假设检验

第四节假设检验的基本原理与方法4.4.1假设检验的基本思想[理解]假设检验是除参数估计之外的另一类重要的统计推断问题。

它的基本思想可以用小概率原理来解释。

所谓小概率原理，就是认为小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的。

也就是说，对总体的某个假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件A在一次试验中是几乎不可能发一的；要是在一次试验中事件A竟然发生了，我们就有理由怀疑这一假设的真实性，拒绝这一假设。

例7：某公司想从国外引进一种自动加工装置。

这种装置的工作温度X服从正态分布(μ，52),厂方说它的平均工作温度是80度。

从该装置试运转中随机测试16次，得到的平均工作温度是83度。

该公司考虑，样本结果与厂方所说的是否有显著差异？厂方的说法是否可以接受？类似这种根据样本观测值来判断一个有关总体的假设是否成立的问题，就是假设检验的问题。

我们把任一关于单体分布的假设，统称为统计假设，简称假设。

上例中，可以提出两个假设：一个称为原假设或零假设，记为H0：μ=80（度）；另一个称为备择假设或对立假设，记为H1：μ≠80（度）这样，上述假设检验问题可以表示为：H0：μ=80 H1：μ≠80原假设与备择假设相互对立，两者有且只有一个正确，备择假设的含义是，一旦否定原假设H0，备择假设H1备你选择。

所谓假设检验问题就是要判断原假设H0是否正确，决定接受还是拒绝原假设，若拒绝原假设，就接受备择假设。

应该如何作出判断呢？如果样本测定的结果是100度甚至更高（或很低），我们从直观上能感到原假设可疑而否定它，因为原假设是真实时，在一次试验中出现了与80度相距甚远的小概率事件几乎是不可能的，而现在竟然出现了，当然要拒绝原假设H0。

现在的问题是样本平均工作温度为83度，结果虽然与厂方说的80度有差异，但样本具有随机性，80度与83度之间的差异很可能是样本的随机性造成的。

在这种情况下，要对原假设作出接受还是拒绝的抉择，就必须根据研究的问题和决策条件，对样本值与原假设的差异进行分析。

若有充分理由认为这种差异并非是由偶然的随机因素造成的，也即认为差异是显著的，才能拒绝原假设，否则就不能拒绝原假设。

假设检验实质上是对原假设是否正确进行检验，因此，检验过程中要使原假设得到维护，使之不轻易被否定,否定原假设必须有充分的理由；同时，当原假设被接受时，也只能认为否定它的根据不充分，而不是认为它绝对正确。

4.4.2 假设检验规则[识记]样本既然取自总体，样本均值就必然包含着总体均值μ大小的信息。

如上例，若原假设H0：μ=80为真，则| -80|一般应该小；否则| -80|一般应较大。

因此，我们可以根据|-80|的大小，也即差异是否显著来决定接受还是拒绝原假设.| -80|越大越倾向于拒绝原假设，那么| -80|大到何种程度才能作出拒绝原假设的决定呢？为此，就需要制定一个检验规则（简称检验）：当| -80|≥C时，拒绝原假设H0；当| -80|< C时，接受原假设H0。

其中C是一个特定的参数，称为临界值，不同的C 值表示不同的检验。

我们把拒绝原假设H0的范围称为拒绝域，接受原假设H0的范围称为接受域，因此，确定一个检验规则，实质是确定一个拒绝域.怎样确定拒绝域呢？这涉及假设检验中的两类错误问题。

由于样本具有随机性，因此，根据样本作出判断就有可能犯两类错误，一类错误是原假设是正确的，按检验规则却拒绝了原假设，这类错误称为弃真错误或第I 类错误，其发生的概率记为α ；另一类错误是，原假设是不正确的而按检验规则接受了原假设，这类错误称为取伪错误或第Ⅱ类错误，其发生的概率记为β。

检验决策与两类错误的关系如下：表4-3、检验决策与两类错误关系表我们希望犯这两类错误的概率都非常小，由于在一定的样本容量下，α和β 此消彼长，因而奈曼(Neyman)和皮尔生(Pearson)提出一个原则，即在控制犯第一类错误的概率α的条件下，尽量使犯第二类错误的概率β小。

这一原则的含义是，原假设要受到维护，不轻易被否定；若检验结果否定原假设，则说明否定的理由是充分的，同时作出否定判断的可靠程度(即概率)1-α也得到保证。

所以在实际问题中，为了通过样本观测值对某一陈述取得强有力的支持，通常把这种陈述本身作为备择假设，而将这种陈述的否定作为原假设。

在推断统计中，这种只控制α而不考虑β的假设检验，称为显著性检验，α称为显著性水平。

最常用的α值为0.01、0.05、0.10等。

一般情况下，根据研究的问题，如果犯弃真错误损失大，为减少这类错误，α取值小些，反之，α取值大些。

上例，给定显著性水平α，当原假设H0：μ=80为真时，则临界值C应满足：P(| -80| ≥C ) =α由于该装置的工作温度X∽N ( 80 , 52 )，于是，容量n=16的样本的平均工作温度服从N（80，52/16），令于是P(|Z|≥ )=α由于Z∽N( 0, 1 ),故，统计量在假设检验中称为检验统计量，把称为临界值。

当|Z|>临界值时，拒绝原假设H0；当|Z|<临界值接受原假设H0取α=0.05，查表得=1.96|Z|=|83-80|/1.25=2.4>1.96也即统计量Z值落在拒绝域，由此可以认为这种装置的实际平均工作温度与。

厂方说的有显著差异，故拒绝原假设H4.4.3 假设检验的一般步骤 [识记]4.4.3.1 根据具体问题要求，建立原假设H0和备择假设H1;4.4.3.2 选择一个合适的检验统计量Z，它应与原假设有关，能够知道当原假设H0为真时统计量的抽样分布抽样分布应不含未知参数，根据原假设和备择假设确定一个检验规则的形式;4.4.3.3 给定显著性水平α，当原假设H0为真时，求出临界值;4.4.3.4 由样本观测值计算检验统计量Z值，按检验规则，对原假设作出拒绝或接受的判断。

4.4.4 假设检验与置信区间的关系[理解与应用]假设检验与置信区间有密切的联系，我们往往可以由某参数的显著性水平为α的检验，得到该参数的置信度为1—α的置信区间，反之亦然。

例如，显著性水平α的均值μ的双侧检验问题：H0：μ = μ0，H1：μ ≠μ0与置信度为1-α 的置信区间之间有着这样的关系；若检验在α水平下接受H0，则μ的1 - α的置信区间必须包含μ0；反之，若检验在α水平下拒绝H0，则μ的1-α的置信区间必定不包含μ0。

因此，我们可以用构造μ的1-α置信区间的方法来检验上述假设，如果构造出来的置信区间包含μ0，就接受H0；如果不包含μ0就拒绝H0。

同样给定显著水平α，可以从构造检验规则的过程中，得到μ的1-α置信区间。

如上例，μ的置信度为95%的置信区间为：即置信区间为(80.55 , 85.45)，因为μ0 =80，不在这个区间内，拒绝H0 4.4.5 几种常见假设检验：[理解与应用]考虑下面三种类型的假设检验：(4.12)（1）（双边检验）（2）, μ>μ0（右侧单边检验）（3）, <μ0（左侧单边检验）4.4.5.1 正态总体均值（成数）的检验——总体方差已知构造检验统计量(4.13)当μ=μ0时，统计量服从N( 0, 1 ).给定显著性水平α，则有(1), (双侧检验)，检验规则为：当|z|=时，拒绝H0，当|z|=时，接受H0(2), (右单侧检验)检验规则为：当, 拒绝H0，当Z=< Zα接受H0(3), <μ0 (左单侧检验)检验规则为：当Z=时，拒绝H0，Z=> -Zα时，接受H0例8：完成生产线上某件工作的平均工作时间不少于15.5分钟，标准差为3分钟，对随机抽取的9名职工讲授一种新方法，训练期结束后这9名职工完成此项工作的平均时间为13.5分钟。

这个结果是否说明用新方法比用老方法所需时间短？设a=0.05，并假定完成这件工作的时间服从正态分布。

解：根据题意，要检验的假设为：, <15.5由于总体服从正态分布。

且总体方差已知，所以选择检验统计量Z=查表得Z0。

05=1.65，，由于Z < - Z ，故拒绝原假设H0 ，也即说明用新方法所需时间较短.有关总体成数的检验，当和都大于5时，样本成数的抽样分布近似为正态分布，于是构造上述检验统计量 Z 似服从，当时，统计量近例9：某公司负责人发现开出去的发票有大量的笔误，而且断定这些发票中，错误的发票占20%以上，随机抽取400张检查，发现错误的发票有100张，即占25%。

这是否可以证明负责人的判断正确？(a=0.05)解：按题意建立假设：，：> 0.2选取检验统计量查表得，由于Z > ，所以拒绝，也即认为这些数据可以证明负责人的判断是正确的。

4．4．5．2 正态总体均值(成数)的检验——总体方差未知由于σ末知，应取检验统计量(4.14)我们知道，当时；t这个统计量服从自由度（n - 1）分布，给定显著性水平，检验问题(1)(2)(3)的检验规则分别为：（1）当|t| 时，拒绝，|t|< 时接受（双边检验）（2）当时拒绝，< 接受（右侧单边检验）（3）当时拒绝，>- 接受（左侧单边检验）例10：某汽车轮胎厂声称，该厂一等品轮胎的平均寿命在一定的重量和行驶条件下大于25 000公里，对一个由15 个轮胎组成的随机样本进行试验，得到的平均值和标准差分别是27 000公里和 5 000公里。

假定轮胎的寿命近似服从正态分布，试问是否可以相信产品同厂家所说的标准相符？(a=0.05)解：要对制造商所说的标准取得强有力的支持，必须把不符合标准作为原假设，而把符合标准作为备择假设。

于是建立假设：> 25 000由于总体近似服从正态分布，总体方差末知，所以选取检验统计量其观测值为查t 分布表得，(14)=1.7613 > t =1.55,所以只能接受，也即没有充分理由相信制造厂商所说的标准与实际相符。

4．4．5．3 非正态总体均值的检验虽然总体不服从正态分布，但当样本容量n很大（n=30）时，由中心极限定理知的抽样分布近似为：正态分布，如已知，可以把作为检验统计量，当时，统计量近似服从N( 0,1)。

如果末知，则可用s代替它，当时，统计量仍近似服从N( 0,1).检验方法与正态总体的检验相同。

[有关两个总体均值（成数）之差的检验问题，可自学，不作要求]。