概率论与数理统计(8)假设检验

概率论与数理统计(8)假设检验第八章假设检验第一节假设检验问题第二节正态总体均值的假设检验第三节正态总体方差的检验第四节大样本检验法第五节 p值检验法第六节假设检验的两类错误第七节非参数假设检验第一节假设检验问题前一章我们讨论了统计推断中的参数估计问题，本章将讨论另一类统计推断问题——假设检验.在参数估计中我们按照参数的点估计方法建立了参数的估计公式，并利用样本值确定了一个估计值，认为参数真值。

由于参数是未知的，只是一个假设（假说，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用样本进行验证（检验）.下面我们先对几个问题进行分析，给出假设检验的有关概念，然后总结给出检验假设的思想和方法.一、统计假设某大米加工厂用自动包装机将大米装袋,每袋的标准重量规定为10kg，每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常. 根据以往的经验知道,自动包装机装袋重量X服从正态分布N( )．某日开工后，抽取了8袋，如何根据这8袋的重量判断“自动包装机工作是正常的”这个命题是否成立？请看以下几个问题：问题1引号内的命题可能是真，也可能是假，只有通过验证才能确定．如果根据抽样结果判断它是真，则我们接受这个命题，否则就拒绝接受它，此时实际上我们接受了“机器工作不正常”这样一个命题．若用H0表示“”，用H1表示其对立面，即“”，则问题等价于检验H0：是否成立，若H0不成立，则H1：成立．一架天平标定的误差方差为10-4(g2)，重量为的物体用它称得的重量X服从N( )．某人怀疑天平的精度，拿一物体称n次，得n 个数据，由这些数据(样本)如何判断“这架天平的精度是10-4(g2)”这个命题是否成立？问题2记H0: =10-4，H1: ，则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种电子元件的使用寿命X服从参数为的指数分布，现从一批元件中任取n个，测得其寿命值（样本），如何判定“元件的平均寿命不小于5000小时”这个命题是否成立？记问题3则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种疾病，不用药时其康复率为，现发明一种新药（无不良反应），为此抽查n位病人用新药的治疗效果，设其中有s人康复，根据这些信息，能否断定“该新药有效”？记问题4则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到震级4级及以上的地震共计162次，问相继两次地震间隔的天数X是否服从指数分布？问题5记服从指数分布，不服从指数分布．则问题也等价于检验H0成立，还是H1成立．在很多实际问题中，我们常常需要对关于总体的分布形式或分布中的未知参数的某个陈述或命题进行判断，数理统计学中将这些有待验证的陈述或命题称为统计假设，简称假设．如上述各问题中的H0和H1都是假设.利用样本对假设的真假进行判断称为假设检验。

教学内容一、引入新课：假设检验能解决什么问题呢？它能解决的问题分为两大类，第一类是参数假设检验，如果总体的分布已知，但是某个参数未知，对未知参数进行检验称为参数假设检验。

第二类是非参数假设检验，这时总体的分布未知，对未知分布的类型提出假设并检验，这时非参数假设检验。

二、讲授新课：1、假设检验的基本原理：假设检验的基本过程是，对于一个统计模型，先提出一个假设，然后根据抽取的样本对假设进行检验，然后做出接受或者拒绝假设的决策。

下面通过一个例子具体地看一下假设检验的基本原理。

在一次社交聚会中，一位女士宣称，她能区分熬好的咖啡中是先加的奶还是先加的糖，并当场试验，结果8杯中判断正确7杯，问这位女士真的具有这样的鉴别能力吗？解：假设该女士不具备鉴别能力，也就是她的判断是会乱猜的，因此，每杯咖啡猜正确的概率为21。

那么，8杯中猜对7杯的以上的概率可以利用古典概型的方法计算出来，其值为0.0352这个值较小，我们认为是小概率事件。

又因为一般认为在一次试验中，小概率事件是不可能发生的，但是这个事件发生了，从而产生了矛盾。

因此，认为是假设错误，拒绝假设，也就是该女士应该是具有鉴别咖啡的能力的。

这个问题的解决就是经历了，假设、检验、决策这三个环节。

其中假设就是女士不具备鉴别能力。

检验就是在假设的条件下，计算出发生事件的概率，发现这个概率是个小概率事件，在一次试验中不可能发生。

所以，最后的决策是拒绝假设。

（1）假设检验的推理依据：小概事件在一次试验中几乎不可能发生。

因此给出小概率事件的标准记为α，一般为发生概率小于为0.05或0.01，称为叫小概率事件。

（2）假设检验的基本思想是具有概率性质的反证法。

2、假设检验的例题：例 1 某单位新购进一台设备进行测试，已知该设备的误差服从正态分布，方差为0.01，正常情况下，系统误差为0，现在实际测试16次，误差值为x1,…,xn, 计算得出样本均值为0.072，问，能否认为该设备工作正常？首先，看看本题的已知条件：机器正常时，均值0=μ，方差为0.01，抽取的样本均值为0.072，样本容量为16，最后给出小概率的标准05.0=α，这也是小概率事件的标准，也就是事件的概率小于0.05是小概率事件，否则就不是小概率事件。

1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。

设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.解：设测定值总体X～N （μ，σ 2），μ，σ 2均未知步骤：（1）提出假设检验H 0：μ=3.25; H 1：μ≠3.25 （2）选取检验统计量为)1(~25.3--=n t nS X t（3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2-n t α（4）n=5, α = 0.01，由计算知01304.0)(11,252.3512=--==å=i iX Xn S x查表t 0.005(4)=4.6041, )1(343.0501304.025.3252.3||2-<=-=n t t α（5）故在α = 0.01下，接受假设H 02．[二] 如果一个矩形的宽度ω与长度l 的比618.0)15(21»-=l ω，这样的矩形称为黄金矩形。

这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。

现代建筑构件（如窗架）、工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。

下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。

设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α = 0.05）H 0：μ = 0.618H 1：μ≠0.6180.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933. 解：步骤：（1）H 0：μ = 0.618； H 1：μ≠0.618 （2）选取检验统计量为)1(~618.0--=n t nS X t（3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2-n t α （4）n=20 α = 0.05，计算知0925.0)(11,6605.01121=--===åå==ni ini ix xn S xnx ，)1(055.2200925.0618.06605.0||,0930.2)1(22-<=-==-n t t n t αα（5）故在α = 0.05下，接受H 0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183.[三] 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ =100小时的正态分布。

62第8章 假设检验一、填空题1、 对正态总体的数学期望m 进行假设检验，如果在显著性水平0.05下，接受假设00:m m =H ，那么在显著性水平0.01下，必然接受0H 。

2、在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平为a ，则犯第一类错误的概率是a 。

3、设总体),(N ~X 2s m ，样本n 21X ,X ,X ，2s未知，则00:H m =m ，01:H m <m 的拒绝域为 )}1(/{0--<-n t nS X a m ，其中显著性水平为a 。

4、设n 21X ,X ,X 是来自正态总体),(N 2s m 的简单随机样本，其中2,sm 未知，记å==n1i i X n 1X ，则假设0:H 0=m 的t 检验使用统计量=T Qn n X )1(-.二、计算题1、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定标准重量为250克，标准差不超过3克时机器工作 为正常，每天定时检验机器情况，现抽取16罐，测得平均重量252=X 克，样本标准差4=S 克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机器工作是否正常？解：设重量),(~2s m N X05.016==a n 4252==S X(1)检验假设250:0=m H 250:1¹m H ， 因为2s 未知，在0H 成立下，)15(~/250t nS X T -=拒绝域为)}15(|{|025.0tT >，查表得1315.2)5(025.0=¹t由样本值算得1315.22<=T ，故接受0H (2)检验假设9:20=s H9:201>s H因为m 未知，选统计量 222)1(s S n x -=在0H 成立条件下，2x 服从)15(2x 分布，拒绝域为)}15({205.02x x >，查表得996.24)15(205.0=x ，现算得966.24667.26916152>=´=x 拒绝0H ，综合(1)和(2)得，以为机器工作不正常2、一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25 件，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差100=s 小时正态分布， 试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格. 解：设元件寿命),(~2s m N X ，2s 已知10002=s，05.0,950,25===a X n检验假设1000:0=m H1000:1<m H在2s 已知条件下，设统计量)1,0(~/1000N nX s m -=拒绝域为}{05.0mm<，查表得645.195.005.0-=-=m m而645.15.2205025/1001000950-<-=-=-=m拒绝假设0H 选择备择假设1H ，所以以为这批产品不合格.3. 对 显 著 水 平 a ， 检 验假 设 H 0 ; m = m 0， H 1 ; m ¹ m 0， 问当 m 0， m ， a 一定 时 ， 增大样本量 n 必 能 使 犯 第 二 类 错 误 概 率 b减 少 对 吗 ？并 说 明 理 由 。

第八章 假设检验
1． 假设检验的基本思想：小概率事件在一次抽样中是几乎不可能发生的
例1 设总体X ～)1,(μN ，其中μ未知，n x x x ,,,21 为其样本
试在显著性水平α下检验假设
00:μμ=H ；01:μμ≠H
这里，α即为小概率事件的概率，当00:μμ=H 真时，n x n x u /1/00μσμ-=-=
～)1,0(N
则 αα=≥)(2/u u P
即事件)(2/αu u ≥即为小概率事件，当它发生时，即认为原假设0H 不真，从而接受对立假设01:μμ≠H
2． 两类错误
以例1为例，上述n x u /10
μ-=的取值完全由样本n x x ,,1 所决定，由于样本的随机性，
假设检验可能犯以下两类错误：
第一类错误：P =α（拒00H H 真），也即检验的显著性水平
第二类错误：P =β（接受00H H 不真）P =（接受10H H 真）
在样本容量n 固定时，βα,相互制约，当减小α时，β的值会增大，反之亦然。

3．正态总体),(2σμN 参数的假设检验
（1）首先要会判断所讨论问题是否为假设检验问题
例2 从一批灯泡中随机抽取50个，分别测得其寿命，算得其平均值1900=x （小时），样本标准差490=s （小时），问可否认为这批灯泡的平均寿命（μ）为2000小时。

分析：本题中虽然没说总体（寿命）服从什么分布，但由于样本容量50≥n ，可按正态总体处理，“可否认为平均寿命为2000小时”等价于作检验2000:0=μH
（2）检验问题主要是对提出的假设检验确定出检验的拒绝域，这可参考指定教材第八章正态总体检验一览表。