已知三角形两点的坐标和三边长,求第三点坐标

巧求平面直角坐标系等腰三角形的第三个顶点作者：王君梅来源：《初中生世界·八年级》2015年第02期已知平面直角坐标系中的两点，在平面上找出符合某些条件的另一个点，使得以这三点为顶点的三角形为等腰三角形.在中考中常作为选择题、填空题或解答题的压轴题.由于第三点的图形未知，一些同学感到难以下手，还有一些同学能做到答案，不过答案不完整，究其原因，实质是未能掌握解决问题的一般方法，从而出现错解与漏解.其实，在解这类题目时，关键是要分情况讨论已知线段可能是所求等腰三角形的底也可能是它的腰.为了帮助学生掌握这一题型的特征和解法，本文筛选了几道例题（或其变式题），对其类型与解法予以剖析，供参考.例1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A.4个B.3个C.2个D.1个分析：此题应该分情况讨论.以OA为腰或底分别讨论.解答：（1）若AO作为腰时，有两种情况，①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个.以上4个交点没有重合的.故符合条件的点有4个.故选：A.点评：此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.变式1：本题若在x轴上确定一点P改成在y轴上确定一点P ，符合条件的点P共有几个？解答：方法同上，有四个.变式2：本题若在x轴上确定一点P改成在坐标轴上确定一点P ，符合条件的点P又有几个？解答：方法同上，有八个.变式3：在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（2，4），点P在坐标轴上，△ABP是等腰三角形，符合条件的点P共有个.解答：由点A、B的坐标可得到AB⊥x轴，AB=4，然后分类讨论：若AP=AB，满足△ABP是等腰三角形的P点有4个；若BP=AB满足△ABP是等腰三角形的P点有2个；若PA=PB，满足△ABP是等腰三角形的P点有1个.所以点P在坐标轴上，△ABP是等腰三角形，符合条件的点P共有 7个.故答案为7.变式4：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，3）、点P为坐标轴上一点，则以A、B、P为顶点的等腰三角形有个.解答：建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，作出点A和点B，点P为坐标上的点，连接AB，如图，以AB为腰的三角形有4个，分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4；以AB为底的三角形有两个，分别是△ABP5，△ABP6.因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有6个.故填6.例2：在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y= x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标.分析：根据等腰三角形的腰长不明确，所以分①OP=OA，②AP=OA，③线段OA的垂直平分线与直线的交点，三种情况进行讨论求解.点评：本题考查了正比例函数图形的性质与等腰三角形的判定，根据腰长的不确定性，注意分情况进行讨论.例3：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（5，4），点P为BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点P坐标为 .分析：当PA=PO时，根据P在OA的垂直平分线上，得到P的坐标；当OP=OA=5时，由勾股定理求出CP即可；当AP=AO=5时，同理求出BP、CP，即可得出P的坐标.解答：当PA=PO时，P在OA的垂直平分线上，P的坐标是（2.5，4）；当OP=OA=5时，由勾股定理得：CP= =3，P的坐标是（3，4）；当AP=AO=5时，同理BP=3，CP=5﹣3=2，P的坐标是（2，4）.故答案为：（2.5，4），（3，4），（2，4）.点评：本题主要考查对矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质等知识点的理解和掌握，能求出所有符合条件的P的坐标是解此题的关键.。

专题四　二次函数综合题题型1　二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1　抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南　(1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南　(1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南　(1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2　面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南　(1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　(1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3　特殊三角形问题探究类型1　等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一　几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二　代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2　直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3　等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南　第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4　三角形关系问题类型1　与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2　与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南　当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5　特殊四边形问题探究类型1　平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2　菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3　矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一　对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二　有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4　正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南　(1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6　角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1　二次函数的实际应用类型1　抛物线运动轨迹问题例1　解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题例2　解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问　解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题例3　解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问　解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究例1　解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问　1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。

17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。

其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。

图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。

则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。

(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。

勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。

在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。

(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。

2023-2024学年度上学期阶段质量调研八年级数学一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市．下列4个图像是四届冬奥会的部分图标，属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知三角形的三边长分别为3，4，x ，且x 为整数，则x 的最大值为（）A ．8B ．7C ．5D ．63．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位得到点，则点关于x 轴的对称点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．4．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带1、4或2、3去就可以了C ．带1、4或3、4去就可以了D ．带1、2或2、4去就可以了5．如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）（第5题）()3,2P -P 'P '()0,2-()0,2()6,2-()6,2--ABC △80BAC ∠=︒70ACB ∠=︒A ．B ．C ．D ． 6．一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）（第6题）A ．B ．C ．D ．7．如图，点B ，F ，C ，E 共线，，，添加一个条件，不能判断的是（ ）（第7题）A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形ABCD 中，，，，则的度数为（）（第8题）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，，，D 为AC 边上一点，于点E ．若，，则AB 的长为（）40BAQ ∠=︒12DE BD =AF AC =25EQF ∠=︒180∠=︒2∠80︒95︒100︒110︒B E ∠=∠BF EC =ABC DEF ≌△△AB DE =A D ∠=∠AC DF =//AC FD193∠=︒2107∠=︒3110∠=︒D ∠125︒130︒135︒140︒ABC △40A ∠=︒60C ∠=︒DE BC ⊥AD BD =2BE =AB ．2C．D ．410．在中，，．用尺规在BC 边上找一点D ，仔细观察、分析能使的作法图是（ ）A ．B ．C ．D ．11．一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长是（）A ．12B ．12或15C ．15D ．无法确定12．如图，在的正方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C 的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．513．如图，BD 是的角平分线，，垂足为M ．若，，则的度数为（ ）（第13题）A ．B ．C ．D ．14．如图，在中，，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，点E 在AB 上．若，，，当DE 最小时，的面积是（ ）ABC △90BAC ∠=︒AB AC <AD DC BC +=44⨯ABC △ABC △AE BD ⊥30ABC ∠=︒38C ∠=︒CDE ∠68︒70︒71︒74︒Rt ABC △90C ∠=︒12MN 6AC =2CD =7AB =BDE △（第14题）A ．2B ．1C ．6D ．7二、填空题（每小题4分，共20分）15．如图所示，中，，．直线l 经过点A ，过点B 作于点E ，过点C 作于点F ．若，，则______．（第15题）16．如图，将沿的角平分线AD 所在直线翻折，点B 在AC 边上的落点记为点E ．已知，，那么等于______．（第16题）17．若和两点关于y 轴对称，则的值是______．18．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则顶角的度数为______．19．如图，在平面直角坐标系中xOy 中，已知点A 的坐标是，以OA 为边在右侧作等边三角形，过点作x 轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x 轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，…按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为______．ABC △AB AC =90BAC ∠=︒BE l ⊥CF l ⊥3BE =7CF =EF =ABD △ABC △20C ∠=︒AB BD AC +=AED ∠()1,1A a b -+()2,3B a --a b -40︒()0,21OAA 1A 1O 11O A 112O A A 2A 2O 22O A 223O A A 202220222023O A A 2023A三、解答题（共58分）20．（9分）如图，点C 、D 在线段AB 上，且，，，连接CE 、DE 、CF 、DF ，求证：．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为，，．（1）画出关于y 轴对称的，其中，点A 、B 、C 的对应点分别为、、；（2）直接写出点、、的坐标：______，______，______．（3）求的面积．22．（12分）如图，在等边中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且，过点E 作，交BC 的延长线于点F．AC BD =AE BF =//AE BF DE CF =ABC △()2,1A -()4,5B -()5,2C -ABC △111A B C △1A 1B 1C 1A 1B 1C 1A 1B 1C 111A B C △ABC △//DE AB EF DE ⊥（1）求的大小；（2）若，求DF 的长．23．（12分）如图，已知，AD 是的角平分线，于点E ，于点F ，连接EF 交AD 于点G ．（1）求证：AD 垂直平分EF ；（2）若，，求的面积．24．（13分）在直线m 上依次取互不重合的三个点D ，A ，E ，在直线m 上方有，且满足．（图1）（图2）（图3）（1）如图1，当时，猜想线段DE ，BD ，CE 之间的数量关系是______．（2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当时，点F 为平分线上的一点且，分别连接FB ，FD ，FE ，FC ，试判断的形状，并说明理由．2023-2024学年度上学期阶段质量调研八年级数学一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得到答案．【详解】解：轴对称图形是指一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，符合定义的只有D 选项，故选D【点睛】本题考查轴对称图形，根据定义进行判断即可．2．【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．【详解】解：根据三角形的三边关系，得：，F ∠3CD =ABC △BAC ∠DE AB ⊥DF AC ⊥10AB AC +=3DE =ABC △AB AC =BDA AEC BAC α∠=∠=∠=90α=︒0180α︒<<︒120α=︒BAC ∠AB AF =DEF △4343x -<<+即，∵x 为整数，∴x 的最大值为6．故选：D ．3．【分析】先根据点向右平移3个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点的坐标，再根据关于x 轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可．【详解】解：∵将点向右平移3个单位，∴点的坐标为：，∴点关于x 轴的对称点的坐标为：．故选：A ．4．【分析】带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，没有完整边，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形．即可得出答案．【详解】解：带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，所以A 、B 、D 不符合题意，C 符合题，故选：C ．5．【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．【详解】∵，，∴，A ．由作图可知，AQ 平分，∴，故选项A 正确，不符合题意；B ．由作图可知，MQ 是BC 的垂直平分线，∴，∵，∴，故选项B 正确，不符合题意；C ．∵，，，∵，∴，故选项C 正确，不符合题意；D ．∵，，∴；17x <<P '()3,2P -P '()0,2-P '()0,2-80BAC ∠=︒70ACB ∠=︒18030B BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒BAC ∠1402BAP CAP BAC ∠=∠=∠=︒90DEB ∠=︒30B ∠=︒12DE BD =30B ∠=︒40BAP ∠=︒70AFC ∠=︒70C ∠=︒AF AC =70EFQ AFC ∠=∠=︒90QEF ∠=︒20EQF ∠=︒故选项D 错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．6．【分析】由三角形的外角性质得到，再根据三角形的外角性质求解即可．【详解】解：如图，，∵，∴，∴，故选：B【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．7．【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解：∵，∴A ．添加一个条件，又∵，∴故A 不符合题意；B ．添加一个条件又∵，∴故B 不符合题意；C ．添加一个条件，不能判断，故C 符合题意；D ．添加一个条件∴又∵，∴故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3435∠=∠=︒903060A ∠=︒-︒=︒3145804535∠=∠-︒=︒-︒=︒3445∠=∠=︒24603595A ∠=∠+∠=︒+︒=︒BF EC =BC EF=AB DE =BC EF =B E∠=∠()SAS D ABC EF ≌△△A D∠=∠BC EF =B E∠=∠()AAS D ABC EF ≌△△AC DF =ABC DEF ≌△△//AC FDACB EFD∠=∠BC EF =B E∠=∠()ASA D ABC EF ≌△△8．【分析】先根据平角的定义求出，，，再根据四边形的内角和即可得到答案．【详解】∵，，，，，∴，，．在四边形ABCD 中，∵∴故选：B【点睛】本题考查了平角的定义及四边形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．9．【分析】作于点F ，由题意得到是等腰三角形，则，，再证明，，得到AB 的长．【详解】解：如图，作于点F ，∵∴是等腰三角形，∴∵，，∴，∴∴∵∴∵∴∴∴故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、直角三角形全等的判定方法等知识，难度不大，属于常考题型，关键是证明两直角三角形全等．87BAD ∠=︒73ABC ∠=︒70BCD ∠=︒193∠=︒2107∠=︒3110∠=︒1180BAD ∠+∠=︒2180ABC ∠+∠=︒3180BCD ∠+∠=︒87BAD ∠=︒73ABC ∠=︒70BCD ∠=︒360BAD ABC BCD D ∠+∠+∠+∠=︒130D ∠=︒DF AB ⊥ADB △40ABD A ∠=∠=︒22AB AF BF ==()Rt Rt HL BDF BDE ≌△△2BF BE ==DF AB ⊥AD BD=ADB △40ABD A ∠=∠=︒22AB AF BF==40A ∠=︒60C ∠=︒18080ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒40DBE ABC ABD ∠=∠-∠=︒DBE ABD∠=∠DE BC⊥DE DF∠=BD BD=()Rt Rt HL E BDF BD ≌△△2BF BE ==24AB BF ==10．【分析】由于，则点D 为AB 的垂直平分线与BC 的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断．【详解】解：∵，∴当时，，∴点D 为AB 的垂直平分线与BC 的交点．故选：C ．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．11．C ．12．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰直角底边：②AB 为等腰直角其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角底边时，符合条件的C 点有0个：②AB 为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的C 点有3个．故共有3个点，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．13．【分析】利用三角形内角和定理求出，利用全等三角形的性质证明即可解决问题．【详解】解：∵，，∴，在和中，∴，∴，在和中，AD BD =BD DC BC +=AD BD =AD DC BC +=ABC △ABC △ABC △ABC △112BAC ∠=︒BED BAD ∠=∠30ABC ∠=︒38C ∠=︒112BAC ∠=︒BMA △BME △90ABM EBM BM BMBMA BME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()ASA B BMA ME ≌△△BA BE =BDA △BDE △∴，∴，∴，∴，故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．【分析】由点E 为线段AB 上的一个动点，DE 最短时，如图，由题意知，AD 是的角平分线，由角平分线的性质可得，证明，则有，由求出BE 的值，根据计算求解即可．【详解】解：由点E 为线段AB 上的一个动点，DE 最短时，，如图，由基本尺规作图可知，AD 是的角平分线，∵，，∴，在和中∵∴∴，∴，∴故选B ．【点睛】本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．二、填空题（每小题4分，共20分）BA BE ABD EBDBD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BDA BDE ≌△△112BED BAD ∠=∠=︒68CED ∠=︒18074CDE C CED ∠=︒-∠-∠=︒DE AB ⊥ABC △2DE DC ==()Rt Rt HL ACD AED ≌△△6AE AC ==BE AB AE =-12BDE S BE DE =⋅△DE AB ⊥ABC △90C ∠=︒DE AB ⊥2DE DC ==Rt ACD △Rt AED △AD AD CD DE=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL ACD AED ≌△△6AE AC ==1BE AB AE =-=1112122BDE S BE DE =⋅=⨯⨯=△15．【分析】根据证明，推出，，即可求出EF ．【详解】解：∵于点E ，于点F ．∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，故答案为：10．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．16．【分析】根据折叠的性质可得，，然后根据，，证得，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．【详解】解：根据折叠的性质可得，．∵，，∴．∴，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，证明是本题的关键．17．4．18．或19．【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，，，即点的纵坐标为；点的纵坐标为，点的纵坐标为，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．【详解】解：∵三角形是等边三角形，∴，，∴，在直角中，，，AAS AEB CFA ≌△△3AF BE ==7AE CF ==BE l ⊥CF l ⊥90AEB AFC ∠=∠=︒90BAC ∠=︒90ABE BAE BAE CAF ∠+∠=∠+∠=︒ABE CAF ∠=∠AB AC =AEB CFA ≌△△3AF BE ==7AE CF ==7310EF AE AF =+=+=BD DE =AB AE =AC AE EC =+AB BD AC +=DE EC =BD DE =AB AE =AC AE EC =+AB BD AC +=DE EC =20EDC C ∠=∠=︒40AED EDC C ∠=∠+∠=︒40B AED ∠=∠=︒40︒DE EC =50︒130︒30︒01111122O A OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭122121122O A O A ⎛⎫== ⎪⎝⎭233231122O A O A ⎛⎫== ⎪⎝⎭1A 012⎛⎫ ⎪⎝⎭2A 112⎛⎫ ⎪⎝⎭3A 212⎛⎫ ⎪⎝⎭1OAA 12OA OA ==160AOA ∠=︒1130O OA ∠=︒11O OA △1190OO A ∠=︒1130O OA ∠=︒∴，即点的纵坐标为，同理，，，即点的纵坐标为，点的纵坐标为，…点的纵坐标为，∴点的纵坐标为，故答案为：．【点睛】此题考查了点的坐标规律变化，涉及到等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据角所对的直角边等于斜边的一半，逐步探索相应点的坐标特征，从中发现规律．三、解答题（共58分）20．证明：∵，∴，即：，∵，∴，∵，∴，∴．21．（1）如图所示：即为所求．01111122O A OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭1A 012⎛⎫ ⎪⎝⎭122121122O A O A ⎛⎫== ⎪⎝⎭233231122O A O A ⎛⎫== ⎪⎝⎭2A 112⎛⎫ ⎪⎝⎭3A 212⎛⎫ ⎪⎝⎭n A 112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭2023A 2023120221122-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭202212⎛⎫ ⎪⎝⎭30︒AC BD =AC CD BD CD +=+AD BC =//AE BF A B ∠=∠AE BF =ADE BCF ≌△△DE CF =111A B C △解：由（1）中、、所在的位置可得：，，．故答案为：，，．（3）解：．22．解：（1）∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴是等边三角形．∴，∵，，∴．23．（1）证明：∵AD 平分，，，∴，∵，∴．∴，∴AD 垂直平分EF ．（2）解：由（1）知：，1A 1B 1C ()12,1A ()14,5B ()15,2C ()2,1()4,5()5,2111111341342135222A B C S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△ABC △60B ∠=︒//DE AB 60EDC B ∠=∠=︒EF DE ⊥90DEF ∠=︒9030F EDC ∠=︒-∠=︒60ACB ∠=︒60EDC ∠=︒EDC △3ED DC ==90DEF ∠=︒30F ∠=︒26DF DE ==BAC ∠DE AE ⊥DF AF ⊥DE DF =AD AD =()Rt Rt HL ADE ADF ≌△△AE AF = 3DE DF ==∴．24．（1），理由如下，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，故答案为：．（2）仍然成立，理由如下，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴；（3）是等边三角形，由（2）知，，，，∵当时，点F 为平分线上的一点∴，∵∴和均为等边三角形，∴，∴，∴在和中，ABC ABD ACDS S S =+△△△1122AB DE AC DF =⨯⨯+⨯()12DE AB AC =⨯⨯+13102=⨯⨯15=DE BD CE =+90BDA BAC AEC ∠=∠=∠=︒90BAD EAC BAD DBA ∠+∠=∠+∠=︒DBA EAC ∠=∠AB AC =()AAS DBA EAC ≌△△AD CE =BD AE =DE AD AE BD CE =+=+DE BD CE =+DE BD CE =+BDA BAC AEC α∠=∠=∠=180BAD EAC BAD DBA α∠+∠=∠+∠=︒-DBA EAC ∠=∠AB AC =()AAS DBA EAC ≌△△BD AE =AD CE =DE AD AE BD CE =+=+DEF △ADB CEA ≌△△BD AE =DBA CAE ∠=∠120α=︒BAC ∠60BAF CAF ∠=∠=︒AB AF AC==ABF △ACF △60ABF CAF ∠=∠=︒BF AF=DBA ABF CAE CAF ∠+∠=∠+∠DBF FAE∠=∠DBF △EAF △∴，∴，，∴，∴为等边三角形．BF CF DBF EAFBD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DBF EAF ≌△△DF EF =BFD AFE ∠=∠60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒DEF △。