云南师范大学热力学 统计物理期末复习

各章知识点整理和复习第一章 热力学的基本定律知识点1、热力学第一定律dU dQ dW =+2、热力学第二定律3、热力学基本方程dU TdS pdV =-4、热力学第二定律的数学表述dU TdS pdV ≤-5、克劳修斯熵BRB A Ad Q S S T-=⎰，玻尔兹曼熵ln S k =Ω 6、熵增加原理。

复习题1、简述热力学第二定律及其统计解释。

参考：热力学第二定律的开尔文表述：热不可能全部转变为功而不引起其他变化。

热力学第二定律的克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体。

或第二类永动机不可能。

热力学第二定律的微观意义是，一切自然过程总是沿着分子热运动的无序性（或混乱度）增大的方向进行,系统对应的微观状态数增大，根据玻尔兹曼熵ln S k =Ω，因此系统的熵值增加，即熵增加原理。

2、简述熵增加原理及其统计解释。

参考：孤立系统中所进行的自然过程总是沿着熵增大的方向进行。

根据玻尔兹曼熵公式ln S k =Ω，可知孤立系统中所进行的自然过程总是向着微观状态数（或混乱度）增大的方向进行。

第二章 均匀物质的热力学性质知识点1、基本热力学函数的全微分和麦氏关系的得出。

dU TdS pdV dH TdS Vdp dF SdT pdV dG SdT Vdp=-=+=--=-+ ()()()()()()()()S V S pT V T p T p V ST Vp SS pV T S V p T∂∂=-∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=-∂∂2、麦氏关系的应用。

2、气体的节流过程。

3、特性函数的应用。

4、热辐射（平衡辐射）的热力学结果，斯特方玻尔兹曼定律。

复习题1、写出焦汤系数的数学表达式，简述节流过程的特点；利用焦汤系数分析通过节流产生致冷效应、致温效应和零效应的原理。

（P57）2、证明能态方程T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。

参考：选T 、V 作为状态参量时，有V TU U dU dT dV TdS pdV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭V TS S dS dT dV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 得： V T S S dU T dT T p dV T V ⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦比较得： T TU S T p V V ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 将麦氏关系T V S p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭代入，即得T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭3、证明焓态方程p TH V V T p T ⎛⎫∂∂⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。

参考：选T 、p 作为状态参量时，有p TH H dH dT dp TdS Vdp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 带入p TS S dS dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭得： p T S S dH T dT V T dp T p ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦比较得： T TH S V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 将麦氏关系p TS V p T ⎛⎫∂∂⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭代入即得T p H V V T V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭4、利用麦氏关系计算任意简单系统C p 与C V 之差。

参考：因为()()pV p V S S C C T T T T∂∂-=-∂∂ ()()(,),,S T p S T V T p= ()()()()p V T p S S S VT T V T∂∂∂∂=+∂∂∂∂ 所以()()p V T p S V C C T V T ∂∂-=∂∂()()V p p VT T T∂∂=∂∂111(),(),(),p V T T T V p Vp V T p T V pαβκακβ∂∂∂===-=∂∂∂且 2()()p V V p Tp V VT C C T Tp V T T αβακ∂∂-===∂∂5、理想气体分别经准静态等压过程和等容过程，温度由1T 升至2T ，假设γ是常数，试证明前者的熵增是后者的γ倍。

参考：（法一）由0(,)ln ln p S T p C T nR p S =-+ 等压过程的熵变 21lnp p T S C T ∆= 由0(,)ln ln V S T V C T nR V S =++等容过程的熵变 21lnV V T S C T ∆=p p VVS C S C γ∆==∆（法二）由RdQ dS T=理想气体准静态等压过程21ln ln p p p p pdQ C dT T dS S C TTT ==⇒∆= 理想气体准静态等容过程21ln ln V V V V V dQ C dT T dS S C T T T ==⇒∆= 所以p p VVS C S C γ∆==∆6、求证等温压缩系数与绝热压缩系数之比等于定压热容量与定容热容量之比。

参考：因为1()T T V V p κ∂=-∂， 1()S S VV pκ∂=-∂ 所以1()1()T T SS V V pV V p κκ∂-∂=∂-∂(,)(,)(,)(,)V T p T V S p S ∂∂=∂∂(,)(,)(,)(,)p S p T V S V T ∂∂=∂∂()()p V S T S T∂∂=∂∂p VC C = 7、试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。

参考：气体在准静态节流过程中()()1()[]()T p H p p p H V V T T p T TV V H p C C Tα∂∂-∂∂∂=-=-=-∂∂∂ 气体在准静态绝热膨胀过程中()()()/()T pS p p p S V T TV p T S p C T C Tα∂∂-∂∂∂=-=-=∂∂∂所以()()0p S H C T Tp p T∂∂-=>∂∂ 即在相同的压强降落下气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。

8、已知简单热力学系统的吉布斯函数为(,)G T p ，求系统的熵、物态方程、内能、焓和自由能。

参考：因为()()p T G GdG SdT Vdp dT dp T p∂∂=-+=+∂∂ 可得熵和物态方程 (),()p T G G S V T p∂∂=-=∂∂ 内能()()T p G GU G pV TS G p T p T∂∂=-+=--∂∂ 焓()p G H G TS G T T∂=+=-∂ 自由能()T G F G pV G p p∂=-=-∂ 9、已知简单热力学系统的特性函数自由能为(,)F T V ，求系统的熵、物态方程、内能和焓。

参考：自由能的全微分()(),V T F FdF dT dV T V∂∂=+∂∂ 比较热力学方程dF SdT pdV =--得熵和物态方程 ()V F S T ∂=-∂ ()T Fp V∂=-∂ 内能 FU F ST F T T ∂=+=-∂焓 F FH U pV F T VT V∂∂=+=--∂∂ 吉布斯函数 F F F FG H ST F T V T F VT V T V∂∂∂∂=-=--+=-∂∂∂∂ 10、已知简单热力学系统的特性函数内能U ，利用特性函数的性质确定其它热力学函数。

11、已知简单热力学系统的特性函数焓H ，利用特性函数的性质确定其它热力学函数。

第三章 单元系的相变知识点1、热动平衡判据（熵判据、自由能判据、吉布斯函数判据等）2、单元系的复相平衡条件3、单元系的复相平衡性质（相图、相平衡曲线、克拉伯龙方程）4、相变的分类（艾伦费斯特的分类） 复习题1、写出均匀系统平衡的稳定性条件；假如子系统的温度由于涨落或某种外界影响而略高于媒质（T ↑），或者子系统的体积发生收缩（ V ↓），试用平衡的稳定性条件对该简单系统作平衡稳定性分析。

（P79）2、简述熵判据；写出单元两相系的热学平衡条件、力学平衡条件和相变平衡条件。

如果在一个孤立系统内部引入内能、体积和摩尔数的虚变动所引起的熵变为11()()()p p S U V n T T T T T Tαααβααααβαβαβμμδδδδ=-+---，试用熵增加原理对该孤立系统内部各相之间趋向平衡的过程作热学、力学和相平衡分析。

（P82~83）参考：熵判椐表述为，等体积等内能系统（孤立系统）的熵永不减少，稳定平衡态的熵值最大，系统处在稳定平衡状态的必充条件为虚变动引起的熵变0S ∆<。

T T p p αβαβαβμμ⎧=⎪=⎨⎪=⎩热学平衡条件力学平衡条件 相变平衡条件如果孤立系统内部处于非平衡状态，熵增原理要求趋向平衡的过程必为熵增加的不可逆过程11()()()0p p dS dU dV dn T T T T T Tαβαβααααβαβαβμμ=-+---> （1）如果只有热平衡条件未能满足，要求11()0dS dU T Tααβ=->，这时温度差将导致能量从高温相自发地转移到低温相去，从而使两相温度趋于一致。

（2）若只有力学平衡条件未能满足，要求()0p p dS dV T Tαβααβ=->，这时压强差将导致压强大的相膨胀，压强小的相收缩，以使两相压强趋于一致。

(3)若只有相平衡条件还未满足，要求()0dS dn TTαβααβμμ=-->，这时物质将由化学势高的相转移到化学势低的相去，以使两相化学势趋于一致。

3、习题3-1，证明下列平衡判据：（1）在等温等容条件下，系统稳定平衡态的自由能最小；（2）在等温等压条件下，系统稳定平衡态的吉布斯函数最小。

参考：由dQdS dU TdS pdV T≥⇒≤- （1）因为F U TS dF dU TdS SdT dF SdT pdV =-⇒=--⇒≤--在等温等容条件下，0dF ≤，即自由能永不增加，若系统达到F 为极小的状态，就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态。

（2）因为G U TS pV dG dU TdS SdT pdV Vdp dG SdT Vdp =-+⇒=--++⇒≤-+在等温等压条件下，0dG ≤，即吉布斯函数永不增加，若系统达到G 为极小的状态，就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态。

4、推导一级相变的两相平衡曲线斜率，即克拉伯龙方程()m m dp L dT T V V βα=- 。

参考：在相平衡曲线上，两相的化学势应相等，即： (,)(,)T p T p αβμμ= 两边微分，得 d d αβμμ=因为 m m d S dT V dp μ=-+所以 m m m m S dT V dp S dT V dp ααββ-+=-+由此可得 mm m mS S dp dT V V βαβα-=- 相变潜热 ()m m L T S S βα=-所以()m m dp L dT T V V βα=-。