第3课时 圆周运动考纲解读 1.掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系.2.理解向心力公式并能应用．1．[匀速圆周运动的条件和性质]质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是 ( )A ．速度的大小和方向都改变B ．匀速圆周运动是匀变速曲线运动C ．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动D ．向心加速度大小不变，方向也不改变 答案 C解析 匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A 错；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B 、D 错；由匀速圆周运动的条件可知，C 对． 2．[圆周运动的相关公式]关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是( )A ．由a ＝v 2r 知，a 与r 成反比B ．由a ＝ω2r 知，a 与r 成正比C ．由ω＝vr 知，ω与r 成反比D ．由ω＝2πn 知，ω与转速n 成正比 答案 D解析 由a ＝v 2r 知，只有在v 一定时，a 才与r 成反比，如果v 不一定，则a 与r 不成反比，同理，只有当ω一定时，a 才与r 成正比；v 一定时，ω与r 成反比；因2π是定值，故ω与n 成正比．3．[向心力来源分析]如图1所示，水平的木板B 托着木块A 一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a 沿逆时针方向运动到最高点b 的过程中( ) A ．B 对A 的支持力越来越大 B ．B 对A 的支持力越来越小 C ．B 对A 的摩擦力大小不变 D ．B 对A 的摩擦力越来越大 答案 B解析 因做匀速圆周运动，所以其向心力大小不变，方向始终指向圆心，故对木块A ，在a →b 的过程中，竖直方向的分加速度向下且增大，而竖直方向的力是由A 的重力减去B 对A 的支持力提供的，因重力不变，所以支持力越来越小，即A 错，B 对；在水平方向上A 的加速度向左且减小，至b 时减为0，因水平方向的加速度是由摩擦力提供的，故B 对A 的摩擦力越来越小，所以C 、D 错．一、描述圆周运动的物理量1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．v ＝Δs Δt ＝2πr T.2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．ω＝ΔθΔt ＝2πT.3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．T ＝2πr v ，T ＝1f.4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．a n ＝rω2＝v 2r ＝ωv ＝4π2T2r .5．向心力：作用效果产生向心加速度，F n ＝ma n . 6．相互关系：(1)v ＝ωr ＝2πTr ＝2πrf .(2)a n ＝v 2r ＝rω2＝ωv ＝4π2T 2r ＝4π2f 2r .(3)F n ＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝mr 4π2T 2＝mr 4π2f 2.二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动 1．匀速圆周运动(1)定义：线速度大小不变的圆周运动 .(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动． (3)质点做匀速圆周运动的条件合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 2．非匀速圆周运动(1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动． (2)合力的作用①合力沿速度方向的分量F t 产生切向加速度，F t ＝ma t ，它只改变速度的方向．②合力沿半径方向的分量F n 产生向心加速度，F n ＝ma n ，它只改变速度的大小.考点一 圆周运动中的运动学分析1．对公式v ＝ωr 的理解当r 一定时，v 与ω成正比． 当ω一定时，v 与r 成正比． 当v 一定时，ω与r 成反比． 2．对a ＝v 2r＝ω2r ＝ωv 的理解在v 一定时，a 与r 成反比；在ω一定时，a 与r 成正比． 特别提醒 在讨论v 、ω、r 之间的关系时，应运用控制变量法．例1 如图2所示，轮O 1、O 3固定在同一转轴上，轮O 1、O 2用皮带连接且不打滑．在O 1、O 2、O 3三个轮的边缘各取一点A 、B 、C ，已知三个轮的半径比r 1∶r 2∶r 3＝2∶1∶1，求：图2(1)A 、B 、C 三点的线速度大小之比v A ∶v B ∶v C ； (2)A 、B 、C 三点的角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ； (3)A 、B 、C 三点的向心加速度大小之比a A ∶a B ∶a C .解析 (1)令v A ＝v ，由于皮带转动时不打滑，所以v B ＝v .因ωA ＝ωC ，由公式v ＝ωr 知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故v C ＝12v ，所以v A ∶v B ∶v C ＝2∶2∶1.(2)令ωA ＝ω，由于共轴转动，所以ωC ＝ω.因v A ＝v B ，由公式ω＝vr 知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故ωB ＝2ω.所以ωA ∶ωB ∶ωC ＝1∶2∶1.(3)令A 点向心加速度为a A ＝a ，因v A ＝v B ，由公式a ＝v 2r 知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以a B ＝2a .又因为ωA ＝ωC ，由公式a ＝ω2r 知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比，故a C ＝12a .所以a A ∶a B ∶a C ＝2∶4∶1.答案 (1)2∶2∶1 (2)1∶2∶1 (3)2∶4∶11．高中阶段所接触的传动主要有：(1)皮带传动(线速度大小相等)；(2)同轴传动(角速度相等)；(3)齿轮传动(线速度大小相等)；(4)摩擦传动(线速度大小相等)．2．传动装置的特点：(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．突破训练1如图3所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是()图3A．a、b和c三点的线速度大小相等B．b、c两点的线速度始终相同C．b、c两点的角速度比a点的大D．b、c两点的加速度比a点的大答案 D解析当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，a、b和c三点的角速度相同，a半径小，线速度要比b、c的小，A、C错；b、c两点的线速度大小始终相同，但方向不相同，B错；由a＝ω2r可得b、c两点的加速度比a点的大，D对．考点二圆周运动中的动力学分析1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力．例2如图4所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：图4(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小； (2)当物块在A 点随筒匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度． 解析 (1)物块静止时，对物块进行受力分析如图所示，设筒壁与水平面 的夹角为θ. 由平衡条件有Ff ＝mg sin θ，F N ＝mg cos θ 由图中几何关系有 cos θ＝R R 2＋H 2，sin θ＝HR 2＋H 2 故有F f ＝mgH R 2＋H 2，F N＝mgRR 2＋H 2(2)分析此时物块受力如图所示，由牛顿第二定律有mg tan θ＝mrω2. 其中tan θ＝H R ，r ＝R2.可得ω＝2gHR . 答案 (1)mgHR 2＋H 2mgRR 2＋H 2(2)2gH R解决圆周运动问题的主要步骤(1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环． (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等； (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源； (4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．18．用极限法分析圆周运动的临界问题1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态．3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态．例3 如图5所示，水平放置的圆盘半径为R ＝1 m ，在其边缘C 点固定一个高度不计的小桶，在圆盘直径CD 的正上方放置一条水平滑道AB ，滑道与CD 平行，滑道右端B 与圆盘圆心O 在同一竖直线上，其高度差为h ＝1.25 m ．在滑道左端静止放置一质量为m ＝0.4 kg 的物块(可视为质点)，物块与滑道间的动摩擦因数为μ＝0.2.当用一大小为F ＝4 N 的水平向右拉力拉动物块的同时，圆盘从图示位置以角速度ω＝2π rad /s ，绕穿过圆心O 的竖直轴匀速转动．拉力作用一段时间后撤掉，物块在滑道上继续滑行，由B 点水平抛出，恰好落入小桶内，重力加速度取10 m/s 2.图5(1)求拉力作用的最短时间；(2)若拉力作用时间为0.5 s ，求所需滑道的长度； (3)物块落入桶中后如果随圆盘一起以ω′＝ 152rad/s 的角速度匀速转动，求小桶给物块的作用力大小．解析 物块平抛的高度h ＝12gt 2物块离开滑道时的速度v ＝Rt＝2 m/s拉力F 拉物块时的加速度，由牛顿第二定律F －μmg ＝ma 1 得a 1＝8 m/s 2撤去拉力后，由牛顿第二定律－μmg ＝ma 2 得a 2＝－2 m/s 2(1)圆盘转过一圈时落入，拉力作用的时间最短 圆盘转过一圈的时间T ＝2πω＝1 s物块在滑道上先加速后减速v ＝a 1t 1＋a 2t 2物块滑行时间、抛出在空中运动的时间与圆盘运动周期的关系：t 1＋t 2＋t ＝T 由上两式得t 1＝0.3 s(2)物块加速获得速度v 1＝a 1t ′＝4 m/s 则板长L ＝x 1＋x 2＝12a 1t ′2＋v 2－v 212a 2＝4 m(3)小桶给物块的作用力和物块重力的合力提供向心力，求出结果为5 N.答案(1)0.3 s(2)4 m(3)5 N19.竖直平面内圆周运动中的绳模型与杆模型问题1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．2．绳、杆模型涉及的临界问题例4如图6所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，则瞬时速度v必须满足()图6A ．最小值4grB ．最大值6grC ．最小值3grD ．最大值7gr审题与关联解析 要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg ＝m v 20r ，由最低点到最高点由机械能守恒得12m v 2min ＝mg ·2r ＋12m v 20，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为5gr ；为了不会使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为2mg ，满足3mg ＝m v 21r ，从最低点到最高点由机械能守恒得：12m v 2max ＝mg ·2r ＋12m v 21，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为7gr . 答案 D高考题组1．(2013·新课标Ⅱ·21改编)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图7所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v c 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处( )图7A ．路面外侧低内侧高B ．车速只要低于v c ，车辆便会向内侧滑动C ．车速虽然高于v c ，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D ．当路面结冰时，与未结冰时相比，v c 的值变小 答案 C解析 当汽车行驶的速度为v c 时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高内侧低，选项A 错误．当速度稍大于v c 时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C 正确．同样，速度稍小于v c 时，车辆不会向内侧滑动，选项B 错误．v c 的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与地面的粗糙程度无关，D 错误．2．(2013·江苏·2)如图8所示， “旋转秋千”中的两个座椅A 、B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )图8A ．A 的速度比B 的大B ．A 与B 的向心加速度大小相等C ．悬挂A 、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等D ．悬挂A 的缆绳所受的拉力比悬挂B 的小 答案 D解析 因为物体的角速度ω相同，线速度v ＝rω，而rA <rB ，所以v A <v B ， 则A 项错；根据a n ＝rω2知a n A <a n B ，则B 项错；如图，tan θ＝a ng ，而B的向心加速度较大，则B 的缆绳与竖直方向夹角较大，缆绳拉力 T ＝mg cos θ，则T A <T B ，所以C 项错， D 项正确．模拟题组3．如图9所示，一圆盘可绕一通过其圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一橡皮块，橡皮块随圆盘一起转动(方向俯视为逆时针)．某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F 的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )图9答案 C4．一质量为M 的人手握长为l 轻绳(不可伸长)一端，绳的另一端拴一质量为m 的小球，今使小球在竖直平面内做圆周运动，若小球刚好能经过圆周的最高点，则在小球运动过程中，下列说法正确的是( )A ．人对地面的最小压力等于MgB ．人对地面的最小压力大于MgC ．人对地面的最大压力等于(M ＋m )gD ．人对地面的最大压力大于(M ＋m )g 答案 D5.如图10所示，M 是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO ′匀速转动，规定经过圆心O 水平向右为x 轴的正方向．在圆心O 正上方距盘面高为h 处有一个正在间断滴水的容器，从t ＝0时刻开始随传送带沿与x 轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为v .已知容器在t ＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水．求：图10(1)每一滴水经多长时间落到盘面上？(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的角速度ω应为多大？ (3)第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的最大距离x . 答案 (1)2hg(2)n π g2h(n ＝1、2、3…) (3)5v 2h g解析 (1)水滴在竖直方向上做自由落体运动，有 h ＝12gt 2，得t ＝ 2h g(2)分析题意可知，在相邻两滴水的下落时间内，圆盘转过的角度应为n π(n ＝1、2、3…)，所以角速度为 由ωt ＝n π得 ω＝n πt＝n πg2h(n ＝1、2、3…) (3)第二滴水落在圆盘上时的水平位移为 x 2＝v ·2t ＝2v2hg第三滴水落在圆盘上时的水平位移为x 3＝v ·3t ＝3v2h g当第二滴水与第三滴水在盘面上的落点位于同一直径上圆心两侧时，两点间的距离最大，则x ＝x 2＋x 3＝5v2hg.(限时：45分钟)►题组1 匀速圆周运动的运动学分析 1．关于匀速圆周运动的说法，正确的是( )①匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度 ②做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度 ③做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动④匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动 A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案 D解析 速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度．加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．故②④正确，选D.2.如图1所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r 1、r 2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )图1A.r 1ω1r 3B.r 3ω1r 1C.r 3ω1r 2D.r 1ω1r 2答案 A解析 连接轮之间可能有两种类型，即皮带轮或齿轮传动和同轴轮传动(各个轮子的轴是焊接的)，本题属于齿轮传动，同轴轮的特点是角速度相同，皮带轮或齿轮的特点是各个轮边缘的线速度大小相同，即v 1＝ω1r 1＝v 2＝ω2r 2＝v 3＝ω3r 3，显然A 选项正确． 3．如图2所示，m 为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A 为终端皮带轮，已知该皮带轮的半径为r ，传送带与皮带轮间不会打滑，当m 可被水平抛出时，A 轮每秒的转数最少是( )图2A.12πg rB.g rC.grD.12πgr 答案 A解析 小物体不沿曲面下滑，而是被水平抛出，需满足关系式mg ≤m v 2/r ，即传送带转动的速度v ≥gr ，其大小等于A 轮边缘的线速度大小，A 轮转动的周期为T ＝2πrv ≤2π r g ，每秒的转数n ＝1T ≥12π gr.本题答案为A.►题组2 圆周运动的动力学分析4．如图3所示，长为l 的轻杆一端固定一质量为m 的小球，另一端固定在转轴O 上，杆可在竖直平面内绕轴O 无摩擦转动．已知小球通过最低点Q 时，速度大小为v ＝9gl /2，则小球的运动情况为( )图3A ．小球不可能到达圆周轨道的最高点PB ．小球能到达圆周轨道的最高点P ，但在P 点不受轻杆对它的作用力C ．小球能到达圆周轨道的最高点P ，且在P 点受到轻杆对它向上的弹力D ．小球能到达圆周轨道的最高点P ，且在P 点受到轻杆对它向下的弹力 答案 C解析 小球从最低点Q 到最高点P ，由机械能守恒定律得12m v 2P ＋2mgl ＝12m v 2，则v P ＝gl2，因为0<v P ＝ gl2<gl ，所以小球能到达圆周轨道的最高点P ，且在P 点受到轻杆对它向上的弹力，C 正确．5.如图4所示，一根细线下端拴一个金属小球P ，细线的上端固定在金属块Q 上，Q 放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q 都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下列说法中正确的是( )图4A ．Q 受到桌面的支持力变大B ．Q 受到桌面的静摩擦力变大C ．小球P 运动的角速度变小D ．小球P 运动的周期变大 答案 B解析 根据小球做圆周运动的特点，设线与竖直方向的夹角为θ， 故F T ＝mgcos θ，对金属块受力分析由平衡条件F f ＝F T sin θ＝mg tan θ，F N ＝F T cos θ＋Mg ＝mg ＋Mg ，故在θ增大时，Q 受到的支持力不变，静摩擦力变大，A 选项错误，B 选项正确；设线的长度为L ，由 mg tan θ＝mω2L sin θ，得ω＝ gL cos θ，故角速度变大，周期变小，故C 、D 选项错误．6.如图5所示，在光滑水平面上竖直固定一半径为R 的光滑半圆槽轨道，其底端恰与水平面相切．质量为m 的小球以大小为v 0的初速度经半圆槽轨道最低点B 滚上半圆槽，小球恰能通过最高点C 后落回到水平面上的A 点．(不计空气阻力，重力加速度为g )求：图5(1)小球通过B 点时对半圆槽的压力大小； (2)A 、B 两点间的距离； (3)小球落到A 点时的速度方向．答案 (1)mg ＋m v 20R (2)2R (3)与水平面成θ角向左下且tan θ＝2解析 (1)在B 点小球做圆周运动，F N －mg ＝m v 20RF N ＝mg ＋m v 20R.(2)在C 点小球恰能通过，故只有重力提供向心力， 则mg ＝m v 2CR过C 点小球做平抛运动：x AB ＝v C t h ＝12gt 2 h ＝2R联立以上各式可得x AB ＝2R .(3)设小球落到A 点时，速度方向与水平面的夹角为θ，则 tan θ＝v ⊥v C ，v ⊥＝gt,2R ＝12gt 2解得：tan θ＝2.►题组3 匀速圆周运动中的临界问题7．如图6所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A 和B 水平放置，两轮半径R A ＝2R B ，当主动轮A 匀速转动时，在A 轮边缘放置的小木块恰能相对静止在A 轮边缘上．若将小木块放在B 轮上，欲使木块相对B 轮也静止，则木块距B 轮转轴的最大距离为( )图6A.R B4B.R B3C.R B2D ．R B答案 C解析 根据A 和B 靠摩擦转动可知，A 和B 边缘线速度大小相等，即R A ωA ＝R B ωB ，ωB ＝2ωA ，又根据在A 轮边缘放置的小木块恰能相对静止得μmg ＝mR A ω2A ，设小木块放在B 轮上相对B 轮也静止时，距B 轮转轴的最大距离为R B ′，则有：μmg ＝mR B ′ω2B ，解上面式子可得R B ′＝R B 2.8．如图7所示是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球P 和Q 可以在光滑水平杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接(图中未画出)，m P ＝2m Q 当整个装置绕中心轴以角速度ω匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时( )图7A ．两球均受到重力、支持力、绳的拉力和向心力四个力的作用B ．P 球受到的向心力大于Q 球受到的向心力C ．r P 一定等于r Q2D ．当ω增大时，P 球将向外运动 答案 C解析 绳的拉力提供向心力，向心力是一个效果力，在分析物体受力时要分析性质力，A 项错；同一根绳上张力相等，所以P 球受到的向心力等于Q 球受到的向心力，B 项错；对两球而言，角速度相同，有：m P ω2r P ＝m Q ω2r Q ，所以r P 一定等于r Q2，C 项正确；当ω增大时，两球受到绳的张力都增大，仍会使F T ＝m P ω2r P ＝m Q ω2r Q ，所以球不会向外运动，D 项错．9．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？(2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？(取g ＝10 m/s 2) 答案 (1)150 m (2)90 m解析 (1)汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有F max ＝0.6mg ＝m v 2r min，由速度v ＝108 km /h ＝30 m/s 得，弯道半径r min ＝150 m.(2)汽车过拱桥，可看做在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式有mg －F N ＝m v 2R .为了保证安全通过，车与路面间的弹力F N 必须大于等于零，有mg ≥m v 2R ，则R ≥90 m.。
