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管理数学I 习题二
1． 用随机变量来描述掷一枚骰子的试验结果，并写出它的分布律。
解：令X 为掷一枚骰子的试验结果，则X 的取值为1，2，3，4，5，6。
并且X 取其中任
2． 某试验成功的概率为p ，X 代表第二次成功之前试验失败的次数，写出X 的分布律。
答:X
3
答:不能,因为0.15+0.45+0.6 = 1.2 > 1。
4．产品有一、二、三等品和废品四种，一、二、三等品率和废品率分别为55%、25%、19%、
1%，任取一件产品检验其质量等级，用随机变量X 表示检验结果，并写出其分布律和分布函数。
答： 分布函数为：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧≤<≤<≤<≤<=x
x x x x x F 4,143,99.03
2,8.021,55.01
,0)(
5．设某种试验成功的概率为0.7，现独立地进行10次这样的试验。
问是否可以用一个服从
二项分布的随机变量来描述这10次试验中成功的次数？如何描述？请写出它的分布以及分布的数学期望和标准差。
答: 本题中实验的结果只有两种,成功,不成功,符合Bernoulli 实验的特征。
令X 为10次实验
中成功的次数，显然X 的取值范围就是0，1，2 …，10，而且X 取k 的概率为：
其中k 为0-10间的自然数。
显然可以用服从二项分布的随机变量来描述这10次实验中
成功次数。
具体分布就是
k
n k
k n p p C k X P --==)1()(
数学期望 E(X) = n*p = 10*0.7 = 7 标准差 45.11.2)7.01(7.010)1(==-⨯⨯=-=
p np σ
6．如果你是一个投资咨询公司的雇员，你告诉你的客户，根据历史数据分析结果，企业A
的平均投资回报比企业B 的高，但是其标准差也比企业 B 的大。
你应该如何回答客户提出的如下问题：
（1） 是否意味着企业A 的投资回报肯定会比企业B 的高？为什么？ （2） 是否意味着客户应该为企业A 而不是企业B 投资？为什么？
答: (1) 平均投资回报反映的是长期的平均结果。
就某一年或短期而言，并不能说A 的投
资回报一定比B 高。
（2）不一定。
实际上，选择的结果依赖于不同决策者对待风险的态度。
7
（1） 求该任务能在3天（包括3天）之内完成的概率； 答：3天之内完成的概率为 0.05+0.20+0.35 = 0.60。
（2） 求完成该任务的期望天数；
答：任务完成的期望天数 E = 1*.05 + 2*.20 + 3*.35 + 4*.30 + 5*.10 = 3.2 天。
（3）
该任务的费用由两部分组成——20,000元的固定费用加每天2,000元，求整个
项目费用的期望值；费用=20000+2000*完成任务天数 答：费用期望值 E （费用）= 20000 + 2000*3.2 = 26400 (元)。
（4）
求完成天数的标准差。
解：方差D(X) = E(X 2) – (E(X))2 = 12*0.05+22*0.2+32*0.35+42*0.3+52*0.1 – 10.24 = 1.06
则 标准差σ=1.03
8．求4中随机变量X 的期望和方差，以及)(2
X E 。
解: 期望 E(X) = 1*0.55 + 2*0.25 + 3*0.19 + 4*0.01 = 1.66
E(X 2) = 12*0.55+22*0.25+32*0.19+42*0.01 = 0.55 + 1.0 + 1.71 + 0.16 = 3.42 方差 D(X) = E(X 2)- (E(X))2 = 3.42 – 1.662 = 0.6644
9．设随机变量X 的概率密度函数为
⎩
⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x
求（1）X Y 2=，（2）X
e Y 2-=的数学期望。
解: (1) E(Y) = E(2X) = 2E(X) = 2
⎰
+∞
∞
-x )(x f dx = 2⎰+∞
x x e -dx = (– 2x e -x – 2x e -)+∞
= 2
(2) E(Y) = E(x
e 2-) =
⎰+∞
∞
--x
e
2)(x f =⎰+∞
--0
2dx e e
x
x
= –⎰+∞
-0
3dx e x = –x e
331
-+∞0
= 3
1
k
n k k
n C k X P -==3.07.0)(
10． 一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0
,00
,4
1)(4
x x e x f x 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。
若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。
解: 设备寿命小于一年的概率 P(1<X ) =
⎰
∞
-1
)(dx x f =
⎰-1
441dx e x = 1 －4
/1-e 又因为设备寿命小于一年时厂方的收益为 100 - 300 = -200 元 而设备寿命大于一年时厂方的收益为 100 元 故出售一台设备净赢利的数学期望 E = 100* P(X >1) －200* P(X < 1)
= 100*(1 - P(X <1)) －200* P(X < 1)
= 100 – 300*(1 –4
/1-e ) = 300*0.7788 – 200 = 33.64 (元)
11．设X 与Y 为随机变量，3)(=X E ，2)(-=Y E ，9)(=X D ，4)(=Y D 。
在下列情
况下，求)3(Y X E -和)3(Y X D -： （1）1),(=Y X Cov ； （2）0),(=Y X Cov ； （3）1),(-=Y X Cov 。
答：三种情况下，E(3X-Y)的值都相同，且为
E(3X-Y) = 3E(X)-E(Y) = 11。
而D(3X-Y)的值各不相同，分别为：
（1）D(3X-Y) = 9D(X) + D(Y) – 2*3*Cov(X,Y) = 81 + 4 – 6 = 79 （2）D(3X-Y) = 9D(X) + D(Y) – 2*3*Cov(X,Y) = 81 + 4 – 0 = 85 （3）D(3X-Y) = 9D(X) + D(Y) – 2*3*Cov(X,Y) = 81 + 4 + 6 = 91
11． 查表求：05.0z ，025.0z ，975.0z ，9.0z 。
答: 05.0z = 1.645; 025.0z = 1.96; 975.0z = – 1.96; 9.0z = – 1.28
13．某零件的寿命服从均值为1200小时，标准差为50小时的正态分布。
随机地抽取一只零
件，试求： （1） 它的寿命不低于1300小时的概率；
（2） 它的寿命在1100小时和1300小时之间的概率； （3）
它的寿命不低于多少小时的概率为95%？
解: 据题意 μ= 1200 σ= 50 故: (1)
{}{}0228
.09772.01)2(1)
(1)1300(11300113000501200
13000=-=Φ-=Φ-=Φ-=<-=≥-X P X P
(2)
{}9544
.01)2(2)2()2()
()()1100()1300(13001100000501200
1100050120013000=-Φ=-Φ-Φ=Φ-Φ=Φ-Φ=≤≥--X P
(3) 设寿命不低于x 小时的概率为95% 则有
{})
(75.1117645
.105.0)(95
.0)(1)(150
120050120001200
0小时得=-==Φ=Φ-=Φ-=≥---x x x X P x x x
14． 一工厂生产的电子管寿命X （以小时计算）服从期望值为160=μ的正态分布，若要求：
{}80.0200120≥<<X P ，允许标准差σ最大为多少？
解：
{}{}25
.3128.140
8.1)40
(
280.0)160
120()160
200(80.0)120()200(80
.0}120{20080.020*******≤⇒≥⇒
≥Φ⇒≥-Φ--Φ⇒≥Φ-Φ⇒≥<-<⇒≥<<σσ
σ
σ
σ
X P X P X P
所以允许标准差σ最大为31.25。
