平行四边形及特殊平行四边形性质、判定定理归纳汇总

专题复习：平行四边形与特殊的平行四边形一、知识梳理1.平行四边形性质定理与判定定理（1）性质定理：边：两组对边分别相等，两组对边分别平行；角：两组对角分别相等；对角线：互相平分.（2）判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对边分别平行的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.2.矩形的性质定理和判定定理（1）性质定理：角：矩形的四个角都是直角;对角线：矩形的对角线互相平分且相等.（2）判定定理:有三个角是直角的平行四边形是矩形;有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形.3.菱形的性质定理和判定定理（1）性质定理:边：菱形的四条边都相等;对角线：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. （2）判定定理:四边都相等的四边形是菱形;有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形.4.正方形的性质定理和判定定理（1）性质定理: 边：正方形四边都相等; 角：正方形四个角都是直角;对角线：正方形的两条对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角. （2）判定定理:有一组邻边相等的矩形是正方形; 有一个角是直角的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形.二、课堂精讲例题（一）平行四边形的性质例题1.平行四边形一边长为 10 ,则它的两条对角线可以是( )A 、6 ,8B 、8, 12C 、8, 14D 、6, 14（二）平行四边形的判定例题2 如图：在平行四边形 ABCD 中，E,F 是对角线AC 上的两个点；G,H 是对角线B,D 上的两点.已知AE=CF,DG=BH 求证：四边形EHFG 是平行四边形.课堂训练：1、 如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O,分别与AB,CD 的延长线交于点E,F.求证：四边形AECF 是平行四边形.O HGFEDCB A2、在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． （1）在图1中证明CE=CF ；（2）若∠ABC=90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，分别连接DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．（三）平行四边形与动点例题3 已知，如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，求点P 的坐标．课堂练习：1.如图，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，动点M从点D 出发，按折线DCBAD 方向以2cm/s 的速度运动，动点N 从点D 出发，按折线DABCD 方向以1cm/s 的速度运动． （1）若动点M 、N 同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E 在线段BC 上，且BE ＝3cm ，若动点M 、N 同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A 、E 、M 、N 组成平行四边形？NMD CBA2.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BD =12cm ，AC =6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm/s 的速度运动．（1）若点E 、F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形．（2）在（1）的条件下，①当AB 为何值时，四边形AECF 是菱形；②四边形AECF 可以是矩形吗？为什么？（二）菱形例1、如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sinA= 3/5，则下列正确的个数有（ ）①DE=3cm ；②BE=1cm ；③菱形的面积为15cm2；④BD=2 cm ． A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ）A ．35°B ．45°C ．50°D ．55°3、已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F .（1）求证：AM =DM ； （2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．第21题图A BCDEFMA DE P CBF矩形．(课堂例题)例1、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点'B 处，点A 落在点'A 处.（1）求证：'B E BF =；（2）若4,10,A B BC F==恰好是BC 的中点时，求AE 的长.课堂练习1、如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为 度．2、如图所示，在矩形ABCD 中，12AB AC =，=20，两条对角线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C ，对角线相交于点1A ，再以11A B 、1A C 为邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ……依次类推．（1）求矩形ABCD 的面积；（2）求第1个平行四边形1OBB C 、第2个平行四边形111A B C C 和第6个平行四边形的面积．3.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM.（1）当M点在何处时，AM＋CM的值最小；（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；3 时，求正方形的边长.（3）当AM＋BM＋CM的最小值为1正方形(课堂精讲习题)：1、如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA7恰好与6)0相切于点A′(△EF A′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长F A′交CD边于点G，则A′G的长是2、如图，A、B、C三点在同一条直线上AB=2BC，分别以AB,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN,EC.. 求证：FN=EC3、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。

关于一些特殊的四边形的定义、性质定理、判定定理一、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形性质定理1：平行四边形的对边相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形二、有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的两条对角线相等矩形判定定理1：有三个内角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形三、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形四、有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形正方形判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形正方形判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每一条对角线平分一组对角五、一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。

平行四边形知识点一、平行四边形的性质：1、平行四边形的对边平行且相等2、平行四边形的对角相等、邻角互补3、平行四边形的对角线互相平分二、平行四边形判定定理：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形5、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形三、三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三条边的一半四、两条平行线的距离：两条平行线间的距离在任何位置测量都是相等的五、矩形的性质：1、矩形是一种特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质2、矩形的四个角都是直角3、矩形的对角线相等且互相平分六、矩形的判定：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形3、有三个角是直角的四边形是矩形七、直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半八、菱形的性质：1、菱形是一种特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质2、菱形的四条边都相等3、菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角九、菱形的判定：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形3、四条边都相等的四边形是菱形十、菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半十一、正方形的性质：1、正方形既是矩形，也是菱形，具备矩形、菱形以及平行四边形的所有性质2、正方形四条边相等，四个角都是直角3、正方形的对角线相等且互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角十二、正方形的判定：1、四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形2、有一组邻边相等的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线垂直的矩形是正方形5、对角线相等的菱形是正方形6、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形7、对角线相等且垂直平分的四边形是正方形十三、正方形的面积=正方形边长的平方=对角线平方的一半。

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结定义 ：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的 性质：（1平行四边形 对边相（即AB=CD,AD=BC ）； （2）： 平行四边形 对边平行 （即： AB//CD,AD//BC ）； （3）： 平行四边形 对角相等 （即： ∠A=∠C,∠ B=∠D ）； （4）： 平行四边形 对角线互相平分 （即： OA=OC ， OB=OD ）； 判定方法： 1. 两组对边分别平行 的四边形是平行四边形（定义判定法）2. 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形；3. 两组对边分别相等 的四边形是平行四边形；4. 对角线互相平分 的四边形是平行四边形；5.两组对角分别相等 的四边形是平行四边形；考点 1 特殊的平行四边形的性质与判定1．矩形的定义、性质与判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）矩形的性质：矩形的对角线 ____ ；矩形的四个角都是 _____ 角。

矩形具有 ___ 的一切性质。

矩形是轴对称图形，对称轴有 _________ 条，矩形也是中心对称图形，对称中心为 _______ 的交点。

矩形被对角线分成了 _________ 个等腰三角形。

（3）矩形的判定有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是 ________ 的四边形是矩形；对角线 _ 的平行四边形是矩形。

温馨提示 ：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为 60 度时，则构成一个等边三角 形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角 或对角线相等。

很多同学容易忽视这个问题。

2．菱形的定义、性质与判定（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）菱形的性质菱形的____ 都相等；菱形的对角线互相___ ，并且每一条对角线___ 一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。

菱形即是轴对称图形，对称轴有条。