高中数学第二章2.2.2平面与平面平行的判定练习新人教A版必修2

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定A级基础巩固一、选择题1．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥β”的是()解析：A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β；D正确．答案：D2．能保证直线与平面平行的条件是()A．直线与平面内的一条直线平行B．直线与平面内的所有直线平行C．直线与平面内的无数条直线平行D．直线与平面内的所有直线不相交解析：A不正确，因为直线可能在平面内；B不正确；C不正确，直线也可能在平面内；D正确，因为直线与平面内所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行．答案：D3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.答案：B4．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α，β还有可能相交，所以选B.答案：B5．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为() A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合解析：若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．答案：C二、填空题6．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC与平面DEF的位置关系是________．解析：因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以EF∥AC.又因为AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF.答案：平行7．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为________．解析：设所求截面四边形为EFGH，且F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，所以EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.所以截面四边形EFGH的周长为2×(4＋6)＝20.答案：208．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个命题都是正确的．答案：①②③④三、解答题9．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中点，求证：BD1∥平面C1DE.证明：如图所示，连接CD1，交DC1于点F，连接EF，则F是D1C的中点．又因为E是棱BC的中点，所以EF∥BD1.又因为BD1⊄平面C1DE，EF⊂平面C1DE，所以BD1∥平面C1DE.10.如图所示，在已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.B级能力提升1．如图所示，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()①②③④A．①③B．①④C．②③D．②④答案：B2．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．解析：在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ⊂β＝l，则l⊂β，因为a∥β，所以a与l无公共点，所以a∥l，所以l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.答案：平行3.如图所示，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．求证：GF∥平面ADE.证明：如图所示，取AE的中点H，连接HG，HD.又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝12AB.又F是CD的中点，所以DF＝12CD.由四边形ABCD是矩形，得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.。

．设直线，和平面α，β，下列条件能使α∥β的有( )
①α，α，且∥β，∥β；②α，β且∥；
③∥α，∥β且∥；
．个．个
．个．个
解析：①②③都不正确．
答案：
．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
．平行．相交
．平行或相交．可能重合
解析：若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．
答案：
．在如图所示的几何体中，三个侧面，，都是平行四边形．则平面与平面平行吗？(填“是”或“否”)．
解析：因为是平行四边形，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
同理可证：∥平面.
又因为∩＝，平面，平面，
所以平面∥平面.
答案：是
．，，为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题．
①∥；②∥；③α∥β；
④α∥β；⑤∥α；⑥∥α，
其中正确的命题是．(填序号)
解析：①是平行公理，正确；②中，还可能异面或相交；③中α，β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能α；⑥也是忽略了α的情形．
答案：①④
．如图所示，为△所在平面外一点，点，，分别为△，△，△
的重心．。

对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面
平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么
第十六页，编辑于星期一：点 五十一分。
这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在． 对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面
平行，同①.
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义． 对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平 面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判
2.反过来,如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平 行,那么这两个平面平行.
启示
线面平行
转化
面面平行
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课堂探究1
1.三角板ABC的一条边BC与桌面平行，如图①三角板 ABC所在的平面与桌面α平行吗？
①
解析：不平行
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2.当三角板ABC的两条边BC，AB都平行桌面α时，
(4)过平面外一点，只可作1个平面与已知平面平行 （ ）√
第二十三页，编辑于星期一：点 五十一分。
（5）设a，b为异面直线，则存在平面α，β，使
a a,b ，且a / / .
（ √）
α
a
b β
Hale Waihona Puke 第二十四页，编辑于星期一：点 五十一分。
【提升总结】 1.应用定理时，“内”、“交”、“平行”三个条件
2.2.2 平面与平面平行的判定
第一页，编辑于星期一：点 五十一分。
活动板房各个面是怎样拼在一 起的，它们都有什么关系呢？
第二页，编辑于星期一：点 五十一分。
木工师傅用气泡式水准仪在桌面上交叉放两次，如 果水准仪的气泡都是居中的，就可以判定这个桌面 和水平面平行，这是什么道理？

2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定基础过关练题组一直线与平面平行的判定1.下列选项中,一定能得出直线m与平面α平行的是()A.直线m在平面α外B.直线m与平面α内的两条直线平行C.平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D.直线m与平面α内的一条直线平行2.如图,下列正三棱柱ABC-A1B1C1中,若M,N,P分别为其所在棱的中点,则不能得出AB∥平面MNP的是()3.已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点),则在正方体的12条棱中,与平面ABP平行的有()A.3个B.6个C.9个D.12个4.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过A,C,E三点的平面的位置关系是.5.如图,在五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,M,N分别是BF,BC的中点,求证MN∥平面ADE.6.如图,正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直,M,N分别为AE,BC的中点.求证:MN∥平面CDFE.7.已知正方形ABCD,如图(1),E,F分别是AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图(2)所示.求证:BF∥平面ADE.题组二平面与平面平行的判定8.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,m∥β,若使α∥β成立,则需增加条件()A.n是直线且n⊂α,n∥βB.n,m是异面直线且n∥βC.n,m是相交直线且n⊂α,n∥βD.n,m是平行直线且n⊂α,n∥β9.(2019浙江高二期末)下列命题中不正确的是()A.空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行B.空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行C.空间中和两条平行直线都垂直的两个平面平行D.空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行10.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G11.如图所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点,现将△PDC折起,使点P∉平面ABCD.求证:平面PAB∥平面EFG.题组三直线与平面平行、平面与平面平行的综合问题12.已知A,B两点是平面α外两点,则过A,B与α平行的平面有个.13.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点,N 是BC 的中点,点M 在四边形EFGH 及其内部运动,则M 满足 时,有MN ∥平面B 1BDD 1.14.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,S 是B 1D 1的中点,E 、F 、G 分别是BC 、DC 、SC 的中点.求证:(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1; (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.15.如图,S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M,N 分别是SA,BD 上的点,且AM SM =DN NB. 求证:MN ∥平面SBC.能力提升练一、选择题1.(★★☆)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内的所有直线都与直线l异面B.α内不存在与直线l平行的直线C.α内存在唯一的直线与直线l平行D.α内存在唯一的直线与直线l垂直2.(2019山东高考模拟,★★☆)如图,在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与PRQ所在平面平行的是()二、填空题3.(★★☆)已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题:①a∥c,b∥c⇒a∥b;②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;③c∥α,c∥β⇒α∥β;④α∥γ,β∥γ⇒α∥β;⑤c∥α,a∥c⇒a∥α;⑥a∥γ,α∥γ⇒a∥α.其中正确的命题是(填序号).4.(★★☆)如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点.在此几何体中,给出下面四个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②直线PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是.三、解答题5.(2019江西南昌高一质检,★★☆)如图,四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,若G,F分别是线段EC,BD的中点.(1)求证:GF∥平面ABC;(2)若点P为线段CD的中点,平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系?并证明.6.(2018山东菏泽高一期末,★★☆)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,F是AB的中点,E是PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)在PC上求一点G,使FG∥平面AEC,并证明你的结论.7.(★★★)如图,已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?若存在,请证明你的结论,并说出点F的位置;若不存在,请说明理由.答案全解全析基础过关练1.C选项A不符合题意,因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交;选项B与D不符合题意,因为缺少条件m⊄α;选项C中,由直线与平面平行的判定定理,知直线m与平面α平行,故选项C符合题意.2.C选项A、B中,易知AB∥A1B1∥MN,由线面平行的判定定理可得AB∥平面MNP;在D中,易知AB∥PN,由线面平行的判定定理可得AB∥平面MNP.故选C.3.A因为棱AB在平面ABP内,所以只要与棱AB平行的棱都满足题意,即A1B1,D1C1,DC.4.答案平行解析如图所示,连接BD,交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点.因为E为DD1的中点,所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE,所以BD1∥平面ACE.5.证明∵M,N分别是BF,BC的中点,∴MN∥CF.又∵四边形CDEF为矩形,∴CF∥DE.∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,∴MN∥平面ADE.6.证明连接FB,FC.因为M是AE的中点,且四边形ABEF为矩形,所以M也是FB的中点.因为N是BC的中点,所以MN∥FC,因为FC⊂平面CDFE,MN⊄平面CDFE,所以MN∥平面CDFE.7.证明在正方形ABCD中,∵E,F分别为AB,CD的中点,∴EB=FD.又∵EB∥FD,∴四边形EBFD为平行四边形.∴BF∥ED.将△ADE沿DE折起后,仍有BF∥ED,∵DE⊂平面ADE,而BF⊄平面ADE,∴BF∥平面ADE.8.C要使α∥β成立,需要其中一个面内的两条相交直线与另一个面平行,即n,m是相交直线且n⊂α,n∥β,m⊂α,m∥β.故选C.9.D如下图,m∥n,且m,n与底面α、左面β都平行,但α、β相交,所以D中命题不正确.由面面平行的判定可知A、B、C中命题都正确.故选D.10.A如图,易证E1G1∥平面EGH1,G1F∥平面EGH1.因为E1G1∩G1F=G1,所以平面E1FG1∥平面EGH1.11.证明∵E、F分别为线段PC,PD的中点,∴PE=EC,PF=FD,∴EF∥CD,又由题意易知四边形ABCD是正方形,∴CD∥AB,∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理可证EG∥平面PAB.又∵EF∩EG=E,∴平面PAB∥平面EFG.12.答案0或1解析当A,B两点在平面α异侧时,不存在这样的平面.当A,B两点在平面同侧时,若直线AB∥α,则存在一个,否则不存在.13.答案M∈FH解析连接FH,HN,NF.易证HN∥BD,FH∥D1D,又HN∩FH=H,BD∩D1D=D,HN,FH⊂平面FHN,BD,DD1⊂平面BDD1B1,∴平面FHN∥平面BDD1B1.又∵点M 在四边形EFGH 及其内部运动,FH ⊂平面EFGH,故当M ∈FH 时,MN ∥平面B 1BDD 1.14.证明 (1)如图,连接SB,∵E 、G 分别是BC 、SC 的中点,∴EG ∥SB.又∵SB ⊂平面BDD 1B 1,EG ⊄平面BDD 1B 1,∴直线EG ∥平面BDD 1B 1. (2)∵E 、F 分别是BC 、DC 的中点, ∴EF ∥BD.又∵BD ⊂平面BDD 1B 1,EF ⊄平面BDD 1B 1,∴EF ∥平面BDD 1B 1, 又EG ⊂平面EFG,EF ⊂平面EFG,EG ∩EF=E,∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 15.证明 在AB 上取一点P,使APBP=AMSM ,连接MP,NP,则MP ∥SB.∵SB ⊂平面SBC,MP ⊄平面SBC, ∴MP ∥平面SBC. 又AM SM=DNNB,∴APBP =DNNB,∴NP ∥AD.∵AD ∥BC,∴NP ∥BC.又BC ⊂平面SBC,NP ⊄平面SBC, ∴NP ∥平面SBC.又MP ∩NP=P,∴平面MNP ∥平面SBC,而MN ⊂平面MNP,∴MN ∥平面SBC.能力提升练一、选择题1.B∵直线l不平行于平面α,且l⊄α,∴直线l与平面α相交.∴α内不存在与直线l平行的直线.故选B.2.A A中,连接AC,因为PQ∥AC∥A1C1,所以可得PQ∥平面A1BC1,又RQ∥A1B,可得RQ∥平面A1BC1,从而可得平面PQR∥平面A1BC1.B中,如图,作截面可得平面PQR∩平面A1BN=HN(H为C1D1的中点).C中,如图,作截面可得平面PQR∩平面HGN=HN(H为C1D1的中点).D中,如图,作截面可得QN,C1M为两相交直线,因此平面PQR与平面A1MC1不平行.二、填空题3.答案①④解析直线平行或平面平行具有传递性,故①④正确;②中,直线a,b可能异面、平行或相交;③中,α与β可能相交或平行;⑤中,也可能a⊂α;⑥中,也可能a⊂α,故正确的命题是①④.4.答案①②③解析作出立体图形如图所示.连接E、F、G、H四点,构成平面EFGH,因为E、F分别是PA、PD的中点,所以EF∥AD.又EF⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.同理EH∥平面ABCD.又EF∩EH=E,EF⊂平面EFGH,EH⊂平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD.故①正确.连接AC,BD,DG,BG,设AC的中点为M,则M也是BD的中点,所以MG∥PA,又MG⊂平面BDG,PA⊄平面BDG,所以PA∥平面BDG.所以②正确.由①易知EF∥BC,因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以直线EF∥平面PBC.故③正确.因为根据③可得直线EF∥平面PBC,再结合图形可得,直线EF与平面BDG不平行.因此④错误.综上所述,正确的序号是①②③.三、解答题5.解析(1)证明:连接AE,由F是线段BD的中点,得F为AE的中点,∴GF为△AEC的中位线,∴GF∥AC.又∵AC⊂平面ABC,GF⊄平面ABC,∴GF∥平面ABC.(2)平面GFP∥平面ABC.证明如下:∵F,P分别为BD,CD的中点,∴FP为△BCD的中位线,∴FP∥BC.又∵BC⊂平面ABC,FP⊄平面ABC,∴FP∥平面ABC.又GF∥平面ABC,FP∩GF=F,FP⊂平面GFP,GF⊂平面GFP,∴平面GFP∥平面ABC.6.解析(1)证明:连接BD,设BD与AC的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.又因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)PC的中点即为所求的点G.证明如下:连接GE,FG.∵E为PD的中点,∴GE 1CD.2CD.∵F为AB的中点,且四边形ABCD为矩形,∴FA 12∴FA GE.∴四边形AFGE为平行四边形,∴FG∥AE.又FG⊄平面AEC,AE⊂平面AEC,∴FG∥平面AEC.7.解析当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明如下:取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE.因为FM⊄平面AEC,EC⊂平面AEC,所以FM∥平面AEC.PE=ED,得E为MD的中点,连接BM,BD,由EM=12设BD∩AC=O,则O为BD的中点.连接OE,则BM∥OE.因为BM⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,所以BM∥平面AEC.又因为FM⊂平面BFM,BM⊂平面BFM,FM∩BM=M,所以平面BFM∥平面AEC,又BF⊂平面BFM,所以BF∥平面AEC.。