北理工《概率论与数理统计》课程学习资料(一)29

《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A,B 同时发生时,事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下,进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率:设E 是随机试验，S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞)2．概率的一些重要性质： (i ） 0)(=φP（ii)若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞)（iii)设A,B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型)等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义:设A ，B 是两个事件,且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
若事件A1, A2 ,..., An满足 : (1) A1 A2 ... An (2) Ai Aj (i j) 则称A1, A2 ,..., An为完备事件组.
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§1.1 样本空间与随机事件
事件的运算法则
1.交换律
AB B A ; AB B A
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§1.2 概率的直观定义
A={某指定的n个房间中各有一个人住}
P( A)
n! Nn
B={恰好有n个房间，其中各住一人}
P(B)
C
n N
N
n!
n
N! N n ( N n)!
C={某指定的一间房中恰好有m (m<n)人}
P(C )
Cnm ( N 1)nm Nn
Cnm
1 N
m
1
1 N
2.结合律
A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C
3.分配律
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
4.对偶原则 A B A B ; A B A B
概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
者 实验者实验者 掷币 实次 验数 者掷币 n 次掷数币n次出 数现掷n正币面次 出次数 现数正n出m面现次正数面m次出数现频正 m率面fn次(频 A数)率mfn频(A率) fn(A)频 弗 隶莫弗隶莫弗 隶20莫48弗 2048 2048 12006418 1061 1061 0.15016811 0.51810.5181 0
则称P(A)为事件A的概率。
概率论与数理统计
§1.3 概率的公理化定义

1.定义 如果试验 E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即 S={e1,e2,…,e n};(2)每一个基本事
件的概率相等,即 P(e1)=P(e2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.
2.计算公式 P(A)=k / n 其中 k 是 A 中包含的基本事件数, n 是 S 中包含的基本事件总数.
P(A)=0 .
(2)有限可加性 对于 n 个两两互不相容的事件 A1,A2,…,An , P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)
(3)若 A B, 则 P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) .
(4)对于任一事件 A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .
y
fX
hyhy
0
y
其它
其中h(y)是 g(x)的反函数 , = min (g (-),g ()) = max (g (-),g ()) .
如果 f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 = min (g (a),g (b)) = max (g (a),g (b)) .
第三章 二维随机变量及其概率分布
n PB
PA
i
B
i
.
i 1
六.事件的独立性
2
学海无 涯
1.两个事件 A,B,满足 P(AB) = P(A) P(B)时,称 A,B 为相互独立的事件.
(1)两个事件 A,B 相互独立 P(B)= P (B|A) .
(2)若 A 与 B,A 与 B , A与 B, , A 与 B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.

统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理概率论与数理统计是统计学的基础课程之一，也是应用最为广泛的数学工具之一。

下面将对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，以供复习使用。

一、概率论的基本概念1. 样本空间和事件：样本空间是指随机试验的所有可能结果构成的集合，事件是样本空间的子集。

2. 古典概型和几何概型：古典概型是指样本空间中的每个结果具有相同的概率，几何概型是指采用几何方法进行分析的概率模型。

3. 概率公理和条件概率：概率公理是概率论的基本公理，条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

4. 独立事件和全概率公式：独立事件是指两个事件的发生与否互不影响，全概率公式是用于计算复杂事件的概率的公式。

5. 随机变量和概率分布函数：随机变量是对样本空间中的每个结果赋予一个数值，概率分布函数是随机变量的分布情况。

二、概率分布的基本类型1. 离散型概率分布：包括二项分布、泊松分布和几何分布等。

2. 连续型概率分布：包括正态分布、指数分布和均匀分布等。

三、多维随机变量及其分布1. 边缘分布和条件分布：边缘分布是指多维随机变量中的某一个或几个变量的分布，条件分布是指在已知某些变量取值的条件下，其他变量的分布。

2. 二维随机变量的相关系数：相关系数用于刻画两个随机变量之间的线性关系的强度和方向。

3. 多维随机变量的独立性：多维随机变量中的各个分量独立时，称为多维随机变量相互独立。

四、参数估计与假设检验1. 参数估计方法：包括点估计和区间估计，点估计是通过样本数据得到参数的估计值，区间估计是对参数进行一个范围的估计。

2. 假设检验的基本概念：假设检验是用于对统计推断的一种方法，通过与某个假设进行比较来得出结论。

3. 假设检验的步骤：包括建立原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量和做出统计决策等步骤。

五、回归分析与方差分析1. 简单线性回归分析：简单线性回归分析是研究两个变量之间的线性关系的方法，通过建立回归方程来拟合数据。