二次函数平移规律

二次函数的像变换规律二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在现实生活中有着广泛的应用。

像变换是二次函数的一种重要操作，通过对函数的像进行变换，可以获得新的函数图像。

本文将介绍二次函数的像变换规律，以帮助读者更好地理解和应用二次函数。

1. 平移变换平移变换是将函数图像沿着坐标轴进行移动的操作。

对二次函数来说，平移变换包括水平平移和垂直平移两种情况。

1.1 水平平移水平平移是将函数图像在横轴方向上的移动。

对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，将其变为y = a(x - h)^2 + bx + c的形式，可实现水平平移。

其中，h为平移的距离，若h为正值，则向右平移；若h为负值，则向左平移。

1.2 垂直平移垂直平移是将函数图像在纵轴方向上的移动。

对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，将其变为y = ax^2 + bx + (c + k)的形式，可实现垂直平移。

其中，k为平移的距离，若k为正值，则向上平移；若k为负值，则向下平移。

2. 缩放变换缩放变换是通过改变二次函数的系数，使得函数图像在坐标轴上扩大或缩小。

对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，a的取值决定了函数图像的开口方向和形状，而a的绝对值的大小则影响图像的扁平或瘦长程度。

2.1 改变a的绝对值当a的绝对值越大时，函数图像越瘦长；当a的绝对值越小时，函数图像越扁平。

具体而言，当|a| > 1时，函数图像相比y = x^2更瘦长；当0 < |a| < 1时，函数图像相比y = x^2更扁平。

2.2 改变b的值对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，b的取值决定了函数图像在x轴方向上的平移。

当b > 0时，函数图像向右平移；当b < 0时，函数图像向左平移。

3. 翻转变换翻转变换是改变函数图像的开口方向，可以将上凹变为上凸，或将上凸变为上凹。

二次函数的平移张尚军在考试中，有些题目是求二次函数平移后的解析式，学生做起来很不方便，普遍感到求平移后的解析式比较困难.就此，我从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律.一.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k （a ≠0）时1.向右或向左平移时，解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)²+k 变为y=a[x-(h+m)]2+k=a （x-m-h)2+k两解析式比较可得出图像向右平移m 个单位，括号内减去m ，同理可推出向左平移m 个单位括号内加上m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k.2.向上或向下平移时，解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h ，k ）变为（h ，k+n ）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2²+k 变为y=a(x-h)2+k+n. 比较两个解析式可得出向上平移n 个单位，括号外加n ，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k-n.二.当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)时1.向右或向左平移时,解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位.因为y=ax 2+bx+c=a （x+a 2b ）2+ab 4-ac 42 有前面的规律可知。

y=a(x+a 2b -m)2+ab 4-ac 42 =ax 2+a 4b 2+am ²+bx-2amx-bm+c-a 4b 2=ax 2-2amx+am ²+bx-bx+c=a(x-m)2+b(x-m)+c两式比较,可得出抛物线向右平移m 个单位,自变量上减去m;同理可推出抛物线向左平移m 个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c2.向上或向下平移时,解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位,因为y=ax 2+bx+c=a(x+ a 2b )2+ab 4-ac 42 由前面的规律可知 y=a(x+a 2b )2+ab 4-ac 42+n =ax 2+bx+c+n两式比较:可得抛物线向上平移n 个单位,常数项上加n;同理可推出抛物线向下平移n 个单位,自变量上减去n ，即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=ax 2+bx+c -n. 综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项.当解析式为交点式y=a(x-1x )(x-2x )时，解析式的变化规律，请读者自己完成.应用这一规律，不但便于教师授课，而且更有利于学生掌握应用，解起题来更加方便快捷.发表于2012.08下旬总第132期《新课程学习》。

将抛物线向左平移 m 个单位,由点的平移规律可知,顶点坐标由( h,k) 变为二次函数的平移问题我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律 .一.当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a 丰0)时1. 向上或向下平移时 , 二次函数解析式的变化规律 .将抛物线向上平移 n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c+n 将抛物线向下平移 n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c-n 两式比较：可得抛物线向上平移n 个单位，常数项上加n ,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=ax 2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移 n 个单位，常数项上减去n ,即解析 式由 y=ax 2+bx+c 变为 y=ax 2+bx+c-n2. 向左或向右平移时 , 解析式的变化规律 .将抛物线向左平移m 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=2 a(x+m) +b(x+m)+c 将抛物线向右平移 m 个单位长度后, 得到的新抛物线的解析式为 y= 2a(x-m) +b(x-m)+c两式比较，可得出抛物线向左平移 m 个单位，自变量上减去 m,即解析式由 y=ax 2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移 m 个单位，自变量 上加上m,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=a(x-m) 2+b(x-m)+c3.m 个单位长度后，再将抛物线向上平移2 y= a(x+m) +b(x+m)+c+nm 个单位长度后，再将抛物线向下平移 2 y= a(x+m) +b(x+m)+c-nm 个单位长度后，再将抛物线向上平移2 y= a(x-m) +b(x-m)+c+nm 个单位长度后，再将抛物线向下平移 2 y= a(x-m) +b(x-m)+c-n二.当解析式为顶点式y=a(x-h) 2+k (a ^0)时1. 向上或向下平移时,解析式的变化规律 .将抛物线向上平移n 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) 2+k+n将抛物线向下平移n 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) 2+k-n 将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由(h , k )变为(h , k+n )所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a(x-h) 2+k+n将抛物线向下平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由(h , k )变为(h , k-n )所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a(x-h) 2+k-n比较两个解析式可得出向上平移 n 个单位，括号外加n ,同理可推出向下平移n 个单位括号外减去 n. 即抛物线解析式由 y=a(x-h) 2+k 变为 y=a ( x+m-h)2+k-n2. 向右或向左平移时,解析式的变化规律将抛物线向左平移m 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m) 2+k 将抛将抛物线向左平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向左平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向右平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向右平移 的新抛物线的解析式为 n 个单位长度后 , 得到n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到物线向右平移m个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h-m) 2+k(h-m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a[x-(h-m)] 2+k=a (x-h+m)2+k 将抛物线向右平移m个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由( h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a[x-(h+m)] 2+k=a( x-h-m) 2+k 两解析式比较可得出图像向左平移m个单位，括号内加上m即抛物线解析式由y=a(x-h) 2+k变为y=a(x-h+m)2+k；同理可推出向右平移m个单位括号内减去m即抛物线解析式由y=a(x-h) 2+k变为y=a( x-h-m) 2+k综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项3.二次函数的平移练习题1. 把抛物线y=-x2向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为( )2 2 2 2A. y=- ( x-1) +3B. y=- ( x+1) +3C. y=- ( x-1) -3D. y=- ( x+1) -32. 抛物线y=x2+bx+c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x2-2x-3，贝U b、c的值为( )A . b=2 , c=2 B. b=2 , c=0 C . b= -2 , c=-1 D. b= -3 , c=23•将函数y=x2+x的图像向右平移a ( a> 0)个单位，得到函数y=x2-3x+2的图像，贝U a的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知二次函数y=x2-bx+1 (-1 w b< 1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，F列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是( )向右平移5个单位D.将抛物线C向右平移6个单位1___ I 9 . , O6. 把二次函数y=- x -x+3用配方法化成y=a(x-h) +k的形式4A. y=-丄(x-2)42+2 B. y= 丄(x-2)2+4 C. y=-4-(x+2) 2+4 D. y=(4丄x-丄)2+32 27. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移A. y=2x2-2 B . y=2x2+2 C . y=2(x-2) 2 D8. 将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是(2 2 2A. y=2(x+1)B. y=2(x-1)C. y=2x +1 2个单位，所得图象的解析式为y=2(x+2) 2)D. y=2x2-19.将函数y=x2+x的图象向右平移a(a >0)个单位，得到函数y=x2-x+2的图象，贝U a的值为(A. 1B. 2C. 3D. 410. 把抛物线y=-2x2向右平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为(2 2 2 2A. y=-2 (x-2 ) +5B. y=-2 (x+2) +5C. y=-2 (x-2 ) -5D. y=-2 (x+2) -511. 在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x2+x-2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )2 2 2 2A. y=-x -x+2 B . y=-x +x-2 C. y=-x +x+2 D. y=x +x+2))y轴作轴对称变将抛物线向左平移的新抛物线的解析式为将抛物线向左平移的新抛物线的解析式为m个单位长度后，再将抛物线向上平移y=a( x-h+m)2+k+nm个单位长度后，再将抛物线向下平移2y=a( x-h+m) +k-n将抛物线向右平移的新抛物线的解析式为m个单位长度后，再将抛物线向上平移y=a( x-h-m) 2+k+n将抛物线向右平移m个单位长度后，再将抛物线向下平移n个单位长度后，得到n个单位长度后，得到n个单位长度后，得到n个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a( x-h-m) 2+k-nA. 先往左上方移动，再往右下方移动B. 先往右上方移动，再往右下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动D.先往右下方移动，再往右上方移动5. 已知抛物线C: y=x2+3x-10，将抛物线平移方法正确的是(C平移得到抛物线C'.若两条抛物线C向右平移2.5个单位B.将抛物线C C'关于直线x=1对称，则下列C向右平移3个单位C.将抛物线C将抛物线向左平移m 个单位,由点的平移规律可知,顶点坐标由( h,k) 变为。

二次函数向左向右平移公式二次函数是数学中重要的一类函数，这类函数描述非常容易，是非常重要的一类函数。

而二次函数向左向右平移公式是有关于这类函数的其中一种具体操作。

因此，本文将详细介绍二次函数向左向右平移公式，以及伴随它的其他基本概念。

首先，介绍二次函数的概念。

二次函数是一种由常数项，一次项和二次项组成的函数，其形式如下：$$f(x)=ax^2+bx+c$$它的图像具有比较明显的特征：通过原点两边的拐点，形成一条“U”型曲线。

这种曲线是十分有规律的，也有着其特定的特性。

接下来，是二次函数向左向右平移公式。

平移公式是指，将原函数的图像向左或向右，沿x轴移动一段距离的操作。

平移的公式如下：$$f(x)=ax^2+bx+c Rightarrow f(x + a) = a(x + a)^2 + b(x + a) + c$$这个公式的意思是：当函数f(x)被向左移动a的距离，其变换的关系为f(x+a)；当函数f(x)被向右移动a的距离，其变换的关系为f(x-a)。

平移后，函数的图像也会发生变化，即曲线沿着x轴向左或向右移动了a的距离，而曲线的特征则不变。

接下来，就是二次函数向左向右平移所伴随的基本概念了。

首先，需要了解坐标系中普遍存在的两个基本概念。

一个是原点，即坐标系中心所在的位置；另一个是x轴，以及它的反向，即y轴。

在函数的平移过程中，两个概念起到了重要的作用：一是函数的原点变化，而原点的变化表明了函数图像的移动；二是以及有关x轴的概念，函数沿着轴的移动方向决定了图像的移动方向。

总之，二次函数向左向右平移公式是指，通过改变函数原点的位置，从而使函数图像在x轴上移动一段距离，从而获得新的函数图像，达到函数向左向右平移的效果。

在实际应用中，二次函数向左向右平移公式也是非常有用的，常常用于研究各种函数的变化情况。

例如，在要求计算一个函数的极值，我们可以先将函数平移，再求解，其结果便可得到原函数的正确极值了。

此外，二次函数向左向右平移公式使函数更具有可控性，也可以应用于数学模型的建立及其相关计算。

二次函数的平移问题关于二次函数的平移变换问题二次函数的平移变换可以分为上下平移和左右平移两种情况。

1.上下平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行上下平移，可以进行以下变换：向上平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c+m；向下平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c-m。

需要注意的是，m为正数，若m为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。

一般称这种变换为上加下减或上正下负。

2.左右平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行左右平移，可以进行以下变换：先将函数化为顶点式y=a(x-h)²+k；向左平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h+n)²+k；向右平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h-n)²+k。

需要注意的是，n为正数，若n为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。

一般称这种变换为左加右减或左正右负。

例题：1.将抛物线y=-x²向左平移一个单位，再向上平移三个单位，平移后的表达式为（）A。

y=-(x-1)²+3B。

y=-(x+1)²+3C。

y=-(x-1)²-3D。

y=-(x+1)²-32.抛物线y=x²+bx+c向右平移两个单位，再向下平移三个单位，得到的抛物线表达式为y=x²-2x-3，则b、c的值分别为（）A。

b=2，c=2B。

b=2，c=0C。

b=-2，c=-1D。

b=-3，c=23.将函数y=x²+x的图像向右平移a（a>0）个单位，得到函数y=x²-3x+2的图像，则a的值为（）A。

1B。

2C。

3D。

44.已知二次函数y=x²-bx+1（-1≤b≤1），当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。

下列关于抛物线移动方向的描述中，正确的是（）A。

二次函数平移性质二次函数是代数学中的一种常见函数形式。

它的一般形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c是实数常数，且a ≠ 0。

二次函数的平移性质是指当函数形式中的常数b和c发生变化时，函数图像在平面上水平或垂直方向上的位置发生变化。

首先，我们来讨论二次函数图像在水平方向上的平移性质。

对于函数f(x) = ax² + bx + c，如果我们将其中的常数b增加或减少一个特定值k，那么函数图像将在水平方向上发生平移。

当k大于0时，图像将向左平移k个单位；当k小于0时，图像将向右平移|k|个单位。

例如，考虑函数f(x) = x² - 2x + 1。

如果我们将函数中的常数b增加2，即令f(x) = x² + x + 1，则函数图像将向左平移2个单位。

同样地，如果我们将b减少2，即令f(x) = x² - 4x + 1，则函数图像将向右平移2个单位。

接下来，让我们来探讨二次函数图像在垂直方向上的平移性质。

对于函数f(x) = ax² + bx + c，如果我们将其中的常数c增加或减少一个特定值k，那么函数图像将在垂直方向上发生平移。

当k大于0时，图像将向上平移k个单位；当k小于0时，图像将向下平移|k|个单位。

举个例子，考虑函数f(x) = x² + 3x + 2。

如果我们将函数中的常数c 增加1，即令f(x) = x² + 3x + 3，则函数图像将向上平移1个单位。

同样地，如果我们将c减少2，即令f(x) = x² + 3x，则函数图像将向下平移2个单位。

需要注意的是，二次函数的平移操作在函数形式中的常数项b和c 发生改变时进行。

常数项a对平移操作没有影响，它决定了函数图像的开口方向和形状。

总的来说，二次函数的平移性质是非常重要的，因为它们可以帮助我们对函数图像在平面上的位置进行调整。

二次函数专题（3）——函数图像的平移我们知道图像的平移，图像本身不会发生改变，只是图像的位置发生改变。

函数图像的平移也是遵循这样原理，只是我们在平移过程中函数的解析式也发生改变，这节专题主要就是探讨函数平移与解析式的计算。

1. 基础情境：点坐标平移①水平平移：纵坐标不变横坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往右平移2个单位到A’，很明显A’的纵坐标不变，但是横坐标变为了1+2=3，即A’（3,2）；同理把A往左平移2个单位到A’’（-1，2）②竖直平移：横坐标不变，纵坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往上平移三个单位到A’，很明显A’的横坐标不变，但是纵坐标变为了2+3=5，即A’（1,5）；同理把A往下平移三个单位到A’’（1，-1）,如下图：2. 函数平移：一次函数图像平移①水平平移问题：我们以y=2x+2为例，把它向右平移2个单位，那么新的图像函数解析式为何？分析：由于平移过后仍然是条直线，两点决定一条直线，所以我们选取两个特殊点就可以算出新的函数表达式。

解答：选取原一次函数上两点（0,2）、（-1,0），经过平移后这两点坐标变为（2,2）和（1,0），计算得y=2x-2.观察：平移后，一次函数的系数k（2）不变，b减小了两倍（由2变为-2）推广：对于所有一次函数y=kx+b，向右平移2个单位的函数解析式怎么求？分析：可以按照上面的思路，取特殊点求取新的一次函数解析式解答：方法一：坐标法取两个特殊点（0，b）、（1，k+b），经过平移后这两点坐标变为（2,b）和（3,k+b），计算函数表达式得y=kx+b-2k。

这个式子我们还可以改写成这样y=（k-2）x+b。

反思：解析法特殊点法虽然可以帮助我们解决问题，但是需要计算，有没有更加快速的计算一次函数解析式方法？有！我们回到最初函数的定义，比如坐标系中有一个点A（x,y）,其中y=kx+b 代表是x与y之间的等量关系。

如果把A（x,y）向右平移2单位变成A’（m,y），此时m=x+2。

二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c。

要对其进行向右平移，可以对x 进行加法运算。

一般来说，对二次函数y = ax^2 + bx + c 向右平移h 个单位，可以得到y = a(x-h)^2 + b(x-h) + c。

其中h 是平移的单位，可以为正负值。

如果h是负数的话就是向左平移
y= a(x+h)^2+b(x+h)+c
另外还有一种方法，就是对函数的标准形式y = ax^2 + bx + c 进行变形，使其向右平移。

变形公式为y = a(x-h)^2 + b(x-h) + c + ah^2 - bh + c
其中h 是平移的单位，可以为正负值。

这样做的结果是一样的，只是看起来不太一样。

总之，对二次函数进行平移，可以通过对x 进行加减法运算或者对函数进行变形来实现。

论述高中数学二次函数的变换规律二次函数是高中数学中一个重要的内容，它的变换规律是研究二次函数的基础。

二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

在讨论二次函数的变换规律时，我们首先来了解一些基本概念：1. 平移：二次函数沿x轴或y轴的平移称为平移变换。

具体而言，对于y = ax^2 + bx + c，平移后的二次函数为y = a(x - h)^2 + k，其中（h，k）为平移的距离和方向。

2. 缩放：二次函数在x、y轴上方向和程度的变化称为缩放变换。

对于y = ax^2 + bx + c，缩放变换后的二次函数为y = Aa(x -h)^2 + k，其中A为缩放的程度。

3. 翻转：二次函数在x、y轴上的反转称为翻转变换。

具体而言，对于y = ax^2 + bx + c，翻转后的二次函数为y = -ax^2 + bx + c，或者y = ax^2 - bx + c，或者y = ax^2 + bx - c。

基于以上基本概念，我们来探讨一些具体的变换规律：1. 平移变换：当二次函数y = ax^2 + bx + c进行平移变换时，应注意以下几点：- 平移距离为正数时，二次函数向上平移；- 平移距离为负数时，二次函数向下平移；- 平移距离为x轴上的正数时，二次函数向右平移；- 平移距离为x轴上的负数时，二次函数向左平移。

2. 缩放变换：当二次函数y = ax^2 + bx + c进行缩放变换时，应注意以下几点：- 缩放程度A为正数时，二次函数在x、y轴上同时缩放；- 缩放程度A为大于1的正数时，二次函数在x、y轴上同时扩大；- 缩放程度A为介于0和1之间的正数时，二次函数在x、y轴上同时缩小；- 缩放程度A为负数时，二次函数在x轴上翻转，即上下颠倒。

3. 翻转变换：当二次函数y = ax^2 + bx + c进行翻转变换时，应注意以下几点：- 在二次函数中，翻转变换关于x轴进行时，二次函数在y轴上对称；- 在二次函数中，翻转变换关于y轴进行时，二次函数在x轴上对称；- 在二次函数中，翻转变换关于原点进行时，二次函数在原点对称。

二次函数平移左加右减原理1 什么是二次函数？二次函数是一种函数，它的形式通常是 $y = ax^2 + bx + c$。

其中，$a,b,c$ 是三个常数，$x,y$ 是变量。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的平滑曲线。

如果$a>0$，则曲线开口向上，如果 $a<0$，则开口向下。

$a$ 控制曲线的斜率和开口的大小，$b$ 控制曲线的水平位置，$c$ 控制曲线的竖直位置。

2 什么是平移？平移是指将一个点或一条曲线在平面上向左、向右、向上或向下移动一定的距离。

平移可以用矩阵的乘法来表示，也可以用坐标公式来表示。

3 左加右减原理左加右减原理是指，如果要将一个函数沿着 $x$ 轴向左移动$a$ 个单位，则需要将函数中 $x$ 的值都加上 $a$；如果要将函数沿着 $x$ 轴向右移动 $a$ 个单位，则需要将函数中 $x$ 的值都减去$a$。

如果函数中有其他参数（如 $a,b,c$），则平移也会影响这些参数。

具体来说，如果要将函数沿着 $x$ 轴向左移动 $a$ 个单位，则需要将 $b$ 的值减去 $2a$，将 $c$ 的值加上 $a^2$；如果要将函数沿着 $x$ 轴向右移动 $a$ 个单位，则需要将 $b$ 的值加上 $2a$，将 $c$ 的值减去 $a^2$。

4 举例说明假设有一个二次函数 $y = 2x^2 + 4x - 1$，现在要将它沿着$x$ 轴向左移动 $3$ 个单位。

根据左加右减原理，将函数中 $x$ 的值都加上 $3$，得到 $y = 2(x+3)^2 + 4(x+3) - 1$。

将式子展开，得到 $y = 2x^2 + 22x + 29$，这就是将原函数沿着 $x$ 轴向左移动 $3$ 个单位后的函数。

同样地，如果要将原函数沿着 $x$ 轴向右移动 $3$ 个单位，根据左加右减原理，需要将函数中 $x$ 的值都减去 $3$，并将 $b$ 的值加上 $2\times3=6$，$c$ 的值减去 $3^2=9$。

二次函数平移平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。

1、 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2、平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴ 2y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2y ax bx c =++ 变成2y ax bx c m =+++（或2y ax bx c m =++- ）⑵2y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2()()y a x m b x m c =++++（或2()()y a x m b x m c =-+-+）3、二次函数2()y a x h k =-+与2y ax bx c =++ 的比较从解析式上看，2()y a x h k =-+与2y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。

注：我们把2()y a x h k =-+直接就可以看出顶点是：（h ，k ），所以也称为顶点式。

这个函【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位数的关系式还能直接看出此二次函数的对称轴是2bh a=-： 例1：将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．y=-x 2-x+2B ．y=-x 2+x-2 C. y=-x 2+x+2 D ．y=x 2+x+2例4. 如图所示，已知抛物线C 0的解析式为x x y22-=，则抛物线C 0的顶点坐标 ；将抛物线C 0每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线C 1、C 2、C 3、…、C n （n 为正整数），则抛物线C n 的解析式为 ．例5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C 的顶点为⎪⎭⎫ ⎝⎛--29 3，P ，且过点()0 0，O ．⑴ 写出抛物线1C 与x 轴的另一个交点A 的坐标；⑵ 将抛物线1C 向右平移3个单位、再向上平移54.个单位得抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式；⑶ 直接写出阴影部分的面积S ．练习一、选择题1.把抛物线y=-x 2向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）A. y=-（x-1）2+3B. y=-（x+1）2+3C. y=-（x-1）2-3D. y=-（x+1）2-32.抛物线y=x 2+bx+c 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（ ）A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=23.将函数y=x 2+x 的图像向右平移a （a ＞0）个单位，得到函数y=x 2-3x+2的图像，则a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知二次函数y=x 2-bx+1（-1≤b ≤1），当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动5.已知抛物线C ：y=x 2+3x-10，将抛物线C 平移得到抛物线C ′.若两条抛物线C 、C ′关于直线x=1对称，则下列平移方法正确的是（ ）A. 将抛物线C 向右平移 2.5个单位B.将抛物线C 向右平移3个单位C.将抛物线C 向右平移5个单位D.将抛物线C 向右平移6个单位 6.把二次函数y=-41x 2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k 的形式A. y=-41(x-2)2+2B. y=41(x-2)2+4C. y=-41(x+2)2+4 D. y= (21x-21)2+37.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x 2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．y=2x 2-2B ．y=2x 2+2C ．y=2(x-2)2D ．y=2(x+2)28.将抛物线y=2x 2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．y=2(x+1)2B ．y=2(x-1)2C ．y=2x 2+1D ．y=2x 2-19.将函数y=x 2+x 的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数y=x 2-x+2的图象，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410.把抛物线y=-2x 2向右平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A. y=-2（x-2）2+5B. y=-2（x+2）2+5C. y=-2（x-2）2-5D. y=-2（x+2）2-511.要得到二次函数y=-x 2+2x-2的图象，需将y=-x 2的图象（ ）．A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位12.若二次函数y=(x-m)2-1，当≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＝1 B ．m ＞1 C ．m ≥1 D ．m ≤1 二、填空题1.抛物线y=ax 2向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线2.二次函数y=-2（x+3）2-1由y=-2（x-1）2+1向_____平移______个单位，再向_____平移______个单位得到3.抛物线y=3（x+2）2-3可由抛物线y=3（x+2）2+2向 平移 个单位得到 4.将抛物线y=53（x-3）2+5向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 5.把抛物线y=-（x-1）2-2是由抛物线y=-（x+2）2-3向 平移 个单位，再向_____平移_____个单位得到6.把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2-3x+5，则a+b+c=__________7.抛物线y ＝x 2-5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式 8.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 三、解答题1.已知a+b+c=0，a ≠0，把抛物线y=ax 2+bx+c 向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式2.已知二次函数y ＝-x 2-4x-5.①指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；②把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式；③把这个二次函数的图象左、右平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式。

二次函数的平移与缩放在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，其一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。

通过改变a、b、c的值，可以使二次函数图像在坐标平面上发生平移和缩放的变化。

本文将探讨二次函数的平移与缩放，并给出相关的示例。

一、二次函数的平移平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行移动。

对于二次函数而言，平移主要涉及到x轴和y轴方向的变化。

1. 沿x轴平移在二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中，当x加上一个常数h时，函数变为f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c。

这个变化使得函数图像沿着x轴的正方向平移了h个单位。

具体来说，如果h>0，则平移向右；若h<0，则平移向左。

举例来说，考虑函数f(x) = x^2，我们将其进行沿x轴平移2个单位。

根据上述公式，得到新的函数为f(x-2) = (x-2)^2。

在坐标平面上画出原函数和新函数的图像，可以发现新函数图像的顶点比原来的向右移动了2个单位。

2. 沿y轴平移在二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中，当f(x)加上一个常数k时，函数变为f(x) + k = ax^2 + bx + c + k。

这个变化使得函数图像沿着y轴的正方向平移了k个单位。

具体来说，如果k>0，则平移向上；若k<0，则平移向下。

举例来说，考虑函数f(x) = x^2，我们将其进行沿y轴平移3个单位。

根据上述公式，得到新的函数为f(x) + 3 = x^2 + 3。

在坐标平面上画出原函数和新函数的图像，可以发现新函数图像的整体位置比原来的向上移动了3个单位。

二、二次函数的缩放缩放是指改变函数图像的形状和尺寸，可以通过改变a、b和c的值来实现。

1. 缩放的尺度在二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中，当a乘以一个正常数k时，函数变为f(x) = kax^2 + kbx + kc。

二次函数平移变换二次函数是数学中一个重要的函数类型，它的一般形式是y=ax^2+bx+c。

其中，a、b、c为常数，而x、y为变量。

在数学中，我们通常会进行二次函数的平移变换，通过对a、b、c的变化来改变函数的图像在坐标平面上的位置。

二次函数平移变换主要有水平平移和垂直平移两种。

水平平移指的是将二次函数的图像沿x轴的方向移动，移动的距离和方向由平移向量（h，0）决定，其中h为水平平移的距离，正表示向右平移，负表示向左平移。

对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c 来说，进行水平平移后的函数为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c，其中h为平移的距离。

垂直平移指的是将二次函数的图像沿y轴的方向移动，移动的距离和方向由平移向量（0，k）决定，其中k为垂直平移的距离，正表示向上平移，负表示向下平移。

对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c 来说，进行垂直平移后的函数为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c+k，其中k为平移的距离。

具体来说，对于二次函数y=ax^2+bx+c，如果想要将其图像向右平移h个单位，则对应的平移变换为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c；如果想要将其图像向左平移h个单位，则对应的平移变换为y=a(x+h)^2+b(x+h)+c。

同理，如果想要将其图像向上平移k个单位，则对应的平移变换为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c+k；如果想要将其图像向下平移k个单位，则对应的平移变换为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c-k。

二次函数的平移变换可以通过改变a、b、c以及平移的距离h和k 来实现。

在实际应用中，二次函数的平移变换往往可以用来描述物体的运动轨迹、水平和垂直方向上的位移以及图像的位置调整等。

总之，二次函数的平移变换是一个重要的概念，在数学和实际应用中都具有广泛的意义。

通过理解和掌握二次函数的平移变换，我们可以更好地分析和描述函数图像的位置变化，更准确地解决与函数平移相关的问题。

高中数学二次函数的图像变换规律与应用二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在数学中的应用非常广泛。

掌握二次函数的图像变换规律以及应用，对于解题和理解数学概念都非常有帮助。

本文将详细介绍二次函数的图像变换规律，并通过具体题目的举例，说明其考点和解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。

一、二次函数的图像变换规律1. 平移变换平移变换是指将二次函数图像沿着坐标轴的方向进行移动。

对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，平移变换可以通过改变a、b、c的值来实现。

例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像向右平移2个单位。

根据平移变换的规律，我们只需将x的值减去2，即可实现平移。

因此，新的二次函数为y = (x-2)^2。

2. 纵向拉伸和压缩纵向拉伸和压缩是指将二次函数图像在纵向上进行拉长或压缩。

对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，纵向拉伸和压缩可以通过改变a的值来实现。

例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像在纵向上拉伸2倍。

根据纵向拉伸和压缩的规律，我们只需将a的值改为2，即可实现纵向拉伸。

因此，新的二次函数为y = 2x^2。

3. 横向拉伸和压缩横向拉伸和压缩是指将二次函数图像在横向上进行拉长或压缩。

对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，横向拉伸和压缩可以通过改变x的值来实现。

例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像在横向上压缩为原来的一半。

根据横向拉伸和压缩的规律，我们只需将x的值改为原来的两倍，即可实现横向压缩。

因此，新的二次函数为y = (1/2)x^2。

二、二次函数图像变换的应用1. 最值问题二次函数的图像变换可以帮助我们解决最值问题。

例如，考虑二次函数y =x^2 + 2x + 1，我们可以通过平移变换将其图像向左平移1个单位，得到新的二次函数y = (x+1)^2 + 2x + 1。

这样，我们可以发现新的二次函数的最小值为1，即原函数的最小值为1-1=0。