天津市九年级上学期数学期末考试试卷

…………线…………线2022-2023学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( ) A.B.C.D.2. 下列事件中，属于不可能事件的是( )A. 通常加热到100℃时，水沸腾B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C. 掷一次骰子，向上一面的点数是6D. 任意画一个三角形，其内角和是360° 3. 用配方法解一元二次方程x 2−6x −4=0，下列变形正确的是( ) A. (x −6)2=−4+36 B. (x −6)2=4+36 C. (x −3)2=−4+9D. (x −3)2=4+94. 一元二次方程x 2+4x −3=0的两根为x 1、x 2，则x 1⋅x 2的值是( ) A. 4B. −4C. 3D. −35. 正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为( ) A. 30°B. 60°C. 120°D. 180°6. 某学校准备建一个面积为200m 2的矩形花圃，它的长比宽多10m ，设花圃的宽为x m.则可列方程为( )A. x(x −10)=200B. 2x +2 (x −10)=200C. x(x +10)=200D. 2x +2(x +10)=2007. 已知关于x 的方程x 2+mx +1=0根的判别式的值为12，则m 的值是( ) A. ±3B. 3C. 4D. ±48. 将抛物线y =5x 2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是( ) A. y =5(x +2)2+3 B. y =5(x +2)2−3 C. y =5(x −2)2+3D. y =5(x −2)2−39. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为( ) A. 120° B. 180° C. 240° D. 300°10. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………x … −1 0 1 3 … y…−3131…则下列判断中正确的是( )A. 抛物线开口向上B. 抛物线与y 轴交于负半轴C. 当x =4时，y >0D. 方程ax 2+bx +c =0的正根在3与4之间11. 如图，MN 是⊙O 的直径，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠ACM =60°，B 点是AN⏜的中点，P 点是MN 上一动点，若⊙O 的半径为1，则PA +PB 的最小值为( )A. 1B. √22C. √2D. √3−112. 如图，点A 的坐标为(−3,2)，⊙A 的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，在所有P 点中，使得PQ 长最小时，点P 的坐标为( )A. (0,2)B. (0,3)C. (−2,0)D. (−3,0)第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______ ．14. 如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，C 是AB ⏜的中点，则∠A 的大小为______(度)．15. 生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了210件，则全组共有______名同学．16. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，G 是⊙O 上的两个点，OC//AG.若∠GAC =28°，则∠BOC 的大小=______度．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17. 如图，从y =ax 2的图象上可以看出，当−1≤x ≤2时，y 的取值范围是______ ．18. 在RtΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =6．(1)如图①，将线段CA 绕点C 顺时针旋转30°，所得到与AB 交于点M ，则CM 的长= ______ ； (2)如图②，点D 是边AC 上一点D 且AD =2√3，将线段AD 绕点A 旋转，得线段AD′，点F 始终为BD′的中点，则将线段AD 绕点A 逆时针旋转______ 度时，线段CF 的长最大，最大值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。

2021~2022学年度第一学期期末考试九年级数学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列函数中，是二次函数的是（）A. B.C. D.【答案】C2. 下列图形是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B3. 已知x=1是关于x一元二次方程的一个根，则m的值是（）A. 5B. ﹣5C. ﹣4D. 4【答案】D4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（）A. 80°B. 76°C. 62°D. 52°【答案】B5. 据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）A. y＝2.4（1+2x）B. y＝2.4（1-x）2C. y＝2.4（1+x）2D. y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2【答案】C6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）A. 开口向上B. 当x＝2时，y有最小值是3C. 对称轴是D. 顶点坐标是（-2，3）【答案】D7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）A B.C. 且D. 且【答案】B8. 若是关于x的二次函数，则a的值是（）A. 1B. -5C. -1D. -5或-1【答案】B9. 抛物线上有、两点，则和的大小关系一定为（）A. B.C. D.【答案】A10. 如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P．若BC=8，AP=2，则⊙O的半径长为（）A. 5B. 6C. 10D.【答案】A11. 如图，正方形OABC顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）A. 2B.C.D.【答案】C12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 已知x1，x2是一元二次方程的两根，则_____．【答案】814. 有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字-1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽取的卡片数字是负数的概率为______．【答案】15. 如图，矩形ABCD中，，．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'CD'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为______．【答案】116. 在半径为2的圆中，求内接正三边形的边长为_____________．【答案】17. 一个圆锥侧面展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的底面积是___cm2．【答案】18. 如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)．【答案】（1）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）x1＝1，x2＝2．【详解】解：（1）x2+4x﹣1＝0，∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，∴△＝42﹣4×1×(﹣1)＝20＞0，则x＝＝＝﹣2，即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)，(x﹣1)(x+3)﹣5(x﹣1)＝0，(x﹣1)(x﹣2)＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2．20. 如图，已知△ABO中A（﹣1，3），B（﹣4，0）．（1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A1B1O；（2）求第（1）问中线段AO旋转时扫过的面积．【答案】（1）如图所示，△A1B1O即为所求；见解析；（2）线段AO旋转时扫过的面积为．【详解】解：（1）根据题意，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，如图所示，△A1B1O即为所求；（2）根据勾股定理：线段AO旋转时扫过的面积为：＝．21. 如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA 的位置关系.【答案】相切【详解】试题分析：利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可试题解析：相切，理由如下：过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O=30°，OC=6，∴DC=3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．22. 五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序．为了抽签在盒中放五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1，2，3，4，5．把纸团充分搅拌后，小军先抽，他任意（随机）从盒中抽取一个纸团．请思考以下问题：（1）抽到的数字有几种可能的结果？（2）抽到的数字是1的概率是多少？（3）抽到的数字会是0吗？（4）抽到的数字小于6的概率是多少？（5）抽到的数字不大于4的概率是多少？【答案】（1）有五种可能的结果（2）抽到的数字是1的概率是（3）不可能（4）抽到的数字小于6的概率是1（5）抽到的数字不大于4的概率为【小问1详解】解：共有五个数字，每个数字都有可能被抽到，所以有五种可能的结果；【小问2详解】解：数字1，2，3，4，5中，数字1只有1个，故抽到的数字是1的概率是；【小问3详解】解：数字1，2，3，4，5中，没有数字0，故不可能抽到数字0；【小问4详解】解：∵数字1，2，3，4，5均小于6，∴抽到的数字小于6的概率是1；【小问5详解】解：∵数字1，2，3，4，5中，数字不大于4有1，2，3，4，共4个，∴抽到的数字不大于4的概率是.23. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 件．（2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？【答案】（1）100；（2）y＝﹣5x+550；（3）当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．【详解】解：（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为：50+10×=100（件），故答案为：100；（2）依题意得：，∴y与x的函数关系式为y=－5x+550；（3）依题意得：y(x－50)=4000，即(－5x+550)(x－50)=4000，解得：x1=70，x2=90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．24. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点C，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若直径AB＝10，弦AC＝6，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）4．连结OD，∵AD平分∠BAC，∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，得出OD∥AC，得到∠ODE＝90°，从而得证.在Rt△AFO中，利用勾股定理：AF2＋OF2＝AO2，得出的长，四边形ODEF是矩形，从而得到的长.试题解析：连结OD．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD．∴DE是⊙O的切线．（2）解：作OF⊥AC，垂足为F．在Rt△AFO中，AF2＋OF2＝AO2，∴32＋OF2＝52，∴OF＝4，∵∠AED＝∠ODE＝∠OFE＝90°，∴四边形ODEF是矩形，∴DE＝OF＝4．25. 如图，已知抛物线y= - x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积；（3）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标，【答案】（1）m＝2，（1，4）；（2）6；（3）（1，2）．【详解】解：（1）将点B的坐标（3，0）代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，解得：m＝2，则函数对称轴为：x＝﹣＝1，代入y= - x2+2x+3，y= 4，则顶点的坐标为（1，4）；（2）函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），AB=4，OC=3，△ABC的面积为．（3）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，故点P（1，2）．。

2022-2023学年天津市南开中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题）1．下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列事件中，是随机事件的是（）A．画一个三角形，其内角和是180°B．明天太阳从西方升起C．任意选择电视的某一频道，正在播放动画片D．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天3．如图，过原点O的直线与反比例函数的图象相交于点A、B，根据图中提供的信息可知，这个反比例函数的解析式为（）A．y＝3x B．y＝﹣3x C．D．4．一个不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后不放回，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，则AC的长为（）A．14B．12C．10D．96．某种药品经过了两次降价，从每盒54元降到每盒42元．若平均每次降低的百分率都为x，则根据题意，可得方程（）A．54（1﹣x）2＝42B．54（1﹣x2）＝42C．54（1﹣2x）＝42D．42（1+x）2＝547．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．则⊙O的半径为（）A．1B．2C．3D．2.58．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y29．若双曲线的一个分支位于第三象限，则k的取值范围是（）A．k≠2B．k≥2C．k＞2D．k＜210．如图，∠AOB＝90°，∠B＝35°，将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A'OB'，旋转角为α．若点A'落在AB上，则旋转角α的大小是（）A．40°B．50°C．60°D．70°11．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使P A+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：①abc＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x＝﹣1，x＝3；③当x＞0时，y随x增大而减小；④a+2b＝c；⑤y最大值＝．其中正确的有（）个．A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共6小题）13．若方程x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x1+x2+x1x2＝．14．以方程x2﹣4x+3＝0的两根分别为腰和底的等腰三角形的周长为．15．已知两个相似三角形的周长比为2：3，若较大三角形的面积等于18cm2，则较小三角形面积等于．16．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝°．17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，∠CDB＝30°，CD＝6，则阴影部分面积为．18．如图，由小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点，（1）线段AB的长度为；（2）用无刻度的直尺，在⊙O上找一点D，使点D平分（保留画图痕迹）．三、解答题（本大题共7小题）19．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是；（2）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍数的概率．20．已知：正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，（1）当x＝﹣3时，求反比例函数y＝的值；（2）当﹣3＜x＜2时（x≠0），反比例函数y＝的取值范围是；（3）当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是．21．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2＝AD•BD．（1）求∠A+∠B的度数；（2）若BD＝3CD，△ACD的面积为2，求△ABC的面积．22．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）如图1，点D在⊙O上，且AC＝CD，若∠CDA＝24°，求∠BOD；（2）如图2，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点E，若⊙O的直径为6，AC＝3，求EA．23．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于64元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）分析数量关系填表：每台售价（元）606162…60+x 月销售量（台）300290280…（2）求y与x之间的函数解析式和x的取值范围；（3）当售价定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大？最大利润是多少？24．平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标轴上，点B（6，6），P 是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点．（1）如图（1）当OP＝2时，求点Q的坐标；（2）如图（2），设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S．求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；（3）当BP+BQ＝8时，求点Q的坐标（直接写出结果即可）．25．已知：抛物线l1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（6，0），交y轴于点D（0，﹣3）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为抛物线l1的对称轴上一动点，连接P A，PC，当∠APC＝90°时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M 自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．2022-2023学年天津市南开中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题）1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．2．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，不符合题意；B、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；C、任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，是随机事件，符合题意；D、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天，是必然事件，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．【分析】根据中心对称的性质求出A点的坐标，再用待定系数法求函数解析式．【解答】解：因为A、B是反比例函数和正比例函数的交点，所以A、B关于原点对称，由图可知，A点坐标为（1，3），设反比例函数解析式为y＝，将（1，3）代入解析式得：k＝1×3＝3，可得函数解析式为y＝．故选：C．【点评】从图中观察出A、B两点关于原点对称是解题的关键．另外对待定系数法因该有正确的认识：先设出某个未知的系数，然后根据已知条件求出未知系数的方法叫待定系数法．4．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的结果有6种，∴两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是＝，故选：B．【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．【分析】利用平行线分线段成比例计算出EC，然后计算AE+CE即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴EC＝3，∴AC＝AE+CE＝6+3＝9．故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6．【分析】设平均每次降价的百分率为x，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的54元降至42元，可列方程．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，54（1﹣x）2＝42．故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键知道经过了两次降价，降价前和降价后的价格，可列方程．7．【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积得出S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，代入求出即可．【解答】解：BC＝5，AC＝12，由勾股定理得：AB＝13，如图，连接OA、OB、OC、OF，由⊙O是△ABC的内切圆．可以设OD＝OE＝OF＝R，∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴×AC×BC＝×AB×OF+AC×OE+BC×OD，∴5×12＝13R+12R+5R，∴R＝2．答：R的值是2．故选：B．【点评】本题主要考查对正方形的判定，三角形的内切圆与内心，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．8．【分析】先判断出m2+1是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数k＞0时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小判断出y1、y2、y3的大小关系，然后即可选取答案．【解答】解：∵m2≥0，∴m2+1≥1，是正数，∴反比例函数y＝的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，∵（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数图象上，∴0＜y2＜y1，y3＞0，∴y2＜y1＜y3．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，本题先判断出比例系数m2+1是正数是解题的关键．9．【分析】反比例函数的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．【解答】解：∵双曲线的一个分支位于第三象限，∴k﹣2＞0，解得k＞2，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y＝（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．10．【分析】由∠AOB＝90°，∠B＝35°，得出∠A＝55°，由旋转的性质可得OA＝OA′，进而求出∠AOA′的度数，即可得出旋转角α的大小．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠B＝35°，∴∠A＝55°，∵△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A′OB′，∴OA＝OA′，∠AOA'＝α，∴∠A＝∠AA'O＝55°，∴∠AOA′＝70°，即旋转角α的大小可以是70°，故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的两个三角形是全等三角形及等腰三角形的性质是解决问题的关键．11．【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．【解答】解：A、如图所示：此时BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出P A+PC＝BC，故此选项错误；B、如图所示：此时P A＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出P A+PC＝BC，故此选项错误；C、如图所示：此时CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出P A+PC＝BC，故此选项错误；D、如图所示：此时BP＝AP，故能得出P A+PC＝BC，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．12．【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；由函数的性质可判断③；由于x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，再利用b＝﹣2a得到c＝﹣3a，则可对④⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故③不正确；∵当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，∴a+2b﹣c＝a﹣4a+3a＝0，即a+2b＝c，所以④正确；∵当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，函数有最大值y＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝c+c＝c，所以⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．二、填空题（本大题共6小题）13．【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵方程x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣2，则原式＝﹣3﹣2＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．14．【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．【解答】解：解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3，当1为腰，3为底时，不能构成等腰三角形；当3为腰，1为底时，能构成等腰三角形，周长为3+3+1＝7．故周长为7．故答案为：7．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．15．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为2：3，∴两个相似三角形的相似比是2：3，∴两个相似三角形的面积比是4：9，又较大三角形的面积等于18cm2，∴较小三角形的面积为8cm2，故答案为：8cm2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．16．【分析】找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：如图，设正十边形内接于⊙O，连接A7O，A4O，∵正十边形的各边都相等，∴∠A7OA4＝×360°＝108°，∴∠A4A1A7＝×108°＝54°．故答案为：54．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．17．【分析】根据题意得出△COB是等边三角形，进而得出CD⊥AB，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO的长，进而结合扇形面积求出答案．【解答】解：连接BC，∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，又∵CO＝BO，∴△COB是等边三角形，∵E为OB的中点，∴CD⊥AB，∵CD＝6，∴EC＝3，∴sin60°×CO＝3，解得：CO＝2，故阴影部分的面积为：＝4π．故答案为：4π．【点评】此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出CO的长是解题关键．18．【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）作线段AC的垂直平分线交⊙O于点D，点D即为所求．【解答】解：（1）AB＝＝2，故答案为：2；（2）如图，点D即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共7小题）19．【分析】（1）牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌中是小于3的有2张，再利用概率公式可得答案；（2）首先列出树状图，然后再确定组成的两位数，进一步分析是3的倍数的数的个数，进而可得答案．【解答】解：（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是＝；故答案为：；（2）列表格如下：十位个位A234 A11121314221222324331323334441424344共得到16个数，其中是3的倍数的是12，21，24，33，42，共5个，∴P（这个两位数是3的倍数）＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．【分析】（1）求出交点坐标，再求出反比例函数的关系式，代入计算即可得出答案；（2）求出当x＝﹣3，x＝2时，相应的反比例函数的值，再根据反比例函数图象得出答案即可；（3）根据对称性求出两个交点坐标，根据两个函数图象及交点坐标得出答案．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，∴这个交点的横坐标x＝y＝2，即这个交点的坐标为（2，2），∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的关系式为y＝，当x＝﹣3时，y＝﹣，即当x＝﹣3时，反比例函数y＝的值为﹣；（2）当x＝2时，y＝＝2，当x＝﹣3时，y＝﹣，由反比例函数的图象可知，当﹣3＜x＜0时，即图象在第三象限，y＜﹣，当0＜x＜2时，即图象在第一象限，y＞2，∴当﹣3＜x＜2时（x≠0），反比例函数y＝的取值范围是y＜﹣或y＞2，故答案为：y＜﹣或y＞2；（3）由对称性可知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交点A（2，2），B （﹣2，﹣2），所以当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2，故答案为：﹣2＜x＜0或x＞2．【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象的交点坐标，理解反比例函数、一次函数的图象和性质是正确解答的前提．21．【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC＝∠BDC＝90°，相似三角的判定方法证明△ADC ∽△CDB，其性质得，∠A＝∠BCD，最后余角的性质，角的和差求出∠ACB的度数为90°，继而可得结论；（2）根据相似三角形的性质可得△ACD的面积：△BCD的面积＝1：9，求出△BCD的面积即可得出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵CD2＝AD•BD，∴AD：CD＝CD：BD，∴△ADC∽△CDB，∴∠A＝∠BCD，又∵∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，又∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°；（2）由（1）可知，△ADC∽△CDB，AD：CD＝CD：BD，∵BD＝3CD，∴AD：CD＝CD：BD＝1：3，即CD＝3AD，∴△ACD的面积：△BCD的面积＝1：9，∵△ACD的面积为2，∴△BCD的面积为18，∴△ABC的面积为20．【点评】本题综合考查了垂直的定义，余角的性质，相似三角形的判定与性质，角的和差等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质．22．【分析】（1）如图①，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠CDA＝24°，＝，根据圆周角定理即可得到结论；（2）如图②，连接OC，BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠B＝30°，得到∠CAB＝60°，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，求得∠ECA＝30°，于是得到结论．【解答】解：（1）如图①，连接OC，∵AC＝CD，∠CDA＝24°，∴∠CAD＝∠CDA＝24°，＝，∴∠COD＝∠AOC＝2×24°＝48°，∴∠AOD＝96°，∴∠BOD＝180°﹣96°＝84°；（2）如图②，连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝6，AC＝3，∴∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∴∠ECA＝30°，∴∠E＝∠CAO﹣∠ACE＝30°，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC＝3．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．【分析】（1）由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台，由此填空即可；（2）由销售利润＝每件商品的利润×（300﹣10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于64元，可得自变量的取值；（3）利用公式法结合（2）得到的函数解析式可得二次函数的最值．【解答】解：（1）61﹣60＝1，300﹣290＝10，以此类推可得每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，所以当每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，则月销售量为300﹣10x，故答案为：300﹣10x；（2）由题意得：y＝（60+x﹣40）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000，∵每件售价不能高于64元，∴0≤x≤4，∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣10x2+100x+6000（0≤x≤4，x为整数）；（3）由（2）知，y＝﹣10x2+100x﹣6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，∵﹣10＜0，0≤x≤4，∴当x＝4时，y有最大值，最大值为6240，此时60+x＝64，答：当售价定为64时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，最大利润是6240元．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．24．【分析】（1）如图（1），过P点作PG⊥x轴，垂足为G，过Q点作QH⊥x轴，垂足为H．证明Rt△AQH≌Rt△APG．即可求点Q的坐标；（2）如图（2），过P点作PG⊥x轴，垂足为G．根据勾股定理可得AP2＝AG2+PG2＝（6﹣x）2+x2，整理得AP2＝2x2﹣12x+36．由S△APQ＝AP•AQ，S＝x2﹣6x+18＝（x﹣3）2+9．进而可求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；（3）根据BP+BQ＝，可得BP+OP＝．因为OB＝，说明点P在OB的延长线上．可得OP﹣BP＝OB＝．联立方程组可得BP和OP的长，结合（1）进而可求点Q的坐标．【解答】解：（1）如图（1），过P点作PG⊥x轴，垂足为G，过Q点作QH⊥x轴，垂足为H．∵四边形OABC是正方形，∴∠AOB＝45°．∵B（6，6），∴OA＝6．在Rt△OPG中，，∴OG＝PG＝2．∴AG＝OA﹣OG＝4．∵△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，∴∠P AQ＝90°，AQ＝AP，∴∠P AG+∠QAH＝90°，∵∠P AG+∠APG＝90°，∴∠APG＝∠QAH，∴△AQH≌△APG（AAS）．∴AH＝PG＝2，QH＝AG＝4．∴Q（8，4）；（2）如图（2），过P点作PG⊥x轴，垂足为G．∵△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，∴AP＝AQ，∠P AQ＝90°．∵P（x，y），∠POG＝45°，∴OG＝PG＝x，∴AG＝6﹣x．在Rt△APG中，根据勾股定理，AP2＝AG2+PG2＝（6﹣x）2+x2，整理得AP2＝2x2﹣12x+36．∵S△APQ＝AP•AQ，∴S＝x2﹣6x+18＝（x﹣3）2+9．∴当S取最小值时，有x＝3，∴P（3，3）；（3）Q（13，﹣1）．理由如下：如图（3），∵△AOP绕点A旋转得到△ABQ，∴OP＝BQ．∵BP+BQ＝，∴BP+OP＝．∵OB＝，∴点P在OB的延长线上．∴OP﹣BP＝OB＝．由解得：OP＝，BP＝．∴，∴AG＝OG﹣OA＝1，同（1）：Rt△AQH≌Rt△APG，∴AH＝PG＝7，QH＝AG＝1，∴OH＝OA+AH＝6+7＝13，∴Q（13，﹣1）．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质﹣旋转、二元一次方程组、三角形的面积、勾股定理、特殊角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．属于中考几何压轴题．25．【分析】（1）通过解方程﹣x2+2x+3＝0得A（﹣1，0）设交点式y＝a（x+1）（x﹣6），然后把D点坐标代入求出a的值即可得到得抛物线l2的解析式；（2）先求出C（0，3）和抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，则设P（1，t），利用两点间的距离公式和勾股定理得到12+（t﹣3）2+22+t2＝10，然后解方程求出t即可得到点P的坐标；（3）抛物线l2与抛物线l1经过的另一个交点为F，如图2，先通过解方程x2﹣x﹣3＝﹣x2+2x+3得F（4，﹣5），设M（x，x2﹣x﹣3），则N（x，﹣x2+2x+3），讨论：当﹣1≤x＜4时，MN＝﹣x2+x+6；当4≤x≤6时，MN＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣，然后分别利用二次函数的性质求出两种情况下的MN的最大值，再比较大小即可得到点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0）设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），把D（0，﹣3）代入得a•1•（﹣6）＝﹣3，解得a＝，所以抛物线l2的解析式为y＝（x+1）（x﹣6），即y＝x2﹣x﹣3；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，设P（1，t），则AC2＝12+32＝10，PC2＝12+（t﹣3）2，P A2＝22+t2，∵∠APC＝90°，∴PC2+P A2＝AC2，即12+（t﹣3）2+22+t2＝10，整理得t2﹣3t+2＝0，解得t1＝1，t2＝2，∴点P的坐标为（1，1）或（1，2）；（3）抛物线l2与抛物线l1经过的另一个交点为F，如图2，解方程x2﹣x﹣3＝﹣x2+2x+3得x1＝﹣1，x2＝4，则F（4，﹣5），设M（x，x2﹣x﹣3），则N（x，﹣x2+2x+3），当﹣1≤x＜4时，MN＝﹣x2+2x+3﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，此时x＝时，MN有最大值；当4≤x≤6时，MN＝x2﹣x﹣3﹣（﹣x2+2x+3）＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣，此时x＝6时，MN有最大值21；所以点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为21．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和勾股定理．。

2022-2023学年天津二十一中九年级（上）期末数学试卷一、选择题1.如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．2.如果2是方程20x c -=的一个根，那么常数c 是（）A.2B.4C.4- D.4或4-B【分析】把2x =代入方程20x c -=，即可求解．【详解】解：∵2是方程20x c -=的一个根，∴220c -=，解得：4c =．故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．3.如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，F 是CB 延长线上一点，△ADE ≌△ABF ，则可把△ABF 看作是以点A 为旋转中心，把△ADE （）A.顺时针旋转90°后得到的图形B.顺时针旋转45°后得到的图形C.逆时针旋转90°后得到的图形D.逆时针旋转45°后得到的图形A【分析】由旋转的性质可求解．【详解】解：∵E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE≌△ABF，∴可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°后得到的图形，故选：A．【点睛】本题考查图形旋转的性质，理解基本性质是解题关键．4.掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是（）A.1B.67 C.12D.0C【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），时间确定了则概率是不变的，而频率是改变的，根据此特点可得答案．【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是1 2.故选C．【点睛】本题考查概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．5.若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（）A.23B.4C.33D.123A【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【详解】如图：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30°，∵圆内接正六边形ABCDEF的周长为24，∴AB=4，则AM=2，因而3正六边形的边心距是3.故选A ．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．6.对于二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2+4，下列说法不正确的是（）A.开口向下B.当x >1时，y 随x 的增大而减小C.函数图象与x 轴交于点（﹣1，0）和（3，0） D.当x ＝1时，y 有最小值4D【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A 、B 、D ，令0y =，解关于x 的一元二次方程则可判定C ．【详解】解：2(1)4y x =--+ ，10a =-< ，∴开口向下，故A 说法正确，不合题意；当1x时，y 随x 的增大而减小，故B 说法正确，不合题意；令0y =可得22(1)4230x x x --+=--=，解得：11x =-，23x =，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(3,0)，故C 说法正确，不合题意；∵对称轴为1x =，顶点坐标为(1,4)，∴当1x =时，y 有最大值，最大值为4，故D 不正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．7.如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(6,6)A ，(8,2)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（）A.(3,3)B.(4,3)C.(3,1)D.(12,12)A【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C 点坐标．【详解】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半，∴端点C 的坐标为：（3，3）．故选：A ．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．8.如图，四边形ABCD 是矩形，E 是边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中的相似三角形共有（）A.4对B.3对C.2对D.1对B 【分析】根据相似三角形的判定方法即可解决问题.【详解】解：∵∠E ＝∠E ，∠FCE ＝∠D ，∴△CEF ∽△ADF ；∵∠E 是公共角，∠B ＝∠FCE ，∴△ABE ∽△CEF ；∴△ABE ∽△ADF ．故有3对．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．9.如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC=50°，则∠CDB 大小为()A.25°B.30°C.40°D.50°A【详解】由垂径定理，得： AC BC=；∴∠CDB=∠AOC=25°；故选A ．10.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，12AD DB =，则下列结论中正确的是()A.12AE AC = B.12DE BC = C.13ADE ABC =的周长的周长 D.13ADE ABC =的面积的面积C【详解】试题分析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵AD ：DB=1：2，∴AD ：AB=1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C 正确．故选C ．考点：相似三角形的判定与性质．11.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E 是AC 上一点，AE=5，ED ⊥AB ，垂足为点D ，则AD 的长为()A.254B.6C.245D.4D【分析】先证明△ADE ∽△ACB ，得出对应边成比例，即可求出AD 的长．【详解】解：∵ED ⊥AB ，∴∠ADE=90°=∠C ，∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴AD AFAC AB =，即5810AD =，解得：AD=4．故选D ．考点：相似三角形的判定与性质．12.函数2y x px q =-++的图象与x 轴交于(,0)a ，(,0)b 两点，若1a b >>，则（）A.1p q +>B.1p q += C.1p q +< D.0pq >A【分析】结合条件和二次函数图象可知当x=1时，对应的y 值小于0，可得到关于p ，q 的关系式，可得到答案．【详解】解：∵抛物线2y x px q =-++中二次项系数为−1<0，∴抛物线开口向下．由y=-x 2+px+q 的图象与x 轴交于（a ，0）和（b ，0）且a ＞1＞b 得，当x=1时，y ＞0，∴-12+p+q ＞0，∴p+q ＞1，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数与二次方程的关系，掌握二次函数图象在x=1时，对应的y ＜0是解题的关键，注意结合图形来理解．二、填空题13.如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠B ＝75°，则∠AOC 的大小为__度．150．【分析】根据圆周角定理即可解决问题．【详解】∵ =AC AC，∴∠AOC ＝2∠B ＝150°，故答案为150．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14.一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”，“1”，“2”，“4”，“5”，“5”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是______．13【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．【详解】解：掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的有2种情况，所以掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是2163=．故答案为：13【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A 的概率()P A =事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P （必然事件）1=；P （不可能事件）0=是解题的关键．15.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．2【详解】解： 扇形的弧长=0208161π⨯=2πr ，∴圆锥的底面半径为r=2．故答案为2．16.二次函数()2213y x =--+的顶点坐标是__________．（1，3）【分析】根据题目中函数的解析式可以得到此二次函数的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵y =-2（x -1）2+3，∴二次函数y =-2（x -1）2+3的图象的顶点坐标是（1，3）故答案为：（1，3）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17.如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A =55°，∠E =30°，则∠F =_____．40°【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF =∠A +∠E =85°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD =180°﹣∠A =125°，然后再根据三角形外角性质求∠F ．【详解】解：∵∠A =55°，∠E =30°，∴∠EBF =∠A +∠E =85°，∵∠A +∠BCD =180°，∴∠BCD =180°﹣55°=125°，∵∠BCD =∠F +∠CBF ，∴∠F =125°﹣85°=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质；三角形内角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ΔABC 的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，ABC 50∠︒=，BAC 30∠︒=，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上．（Ⅰ）线段AB 的长等于_______________；（Ⅱ）请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足PAC PBC PCB ∠∠∠==，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）_____．①.（Ⅰ）2；②.（Ⅱ）如图，取圆与网格线的交点E F ，，连接EF 与AC 相交，得圆心O ；AB与网格线相交于点D ，连接DO 并延长，交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足PAC PBC PCB ∠=∠=∠．【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可求出AB 的长（Ⅱ）先确定圆心，根据∠EAF=090取格点E 、F 并连接可得EF 为直径，与AC 相交即可确定圆心的位置，先在BO 上取点P,设点P 满足条件，再根据点D 为AB 的中点，根据垂径定理得出OD ⊥AB ，再结合已知条件ABC 50∠︒=，BAC 30∠︒=得出20PAC PBC PCB ∠=∠=∠= ，设PC 和DO 的延长线相交于点Q ，根据ASA 可得OPQ OPA ∆≅∆,可得OA=OQ ，从而确定点Q 在圆上，所以连接DO 并延长，交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP 即可找到点P【详解】（Ⅰ）解：2AB ==故答案为2（Ⅱ）取圆与网格线的交点E F ，，连接EF ，与AC 相交于点O ，∵∠EAF=090，∴EF 为直径,∵圆心在边AC 上∴点O 即为圆心∵AB 与网格线的交点D 是AB 中点，连接OD 则OD ⊥AB ，连接OB ，∵BAC 30∠︒=,OA=OB∴∠OAB=∠OBA=030，∠DOA=∠DOB=060，在BO 上取点P ，并设点P 满足条件，∵ABC 50∠︒=∵20PAC PBC PCB ∠=∠=∠= ，∴∠APO=∠CPO=040，设PC 和DO 的延长线相交于点Q ，则∠DOA=∠DOB=∠POC=∠QOC=060∴∠AOP=∠QOP=0120，∵OP=OP,∴OPQ OPA∆≅∆∴OA=OQ,∴点Q 在圆上，∴连接DO 并延长，交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP ,则点P 即为所求【点睛】本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性质与判定、等腰三角形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．三、解答题19.（Ⅰ）解方程()()230x x --=；（Ⅱ）无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不相等的实数根吗？给出答案并说明理由．（Ⅰ）122,3x x ==；（Ⅱ）无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不相等的实数根，理由见解析【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：（Ⅰ）()()230x x --=∴20,30x x -=-=，解得：122,3x x ==；（Ⅱ）无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不相等的实数根，理由如下：()()2320x x p ---=，整理得：22560x x p -+-=，∵21,5,6a b c p ==-=-，∴()()22224546140b ac pp∆=-=---=+>，∴无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不相等的实数根．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式是解题的关键．20.已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆O 的三等分点．连接AC ，DO ．（1）如图①，求∠BOD 及∠A 的大小；（2）如图②，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，交⊙O 于点H ，若⊙O 的半径为2．求CH 的长．（1）60BOD ︒∠=，60A ︒∠=（2）23【分析】（1）直接利用半圆所对的圆心角为180︒，半圆所对的圆周角为90︒求解即可；（2）先求出COA 是等边三角形，再求出1OF AF ==，CF HF =，最后利用勾股定理求解即可．【小问1详解】∵点C ，D 是半圆O 的三等分点，且半圆所对的圆心角为180︒，圆周角为90︒∴180603BOD ︒︒∠==，290603A ︒︒∠=⨯=，∴60BOD ︒∠=，60A ︒∠=．【小问2详解】如图，连接OC ，∴OA OC =，∵60A ︒∠=，∴COA 是等边三角形，∵CFAB ⊥，∴1OF AF ==，CF HF =，∴2222213CF OC OF =-=-=，∴3CH =CH 的长为23【点睛】本题考查了圆的相关概念，涉及圆周角和圆心角、垂径定理、等边三角形的判定与性质等知识，解题关键是牢记相关概念，正确作出辅助线构造直角三角形并利用勾股定理求解．21.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长（结果保留根号）；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．（1）；（2）证明见解析【分析】（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；（2）本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD＝AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD＝∠OAD＝90°，从而解决问题．【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP＝90°．在Rt△PAB中，AB＝2，∠P＝30°，∴BP＝2AB＝2×2＝4．由勾股定理，得AP===．（2）如图，连接OC、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ACP＝180°﹣∠BCA＝90°，在Rt△APC中，D为AP的中点，∴12CD AP AD==，∴∠4＝∠3，∵OC＝OA，∴∠1＝∠2，∵∠2+∠4＝∠PAB＝90°，∴∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，即OC⊥CD，∴直线CD是⊙O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定和性质及解直角三角形等知识．熟练掌握切线的性质及判定方法是解题的关键.22.如图，一幅长8cm 、宽6cm 的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的38．求彩条的宽度．水平彩条宽度为1cm ，竖直彩条的宽度为2cm ．【分析】水平彩条宽度为xcm ，则竖直彩条的宽度为2xcm ，由面积关系列出方程，解方程即可．【详解】解：设水平彩条宽度为xcm ，则竖直彩条的宽度为2xcm ，由题意得：38622868x x x x +⨯-⨯=⨯⨯，整理得：21090x x -+=，解得：1x =，或9x =（不合题意舍去），∴1x =，22x =，答：水平彩条宽度为1cm ，则竖直彩条的宽度为2cm ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、矩形的面积；由题意列出方程是解题的关键．23.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？销售单价为35元时，半月内获得的利润最大，最大利润是4500元【分析】设销售单价为x 元，销售利润为y 元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：设销售单价为x 元，销售利润为y 元，根据题意得：()()204002030y x x =---⎡⎤⎣⎦()()20100020x x =--220140020000x x =-+-()220354500x =--+200-< ，∴当35x =时，y 有最大值，最大值为4500，所以，销售单价为35元时，半月内获得的利润最大，最大利润是4500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能够构建二次函数解决最值问题．24.在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点()0,0O ，点()6,0A ，点()0,8B ．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ，记旋转角为()090αα︒<<︒．（1）如图1，当30α=︒时，求点D 的坐标；（2）如图2，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；（3）当点D 落在线段OC 上时，求点E 的坐标．（1）(6-，3)；（2）(65，185；（3）(12,8)【分析】（1）过点D 作DG x ⊥轴于G ，由旋转的性质得出6AD AO ==，30OAD α=∠=︒，8DE OB ==，由直角三角形的性质得出132DG AD ==，AG ==，得出6OG OA AG =-=-，即可得出点D 的坐标为(6-，3)；（2）过点D 作DG x ⊥轴于G ，DHAE ⊥于H ，则GA DH =，HA DG =，由勾股定理得出10AE ===，由面积法求出245DH =，得出65OG OA GA OA DH =-=-=，由勾股定理得出185DG =，即可得出点D 的坐标为(65，18)5；（3）连接AE ，作EG x ⊥轴于G ，由旋转的性质得出DAE AOC ∠=∠，AD AO =，由等腰三角形的性质得出AOC ADO ∠=∠，得出DAE ADO ∠=∠，证出//AE OC ，由平行线的性质的GAE AOD ∠=∠，证出DAE GAE ∠=∠，证明()AEG AED AAS ∆≅∆，得出6AG AD ==，8EG ED ==，得出12OG OA AG =+=，即可得出答案．【详解】解：（1）过点D 作DG x ⊥轴于G ，如图所示：点(6,0)A ，点(0,8)B ．6OA ∴=，8OB =，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，6AD AO ∴==，30OAD α=∠=︒，8DE OB ==，在Rt ADG ∆中，132DG AD ==，AG ==6OG OA AG ∴=-=-，∴点D 的坐标为(6-，3)；（2）过点D 作DG x ⊥轴于G ，DH AE ⊥于H ，如图所示：则GA DH =，HA DG =，8DE OB == ，90ADE AOB ∠=∠=︒，10AE ∴===， 1122AE DH AD DE ⨯=⨯，6824105AD DE DH AE ⨯⨯∴===，246655OG OA GA OA DH ∴=-=-=-=，185DG ===，∴点D 的坐标为(65，185；（3）连接AE ，作EG x ⊥轴于G，如图所示：由旋转的性质得：DAE AOC ∠=∠，AD AO =，AOC ADO ∴∠=∠，DAE ADO ∴∠=∠，//AE OC ∴，GAE AOD ∴∠=∠，DAE GAE ∴∠=∠，在AEG ∆和AED ∆中，90AGE ADE GAE DAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEG AED AAS ∴∆≅∆，6AG AD ∴==，8EG ED ==，12OG OA AG ∴=+=，∴点E 的坐标为(12,8)．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30︒角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．25.如图，抛物线y =﹣12x 2+mx +n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．(1)抛物线的解析式为：y =﹣12x 2+32x +2(2)存在，P 1（32，4），P 2（32，52），P 3（32，﹣52）(3)当点E 运动到（2，1）时，四边形CDBF 的面积最大，S 四边形CDBF 的面积最大=132．【分析】（1）将点A 、C 的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m 、n 的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD 的值，以点C 为圆心，CD 为半径作弧交对称轴于P 1；以点D 为圆心CD 为半径作圆交对称轴于点P 2，P 3；作CH 垂直于对称轴与点H ，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B 点的坐标，从而可求出BC 的解析式，从而可设设E 点的坐标，进而可表示出F 的坐标，由四边形CDBF 的面积=S △BCD +S △CEF +S △BEF 可求出S 与a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y =﹣12x 2+mx +n 经过A （﹣1，0），C （0，2）．解得：322m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y =﹣12x 2+32x +2；（2）∵y =﹣12x 2+32x +2，∴y =﹣12（x ﹣32）2+258，∴抛物线的对称轴是x =32．∴OD =32．∵C （0，2），∴OC =2．在Rt △OCD 中，由勾股定理，得CD =52．∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=CP 2=CP 3=CD ．作CH ⊥x 轴于H ，∴HP 1=HD =2，∴DP 1=4．∴P 1（32，4），P 2（32，52），P 3（32，﹣52）；（3）当y =0时，0=﹣12x 2+32x +2，∴x 1=﹣1，x 2=4，∴B （4，0）．设直线BC 的解析式为y =kx +b ，由图像，得240b k b =⎧⎨+=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：y =﹣12x +2．如图2，过点C 作CM ⊥EF 于M ，设E （a ，﹣12a +2），F （a ，﹣12a 2+32a +2），∴EF =﹣12a 2+32a +2﹣（﹣12a +2）=﹣12a 2+2a （0≤x ≤4）．∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =12BD •OC +12EF •CM +12EF •BN ，=12×52×2+12a （﹣12a 2+2a ）+12（4﹣a ）（﹣12a 2+2a ），=﹣a 2+4a +52（0≤x ≤4）．=﹣（a ﹣2）2+132∴a =2时，S 四边形CDBF 的面积最大=132，∴E （2，1）．【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值。

天津市滨海新区2022年九年级上学期《数学》期末试卷及答案一、选择题本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是（）A. B. C. D. 【答案】A【详解】一元二次方程化成一般形式为：它的二次项系数和一次项系数分别是5，-4故选：A ．2. 抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）A. 向上，轴B. 向上，轴C. 向下，轴D. 向下，轴【答案】B【详解】 ，所以抛物线开口向上，，所以对称轴为 ，对称轴为轴．故选：B ．2514x x -=54-，45-，51-，1-4，2514x x -=25410x x --=∴213y x =x y x y 13a = 0b = 02bx a =-=y3. 下列语句描述的事件为随机事件的是（）A. 通常加热到时，水沸腾B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C. 任意画一个三角形，其内角和是D. 从三张扑克牌J ，Q ，K 中取出一张是A【答案】B 【详解】A. 通常加热到时，水沸腾是必然事件，不符合题意；B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意；C. 任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，不符合题意；D. 从三张扑克牌J ，Q ，K 中取出一张是A 是不可能事件，不符合题意．故选：B ．4. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】C【详解】A ．此图案是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B ．此图案仅是中心对称图形，不符合题意；C ．此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；D ．此图案既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；故选：C．100C ︒360︒100C ︒360︒5. 抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）A. （3，5）B. （﹣3，5）C. （3，﹣5）D. （﹣3，﹣5）【答案】B【详解】抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5），故选B ．6. 下列各点中与点关于原点对称的是（）A. B. C. D. 【答案】B【详解】与点关于原点对称的点的坐标是：．故选：B ．7. 不透明袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出个球，摸出红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【详解】红球数量为5个，总的球数量为8个，∴从中随机摸出一球为红球的概率是．故选：D ．(2,1)A -(2,1)(2,1)-(2,1)--(1,2)-(2,1)A -(2,1)-185833858588. 如图，在中，，，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【详解】在中，，故选：A ．9. 如图，在中，，，则的度数是（）A. B. C. D. 【答案】DO e »»=A B A C 75C ∠=︒A ∠30°40︒50︒60︒O e »»=A B A C 75C ∠=︒75B C ∴∠=∠=︒180A B C ∠+∠+∠=︒ 18030A B C ∴∠=︒-∠-∠=︒O e OA BC ⊥50AOC ∠=︒ADB ∠50︒30°20︒25︒【详解】连接OB，，，，故选：D ．10. 如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米【答案】C 【详解】设道路的宽为x,根据题意得20x+33x−x 2=20×33−510整理得x 2−53x+150=0解得x=50(舍去)或x=3所以道路宽为3米.故选C.OA BC ⊥ 50AOC ∠=︒50AOB ∴∠=︒1252ADB AOB ∴∠=∠=︒11. 如图，在△中，，，点是的内心，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【详解】∵点是的内心，∴BO 平分，CO 平分，∴，，∴．故选A ．12. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标为，其中，．下列结论：①，②，③中，正确的结论有（）ABC 60ABC ∠=︒50∠=°ACB O ABC V BOC ∠125︒120︒130︒135︒O ABC V ABC ∠ACB ∠1230C CBO AB ∠=∠=︒1225B BCO AC ∠=∠=︒012518CBO BCO BOC ∠=︒-∠=∠-︒20y ax bx c a =++≠（）(1,2)-x 12x x ，121x --＜＜201x ＜＜420a b c -+＜20a b -＜284b a ac +＞A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【详解】根据题意得：当x=-2时，y ＜0，∴，故①正确；∵二次函数的图象与轴交点的横坐标为，其中，．开口向下，∴抛物线的对称轴，a ＜0，∴，∴，故②正确；∵二次函数的图象经过点，且对称轴在直线x=-1的右侧，∴抛物线的顶点的纵坐标大于2，∴，∵a＜0，∴，∴，故③正确；∴正确的有①②③，共3个．故选：D420a b c -+＜20y ax bx c a =++≠（）x 12x x ，121x --＜＜201x ＜＜12bx a =->-2b a >20a b -＜20y ax bx c a =++≠（）(1,2)-2424ac b a ->248ac b a -<284b a ac +＞二、填空题本大题共6小题，每小题3分，共18分．13. 抛物线可以由抛物线先向左平移个单位，再向下平移___________个单位得到的．【答案】3【详解】抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位得到的函数图象的解析式为：．故答案为：3．14. 在数学考试中，单项选择题（每个题目只有4个备选答案）是试卷的重要组成部分，当你遇到完全不会做的选择题时，如果你随便选择一个答案，那么你答对的概率为_________．【答案】【详解】根据题意得：答对的概率为．故答案为：15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．【答案】【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴∆，解得<2．故答案为：k<2．()223y x =+-2y x =22y x =()223y x =+-141414x 22230x x k ++-=k 2k ＜()224230k =--＞k16. 中，，则的内切圆的半径长是_________．【答案】2【详解】设△ABC 的内切圆为⊙O，内切圆的半径为r ，∵AB＝13，AC ＝5，BC ＝12，∴AB 2＝AC 2+ BC 2，根据勾股定理的逆定理得△ABC 是直角三角形，∠C=90°，∴，根据三角形的面积公式可得：，∴15r=30，即r=2，故答案为：2．17. 当或（）时，代数式的值相等，则时，代数式的值为_________．【答案】3【详解】由抛物线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，∵当或（）时，代数式的值相等，∴当或（）时，抛物线的函数值相等，∴以a 、b 为横坐标的点关于直线x=2对称，∴，ABC V 13,5,12AB AC BC ===ABC V 1302ABC S AC BC =⋅=V 1115131215222ABC AOC AOB BOC S S S S r r r r =++=⨯+⨯+⨯=V V V V x a =x b =a b ¹243x x -+x a b =+243x x -+()224321y x x x =-+=--x a =x b =a b ¹243x x -+x a =x b =a b ¹243y x x =-+22a b +=∴a+b=4，∵，∴x=4，当x=4时，，即时，代数式的值为3．故答案为：318. 如图，为边长为的等边三角形，点分别为和的中点，点为内部一点，且，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．（1）当三点共线时，线段的长度为_________；（2）在旋转过程中，线段的最小值为_________．【答案】①. ②. 1【详解】（1）是等边三角形,边长为，，为的中点，x a b =+244433y =-⨯+=x a b =+243x x -+ABC V 6DE ，AC BCF ABC V 2DF =BF BF B 60︒BG EG B F D 、、BFEG 2ABC ∆ 66AB AC ∴==D Q AC,,，，点、、三点共线，，，线段的长度为；(2)如图,作线段的中点,连接,作,连接,将线段绕点按逆时针方向旋转得到,连接,此时的值最小，是等边三角形,边长为，， ，点为的中点，点为的中点，点为的中点，，，，,，，132AD CD AC ∴===BD AC ⊥90ADB ∴∠=︒BD ∴=== B F D 2DF =2BF BD DF ∴=-=-∴BF 2-AB H DH 2DF =BF BF B 60︒BG EG EG ABC ∆ 66AB AC ∴==60ABC ∠=︒ D AC E BC H AB BD AC ∴⊥132BE BC ==132BH AB ==90ADB ∴∠=︒BH BE =132DH AB ∴==，，由旋转可知: ,，，，在和中，，，，在旋转过程中,线段的最小值为1.三、解答题本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19. （1）因式分解法解方程：；（2）配方法解方程：．【答案】（1）；（2）【详解】（1），解：提公因式，得，于是得，．2DF = 321HF DH DF ∴=-=-=BF BG =60FBC ∠=︒60ABC FBG ∴∠=∠=︒HBF EBG ∴∠=∠BHF ∆BEG ∆BH BEHBF EBGBF BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BHF BEG SAS ∴∆≅∆1HF EG ∴==∴EG 220x x -=21090x x ++=121=02x x =，12=9=1x x --，220x x -=2-10x x =（）02-10x x ==或121=02x x =，（2），解：移项，得，配方，得，，由此可得，．20. 如图，在半径为的中，弦的长为．（1）求的度数；（2）求点到的距离．【答案】（1） （2）到的距离为【小问1详解】解：在，，∵，∴为等边三角形，∴；【小问2详解】过点 作于点，21090x x ++=210=9x x +﹣22210+5=-95x x ++25=16x +（）54x +=±12=9=1x x --，4O e AB 4AOB ∠O AB 60AOB ∠=︒OAB O e 4OA OB ==4AB =OAB V 60AOB ∠=︒O OC AB ⊥C在，于点，∴，∵ ，∴，在中，，，∴，∴到的距离为21. 甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有数字和，乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有数字，和．从两个口袋中各随机取一个小球．请用画树状图或列表的方法求：（1）取出的个小球上的数字之和是奇数的概率是多少？（2）取出的个小球上的数字全是偶数的概率是多少？【答案】（1） （2）【小问1详解】解：根据题意，可以画出如下的树状图O e OC AB ⊥C 12AC AB =4AB =2AC =Rt OAC △4AO =2AC =OC ==O AB 2123345221216所有可能出现的结果共有种等可能结果，取出个小球上的数字之和是奇数有种，∴取出的个小球上的数字之和是奇数的概率是；【小问2详解】解：取出个小球上的数字全是偶数有种，∴取出的个小球上的数字全是偶数的概率是．【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．22. 已知：内接于，．（1）如图①，点在上，若，求和的大小；（2）如图②，点在外，是的直径，与⊙相切于点，若，求的大小．【答案】（1） （2）62323162=21216ABD △O e »»AB AD =C e O 60BCD ∠=︒ABD ∠ADB ∠C e O BD e O BC O B 50BCD ∠=︒CDA ∠30ABD ADB ∠=∠=︒85CDA ∠=︒【小问1详解】解：∵四边形内接于，，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：∵与相切于点，∴，∴∵在中，，∴∵是的直径，∴，∵，∴，，∴．23. 某村种的水稻2018年平均每公顷产8000kg ，2020年平均每公顷产9680kg ，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．ABCD O e 60BCD ∠=︒180120BAD BCD ∠=︒-∠=︒»»=AB AD AB AD =1(180)302ABD ADB BAD ∠=∠=︒-∠=︒BC O e B BD BC ⊥90CBD ∠=︒Rt BCD ∆50BCD ∠=︒9040BDC BCD ∠=︒-∠=︒BD O e 90BAD ∠=︒»»=AB AD AB AD =190452ABD ADB ∴∠=∠=⨯︒=︒454085CDA ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x ．（1）用含的代数式表示：①2019年种的水稻平均每公顷的产量为_________kg ；②2020年种的水稻平均每公顷的产量为_________kg ；（2）根据题意，列出相应方程_________；（3）解这个方程，得_________；（4）检验：_________；（5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为_________%．【答案】（1），（2）（3）（4）当x ＝－2.1时，不合题意，故舍去（5）10【小问1详解】解：根据题意，①2019年种的水稻平均每公顷的产量为kg ；②2020年种的水稻平均每公顷的产量为kg ；故答案为：；；【小问2详解】解：由题意，可列出方程：；x ()80001x +()280001x +()2800019680x +=120.1 2.1x x ==-，()80001x +()280001x +()80001x +()280001x +()2800019680x +=故答案为：；【小问3详解】解：，解得：；故答案为：；【小问4详解】解：检验：当x ＝－2.1时，不合题意，故舍去；故答案为：当x ＝－2.1时，不合题意，故舍去；【小问5详解】解：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为；故答案为：10；24. 四边形和四边形均为正方形，正方形绕点A 顺时针旋转．（1）正方形绕点A 顺时针旋转到如图①位置时，且三点在同一直线上，则和的数量关系是_________；和的位置关系是_________；（2）正方形绕点A 顺时针旋转到如图②位置时，且点落在线段上．①求证：；②若，求的长；的()2800019680x +=()2800019680x +=120.1 2.1x x ==-，120.1 2.1x x ==-，0.110%x ==ABCD AEFG AEFG AEFG D A E 、、DG BE DG BE AEFG F DG ABE ADG V V ≌10,2AB DF ==BF（3）如图③，若，，正方形绕点A 顺时针旋转过程中，取的中点，连接，记的面积为S ，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1），（2）①见解析；②（3）【小问1详解】根据题意，得：∵四边形和四边形均为正方形∴，，和中∴∴，如图，延长DG ，交BE 于点K∵10AB =6AG =AEFG DG M CM CDM V DG BE =DG BE ⊥14BF =1040S ≤≤90DAB BAE ∠=∠=︒ABCD AEFG AD AB =AG AE =90BAE ∠=︒DAG △BAE V 90AD ABDAB BAE AG AE=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()DAG BAE SAS V V ≌DG BE =ADG ABE ∠=∠90BAE ∠=︒∴∴∴故答案为：，【小问2详解】①∵四边形和均为正方形，∴∴，即在和中∴；②∵∴，∵∴点三点在一条直线上设正方形边长为，则，在中，由勾股定理得，即，整理得：，解得：．90ABE AEB ∠+∠=︒()18090DKE ABE AEB ∠=︒-∠+∠=︒DG BE⊥DG BE =DG BE⊥ABCD AEFG =90AB AD AE AG BAD EAG ===，，∠∠BAD EAD EAG EAD ∠-∠=∠-∠BAE DAG∠=∠ABE △ADG V =AB ADBAE DAGAE AG=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS V V ≌ABE ADGV V ≌90AEB AGD ∠=∠=︒90AEF ∠=︒,,B E F AEFG x 2DG BE x ==+Rt ADG V 222AD AG DG =+()22210=2x x ++22480x x +-=()1268x x ==-，舍∴；【小问3详解】如图，过点G 作，交延长线于点Q ，过点M 作∴∵点为的中点∴为的中位线∴∵，，正方形形∴，∵∴∴当点G 在直线AB 左侧时，∴当点G 在直线AB 右侧时，∴8614BF BE EF =+=+=GQ DA ⊥DA MP DA ⊥//MP GQ M DG MP DQG V 12DP DQ =10AB =6AG =ABCDcos 6cos AQ AG GAQ GAQ =⨯∠=⨯∠10DA CD AB ===0GAQ ∠≥0cos 1GAQ ≤∠≤06AQ ≤≤10DQ DA AQ AQ=-=-410DQ ≤≤10DQ DA AQ AQ=+=+1016DQ ≤≤综上，∴∵ ∴．25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点是第一象限的抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点作于点．①若，求点坐标；②过点作轴于点，交于点，连接，当的周长取得最大值时，抛物线上是否存在一点，使，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）①点D 的坐标为(2，3)；②存在，点P 的坐标为，，【小问1详解】解：把两点代入抛物线则，416DQ ≤≤28DP ≤≤152S CD DP DP =⨯=1040S ≤≤23y ax bx =++x ()3,0A ()1,0B -y C AC D D DE AC ⊥E DE CE =D D DH x ⊥H AC F 、DC DA DEF V P PAC ACD S S =△△P 2y x 2x 3=-++315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭()()3,01,0A B -，23y ax bx =++933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得．∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：①连接CD ，当x ＝0时，y ＝3，即OC ＝3，∵OC＝OA ＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC 为等腰直角三角形，∠CAO＝45°．∵DE⊥AC，DE ＝CE ，∴△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE＝45°，∴∠DCE＝∠OAC＝45°，即CD∥OA．∴点C 和D 的纵坐标都等于3．把y ＝3代入抛物线解析式得，，解得（舍去），，∴点D 的坐标为（2，3）．12a b =-⎧⎨=⎩2y x 2x 3=-++2y x 2x 3=-++2233x x -++=10x =22x =②∵DF⊥x 轴，∴DH⊥OA，∵∠CAO＝45°，∴∠AFH＝45°，∵DE⊥AC，∠DFE＝∠AFH＝45°，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴则△DEF 的周长等于．∵，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3．设点D 的坐标为，，则．∴当时，DF 取得最大值，此时△DEF 的周长取得最大值．点D 的坐标为．∵，∴点P 和D 到直线AC 的距离相等．容易得知点P 和D 重合时符合题意，此时P 的坐标为．作直线l 和k 都和直线AC 平行，且到直线AC 的距离都相等，则直线l 的解析式为DE EF DF=)1DE EF DF DF ++=+()()3,00,3A C ，()2,23m m m -++(),3F m m -+()22239233324DF m m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭32m =315,24⎛⎫⎪⎝⎭PAC ACD S S =△△315,24⎛⎫⎪⎝⎭，直线k 的解析式为．联立直线与抛物线得，解得，则点P 的坐标为，．综上所述：符合题意得点P 的坐标为，，．214y x=-+34y x =-+34y x =-+2y x 2x 3=-++23922x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12x x ==315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭。

天津市河北区2022年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.答案：D答案解析：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2. 下列事件中，是必然事件的是（）A. 掷一枚硬币，正面朝上B. 购买一张彩票，一定中奖C. 任意画一个三角形，它的内角和等于180度D. 存在一个实数，它的平方是负数答案：C【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．根据定义即可解决．答案解析：A ．掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；B ．购买一张彩票，一定中奖是随机事件；C ．任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件；D ．存在一个实数，它的平方是负数是不可能事件；故选：C ．3. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ）A. x 2+2x+1=0B. x 2+x+2=0C. x 2﹣1=0D. x 2﹣2x﹣1=0答案：B答案解析：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B ．4. 抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A. (3，4)B. (－3，4)C. (3，－4)D. (2，4)答案：A答案解析：根据 的顶点坐标为 ，易得抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐2()y a x h k =-+(,)h k标是（3，4）.故选A.5. 抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ）A. 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B. 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C. 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D. 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度答案：D答案解析：抛物线y=x 2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选D ．6. 如图，在Rt ABC 中，BAC ＝，将ABC 绕点A 顺时针旋转后得到A （点B 的对应点是点，点C 的对应点是点），连接C ．若C ＝，则B 的大小是（ ）A. 32°B. 64°C. 77°D. 87°答案：C 答案解析：根据旋转可得：，则，∆∠90 ∆90 ∆B C ''B 'C 'C '∠C 'B '32o ∠90AC AC CAC ='∠'=︒，45ACC AC C ∠'=∠'=︒则 ，则，则根据旋转图形的性质可得：．故选：C.7. 如图，⊙O 是∆ABC 的外接圆，半径为，若，则的度数为（）A. 30°B. 25°C. 15°D. 10°答案：A答案解析：连接OB 和OC ，∵圆O 半径为2，BC=2，∴△OBC 为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°，故选A．453213B C A AC C CC B ''∠'=∠'-∠'=︒-︒=︒180180901377AB C B AC B C A ''''∠''=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒77B AB C ∠=∠''=︒2cm 2cm BC =A ∠8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为( )A. B. C. D. 答案：C 答案解析：根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，根据圆周角定理可知∠D=0.5∠AOC，因此∠B+∠D=∠AOC+0.5∠AOC=180°，解得：∠AOC=120°，因此∠ADC=60°．故选：C ．9. 在等腰三角形ABC 中，AC=BC=2，D 是AB 边上一点，以AD 为直径的⊙O 恰好与BC 相切于点C ，则BD 的长为（ ）A. 1B.C. 2D.45︒50︒60︒75︒答案：B答案解析：如图，连接OC，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，∴∠COB＝2∠B，∵⊙O与BC相切于点C，∴∠OCB＝90°，∴∠COB+∠B＝2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝30°，BC，∴OB＝2OC故选：B．10. 已知二次函数y ＝a （x+1）（x﹣m）（a 为非零常数，1＜m ＜2），当x<-1时，y 随x 的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）①当x ＞2时，y 随x 的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a ＜0；③若（﹣2021，y 1），（2021，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④若图象上两点（，y 1），（+n ，y 2）对一切正数n ，总有y 1＞y 2，则1＜m≤．A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①③④答案：D答案解析：①：∵二次函数y ＝a （x+1）（x﹣m）（a 为非零常数，1＜m ＜2），∴x 1＝﹣1，x 2＝m ，x 1＜x 2，又∵当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴a＜0，开口向下，∴当x ＞2＞x 2时，y 随x 的增大而减小，故①正确；②：∵二次函数y ＝a （x+1）（x﹣m）（a 为非零常数，1＜m ＜2），当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴a＜0，若图象经过点（0，1），则1＝a （0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，∵a＜0，1＜m ＜2，141432∴﹣1＜a ＜﹣ ，故②错误；③：又∵对称轴为直线x ＝，1＜m ＜2，∴0＜＜ ，∴若（﹣2021，y 1），（2021，y 2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y 1＜y 2，故③正确；④若图象上两点（，y 1），（+n ，y 2）对一切正数n ，总有y 1＞y 2，1＜m ＜2，∴该函数与x 轴的两个交点为（﹣1，0），（m ，0），∴0＜≤，解得1＜m≤ ，故④正确；∴①③④正确；②错误．故选：D ．二、填空题本大题共8个小题，每小题3分，共24分．11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为__________．答案：答案解析：∵点与点关于原点对称，∴点的坐标为；故答案为：1212m-+12m-+12141412m-+1432()2,1A -B B ()2,1-()2,1A -B B ()2,1-()2,1-12. 大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是______．答案：答案解析：背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，共有5种情况，“中”只有一种情况，随机抽取一张，背面恰好写着“中”字的概率是．故答案为：．13. 如图，设A(-2，y 1)、B(1，y 2)、C(2，y 3)是抛物线y=-(x+1)2+m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________(用“>”连接)．答案：y 1>y 2>y 3答案解析：由抛物线的解析式可知，其对称轴为x=-1∵点A 和点B 以及点C 的横坐标分别为-2,1，2∴点C 距离x=-1最远，点A 距离x=-1最近又∵抛物线的开口向下∴y 1＞y 2＞y 3，故答案为：y 1＞y 2＞y 3.15151514. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．答案：2答案解析：扇形的弧长==2πr，∴圆锥的底面半径为r=2．故答案为2．15. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O 是这段弧的圆心，C 是上一点，．垂足为D ，，，则这段弯路的半径是______m ．答案：答案解析：设这段弯路的半径是rm ，，则OA=OC=rm ，，∵OC⊥AB， ∴， 在Rt△AOD 中，由勾股定理得：，解得：，则这段弯路的半径是100m ，故答案为100。

初三年级数学学科期末考试一、选择题（本大题共12小题，共36．0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.用配方法解方程2420x x ++=，下列配方正确的是（）A.()222x -= B.()222x += C.()222x -=- D.()226x -=3.已知O 的半径为2cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 和O 的位置关系为（）A.点P 在圆外B.点P 在圆上C.点P 在圆内D.不能确定4.如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥于点H ，若60AOC ∠=︒，2OH =，则弦AB 的长为（）A.4B.C. D.5.男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，设该小组有x 支球队，则可列方程为（）A.()16x x -= B.()16x x += C.()1162x x -= D.()1162x x +=6.若()14,A y -，()23,B y -，()31,C y 为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A.123y y y <<B.213y y y << C.312y y y << D.132y y y <<7.如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ．下列结论一定正确的是（） A.AC AD = B.AB EB ⊥ C.BC DE=D.A EBC∠=∠8.如图，边长为3的正六边形ABCDEF 内接于O ，则扇形OAB （图中阴影部分）的面积为（）A.πB.32π C.3π D.94π9.如图，AB 是O 的切线，B 为切点，AO 与O 交于点C ，若35BAO ∠=︒，则OCB ∠的度数为（）A .42.5︒B.55.5︒C.62.5︒D.75︒10.已知一个圆锥的底面半径是5cm ，侧面积是285cm π，则圆锥的母线长是（）A.6.5cmB.13cmC.17cmD.26cm11.如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为5，125B ∠=︒，则AOC ∠的度数（）A.60︒B.70︒C.90︒D.110︒12.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc <；②20a b +=；③320b c -<；④2am bm a b +≥+（m 为实数）．其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6小题，共18．0分）13.点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为____．14.不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．15.将抛物线22y x =-向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是________．16.已知关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是___．17.如图，O 是ABC 的内切圆，若58A ∠=︒，则BOC ∠=________．18.如图，在Rt OAB V 中，90,8,10AOB OA AB ∠=︒==，O 的半径为4，点P 是AB上的一动点，过点P 作O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则PQ 的最小值为________．三、计算题（本大题共2小题，共12．0分）19.解下列方程：（1）2230x x --=（2）2(3)7(3)x x x -=-20.如图，已知：AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 是O 的切线，AD CD ⊥于点D ，E 是AB 延长线上的一点，CE 交O 于点F ，连接OC ，AC ，若105DAO ∠=︒，30E ∠=︒．（1）求OCE ∠的度数；（2）若O 的半径为，求线段EF 的长．四、解答题（本大题共5小题，共40．0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.2021年10月16日，神舟十三号载人飞船成功发射，这是中国空间站关键技术验证阶段第六次飞行，也是该阶段最后一次飞行任务．为了让同学们了解更多的航天知识，某校举办航天知识讲座，需要两名引导员，学校决定从A 、B 、C 、D 四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则如下：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“选中A 志愿者”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；（2）求同时选中A 、B 两名志愿者的概率．22.已知AB 是O 的直径，C 为O 上一点，连接BC ，过点O 作OD BC ⊥于D ，交 BC于点E ，连接AE ，交BC 于F ．（1）如图1，求证：2BAC E ∠∠＝．（2）如图2，连接OF ，若1OF AB DF ⊥，＝，求AE 的长．23.如图，D ，E ，F 是Rt ABC △三边上的点，且四边形CDEF 为矩形，6BC =，30A ∠=︒．（1）求AB 的长；（2）设AE x =，则DE =________，EF =________（用含x 的表达式表示）；（3）求矩形CDEF 的面积的最大值．24.在平面直角坐标系中，点()4,0A ，点()0,4B 分别是坐标轴上的点，连接AB ．把ABO 绕点B 逆时针旋转得A BO ''△．点A ，O 旋转后的对应点为A '，O '．记旋转角为α．（1）如图①，当点O '落在AB 边上时，求α的值和点O '的坐标；（2）如图②，当60α=︒时，求AA '的长和点O '的坐标；（3）连接AO '，直接写出在旋转过程中AO A ''△面积的最大值．25.已知点A (2，－3)是二次函数2(21)2y x m x m =+--图象上的点．（1）求二次函数图象的顶点坐标：（2）当14x -≤≤时，求函数的最大值与最小值的差：（3）当3t x t +≤≤时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t 的值．初三年级数学学科期末考试一、选择题（本大题共12小题，共36．0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A. B.C. D.D【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【详解】A 、不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．2.用配方法解方程2420x x ++=，下列配方正确的是（）A.()222x -= B.()222x += C.()222x -=- D.()226x -=B【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．【详解】解：2420x x ++=，242x x +=-，24424x x ++=-+，()222x +=．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．3.已知O 的半径为2cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 和O 的位置关系为（）A.点P 在圆外B.点P 在圆上C.点P 在圆内D.不能确定A【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【详解】解：∵⊙O 的半径为2cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，即3cm OP =，∴点P 在O 外，故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：若点P 在圆外，则d r >；若点P 在圆上，则d r =；若点P 在圆内，则d r <，反之也成立．4.如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥于点H ，若60AOC ∠=︒，2OH =，则弦AB 的长为（）A.4B.C. D.D【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得AH ==AH BH =，即可得出答案．【详解】解：∵OC AB ⊥，∴AH BH =，∵60AOC ∠=︒，2OH =，∴30OAH =︒∠，∴4OA =，∴AH ===，∴2AB AH ==，故选：D ．【点睛】本题考查了根据垂径定理求值，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，难度不大．5.男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，设该小组有x 支球队，则可列方程为（）A.()16x x -=B.()16x x += C.()1162x x -= D.()1162x x +=C【分析】设该小组有x 支球队，则每个队参加(1)x -场比赛，则共有1(1)2x x -场比赛，从而可以列出一个一元二次方程．【详解】解：设该小组有x 支球队，则共有1(1)2x x -场比赛，由题意得：1(1)62x x -=，故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，关要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有n 支球队参加，那么就有1(1)2n n -场比赛，此类虽然不难求出x 的值，但要注意舍去不合题意的解．6.若()14,A y -，()23,B y -，()31,C y 为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A.123y y y <<B.213y y y << C.312y y y << D.132y y y <<B【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．【详解】解：把()14,A y -，()23,B y -，()31,C y 分别代入245y x x =+-得，1164(4)55y =+⨯--=-；294(3)58y =+⨯--=-；314150y =+⨯-=；则1y ，2y ，3y 的大小关系是213y y y <<，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．7.如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ．下列结论一定正确的是（）A.AC AD= B.AB EB ⊥ C.BC DE = D.A EBC∠=∠D【分析】利用旋转的性质得AC=CD ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ，所以选项A 、C 不一定正确再根据等腰三角形的性质即可得出A EBC ∠=∠，所以选项D 正确；再根据∠EBC =∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=0180-∠ACB 判断选项B 不一定正确即可．【详解】解：∵ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，∴AC=CD ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ，∴∠A=∠CDA=180ACD 2∠︒-；∠EBC=∠BEC=180BCE2∠︒-，∴选项A 、C 不一定正确，∴∠A =∠EBC ，∴选项D 正确．∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=0180-∠ACB 不一定等于090，∴选项B 不一定正确；故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．8.如图，边长为3的正六边形ABCDEF 内接于O ，则扇形OAB （图中阴影部分）的面积为（）A.πB.32π C.3π D.94πB【分析】根据已知条件可得出AOB 60∠=︒，圆的半径为3，再根据扇形的面积公式2S 360r απ=（α为圆心角的度数）求解即可.【详解】解： 正六边形ABCDEF 内接于O ，60AOB ∴∠︒＝，OA OB ＝，AOB ∴ 是等边三角形，OA OB AB ∴＝＝＝3，∴扇形AOB 的面积260333602ππ⨯==，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点求扇形的面积，熟记面积公式并通过题目找出圆心角的度数与圆的半径是解题的关键9.如图，AB 是O 的切线，B 为切点，AO 与O 交于点C ，若35BAO ∠=︒，则OCB ∠的度数为（）A.42.5︒B.55.5︒C.62.5︒D.75︒C【分析】首先根据切线的性质，可得90OAB ∠=︒，即可求得O ∠的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可求得OCB ∠的度数．【详解】解：AB 是O 的切线，B 为切点，90OBA ∴∠=︒，35BAO ∠=︒ ，90903555O BAO ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，OB OC = ，()()111801805562.522OBC OCB O ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等边对等角及三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解决问题的关键．10.已知一个圆锥的底面半径是5cm ，侧面积是285cm π，则圆锥的母线长是（）A.6.5cmB.13cmC.17cmD.26cmC【分析】根据圆锥侧面积公式S rl π=，其中r 为圆锥的底面半径，l 为圆锥的母线长，将数据直接代入求出即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径是5cm ，侧面积为285cm π，圆锥侧面积公式S rl π=，∴585l ππ=，解得：()17cm l =，故选：C ．【点睛】此题主要考查了圆锥侧面积公式的有关计算，解决问题的关键是正确记忆圆锥的侧面积公式，以及各字母所代表的意义．11.如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为5，125B ∠=︒，则AOC ∠的度数（）A.60︒B.70︒C.90︒D.110︒D【分析】连接OA 、OC ，根据“圆内接四边形对角互补”可求得D ∠的度数，根据圆周角定理即可求得AOC ∠．【详解】解：连接OA 、OC ，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，125B ∠=︒，∴18012555D ∠=︒-︒=︒，∴2110AOC D ∠=∠=︒，故选D【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟练的掌握“圆的内接四边形的对角互补”及圆周角定理是关键．12.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc <；②20a b +=；③320b c -<；④2am bm a b +≥+（m 为实数）．其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个C【分析】由抛物线的对称轴的位置判断a b ，的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定20a b +=；当=1x -时，y a b c =-+；然后由图象顶点坐标得出2am bm a b +≥+．【详解】解：①∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴0ab <，∵0c <，∴0abc >，故①错误；②∵对称轴12bx a=-=，∴20a b +=；故②正确；③∵20a b +=，∴12a b =-，∵当=1x -时，0y a b c =-+>，∴102b bc --+>，∴320b c -<，故③正确；④根据图象知，当1x =时，y 有最小值；当m 为实数时，有2am bm c a b c ++≥++所以2am bm a b +≥+（m 为实数）．故④正确．本题正确的结论有：②③④，3个；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当0a >时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0ab >），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0ab <），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于()0,c ．二、填空题（本大题共6小题，共18．0分）13.点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为____．（1，-2）【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横坐标、纵坐标都互为相反数，进而得出答案．【详解】解：点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，-2）．故答案为：（1，-2）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．14.不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．37【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是37，故答案为37．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n ．15.将抛物线22y x =-向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是________．()211y x =++【分析】根据二次函数“左加右减、上加下减”的平移规律即可得答案．【详解】解：∵将抛物线22y x =-向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，∴平移后的抛物线解析式是()22(1)2311y x x =+-+=++，故答案为：()211y x =++．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：“左加右减，上加下减”，并用规律求函数解析式．16.已知关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是___．13a >-且0a ≠【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程2230ax x +-=（a≠0）的根的判别式是240b ac -＞即可进行解答【详解】由关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根得2Δ44430b ac a =-=+⨯>，解得13a >-则13a >-且0a ≠故答案为13a >-且0a ≠【点睛】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程2230ax x +-=（a ≠0）中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根．17.如图，O 是ABC 的内切圆，若58A ∠=︒，则BOC ∠=________．119︒##119度【分析】根据O 是ABC 的内切圆，得出12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，进而得出122ABC ACB ∠+∠=︒，即可得出答案．【详解】解：∵O 是ABC 的内切圆，∴12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，∵58A ∠=︒，∴180122ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∴()()11801802BOC OBC OCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠11801221192=︒-⨯︒=︒故答案为：119︒．【点睛】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大．18.如图，在Rt OAB V 中，90,8,10AOB OA AB ∠=︒==，O 的半径为4，点P 是AB 上的一动点，过点P 作O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则PQ 的最小值为________．5连接OP ，OQ ，由PQ 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OQ 与PQ 垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP 最小时，PQ 最短，根据垂线段最短得到OP 垂直于AB 时最短，利用面积法求出此时OP 的值，再利用勾股定理即可求出PQ 的最小值．【详解】解：连接OP ，OQ ，∵PQ 与圆O 相切，∴∠PQO =90°，∵OQ 不变，∴当OP 最小时，PQ 最小，此时OP 与AB 垂直，∵OA =8，AB =10，∴OB =6，∴OP =OA OB AB⨯=245，∴PQ 4115，故答案为：5．【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．三、计算题（本大题共2小题，共12．0分）19.解下列方程：（1）2230x x --=（2）2(3)7(3)x x x -=-（1）123,1x x ==-（2）172x =-，23x =【分析】（1）先求解24160,b ac =-= ＞再利用求根公式解方程即可；（2）把原方程化为()()23730,x x x -+-=再利用因式分解的方法解方程即可．【小问1详解】1,2,3a b c ==-=- 解：则24160,b ac =-= ＞4216,22b x a -±±∴==123,1x x ∴==-【小问2详解】解：()()23730x x x ---=，∴()()23730,x x x -+-=∴()()2730x x +-=解得172x =-，23x =【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用公式法与因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．20.如图，已知：AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 是O 的切线，AD CD ⊥于点D ，E 是AB 延长线上的一点，CE 交O 于点F ，连接OC ，AC ，若105DAO ∠=︒，30E ∠=︒．（1）求OCE ∠的度数；（2）若O 的半径为，求线段EF 的长．（1）45︒（2）2【分析】（1）根据切线的性质得出OC CD ⊥，从而得出AD OC ∥，由平行线的性质可得：105EOC DAO ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理即可得出答案；（2）作OG CE ⊥于点G ，根据垂径定理可得FG CG =，根据30度角直角三角形即可求出GE =，进而可得EF 的长．【小问1详解】证明：∵CD 是O 的切线，∴OC CD ⊥，∵AD CD ⊥，∴AD OC ∥，∵105DAO ∠=︒，∴105EOC DAO ∠=∠=︒，∵30E ∠=︒，∴1801053045OCE ∠=︒-︒-︒=︒；【小问2详解】解：如图，作OG CE ⊥于点G ，根据垂径定理，得FG CG =，∵OC =，45OCE ∠=︒．∴2CG OG ==，∴2FG =，在R t OGE △中，∵30E ∠=︒，∴4OE =，∴GE =，∴2EF GE FG =-=-．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，解决本题的关键是综合掌握以上知识．四、解答题（本大题共5小题，共40．0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.2021年10月16日，神舟十三号载人飞船成功发射，这是中国空间站关键技术验证阶段第六次飞行，也是该阶段最后一次飞行任务．为了让同学们了解更多的航天知识，某校举办航天知识讲座，需要两名引导员，学校决定从A 、B 、C 、D 四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则如下：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“选中A 志愿者”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；（2）求同时选中A 、B 两名志愿者的概率．（1）随机；（2）16．【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中A ，B 两名志愿者同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解： 卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，∴“A 志愿者被选中”是随机事件，故答案为：随机；【小问2详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中A 、B 两名志愿者同时被选中的结果有2种，∴P （A 、B 两名志愿者同时被选中）21126=．【点睛】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件的概念，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意区分题目是放回试验还是不放回试验是解题的关键．22.已知AB 是O 的直径，C 为O 上一点，连接BC ，过点O 作OD BC ⊥于D ，交 BC于点E ，连接AE ，交BC 于F ．（1）如图1，求证：2BAC E ∠∠＝．（2）如图2，连接OF ，若1OF AB DF ⊥，＝，求AE 的长．（1）见解析（2）6【分析】（1）先证OE AC ∥，推出CAF AEO ∠=∠，由OA OE =推出OAE E ∠=∠即可证明结论；（2）先证30B EAO E ∠=∠=∠=︒，求出EF AF 、，最后根据AE AF EF =+求解即可．【小问1详解】证明：如图1∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵OE BC ⊥，∴90ODB ACB ∠=∠=︒，∴OE AC ∥，∴CAF AEO ∠=∠，∵OA OE =，∴AEO OAE ∠=∠，∴2BAC E ∠=∠．【小问2详解】解：如图2：∵OF AB OA OB ⊥=，，∴FA FB=∴FAB FBA ∠=∠，∵CAF EAB ∠=∠，∴2CAB ABC∠=∠∵90ACB ∠=︒∴90CAB B ∠+∠=︒，∴30B EAO E ∠=∠=∠=︒，∴120AOE ∠=︒∴30FOE E ∠=∠=︒∴FO EF =，∵FD OE ⊥，∴2224EF OF DF AF OF =====，，∴426AE AF EF =+=+=．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形等知识，灵活运用特殊三角形的性质是解答本题的挂机．23.如图，D ，E ，F 是Rt ABC △三边上的点，且四边形CDEF 为矩形，6BC =，30A ∠=︒．（1）求AB 的长；（2）设AE x =，则DE =________，EF =________（用含x 的表达式表示）；（3）求矩形CDEF 的面积的最大值．（1）12（2）12x ，2x（3）【分析】(1)直接利用直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可；(2)根据矩形的性质得到90ADE ∠=︒，EF DC =，然后利用勾股定理进行求解即可；(3)利用矩形的面积公式列出式子，再进行配方求解即可【小问1详解】解： 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6BC =，30A ∠=︒，22612AB BC ∴==⨯=；【小问2详解】解： 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6BC =，12AB =，AC ∴=，四边形CDEF 为矩形，90ADE ∴∠=︒，EF DC =，30A ∠=︒ ，1122DE AE x ∴==，2AD x ∴===，2EF DC AC AD ∴==-=，故答案为：12x ，2x -；【小问3详解】解： 四边形CDEF 为矩形，12DE x =，32EF x =，CDEF S DE EF ∴=⋅矩形1322x x ⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭24x =-+()21236364x x =--+-()2364x =--+∴当6x =时，矩形CDEF 的面积最大，最大值为．【点睛】本题主要考查的是列代数式，二次函数的最值，矩形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理的有关知识，正确列出代数式是解决本题的关键．24.在平面直角坐标系中，点()4,0A ，点()0,4B 分别是坐标轴上的点，连接AB ．把ABO 绕点B 逆时针旋转得A BO ''△．点A ，O 旋转后的对应点为A '，O '．记旋转角为α．（1）如图①，当点O '落在AB 边上时，求α的值和点O '的坐标；（2）如图②，当60α=︒时，求AA '的长和点O '的坐标；（3）连接AO '，直接写出在旋转过程中AO A ''△面积的最大值．（1）45α=︒，(-；（2）()2O '，AA '=；（3）面积最大时，8AA O S ''=+ 【分析】（1）先判断ABO 是等腰直角三角形，当点O '落在边AB 上时，45α=︒，如图，过O '作O K OB '⊥于K ，则BO K ' 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得点O '的横坐标，纵坐标；（2）根据勾股定理求出AB ，如图，过点O '作O H OB '⊥于点H ，再利用含30︒的直角三角形的性质与勾股定理，可得点A '的坐标；再说明ABA '△为等边三角形，可得AA '的长；（3）先判断AO A ''△面积的最大值时，A BO ''△的位置，再求出面积即可．【小问1详解】解：∵点()4,0A ，点()0,4B ，∴4OA OB ==，ABO 是等腰直角三角形，∴AB ==45ABO ∠=︒．当点O '落在边AB 上时，45α=︒，如图，过O '作O K OB '⊥于K ，则BO K ' 是等腰直角三角形，∴BK O K '=，而4O B OB '==，∴28O K '=，则O K BK '==∴4OK =-，∴点O '的坐标是(-．【小问2详解】如图，过点O '作O H OB '⊥于点H ，在Rt O BH ' 中，∵4O B '=，60OBO '∠=︒，∴30HO B '∠=︒，∴122BH O B '==，O H '==∴422OH =-=，∴()2O '；当60α=︒时，∴60ABA '∠=︒，而AB A B '=，∴ABA '△为等边三角形，∴AA A B AB ''===【小问3详解】如图，以A O ''为底，当高最大时，A O A '' 的面积最大，即当A O B '' 旋转到如图所示的位置时，高最大．则4AO AB BO ''=+=，∴此时(1144822AA O S A O AO '''''==⨯+=+【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，坐标与图形，二次根式的化简，勾股定理等，判断A O B '' 的位置是求A O A '' 的面积最大的关键．25.已知点A (2，－3)是二次函数2(21)2y x m x m =+--图象上的点．（1）求二次函数图象的顶点坐标：（2）当14x -≤≤时，求函数的最大值与最小值的差：（3）当3t x t +≤≤时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t 的值．（1）(3，－4)（2）当－1≤x ≤4时，函数的最大值与最小值的差为16（3）t ＝1或2【分析】（1）把点A 代入解析式中，解得52m =-，再利用配方法化成顶点式解析式即可解得顶点坐标；（2）分别解得当－1≤x ≤4时，函数的最大值与最小值，再求差；（3）当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，①当t +3＜3时，即t ＜0，y 随着x 的增大而减小；②当0≤t ＜3时，顶点的横坐标在取值范围内；③当t >3时，y 随着x 的增大而增大，分别解得函数对应的最大值，再由函数的最大值与最小值的差为4，列方程，解方程即可解答．【小问1详解】解：∵已知A (2，-3)是二次函数()2212y x m x m =+--图象上的点∴44223m m +--=-解得52m =-∴此二次函数的解析式为：2265(3)4y x x x =-+=--∴顶点坐标为（3，－4）；【小问2详解】∵顶点坐标为（3，－4），∴当x ＝3时，y 最小值＝－4，当x ＝－1时，y 最大值＝12∴当－1≤x ≤4时，函数的最大值与最小值的差为16；【小问3详解】当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，①当t +3＜3时，即t ＜0，y 随着x 的增大而减小，当x ＝t 时，y 最大值＝t 2-6t +5当x ＝t +3时，y 最小值＝（t +3）2-6（t +3）+5＝t 2-4，t 2-6t +5-（t 2-4）=4﹣t 2+4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝﹣6t +9=4，解得56t =（不合题意，舍去），②当0≤t ＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴y 最小值＝－4，i）当0≤t≤32时，在x＝t时，y最大值＝t2-6t+5，∴t2-6t+5－（－4）=4，解得t1＝1，t2＝5（不合题意，舍去）；ii）当32＜t＜3时，在x＝t+3时，y最大值＝t2－4，∴t2－4－（－4）=4，∴解得t1＝2，t2＝－2（不合题意，舍去），③当t>3时，y随着x的增大而增大，当x＝t时，y最小值=t2-6t+5，当x＝t+3时，y最大值＝t2-4，∴t2-4-（t2-6t+5）=4解得136t （不合题意，舍去），综上所述，t＝1或2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、将一般式解析式转化为顶点式解析式、解一元二次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．。

九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．109．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm211．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 718．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为6cm，即OP＝6，∴点P在⊙O上．故选：B．2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不中心对称图形，故本选项不合题意；D、不中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π【分析】根据弧长公式l＝，计算即可．【解答】解：弧长＝＝，故选：D．4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列表法展示所以36种等可能的结果数，找出向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，然后根据概率公式进行计算．【解答】解：列表如下：共有6×6＝36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率＝＝．故选：D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，∴△ABC∽△DEF，∴＝，即＝，解得，DE＝，故选：B．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据垂径定理的推论，即可求得：OC⊥AD，由∠BAD＝20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC＝OA，即可求得∠ACO的度数【解答】解：∵AB为⊙O的直径，C为的中点，∴OC⊥AD，∵∠BAD＝20°，∴∠AOC＝90°﹣∠BAD＝70°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝＝＝55°，故选：C．7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．10【分析】直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则把y＝﹣4x+1代入二次函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△＝0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：x2+2x+k＝﹣4x+1，即x2+6x+（k﹣1）＝0，则△＝36﹣4（k﹣1）＝0，解得：k＝10．故选：D．9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，B、C正确，不符合题意；故选：A．10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm2【分析】作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，由正六边形和等边三角形的性质求出GH＝PG+PQ+QH ＝9cm，由等边三角形的面积公式即可得出答案．【解答】解：如图所示：作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，如图所示：∵△GHM是等边三角形，∴∠MGH＝∠GHM＝60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠ABC＝120°，正六边形ABCDEF是轴对称图形，∵G、H、M分别为AF、BC、DE的中点，△GHM是等边三角形，∴AG＝BH＝3cm，∠MGH＝∠GHM＝60°，∠AGH＝∠FGM＝60°，∴∠BAF+∠AGH＝180°，∴AB∥GH，∵作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，∴PQ＝AB＝6cm，∠PAG＝90°﹣60°＝30°，∴PG＝AG＝cm，同理：QH＝cm，∴GH＝PG+PQ+QH＝9cm，∴△GHM的面积＝GH2＝cm2；故选：A．11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝α，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α，∴AB＝AD，∠BAD＝α，∴∠B＝＝90°﹣，故选：C．12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．【解答】解：当0≤t≤2时，S＝＝，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，当2＜t≤4时，S＝﹣＝，即S与t是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项C符合题意，故选：C．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．【解答】解：∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，∴随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是，故答案为．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件AC2＝DC•BC（答案不唯一）．【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD＝∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠B或∠ADC＝∠BAC；②AC2＝DC•BC；故答案为：AC2＝DC•BC（答案不唯一）．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为4．【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为，可求出AB的长，则DB的长可求出．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，∴S△ADE＝S四边形DBCE，∴＝，∴＝，∵AD＝4，∴AB＝4．∴DB＝AB﹣AD＝4﹣4．故答案为：4﹣4．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为20cm．【分析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到CA＝CE，DE＝DB，然后三角形周长的定义得到△PDC 的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PB＝PA＝10cm，∵CA与CE为⊙的切线，∴CA＝CE，同理得到DE＝DB，∴△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC∴△PDC的周长＝PA+PB＝20cm，故答案为20cm．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为﹣1 ．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．【解答】解：根据图表可以得到，点（﹣2，7）与（4，7）是对称点，点（﹣1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x＝1，∴横坐标是2的点与（0，﹣1）是对称点，∴m＝﹣1．18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为﹣1 ．【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．【解答】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝＝＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故答案为：﹣1．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣7x﹣30＝0，（x﹣10）（x+3）＝0，x﹣10＝0，x+3＝0，x1＝10，x2＝﹣3．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【解答】解：（1）如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，所有两次摸出的小球标号相同的概率为＝；（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种，所以其概率为．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD＝∠BAD，继而求得答案；（2）首先连接OE，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：（1）连接OD，∵OA为半径的圆与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ADO＝25°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAD＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°；（2）连接OF，OD，由（1）得：OD∥AC，∴∠AFO＝∠FOD，∵OA＝OF，点F为的中点，∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD，∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∵OA＝OD＝2，∴OB＝2OD＝4，∴AB＝OA+OB＝6．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，可得，由此即可解决问题；（Ⅱ）由PB∥DC，可得，可得PA的长．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵，∴，又∵BF＝15，∴，∴；（Ⅱ）解：能．∵四边形ABCD是平行四边形，∴PB∥DC，AB＝DC＝8，∴，∴，∴PA＝．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，列方程求解即可；（2）设AB＝xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，由题意得：x（100﹣2x）＝450解得：x1＝5，x2＝45当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100﹣2x＝10＜20答：AD的长为10m；（2）设AB＝xm，则S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，（0＜x≤70）∴x＝50时，S的最大值是1250．答：当x＝50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由图形得∠BAE＝∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA＝∠BAD+45°，可得∠BAE＝∠CDA，根据∠B＝∠C＝45°，证明两个三角形相似；（2）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决．【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠BAD+45°，∠CDA＝∠BAD+45°，∴∠BAE＝∠CDA，又∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA；（2）解：成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，则CE＝BH，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°．连接HD，在△EAD和△HAD中，，∴△EAD≌△HAD（SAS）．∴DH＝DE．又∠HBD＝∠ABH+∠ABD＝90°，∴BD2+BH2＝HD2，即BD2+CE2＝DE2．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x 轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE＝PF，∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，∴＝，∴．∴PE+PA的最小值是3．。

天津市第二耀华中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（）A ．47B ．37C ．27D ．173．如图，点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A ′B ′C ′，点P 在A ′C ′上的对应点P ′的的坐标为（）A ．（4，3）B ．（3，4）C ．（5，3）D ．（4，4）4．已知O 的半径为2cm ，点P 到圆心O 的距离为4cm ，则点P 和O 的位置关系为（）A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．不能确定5．如图，在ABCD Y 中，F 是BC 边上一点，延长DF 交AB 的延长线于点E ，若3AB BE ＝，则:BF CF 等于（）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．2:56．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是()A ．()249x +=-B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x +=7．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点H ，若∠AOC ＝60°，OH ＝1，则弦AB 的长为()A ．BC ．2D ．48．如图，边长为3的正六边形ABCDEF 内接于O ，则扇形OAB （图中阴影部分）的面积为（）A ．πB ．32πC ．3πD ．94π9．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点C ，若∠BAO=40°，则∠OCB 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．65°D ．75°10．抛物线()221y x c =-+过()12,y -，()20,y ，35,3y ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点，则1y ，2y ，3y 大小关系是（）A ．231y y y >>B ．123y y y >>C ．213y y y >>D ．132y y y >>11．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．48（1﹣x ）2=36B ．48（1+x ）2=36C ．36（1﹣x ）2=48D ．36（1+x ）2=4812．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0-和()0m ,，下列结论：（1）0abc <；（2）42a c b +<；（3）b a am =-；（4）11b c m=-.其中正确的是（）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、填空题13．点()1,2-关于原点的对称点的坐标为______．14．已知抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线1x =，请写出一个满足条件的抛物线的解析式______.15．圆锥的母线长为2cm ，底面圆的半径长为1cm ，则该圆锥的侧面积为___________2cm ．16．如图，O 是ABC 的内切圆，若50A ∠=︒，则BOC ∠=______.17．如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，2BC =，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转90°得到DEC ，F 是DE 中点，连接AF ，则AF 的长为______．三、解答题18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC 的顶点A ，B 均在格点上，顶点C 在网格线上，20BAC =︒∠.(1)线段AB 的长等于(2)P 是如图所示的ABC 的外接圆上的动点，当70PCB ∠=︒时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）.19．已知关于x 的方程220x mx m +-=-．(1)当该方程的一个根为1-时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．20．如图ABC 中，36A ∠=︒，AB AC =，BD 是ABC ∠的平分线.求证：2BC CD AC =⋅.21．已知直线l 与⊙O 相切于点C ，，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥l 于点D ．（1）如图①，当直线l 与⊙O 相切于点C 时，若∠DAC =30°，求∠BAC 的大小；（2）如图②，当直线l 与⊙O 相交于点E 、F 时，若∠DAE =18°，求∠BAF 的大小．22．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连结CO ，过点B 作//BD OC 交O 于点D ，延长AB ，CD 交于点E ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若4BE =，8DE =，求CD 的长．23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x （元/千克）55606570销售量y （千克）70605040（1）求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？24．如图，PBD △和PAC △都是直角三角形，90DBP CAP ∠=∠=︒．(1)如图1，PA ，PB 与直线MN 重合，若45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，求DPC ∠的度数；(2)如图2，若45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，PBD △保持不动，PAC △绕点P 逆时针旋转一周．在旋转过程中，当PC BD ∥时，求APN ∠的度数；(3)如图3，()90180BPA a α∠=︒<<︒，点E 、F 分别是线段BD 、AC 上一动点，当PEF!周长最小时，直接写出EPF ∠的度数（用含α的代数式表示）．25．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，AC ，BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ，垂足为点N ．设M 点的坐标为(,0)M m ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．B【分析】中心对称图形的定义：如果把一个图形绕着一个定点旋转180︒后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此定义即可判断．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选B．【点睛】此题考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．2．C【分析】利用红球的个数除以球的总个数解答即可．【详解】解：从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率=2 7．故选：C．【点睛】本题考查了简单事件的概率，属于基础题型，熟知计算的方法是解题关键．3．A【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而结合已知得出答案．【详解】∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的12，得到△A′B′C′，∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．故选A．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．4．C【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【详解】∵⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为4cm，即4cmOP=，∴点P在O外，故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：点P 在圆外⇔d r >；点P 在圆上⇔d r =；点P 在圆内⇔d r <．5．B【分析】根据平行四边形的性质可得出AB=CD ，AB CD ，得出DCF EBF ∽，再利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，即BE BFCD CF=，从而可得解.【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，,//AB CD AB CD ∴＝，DCF EBF ∴ ∽，BE BFCD CF∴=，且3AB CD BE ＝＝，:1:3BF CF ∴＝，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点有平行四边形的性质，相似三角形的性质，综合运用各知识点能够更好的解决问题.6．D【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890x x ++=，289x x +=-，2228494x x ++=-+，所以()247x +=，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.7．A【分析】在Rt △AOH 中，由∠AOC ＝60°，解直角三角形求得AH解答即可.【详解】解：∵OC ⊥AB 于H ，∴AH ＝BH ，在Rt △AOH 中，∠AOC ＝60°，OH ＝1，∴AH∴AB ＝2AH ＝故选A.【点睛】本题考查了垂径定理以及解直角三角形，难度不大，掌握相关性质定理是解题关键．8．B【分析】根据已知条件可得出AOB 60∠=︒，圆的半径为3，再根据扇形的面积公式2S 360r απ=（α为圆心角的度数）求解即可.【详解】解： 正六边形ABCDEF 内接于O ，60AOB ∴∠︒＝，OA OB ＝，AOB ∴ 是等边三角形，OA OB AB ∴＝＝＝3，∴扇形AOB 的面积260333602ππ⨯==，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点求扇形的面积，熟记面积公式并通过题目找出圆心角的度数与圆的半径是解题的关键9．C【详解】∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥OA ，即∠OBA=90°．∵∠BAO=40°，∴∠BOA=50°．∵OB=OC ，∴∠OCB=()()11180BOA 180506522︒︒︒-∠=-=︒．故选C ．10．B【分析】根据二次函数解析式判断出二次函数图像的开口方向和对称轴，根据二次函数的性质即可判断出1y ，2y ，3y 的大小关系．【详解】解：抛物线()221y x c =-+的图像开口向上，对称轴是直线1x =，∴当1x <时，y随x 的增大而减小，点35,3y ⎛⎫⎪⎝⎭关于1x =的对称点为2,3y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴123y y y >>．故选B【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．11．D【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x ，然后根据已知条件可得出方程．【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x ，∴二月份的营业额为36（1+x ），三月份的营业额为36（1+x ）×（1+x ）=36（1+x ）2.∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x ）2=48.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律.12．D【分析】根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，0a <，0b >，0c >，∴0abc <，故①正确，符合题意；当2x =-时，420y a b c =-+<，则4a +c ＜2b ，故②正确，符合题意；122b ma -+-=，得b a am =-，故③正确，符合题意；∵该函数图象过点()1,0-，∴0a b c -+=，∴a =b -c,∵()1b a am a m =-=-，∴()()1b b c m =--，整理，得：11b c m=-．故④正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13．()1,2-【分析】根据对称点的坐标规律作答即可．【详解】点()1,2-关于原点的对称点的坐标为()1,2-，故答案为()1,2-．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．221y x x =-+（答案不唯一）【分析】已知对称轴1x =，设顶点坐标为()1,0，又开口向上，设1a =，根据顶点式写出二次函数解析式，随着设的数不同，解析式也不同，本题答案不唯一．【详解】解：根据题意设顶点坐标为()1,0，二次项系数1a =，由顶点式，得()22121y x x x =-=-+．故答案为：221y x x =-+（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根据题意确定二次函数解析式的方法，需要熟练掌握．15．2π【分析】利用圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【详解】解：依题意知母线长=2，底面半径r =1，则由圆锥的侧面积公式得S =πrl =π×1×2=2π．故答案为：2π．【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．16．115︒【分析】先由三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，再由O 是ABC 的内接圆得到12BCO ACB ∠=∠，12CBO ABC ∠=∠，最后根据三角形内角和定理即可求出BOC ∠．【详解】解：∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，50A ∠=︒，∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∵O 是ABC 的内切圆，∴ABO CBO ∠=∠，ACO BCO ∠=∠，∴12BCO ACB ∠=∠，12CBO ABC ∠=∠，∴180BOC CBO BCO∠=︒-∠-∠1118022ACB ABC =︒-∠-∠()11802ACB ABC =︒-∠+∠11801302=︒-⨯︒115=︒，故答案为：115︒【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，由三角形的内切圆与内心及三角形内角和定理求出CBO BCO ∠+∠的度数是解决问题的关键．17．52【分析】作FH AC ⊥于H ，如图，利用旋转的性质得2CE BC ==，3CD CA ==，90ECD ACB ∠=∠=︒，再证明FH 为ECD 的中位线，1CH EH ==，1322FH CD ==，然后根据勾股定理计算AF 的长．【详解】解：作FH AC ⊥于H ，如图，∵ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到DEC ，∴2CE BC ==，3CD CA ==，90ECD ACB ∠=∠=︒，∴1AE AC CE =-=，∵点F 是DE 的中点，∴FH 为ECD 的中位线，∴1CH EH ==，1322FH CD ==112AH AE EH =+=+=，在Rt AFH △中，52AF ===.故答案为：52．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心得距离相等；对应点与旋转中心所连线段得夹角等于旋转角；旋转前、后得图形全等．18．(2)见解析【分析】（1）利用勾股定理计算AB 的长；（2）过A 点格线交圆于D 点、E 点，连接DE ，由于=90DAE ∠︒，则DE 为直径，连接格点H 、F ，HF 垂直平分AB ，所以HF 与DE 的交点O 为圆心，连接CO 交圆于P ，连接PB ，由于CP 为直径，根据圆周角定理得到90PBC ∠=︒，20BPC BAC ==︒∠∠，所以70PCB ∠=︒，于是可判断点P 满足条件．【详解】（1）AB =（2）如图，点P 为所作;作图过程为：过A 点格线交圆于D 点、E 点，连接DE ，连接格点H 、F ，HF 交DE 于点O ，连接CO 交圆于P ，连接PB ，则70PCB ∠=︒.【点睛】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形外接圆和圆周角定理．19．(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =-代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =-代入方程220x mx m +-=-得120m m ++-=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得213022x x --=∴1x =-或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +-=-，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=---=-+∵()220m -≥∴()2240m ∆=-+>∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键．20．证明见解析【分析】利用等腰三角形得性质和相似三角形得判定与性质解答即可．【详解】证明：∵36A ∠=︒，AB AC =，∴18036722ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，∵BD 是ABC ∠的平分线，∴1362DBC ABD ABC ∠==∠=︒∠，∴36ABD A ∠=∠=︒，∴AD BD =.∵36DBC ∠=︒，72ACB ∠=︒，∴18072BDC DBC C =︒--=︒∠∠∠，∴72BDC C ∠=∠=︒，∴BC BD =，∴AD BC =.∴DBC A ∠=∠，∵C C ∠=∠，∴DBC BAC △∽△，∴BC AC DC BC=，∴2BC CD AC =⋅．【点睛】本题考查了等腰三角形得判定与性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形得判定与性质是解决问题的关键．21．（1）30°；（2）18°【分析】试题分析：（1）如图①，首先连接OC ，根据当直线l 与⊙O 相切于点C ，AD ⊥l 于点D ．易证得OC ∥AD ，继而可求得∠BAC =∠DAC =30°．（2）如图②，连接BF ，由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB =90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF 的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B 的度数，继而求得答案．【详解】解：（1）如图①，连接OC ，∵直线l 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥l ．∵AD ⊥l ，∴OC ∥AD ．∴∠OCA =∠DAC ．∵OA =OC ，∴∠BAC =∠OCA ．∴∠BAC =∠DAC =30°．（2）如图②，连接BF ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB =90°．∴∠BAF =90°－∠B ．∴∠AEF =∠ADE +∠DAE =90°+18°=108°．在⊙O 中，四边形ABFE 是圆的内接四边形，∴∠AEF +∠B =180°．∴∠B =180°－108°=72°．∴∠BAF =90°－∠B =180°－72°=18°．22．（1）见解析；（2）CD=12．【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质可得到∠OAC =90°，通过分析证明△CDO ≌△CAO ，可得OD ⊥CE ，即可得到结果；（2）在Rt △ODE 中，根据勾股定理可得圆的半径，根据平行线成比例得.ED EB DC BO，即可得到结果；【详解】（1）证明：连接OD ，∵AC 为⊙O 的切线，∴AC ⊥AB ．∴∠OAC =90°．∵BD ∥OC ，∴∠OBD =∠AOC ，∠ODB =∠COD ．∵OB 、OD 为⊙O 的半径，∴OB =OD ．∴∠OBD =∠ODB ．∴∠AOC =∠DOC ．在△CDO 和△CAO 中，=OD OA DOC AOC OC OC ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDO ≌△CAO （SAS ）∴∠CDO =∠CAO =90°．∴OD ⊥CE 于D ，且OD 是半径，∴CE 是⊙O的切线．（2）解：在Rt △ODE 中，∠ODE =90°，∵222OD DE OE +=，∴()22284r r +=+，∴6r =，∵BD ∥OC ，∴.ED EB DC BO=，又BE =4，DE =8，BO =6r =，∴846DC =，∴1DC =２．【点睛】本题主要考查了圆的切线判定和性质综合，结合三角形全等、勾股定理和平行线分线段成比例进行求解．23．（1）2180y x =+﹣；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+（0k ≠），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：55706060k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2180k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数表达式为2180y x =-+；（2）由题意得：()()502180600x x --+=，整理得214048000x x -+=：，解得126080x x ==，，答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；（3）设当天的销售利润为w 元，则：()()502180w x x =--+22(70)800x =-+﹣，∵﹣2＜0，∴当70x =时，w 最大值=800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．24．(1)75DPC ∠=︒(2)30APN ∠=︒或150︒(3)2180α-︒【分析】（1）先算出9045DPB BDP ∠=︒-∠=︒，9060CPA ACP ∠=︒-∠=︒，然后根据平角的定义，求出75DPC ∠=︒即可；（2）分点C 在MN 上方和点C 在MN 下方两种情况进行讨论，根据平行线的性质，求出结果即可；（3）延长PB 截取BG =PB ，在MN 上截取AH =AP ，连接GH ，交BD 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，此时△PEF 的周长最小，根据三角形外角的性质和垂直平分线的性质，求出EPF ∠的度数即可．【详解】（1）解：∵90DBP CAP ∠=∠=︒，45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，∴9045DPB BDP ∠=︒-∠=︒，9060CPA ACP ∠=︒-∠=︒，∵PA ，PB 与直线MN 重合，∴18075DPC DPB CPA ∠=︒-∠-∠=︒．（2）当点C 在MN 上方时，如图所示：PC BD ∥，45BDP ∠=︒，∴45CDP BDP ∠=∠=︒，∵45DPB ∠=︒，60CPA ∠=︒，∴18030APN BPD CPD CPA ∠=︒-∠-∠-∠=︒；当点C 在MN 下方时，如图所示：∵PC BD ∥，90DBP ∠=︒，∴90BPC DBP ∠=∠=︒，18090CPN BPC ∴∠=︒-∠=︒，∴6090150APN APC CPN ∠=∠+∠=︒+︒=︒；综上分析可知，30APN ∠=︒或150︒．（3）延长PB 截取BG =PB ，在MN 上截取AH =AP ，连接GH ，交BD 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，此时△PEF 的周长最小，如图所示：∵90DBP CAP ∠=∠=︒，∴DB GP ⊥，CA PH ⊥，∴DB 垂直平分PG ，CA 垂直平分PH ，∴EG =EP ，FP =FH ，∴EGP EPG ∠=∠，PHF HPF ∠=∠，∵∠MPG 是△PGH 的外角，∴MPG EGP PHF EPG FPH ∠=∠+∠=∠+∠，180MPG α∠=︒- ，∴180EPG FPH MPG α∠+∠=∠=︒-，∴()EPF APB EPG FPH ∠=∠-∠+∠()180αα=-︒-2180α=-︒【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据题意作出图形，并进行分类讨论，是解题的关键．25．（1）211433y x x =-++；（2）2PN =+，当2m =时，PN 有最大值，最大值为3．（3）满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，8,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C 坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PN ，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①AC=CQ ；②AC=AQ ；③CQ=AQ ，分别求解即可．【详解】解：（1）将(3,0)A -，(4,0)B 代入24y ax bx =++，得934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解之，得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以，抛物线的表达式为211433y x x =-++．（2）由211433y x x =-++，得(0,4)C ．将点(4,0)B 、(0,4)C 代入y kx b =+，得404k b b +=⎧⎨=⎩，解之，得14k b =-⎧⎨=⎩．所以，直线BC 的表达式为：4y x =-+．由(,0)M m ，得211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，4(),Q m m -+．∴221114443333PQ m m m m m =-+++-=-+∵OB OC =，∴45ABC OCB ∠=∠=︒．∴45PQN BQM ∠=∠=︒．∴2214sin 4533PN PQ m m m m ⎫=︒-+=⎪⎝⎭．2(2)63m =--+．∵06-<∴当2m =时，PN有最大值，最大值为3．（3）存在，理由如下：由点(3,0)A -，(0,4)C ，知5AC =．①当AC CQ =时，过Q 作QE y ⊥轴于点E ，易得222222[4(4)]2CQ EQ CE m m m =+=+--+=，由2225m =，得12m =，2m =（舍）此时，点Q ⎫⎪⎪⎝⎭；②当AC AQ =时，则5AQ AC ==．在Rt AMQ △中，由勾股定理，得22[(3)](4)25m m --+-+=．解之，得1m =或0m =（舍）此时，点()1,3Q ；③当CQ AQ =时，由2222[(3)](4)m m m =--+-+，得252m =（舍）．综上知所述，可知满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，822Q ⎛- ⎝⎭．【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．。