长方体和正方体典型题及各种变式的专项研究

77Z 711■ 1 ■X > — — — — —LZ■————— ■✓2.长方体的长、第1讲长方体和正方体一. 暨知识梳理知识点一：长方体和正方体的认识1.长方体的特征长方体是山6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。

知识点二：长方体和正方体的展开图1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形,这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。

2•正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。

3. 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。

（1）3面涂色的小正方体有8个。

高的含义顶点横着放 竖着（2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=（n-2）X12, b二（旷2）2X6。

知识点三：长方体、正方体的表面积计算1.意义长方体（或正方体）6个面的总面积。

2.计算方法（1）长方体的表面积二长X宽X 2+长X高X2+宽X高X2二（长X宽+长X高+宽X高）X2。

（2）正方体的表面积二棱长X棱长X6。

知识点四：体积与体积单位1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。

2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。

常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cn?、血3和卅。

计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。

1立方分米二1升，1立方厘米二1毫升知识点五：长方体和正方体的体积1.长方体的体积二长X宽X高，字母公式为V=abho2.正方体的体积二棱长X棱长X棱长，字母公式为V二£。

3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。

4.体积讣算公式：长方体（或正方体）的体积二底面积X高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体（或正方体）的体积计算公式可以写成V二Sh。

第三单元长方体和正方体【例1】将一个正方体钢坯锻造成长方体，它们的（）。

A．体积相等，表面积不相等 B．体积不相等，表面积相等C．体积和表面积都相等 D．表面积相等，体积不相等解析：本题考查的知识点是数学的“等积变形”思想。

解答时要抓住将正方体钢坯锻造成长方体形状这一基本条件，锻造就是说形状要改变，所以表面积一定会发生变化，但是体积是不会变化的，因为钢坯所占空间的大小不变，所以选A。

解答：A【例2】小华说：“棱长6厘米的正方体，体积和表面积相等。

”小红说：“表面积相等的两个正方体，体积也一定相等。

”他们说的（）。

A．小红对 B．小华对 C．都对 D．都不对解析：本题考查的知识点有：不是同类量能否进行比较以及正方体的特征。

解答时，根据表面积、体积的意义：正方体的表面积是指6个面的总面积，正方体的体积是指题所占空间的大小，表面积和体积不是同类量所以不能进行比较。

正方体的表面积=棱长×棱长×6，正方体的体积=棱长×棱长×棱长，因为两个正方体的表面积相等，则每个面的面积相等，也就可以判定棱长相等，所以体积也相等。

综合上述分析得出：小华的说法是错误的，小红的说法是正确的。

解答： A。

【例3】一个棱长为10厘米的正方体容器里装有5厘米高的水，现在将一块不规则的石块全部浸没水中，测得水面上升了2厘米，这块石块的体积是（）。

A 100 cm3B 500 cm3 C200 cm3 D300cm3解析：本题考查的知识点是利用“等积变形思想”求不规则物体的体积。

根据物体完全浸没在水中，上升了的水的体积就是物体的体积，然后利用长方体的体积公式计算公式：v=abh，把数据代入公式v =10×10×2=100×2=200（立方厘米）所以选C。

解答： C【例4】“淘宝之父”马云新出了两本大小相同的书，长20厘米、宽12厘米、厚3厘米，如果将这两本书包装在一起，怎样包装最省纸请画出示意图，并算出包装纸的面积。

小学五年级奥数几何长方体和正方体经典例题详解精品学习网为您整理了：五年级奥数几何长方体和正方体经典例题详解欢迎大家阅读愉快!五年级奥数几何长方体和正方体经典例题详解1、一个零件形状大小如下图：算是一算，它的体积就是多少立方厘米，表面积就是多少平方厘米？(1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80(立方厘米)，右边的长方体的体积是10×(6-2)×2=80(立方厘米)，整个零件的体积是80+80=160(立方厘米)。

10×4×2+10×(6-2)×2=160(立方厘米)(2)谋这个零件的表面积，看上去比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和刚好与朝下的一个面的面积成正比;朝右的两个面的面积和刚好与朝左的一个面的面积成正比。

因此，此零件的表面积就是：(10×6+10×4+4×2×2)×2=232(平方厘米)练习(1)一个长5厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体，被切去一块后(如下图)，剩下部分的表面积和体积各是多少?练(2)把一根长2米的长方体木料锯成1米短的两段，表面积减少2平方分米，谋这根木料原来的体积。

练习(3)有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体(如下图)，求切掉正方体后的表面积和体积各是多少?2、存有一个长方体形状的零件。

中间挖去一个正方体的孔（如下图）。

你能算出来它的体积和表面积吗？（单位：厘米）(1)先求出长方体的体积，8×5×6=240(立方厘米)，由于挖去一个孔，所以体积减少2×2×2=8(立方厘米)，这个零件的体积是240-8=232(立方厘米)(2)长方体完备的表面积就是(8×5+8×6+5×6)×2=236(平方厘米)，但由于挖去一个孔，它的表面积增加了一个(2×2)平方厘米的面积，同时又减少了凹陷进来的5个(2×2)平方厘米的面,因此,这个零件的表面积就是236+(2×2)×4=252(平方厘米).练习(1)有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。

五年级数学下册典型例题系列之第三单元长方体和正方体的认识部分（原卷版）编者的话：《2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第三单元长方体和正方体的认识部分。

本部分内容考察长方体和正方体的认识及棱长和公式的应用，考点和题型都比较简单，建议作为本章重点内容进行讲解，一共划分为七个考点，欢迎使用。

【考点一】长方体的认识。

【方法点拨】1.长方体的特征：注意：长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个面是正方形。

2.长方体的长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。

【典型例题】1．长方体的每个面一般都是( )，也可能有两个相对的面是( )。

【对应练习1】长方体有( )个面。

长方体有( )条棱。

长方体有( )个顶点。

【对应练习2】长方体有( )个面，( )条棱，( )个顶点，( )的面面积相等，相对的棱长度( )。

【对应练习3】长方体有________个面，相对的面________；有________条棱，相对的棱________；有________个顶点。

【考点二】正方体的认识。

【方法点拨】1.正方体的特征：（1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。

（2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等。

2.正方体和长方体的关系：总结：正方体是特殊的长方体。

【典型例题1】长方体和正方体都有( )个面，( )条棱，( )个顶点。

【典型例题2】正方体有( )个面，( )条棱，( )个顶点，( )的面面积相等，( )的棱长度相等。

【对应练习1】长、宽、高都相等的长方体叫________，它是特殊的________。

长方体与正方体【考点要求】1、认识长方体和正方体的各部分名称；2、理解并掌握长方体和正方体的表面积和体积的求法；3、理解并掌握体积和容积的联系和区别；4、理解并掌握水中浸物问题的解决方法。

【基础知识回顾】考点一、长方体和正方体的认识；1、长方体的认识（1）长方体一般是由6个长方形（特殊情况下会有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。

（2）相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高2、正方体的认识（1）正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，所有的棱长都相等。

3、长方体和正方体的联系与区别：（1）联系：①长方体和正方体都有6个面，8个顶点，12条棱②正方体是特殊的长方体，正方体是长，宽，高都相等的长方体，可以用下图表示长方体和正方体的关系：（2）区别：正方体的棱长都相等，而长方体的相对的棱长相等。

【练习一】1、判断：（1）长方体的六个面一定是长方形。

（）（2）正方体是由6个完全相同的正方形组成的图形。

（）（3）一个长方体（不含正方体），最多有四个面面积相等。

（）（4）六块完全一样的长方形纸片可以围成一个长方体．（）（5）4个同样大的小正方体可拼成一个大的正方体．()（6）因为正方体的每个面都是正方形，所以长方体的每个面一定是长方形．()2、用一根长132厘米的铁丝,围成一个正方体的模型,棱长应是( )厘米,如果围成一个长方体的模型,长、宽、高的和是( )厘米。

3、要焊接一个长10厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体框架，要准备10厘米，8厘米，6厘米的铁丝各（）根。

4、一个正方体纸盒的棱长是7厘米，这个纸盒的棱长总和是（）厘米。

5、一个正方体每个面的面积都是9平方厘米，这个正方体的棱长总和是（）厘米。

6、下图是一个正方体的展开图，其中1号面面对的是（）号，2号面相对的是（）号，3号面相对的是（）号。

7、现有一根长150厘米的铁丝，用这根铁丝焊接成一个正方体框架，还剩6厘米铁丝，这个正方体框架的棱长是多少厘米？（接头处忽略不计）8、一根铁丝，可以做成长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体框架，如果用它来做一个正方体框架，做成的正方体框架棱长是多少厘米？9、一个长方体的12条棱的总长度是104厘米，已知它的长是13厘米，宽是10厘米，高是多少厘米？10、用两个相同的正方体木块拼成一个长方体，棱长之和减少了24厘米，这两个正方体木块原来的棱长总和是多少？11、一个长方体木块被截成了两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了16厘米，求原来长方体的长是多少厘米？12、用三个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长和是180厘米，原来一个正方体的棱长和是多少厘米？考点二、长方体和正方体的表面积1、正方体和长方体的展开图2、表面积的定义：长方体或正方体6个面的面积叫做它的表面积3、长方体的表面积公式：（长×宽+宽×高+长×高）×2正方体的表面积公式：棱长×棱长×6【练习二】1、判断（1）长方体相邻相个面的面积一定相等。

人教版五年级春季第六讲《长方体和正方体下》知识点1、表面积与体积的应用思考：观察下图，把一个正方体切一刀，表面积会（增加）（填增加或减少），增加（2）个截面提问：假如切两刀，会增加几个面呢？切三刀呢？这个正方体被切了2刀，增加了4个面。

这个正方体被切了3刀，增加了6个面。

总结：每切一刀，都会多两个截面，即“一刀多两面”思考：一个高为6厘米的大长方体被切成3个小长方体，表面积增加了160平方厘米，那么5个这样的大长方体的体积之和是多少立方厘米？分析：由图，共切了2刀，增加了4个面那么长方体的底面积是160÷4＝40平方厘米。

则1长方体的体积为40×6＝240立方厘米5个长方体的体积为240×5＝1200立方厘米思考：观察下图，把两个正方体拼成一个长方体，要拼1次；面是增加了还是减少了？减少了，减少了2个面观察上图，把三个正方体拼成一个长方体，要拼_2_次;面是增加了还是减少了?减少了;减少了 4_个面;提问在这个过程中，你发现了什么规律?总结：把若干个相同的正方体(或长方体)拼在一起拼1次会减少2个面，即:一拼少两面。

思考把两个长为4厘米的长方体按照如图所示的方式拼成一个大长长方体，表面积减少了12平方厘米，那么这大长方体的体积是多少立方厘米?步骤 1、拼了_1_次;2、减少了_2_个面;3、每个面的面积是_12÷2=6_平方厘米4、这个大长方体的体积是 6x(4+4)=48 立方厘米。

总结：一拼少两面，用减少的表面积除以减少的面的个数来求一个面的面积，再利用底面积x高求体积。

练习:一个长为8厘米的大长方体从中间截断表面积增加了56 平方厘米，那么原大长方体的体积是 224 立方厘米复习:还记得如何求长方体和正方体的表面积吗?答案:长方体表面积-(长x宽+长x高+宽x高)x2正方体表面积-棱长x棱长x6思考有一张长40厘米、宽30厘米的长方形纸片，从四个角各剪去一个边长为5厘米的正方形，做成一个长方体无盖纸盒，该纸盒的体积是多少立方厘米?分析；观察上图，长方体纸盒的长是40-5x2=30 厘米宽是30-5x2=20_厘米，高_5_厘米体积是 30x20x5=3000 立方厘米。

长方体和正方体知识和典型问题汇总一、长方体和正方体的认识知识点1：个、4个、5个面是正方形！练习：一、判断并改正：1、长方体的六个面一定是长方形；( )2、正方体的六个面面积一定相等； ( )3、一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等； ( )4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。

( )7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。

( )8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。

( )9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。

（ ）10、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。

（ ）11、长方体和正方体最多可以看到3个面。

（ ）12、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。

（ ）13、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。

（ ）14、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。

（ ）二、填空：1、一个长方体最多有（ ）个面是正方形，最多有（ ）条棱长度相等。

2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（ ）形。

3、正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（ ），它的六个面都是相等的（ ）形。

4、把长方体放在桌面上，最多可以看到（ ）个面。

最少可以看到（ ）个面。

【知识点2】棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）×长+宽+高=棱长和÷4长方体棱长和=下面周长×2+高×4长方体棱长和=右面周长×2+长×4长方体棱长和=前面周长×2+宽×4正方体棱长和=棱长×棱长=棱长和÷12棱长和的变形：例：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的，因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。

长⽅体和正⽅体知识点+例题+习题第1节长⽅体和正⽅体的认识典型例题例1．⼀个长⽅体长8厘⽶，宽6厘⽶，⾼4厘⽶，它的棱长总和是多少厘⽶？分析：根据长⽅体的特征，它相对的棱（3组，每组4条）的长度相等，那么长⽅体的棱长和等于长、宽、⾼的4倍．解：（8＋6＋4）×4＝18×4＝72（厘⽶）答：它的棱长总和是72厘⽶．例2．⽤⼀根48厘⽶的铁丝焊接成⼀个最⼤的正⽅体框架，这个框架的每条边应该是多少厘⽶？分析：根据正⽅体的特征，它的12条棱长都相等，把48厘⽶平均分成12份，每份就是⼀条棱的长度．解：48÷12＝4（厘⽶）答：这个框架的每条边应该是4厘⽶．例3．⽤棱长1厘⽶的⼩正⽅体摆成稍⼤⼀些的正⽅体，⾄少需要多少个⼩正⽅体？分析：题⽬要求⾄少要多少个棱长为1厘⽶的⼩正⽅体，那么拼成的棱长应尽量⼩，所以应该考虑棱长为2的⽴⽅体，体积是8⽴⽅厘⽶，所以要8个．解：2×2×2＝8（个）答：⾄少需要8个⼩正⽅体．例4．将下⾯的硬纸板按照虚线折成⼀个⽴⽅体，哪个⾯与哪个⾯相对？分析：通过实验可以看到带有标号的⾯7与10，⾯8与11，⾯9与12是相对的⾯．例5．⼀个正⽅体的六个⾯上，分别写着“1”“2”“3”“4”“5”“6”．根据下⾯摆放的三种情况，判断出每个对⾯上的数字是⼏？分析：正⽅体有6个⾯，每⼀个⾯有⼀个相对的⾯，⽽与其余四个⾯相邻．解题时我们如果抓住这⼀特征，确定某⼀个⾯与哪四个⾯相邻，于是就不难判断出这⼀⾯相对的⾯上的数字是⼏了．即排除包括⾃⼰在内的五个数字，剩下的就是与某⼀⾯相对的⾯上数字了．先以“3”为例：从上⾯左图可以看出，“3”⾯与“2”⾯、“1”⾯相邻；从中图可以看出．“3”⾯⼜与“4”⾯、“5”⾯相邻．这就是说，“3”⾯与“1”⾯、“2”⾯、“4”⾯和“5”⾯这四个⾯相邻．那么，就可以很快知道，“3”⾯与“6”⾯相对．再来看“1”⾯：从上⾯左图可看出，“1”⾯与“2”⾯“3”⾯相邻；从右图可看出，“1”⾯⼜与“6”⾯“4”⾯相邻，这就是说，与“1”相邻的四个⾯，是“2”⾯、“3”⾯、“4”⾯和“6”⾯，那么，与“1”⾯相对的⾯就只能是“5”⾯了．最后看“4”⾯：从上⾯中图可以看出，“4”⾯与“3”⾯、“5”⾯相邻；从右图可以看出，“4”⾯⼜与“1”⾯“6”⾯相邻．这就是说，与“4”⾯相邻的四个⾯，是“1”⾯、“3”⾯、“5”⾯和“6”⾯，于是可知，与“4”⾯相对是⾯是“2”⾯．所以题⽬的结论是：这个正⽅体上相对的⾯，分别是“1”⾯和“5”⾯、“2”⾯和“4”⾯、“3”⾯和“6”⾯．解：这个正⽅体上相对的⾯，分别是“1”⾯和“5”⾯、“2”⾯和“4”⾯、“3”⾯和“6”⾯．习题精选⼀、填空．1．长⽅体有（）个⾯，它们⼀般都是（）形，也可能有（）个⾯是正⽅形．2．长⽅体的上⾯和下⾯、前⾯和后⾯、左⾯和右⾯都叫做（），它们的⾯积（）．3．长⽅体的12条棱，每相对的（）条棱算作⼀组，12条棱可以分成（）组．4．正⽅体有（）个⾯，每个⾯都是（）形，⾯积都（）．5．⼀个正⽅体的棱长是6厘⽶，它的棱长总和是（）．6．⼀个长⽅体的长是1.5分⽶，宽是1.2分⽶，⾼是1分⽶，它的棱长和是（）分⽶．7．⼀个长⽅体的棱长总和是80厘⽶，其中长是10厘⽶，宽是7厘⽶，⾼是（）厘⽶．8．把两个棱长1厘⽶的正⽅体拼成⼀个长⽅体，这个长⽅体的棱长总和是（）厘⽶．⼆、判断题．1．长⽅体和正⽅体都有6个⾯，12条棱，8个顶点．（）2．长⽅体的6个⾯不可能有正⽅形．（）3．长⽅体的12条棱中，长、宽、⾼各有4条．（）4．正⽅体不仅相对的⾯的⾯积相等，⽽且所有相邻的⾯的⾯积也都相等．（）5．长⽅体（不包括正⽅体）除了相对的⾯相等，也可能有两个相邻的⾯相等．（）6．⼀个长⽅体长12厘⽶，宽8厘⽶，⾼7厘⽶，把它切成⼀个尽可能⼤的正⽅体，这个正⽅体的棱长是8厘⽶．（）三、选择题．1．下列物体中，形状不是长⽅体的是（）①⽕柴盒②红砖③茶杯④⽊箱2．长⽅体的12条棱中，⾼有（）条．①4②6③8④123．下列三个图形中，能拼成正⽅体的是（）4．把⼀个棱长3分⽶的正⽅体切成两个相等的长⽅体，增加的两个⾯的总⾯积是（）平⽅分⽶．①18②9③36④以上答案都不对参考答案⼀、填空．1．6 长⽅形 22．相对⾯相等3．4 34．6 正⽅形相等5．72厘⽶6．14.87．38．16⼆、判断题．1．√ 2．× 3．√4．√ 5．√ 6．×三、选择题．1．③2．①3．①和③4．①第2节长⽅体和正⽅体的表⾯积例1．⼀种有盖的长⽅体铁⽪盒，长8厘⽶，宽5厘⽶，⾼3厘⽶．做25个这样的盒⼦⾄少需要多少平⽅⽶铁⽪？（不计接⼝⾯积）分析：根据长⽅体表⾯积的计算⽅法，先求出⼀个盒⼦需要的铁⽪数量，然后就可以求出25个这样的盒⼦需要的铁⽪数量．解：（8×5＋8×3＋5×3）×2×25＝158×25＝3950（平⽅厘⽶）＝0.395（平⽅⽶）答：⾄少需要0.395平⽅⽶的铁⽪．例2．⼀个长⽅体，表⾯积是456平⽅厘⽶，它的底⾯是⼀个边长为4厘⽶的正⽅形，它的⾼是多少厘⽶？分析：题⽬中给出这个长⽅体底⾯是⼀个边长为4厘⽶的正⽅形，说明这个长⽅体是有两个相对的⾯是正⽅形的，其余4个⾯是⾯积相等的长⽅形，只要我们求出⼀个长⽅形⾯的⾯积，再⽤⾯积除以底⾯的边长，就算出了长⽅体的⾼了．这也是利⽤长⽅体的特征，逆解题⽬．解：456－4×4×2＝424（平⽅厘⽶）424÷4＝106（平⽅厘⽶）106÷4＝26.5（厘⽶）答：它的⾼是26.5厘⽶．例3．⼀个教室长8⽶，宽6⽶，⾼3.5⽶，要粉刷教室的墙壁和天花板．门窗和⿊板的⾯积是22平⽅⽶，平均每平⽅⽶⽤涂料0.25千克，粉刷这个教室共需要涂料多少千克？分析：求需要涂料多少千克，必须先求出实际粉刷的⾯积．长⽅体的表⾯积去掉门窗、⿊板和地⾯的⾯积就是实际粉刷的⾯积．解：（1）粉刷的⾯积为：（8×6＋8×3.5＋6×3.5）×2－8×6－22＝（48＋28＋21）×2－48－22＝97×2－48－22＝194－48－22＝124（平⽅⽶）（2）需要涂料的重量为：0.25×124＝31（千克）答：粉刷这个教室共需要涂料31千克．例4．将⼀个长12厘⽶，宽9厘⽶，⾼5厘⽶的长⽅体，切成两个长⽅体，两个长⽅体表⾯积的总和最多是多少平⽅厘⽶？最少是多少平⽅厘⽶？分析：切割长⽅体⼀次，原来的表⾯积增加两个⾯的⾯积，要使切开后的两个长⽅体表⾯积的总和最多（少），必须使横截⾯的⾯积最⼤（⼩）．解：（12×9＋12×5＋9×5）×2＋12×9×2＝（108＋60＋45）×2＋216＝213×2＋216＝642（平⽅厘⽶）（12×9＋12×5＋9×5）×2＋9×5×2＝（108＋60＋45）×2＋90＝213×2＋90＝516（平⽅厘⽶）答：两个长⽅体表⾯积的总和最多是642平⽅厘⽶，最少是516平⽅厘⽶．例5．⼀个正⽅体，棱长的总和是96厘⽶．这个正⽅体的表⾯积是多少？分析：因为正⽅体的12根棱长都相等，所以可知，这个正⽅体的棱长是96÷12＝8（厘⽶）．⼜由于正⽅体有相等的6个⾯，每个都是正⽅形．解：8×8×6＝384（平⽅厘⽶）答：这个正⽅体的表⾯积是384平⽅厘⽶．例6．做两个同样的正⽅体纸盒，⼀个有盖⼀个⽆盖，有盖纸盒⽤的纸板是⽆盖纸盒的多少倍？分析：有盖纸盒的表⾯积是它的⼀个⾯⾯积的6倍，⽆盖纸盒的表⾯积是它的⼀个⾯⾯积的5倍，⽽两个同样的正⽅体纸盒的⾯的⾯积是相等的，所以有盖纸盒⽤的纸板是⽆盖纸盒的6÷5＝1.2倍．解：6÷5＝1.2答：有盖纸盒⽤的纸板是⽆盖纸盒的1.2倍．习题精选⼀、填空题1．（1）下图上、下每个⾯的长（）厘⽶，宽（）厘⽶，⾯积是（）；（2）前、后每个⾯的长是（）厘⽶，宽是（）厘⽶，⾯积是（）；（3）左、右每个⾯的长是（）厘⽶，宽是（）厘⽶，⾯积是（）．（4）它的表⾯积是（）．2．（1）下图中上⾯的⾯积是（），前⾯的⾯积是（），右⾯的⾯积是（）；（2）计算它的表⾯积的算式是（）．⼆、计算题求下⾯各长⽅体的表⾯积：1．长6⽶，宽3⽶，⾼2⽶．2．长8分⽶，宽4.5分⽶，⾼2分⽶．3．长和宽都是6厘⽶，⾼3.4厘⽶．三、应⽤题1．做⼀个长⽅体的纸箱，长0.8⽶，宽0.6⽶，⾼0.4⽶．做这个纸箱⾄少需要纸板多少平⽅⽶？2．⼀个正⽅体的⽊箱，棱长5分⽶，在它的表⾯涂漆，涂漆的⾯积是多少？如果每平⽅分⽶⽤漆8克，涂这个⽊箱要⽤漆多少克？合多少千克？3．⼀个长⽅体的铁⽪盒，长25厘⽶，宽20厘⽶，⾼8厘⽶．做这个铁⽪盒⾄少要⽤多少平⽅厘⽶铁⽪？参考答案⼀、1．（1）下图上、下每个⾯的长（ 9 ）厘⽶，宽（ 3 ）厘⽶，⾯积是（27平⽅厘⽶）；（2）前、后每个⾯的长是（ 9 ）厘⽶，宽是（ 4 ）厘⽶，⾯积是（36平⽅厘⽶）；（3）左、右每个⾯的长是（ 4 ）厘⽶，宽是（ 3 ）厘⽶，⾯积是（12平⽅厘⽶）．（4）它的表⾯积是：9×3＋9×4＋4×3）×2＝150（平⽅厘⽶）．2．（1）下图中上⾯的⾯积是（36平⽅分⽶），前⾯的⾯积是（48平⽅分⽶），右⾯的⾯积是（48平⽅分⽶）；（2）计算它的表⾯积的算式是：6×6×2＋6×8×4＝264（平⽅分⽶）．⼆、1．（6×3＋6×2＋3×2）×2＝72（平⽅⽶）2．（8×4.5＋8×2＋4.5×2）×2＝122（平⽅分⽶）3．6×6×2＋6×3.4×4＝153.6（平⽅厘⽶）三、1．（0.8×0.6＋0.8×0.4＋0.6×0.4）×2＝2.08（平⽅⽶）答：⾄少需要纸板2.08平⽅⽶．2．5×5×6＝150（平⽅分⽶）答：涂漆的⾯积是150平⽅分⽶．8×150＝1200（克）＝1.2（千克）答：要⽤漆1200克，合1.2千克．3．（25×20＋25×8＋20×8）×2＝1720（平⽅厘⽶）答：⾄少要⽤1720平⽅厘⽶铁⽪．第3节长⽅体和正⽅体的体积（⼀）典型例题例1．把⼀个棱长6分⽶的正⽅体钢坯，锻造成⼀个宽3分⽶，⾼2分⽶的长⽅体钢件，这个钢件长多少分⽶？分析：把正⽅体钢坯锻造成长⽅体钢件，形状改变了，但是体积没有改变，即正⽅体的体积和长⽅体的体积相等．已知长⽅体的宽和⾼，⽤体积除以宽，要再除以⾼，就可以求出长．解：6×6×6÷3÷2＝216÷3÷2＝36（分⽶）答：这个钢件的长是36分⽶．例2．⼀个正⽅体的铁⽪油箱，从⾥⾯量得棱长为6分⽶，⾥⾯装满汽油．如果把这箱汽油全部倒⼊⼀个长10分⽶、宽8分⽶、⾼5分⽶的长⽅体铁⽪油箱中，那么，油⾯离箱⼝还有多少分⽶？分析：根据题意，可先求得正⽅体铁⽪油箱的汽油体积为：6×6×6＝216（⽴⽅分⽶）⽽长⽅体油箱底⾯积是10×8＝80（平⽅分⽶），所以，汽油在长⽅体铁⽪油箱⾥的⾼度是216÷80＝2.7（分⽶）．因此，油⾯离油箱⼝的⾼度就是：5－2.7＝2.3（分⽶）答：油⾯离油箱⼝还有2.3分⽶．例3．⼀段⽅钢长3⽶，横截⾯是⼀个边长为0.4分⽶的正⽅形．如果1⽴⽅分⽶的钢重7.8千克，那么这段⽅钢有多重？分析：题⽬中的长度单位不统⼀，为计算的⽅便，可都化成以分⽶为单位来进⾏计算．解：3⽶＝30分⽶0.4×0.4×30＝4.8（⽴⽅分⽶）7.8×4.8＝37.44（千克）答：这段⽅钢的重量是37.44千克．例4．有沙⼟12⽴⽅⽶，要铺在长5⽶，宽4⽶的房间⾥，可以铺多厚？分析：此题要把12⽴⽅⽶的沙⼟铺在房间⾥，也就是铺成⼀个长5⽶、宽4⽶、厚⽶的长⽅体，我们就可以⽤⽅程法求出所求问题了．这题是⼀道利⽤体积计算公式逆解的题．遇到此类题⽤⽅程法解即可．解：设可铺⽶厚．4×5×＝12＝0.6答：可以铺0.6⽶厚．例5．⼀个长⽅体的底⾯长6厘⽶，长是宽的1.2倍，宽⽐⾼少0.5厘⽶，这个长⽅体的体积是多少⽴⽅厘⽶？分析：这道题要求的是长⽅体的体积，求体积就必须知道长⽅形的长、宽、⾼．此题只直接给出了长，宽和⾼是间接给出的，因此应先⽤求⼀倍量的⽅法求出宽，再根据“求⽐⼀个数多⼏的数是多少”的题型算出⾼，最后⽤公式V＝abh算出体积就可以了．解：6÷1.2＝5（厘⽶）5＋0.5＝5.5（厘⽶）6×5×5.5＝165（平⽅厘⽶）答：这个长⽅体的体积是165平⽅厘⽶．例6．在长为12厘⽶、宽为10厘⽶、8厘⽶深的玻璃缸中放⼊⼀⽯块并没⼊⽔中，这时⽔⾯上升2厘⽶．⽯块的体积是多少？分析：把⽯块浸没在装⽔的长⽅体玻璃缸中，⽯块占有⼀定的空间，从⽽使⽔的体积增⼤，它的具体表现就是⽔⾯上升，不管⽯块的形状如何，只要求出增加的体积就可以了（即⽯块的体积）．解：12×10×2＝240（⽴⽅厘⽶）答：⽯块的体积是240⽴⽅厘⽶．例7．把棱长6厘⽶的正⽅体铁块锻造成宽和⾼都是4厘⽶的长⽅体铁条，能锻造出多长？分析：我们不难看出，棱长6厘⽶的正⽅体和要锻造的长⽅体的体积相等，只不过形状不⼀样，这类题叫等积变形题．只要求出正⽅体的体积就是长⽅体的体积了．解：6×6×6÷4÷4＝13.5（厘⽶）答：能锻造13.5厘⽶长．习题精选⼀、填空题1．物体所占空间的⼤⼩叫做物体的（）．2．计量体积要⽤（）单位，常⽤的体积单位有（）（）和（）．3．棱长1厘⽶的正⽅体体积是（），棱长1分⽶的正⽅体体积是（），棱长1⽶的正⽅体体积是（）．4．长⽅体的体积＝（），正⽅体的体积＝（）．5．在括号⾥填上合适的计量单位．（1）⼀本数学解题题典封⾯的周长是80（），⾯积是375（），体积是1125（）．（2）⼀块橡⽪的体积是6（），⼀只卫⽣保健箱的体积是30（），⼀堆钢材的体积是4（）．⼆、判断题1．⼀块长⽅体⽊料，长6分⽶，宽4分⽶，厚3分⽶．容积是72升．（）2．⼀个游泳池的容积是1000毫升．（）3．⼀个正⽅体的棱长扩⼤2倍，体积就扩⼤8倍．（）4．⼀个长⽅体的⽊箱，它的体积和容积⼀样⼤．（）5．⼀只杯⼦能装⽔1升，杯⼦的容积就是1⽴⽅分⽶．（）三、计算题看图计算下⾯长⽅体和正⽅体的体积．1．2．3．四、应⽤题1．⼀个长⽅体⽊箱，长7分⽶，宽4分⽶，⾼3.5分⽶．这个⽊箱的体积是多少？2．⼀块⽅砖的厚是5厘⽶，长和宽都是30厘⽶．求这块⽅砖的体积．3．⼀块正⽅体⽯料，棱长是0.8⽶．这块⽯料的体积是多少⽴⽅分⽶？五、提⾼题1．下图是由棱长为1厘⽶的⼩正⽅体拼摆⽽成的．这个拼摆⽽成的形体的表⾯积是多少平⽅厘⽶？体积是多少⽴⽅厘⽶？⾄少再摆上⼏个⼩正⽅体后就可以拼摆成⼀个正⽅体？2．⼀个长⽅体玻璃容器，长5分⽶，宽4分⽶，⾼6分⽶，向容器中倒⼊30升⽔，再把⼀块⽯头放⼊⽔中，这时量得容器内的⽔深20厘⽶，⽯头的体积是多少⽴⽅分⽶？参考答案⼀、1．物体所占空间的⼤⼩叫做物体的（体积）．2．计量体积要⽤（体积）单位，常⽤的体积单位有（⽴⽅厘⽶）（⽴⽅分⽶）和（⽴⽅⽶）．3．棱长1厘⽶的正⽅体体积是（1⽴⽅厘⽶），棱长1分⽶的正⽅体体积是（1⽴⽅分⽶），棱长1⽶的正⽅体体积是（1⽴⽅⽶）．4．长⽅体的体积＝（长×宽×⾼），正⽅体的体积＝（棱长×棱长×棱长）．5．在括号⾥填上合适的计量单位．（1）⼀本数学解题题典封⾯的周长是80（厘⽶），⾯积是375（平⽅厘⽶），体积是1125（⽴⽅厘⽶）．（2）⼀块橡⽪的体积是6（⽴⽅厘⽶），⼀只卫⽣保健箱的体积是30（⽴⽅分⽶），⼀堆钢材的体积是4（⽴⽅⽶）．⼆、1．⼀块长⽅体⽊料，长6分⽶，宽4分⽶，厚3分⽶．容积是72升．（× ）2．⼀个游泳池的容积是1000毫升．（× ）3．⼀个正⽅体的棱长扩⼤2倍，体积就扩⼤8倍．（√ ）4．⼀个长⽅体的⽊箱，它的体积和容积⼀样⼤．（× ）5．⼀只杯⼦能装⽔1升，杯⼦的容积就是1⽴⽅分⽶．（√ ）三、1．48×5＝240（⽴⽅厘⽶）2．0.36×0.6＝0.216（⽴⽅⽶）3．9×8＝72（⽴⽅分⽶）四、1．7×4×3.8＝98（⽴⽅分⽶）答：这个⽊箱的体积是98⽴⽅分⽶．2．30×30×5＝4500（⽴⽅厘⽶）答：这块⽅砖的体积是4500⽴⽅厘⽶．3．0.8×0.8×0.8＝0.512（⽴⽅⽶）答：这块⽯料的体积是512⽴⽅分⽶．五、1．（1×1）×48＝48（平⽅厘⽶）（1×1×1）×18＝18（⽴⽅厘⽶）答：表⾯积是48平⽅厘⽶，体积是18⽴⽅厘⽶，⾄少再摆上9个⼩正⽅体就可以拼成⼀个正⽅体．2．5×4×[2－30÷（5×4）] ＝10（⽴⽅分⽶）或5×4×2－30＝10（⽴⽅分⽶）答：⽯头的体积是10⽴⽅分⽶．2-3长⽅体和正⽅体的体积（⼆）典型例题例1．⼀个长⽅体沙坑的长是8⽶，宽是4.2⽶，深是0.6⽶，每⽴⽅⽶沙⼟重1.75吨，填平这个沙坑共要⽤沙⼟多少吨？分析：已知每⽴⽅⽶沙⼟重1.75吨，求共要⽤沙⼟多少吨，必须先求出共要沙⼟多少⽴⽅⽶，即先求出沙坑的容积．解： 1.75×（8×4.2×0.6）＝1.75×20.16＝35.28（吨）答：共要沙⼟35.28吨．例2．长⽅体货仓1个，长50⽶，宽30⽶，⾼5⽶，这个货仓可以容纳8⽴⽅⽶的正⽅体货箱多少个？分析：已知正⽅体货箱的体积是8⽴⽅⽶，可以知道正⽅体货箱的棱长为2⽶．货仓的长是50⽶，所以⼀排可以摆放50÷2＝25个，宽是30⽶，可以摆放30÷2＝15排，⾼是5⽶，可以摆放5÷2＝2层 (1)⽶，所以⼀共可以摆放25×15×2＝750个．（如图）解：50÷2＝25（个）30÷2＝15（排）5÷2＝2层……1⽶25×15×2＝750（个）答：可以容纳8⽴⽅⽶的正⽅体货箱750个．说明：如果此题先计算长⽅体货仓的体积（50×30×5＝7500⽴⽅⽶），然后再除以⽴⽅体的体积8⽴⽅⽶（7500÷8＝937.5个）是不对的．因为货仓的⾼是5⽶，⽴⽅体的棱长2⽶，只能摆放2层，上⾯的1⽶实际上是空的，没有摆放货箱．例3．⼀只底⾯是正⽅形的长⽅体铁箱，如果把它的侧⾯展开，正好得到⼀个边长是60厘⽶的正⽅形．（1）这只铁箱的容积是多少升？（2）如果铁箱内装半箱⽔，求与⽔接触的⾯的⾯积．分析：（1）根据侧⾯展开后是⼀个边长为60厘⽶的正⽅形，可以得出长⽅形的底⾯（正⽅形）的周长是60厘⽶，⾼也是60厘⽶．由底⾯（正⽅形）的周长可以求出底⾯的⾯积．从⽽求出容积．（2）与⽔接触的⾯的⾯积是原长⽅体的侧⾯积的⼀半加上⼀个底⾯积．⽽侧⾯积是边长60厘⽶的正⽅形的⾯积，底⾯积上⾯已经求出．解：（1）×60＝225×60＝13500（⽴⽅厘⽶）（2）60×60÷2＋＝1800＋225＝2025（平⽅厘⽶）答：这只铁箱的容积是13.5升，如果装半箱⽔，与⽔接触的⾯积是2.25平⽅厘⽶．例4．有⼀个空的长⽅体容器和⼀个⽔深24厘⽶的长⽅体容器，将容器的⽔倒⼀部分到，使两容器⽔的⾼度相同，这时两容器相同的⽔深为⼏厘⽶？分析1：容器的底⾯积是40×30，容器的底⾯积是30×20，40×30÷（30×20）＝2，即的底⾯积是的底⾯积的2倍，中的⽔倒⼀部分到使、两容器⽔的⾼度相同，所以这个⽔深为24÷（2＋1）＝8厘⽶．解法1：24÷[40×30÷（30×20）＋1 ]＝24÷3＝8（厘⽶）分析2：设这个相同的⽔深为厘⽶，则中倒出的⽔深为（24－）厘⽶，倒出的⽔为30×20×（24－）⽴⽅厘⽶，这些⽔就全部在中，中的⽔有40×30×⽴⽅厘⽶，故可得⽅程．解法2：设这个相同的⽔深为厘⽶．40×30×＝30×20×（24－）24－＝40×30×÷（30×20）24－＝23＝24＝8答：这个相同的⽔深是8厘⽶．例5．⼀个正⽅体⽊头，棱长是6厘⽶，在6个⾯的中央各挖⼀个长、宽、⾼都是2厘⽶的洞孔，这时它的表⾯积、体积各是多少？分析：表⾯积等于正⽅体表⾯积加上6个洞孔的4个⾯的⾯积；体积等于正⽅体的体积减去6个洞孔的体积．解：表⾯积为：6×6×6＋2×2×4×6＝216＋96＝312（平⽅厘⽶）体积为：6×6×6－2×2×2×6＝216－48＝168（⽴⽅厘⽶）答：表⾯积为312平⽅厘⽶，体积为168⽴⽅厘⽶．例6．有⼀块宽为22厘⽶的长⽅形铁⽪，在四⾓上剪去边长为5厘⽶的正⽅形后（如图⼀），将它焊成⼀个⽆盖的长⽅体盒⼦（如图⼆），已知这个盒⼦的体积是2160⽴⽅厘⽶，求原来这块铁⽪的⾯积是多少平⽅厘⽶？分析：已知盒⼦的体积是2160⽴⽅厘⽶，⾼为5厘⽶，这个盒⼦的底⾯积就可以求出，⽽这个盒⼦的底⾯长⽅形的宽为22－5×2＝12（厘⽶），所以这底⾯长⽅形的长也可以求出．解：长⽅体盒⼦的长为：2160÷5÷（22－5×2）＝432÷12＝36（厘⽶）铁⽪的⾯积为：（36＋5×2）×22＝46×22＝1012（平⽅厘⽶）答：原来这块铁⽪的⾯积是1012平⽅厘⽶．习题精选⼀⼀、填空．1、40⽴⽅⽶＝（）⽴⽅分⽶4⽴⽅分⽶5⽴⽅厘⽶＝（）⽴⽅分⽶30⽴⽅分⽶＝（）⽴⽅⽶0.85升＝（）毫升2100毫升＝（）⽴⽅厘⽶＝（）⽴⽅分⽶0.3升＝（）毫升＝（）⽴⽅厘⽶2、⼀个正⽅体的棱长和是12分⽶，它的体积是（）⽴⽅分⽶．3、⼀个长⽅体的体积是30⽴⽅厘⽶，长是5厘⽶，⾼是3厘⽶，宽是（）厘⽶．4、⼀个长⽅体的底⾯积是0.2平⽅⽶，⾼是8分⽶，它的体积是（）⽴⽅分⽶．5、表⾯积是54平⽅厘⽶的正⽅体，它的体积是（）⽴⽅厘⽶．6、正⽅体的棱长缩⼩3倍，它的体积就缩⼩（）倍．7、⼀个长⽅体框架长8厘⽶，宽6厘⽶，⾼4厘⽶，做这个框架共要（）厘⽶铁丝，是求长⽅体（），在表⾯贴上塑料板，共要（）塑料板是求（），在⾥⾯能盛（）升⽔是求（），这个盒⼦有（）⽴⽅⽶是求（）．8、长⽅体的长是6厘⽶，宽是4厘⽶，⾼是2厘⽶，它的棱长总和是（）厘⽶，六个⾯种最⼤的⾯积是（）平⽅厘⽶，表⾯积是（）平⽅厘⽶，体积是（）⽴⽅厘⽶．⼆、判断．1、体积单位⽐⾯积单位⼤，⾯积单位⽐长度单位⼤．（）2、正⽅体和长⽅体的体积都可以⽤底⾯积乘⾼来进⾏计算．（）3、表⾯积相等的两个长⽅体，它们的体积⼀定相等．（）4、长⽅体的体积就是长⽅体的容积．（）5、如果⼀个长⽅体能锯成四个完全⼀样的正⽅体，那么长⽅体前⾯的⾯积是底⾯积的4倍．（）三、选择．1、正⽅体的棱长扩⼤2倍，则体积扩⼤（）倍．①2 ②4 ③6 ④82、⼀根长⽅体⽊料，长1.5⽶，宽和厚都是2分⽶，把它锯成4段，表⾯积最少增加（）平⽅分⽶．①8 ②16 ③24 ④323、⼀个长⽅体的长、宽、⾼都扩⼤2倍，它的体积扩⼤（）倍．①2 ②4 ③6 ④84、表⾯积相等的长⽅体和正⽅体的体积相⽐，（）．①正⽅体体积⼤②长⽅体体积⼤③相等5、将⼀个正⽅体钢坯锻造成长⽅体，正⽅体和长⽅体（）．①体积相等，表⾯积不相等②体积和表⾯积都不相等．③表⾯积相等，体积不相等．6、⼀个菜窖能容纳6⽴⽅⽶⽩菜，这个菜窖的（）是6⽴⽅⽶．①体积②容积③表⾯积参考答案⼀、填空．1、40000； 4.005； 850； 2100、2.1； 300、3002、13、24、16005、276、277、72、棱长和、208、表⾯积、0.192、容积、0.192、体积8、48、24、88、48⼆、判断．1、×2、√3、×4、×5、×三、选择．1、④2、③3、④4、①5、①6、②⼆⼀、填表．⼆、计算下图的体积（单位：分⽶）．三、应⽤题．1、⼀块⽔泥砖长8厘⽶，宽6厘⽶，厚4厘⽶，它的体积是多少⽴⽅厘⽶？2、⼀个正⽅体⽊块，棱长6分⽶，已知每⽴⽅分⽶⽊重0.4千克，这个⽊块重多少千克?3、把⼀块棱长是20厘⽶的正⽅体钢坯，锻造成底⾯积是16平⽅厘⽶的长⽅体钢材，长⽅体钢材长多少厘⽶？参考答案⼀、填表．⼆、计算下图的体积．（单位：分⽶）1、8×4×5＝160（⽴⽅分⽶）2、3×3×7＝63（⽴⽅分⽶）3、2.5×2.5×2.5＝15.625（⽴⽅分⽶）三、应⽤题．1、8×6×4＝192（⽴⽅厘⽶）答：它的体积是192⽴⽅厘⽶．2、6×6×6＝216（⽴⽅分⽶）0.4×216＝86.4（千克）答：这个⽊块重86.4千克．3、20×20×20÷16＝8000÷16＝500（厘⽶）答：钢材长500厘⽶．。