2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版板块命题点专练(五)导数及其应用含解析

浙江省 2020 届高三数学一轮复习典型题专项训练
导数及其应用
一、选择、填空题
1、（七彩阳光联盟 2019 届高三上学期期初联考）设 a 为正数， f (x) x3 6ax 2 a 2 ，若 f (x) 在区间 (0, 3a)
不大于 0，则 a 的取值范围是（
A． (0, 1 ] 27
B. (0, 1 ) 27
27
2、
6
；
an
33nn6612,,nn22kk
,k 1
N*
或
an
2n 1 4
(1) n 12
．
提示：
f x 1 2 cos 2x 0 cos 2x 1
2
，所以
x 6
k
或
x 6
k , k Z
. 显 然 数 列 an 的
2
a1
6
，
a2
5 6
，于是当
n 为偶数时，
an
5 6
n 2
x
x
令
g(x)
x
a x
，则
g
'(x)
1
a x2
，
x Î (1, ) ( ) a 时， g '(x) ＜0，g（x）递减； x Î a ,a 时， g '(x) ＞0，g（x）递增，
所以，g（x）最小值为： g( a ) a a 2 a ， a
令 t x a [2 a ,a 1) （ a > 1），所以， x a 1
的取值范围是______.
6、（稽阳联谊学校 2019 届高三 4 月联考）已知关于 x 的方程 x ln x - a(x2 - 1) = 0 在 (0,+ ¥ ) 上有且只有一个实数

§5.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算．2.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以选择题为主，低档难度.1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad ，1rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． 三个三角函数的初步性质如下表：三角函数 定义域 第一象限符号第二象限符号 第三象限符号第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α 错误!＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线概念方法微思考1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律． 提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示 设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × )(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ ) 题组二 教材改编2．[P10A 组T7]角－225°＝______弧度，这个角在第______象限． 答案 －5π4二3．[P15T2]若角α的终边经过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，则sin α＝____，cos α＝________. 答案22 －224．[P10A 组T6]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度． 答案π3题组三 易错自纠5．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.6．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6 D.5π3答案 C解析 因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以θ＝11π6.7．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是________．答案2π3解析 与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3(k ∈Z )，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3. 8．函数y ＝2cos x －1的定义域为__________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一 角及其表示1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与角9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅ 答案 B解析 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.3．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π解析 如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.4．若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．答案 一或三解析 ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k (k ∈Z )赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置． 题型二 弧度制及其应用例1已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10cm ，求扇形的面积．解 由已知得α＝π3，R ＝10cm ，∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2)．引申探究1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积． 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2)． 2．若例题条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R (0<R <10)． 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5cm 时，S 取得最大值25cm 2，此时l ＝10cm ，α＝2rad. 思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练1(1)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π6B.π3C ．3D. 3 答案 D解析 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ， ∴|α|＝l r＝3rr＝ 3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________． 答案518解析 设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α， 由扇形面积等于圆面积的527，可得12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，解得α＝5π6. 所以扇形的弧长与圆周长之比为5π6·2r32πr ＝518.题型三 三角函数的概念命题点1 三角函数定义的应用例2(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A ．－33B ．±33C ．－32D ．±32答案 C解析 由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32.(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上可知，θ2为第二象限角． 命题点2 三角函数线例3(1)满足cos α≤－12的角的集合是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z解析 作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z. (2)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是________．答案 sin α<cos α<tan α解析 如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知sin α<cos α<tan α.思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围． 跟踪训练2(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]答案 A解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.(2)在(0,2π)内，使得sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，sin x >0，cos x ≤0，显然sin x >cos x 成立；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时，如图，OA为x 的终边，此时sin x ＝|MA |，cos x ＝|OM |，sin x ≤cos x ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2时，如图，OB 为x 的终边，此时sin x ＝|NB |，cos x ＝|ON |，sin x >cos x ．同理当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，5π4时，sin x >cos x ；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π4，2π时，sin x ≤cos x ，故选C.1．下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角一定不是负角 B ．不相等的角，它们的终边必不相同 C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的两个角一定相等 答案 C解析 因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A 错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B 错误；因为钝角的取值范围为(90°，180°)，所以C 正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误． 2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4 答案 C解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.3．若角θ终边过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A ．－3B ．3C.163D ．±3答案 B 解析 sin θ＝m16＋m 2＝35，且m >0，解得m ＝3. 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 A解析 点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 5．已知点P (cos α，tan α)在第二象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 因为点P (cos α，tan α)在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，所以角α的终边在第三象限，故选C.6．(2018·嘉兴模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0.7．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32答案 C解析 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9， 所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝±12， 又cos α＝－45<0，所以－8m <0，即m >0，所以m ＝12.8．下列命题中正确命题的个数是( ) ①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．9．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 答案2解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 答案 2解析 由已知tan α＝3，∴n ＝3m ， 又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3.故m －n ＝2.11．已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为________． 答案11π6解析 由题意知，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，r ＝1，所以点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 12．函数y ＝sin x －32的定义域为__________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋23π，k ∈Z 解析 利用三角函数线(如图)，由sin x ≥32，可知 2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .13.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z解析 ∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z . 14．若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝________. 答案 ±34解析 由角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 在单位圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋m 2＝1，解得m ＝±32，所以sin β＝±32，所以cos α·sin β＝±34.15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是________平方米．(结果保留整数，3≈1.73)答案 5解析 如题图2，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝3，所以在Rt△AOD 中，∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD＝12AO ＝12×3＝32，可得CD ＝3－32＝32，由AD ＝AO ·sin π3＝3×32＝332，可得AB ＝2AD ＝2×332＝3 3.所以弧田面积S ＝12(弦×矢＋矢2)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫33×32＋94＝943＋98≈5(平方米)．16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于B 点，始边不动，终边运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．解 (1)根据题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，±35，∴tan α＝±34.(2)若△AOB 为等边三角形， 则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32或B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，当B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32时，α＝π3；当B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32时，α＝－π3.∴与角α终边相同的角β的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝π3＋2k π或β＝－π3＋2k π，k ∈Z. (3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，则S 扇形＝12αr 2＝12α，而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形AB 的面积S ＝12α－12sin α，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2π3.。

3.4 导数的综合应用A组基础题组1.“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B 由题意可知,函数f(x)单调递增,且f(x)min=f(e)=1+a,若f(x)在[e,+∞)上存在零点,则1+a≤0,即a≤-1,所以函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点的充要条件为a≤-1,故选B.2.已知y=f(x)为R上的连续可导函数,且xf '(x)+f(x)>0,则函数g(x)=xf(x)+1(x>0)的零点个数为( )A.0B.1C.0或1D.无数个答案 A 因为g(x)=xf(x)+1(x>0),所以g'(x)=xf '(x)+f(x)(x>0),由题意可知g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为g(0)=1,y=f(x)为R上的连续可导函数,所以g(x)为(0,+∞)上的连续可导函数,g(x)>g(0)=1,所以g(x)在(0,+∞)上无零点.3.(2018丽水模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为.答案4解析当x=0时,无论a取何值, f(x)≥0显然成立;当x∈(0,1]时, f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.设g(x)=-,则g'(x)=,令g'(x)=0,得x=,所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此g(x)max=g=4,从而a≥4.当x∈[-1,0)时,同理,a≤-,g(x)在区间[-1,0)上单调递增,所以g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4.综上可知,a=4.4.(2019绍兴一中月考)已知函数f(x)=e x-3x+3a(e为自然对数的底数,a∈R).(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当a>ln,且x>0时,>x+-3a.解析(1)由f(x)=e x-3x+3a知, f '(x)=e x-3.令f '(x)=0,得x=ln 3,于是当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:x(-∞,ln3)ln 3(ln3,+∞)f '(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 3),单调递增区间是(ln 3,+∞),f(x)在x=ln 3处取得极小值,极小值为f(ln 3)=-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).(2)证明:待证不等式等价于e x-x2+3ax-1>0,设g(x)=e x-x2+3ax-1,x>0,则g'(x)=e x-3x+3a,x>0.由(1)及a>ln=ln 3-1知,g'(x)的最小值为g'(ln 3)=3(1-ln 3+a)>0.∴g(x)在(0,+∞)上为增函数,∵g(0)=0,∴当x>0时,g(x)>0,即e x-x2+3ax-1>0,即>x+-3a.5.已知函数f(x)=ax2-ln x(x>0,a∈R).(1)若a=2,求点(1, f(1))处的切线方程;(2)若不等式f(x)≥对任意x>0恒成立,求实数a的值.解析(1)当a=2时, f(x)=x2-ln x, f '(x)=,∴f(1)=1, f '(1)=1,∴所求的切线方程为y=x.(2)易得f '(x)=.当a≤0时, f '(x)<0,∴当x>1时, f(x)<,故此时不合题意;当a>0时, f(x)在上单调递减,在上单调递增,∴f(x)min=f=-ln,∴-ln≥,即1+ln a-a≥0.设g(x)=1+ln x-x,则g '(x)=-1=,∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴g(x)≤g(1)=0,即1+ln x-x≤0,故1+ln a-a=0,∴a=1.6.(2018浙江金华十校第二学期调研)设函数f(x)=e x-x,h(x)=-kx3+kx2-x+1.(1)求f(x)的最小值;(2)设h(x)≤f(x)对任意x∈[0,1]恒成立时k的最大值为λ,求证:4<λ<6. 解析(1)因为f(x)=e x-x,所以f '(x)=e x-1,当x∈(-∞,0)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,所以f(x)min=f(0)=1.(2)证明:由h(x)≤f(x),化简可得k(x2-x3)≤e x-1,当x=0,1时,k∈R,当x∈(0,1)时,k≤,要证4<λ<6,则需证以下两个问题:①>4对任意x∈(0,1)恒成立;②存在x0∈(0,1),使得<6成立.先证①>4,即证e x-1>4(x2-x3),由(1)可知,e x-x≥1恒成立,所以e x-1≥x,又x≠0,所以e x-1>x,即证x≥4(x2-x3)⇔1≥4(x-x2)⇔(2x-1)2≥0,(2x-1)2≥0显然成立,所以>4对任意x∈(0,1)恒成立;再证②存在x0∈(0,1),使得<6成立,取x0=,=8(-1),因为<,所以8(-1)<8×=6,所以存在x0∈(0,1),使得<6成立,由①②可知,4<λ<6.7.(2019台州中学月考)设f(x)=x--aln x(a∈R).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点处的切线方程;(2)当0<a<1时,在内是否存在一实数x0,使f(x0)>e-1成立?请说明理由. 解析(1)当a=1时, f(x)=x-ln x, f '(x)=1-.易知f=+ln 2,所以曲线y=f(x)在点处的切线的斜率为f '=1-=-1.故所求的切线方程为y-=-,即x+y-ln 2-1=0.(2)存在.理由如下:假设当0<a<1时,在内存在一实数x0,使f(x0)>e-1成立,此时只需证明当x∈时, f(x)max>e-1即可.f '(x)=1+-==(x>0),令f '(x)=0得,x1=1,x2=a-1,当0<a<1时,a-1<0,故当x∈时, f '(x)<0;当x∈(1,e)时, f '(x)>0.故函数f(x)在上递减,在(1,e)上递增,所以f(x)max=max.于是,只需证明f(e)>e-1或f>e-1即可.因为f(e)-(e-1)=e--a-(e-1)=>0,所以f(e)>e-1,所以假设成立,故当0<a<1时,在x∈上至少存在一实数x0,使f(x0)>e-1成立.B组提升题组1.(2018浙江,22,15分)已知函数f(x)=-ln x.(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明: f(x1)+f(x2)>8-8ln 2;(2)若a≤3-4ln 2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.解析本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.(1)函数f(x)的导函数f '(x)=-,由f '(x1)=f '(x2)得-=-,因为x1≠x2,所以+=.由基本不等式得=+≥2,因为x1≠x2,所以x1x2>256.由题意得f(x1)+f(x2)=-ln x1+-ln x2=-ln(x1x2).设g(x)=-ln x,则g'(x)=(-4),所以x(0,16)16(16,+∞)g'(x)-0+g(x)↘2-4ln 2↗所以g(x)在[256,+∞)上单调递增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln 2,即f(x1)+f(x2)>8-8ln 2.(2)令m=e-(|a|+k),n=+1,则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,f(n)-kn-a<n≤n<0,所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a得k=.设h(x)=,则h'(x)==,其中g(x)=-ln x.由(1)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln 2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln 2+a≤0,所以h'(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)-kx-a=0至多有1个实根.综上,当a≤3-4ln 2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.2.设函数f(x)=a2x2-(ax+1)ln x+ax.(1)若a≥0,且函数y=f(x)有且仅有一个零点,求a的值;(2)是否存在实数a,使得不等式f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.解析函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=(ax+1)(ax-ln x),(1)当a=0时, f(x)=-ln x,满足题意.当a>0时,ax+1>0,所以f(x)=(ax+1)(ax-ln x)=0⇔ax-ln x=0.因为函数y=f(x)有且仅有一个零点,所以当直线y=ax与y=ln x相切时,a的值即为所求.令(ln x)'==a,即x=,故切点坐标为,将其代入y=ax,得a=.综上可得a=0或.(2)存在.假设存在实数a,使得不等式f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立,当a=0时,原不等式化为ln x≤0,不满足题意.当a>0时,ax+1>0,由ax-ln x≥0,得a≥.令F(x)=,则F '(x)=,所以函数F(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以函数F(x)在x=e处取得极大值,也为最大值,最大值为,由此可得a≥.当a<0时,在上,ax+1>0,在上,ax+1<0,令g(x)=ax-ln x,则g'(x)=a-<0,所以g(x)=ax-ln x在(0,+∞)上为减函数,所以只要当x=-时,ax-ln x=0成立即可,此时解得a=-e.综上可得,a∈∪{-e}.3.(2019绍兴一中月考)设函数f(x)=,求证:(1)当x<0时, f(x)<1;(2)对任意a>0,当0<|x|<ln(1+a)时,|f(x)-1|<a.证明(1)设φ(x)=e x-1-x,x∈R,则φ'(x)=e x-1,令φ'(x)>0,得x>0,令φ'(x)<0,得x<0,故φ(x)在(-∞,0)内递减,在(0,+∞)内递增,所以对任意x∈R,都有φ(x)≥φ(0)=0,即e x-1-x≥0(当且仅当x=0时,等号成立).所以当x<0时,e x-1>x,即f(x)<1.(2)要证当0<|x|<ln(1+a)时,|f(x)-1|<a,即证当0<x<ln(1+a)时,e x-1-(1+a)x<0;①当-ln(1+a)<x<0时,e x-1-(1-a)x<0.②令函数g(x)=e x-1-(1+a)x,h(x)=e x-1-(1-a)x.注意到g(0)=h(0)=0,故要证①与②,只需证明g(x)在(0,ln(1+a))内递减,h(x)在(-ln(1+a),0)内递增.事实上,当x∈(0,ln(1+a))时,g'(x)=e x-(1+a)<e ln(1+a)-(1+a)=0;当x∈(-ln(1+a),0)时,h'(x)=e x-(1-a)>e-ln(1+a)-(1-a)=-(1-a)=>0.综上,对任意a>0,当0<|x|<ln(1+a)时,|f(x)-1|<a.4.已知函数f(x)=-ax2+(1+a)x-ln x(a∈R).(1)当a>0时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)当a=0时,设函数g(x)=xf(x)-k(x+2)+2.若函数g(x)在区间上有两个零点,求实数k的取值范围.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=-ax+1+a-=-(a>0),当a∈(0,1)时,>1.由f '(x)<0,得x>或x<1,所以f(x)的单调递减区间为(0,1),;当a=1时,恒有f '(x)≤0,所以f(x)的单调递减区间为(0,+∞);当a∈(1,+∞)时,<1.由f '(x)<0,得x>1或x<,所以f(x)的单调递减区间为,(1,+∞).综上,当a∈(0,1)时,f(x)的单调递减区间为(0,1),;当a=1时, f(x)的单调递减区间为(0,+∞);当a∈(1,+∞)时, f(x)的单调递减区间为,(1,+∞).(2)g(x)=x2-xln x-k(x+2)+2在x∈上有两个零点,即关于x的方程k=在x∈上有两个不相等的实数根.令函数h(x)=,x∈,则h'(x)=,令函数p(x)=x2+3x-2ln x-4,x∈.则p'(x)=在上有p'(x)≥0,故p(x)在上单调递增.因为p(1)=0,所以当x∈时,p(x)<0,即h'(x)<0,故h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,p(x)>0,即h'(x)>0,故h(x)单调递增.因为h=+,h(1)=1,所以k的取值范围是.。

能力.
(1)函数f(x)的导函数f '(x)= 1 - 1 , 2x x
由f
'(x1)=f
'(x2)得 2
1 x1
-1
x1
=
2
1 x2
-1
x2
,
因为x1≠x2,所以
1+
x1
1 = 1 .
x2 2
由基本不等式得
1 2
x1 x2
= x1
+ x2
≥2 4 x1x2
,
因为x1≠x2,所以x1x2>256.
∴当f(x)=2-x时,ex·f(x)在f(x)的定义域上单调递增,故具有M性质,易知B、C、D不具有M性质,故选A.
方法小结 利用导数研究函数f(x)的单调性的一般步骤: 1.求f(x)的导数f '(x). 2.令f '(x)>0(或f '(x)<0),得区间I. 3.判断单调性,当x∈I时, f(x)单调递增(或递减).
ln
x+(x+1),x∈

1 e2
,
1 7

,
则q'(x)= ln x 2 +1>0, x
故q(x)在

1 e2
,
1 7

上单调递增,
所以q(x)≤q 17 .
由(i)得,q 17
=- 2 7 7
p 17
<- 2 7 7
7
则p'(x)= 2 - 2 - 1 = 2 x x 1 2x x 1
x x 1 x
x x 1
= (x 1)[1 x( 2x 2 1)] . x x 1( x 1)( x 1 2x )