103412610610(1(1m n m nm n m nC x C x C C x --++⋅=⋅⋅展开式的通项为0034686106106104246C C C C C C ⋅+⋅+⋅=时得展开式中的常数项为.练：2*31(1)(),28,______.nx x x n N n n x+++∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则 解：3431()C C ,n r n r r r n r n n x x x x x---+⋅⋅=⋅展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：2006(,,,_____.x x S x S ==在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当解：2006123200601232006(x a a x a x a x a x +++++设=-------①题型十：赋值法；例：设二项式1)n x的展开式的各项系数的和为p ,所有二项式系数的和为s ,若272p s +=,则n 等于多少解：若20121)n n n a a x a x a x x=+++⋅⋅⋅+,有01n P a a a =++⋅⋅⋅+,02nn nn S C C =+⋅⋅+=, 令1x =得4n P =,又272p s +=,即42272(217)(216)0n n n n +=⇒+-=解得216217()n n ==-或舍去,4n ∴=.练：若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少解：令1x =,则nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为264n=,所以6n =,则展开式的常数项为3336(C ⋅540=-. 例：200912320092009120123200922009(12)(),222a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++⋅⋅⋅+若则的值为 解：2009200912120022009220091,0,2222222a a a a a a x a a =+++⋅⋅⋅+=∴++⋅⋅⋅+=-令可得 练：55432154321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则 解：0012345032,11,x a x a a a a a a ==-=+++++=-令得令得 题型十一：整除性；例：证明：22*389()n n n N +--∈能被64整除 证：2211389989(81)89n n n n n n +++--=--=+--由于各项均能被64整除22*389()64n n n N +∴--∈能被整除 1、x －111展开式中x 的偶次项系数之和是 1、设fx=x-111, 偶次项系数之和是10242/)2(2)1(f )1(f 11-=-=-+ 2、=++++nn n 2n 21n 0n C 3C 3C 3C 2、4n3、203)515(+的展开式中的有理项是展开式的第 项 3、3,9,15,214、2x-15展开式中各项系数绝对值之和是4、2x-15展开式中各项系数系数绝对值之和实为2x+15展开式系数之和,故令x=1,则所求和为355、求1+x+x 21-x 10展开式中x 4的系数5、93102)x 1)(x 1()x 1)(x x 1(--=-++,要得到含x 4的项,必须第一个因式中的1与1-x 9展开式中的项449)x (C -作积,第一个因式中的－x 3与1-x 9展开式中的项)x (C 19-作积,故x 4的系数是135C C 4919=+6、求1+x+1+x 2+…+1+x 10展开式中x 3的系数6、)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =x x x )1()1(11+-+,原式中x 3实为这分子中的x 4,则所求系数为7C7、若)N n m ()x 1()x 1()x (f n m ∈⋅+++=展开式中,x 的系数为21,问m 、n 为何值时,x 2的系数最小7、由条件得m+n=21,x 2的项为22n 22m x C x C +,则.4399)221n (C C 22n 2m +-=+因n ∈N,故当n=10或11时上式有最小值,也就是m=11和n=10,或m=10和n=11时,x 2的系数最小8、自然数n 为偶数时,求证：8、原式=1n 1n n 1n n5n 3n 1n n n 1n n 2n 1n 0n 2.322)C C C C ()C C C C C (----=+=++++++++++ 9、求1180被99、 )(1811818181)181(80101110111110111111Z k k C C C ∈-=-++-=-= , ∵k ∈Z,∴9k-1∈Z,∴1181被9除余810、在x 2+3x+25的展开式中,求x 的系数10、5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++在x+15展开式中,常数项为1,含x 的项为x 5C 15=,在2+x 5展开式中,常数项为25=32,含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅,此展开式中x 的系数为24011、求2x+112展开式中系数最大的项11、设T r+1的系数最大,则T r+1的系数不小于T r 与T r+2的系数,即有∴展开式中系数最大项为第5项,T 5=44412x 7920x C 16=。

二项式知识点+十大问题+练习(含答案)011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈；2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项；是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b-叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr n T C a b-+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0；是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ；是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数；二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等；即0n n nC C =；···1k k n nC C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnnn n n n n C C C C C ++++++=； 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-。

二项式定理一、 求展开式中特定项1、在30+的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ） A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项 【答案】C 【解析】()r r rrr r xC x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若2531()x x+展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x+展开式的通项为10515r rr T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82)x的展开式中的常数项为 ． 【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(2)(13)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r rx -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设2sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛⋅+ ⎝的展开式中常数项是 ． 【答案】332=- 332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、 求特定项系数或系数和7、8()x 的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28- 【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ． 【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 ． 【答案】-55【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ． 10、已知dx xn 16e1⎰=，那么nx x ）（3-展开式中含2x 项的系数为 ． 【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r r r n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r rr r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-，则8a 等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，r n C 取最大值，∴8n =，第4项为119(163)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++，那么017a a a +++的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++，得70127(12)1a a a a -=++++=-，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=-，即1272a a a +++=-，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在*3)()n n N x-∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于 ．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270. 17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++，即01281a a a a ++++=再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n=﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r？=（﹣1）r？？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r ？？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255 【解析】178a a a +++=87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-， 所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、 求参数问题20、若32nx x 的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B. 21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （ ）A 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n，解得6=n ；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x-，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=． 23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ） A ．10或1 B ．53-或1 C ．2或53- D ．10± 【答案】B ．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ． 【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ． 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。

学科教师辅导讲义(r n r rn nn n C a b C b n N -+++∈①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.项，是关于a 与b 的齐次多项式(r rn nn n C x C x n +++∈(1)r r n n n n n C x C x +++-①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离〞的两个二项式系数相等，即那么二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=21rnn n n C C +++=-。

偶数项的二项式系数和：，那么012(1)(11)0n nn n n n n C C C C -+-+-=-=，132111222r r nn n n n C C C +-+⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：012012021210(1)(1)n nnn n n n n n n n n n n C a x a a x a x a x C a x a x a x a x a a a a +=+++++=+++++=+---------++=-----①(1)(1)()2(1)(1)()2n nn n nn a a a a a a ----++-+=+--+=②奇数项的系数和偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数如果二项式的幂指数)n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别6nn n C +⋅2266nn n n C C C +⋅++⋅112216(666)6nn n n n n n n C C C C -++⋅=⋅+⋅++⋅ 2211661)[(16)1](71)66nn n n n C ⋅++⋅-=+-=-13 .n nn C -+=3193n nn nC C -+++，那么330122333333331(13)1n n n nn n n n n n n n C C C C C C C +++=+++++-=+-1413n -=的系数；解：0242132112r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=，2n -∴所以中间两个项分别为6,7n n ==，5653551211()()462nT C x x x+==⋅题型六：最大系数，最大项；例：1(2)2nx +，假设展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：46n n C C +45T T 和T ∴的项是8T ，练：在2()n a b +解：二项式的幂指数是偶数项最大，1(2)2x +10.4r ≤≤，又012r ≤≤项最大，110r T C +=101022r r r r C C C C ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，又010r ≤≤，展开式中系数最大的项为题型七：含有三项变两项；解：3(12)x +,展开式中不含常数项24,8n ≠，即题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；,x 含的奇次幂的项之和为332006a x a x +++20062006a x +20052005)(a x x +=1()2S x =展开式的奇次幂项之和为20062)(22)-+2009a x +10,22a a ∴+200920092a +=-110,a x a +则二项式定理(r n r rn nn n C a b C b n N -+++∈①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

Y.P.M 数学竞赛讲座 1竞赛中的二项式定理二项式定理是数学竞赛的热点之一.1.常数项[例1]:(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在(4x 2-2x-5)(1+21x)5的展开式中,常数项为 .[解析]:[类题]:1.①(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)(x 2-x1)6的展开式中常数项为 (用数字作答). ②(2009年全国高中数学联赛浙江初赛试题)(x-61x)2009的二项展开式中常数项是 .2.①(2012年全国高中数学联赛四川初赛试题)(x 2+x-x1)6的展开式中的常数项是 (用具体数字作答). ②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)展开式(1+x+x1)7的常数项是_____. 3.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)若二项式(a x -x1)6的展开式中的常数项为-160,则⎰-adx x 02)13(= .2.通项公式[例2]:(2000年全国高中数学联赛试题)设a n 是(3-x )n的展开式中x 项的系数(n=2,3,4,…),则∞→n lim (223a +333a +…+ nna 3)= . [解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(x-3x 2)3的展开式中,x 5的系数为 2.①(1998年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(x x -x 1)6展开式中第5项的值为215,则∞→n lim (x -1+x -2+…+x -n)= . ②(2000年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(x x -x 1)6展开式中第5项的值为5,则∞→n lim (x -1+x -3+…+x -1-2n)= .3.(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知 (ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a 1x+a 0(n ∈N *),点列A i (i,a i )(i=0,1,2…,n)部分图象如图所示, 则实数a 的值为________.3.通项分析[例3]:(2002年全国高中数学联赛试题)将二项式(x +421x)n的展开式按x 的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有__________个.[解析]:[类题]:2 Y.P.M 数学竞赛讲座1.(《中等数学》.2008年第3期.数学奥林匹克高中训练题(106))在(53+35)100的展开式中共有 个项为有理数.2.①(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设展开式(5x+1)n=a 0+a 1x+…+a n x n,n ≥2011,若a 2011=max{a 0,a 1,…,a n },则n= .②(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若x ∈R +,则(1+2x)15的二项式展开式中系数最大的项为( ) (A)第8项 (B)第9项 (C)第8项和第9项 (D)第11项3.(1988年全国高中数学联赛试题)(x +2)2n+1的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为_________.4.赋值方法[例4]:(2005年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设(1+x+x 2)n =a 0+a 1x+…+a 2n x 2n ,则a 2+a 4+…+a 2n 的值为 . [解析]:[类题]:1.①(2010年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设(3+x+2x 2)n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n(n ∈N +)对x ∈R 恒成立,则a 1+a 2+…+a 2n-1= .②(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知多项式(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n,且满 足:b 0+b 1+…+b n =26,则正整数n 的一个可能值为 .③(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知多项式(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n,且满足: b 0+b 1+…+b n =1013,则正整数n 的一个可能值为 .2.①(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)若(2x-1)8=a 8x 8+a 7x 7+…+a 1x+a 0,则a 8+a 6+a 4+a 2= .②(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)设二项式(3x-1)2n=a 2n x 2n+a 2n-1x 2n-1+…+a 2x 2+a 1x+a 0,记T n =a 0+a 2+…+a 2n ,R n =a 1+ a 3+…+a 2n-1,则∞→n limnnR T = . ③(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)若(2x+4)2n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n(n ∈N +),则a 2+a 4+…+a 2n 被3除的余数是 .2.①(2009年第20届全国希望杯高二数学邀请赛试题)已知f(x)=x 2-2x-3,f(g(x))=4x 4+4x 3-7x 2-4x,则g(x)的各项系数(包括常数项)的和等于 .②(2006年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知f(x)=3x 2-x+4,f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2+69x+48,那么,整系数多项式函数g(x)的各项系数的和等于 .③(2005年全国高中数学联赛试题)将关于x 的多项式f(x)=1-x+x 2-x 3+…-x 19+x 20表为关于y 的多项式g(y)=a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20,其中y=x-4,则a 0+a 1+…+a 20= .④(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设函数f(x)=x 2+6x+8.如果f(bx+c)=4x 2+16x+15,那么,c-2b= . ⑤(2010年全国高中数学联赛北京初赛试题)满足方程f(x)+(x-2)f(1)+3f(0)=x 3+2(x ∈R)的函数f(x)= .5.微积方法[例5]:(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设(x 2+2x-2)6=a 0+a 1(x+2)+a 2(x+2)2+...+a 12(x+2)12,其中a i (i=1,2, (12)为实常数,则a 0+a 1+2a 2+…+12a 12= .[解析]:[类题]:1.①(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若x 5+3x 3+1=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+ ⋯+a 5(x-1)5对任意实数x 都成立,则a 3的 值是 (用数字作答).②(2008年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知恒等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4＝(x+1)4+b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4,则用a 1、a 2、a 3、a 4来表示b 3有b 3＝_______________________.③(2003年湖南高中数学夏令营试题)由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+2)4+b 1(x+2)3+b 2(x+2)2+b 3(x+2)+b 4,定义映射 f:(a 1,a 2,a 3,a 4)→(b 1,b 2,b 3,b 4),则f[(10,30,38,21)]= .2.①(2011年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设(1+x-x 2)10=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 20x 20,则a 0+a 1+2a 2+3a 3+…+20a 20= .Y.P.M 数学竞赛讲座 3②(《中等数学》.2010年第4期.数学奥林匹克高中训练题(128))设(2+x-2x 2)1005=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2010x 2010,则a 1+3a 3+5a 5+…+2009a 2009= .3.(1998年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:1011C +2111C +3211C +…+121111C = .6.多截公式[例6]:(2001年全国高中数学联赛试题)若(1+x+x 2)100的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a 2000x 2000,则a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998的值为 .[解析]:[类题]:1.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(1+x+x 2)n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n(n ∈N +),则a 0+a 3a 6+…+]32[[3n a 的值为 (其中,[x]表示不超过x 的最大整数).2.①(《中等数学》.2005年第4期.数学奥林匹克高中训练题(75))C 20040-C 20042+C 20044-C 20046+…-C 20042002+C 20042004= .解:在(1+x)2004=C 20040+xC 20041+x 2C 20042+…+x2004C 20042004中,令x=i 得:(1+i)2004=(C 20040-C 20042+C 20044-C 20046+…-C 20042002+C 20042004)+i(C 20041-C 20043+C 20045-C 20047+…+C 20042001-C 20042003).又(1+i)2004=(2i)1002=-21002⇒C 20040-C 20042+C 20044-C 20046+…-C 20042002+C 20042004=-21002.②(1990年全国高中数学联赛试题)设n=1990,则n21(1-3C n 2+32C n 4-33C n 6+…+3994C n 1988-3995C n1990)= .3.(《中等数学》.2010年第7期.数学奥林匹克高中训练题(75))设f(x)=(x+231i -)2010=∑=20100k k a x k +i ∑=2010k k b x k,其中,a k ,b k∈R,k=0,1,2,…,2010,则)(367003k k k b a +∑== .7.计数思想[例7]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)集合{1,2,3,…,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . [解析]:[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在(x 2+3x+2)5的展开式中,含x 项的系数是 . 2.(《中等数学》.2011年第7期.P3例题)在(x+1)(x+2)…(x+n)的展开式中,含x n-2项的系数是 . 3.(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)多项式(1+x+x 2+…+x 100)3的展开式在合并同类项后,x 150的系数为 (用数字作答).8.对偶思想[例8]:(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .[解析]:[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛河南初赛试题)记M=(5+24)2n (n ∈N *),N 是M 的小数部分,则M(1-N)的值是 . 2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知(1+3)n=a n +b n 3,其中a n ,b n 是整数,则∞→n limnnb a = . 3.①(2009年全国高中数学联赛新疆初赛试题)数(3+8)2n (n ∈N *),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是 .②(2006年第七届北方数学奥林匹克邀请赛试题)数(3+2)4022(n ∈N +)的整数部分的个位数字是 .9.二项应用4 Y.P.M 数学竞赛讲座 [例9]:(2003年江苏省数学夏令营数学竞赛试题)x 10+1除以(x-1)2的余式是 . [解析]:[类题]:1.(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)21000除以13的余数是 .2.(《中等数学》.2011年第12期.数学奥林匹克高中训练题(148))整数列{a n }定义如下:a 0=0,a 1=1,a n =2a n-1+a n-2(n>1).则满足22012|a n 的最小正整数n 为 .10.逆向应用[例10]:(2006年全国高中数学联赛试题)数码a 1,a 2,a 3,…,a 2006中有奇数个9的2007位十进制数20063212a a a a ⋅⋅⋅的个数为 .[解析]:[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)611+C 111610+C 11269+…+C 11106-1被8除所得余数是 .2.(2003年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知n 为自然数,多项式P(x)=∑=nh hn C 0x n-h(x-1)h可展开成x 的升幂排列a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a n |= .3.(2010年全国高中数学联赛上海初赛试题)满足0<a 1<a 2<…<a n (n ≥2,n ∈N +)的2n-1位十进制正整数121121a a a a a a a n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-- 共有 个(用数值作答).11.组合等式[例11]:(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)2∑=n k k 13C n k-3n ∑=nk k 12C n k +n 2∑=nk k 1C n k = .[解析]: [类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算∑=-121111k k k C = .2.(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于n ∈N +,计算C 4n+11+C 4n+15+…+C 4n+14n+1= .12.质数指数勒让德(Legendre)定理:n ！中含质数p 的指数k=[p n]+[2p n ]+[3pn ]+…. 推论:在C n 0,C n 1,C n 2,…,C n n中,奇数个数是)(2n S ,其中S(n)是n 的二进制数玛的和.[例12]:(2011年全国高中数学联赛试题)已知a n =C 200n (36)200-n (21)n(n=1,2,…,95),则数列{a n }中整数项的个数为 .[解析]:[类题]:1.(2008年安徽高考试题)设(1+x)8=a 0+a 1x+…+a 8x 8,则a 0,a 1…,a 8中奇数的个数为 . 2.(2008年全国高中数学联赛安徽初赛试题)(1+x)2008=a 0+a 1x+…+a 2008x 2008,则a 0,a 1…,a 2008中奇数的个数为 .3.(1991年日本数学奥林匹克试题)满足0≤r ≤n ≤63的全部数组(n,r)中,二项式系数C n r为偶数的个数是 .Y.P.M 数学竞赛讲座 1竞赛中的二项式定理高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特征--“数形二重性”的考察,需要充分挖掘蕴含的几何本质. 二项式定理的应用有三个方面:一是通项公式T k+1=C n k a n-k b k的应用,如求某一指定的项、或其系数、常数项、有理项、系数为有理数.T k+1最大⇔T k ≤T k+1且T k+2≤T k+1等;二是赋值法,在二项式的展开式中,通常通过赋值1,0,-1,可求a 0,a n ,a 0+a 1+…+a n ,a 0+a 2+…,a 1+a 3+…;特殊情况下,求某一项的系数,我们还可以通过逐次求导,再赋值于零,来求解;三是组合数的性质.一、知识结构1.三角形的四心表示:⑴静态形式:二、典型问题1.常数项[例1]:(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在(4x 2-2x-5)(1+21x)5的展开式中,常数项为 .[解析]:(1+21x)5展开式的通项T k+1=C 5k x -2k⇒[类题]:(2009年全国高中数学联赛浙江初赛试题)(x-61x)2009的二项展开式中常数项是 .(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)(x 2-x1)6的展开式中常数项为 (用数字作答). 1.(2012年全国高中数学联赛四川初赛试题)(x 2+x-x1)6的展开式中的常数项是 (用具体数字作答). -51.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)展开式(1+x+x1)7的常数项是_____. 1.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)若二项式(a x -x1)6的展开式中的常数项为-160,则⎰-adx x 02)13(= .2.通项公式[例2]:(2000年全国高中数学联赛试题)设a n 是(3-x )n的展开式中x 项的系数(n=2,3,4,…),则∞→n lim (223a +333a +…+ nna 3)= . [解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(x-3x 2)3的展开式中,x 5的系数为 (1998年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(x x -x 1)6展开式中第5项的值为215,则∞→n lim (x -1+x -2+…+x -n)= . (2000年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(x x -x 1)6展开式中第5项的值为5,则∞→n lim (x -1+x -3+…+x -1-2n)= .3.(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知 (ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a 1x+a 0(n ∈N *),点列A i (i,a i )(i=0,1,2…,n)部分图象如图所示, 则实数a 的值为________.3.通项分析[例3]:(2002年全国高中数学联赛试题)将二项式(x +421x)n的展开式按x 的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有__________个.[解析]:[类题]:1.(《中等数学》.2008年第3期.数学奥林匹克高中训练题(106))在(53+35)100的展开式中共有 个项为有理数.解:T k+1=C 100k 3)100(5153k k -为有理数⇔5|(100-k),3|k ⇔5|k,3|k ⇔15|k(0≤k ≤100)⇔k=0×15,1×15,2×15,…,6×15,计7个.3.(1988年全国高中数学联赛试题)(x +2)2n+1的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为_________.解:(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设展开式(5x+1)n=a 0+a 1x+…+a n x n,n ≥2011,若a 2011=max{a 0,a 1,…,a n },则n= .1.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若x ∈R +,则(1+2x)15的二项式展开式中系数最大的项为( ) (A)第8项 (B)第9项 (C)第8项和第9项 (D)第11项4.赋值方法[例4]:(2005年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设(1+x+x 2)n =a 0+a 1x+…+a 2n x 2n ,则a 2+a 4+…+a 2n 的值为 . [解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)若(2x-1)8=a 8x 8+a 7x 7+…+a 1x+a 0,则a 8+a 6+a 4+a 2= .1.(2010年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设(3+x+2x 2)n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n (n ∈N +)对x ∈R 恒成立,则a 1+a 2+…+a 2n-1= . 1.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)设二项式(3x-1)2n=a 2n x 2n+a 2n-1x 2n-1+…+a 2x 2+a 1x+a 0,记T n =a 0+a 2+…+a 2n ,R n =a 1+a 3+ …+a 2n-1,则∞→n lim nnR T = .1.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知多项式(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n,且满足:b 0+ b 1+…+b n =26,则正整数n 的一个可能值为 .(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知多项式(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n,且满 足:b 0+b 1+…+b n =1013,则正整数n 的一个可能值为 .1.(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)若(2x+4)2n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n (n ∈N +),则a 2+a 4+…+a 2n 被3除的余数是 . 解:a 0=42n,a 0+a 2+a 4+…+a 2n =21[(2+4)2n +(-2+4)2n ]=21[62n +22n ]⇒a 2+a 4+…+a 2n =21(62n +22n )-42n =22n-1(32n +1)-(3+1)2n(mod3)≡(3-1)2n-1-1(mod3)≡(-1)2n-1-1(mod3)≡-2(mod3)≡1(mod3).(2005年全国高中数学联赛试题)将关于x 的多项式f(x)=1-x+x 2-x 3+…-x 19+x 20表为关于y 的多项式g(y)=a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20,其中y=x-4,则a 0+a 1+…+a 20= .解:由题设知,f(x)和式中的各项构成首项为1,公比为-x 的等比数列,由等比数列的求和公式,得:f(x)=1((1)(21----x x = 1121++x x ,令x=y+2,得g(y)=51)4(21+++y y ,取y=1,有a 0+a 1+…+a 20=g(1)=61521+. 1.(2010年全国高中数学联赛北京初赛试题)满足方程f(x)+(x-2)f(1)+3f(0)=x 3+2(x ∈R)的函数f(x)= . 解:令x=0,1:4f(0)-2f(1)=2,3f(0)=3⇒f(0)=1,f(1)=1⇒f(x)=x 3-x+1.2.①(2009年第20届全国希望杯高二数学邀请赛试题)已知f(x)=x 2-2x-3,f(g(x))=4x 4+4x 3-7x 2-4x,则g(x)的各项系数(包括常数项)的和等于 .0或2②(2006年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知f(x)=3x 2-x+4,f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2+69x+48,那么,整系数多项式函数g(x)的各项系数的和等于 . 8 解:3.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设函数f(x)=x 2+6x+8.如果f(bx+c)=4x 2+16x+15,那么,c-2b= . 解:取x=-2,有f(c-2b)=16-16×2+15=-1.而当x 2+6x+8=-1时,有x=-3.所以,c-2b=-3.5.微积方法[例5]:(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设(x 2+2x-2)6=a 0+a 1(x+2)+a 2(x+2)2+...+a 12(x+2)12,其中a i (i=1,2, (12)为实常数,则a 0+a 1+2a 2+…+12a 12= .[解析]:[类题]:(2003年湖南高中数学夏令营试题)由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+2)4+b 1(x+2)3+b 2(x+2)2+b 3(x+2)+b 4,定义映射f:(a 1,a 2, a 3,a 4)→(b 1,b 2,b 3,b 4),则f[(10,30,38,21)]= .解:x 4+10x 3+30x 2+38x+21=(x+2)4+b 1(x+2)3+b 2(x+2)2+b 3(x+2)+b 4,令x=-2⇒b 4=1,4x 3+30x 2+60x+38=4(x+2)3+3b 1(x+2)2+2b 2(x +2)+b 3⇒b 3=6,12x 2+60x+60=12(x+2)2+6b 1(x+2)+2b 2⇒b 2=1.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若x 5+3x 3+1=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+ ⋯+a 5(x-1)5对任意实数x 都成立,则a 3的值是 (用数字作答).在x 5+3x 3+1=[(x-1)+1]5+3[(x-1)+1]3+1的展开式中,(x-1)3项的系数为C 52+3=13.1.(2008年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知恒等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4＝(x+1)4+b 1(x+1)3+b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4,则用a 1、a 2、a 3、a 4来表示b 3有b 3＝_______________________.1.(2011年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设(1+x-x 2)10=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 20x 20,则a 0+a 1+2a 2+3a 3+…+20a 20= . 1.(《中等数学》.2010年第4期.数学奥林匹克高中训练题(128))设(2+x-2x 2)1005=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2010x 2010,则a 1+3a 3+5a 5+…+2009a 2009= .解:(2+x-2x 2)1005=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2010x 2010⇒1005(2+x-2x 2)1004(1-4x)=a 1+2a 2x+3a 3x 2+…+a 2010x 2009.令x=1⇒a 1+2a 2+3a 3+…+2010a 2010=1005(-3);令x=1⇒a 1-2a 2+3a 3+…-2010a 2010=1005×5⇒a 1+3a 3+5a 5+…+2009a 2009=1005.1.(1998年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:1011C +2111C +3211C +…+121111C = .解:由(1+x)n=1+xC n 1+x 2C n 2+…+x nC n n⇒⎰+10)1(nx =)1(2211nn n n n C x C x xC +⋯+++⎰,注意到f(x)=x k的原函数F(x)=k+11x k+1⇒ F(1)-F(0)=k +11⇒10n C +21n C +32n C +…+1+n C nn =11+n ×2n+1-11+n . 6.多截公式[例6]:(2001年全国高中数学联赛试题)若(1+x+x 2)100的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a 2000x 2000,则a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998的值为 .[解析]:[类题]:1.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(1+x+x 2)n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2n x 2n(n ∈N +),则a 0+a 3a 6+…+]32[[3n a 的值为 (其中,[x]表示不超过x 的最大整数).2.(《中等数学》.2005年第4期.数学奥林匹克高中训练题(75))C 20040-C 20042+C 20044-C 20046+…-C 20042002+C 20042004= .解:在(1+x)2004=C 20040+xC 20041+x 2C 20042+…+x2004C 20042004中,令x=i 得:(1+i)2004=(C 20040-C 20042+C 20044-C 20046+…-C 20042002+C 20042004)+i(C 20041-C 20043+C 20045-C 20047+…+C 20042001-C 20042003).又(1+i)2004=(2i)1002=-21002⇒C 20040-C 20042+C 20044-C 20046+…-C 20042002+C 20042004=-21002.3.(1990年全国高中数学联赛试题)设n=1990,则n21(1-3C n 2+32C n 4-33C n 6+…+3994C n 1988-3995C n1990)= .1.(《中等数学》.2010年第7期.数学奥林匹克高中训练题(75))设f(x)=(x+231i -)2010=∑=20100k k a x k +i ∑=2010k k b x k,其中,a k ,b k∈R,k=0,1,2,…,2010,则)(367003k k k b a +∑== .解:f(x)=(x+231i -)2010=(x-ω)2010=(-ω)2010(1-ωx)2010=(1-ωx)2010=∑=-201002010)(k k k k x C ϖ=-∑=670332010i i ix C -ω136690132010+=+∑i i i x C +ω2236690232010+=+∑i i i xC ⇒∑=6703k k b =0,∑=67003k k a =-∑=67032010i iC .令g(x)=(1+x)2010=C 20100+xC 20101+x 2C 20102+x 3C 20103+…+x 2010C 20102010⇒g(1)=C 20100+C 20101+C 20102+C 20103+…+C 20102010,g(ω)=C 20100+ωC 20101+ω2C 20102+ω3C 20103+…+ω2010C 20102010,g(ω2)=C 20100+ω2C 20101+ω4C 20102+ω6C 20103+…+ω4020C 20102010⇒g(1)+g(ω)+g(ω2)=3∑=670032010i iC ,g(1)+g(ω)+g(ω2)=22010+(1+ω)2010+(1+ω2)2010=22010+(-ω2)2010+(-ω)2010=22010+2.7.计数思想[例7]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)集合{1,2,3,…,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . [解析]:令f(x)=(1+x)(1+x 2)(1+x 3)…(1+x 2009),则问题中要求的答案为f(x)的展开式中x 的奇次项的系数和.故所求的答案为21[f(1)-f(-1)]=22008. [类题]:1.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在(x 2+3x+2)5的展开式中,含x 项的系数是 . 2.(《中等数学》.2011年第7期.P3例题)在(x+1)(x+2)…(x+n)的展开式中,含x n-2项的系数是 .解:(x+1)(x+2)…(x+n)的展开式中,含x n-2项的系数A ⇔1,2,…,n 中任意两数积的和,由(1+2+…+n)2=12+22+…+n 2+2A ⇒ A=241(n-1)n(n+1)(3n+2). 3.(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)多项式(1+x+x 2+…+x 100)3的展开式在合并同类项后,x 150的系数为 (用数字作答).解:由多项式乘法法则可知,可将问题转化为求方程s+t+r=150 ①的不超过100的自然数解的组数.显然,方程①的自然数解的组数为C 1522.下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150,故只能有一个数超过100,不妨设s>100.将方程①化为(s-101)+t+r=49.记x=s-101,则方程x+s+t=49的自然数解的组数为C 512.因此,x 150的系数为C 1522-C 31C 512=7651.8.对偶思想[例8]:(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .[解析]:因(2+3)2010+(2-3)2010为整数,则(2+3)2010的小数部分为1-(2-3)2010,又因0<(2-3)2010<0.21005<0.008300,所以0.9<1-(2-3)2010<1,可知(2+3)2010的小数点后一位数字是9.[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛河南初赛试题)记M=(5+24)2n (n ∈N *),N 是M 的小数部分,则M(1-N)的值是 . 解:因(5+24)2n +(5-24)2n 是整数,且0<(5-24)2n <1⇒N=1-(5-24)2n ⇒M(1-N)=(5+24)2n (5-24)2n=1. 2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知(1+3)n=a n +b n 3,其中a n ,b n 是整数,则∞→n limnnb a = . 解:由(1+3)n =a n +b n 3⇒(1-3)n=a n -b n 3⇒a n =21[(1+3)n +(1-3)n ],b n =321[(1+3)n +(1-3)n]⇒∞→n lim n n b a = 3.3.(2009年全国高中数学联赛新疆初赛试题)数(3+8)2n (n ∈N *),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是 .(2006年第七届北方数学奥林匹克邀请赛试题)数(3+2)4022(n ∈N +)的整数部分的个位数字是 .解:(3+2)2n =(5+26)n ,令a n =(5+26)n +(5-26)n ,由5+26,5-26是方程x 2=10x-1的根⇒a n+2=10a n+1-a n ,a 1=10⇒ a 2n+1为10的倍数,又0<(5-26)n <1⇒(3+2)4022=a 2011-(3-2)4022的个位数字是9.9.二项应用[例9]:(2003年江苏省数学夏令营数学竞赛试题)x 10+1除以(x-1)2的余式是 . [解析]:x 10+1=[(x-1)+1]10+1=[类题]:1.(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)21000除以13的余数是 .3.(《中等数学》.2011年第12期.数学奥林匹克高中训练题(148))整数列{a n }定义如下:a 0=0,a 1=1,a n =2a n-1+a n-2(n>1).则满足22012|a n 的最小正整数n 为 .解:由a 0=0,a 1=1,a n =2a n-1+a n-2⇒a 2=2,a 3=5,a 4=12,a 5=29,a 6=70,a 7=169,a 8=408,猜测2k|k a 2.用数学归纳法证明:①2|a 2,即n=1时,2k|k a 2;②假设2k|k a 2.由a n =42[(1+2)n -(1-2)n ]⇒a 2n =42[(1+2)2n -(1-2)2n ]=[(1+2)n +(1-2)n] 42[(1+2)n -(1-2)n ]=[(1+2)n +(1-2)n ]a n =2(C n 0+2C n 2+…)a n ⇒2k+1|12+k a ,且C n 0+2C n 2+…为奇数⇒最小正整数n 为22012.10.逆向应用[例10]:(2006年全国高中数学联赛试题)数码a 1,a 2,a 3,…,a 2006中有奇数个9的2007位十进制数20063212a a a a ⋅⋅⋅的个数为 .[解析]:出现奇数个9的十进制数个数有C 2006192005+C 2006392003+…+C 200620059.又由于(9+1)2006=∑=200602006k kC 92006-k ,以及(9-1)2006=∑=200602006k kC (-1)k 92006-k,从而得C 2006192005+C 2006392003+…+C 200620059=21(102006-82006).[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)611+C 111610+C 11269+…+C 11106-1被8除所得余数是 . 解:2.(2003年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知n 为自然数,多项式P(x)=∑=nh hn C 0x n-h(x-1)h可展开成x 的升幂排列a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a n |= .解:P(x)=∑=n h h n C 0x n-h(x-1)h=(2x-1)n=∑=n k k n C 0(2x)k(-1)n-k⇒|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a n |=∑=nk k n C 02k=3n.3.(2010年全国高中数学联赛上海初赛试题)满足0<a 1<a 2<…<a n (n ≥2,n ∈N +)的2n-1位十进制正整数121121a a a a a a a n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-- 共有 个(用数值作答).解:因n ≤9,满足0<a 1<a 2<…<a n (n ≥2,n ∈N +)的2n-1位十进制正整数有C 9n,共有C 92+C 93+…+C 99=(1+1)9-(C 90+C 91)=29-10=502.11.组合等式[例11]:(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)2∑=n k k 13C n k-3n ∑=nk k 12C n k +n 2∑=nk k 1C n k = .[解析]:因(1+x)n =C n 0+xC n 1+x 2C n 2+…+x k C n k +…+x n C n n ⇒n(1+x)n-1=C n 1+2xC n 2+…+kx k-1C n k +…+nx n-1C n n ⇒n(n-1)(1+x)n-2=2C n 2+…+k(k-x k-2C n k+…+n(n-1)x n-2C n n⇒C n 1+2C n 2+…+kC n k+…+nC n n=n ×2n-1,2×(2-1)C n 2+…+k(k-1)C n k+…+n(n-1)C n n=n(n-1)×2n-2⇒ 12C n 1+22C n 2+…+k 2C n k+…+n 2C n n=n(n-1)×2n-2+n ×2n-1=n(n+1)×2n-2.2∑=n k k 13C n k=2∑=n k k 12nC n-1k-1=2n ∑=n k k 12C n-1k-1=2n[∑=-n k k 12)1(C n-1k-1+∑=-nk k 1)12(C n-1k-1]=2n[(n-1)n ×2n-3+2×(n-1)2n-2-2n-1]=2n 2(n+3)×2n-3.所以,2∑=nk k 13C n k-3n ∑=nk k 12C nk+n2∑=nk k 1Cn k =2n 2(n+3)×2n-3-3n ×n(n+1)×2n-2+n 2×n ×2n-1=0.[类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算∑=-121111k k k C = . 解: (2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于n ∈N +,计算C 4n+11+C 4n+15+…+C 4n+14n+1= . 解:24n-1-(-1)n 22n-1.12.质数指数勒让德(Legendre)定理:n ！中含质数p 的指数k=[p n ]+[2p n ]+[3p n ]+…. 推论:在C n 0,C n 1,C n 2,…,C n n 中,奇数个数是)(2n S ,其中S(n)是n 的二进制数玛的和.[例12]:(2011年全国高中数学联赛试题)已知a n =C 200n (36)200-n (21)n(n=1,2,…,95),则数列{a n }中整数项的个数为 . [解析]:[类题]: 1.(2008年安徽高考试题)设(1+x)8=a 0+a 1x+…+a 8x 8,则a 0,a 1…,a 8中奇数的个数为 . 解:因8=(1000)2⇒S(8)=1,所以a i 中,共有21=2个奇数.3.(1991年日本数学奥林匹克试题)满足0≤r ≤n ≤63的全部数组(n,r)中,二项式系数C n r 为偶数的个数是 . 解:满足0≤r ≤n ≤63的二项式系数C n r 的个数是1+2+3+…+64=2080.因63=(111111)2⇒S(63)=6⇒0≤S(n)≤6,其中, S(n)=k(k=0,1,2,3,4,5,6),有C 6k 种(如k=2:(000011)2→n=3;(000101)2→n=5;(001001)→n=9;(010001)2→n=17;…,有C 62种)⇒奇数的个数为∑=6062k k k C =(1+2)6=729⇒偶数的个数是2080-729=1351.。

《二项式定理》典型例题【考情分析】本节内容是二项式定理，是高考中的重点，主要涉及二项式定理及其系数的应用，考查内容主要包括：求二项展开式某项的系数、求二项展开式中特定项等，考题角度灵活、综合性较强.题型1求二项展开式某项的系数（数学运算）典例1 [分析计算能力](2020-全国卷I)(x+y 2x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为（）A.5 B.10 C.15 D.20解析本题主要考查二项式定理及其展开式的通项公式,分析题意通过赋值法找到所求项,并转化为求所求项的系数进行计算.(x+y)5展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r y r(r∈N且r⩽5),所以(x+y2x)的各项与(x+y)5展开式的通项的乘积可表示为:xT r+1=xC5r x5−r y r=C5r x6−r y r和y2x T r+1=y2xC5r x5−r y r=C5r x4−r y r+2,在xT r+1=C5r x6−r y r中,令r=3,可得xT4=C53x3y3,该项中x3y3的系数为10,在y2 x T r+1=C5r x4−r y r+2中,令r=1,可得y2xT2=C51x3y3,该项中x3y3的系数为5,所以x3y3的系数为10+5=15.答案C.题型2求二项展开式中特定项（数学抽象）典例2 [概括理解能力、分析计算能力](2020-全国卷III)(x2+2x )6的展开式中常数项是__________.(用数字作答)解析本题考查对二项式定理的概括理解,利用通项公式求解计算二项展开式中的指定项,解题关键是掌握二项式展开通项公式.∵(x2+2x )6的二项式展开通项:T r+1=C6r⋅(x2)6−r⋅(2x)r=C6r⋅x12−2r2r⋅x−r=2r C6r⋅x12−3r,当12−3r=0,解得r=4,∴(x2+2x )6的展开式中常数项是:C64⋅24=C62⋅16=15×16=240.答案240.题型3用计数原理求项（逻辑推理）典例3 [推测解释能力]在(x2+2x+√y)6的展开式中,x3y2的系数为________________.(用数字作答)解析本题考查二项展开式的通项公式,通过多项相加,运用逻辑推理,对具体问题情境进行推测和解释,求出要求的项的系数.(x2+2x+√y)6=[(x2+2x)+y 12]6,它展开式中的第r+1项为T r+1=C6r(x2+2x)6−r y r2,令r2=2,则r=4,T5=C64(x2+2x)2y2=C64(x4+4x3+4x2)y2,x3y2的系数为C64×4=60.答案60.。

专题内容：二项式定理一、典型例题例1、已知()()511ax x ++的展开式中3x 的系数为15，则a 的值为（ ） A ．34 B ．13 C ．12 D ．1 例2、已知二项式()*12N n x n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则展开式的常数项为（ ）A ．14B ．240C ．60D ．240- 例3、设()5234512345612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ；123a a a ++= 。

二、课堂练习1、91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ） A ．84 B ．84- C ．28D ．28- 2、在()n x y -的展开式中，第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）A ．第6项B ．第5项C ．第5，6项D ．第4，5项 3、若312n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．44、()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为( ) A.5 B.10 C.15 D.205、若多项式()()()910210019101...11x x a a x a x a x +=+++++++，则9a = （ ）A. 9B. 10C. -9D. -10【布置作业】1、的展开式中的中间项为（ ） A ． B ． C ． D ．2、的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中的系数为（ ） A ．20B ．30C ．40D ．80 3、使（）的展开式中含有常数项的最小的（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 4、二项式的展开式中有理项的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8 5、已知，设，则（ ）A ．1023B ．1024C ．1025D ．1026 6、在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（ ） A ． B ． C ． D ．287、的展开式中的常数项是__________． 8、的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a 的值为______.9、的展开式中项的系数为___________（用数字表示）.10、已知的展开式中，的系数是240，则实数的值为______． 11、的展开式中所有二项式系数的最大值是_____（用数字作答）． 12、已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则该展开式中系数最大的项为_________． 13、若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为第_______项 14、若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是___________. 8312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭35883358x -7-437x --3()n a x x+3x 13n x x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭n +∈N n 102x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭46n n C C =()()()()201234111n n n x a a x a x a x -=+-+-++-12n a a a +++=31()2n x x -552552-28-()51212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭4n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭25(1()2)x x +-4x ()61ax -2x a ()61x +21(0)nax a x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1()n x x +1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()*n ∈N 5615、设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为_____.。

学科教师辅导讲义1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。

學科教師輔導講義學員編號： 年 級：高二 課 時 數： 3 學員姓名： 輔導科目：數學 學科教師：教學內容1．二項式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二項式展開式：右邊の多項式叫做()n a b +の二項展開式。

②二項式係數:展開式中各項の係數rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③項數：共(1)r +項，是關於a 與b の齊次多項式④通項：展開式中の第1r +項r n r rn C a b -叫做二項式展開式の通項。

用1r n r r r nT C a b -+=表示。

3．注意關鍵點：①項數：展開式中總共有(1)n +項。

②順序：注意正確選擇a ,b ,其順序不能更改。

()n a b +與()nb a +是不同の。

③指數：a の指數從n 逐項減到0，是降冪排列。

b の指數從0逐項減到n ，是升冪排列。

各項の次數和等於n .④係數：注意正確區分二項式係數與項の係數，二項式係數依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅項の係數是a 與b の係數（包括二項式係數）。

4．常用の結論：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性質：①二項式係數の對稱性：與首末兩端“對距離”の兩個二項式係數相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二項式係數和：令1a b ==,則二項式係數の和為0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，變形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。

二项式定理知识梳理：1．二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n(n ∈N *)，这个公式叫做______________．①二项展开式：右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________(k ＝______________)叫做二项式系数．④通项：在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即通项为展开式的第k ＋1项：T k ＋1＝____________________.2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝______，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C 偶n ＝________，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＋C 奇n ＝________.自我检测 1．(2011·福建)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．102．(2011·陕西)(4x－2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20 3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－2104．(2010·四川)⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是______．5．(2011·山东)若(x －ax2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．6．(2011·烟台期末)已知n 为正偶数，且⎝⎛⎭⎫x 2－12x n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是__________．(用数字作答) 探究点一 二项展开式及通项公式的应用例1 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．变式迁移1 (2010·湖北)在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项． 探究点二 二项式系数的性质及其应用例2 (1)求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C nn ＝n ·2n －1； (2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727 除以9的余数．变式迁移2 (2011·上海卢湾区质量调研)求C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n2n 的值．探究点三 求系数最大项例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．变式迁移3 (1)在(x ＋y )n 的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于( ) A ．13,14 B ．14,15 C ．12,13 D ．11,12,13(2)已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．学案 二项式定理自主梳理1．(1)二项式定理 ②n ＋1 ③C k n 0,1,2，…，n ④C k n an －k b kC k n an －k b k 2.(1)等距离 (2)2nn C 12n n C + 12n nC -(3)2n 2n －1 2n －1自我检测 1．B [(1＋2x )5的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r ，令r ＝2，得x 2的系数为22·C 25＝40.]2．C [设展开式的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )r ·(－2－x )6－r ，即T r ＋1＝C r 6·(－1)6－r ·22rx ·2rx －6x ＝C r 6·(－1)6－r ·23rx －6x ，∴3rx －6x ＝0恒成立．∴r ＝2，∴T 3＝C 26·(－1)4＝15.∴选C.]3．A4．－160x5．4解析 (x －a x2)6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r ·(a )r ·x －2r ＝C r 6x 6－3r(－1)r ·(a )r . 令6－3r ＝0，得r ＝2.故C 26(a )2＝60，解得a ＝4.6．－52课堂活动区例1 解题导引 (1)通项T r ＋1＝C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式的第r ＋1项，而不是第r 项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C r n ，r ＝0,1,2，…，n ，与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．解 (1)通项公式为T r ＋1＝C r n3n rx-⎝⎛⎭⎫－12r 3rx - ＝C r n⎝⎛⎭⎫－12r 23n r x -，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12×(10－6)＝2， ∴所求的系数为C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454.(3)根据通项公式，由题意得⎩⎨⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N .令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈N ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎫－128x －2. 变式迁移1 6解析 展开式的通项T r ＋1＝C r 20·x 20－r ·(43y )r ＝C r 20·x 20－r ·y r ·43r.由0≤r ≤20，r4∈Z 得r ＝0,4,8,12,16,20.所以系数为有理数的项共有6项．例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C 0n ＝C n n ＝C n ＋1n ＋1，C kn ＝C n －k n ，k C k n ＝n C k －1n －1等式子的变形技巧；(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f (x )、除式g (x )[g (x )≠0]、商式q (x )与余式的关系及余式的范围．(1)证明 方法一 设S ＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋(n －1)·C n －1n ＋n C n n ，① ∴S ＝n C n n ＋(n －1)C n －1n ＋(n －2)C n －2n ＋…＋2C 2n ＋C 1n ＝n C 0n ＋(n －1)C 1n ＋(n －2)C 2n ＋…＋2C n －2n ＋C n －1n ，② ①＋②得2S ＝n (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )＝n ·2n . ∴S ＝n ·2n －1.原式得证． 方法二 ∵k n C k n ＝k n ·n ！k ！(n －k )！＝(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝C k －1n －1，∴k C k n ＝n C k －1n －1.∴左边＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋…＋n C n －1n －1＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1＝右边． (2)解 S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数． 故S 被9除的余数为7.变式迁移2 解 (1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n. 令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n ；再令x ＝－1得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝0.两式相加，再用C 02n ＝1，得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n ＝22n2－1＝22n －1－1.例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项：如果n 是偶数，则中间一项[第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项]的二项式系数最大；如果n 是奇数，则中间两项[第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项]的二项式系数相等且最大；(2)求展开式系数最大的项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项． 解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为 f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n . 由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0， ∴2n ＝－31(舍)，或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 2523x 骣琪琪桫3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 3523x 骣琪琪桫2(3x 2)3＝270223x .(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·()2523r x+．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. 变式迁移3 (1)D [(1)分三种情况：①若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；②若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13，所以n 的值可能等于11,12,13，故选D.](2)解 (ⅰ)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∵n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T 8. ∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (ⅱ)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.∴9.4≤k ≤10.4.∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.专项训练1．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2x 6的展开式中x 2的系数是________．解析 设展开式中第r ＋1项是x 2项， 则由T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r ·(－2x )r ＝(－2)r C r 6x2r －6， 得2r －6＝2，解得r ＝4.∴x 2项系数为(－2)4C 46＝16×15＝240. 答案 2402．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________.解析 设第r ＋1项的系数为52，则T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax r ＝C r 61a r x 12－3r， 令12－3r ＝3，得r ＝3，∴C 361a 3＝52， ∴a 3＝8，a ＝2. 答案 23.⎝⎛⎭⎪⎫xy－y x 6的展开式中，x 3的系数等于________． 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫xy －y x 6的通项为T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎪⎫x y 6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－y x r ＝C r 6(－1)rx 6－32ry 32r －3， 令6－32r ＝3，得r ＝2，32r －3＝0，故x 3的系数为C 26(－1)2＝15.答案 154.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 27的展开式中倒数第三项为________． 解析 由于n ＝7，可知展开式中共有8项， ∴倒数第三项也为正数第六项． ∴T 6＝C 57(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝22·C 57·1x 8. 答案 84x 85．已知(1＋ax )5＝1＋10x ＋bx 2＋…＋a 5x 5，则b ＝________. 解析 根据题意知，二项展开式的第二项为C 15·ax ＝10x ，∴a ＝2.第三项为C 25·(ax )2＝bx 2，即b ＝40.答案 406．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2n 的展开式中第4项与第6项的系数相等，求n 及展开式中的常数项．解 由已知可得C 32n ＝C 52n ，所以3＋5＝2n ，即n ＝4. 所以展开式中的通项为T r ＋1＝C r 8x8－2r ， 若它为常数项，则r ＝4，所以T 5＝C 48＝70.综合提高 (限时30分钟)7.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n ＝________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的通项为T r ＋1＝C r n x 2(n －r )·(－1)r ·x －r ＝(－1)r ·C r n ·x 2n －3r . 令2n －3r ＝0，则2n ＝3r ，即r ＝23n . 当n ＝3时，r ＝2，T r ＋1≠15， 当n ＝6时，r ＝4，T r ＋1＝15. 答案 68．(1＋2x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 8的展开式中的常数项为________．解析 设⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 8的第r ＋1项为T r ＋1＝(－1)r C r 8x8－2r. 则令8－2r ＝0，得r ＝4；令8－2r ＝－2，得r ＝5. 故原式展开式中常数项为1×(－1)4C 48＋2×(－1)5C 58＝－42.答案 －429．设f (x )＝(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1，则f (x )＝________.解析 f (x )＝C 05(2x ＋1)5＋C 15(2x ＋1)4·(－1)＋ C 25(2x ＋1)3·(－1)2＋C 35(2x ＋1)2·(－1)3＋ C 45(2x ＋1)·(－1)4＋C 55(－1)5＝(2x ＋1－1)5＝32x 5.答案 32x 510．(1－x )4(1＋x )4的展开式中x 项的系数是________． 解析 ∵(1－x )4(1＋x )4＝(1－x )4，∴展开式中含x 的项为C 14(－x )1＝－4x ，故展开式中x 项的系数为－4. 答案 －411．在(3－x )20(x ∈R ，x ≠0)的展开式中，已知第2r 项与第r ＋1项(r ≠1)的二项式系数相等． (1)求r 的值；(2)若该展开式的第r 项的值与倒数第r 项的值的1256相等，求x 的值．解 (1)由题意知C 2r －120＝C r20，即2r －1＝r 或2r －1＝20－r ，解得r ＝7或r ＝1(舍去)．(2)T r ＝C r －120·321－r ·(－x )r －1，当r ＝7时，T 7＝C 620·314·x 6， 倒数第7项，即T 15＝C 1420·36·x 14， 由题意C 620·314·x 6＝1256·C 1420·36·x 14， 解得x ＝±6.12．(3x ＋32)100展开式所得关于x 的多项式中系数为有理数的共有多少项？解，若第k ＋1项的系数为有理数，则50－k 2，k3均为整数，故k 为6的倍数时，第k ＋1项的系数为有理数．∵0≤k ≤100，∴k ＝6×0,6×1,6×2，…，6×16时，项的系数为有理数，故有17项系数为有理数．13．(创新拓展)求⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋110展开式中的常数项． 解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 210，则其通项为：T k ＋1＝C k 10·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2k ， (其中k ＝0,1,2，…，9)．要求原式的常数项，则需要求⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2k 的展开式中的常数项． ∵T r ＋1＝C r k ·a k －r ·a －2r ＝C r k ·a k －3r (其中r ＝0,1，2，…，k )． 由题意，令k －3r ＝0，则k ＝3r ，即k 是3的倍数，所以k ＝0,3,6,9.当k ＝0时，C 010＝1.当k ＝3时，r ＝1，C 310·C 13＝360. 当k ＝6时，r ＝2，C 610·C 26＝3 150. 当k ＝9时，r ＝3，C 910·C 39＝840. 所以原式展开式中的常数项是C 010＋C 310·C 13＋C 610·C 26＋C 910·C 39＝4 351.高考专区：1．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)xx --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20【思路点拨】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x 的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.选C.62(6)1231666(1)(4)(2)(1)22(1)2-----+=-=-⋅⋅=-⋅r r x r x r r r x r xr r rx xr r T C C C ， 令1230x xr -=，则4r =，所以45615T C ==，故选C ．2.（2011.天津高考理科.T5）在6的二项展开式中，2x 的系数为 （ ） （A ）154-（B ）154 （C ）38-（D ）38【思路点拨】利用二项展开式定理求解. 选C. 6226216(1)2--+=-r rrr r T C x，令1422662321,2.28--===-=-r r T C x 得, 3.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）10【思路点拨】先利用二项式定理写出展开式中的2x 项，再从中提取“系数”.【精讲精析】选B. 由二项式定理易得，5(12)x +的展开式中的222225240x C x x =项为，2x ∴ 的系数等于40.4.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40【思路点拨】用赋值法求各项系数和，确定a 的值，然后再求常数项，也可以用组合提取法求解.【精讲精析】选D.解析1： 令1x =，可得51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数和为1+a ，∴12a +=，即1a =.51(2)x x -的通项公式5151(2)()r r r r T C x x-+=-552r r C -=⋅52(1).r r x --∴511()(2)x x x x+-的展开式中的常数项为323152(1)x C x -⋅⋅- 232512(1)+⋅⨯-C x x＝40. 解析2：用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x ,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x ，选3个提出x .故常数项为223322335353111(2)()()(2)408040.x C x C C C x xx x⋅⋅-+⋅-⋅=-+= 二、填空题5.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- （，则1110a a += .【思路点拨】利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，且项的系数互为相反数.【精讲精析】利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，且项的系数互为相反数,即1110a a +=0. 【答案】0。

1学科教师辅导讲义1 •二项式定理：(a b)n C ：a n C ：a n 1b L C ：a n r b r LC ；b n (n N ),2 .基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n 的二项展开式。

②二项式系数：展开式中各项的系数 C ： (r 0,1,2, ,n). ③项数：共(r 1)项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第 r 1项C ：a n r b r 叫做二项式展开式的通项。

用 T r 1 C ：a n r b r 表示。

3 .注意关键点：①项数：展开式中总共有 (n 1)项。

②顺序：注意正确选择 a ,b ,其顺序不能更改。

(a b)n 与(b a)n 是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幕排列。

b 的指数从0逐项减到n ,③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:是升幕排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,C ；,Cn, ,C ：, ,C ：.项的系数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。

4 .常用的结论:令 a 1,b x, (1 x)n C O C 1x C 2x 2 L C ：x r LC ：x n (n N令 a 1,b x, (1 x)nC O C：XC'x 2L C：x rLn n n(1) C nX (n5.性质: ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 C 0nkC n，•…C n C i②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为C n 2C n rC n n 2n ,变形式C 1 Cn L C ： LC： 2n在二项式定理中，令 a 1,b 1，则C° C ； Coc ；1)nc ：(1 n1) 0 ,从而得到：c O c 2 c 4C n 2rc n c ； L2r 1C n2 2" 2：1⑥系数的最大项：求（a bx ）n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

二项式定理典型例题典型例题一例1 在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n rr n r n r x x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t nn ， 由已知：)1(8112312-+=+=n n n tt t ，∴8=n 通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r rr rr T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有典型例题四例4（1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为：5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x 1251)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x ．由121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式的通项公式r rrrrr x x T--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+展开． 解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+=其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -⋅⋅． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到222516)(C C x x -⋅⋅． 合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6．典型例题六例6 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；（2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n nn n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++ ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-⋅+=+11C 11)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++ 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(⋅+⋅++⋅+⋅+=+ 10101091092102C 2C 2C 21021++++⨯+= )C 2C 2C 210(21101099108210+++++=从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++ ． 典型例题七例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n 98)18(98911--+=--=++n n n n9818C 8C 8C 81211111--+⋅+⋅++⋅+=+-+++n nn n n n n n981)1(88C 8C 8211111--+++⋅++⋅+=-+++n n n n n n n 2111118C 8C 8⋅++⋅+=-+++n n n n n 64)C 8C 8(112111⋅++⋅+=-+-++n n n n n 是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．典型例题八例8 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ．分析1：用二项式定理展开式．解法1：52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 2232524150250523)2(23)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C x x C x x C52554245322352323)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x C x x C x x C10742532243840513518012032xx x x x x -+-+-= 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：10535232)34(232x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x ])3()3()4()3()4(5554134532335-+-+-+C x C x C)243716204320576038401024(321369121510-+-+-=x x x x x x10742532243840513518012032x x x x x x -+-+-=． 说明：记准、记熟二项式nb a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．典型例题九例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-⋅+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为66191011=++++ ，∴应选D ．典型例题十例10 若nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21转化为nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+；当0<x 时，同理nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，解出n ． 解：当0>x 时nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=，令022=-r n ，得r n =， ∴展开式的常数项为n nnC2)1(-；当0<x 时，nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+， 同理可得，展开式的常数项为n n n C 2)1(-．无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-． 令20)1(2-=-nn n C ，以 ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．典型例题十一例11 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________．分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可． 解： 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 有意义必须0>x ；依题意有43T T <即3373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ．∴31123891012910xx ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）．解得5648980<<x ．∴x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<5648980x x ．∴应填：5648980<<x ．典型例题十二例12 已知n xx)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ， 即321!)1)(1(!!)(!!!)1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=⇒n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xx C ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．典型例题十三例13 nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有8226655=⇒=n C C n n ． ∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--r C C C C r r r r r r r r ． ∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0 ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．典型例题十四例14 设nm x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后用二次函数性质探讨最小值．解：1111=+=+m n C C n m ．211)(21222222-+=-+-=+n m n n m m C C n m 499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ．∵+∈N n ， ∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25．说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得．典型例题十五例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=- ，求(1) 721a a a +++ ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a ． ①∴129721=+++a a a ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ②由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得：6420a a a a +++][210123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++=8128])4(128[217-=-+=． 说明：（1）根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式nn n x a x a x a a q px x g ++++=+= 2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ． 典型例题十六例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是___. 分析(1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．解：3230-3)2(103-=3)8(10-=3)17(10-+=37771010910911010010-++++=C C C C2]77[791081109010-+++⨯=C C C又∵余数不能为负数，需转化为正数。

二项式知识点+十大问题+练习(含答案)011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式.②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b-叫做二项式展开式的通项.用1r n r rr n T C a b-+=表示.3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项.②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改.()n a b +与()nb a +是不同的.③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列.b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列.各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）.4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n nC C =，···1k k n nC C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnnn n n n n C C C C C ++++++=， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-.③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则123(1)(11)0n nnn n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC取得最大值.如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值.⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来.专题一题型一：二项式定理的逆用； 例：12321666 .nn n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=解：012233(16)6666n nnn n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距，123211221666(666)6nn nn n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅0122111(6661)[(16)1](71)666nn n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-练：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=解：设1231393n nn n n n nS C C C C -=++++，则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-(13)14133n n n S +--∴==题型二：利用通项公式求nx 的系数；例：在二项式n 的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？解：由条件知245n n C -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r r rrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得，则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210.练：求291()2x x -展开式中9x 的系数？解：291821831999111()()()()222r r r r r r r r r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-.题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式210(x +的展开式中的常数项？解：5202102110101()()2r r rrr r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145()2256T C ==练：求二项式61(2)2x x -的展开式中的常数项？解：666216611(2)(1)()(1)2()22rr r r r r r r rr T C x C x x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=-练：若21()nx x +的二项展开式中第5项为常数项，则____.n = 解：4244421251()()n n n n T C x C xx --==，令2120n -=，得6n =.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或，所以当3r =时，2746r-=，334449(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736r-=，3933109(1)T C x x =-=-.题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设n展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=.练：若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项.解：0242132112r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=，121024n -∴=，解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==，565451462n T C x -+==⋅，611561462T x-+=⋅题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2)2nx +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数.练：在2()na b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即2112nn T T ++=，也就是第1n +项.练：在(2nx -的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则152n+=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =例：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b=-的系数最小，43457T C a b=系数最大.例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2nx +的展开式中系数最大的项？解：由01279,nnnC C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+1111212111212124444r r r r r r r rr r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x ==练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1r T +项最大，1102rr rr T C x +=⋅111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤，7r ∴=，展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x ==题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x+==+，所以x得一次项为1445423C C x它的系数为1445423240C C =.解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+故展开式中含x 的项为4554455522240C xC C x x+=，故展开式中x 的系数为240.练：求式子31(2)x x+-的常数项？解：361(2)x x +-=，设第1r +项为常数项，则66261661(1)()(1)rr rr r rr T C xC x x--+=-=-，得620r -=,3r =,33316(1)20T C +∴=-=-.题型八：两个二项式相乘；例：342(12)(1)x x x +-求展开式中的系数. 解：333(12)(2)2,m m m m m x x x +⋅=⋅⋅的展开式的通项是C C444(1)C ()C 1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,n n n n n x x x m n -⋅-=⋅-⋅==的展开式的通项是其中342,02,11,20,(12)(1)m n m n m n m n x x +=======+-令则且且且因此20022111122003434342(1)2(1)2(1)6x C C C C C C ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-的展开式中的系数等于.练：610(1(1+求展开式中的常数项.解：436103412610610(1(1m n m nm n m nC x C x C C x --++⋅=⋅⋅展开式的通项为0,3,6,0,1,2,,6,0,1,2,,10,43,0,4,8,m m m m n m n n n n ===⎧⎧⎧=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⎨⎨⎨===⎩⎩⎩其中当且仅当即或或0034686106106104246C C C C C C ⋅+⋅+⋅=时得展开式中的常数项为.练：2*31(1)(),28,______.nx x x n N n n x +++∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则解：3431()C C ,n r n r r r n rn n x x x x x ---+⋅⋅=⋅展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得44142C ,C ,C ,,28r n r r n r r n r n n n x x xn --+-+⋅⋅⋅≤≤展开式中不含常数项441424,83,72,6, 5.n r n r n r n n n n ∴≠≠+≠+≠≠≠∴=且且，即且且题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 例：2006(,,,_____.x x S x S -==在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当解：2006123200601232006(x a a x a x a x a x +++++设=-------①2006123200601232006(x a a x a x a x a x --+-++=-------②3520052006200613520052()((a x a x a x a x x x -++++=-①②得2006200620061(()[((]2x S x x x ∴=-+展开式的奇次幂项之和为32006220062006300812,]222x S ⨯==-=-=-当题型十：赋值法；例：设二项式1)nx 的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若 272p s +=,则n 等于多少？解：若20121)n nn a a x a x a x x =+++⋅⋅⋅+，有01nP a a a =++⋅⋅⋅+，02nnn n S C C =+⋅⋅+=，令1x =得4n P =，又272p s +=,即42272(217)(216)0n n n n +=⇒+-=解得216217()n n ==-或舍去，4n ∴=.练：若011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？ 解：令1x =，则011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈的展开式中各项系数之和为264n=，所以011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，则展开式的常数项为011()()nnn r n rrn n nnnna b C a C a b C ab C b n N --*+=+++++∈540=-.例：200912320092009120123200922009(12)(),222a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++⋅⋅⋅+若则的值为解：2009200912120022009220091,0,2222222a a a a a a x a a =+++⋅⋅⋅+=∴++⋅⋅⋅+=-令可得20091202200901, 1.222a a a x a ==++⋅⋅⋅+=-在令可得因而练：55432154321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则解：0012345032,11,x a x a a a a a a ==-=+++++=-令得令得1234531.a a a a a ∴++++=题型十一：整除性；例：证明：22*389()n n n N +--∈能被64整除 证：2211389989(81)89n n n n n n +++--=--=+-- 011121111111888889n n n n n n n n n n C C C C C n +-++++++=++⋅⋅⋅+++--011121118888(1)189n n n n n n C C C n n +-+++=++⋅⋅⋅++++--01112111888n n n n n n C C C +-+++=++⋅⋅⋅+由于各项均能被64整除22*389()64 n n n N+∴--∈能被整除1、(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是1、设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是10242/)2(2)1(f)1(f11-=-=-+2、=++++nnn2n21nnC3C3C3C 2、4n3、203)515(+的展开式中的有理项是展开式的第项3、3,9,15,214、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35、求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中x 4的系数5、93102)x 1)(x 1()x 1)(x x 1(--=-++,要得到含x 4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项449)x (C -作积，第一个因式中的－x 3与(1-x)9展开式中的项)x (C 19-作积，故x 4的系数是135C C 4919=+6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数6、)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =x x x )1()1(11+-+，原式中x 3实为这分子中的x 4，则所求系数为7C 7、若)N n m ()x 1()x 1()x (f n m ∈⋅+++=展开式中，x 的系数为21，问m 、n 为何值时，x 2的系数最小？7、由条件得m+n=21，x 2的项为22n 22m x C x C +，则.4399)221n (C C 22n 2m +-=+因n ∈N ，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x 2的系数最小8、自然数n 为偶数时，求证：1n n n 1n n 4n 3n 2n 1n 23C C 2C C 2C C 21--⋅=+++++++8、原式=1n 1n n 1n n 5n 3n 1n n n 1n n 2n 1n 0n 2.322)C C C C ()C C C C C (----=+=++++++++++ 9、求1180被9除的余数9、)(1811818181)181(80101110111110111111Z k k C C C ∈-=-++-=-= , ∵k ∈Z,∴9k-1∈Z ，∴1181被9除余810、在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数 10、5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅，此展开式中x 的系数为24011、求(2x+1)12展开式中系数最大的项11、设T r+1的系数最大，则T r+1的系数不小于T r 与T r+2的系数，即有 ⎩⎨⎧≥≥⇒ ⎝⎛≥≥+--+----1r 12r 121r 12r 12r 111r 12r 12r 12r 131r 12r 12r 12C C 2C 2C 12C 2C 2C 2C⇒4r ,314r 313=∴≤≤∴展开式中系数最大项为第5项，T 5=44412x 7920x C 16=。

（完整版）二项式定理典型例题1. 在二项式nx x ??? ?+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n r r n r n r x x x T --+=??=前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8112312-+=+=n n n t t t ，∴8=n通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r rr r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有系数和为n 3．2.（1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =?；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=?-，合并同类项得5x 项为： 5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121???? ??+=++x x x x 1251)21(???? ?+=++x x x x ．由121?+x x 展开式的通项公式rr rr r r x x T --+=??? ??=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．3. 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开．解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+Λ-+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+=其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -??． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到2 22516)(C C x x -??．合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6． 4.求证：（1）1212C C 2C -?=+++n n n n n n n Λ；（2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n Λ．分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++Λ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-?=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k Θ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n Λ=?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n Λ右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n--=-?+=+ 11C 11)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ．∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n Λ =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n Λ右边．说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++Λ的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(?+?++?+?+=+Λ 10101091092102C 2C 2C 21021++++?+=Λ )C 2C 2C 210(2110 1099108210+++++=Λ从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++Λ． 5.利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n98)18(98911--+=--=++n n n n9818C 8C 8C 81211111--+?+?++?+=+-+++n nn n n n n n Λ 981)1(88C 8C 8211111--+++?++?+=-+++n n n n n n n Λ 2111118C 8C 8?++?+=-+++n n n n n Λ64)C 8C 8(112111?++?+=-+-++n n n n n Λ是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．8.若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A ．11B ．33C ．55D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-?+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ?+-1010)(（10,,1,0Λ=k ）展开后，都不会出现同类项．下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ?+-1010)(（10,,1,0Λ=k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为66191011=++++Λ，∴应选D ．9.若nx x ??-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把三项式nx x ?-+21转化为nnx x x x 2121??? ??-=??? ??-+；当0<="">n nx x x x 21)1(21??? ?----= ??-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，进而解出n ．解：当0>x 时nnx x x x 2121??? ?-=??? ??-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=，令022=-r n ，得r n =，∴展开式的常数项为nn n C 2)1(-；当0<="">n n x x x x 21)1(21??? ?----=??? ??-+，同理可得，展开式的常数项为nn n C 2)1(-．无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-．令20)1(2-=-nn n C ，以Λ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．10.1031??+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________．分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可．解：使1031??? ?+x x 有意义，必须0>x ；依题意，有43T T <，即3373102382101)(1)(??31123891012910xx x ）．解得5648980<<="">∴x 的取值范围是?<<5648980x x ．∴应填：5648980<<="" ．="">x)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ，即321!)1)(1(!!)()1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ．∴=-+=+-=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=?n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xxC ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．12.nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有 8226655=?=n C C n n ．∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤≥??≥?++--r C C C C r r r r r r r r ．∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0Λ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．13. 设nm x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据已知条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题．解：1111=+=+m n C C n m ．211)(21222-+=-+-=+n m n n m m C C nm499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ．∵+∈N n ，∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25．说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得．14.若0166777)13(a x a x a x a x ++++=-Λ，求(1) 721a a a +++Λ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a Λ．①∴129721=+++a a a Λ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ②由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得： 6420a a a a +++]10123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++= 8128])4(128[217-=-+=．说明：（1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要的方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式nn n x a x a x a a q px x g ++++=+=Λ2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ．18.在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为（）．A ．160B ．240C ．360D ．800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用．应想办法将三项式转化为二项式求解．解法1：由5252]2)3[()23(++=++x x x x ，得k kk k x x C T 2)3(5251?+=-+ k k k x x C -+??=525)3(2．再一次使用通项公式得，rk r r k k k r x C C T ---+=21055132，这里50≤≤k ，k r -≤≤50．令1210=--r k ，即92=+r k ．所以1=r ，4=k ，由此得到x 的系数为24032445=??C ．解法2：由5552)2()1()23(++=++x x x x ，知5)1(+x 的展开式中x 的系数为45C ，常数项为1，5)2(+x 的展开式中x 的系数为4452?C ，常数项为52．因此原式中x 的系数为24022445545=?+?C C ．解法3：将52)23(++x x 看作5个三项式相乘，展开式中x 的系数就是从其中一个三项式中取x 3的系数3，从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即2402344415=C C ．∴应选B ．19.已知92-x x a 的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为___________．分析：利用二项式的通项公式．解：在92-x x a 的展开式中，通项公式为=-??=-+rrr r x x a C T 299192329921)1(--???? ???-r r r r r x a C ．根据题设，3923=-r ，所以8=r ．代入通项公式，得39169ax T =．根据题意，49169=a ，所以4=a ．∴应填：4．20.若+∈N n ，求证明：3724332+-+n n 能被64整除．分析：考虑先将323+n 拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．解：3724332+-+n n37243322+-?=+n n 3724931+-?=+n n 3724)18(31+-+?=+n n3724]8888[311112111101+-+?++?+?+??=+++-++++n C C C C C n n n n n n n n n n Λ 3724]18)1(888[3121111+-+?+++?+?+?=-+++n n C C n n n n n Λ 3724)]98(8888[3211121111+-++?++?+?+?=-+-+++n n C C C n n n n n n n Λ 3724)98(3]888[831132121112+-+?+++?+?+?=-+-+-+-n n C C C n n n n n n n Λ64]888[6433212111++?+?+?=-+-+-Λn n n n n C C ，∵18-n ，2118-+?n n C ，3218-+?n n C ，…均为自然数，∴上式各项均为64的整数倍．∴原式能被64整除．说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．21. 已知nx x )3(232+的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．分析：先由条件列方程求出n ．(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r ．解：令1=x 得展开式的各项系数之和为n n 22)31(=+，而展开式的二项式系数的和为n n n n n n C C C C 2210=++++Λ，∴有992222=-n n．∴5=n ．(1)∵5=n ，故展开式共有6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．∴62233225390)3()(x x x C T =?=，32232232354270)3()(x x x C T =?=．(2)设展开式中第1+r 项的系数最大．341052532513)3()(r rr rrr r xC x x C T +-+??=??=，故有≥??≥?++--115511553333r r r r r r r r C C C C即+≥--≥.1351,613r r r r解得2927≤≤r ．∵N r ∈，∴4=r ，即展开式中第5项的系数最大．32642132455405)3()(x x x C T =??=说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同．前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个r ，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小．22. 求二项式(a－2b)4的展开式.解：根据二项式定理得(a－2b)4=C04a4+C14a3(－2b)+C24a2(－2b)2+C34a(－2b)3+C4 4(－2b)4 =a4－8a3b+24a2b2－32ab3+16b4..。

一题打天下之二项式定理（11问） 已知二项式(2n x
（*n N ∈）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5， 按要求完成以下问题：
考点：二项式系数
（1）求n 的值； n=6
（2）二项式系数最大的项
考点：特定项与特定项的系数
（3）求展开式中含3-x 的项；
（4）求展开式第2项与第3项的系数之比
（5）求展开式中的常数项；
（6）求展开式中的所有有理项的系数之和
（7）系数最大的项
考点：两个二项展开式的和与积
（8）若(2n x
++5)1(-ax 的展开式中3x 的系数为160，求a 的值
2-=a （9）若(2n x
+5)1(-ax 的展开式中常数项为20，求a 的值
2=a 考点：二项式系数之和与系数之和
（10）求展开式中所有项的二项式系数之和
（11）求展开式中所有项的系数之和。