2017年江苏省数学冬令营测试题 精品

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i ；2. 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|－1≤x ≤1}，则A ∩Z ＝______________．2. 若复数z ＝(1－i)(m ＋2i)(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____________．3. 数据10，6，8，5，6的方差s 2＝____________．4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x ，y ，则xy为整数的概率是________．(第6题)5. 已知双曲线x 2－y 2m2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝______________．6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．7. 底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为____________．8. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝__________．9. 已知|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为____________． 10. 直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2，则实数a 的值是____________．11. 已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，则不等式f(log 2x)＜f(2)的解集为__________．12. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，则φ的最小值为____________．13. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为____________．14. 已知函数f(x)＝e x －1＋x －2(e 为自然对数的底数)，g(x)＝x 2－ax －a ＋3，若存在实数x 1，x 2，使得f(x 1)＝g(x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，则实数a 的取值范围是____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝4，c ＝6，且asinB ＝2 3. (1) 求角A 的大小；(2) 若D 为BC 的中点，求线段AD 的长．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于点O ，且平面PAC ⊥底面ABCD ，E 为棱PA 上一点．(1) 求证：BD ⊥OE ；(2) 若AB ＝2CD ，AE ＝2EP ，求证：EO ∥平面PBC.已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k(n ∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4. (1) 若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2) 若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .18. (本小题满分16分)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4 m ，最低点B 离地面2 m ，观察者从距离墙x m(x ＞1)，离地面高a m(1≤a ≤2)的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1) 若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2) 若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF.(1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；(3) 求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝cosx ＋ax 2－1，a ∈R . (1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 当a ＝1时，求函数f(x)在[－π，π]上的最值； (3) 若对于任意的实数x 恒有f(x)≥0，求实数a 的取值范围.(二)1. {－1，0，1} 解析：本题主要考查集合的运算．本题属于容易题．2. －2 解析：z ＝(1－i)(m ＋2i)＝ m ＋2＋(2－m)i 是纯虚数，则m ＝－2.本题主要考查纯虚数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 165 解析：平均数为7，由方差公式得方差s 2＝165.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．4. 12 解析：本题的基本事件数为16，x y 为整数的的基本事件数为8，则所求的概率是12.本题考查古典概型，属于容易题．5. 33 解析：双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋y m＝0，与x ＋3y ＝0是同一条直线，则m ＝33.本题考查了双曲线方程与其渐近线的方程之间的关系．本题属于容易题．6. －1 解析：由流程图知循环体执行8次，第1次循环S ＝12，n ＝2；第2次循环S＝－1，n ＝3；第3次循环S ＝2，n ＝4，…，第8次循环S ＝－1，n ＝9.本题考查了算法及流程图的基本内容．本题属于容易题．7. 43 解析：底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为43.本题考查了正四棱锥的体积公式．本题属于容易题．8. 4 解析：由a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，得q 3＝2，则a 7 ＝a 1(q 3)2＝4.本题考查了等比数列通项公式，以及项与项之间的关系．本题属于容易题．9. 23π 解析：由a ＋b ＝(1，2)，得(a ＋b )2＝3，则1＋4＋2a·b ＝3，a ·b ＝－1＝|a||b|cos θ，cos θ＝－12，则θ＝23π.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系．本题属于容易题．10. －2 解析：由圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0的圆心(a ，0)，半径的平方为a 2－a ，圆心到直线ax ＋y ＋1＝0的距离的平方为a 2＋1，由勾股定理得a ＝－2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题．本题属于容易题．11. (0，1)∪(4，＋∞) 解析：∵ 二次函数f(x)＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴ f(0)＝f(2)，结合二次函数的图象可得log 2x<0或log 2x>2，解得0<x<1或x>4，∴ 解集为(0，1)∪(4，＋∞)．本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法．本题属于中等题．12. π6 解析：易知y ＝sin2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)，∵ 图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.本题考查了三角函数的图象变换与性质．本题属于中等题．13. 58 解析：∵ AO 为△ABC 的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB→＋AC →||AC →，即AO →＝12λAB →＋13λAC →，∴ ⎩⎨⎧12λ＝x ，13λ＝y ①.若AB 边上的中线与AB 交于点D ，则AO →＝2xAD→＋yAC →.∵ C 、O 、D 三点共线，∴ 2x ＋y ＝1 ②，由①②得x ＝38，y ＝14，∴ x ＋y ＝58.本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理．本题属于难题．14. [2，3] 解析：易知函数f(x)＝e x －1＋x －2在R 上为单调增函数且f(1)＝0，∴ x 1＝1，则|1－x 2|≤1解得0≤x ≤2，∴ x 2－ax －a ＋3＝0在x ∈[0，2]上有解，∴ a ＝x 2＋3x ＋1在x ∈[0，2]上有解．令t ＝x ＋1∈[1，3]，则x ＝t －1，a ＝（t －1）2＋3t ，即a ＝t ＋4t－2 在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，则当t ＝2时a 的最小值为2，当t ＝1时a 的最大值为3，∴ a 的取值范围为[2，3]．本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元的应用．本题属于难题．15. 解：(1) 由正弦定理，得asinB ＝bsinA ，(2分)因为b ＝4，asinB ＝23，所以sinA ＝32.(4分)又0＜A ＜π2，所以A ＝π3.(6分)(2) 若b ＝4，c ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝16＋36－2×24×12＝28，所以a ＝27.(8分)因为asinB ＝23，所以sinB ＝217，从而cosB ＝277.(10分)因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ＝7.在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BD ·cosB ，即AD 2＝36＋7－2×6×7×277＝19，所以AD ＝19.(14分)16. 证明：(1) 因为平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC ∩底面ABCD ＝AC ，BD ⊥AC ，BD 平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC.因为OE ⊂ 平面PAC ，所以BD ⊥OE.(6分)(2) 因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，AC 与BD 交于O ， 所以CO ∶OA ＝CD ∶AB ＝1∶2.因为AE ＝2EP ，所以CO ∶OA ＝PE ∶EA ，所以EO ∥PC. 因为PC ⊂平面PBC ，EO ⊄ 平面PBC ， 所以EO ∥平面PBC.(14分)17. 解：(1) 当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列．(2分)设数列{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43.(4分)所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝2n ＋n （n －1）2×⎝⎛⎭⎫－43＝－23n 2＋83n.(6分)(2) 由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2.(8分) 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2，所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列． 所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3.(10分)当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3，于是a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3，…，a 3－a 2＝－2×2＋3，a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加，得a n －a 1＝－2[1＋2＋…＋(n －1)]＋3(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝－2×n （n －1）2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2)．(13分)又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *.(14分)18. 解：(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD－∠BCD ，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分) 又tan θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分)(2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19. (1) 解：因为点P(3，1)，所以k OP ＝13.因为AF ⊥OP ，－b c ×13＝－1，所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2.(2分) 又点P(3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b 2＝1，解之得a 2＝133，b 2＝134.故椭圆C 的方程为x 2133＋y2134＝1.(4分)(2) 解：由题意，直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆C 的方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立消去y ，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c ＝0，解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2，(7分)所以直线BQ 的斜率为k BQ ＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2＋b2a 2c a 2＋c2＝bca 2. 由题意得cb ＝2bca2，所以a 2＝2b 2，(9分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝22.(10分)(3) 证明：因为线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为y ＝cx b ，与直线AF 的方程x c ＋yb＝1联立，解得两直线交点的坐标⎝⎛⎭⎫b 2c a 2，bc 2a 2.因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2b 2c a 2，2bc 2a 2.(12分)由点P 在椭圆上，得4b 4c 2a 6＋4b 2c 4a 4b 2＝1，又b 2＝a 2－c 2，设c2a 2＝t ，得4[(1－t)2·t ＋t 2]＝1. (*)(14分)令f(t)＝4[(1－t)2·t ＋t 2]－1＝4(t 3－t 2＋t)－1，因为f′(t)＝4(3t 2－2t ＋1)＞0，所以函数f(t)单调增． 又f(0)＝－1＜0，f(1)＝3＞0，所以f(t)＝0在区间(0，1)上有解，即(*)式方程有解， 故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．(16分) 20. (1) 证明：函数f(x)的定义域为R ，因为f(－x)＝cos(－x)＋a(－x)2－1＝cosx ＋ax 2－1＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3分)(2) 解：当a ＝1时，f(x)＝cosx ＋x 2－1，则f′(x)＝－sinx ＋2x ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2x ，则g′(x)＝－cosx ＋2＞0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函数． 又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[－π，π]上的最大值是π2－2，最小值为0.(8分) (3) 解：f′(x)＝－sinx ＋2ax ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2ax ，则g′(x)＝－cosx ＋2a ，① 当a ≥12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a ≥0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，故f(x)≥0恒成立．(12分)② 当a ≤－12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a ≤0，所以f′(x)是减函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，所以f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．(14分)③ 当－12＜a ＜12时，必存在唯一x 0∈(0，π)，使得g′(x 0)＝0，因为g′(x)＝－cosx ＋2a在[0，π]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，g ′(x)＜0，即f′(x)在(0，x 0)上是减函数．又f ′(0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，f ′(x)＜0，即f(x)在(0，x 0)上是减函数．而f(0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(16分)。

B．（选修 4-2：矩阵与变换）求将曲线 y2 x 绕原点逆时针旋转 90 后所得的曲线方程．
C．（选修 4-4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的非负半轴
重合．若曲线
C1
的方程为
sin(
π 6
)
2
3
0
，曲线
C2
的参数方程为
x y
cos sin
（1）将 C1 的方程化为直角坐标方程；
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分． 15．（本小题满分 14 分） 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， A 2B ， sinB 3 ．
3 （1）求 cosA 及 sinC 的值； （2）若 b 2 ，求 △ABC 的面积． 16．（本小题满分 14 分） 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1B1B 为正方形， BB 1C1C 为菱形， BB1C1 60 ，平面 AA1B1B
已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200 千克，配料的价格为 1.8 元/千克，每次
购买配料需支付运费 236 元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7 天以内（含 7 天），无
论重量多少，均按 10 元/天支付；超出 7 天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天 0.03 元/千克支
2．命题“若 a b ，则 a2 b2 ”的否命题是________．
3．已知
i
为虚数单位，复数
z
1 2i 1 i
，则复数
z
的虚部是________．
4．一支田径队有男运动员 28 人，女运动员 21 人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取 14 位运动员进

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程．21. (本小题满分10分)已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＝1，求矩阵A .22.(本小题满分10分)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值．23. (本小题满分10分)某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元．活动规定：① 参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；② 可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③ 如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．(1) 如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；(2) 若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．24.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2x －3x 2，设数列{a n }满足：a 1＝14，a n ＋1＝f(a n )．求证： (1)n ∈N *，都有0＜a n ＜13； (2) 31－3a 1＋31－3a 2＋…＋31－3a n≥4n ＋1－4.(八)21. 解：(1) 设直线l ：x ＋y ＝1上任意一点M(x ，y)在矩阵A 的变换作用下，变换为点M ′(x′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx ＋ny y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝mx ＋ny ，y ′＝y.(5分) 又点M′(x′，y ′)在l′上，所以x′－y′＝1，即(mx ＋ny)－y ＝1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1.(10分) 22. 解：圆的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16，(3分)直线的直角坐标方程为y ＝3x ，(6分)圆心(0，4)到直线的距离为d ＝|0－4|（－3）2＋12＝2，则圆上点到直线距离最大值为D＝d ＋r ＝2＋4＝6.(10分)23. 解：(1) 设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M.则P(M)＝13×34＝14，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14.(4分) (2) 参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：① 先在甲箱中摸球，参与者获奖金x 可取0，m ，m ＋n ， 则P(x ＝0)＝34，P(x ＝m)＝14×23＝16，P(x ＝m ＋n)＝14×13＝112， E(x)＝0×34＋m ×16＋(m ＋n)×112＝m 4＋n 12.(6分) ② 先在乙箱中摸球，参与者获奖金h 可取0，n ，m ＋n ， 则P(h ＝0)＝23，P(h ＝n)＝13×34＝14，P(h ＝m ＋n)＝13×14＝112， E(h)＝0×23＋n ×14＋(m ＋n)×112＝m 12＋n 3.(8分) E(x)－E(h)＝2m －3n 12. 当m n ＞32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大； 当m n ＝32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等； 当m n ＜32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 答：当m n ＞32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当m n＝32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当m n ＜32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．(10分)24. (1) 解：① 当n ＝1时，a 1＝14， 有0<a 1<13， ∴ n ＝1时，不等式成立．(1分)② 假设当n ＝k(k ∈N *)时，不等式成立，即0<a k ＜13. 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝f(a k )＝2a k －3a 2k＝－3⎝⎛⎭⎫a 2k －23a k ＝－3⎝⎛⎭⎫a k －132＋13，于是13－a k ＋1＝3⎝⎛⎭⎫13－a k 2. ∵ 0<a k <13，∴ 0<3⎝⎛⎭⎫13－a k 2<13， 即0<13－a k ＋1<13，可得0<a k ＋1<13， ∴ 当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，对任意的正整数n ，都有0<a n <13.(4分) (2) 由(1)可得13－a n ＋1＝3⎝⎛⎭⎫13－a n 2， 两边同时取以3为底的对数，可得log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ＋1＝1＋2log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ， 化简为1＋log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ＋1＝2⎣⎡⎦⎤1＋log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ， ∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋log 3⎝⎛⎭⎫13－a n 是以log 314为首项，2为公比的等比数列，(7分) ∴ 1＋log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ＝2n －1log 314， 化简求得13－a n ＝13·⎝⎛⎭⎫142n －1， ∴ 113－a n ＝3·42n －1. ∵ n ≥2时，2n －1＝C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1≥1＋n －1＝n ，n ＝1时，2n －1＝1，∴ n ∈N *时，2n －1≥n ，∴ 113－a n ＝3·42n －1≥3·4n ， 113－a 1＋113－a 2＋…＋113－a n＝3(420＋421＋…＋42n －1)≥3(41＋42＋…＋4n )＝4n ＋1－4， ∴31－3a 1＋31－3a 2＋…＋31－3a n ≥4n ＋1－4.(10分)。

1. 已知集合A ＝{x|y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x|x 2－cx ＜0，c ＞0}．若AB ，则实数c 的取值范围是____________．2. 已知复数z 满足(3＋4i)z ＝1(i 为虚数单位)，则z 的模为________．3. 在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，若2asinB ＝3b ，则角A 等于____________．4. 设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝__________．5. 若实数x ，y 满足x ＋y －4≥0，则z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10的最小值为____________．6. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前20项和为__________．7. 在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面AB 1C 1，AA 1＝1，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为____________．1. [1，＋∞) 解析：A ＝(0，1)，B ＝(0，c)．若A B ，则c ≥1.2. 15 解析：z ＝13＋4i ＝3－4i （3＋4i ）（3－4i ）＝3－4i 25，z 的模为15.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. π3解析：由正弦定理得2sinAsinB ＝3sinB.∵ sinB ≠0， ∴ sinA ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴ A ＝π3. 4. 1 解析：(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝10，(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝6，两式相减得4a·b ＝4，故a·b ＝1.5. 18 解析：z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10＝(x ＋3)2＋(y －1)2的最小值即点(－3，1)到直线x ＋y －4＝0的距离的平方，即32的平方，答案为18.本题考查了线性规划的知识和点到直线的距离公式．本题属于中等题．6. 55 解析：设公差为d ，则⎩⎨⎧7a 1＋7×62d ＝7，15a 1＋15×142d ＝75⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1， 故S n ＝－2n ＋n （n －1）2×1＝n 22－5n 2，S n n ＝n 2－52，这是等差数列，首项为－2，公差为12，故前20项和为－2×20＋20×192×12＝55.本题考查等差数列的通项及前n 项和公式，对基本量的计算要准确．属于中等题． 7. 2 解析：△A 1B 1C 1边长为2，高为3，AA 1＝1，△AB 1C 1的高为2，则△AB 1C 1的面积为2，三棱锥A 1AB 1C 1体积为23，三棱柱的体积为三棱锥A 1AB 1C 1体积的3倍，即2.本题主要考查同底的柱体体积与锥体体积的关系以及线面垂直的性质运用．本题属于中等题．。