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2019届浙江省衢州二中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、单选题1．集合{}25,M y N y x x Z =∈=-+∈的真子集个数是( ) A ．5B ．6C ．7D ．82．设i 是虚数单位，则复数53i i-=( ) A ．4i -B ．2i -C ．2iD ．4i3．已知直线m ，n 和平面α，m α⊂，则“n α⊄”是“n 与m 异面” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在梯形ABCD 中，//AD BC ，2224BC AB AD DC ====，AC 与BD 相交于O ，过点A 作AE BD ⊥于E ，则AE AC ⋅=u u u r u u u r( ) ABC ．3D．5．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．14π B ．12πC ．πD ．32π 6．已知定义在R 上的函数()||32x m f x -+=+m 为实数）为偶函数，记()0.2log 3a f =，()5log b f e =，()c f m π=+，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<7．等比数列{}n a 中，11a =，128a =，函数()()()1212()f x x x a x a x a =--⋅⋅-…，则(0)f '=（ ）. A ．122B ．152C ．182D ．2128．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右顶点是A ，B ，P 为双曲线右支上一点，()0BA BP AP +⋅=u u u r u u u r u u u r 且285ABP S a =△，则双曲线的离心率为( )A 15B 15C 15D 15 9．已知函数()222,2log 1,2x x x f x x x ⎧-+≤=⎨->⎩，设12116n x x x ≤<<<≤L ，若()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-++-≤L ，则M 的最小值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．610．设*N n ∈，n a 为()()41nnx x +-+的展开式的各项系数之和，7c t =-，R t ∈，1222555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L （[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.则()()22n n t b c -++的最小值为( )A ．12B ．22C ．22D ．32二、双空题11．已知()3sin cos f x x x ωω=-（0>ω）的最小正周期为2，则ω=________，函数()f x 在11,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是________.12．直线20(R)mx y m +-=∈与圆22:210C x y y +--=相交于A ，B 两点，弦长||AB 的最小值为________，若ABC ∆的面积为32，则m 的值为_________．13．袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是13，现从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个，有2次摸到红球即停止，则恰好摸4次停止的概率p =________；若记4次之内（含4次）摸到红球的次数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ=________.14．如图，在ABC V 中，2AB BC ==，150ABC ∠=︒，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，线段BC 上的点Q ，满足PD DA =，PB BA =，则四面体P BCD -的体积的最大值是________；当P BCD -体积取最大值时，min PQ =________. 三、填空题15．已知平面向量1e u r ，2e u u r ，c r 满足12121e e e e ==-=u r u u r u r u u r ，2123(2)02c e e c -+⋅+=u r u u r r r ，则对任意的R t ∈，1c te -的最小值记为M ，则M 的最大值为________. 16．在数列{}n a 及{}n b中，11111,1n n n n n n a a b b a b a b ++=++=+==．设112n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前n 项和为_____________．17．已知函数64,2()25,02x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-+⎩＜＜，若方程()f x a =恰有两个实数解12,x x ()12x x ＜，且126x x ⋅＞，则实数a 的取值范围是__________.四、解答题18．在ABC V 中，()sin 1A B -=，1sin 3C =. （1）求cos B 的值；（2）若AB =ABC V 的面积.19．数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +⋅=（*N n ∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()1,2121251,2n n n k n n b n ka ⎧=-⎪++⎪=⎨⎪-=⎪⎩（*N k ∈），求使2n S 取最小值时n 的值.20．如图，已知矩形BCDE 所在平面与ABE △所在平面互相垂直，AB AE ⊥，AB AE >.（1）若M 为AC 中点，N 为BE 中点，证明：//MN 平面ADE ； （2）若2BE =，1DE =，且DE 与平面DAC 所成角的正弦5，求ABE ∠的大小.21．已知抛物线L ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过点()5,0M 的动直线l 与抛物线L 交于A ，B 两点，直线AF 交抛物线L 于另一点C ，直线AC 的最小值为4.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点A 作y 轴的垂线m ，则x 轴上是否存在一点()0,0P x ，使得直线PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.22．已知函数()()21233ln 2f x ax b a x x =+-++，其中0a >，b R ∈. （1）当3b =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当3a =且0b <时.①若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：()192f x <-； ②若对任意的[]1,x t ∈，都有()213922e f x -≤≤-成立，求正实数t 的最大值.。
2020年浙江省衢州二中高考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设{1U =-，0，1，2}，集合2{|1A x x =<，}x U ∈，则(U A =ð ) A ．{0，1，2}B ．{1-，1，2}C ．{1-，0，2}D ．{1-，0，1}2．（4分）本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( ) A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-3．（4分）已知复数z 满足202020191z i i =+g （其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．（4分）已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12//l l ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．83B ．3C ．113D ．46．（4分）函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．()2(||1)xf x x =- B ．21()2x x f x -=C ．()||||f x ln x = D ．()1x f x xe =-7．（4分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且*112(1)(1,)n n n S S S n n N +-+=+>∈．则( ) A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =8．（4分）已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11(F AO AOF O ∠=∠为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为( ) A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±9．（4分）已知平面向量,,a b c r r r，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+r r r r r r 且21λμ+=，若对每一个确定的向量a r ，记||c r 的最小值为m ，则当a r变化时，m 的最大值为( )A ．14B ．13C ．12D ．110．（4分）已知函数2()1|21|()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则(a = ) A ．12B ．1-C ．1±D ．12±二、填空题：本大题共7小题，多空每空格3分，单空每空格4分，共36分. 11．（6分）若2log 3a =，3log 2b =，则a b =g ，lga lgb += ．12．（6分）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧¶AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧¶AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是 ，弧田的面积是 ．13．（6分）已知实数x 、y 满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩…„„，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为 ，若目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于 ．14．（6分）有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则1ξ=对应的排法有 种；()E ξ= ；15．（4分）已知函数2,()4,x x m f x x x x m <⎧=⎨+⎩…，且p m ∀<，q m ∃…，使得()()0f p f q +=，则实数m 的取值范围是 ．16．（4分）已知实数a ，b ，c 满足22221a b c ++=，则ab c +的最小值是 ． 17．（4分）若四棱锥P ABCD -的侧面PAB 内有一动点Q ，已知Q 到底面ABCD 的距离与Q 到点P 的距离之比为正常数k ，且动点Q 的轨迹是抛物线，则当二面角P AB C --平面角的大小为30︒时，k 的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，2223b c abc a +-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．19．（15分）已知等腰梯形ABCD 中（如图1)，4AB =，2BC CD DA ===，F 为线段CD 的中点，E ，M 为线段AB 上的点，1AE EM ==，现将四边形AEFD 沿EF 折起（如图2)． （Ⅰ）求证：||AM 平面BCD ；（Ⅱ）在图2中，若6BD =，求直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值．20．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)2n n S a =--．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：123n T n >-． 21．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为3e =，且短轴的一个端点B 与两焦点A ，C 3（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆E 上的一点，过点P 作椭圆E 的切线交圆222:O x y a +=于不同的两点M ，N （其中M 在N 的右侧），求四边形ACMN 面积的最大值． 22．（15分）已知函数()()f x ax lnx a R =+∈有两个零点1x ，2x ． （1）求a 的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意1x ，2x ，当012(1)0x x x λλ=+->时均有0()0f x '<？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．。
2020年高考模拟高考数学一模试卷一、选择题1．设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}，则∁U A＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，1，2}C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1} 2．本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）A．B．C．D．3．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i4．已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3C．D．46．函数f（x）的图象如图所示，则它的解析式可能是（）A．f（x）＝2x（|x|﹣1）B．f（x）＝C．f（x）＝|ln|x||D．f（x）＝xe x﹣17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且．则（）A．a4＝7B．S16＝240C．a10＝19D．S20＝3818．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO＝∠AOF1（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±x9．已知平面向量，满足且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，m的最大值为（）A．B．C．D．110．已知函数f（x）＝ax+1+|2x2+ax﹣1|（a∈R）的最小值为0，则a＝（）A．B．﹣1C．±1D．±二、填空题11．若a＝log23，b＝log32，则a•b＝，lga+lgb＝．12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是，弧田的面积是．13．已知实数x、y满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取值范围为，若目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于．14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ＝1对应的排法有种；E（ξ）＝；15．已知函数f（x）＝，且∀p＜m，∃q≥m，使得f（p）+f（q）＝0，则实数m的取值范围是．16．已知实数a，b，c满足a2+b2+2c2＝1，则ab+c的最小值是．17．若四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB内有一动点Q，已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角P﹣AB﹣C平面角的大小为30°时，k的值为．三、解答题18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若b＝1，求△ABC的面积．19．已知等腰梯形ABCD中（如图1），AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，F为线段CD的中点，E，M为线段AB上的点，AE＝EM＝1，现将四边形AEFD沿EF折起（如图2）．（Ⅰ）求证：AM||平面BCD；（Ⅱ）在图2中，若，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足：．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n．求证：．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：x2+y2＝a2于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值．22．已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0＝λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}，则∁U A＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，1，2}C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1}【分析】化简集合A，求出A的补集即可．解：设U＝{﹣1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＜1，x∈U}＝{0}，∴∁U A＝{﹣1，1，2}，故选：B．2．本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）A．B．C．D．【分析】根据弧度制的定义，即可求解．解：由于时针是顺时针转动，形成的角是负角，又由于时针转动1小时，转动的弧度数为，因此时针转过2小时所形成的弧度数为，故选：B．3．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【分析】由虚数单位i的运算性质可得z＝1﹣i，则答案可求．解：∵i4＝1，∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，则z•i2020＝1+i2019化为z＝1﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：A．4．已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由两直线平行的充要条件得：“l1∥l2”的充要条件为：，即：a＝﹣1，即“a＝﹣1”是“l1∥l2”的充分必要条件，得解．解：已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，又“l1∥l2”的充要条件为：，解得：a＝﹣1，即“a＝﹣1”是“l1∥l2”的充分必要条件，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3C．D．4【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：V＝＝．故选：C．6．函数f（x）的图象如图所示，则它的解析式可能是（）A．f（x）＝2x（|x|﹣1）B．f（x）＝C．f（x）＝|ln|x||D．f（x）＝xe x﹣1【分析】结合图象，运用排除法得解．解：当x＝﹣1时，函数值为0，由此排除D；当x＝0时，函数值为﹣1，由此排除C；当x→+∞时，函数值→+∞，由此排除B．故选：A．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且．则（）A．a4＝7B．S16＝240C．a10＝19D．S20＝381【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的项和数列的和．解：数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，且．当n≥2时，S n+2+S n＝2（S n+1+1），当n＝2时，解得a3＝4，所以a n+2+a n＝2a n+1，所以数列{a n}是以2为首项公差d＝4﹣2＝2的等差数列．所以a n＝2+2（n﹣2）＝2n﹣2，所以，故＝226．a4＝2×4﹣2＝6．a10＝2×10﹣2＝18．S20＝a1+a2+…+a20＝1+＝381．故选：D．8．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO＝∠AOF1（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±x【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝x，对称点为A（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点A的坐标，A满足∠F1AO＝∠AOF1，可得|AF1|＝|OF1|＝c，由两点的距离公式，可得所求渐近线方程．解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝x，F2的对称点为A（m，n），即有＝﹣，且•n＝•，解得m＝，n＝，A满足∠F1AO＝∠AOF1，可得|AF1|＝|OF1|＝c，即有（+c）2+＝c2，结合c2＝a2+b2，化为c＝2a，即b＝a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：B．9．已知平面向量，满足且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，m的最大值为（）A．B．C．D．1【分析】先假设，＝，从而得到点A的轨迹是圆，再由计算，将其化简为关于λ的二次函数，因此得到的最小值为m 与x的关系，再利用导数求其最大值即可．解：设，＝，∵，∴（x+2）2+y2＝1即点A的轨迹是以（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆，x∈[﹣3，﹣1]．∵λ+2μ＝1，∴＝（λx+1﹣λ，λy），∴+2（x﹣1）λ+1＝（﹣6x﹣2）λ2+2（x﹣1）λ+1，∵x∈[﹣3，﹣1]，∴﹣6x﹣2＞0，则关于λ的二次函数开口向上，当时，取得最小值，即＝，令（x∈[﹣3，﹣1]），则，∴函数f（x）在[﹣3，]上单调递增，在（，﹣1]上单调递减，∴，即，∴m的最大值为．故选：B．10．已知函数f（x）＝ax+1+|2x2+ax﹣1|（a∈R）的最小值为0，则a＝（）A．B．﹣1C．±1D．±【分析】设，解得g（x），h（x）的解析式，通过图象的特点，结合f（x）的最小值为0，可得所求值．解：设，所以，则f（x）＝g（x）+h（x）+|g（x）﹣h（x）|＝，由于g（x）＝x（x+a）的图象恒过（0，0），（﹣a，0），h（x）的图象为开口向下，且过（﹣1，0），（1，0）的抛物线，且f（x）的最小值为0，结合图象可得﹣a＝1或﹣a＝﹣1，即有a＝±1．故选：C．二、填空题：共7小题，多空每空格3分，单空每空格4分，共36分.11．若a＝log23，b＝log32，则a•b＝1，lga+lgb＝0．【分析】利用对数运算性质即可得出．解：∵a＝log23，b＝log32，则a•b＝•＝1，lga+lgb＝lgab＝lg1＝0．故答案为：1，0．12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是6，弧田的面积是12π﹣9．【分析】由已知利用弧长公式可求∠AOB，可得∠AOD＝，OA＝6，即可求解AB的值，由弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB即可计算得解．解：∵如图，弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OA sin＝2×＝6，∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案为：6，12π﹣9．13．已知实数x、y满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取值范围为m＞2，若目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于5．【分析】作出平面区域，结合线性规划的知识及目标函数的几何意义即可求解．解：作出可行域如图，则要为三角形需满足B（1，1）在直线x+y＝m下方，即1+1＜m，m＞2；目标函数可视为y＝x﹣z，则z为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点A时，此时z min＝﹣1，直线PA：y＝x+1，与AB：y＝2x﹣1的交点为A（2，3），该点也在直线AC：x+y＝m 上，故m＝2+3＝5，故答案为：m＞2；5．14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ＝1对应的排法有36种；E（ξ）＝1；【分析】ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ＝1对应的排法有：＝36．分别求出P （ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出E（ξ）．解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ＝1对应的排法有：＝36．∴ξ＝1对应的排法有36种；P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴E（ξ）＝＝1．故答案为：36，1．15．已知函数f（x）＝，且∀p＜m，∃q≥m，使得f（p）+f（q）＝0，则实数m的取值范围是（﹣∞，0]．【分析】根据条件转化为函数y＝﹣f（x）在（﹣∞，m）上的值域是函数y＝f（x）在[m，+∞）上的值域的子集；分别求值域即可得到结论．解：依题意，f（q）＝﹣f（p），即函数y＝﹣f（x）在（﹣∞，m）上的值域是函数y＝f（x）在[m，+∞）上的值域的子集．因为y＝f（x）在[m，+∞）上的值域为[﹣4，+∞）（m≤﹣2）或[m2+4m，+∞]（m＞﹣2），y＝﹣f（x）在（﹣∞，m）上的值域为（﹣m，+∞），故或，解得m≤0故答案为：（﹣∞，0]．16．已知实数a，b，c满足a2+b2+2c2＝1，则ab+c的最小值是﹣．【分析】先分离出a2+b2，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值．解：若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：1﹣2c2＝a2+b2，又由a2+b2≥2|ab|＝﹣2ab，即有1﹣2c2≥﹣2ab，则ab+c≥c2+c﹣＝（c+）2﹣，即2ab+c的最小值为﹣，故答案为：﹣．17．若四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB内有一动点Q，已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角P﹣AB﹣C平面角的大小为30°时，k的值为．【分析】二面角P﹣AB﹣C平面角为θ，点Q到底面ABCD的距离为|QH|，点Q到定直线AB得距离为d，则d＝．再由点Q到底面ABCD的距离与到点P的距离之比为正常数k，可得|PQ|＝，由此可得sinθ＝k，则由cosθ＝cos30°＝可求k值．解：如图，设二面角P﹣AB﹣C平面角为θ，点Q到底面ABCD的距离为|QH|，点Q到定直线AB得距离为d，则|QH|＝d sinθ，即d＝．∵点Q到底面ABCD的距离与到点P的距离之比为正常数k，∴＝k，则|PQ|＝，∵动点Q的轨迹是抛物线，∴|PQ|＝d，即＝．则sinθ＝k．∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为cosθ＝＝＝cos30°＝．解得：k＝（k＞0）．故答案为：．三、解答题：共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若b＝1，求△ABC的面积．【分析】（1）由题意可得，，结合余弦定理可求（2）由正弦定理可求B，C，代入三角形面积公式可得解：（1）由题意可得，，由余弦定理可得，cos A＝即＝，∴a＝（2）∵a＝，b＝1，由正弦定理可得，sin B＝＝＝∵a＞b，∴B＝，C＝π﹣A﹣B＝∴S△ABC＝＝＝19．已知等腰梯形ABCD中（如图1），AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，F为线段CD的中点，E，M为线段AB上的点，AE＝EM＝1，现将四边形AEFD沿EF折起（如图2）．（Ⅰ）求证：AM||平面BCD；（Ⅱ）在图2中，若，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）证明四边形ADCM为平行四边形，可得AM∥CD，进而得证；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，再根据已知条件求得点D的坐标以及平面BCEF 的一个法向量，利用向量公式即可得所求正弦值．解：（Ⅰ）证明：连接CM，由AD平行且等于EF，MC平行且等于EF可知，AD平行且等于MC，∴四边形ADCM为平行四边形，∴AM∥CD，又AM不在平面BCD内，CD在平面BCD内，∴AM||平面BCD；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设D（x，y，z），由，可得，∴，易知平面BCEF的一个法向量为，设直线CD与平面BCFE所成角为θ，则，即直线CD与平面BCFE所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足：．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n．求证：．【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（Ⅱ）运用数列的裂项相消求和和不等式的性质，可得证明．解：（Ⅰ）∵，∴，即，∴，当n≥2时，，得，即{a n}是等比数列；∴．（Ⅱ）证明：＝＝，由得，所以，从而＝＝．即．21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：x2+y2＝a2于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值．【分析】（Ⅰ）结合已知可得，bc＝求出a，b的值，即可得椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得m2＝4k2+1，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得S△MCO+S△ANO，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出S△MON，得到S ACMN＝S△MON+S+S△ANO，整理后利用基本不等式求最值．△MCO解：（Ⅰ）可得，bc＝结合a2＝b2+c2，解得a＝2，c＝，b＝1．得椭圆方程；（Ⅱ）易知直线MN的斜率k存在，设MN：y＝kx+m，由，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由△＝64k2m2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＝0，得m2＝4k2+1，∵S ACMN＝S△MON+S△MCO+S△ANO，设点O到直线MN：kx﹣y+m＝0的距离为d，d＝，|MN＝2＝2．S△MON+＝＝d＝，由，得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4＝0，，，∴y1+y2＝kx1+m+kx2+m＝k（x1+x2）+2m＝k（﹣+2m＝．∴S△MCO+S△NAO＝×（|y1|+|y2|）＝（|y1+y2|＝，∴S ACMN＝S△MON+（S△NAO+S△MCO）＝+而m2＝4k2+1，k2＝，易知k2≥0，∴m2≥1，则|m|≥1，四边形ACMN的面积S＝＝当且仅当＝|m|，即m＝时取“＝”．∴四边形ACMN面积的最大值为4．22．已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0＝λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）f′（x）＝a+（x＞0），求导讨论a以确定导数的正负，从而确定函数的单调区间，求得f（﹣）＞0，求得a的取值范围；（2）由于（1）可知：f′（x0）＜0，f′（x1）•f′（x2）＜0可知λ≠0，且λ≠1，x1，x2是f（x）＝0的两个根，求得a的表达式，λ+（1﹣λ）＞，t＝，构造辅助函数g（t）＝lnt﹣（t＞0），求导化简整理，令μ＝，利用μ的取值范围，即可判断g（t）的单调性，即可求得λ的值．解：（1）f′（x）＝a+（x＞0），当a≥0时，f′（x）＞0对x＞0恒成立，与题意不符，当a＜0，f′（x）＝a+＝，∴0＜x＜﹣时，f′（x）＞0；x＞﹣时f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，﹣）单调递增，在（﹣，+∞）单调递减，∵x→0和x→+∞时均有f（x）→﹣∞，∴f（﹣）＝﹣1+ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可知：a的取值范围（﹣，0）；（2）由（1）可知f′（x0）＜0⇔x0＞﹣（﹣＜a＜0），由x1，x2的任意性及f′（x1）•f′（x2）＜0知，λ≠0，且λ≠1，∴a＝﹣，故x0＝λx1+（1﹣λ）x2＞，又∵λ+（1﹣λ）＞，令t＝，则t＞0，t≠1，且λ+（1﹣λ）t＞＞0恒成立，令g（t）＝lnt﹣（t＞0），而g（﹣1）＝0，∴t＞1时，g（t）＞0，0＜t＜1时，g（t）＜0．（*）∴g′（t）＝﹣＝，令μ＝，若μ＜1，则μ＜t＜1时，g′（t）＜0，即函数在（μ，1）单调递减，∴g（t）＞g（1）＝0，与（*）不符；若μ＞1，则1＜t＜μ时，g′（t）＜0，即函数g（t）在（1，μ）单调递减，∴g（t）＜g（1）＝0，与（*）式不符；若μ＝1，解得λ＝，此时g′（t）≥0恒成立，（g′（t）＝0⇔t＝1），即函数g（t）在（0，+∞）单调递增，又g（1）＝0，∴t＞1时，g（t）＞0；0＜t＜1时，g（t）＜0符合（•）式，综上，存在唯一实数λ＝符合题意．。
高考模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}{}{22,4A x x B x x x =≤=<，则RA B =（ ）A ．(],0-∞B ．(),0-∞C ．[]1,1-D ．()0,2 2．已知(),0,a b ∈+∞，则“2ab >”是“22log log 0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，这是计算111124620+++⋅⋅⋅+的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A ．19?i >B ．20?i >C ．20?i <D ．21?i <4．下列函数中既有奇函数，又在区间[]1,1-上单调递增的是（ ） A ．()sin 2f x x = B ．()tan f x x x =+ C ．()3f x x x =-D ．()22x x f x -=+5．甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数是（ ） A ．18B ．24C ．36D ．486．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使得122130,120PF F PF F ∠=∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．31+D ．31+ 7．已知函数()23,11,0121,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪+<⎩，若数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且()111,3n n a a f a +==，则2014S =（ ）A ．895B ．896C ．897D ．8988．函数()f x 的图像如图，则()f x 的解析式可能是 （ ） A ．()cos 2f x x =B ．()sin 4f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()3cos 28f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()5sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9．如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=90，AD ：BC ：AB=234，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折．给出四个结论：①DF ⊥BC ；②BD ⊥FC ；③平面DBF ⊥平面BFC ；④平面DCF ⊥平面BFC ．在翻折过程中，可能成立的结论是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④10．若直线1ax by +=与不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，则23a b +的取值范围是（ ）A ．()7,1--B ．()3,5-C ．()7,3-D ．R二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知复数z 满足()21z i i -=+（i 是虚数单位），则z =__________． 12．等比数列{}n a 前n 项的乘积为n T ，且2342a a =，则9T =__________．13．若()()8880182121x x a a x a x ++-=++⋅⋅⋅+，则02468a a a a a ++++=__________．14．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是_________．15．如图在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=2，D 、E 是线段BC 上的两点，且13DE BC =，则AD AE ⋅的取值范围是___________．16．焦点为F 的抛物线24y x =上有三点A 、B 、C 满足：①△ABC 的重心是F ；②|FA|、|FB|、|FC|成等差数列．则直线AC 的方程是________________________． 17．已知集合()()()()}222,0,,1,2,32a A f x y f x y x a y a a ⎧⎪===-+--=±±±⎨⎪⎩，()(){},0,,1,2,3A g x y g x y x y b b ===+-=±±±，则A 中方程的曲线与B 中方程的曲线的交点个数是_________．三． 解答题 本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． (本题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin b Ca A=（Ⅰ）若512C π=，求角B 的大小； （Ⅱ）若2,32b C ππ=≤<，求△ABC 面积的最小值．19． (本题满分14分)如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=θ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若60θ=，求证：AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角P —CD —A 的平面角最小．20． (本题满分14分)有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别． （Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求P （S ）和P （T ）；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ．21． (本题满分15分)如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线2y x b =+．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2a =,过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Ｑ，求PQ QB的取值范围．•BACEPD（第19题）21． (本题满分15分)已知a R ∈，函数()()()2,ln 2m x x n x a x ==+． （Ⅰ）令()()(),0,0m x x f x n x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()f x 的图像上存在两点Ａ、Ｂ满足OA ⊥OB （O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()()()g x m x n x =+存在两个极值点1x 、2x ，求()()12g x g x +的取值范围．理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．D ；7．A ；8．D ；9．B ；10．C ．第9题提示：考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立；考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射 影为点P ，当CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确；考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立.第10题提示：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域是由)1,0(),1,1(),1,1(--C B A 围成的三角形区域（包含边界）．因为直线1=+by ax 与⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公共点, 所以b a ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101b b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+010101b b a b a ． ),(b a 在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．所以b a 32+的取值范围是)3,7(-． BAC DEFP二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．10； 12．512；13．138+（或6562）； 14．38； 15．]38,916[； 16．012=-±y x ； 17．14． 第17题提示：集合A 中的方程表示圆心在直线x y =上的六个圆, 由对称性只需考虑第一象限. 记3,2,1=a 对应的圆分别为⊙1C , ⊙2C ,⊙3C ,易知⊙1C 与⊙3C 外切, ⊙2C 与⊙1C , ⊙3C 相交,且经过⊙1C 的圆心.3,2,1=b 对应的三条直线321,,l l l ，1l 与⊙1C 外切，2l 与⊙2C 外切且与⊙1C 相交，3l 与⊙1C 与⊙3C 的外公切线且与⊙2C 相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ACa b sin 2sin =． （Ⅰ）若π125=C ，求角B 的大小； （Ⅱ）若2=b ，23ππ<≤C ，求△ABC 面积的最小值．18．（Ⅰ）（本小题7分）由正弦定理，得ACA B a b sin 2sin sin sin ==． ∴ 2165sin 2sin sin ===πC B ．∴ 6π=B （65π=B 舍）．（Ⅱ）（本小题7分）由（Ⅰ）中C B 2sin sin =可得C B 2=或π=+C B 2． 又 C B 2=时，23ππ<≤C ，π32≥B ，即π≥+C B ，矛盾． 所以π=+C B 2，ππ=+--C C A 2，即C A =． 所以3tan 21≥==∆C hb S ABC ， 即当3π=C 时，ABC S ∆的最小值是3．19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //,22====BC AD AB PA ，θ=∠BAD ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若︒=60θ，求证：⊥AE 平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角A CD P --的平面角最小． 19．（Ⅰ）（本小题7分） 当︒=60θ时，∵BC AD //,22===BC AD AB ． ∴AD CD ⊥．又⊥PA 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ∴⊥CD 平面PAD ． 又⊂AE 平面PAD ， ∴AE CD ⊥．又AD PA =，E 是棱PD 的中点， ∴AE PD ⊥． ∴⊥AE 平面PCD ．（Ⅱ）（本小题8分）如图，建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,0,0(P ，)0,cos 2,sin 2(θθB ， )0,1cos 2,sin 2(+θθC ，)0,2,0(D ．∴)2,2,0(-=DP 、)0,1cos 2,sin 2(-=θθDC ． 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =， 则⎩⎨⎧=-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧⇒⊥⊥0)1cos 2()sin 2(022y x z y DC n DP n θθ 取1=y ，得)1,1,sin 21cos 2(θθ-=n ．又易知平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=m ． 设二面角A CD P --的平面角为α， 则2)sin 21cos 2(1||||cos 2+-=⋅=θθαn m要使α最小，则αcos 最大，即0sin 21cos 2=-θθ，∴ 21cos =θ，得3πθ= 20．（本题满分14分）有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别． （Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求)(S P 和)(T P ；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ．（第19题）20．（Ⅰ）（本小题6分）271313131)(=⨯⨯=S P ，92)(131313111213==C C C C C C T P ． （Ⅱ）（本小题8分）ξ的可能值为2,1,0．①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为31，此时B 盒中有2红2非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43．故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为32，此时B 盒中有1红3非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为41，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为43，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为41．故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．③1272452451)1(=--==ξP ． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 P245127 245 ξ的数学期望1245212712450=⨯+⨯+⨯=ξE ． 21．（本题满分15分）如图，设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线b x y +=2．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2=a ，过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Q ，求||||QB PQ 的取值范围．21．（Ⅰ）（本小题6分） 由四边形ABCD 是菱形， 得),(2b a a D +，且⎩⎨⎧=+=+b b a b b a 22222，解得33=a ，31=b ， 所以椭圆方程为19322=+yx ．（Ⅱ）（本小题9分） 不妨设),(2b t t P +（0≠t ）， 因为t x y t x t x 2|2|'====，所以PQ 的方程为b t t x t y ++-=2)(2，即b t tx y +-=22． 又因为直线PQ 过点B ，所以b b t -=+-2，即22t b =．所以PQ 的方程为222ttx y -=．联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=144224222t y x t tx y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ． 所以点Q 的横坐标为64322+=t tx Q ， 所以132||||22+=--=t x x x x QB PQ B Q Q P ．又)4,0(22∈=b t ，所以||||QB PQ 的取值范围为)89,1(． 22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．（Ⅰ）令⎩⎨⎧>≤=0,)(0,)()(x x n x x m x f ，若函数)(x f 的图象上存在两点A 、B 满足OB OA ⊥（O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值集合；（Ⅱ）若函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x g x g +的取值范围． 22．（Ⅰ）（本小题6分）由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ， ∴0=⋅OB OA ，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)2ln(1+=t a ．∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ， ∴a 的取值集合是}2ln 10|{<<x x ． （Ⅱ）（本小题8分）)2ln()(2++=x a x x g ，242)('2+++=x ax x x g ． 要使)(x g 存在两个极值点，则0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根．令a x x x p ++=42)(2，∵)(x p 的图象的对称轴为1-，∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ． ∴20<<a ．由上知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+222121a x x x x ． ∴)2ln()2ln()()(22212121+++++=+x a x x a x x g x g]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22ln[22)2(2+-⋅++⋅--=aa a 42ln+-=a aa ． 令42ln )(+-=x xx x q ，)2,0(∈x ， ∴02ln )('<=xx q ，)(x q 在)2,0(上单调递减， ∴ 442ln2<+-<a aa ． 故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．高考模拟数学试卷第Ⅰ卷(共60分)一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合}0|{≥=x x A ，且B B A = ，则集合B 可能是 A.}2,1{B.}1|{≤x xC.}1,0,1{-D.R2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是A.)62sin(π+=x y B.)32sin(π+=x yC.)32sin(π-=x yD.)62sin(π-=x y3.已知110a b<<，则下列结论错误的是 A.22b a < B.2b aa b+> C.2b ab > D.2lg lg a ab <4.规定2,a b ab a b a b R +⊗=++∈ 、，若14k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域A.(2,)+∞ B ．),1(+∞ C ．7[,)8+∞ D ．7[,)4+∞ 5.设命题:p 函数xy 1=在定义域上为减函数；命题:q ,(0,)a b ∃∈+∞,当1a b +=时,113a b +=，以下说法正确的是A.p ∨q 为真B.p ∧q 为真C.p 真q 假D.p ，q 均假6.若向量a 、b 满足)1,2(-=+b a ，)2,1(=a，则向量a 与b 的夹角等于A.︒45 B ．︒60 C ．︒120 D ．︒135 7.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的 函数是 A ．()x f x x=B ．()()2ln1f x x x =+-C ．()x x x xe ef x e e --+=- D ．|4||3|1)(2x x x x f -++-= 8.已知锐角α且α5的终边上有一点)130cos ),50(sin(0-P ，则α的值为 A ．08 B ．044 C ．026 D ．040 9．下列命题正确的个数是①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的否命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“01,23>+-∈∃x x R x ”. A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知锐角B A ,满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为A ． 22B ．2 C ．22 D ．42 11.已知函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若c b a 、、互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2，2015] 12.下列四个图中,函数10ln 11x y x +=+的图象可能是二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知2||=a，3||=b，b a,的夹角为60，则=-|2|b a___________.14.设420cos =a ,函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩,则211()(log )46f f +的值等于 ．15. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知6π=C ，1=a ，3=b ，则=B ____________.16.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=的最大值为4，则实数a 的值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知α为锐角，且tan()24πα+=．（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos sin cos 2αααα-的值．18．（本小题满分12分）已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x k =-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知函数]1)1()1lg[()(22+++-=x a x a x f ，设命题p ：“()f x 的定义域为R ”; 命题q “()f x 的值域为R ” ．（Ⅰ）分别求命题p 、q 为真时实数a 的取值范围； （Ⅱ）p ⌝是q 的什么条件?请说明理由.21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且55sin ,43==A C π． （Ⅰ）求B sin 的值；（Ⅱ）若105-=-a c ，求ABC ∆的面积．22.（本小题满分12分）已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中R a ∈).（Ⅰ）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值； （Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭.因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 所以21sin 10α=，…………………9分 又α为锐角，所以10sin α=所以sin 2cos sin 10cos 2αααα-=.…………………10分 18.解：（Ⅰ）依题意得：2(1)1,0m m -=⇒=或2m =当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去∴0m =． ……………5分（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，()f x ，()g x 单调递增，∴[1,4],[2,4]A B k k ==--，A B A ⋃=，∴B A ⊆，∴210144k k k -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩． ……………12分 19. (Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . ……………4分当226222πππππ+≤-≤-k x k 时，解得36ππππ+≤≤-k x k ，)62sin()(π-=∴x x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ. ……………8分(Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈. ]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-. ……………12分20.解(Ⅰ)命题p 为真,即)(x f 的定义域是R ,等价于01)1()1(22>+++-x a x a 恒成立,等价于1-=a 或⎩⎨⎧<--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得1-≤a 或35>a .∴实数a 的取值范围为-∞(,35(]1 -,)∞+ ……………4分命题q 为真,即)(x f 的值域是R , 等价于1)1()1(22+++-=x a x a u 的值域),0(∞+⊇,等价于1=a 或⎩⎨⎧≥--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得351≤≤a .∴实数a 的取值范围为1[,]35……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,p ⌝]35,1(-∈a ;q ]35,1[∈a .而]35,1[]35,1(≠⊃-,∴p ⌝是q 的必要而不充分的条件 ……………12分 21. 解：（1）因为55sin ,43==A C π 所以552sin 1cos 2=-=A A 由已知得A B -=4π.所以A A A B sin 4coscos 4sin)4sin(sin πππ-=-=1010552225222=⋅-⋅=……………………………………………………6分 （2）由（1）知43π=C 所以22sin =C 且1010sin =B .由正弦定理得510sin sin ==C A c a .又因为105-=-a c ，所以10,5==a c .所以25101051021sin 21=⋅⋅==∆B ac S ABC ………………………………12分 22. (Ⅰ)因为()()()22211x f x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦()()()()()22222221111x x x f x ax a e ax a x a a e ax a x a e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤'∴=+-++-+--=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =检验,当0a =时,()xf x xe '=,当0x <时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =. ……………4分 (Ⅱ) 当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭, 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭,()()()1x h x g x e x '==-+,()1x h x e '=-, 当0x >时,()10xh x e '=->；当0x <时,()10xh x e '=-<,所以()h x 在(),0-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增,所以()()00h x h >=,即()0g x '>, 所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =； 故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔>⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭, 所以原不等式的解集为{}01x x x <>或. ……………12分高考模拟数学试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将答题卡收回． 参考公式：圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长．第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知2(1)z m mi =-+在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ． (1,1)- B ．(1,0)- C ．(,1)-∞ D ． (0,1) 2．已知集合{|05}A x R x =∈<≤，2{|log 2}B x R x =∈<，则()A CB Z =（ ）A ．{4}B ．{5}C ．[45]，D ．{45}，3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n 粒，若这批米合格，则n 不超过（ ） A ．6粒 B ．7粒 C ．8粒 D ．9粒 4．已知332333233332612201+2=()1+2+3=()1+2+3+4=()222，，，，若333331+2+3+4++=3025n ，则n =（ ）A ．8B ． 9C ．10D ．11 5．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数sin ()2xxf x e=的图象的大致形状是（ ）4226sin360°否结束输出ns ≥3.102nn=6开始7．已知直线:=-l y kx k 与抛物线C ：24=y x 及其准线分别交于,M N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM MN =，则实数k等于（ ）A ．B ．1±C ．D ．2±8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B ．2C ．1D9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）A ．12B ．24C ．36D ．48 10．已知函数'()f x 是函数()f x 的导函数，1(1)f e=，对任意实数都有()()0f x f x '->，则不等式2()x f x e-<的解集为（ ）A. (,)e -∞ B ．(1,)+∞ C. (1,)e D ．(,)e +∞11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A ．72 B ．48 C ．24 D ．16 12．函数2231119()cos(2)4cos 2([,])331212f x x x x x ππππ=-+--∈--所有零点之和为（ ） A ．3π2 B ．43π C ． π2 D ． 83π第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知6(1)(1)x ax -+展开式中含2x 项的系数为0，则正实数a = .14.已知向量(,),(1,2)a m n b ==-，若||25,(0)a a b λλ==<，则m n -= .15.对任意[1,5]k ∈，直线:1l y kx k =--都与平面区域620x a x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩有公共点，则实数a 的最大值是 .16.定义域为R 的函数()f x 满足(+3)=2()f x f x ，当[1,2)x ∈-时，2|1|,[1,0)()=1(),[0,2)2x x x x f x x -⎧+∈-⎪⎨-∈⎪⎩ ．若存在[4,1)x ∈--，使得不等式234()t t f x -≥成立，则实数t 的取值范围是 ． 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足2312232222nn a a a a n n ++++=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(1)2n nn a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本小题满分12分) 为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拨赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为35，丙胜甲的概率为34，乙胜丙的概率为p ，且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为110. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）设在该次对抗比赛中，丙得分为X ，求X 的分布列和数学期望.19．(本小题满分12分) 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为平行四边形，平面⊥PAB 平面ABCD ，PC PB =,︒=∠45ABC ，点E 是线段PA 上靠近点A （Ⅰ）求证AB PC ⊥；（Ⅱ）若PAB ∆是边长为2的等边三角形， 求直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值.20．(本小题满分12分) 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，直线1,l l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线1l （Ⅰ）求1k k ⋅的值；（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()axf x ebx =+(0)a <在点(0,(0))f 处的切线方程为51y x =+,且(1)(1)12f f '+=.（Ⅰ）求函数()y f x =的极值；（Ⅱ）若2()3f x x >+在[1,]x m ∈上恒成立，求正整数m 的最大值.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换2xxy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设(,)M x y 为曲线C '上任一点，求224x y --的最小值，并求相应点M 的直角坐标.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|23||1|.f x x x =++- （Ⅰ）解不等式()4f x >； （Ⅱ）若存在3[,1]2x ∈-使不等式1()a f x +>成立，求实数a 的取值范围．理科数学 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13．25; 14. 6-; 15. 2; 16. (,1][2,)-∞+∞ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）2312232222nn a a a a n n ++++=+……①， ∴当2n ≥时，23112231(1)12222n n a a a a n n --++++=-+-② ①②得2(2)2nn a n n =≥，∴12(2)n n a n n +=⋅≥. …………5分 又∵当1n =时，1112a =+， ∴14a =，∴12n n a n +=⋅. …………6分 （Ⅱ）(1)(2)2n n nn a b n -==-,1231(2)2(2)3(2)(2)n n S n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-……③2341(2)1(2)2(2)3(2)(1)(2)+(2)n n n S n n +-=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯--……④∴234112[1(2)]3(2)+(2)(2)(2)(2)(2)(2)3n nn n n S n n ++---=--+-+-++---=--∴1(31)(2)29n n n S ++-+=-. …………12分18.【解析】（Ⅰ）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为110. 即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为110， …………2分 ∴311(1)5410p ⨯⨯-=， ∴13p =. …………6分 （Ⅱ）依题意丙得分X 可以为0,3,6,丙胜甲的概率为34，丙胜乙的概率为23…………7分 111(0)4312P X ==⨯=,31125(3)434312P X ==⨯+⨯=,326(6)4312P X ==⨯= …………10分∴ 1()0361212124E X =⨯+⨯+⨯=. (12)分 19.【解析】（Ⅰ）作PO AB ⊥于O ……①,连接OC ， ∵平面⊥PAB 平面ABCD ，且PABABCD AB =面面 ，∴PO ⊥面ABCD . ………2分∵PC PB =，∴POB POC ∆≅∆,∴OB OC =， 又∵︒=∠45ABC ，∴OC AB ⊥……② 又POCO O =,由①②，得AB ⊥面POC，又PC ⊂面POC ，∴AB PC ⊥. ………6分（Ⅱ）∵PAB ∆是边长为2的等边三角形，∴1PO OA OB OC ====如图建立空间坐标系，(1,0,0)P - 设面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,0,3),(1,1,0)PB BC=-=-0n PB x n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =(3,3,1)n = 11(1,0,3),(,0,33AP AE AP ===，(1,1,0)CB DA ==- 4(,1,33DE DA AE =+=-，设DE 与面PBC 所成角为θsin |cos ,|||||16n DE n DE n DE θ-⋅====∴直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值7. …………12分 20.【解析】（Ⅰ）设直线l 上任意一点(,)P x y 关于直线1y x =+对称点为000(,)P x y 直线l 与直线1l 的交点为(0,1)，∴11:1,:1l y kx l y k x =+=+01011,y y k k x x --==，由00122y y x x ++=+ 得002y y x x +=++……..① 由1y y x x -=--得00y y x x -=-…….②， 由①②得 0011y x y x =+⎧⎨=+⎩0000100()1(1)(1)(2)11yy y y x x x x kk xx xx -++++-+++===. …………6分（Ⅱ）设点1122(,),(,)M x y N x y ，由12211114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2211(41)80k x kx ++=， ∴2841M kx k -=+，∴221441M k y k -=+. 同理：122188414N k k x k k --==++，221221144414N k k y k k--==++ …………8分 224222222144881414888(33)3414M N MNM N k k y y k k k k k k k x x k k k k k-----+++====------++ …………9分 :()M MN M MN y y k x x -=-，∴22221418()41341k k ky x k k k -+--=--++即：22222218(1)141533(41)4133k k k k y x x k k k k ++-+=--+=--++ …………11分 ∴当k 变化时，直线MN 过定点5(0,)3-. …………12分21.【解析】（Ⅰ）()ax f x e bx =+，那么'()axf x ae b =+由'(0)5(1)'(1)12f f f =⎧⎨+=⎩，得512a aa b ae b b e +=⎧⎨+++=⎩，化简得(2)(1)0a e a -+= 由0a <得1,6a b =-=，∴()6xf x e x -=+ …………3分即'()60xf x e-=-+=，得ln6x =-，∴()f x 在(,ln 6)-∞-单调递减，在(ln 6,)-+∞单调递增，∴ln6()(ln6)6ln666ln6f x f e =-=-=-极小值，无极大值. …………5分（Ⅱ）2()3f x x >+在[]1,x m ∈上恒成立，等价于2630x e x x --+->在[]1,x m ∈上恒成立.设2()63xg x ex x -=-+-，则'()26x g x e x -=--+设()'()26xh x g x e x -==--+，则'()2x h x e -=-， …………6分∵1x m ≤≤，有'()0h x <， ∴()h x 在区间[]1,m 上是减函数， 又∵123(1)40,(2)20,(3)0h eh e h e ---=->=->=-<，∴存在0(2,3)x ∈，使得00()'()0h x g x ==，当01x x ≤<时，有'()0g x >，当0x x >时，有'()0g x <.∴()y g x =在区间[]01,x 上递增，在区间0(,)x m 上递减， 又∵123(1)20,(2)5>0,(3)6>0,g e g eg e ---=+>=+=+456(4)5>0,(5)20,(6)30.g e g e g e ---=+=+>=-<∴当15x ≤≤时，恒有()0g x >；当6x ≥时，恒有()0g x <；∴使命题成立的正整数m 的最大值为5. …………12分 22.【解析】（I ）由 1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）得曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. …………4分（Ⅱ）22(1)1x y -+=，向左平移一个单位再经过伸缩变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '的直角坐标方程为2214x y +=，设(2cos ,sin )M αα，则2222cos cos sin 4x y a a αα-=--cos222cos(2)3a παα==+ …………7分当3k παπ=+时，224x y -的最小值为2-，此时点M的坐标为(1,2或(1,2--. …………10分 23.【解析】（Ⅰ）()|23||1|.f x x x =++-33223()412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，∴3311()42232432444x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或211x x x ⇔<-<≤>或0或. 综上，不等式()4f x >的解集为(,2)(0,)-∞-+∞. …………5分（Ⅱ）存在3[,1]2x ∈-使不等式1()a f x +>成立min 1(())a f x ⇔+> 由（Ⅰ）得，3[,1]2x ∈-时，()4f x x =+，()4f x x =+时，min 5(())2f x = ∴512a +>， ∴32a >，∴实数a 的取值范围为3+2∞（，）. …………10分高考模拟数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第(22)- (23)题为选考题，其他题为必考题。
浙江衢州二中高三数学模拟卷(理)高三数学（理）一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合A={1,2,3}，B={2,4,6}，C={|,,}x x a b a A b B =⋅∈∈，则集合C 的元素之和为（A ）84 （B ）50 （C ）38 （D ）18 2．0a =是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ）条件（A ）充分 （B ）必要 （C ）充要 （D ）既非充分又非必要3．正三棱锥V-ABC 的底面边长为2，那么侧棱VC 在平面V AB 上的射影长（A ）0 （B ）1 （C （D ）234．已知二次函数2()2(0)f x ax x a =->对任意[0,1],|()|1x f x ∈≤恒成立，则a 的取值范畴（A ）0a <≤ （B ）1a <≤（C ）1a << （D ）1a ≤≤ 5．已知数列11{},1,(2)2n n n a a a S n ==≥，则S 8= （ ）（S n 为数列的前n 项和） （A ）127 （B ）128 （C ）256 （D ）2576．已知,l P αα⊂∉，过点P 引与直线l 成60°角的直线交平面α于Q ，则Q 点的轨迹是（A ）两个点 （B ）抛物线 （C ）椭圆 （D ）双曲线 7．O 为∆ABC 内一点，且3OA OC OB O ++=，则:AOB AOC S S ∆∆=（A ）1:2 （B ）1:3 （C ）2:1 （D ）3:18．已知双曲线22221x y a b-=，F 为右焦点，右准线与一条渐近线的交点P ，且|OP|、|PF|、|OF|成等差数列，则双曲线的离心率（A （B （C ）53 （D ）549．矩形的边长为2和5，通过它的短边上的点作直线，使得所截得的直角三角形的周长为8，则矩形留下部分面积的最小值（A）6+ （B）38 （C ）223（D）48- 10．已知函数1()ln2f x x x =++有以下命题： ①方程()0f x =只有一个实根②(2,1]--上为减函数，[1,)-+∞上为增函数 ③有极小值1- ④21lim0()x f x →-= 其中正确的命题是（A ）①③④ （B ）②③④ （C ）②③ （D ）①②④二、填空题（每小题4分，共16分）11．一个平均的四面体，一个面上标0，两个面上标1，一个面上标2，连续抛掷两次，则面向下的数之和的数学期望________________12．已知实数,x y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则|1|z x y =+-取值范畴______________13．过抛物线214y x =的焦点F 作弦|AB|，若||2||FA FB =，则|AB|=_________ 14．已知函数()y f x =的反函数11(),(1)fx f x --+若的反函数(1)f x +，且(1)2,(2007)f f ==则_____________高三数学（理）模拟考试答题卷二、填空题（每题４分，共12分）11 12 13 14 三、解答题（每题14分，共84分） 15．已知向量2(sin,1),(2,sin )2xm n x ==. （1）当0x π≤≤时，求m n ⋅的取值范畴.（2）定义函数()|1|f x m n =⋅-，求函数的递增区间.16．正三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 分别为各边的中点，三角形ABC 的面积为4.（1）以上述七个点为顶点的三角形全体记为集合M ，那么集合M 中共有几个元素？其中面积为1的三角形有几个？（2）从集合M 中，任取两个元素，面积均为1的概率是多少？（3）从M 中有放回地取三角形，若取出面积为1时停止，求恰好取3次后停止摸取的概率.班级________________ 姓名_______________ 准考证号___________________………………………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………………17．已知M 68(,)55-关于直线2y x =的对称点N 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，离心率2e =. （1）求椭圆方程.（2）过N 点引两条互相垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，求证直线AB 恒过定点，并求出定点坐标.18．如图，三棱锥P-ABC 中，ABC ∆为正三角形，D 为AC 的中点，E 为PD的中点，,36PB PBD BE PB AC =∠==⊥. （1）求证：平面PAC PBD ⊥平面. （2）求三棱锥P-ABC 的体积.AC19．已知函数()lg(1)f x x =+，当点M (,)x y 在()y f x =的图象上运动时. （1）求对应点1(,2)()2x a N y a R -+∈确定的函数关系()y g x =. （2）若[0,1]x ∈时，()(2)g x f x ->恒成立，求参数a 的取值范畴.20．数列11{},(1),n n n n a a S n+=-是数列的前n 项和，S n 具有以下性质： 11=11122-=111112323-+=+11111123434-+-=+111111112345345-+-+=++11111111123456456-+-+-=++（1）依照以上规律，写出n=9与n=10时，S n 满足的等式； （2）依照以上规律，归纳出S n 满足的等式关系，并加以证明．.高三理科模拟考试参考答案一、BBADB DBCCC 二、2 []0,4922004- 三、15. （1）2sin()4mn x π⋅=-1⎡⎤∈⎣⎦ （2）3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦16. （1）27629C -=，面积为1的三角形的个数有10个；（2） 21022945406C C = （3）23191036102924389⨯= 17. （1）2222(2,0),,4,1,124x N e a b y -===+= （2）设AN (2)y k x =+ BN 1(2)y x k=-+， 由22(2)440y k x x y =+⎧⎨+-=⎩得222284(,)4141k k A k k -++，因此222284(,)44k kB k k --++ 因此254(1)ABkk k -=-，AB 的方程为22224528()414(1)41k k k y x k k k --=--+-+ 令0y =，可得2224665(41)5k x k --==-+，即过定点（6,05-）18. （2）由题意2BD BP BE +=，两边平方得28280,0,233x x x x +-=>=13PBDV AC S =⋅⋅=19. （1）用代入法得()2lg(2)g x x a =+（2）由(),(2)g x f x -的定义域得122ax -<<，它包含[]0,1，因此2a >， ()(2)g x f x >得22211024a a x x +--+>，令22211()24a a h x x x +-=-+其对称轴为2114a x +=>（2a >），2min 41()(1)04a a h x h -+==>，2a >+20.(1) 11111111119,12348956789n =-+-+-+=++++ 1111111111110,12348910678910n =-+-+-+-=++++(2)n 为偶数时1111111112234112n n n n n-+-++-=++++--n 为奇数时1111111111234112n n n n n-+-++-=++++--用数学归纳法证，当1,2n =时由已知等式成立 假设n=2k 时等式成立，即1111111112342121212k k k k k-+-++-=+++-+-， 当n=2k+2时，111111112342122122111111212212211111()22211221111222122k k k k k k k k k k k k k k k k k k -+-++-+-=-+-++++-+--+=++++-+--+=+++++-+等式也成立因此，当n 为偶数时，1111111111234112n n nn n-+-++-=++++-- 成立。
2020年浙江省衢州二中高考数学模拟试卷(6月份)一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合A={x|0<x<5}，B={x|x2−2x−3>0}，则A∩∁R B()A. (0,3)B. (3,5)C. (−1,0)D. (0,3]2.双曲线2x2−y2=8的实轴长是()A. 4√2B. 4C. 2√2D. 23.若实数x，y满足约束条件{x−3y+4≥03x−y−4≤0x+y≥0，则z=3x−2y的最大值是()A. 2B. 1C. 5D. 74.设a,b是实数，则“a>b>1”是“a+1a >b+1b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.将函数f(x)=2sin xcos x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，若所得的图象过点(π3,12)，则φ的最小值为()A. π6B. π4C. π3D. 2π36.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 28B. 30C. 36D. 427.已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的期望记为E(X)，方差记为D(X)，则()．A. E(X)=5,D(X)>3B. E(X)=5,D(X)<3C. E(X)<5,D(X)>3D. E(X)<5,D(X)<38.2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去A、B、C三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为()A. 112B. 18C. 16D. 149.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=√3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. 15B. √56C. √22D. √5510.函数f(x)=x2+x−ln x的零点的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五．方．白．圈．皆．阳．数．，．四．隅．黑．点．为．阴．数．，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五．个．阳．数．中．随机抽取三个数，则能使这三个数之和等于15的概率是．12.已知i为虚数单位，复数z=3+i2−i，则z−等于______．13.若(1−2x)2016=a0+a1x+a2x2+⋯+a2016x2016(x∈R)，则a12+a222+a323+⋯+a201622016=______．14.设F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF1，且|AB|：|AF1|=4：3，则椭圆的离心率为______．15.若函数f(x)=√x2+ax+1的值域为，则实数a取值范围是_________ ．16.已知a∈R，函数f(x)=|x+4x−a|+a在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是______ ．17.已知平面向量a⃗、 b⃗ 满足|2a⃗+3b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共63.0分）18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(sinC−sinA)a=(sinC−sinB)(c+b)，△ABC的外接圆的半径为2√3，3(1)求角B的大小；(2)若a+c=4，求△ABC的面积．19.在三棱锥A−BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=√3，BD=CD=1，另一个侧面ABC是等边三角形．(1)求证：AD⊥BC.(2)在线段AC上是否存在一点E，使直线ED与平面BCD的夹角为30°？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=3，S 5=20．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n =(12)a n ，求证：14≤T n <12．21. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一焦点F 在抛物线y 2=4x 的准线上，且点M(1,−√22)在椭圆上．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)过直线x =−2上一点P 作椭圆E 的切线，切点为Q ，证明：PF ⊥QF ．22. 已知函数f(x)=e x−1−x ，求f(x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由B中不等式变形得：(x−3)(x+1)>0，解得：x>3或x<−1，即B=(−∞,−1)∪(3,+∞)，∵全集为R，A=(0,5)，∴∁R B=[−1,3]，则A∩(∁R B)=(0,3]，故选：D．求出B中不等式的解集确定出B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：双曲线2x2−y2=8，可化为x24−y28=1∴a=2，∴双曲线2x2−y2=8的实轴长是4故选B．双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由实数x，y满足约束条件{x−3y+4⩾03x−y−4⩽0x+y⩾0作出可行域如图，联立{x +y =03x −y −4=0，解得C(1,−1)，化目标函数z =3x −2y 为y =32x −12z ，由图可知，当直线y =32x −12z 过C(1,−1)时，直线在y 轴上的截距最大， 即z 有最大值5． 故选：C ．4.答案：A解析：设f(a)=a +1a ，f(b)=b +1b ，由于f(x)=x +1x 图象如下图．∴根据函数的单调性可判断：若“a >b >1”则“a +1a >b +1b ”成立，反之若“a +1a >b +1b ”则“a >b >1”不一定成立．根据充分必要条件的定义可判断：“a >b >1”是“a +1a >b +1b ”的充分不必要条件．5.答案：B解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，属于基础题．根据正弦函数的图象平移法则及图象性质即可求出答案．解：由f(x)=sin2x的图象平移后所得的函数表达式为g(x)=sin(2x−2φ)，由题意，知sin(2π3−2φ)=12，所以2π3−2φ=π6+2kπ(k∈Z)或2π3−2φ=5π6+2k′π(k′∈Z)，所以φ=π4−kπ(k∈Z)，或φ=−π12−k′π(k′∈Z)．又φ>0，所以φ的最小值为π4．故选B．6.答案：D解析：解：由题意可知几何体的直观图如图：是3个长方体的组合体：几何体的表面积为：2×(1+3+1+3)+2×(1×3)+2×(1+1+1+1)+2×(1+2+1+2)=42．故选：D．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，画出直观图是解题的关键．7.答案：B解析：本题考查随机娈量期望和方差的运算，可利用平均数、方差的定义直接求解．解：某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x¯，方差为s2，x=8×5+59=5，S2=8×3+(5−5)29=83<3，所以B选项是正确的．故选B．8.答案：C解析：本题主要考查了排列、组合的综合应用，考查了学生的分析与计算能力，属基础题． 根据排列组合知识得出甲乙被安排到同一个场馆的概率．解：由题意可知安排方法有C 42A 33=36种，甲乙被安排到同一个场馆方法有A 33=6种， ∴甲乙被安排到同一个场馆的概率为636=16． 故选C ．9.答案：D解析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=√3，，∴A(1,0,0),D 1(0,0,√3),D(0,0,0),B 1(1,1,√3),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3),设异面直线AD 1与DB 1所成角为θ，则cosθ=|AD 1⋅DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD 1||DB 1|=2√5=√55.，∴异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为√55.故选：D ．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．。
2020年浙江省衢州二中高考6月模拟数学试题一、单选题1．若当0x >时，函数2()2x f x e mx =-+有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(0,2)eD ．(2,)e +∞2．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大3．下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ）A ．662π+B ．664π+C ．662π-D ．664π-4．已知集合{}{}1,2,3,4,1,3,5,M N M N ==⋂集合则等于 （ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{1,,3 }D ．{1,2,3,4,5}5．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos(2x ＋32π)(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．46．设变量x ，y 满足约束条件250{200x y x y x +-≤--≤≥则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．2013年第12届全国运动会举行期间，某校4名大学生申请当A ，B ，C 三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A 比赛项目，则不同的安排方案共有（ ） A ．20种B ．24种C ．30种D ．36种8．已知条件1:p k =，条件:q 直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） AB ．23CD ．1210．双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的14，则实数m = A ．116B ．14C ．4D ．16二、填空题11．函数222231x x y x x ++=+-的值域为________． 12．已知O 是椭圆E 的对称中心，1F ，2F 是E 的焦点，以O 为圆心，1OF 为半径的圆与E 的一个交点为A .若1AF 与2AF 的长度之比为2:1，则E 的离心率等于______.13．在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM --→⋅的取值范围为__________. 14．函数arcsin tan()4y x x π=+的值域是________三、解答题15．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21cos cos cos c a B b A C=+，4c =.（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）当ABC ∆的面积取最大值时，求b 的值． 16．已知212ln ()xf x x+=. （1）求()f x 的最大值；（2）存在()12,1,x x ∈+∞且12x x ≠，使1212()()ln ln f x f x k x x -≥-成立，求k 的取值范围. 17．已知抛物线()2:20C y px p =>上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，焦点F 满足10AF BF +=，线段AB 的垂直平分线过()6,0Q .（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作直线l ，使得抛物线C 上恰有三个点到直线l 的距离都为2，求直线l 的方程. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PD AB ==，E 为PC 上一点，当F 为DC 的中点时，EF 平行于平面P AD .（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCB ； （Ⅱ）求二面角E BD P --的余弦值.19．首项为O 的无穷数列{}n a 同时满足下面两个条件： ①1n n a a n +-=；②12n n a -≤(1)请直接写出4a 的所有可能值；(2)记2n n b a =，若1n n b b +<对任意*n N ∈成立，求{}n b 的通项公式； (3)对于给定的正整数k ，求12...k a a a +++的最大值． 四、双空题20．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是______，有3个人参与这个游戏，则恰好有1人获奖的概率是______.21．已知()()()()2*012111nn n x a a x a x a x n N =++++++∈…+对任意x ∈R 恒成立，则0a=__________；若450a a +=，则n =_________________．22．已知复数z ：满足1)3i z i +=+（（i 为虚数单位），则复数z 的实部为①________，z =②________.【答案与解析】1．A求出()'f x ，使()0f x '=在()0,x ∈+∞上有两个根，然后利用参变分离思想处理.因为函数2()2x f x e mx =-+，则()2xf x e mx '=-+， 若当0x >时，函数2()2xf x e mx =-+有两个极值点，则()20xf x e mx '=-+=在()0,x ∈+∞上有两根，即2xe m x=在()0,x ∈+∞上有两解，令()2=x e g x x ，则()()22122xx x x exe e g x x x--'==， 当1x >时，()0g x '>，则()g x 在()1,x ∈+∞上递增， 当01x <<时，()0g x '<，则()g x 在()0,1x ∈上递减，所以函数()2=xe g x x在1x =处取得最小值，即()12e g =，故2e m >.故选：A.本题考查利用函数的极值点个数求参数的取值范围问题，难度一般，解答时注意灵活转化，注意参变分离思想的运用. 2．A根据随机变量的期望，方差公式计算出()E ξ，()D ξ后根据函数的单调性可得． 由题意得11()01212222p p pE ξ-=⨯+⨯+⨯=-，所以当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减少； 221()[0(1)][1(1)]2222p p p D ξ=--⨯+--⨯22132[2(1)]222p p p p --++--⨯=231()242p --=， 所以当p 在(0,1)内增大时，()D ξ减少． 故选A ．本题考查了离散型随机变量的期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，属中档题． 3．B由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，结合题中所给的数据求解组合体的表面积即可.由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，其中长方体的长宽高分别为为3,3,4，圆柱的底面半径为1r =，圆柱的高为5， 据此可得，组合体的表面积2(333434)212664S ππ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+. 本题选择A 选项.(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 4．C因为{}13M N ⋂=， ,所以选C. 5．C试题分析：因为y ＝cos(2x ＋32π)(x ∈[0,2π]),即sin 2xy =(x ∈[0,2π])的图像是半个周期的图像，所以它与直线y ＝12的交点有两个. 考点：三角函数的诱导公式及正弦函数的图像. 点评：本小题关键是利用诱导公式3cos()sin 2παα+=把y ＝cos(2x ＋32π)(x ∈[0,2π])转化为sin 2xy =(x ∈[0,2π])然后画出它的图像从图像上观察它与直线y ＝12的交点个数.6．B试题分析：约束条件对应的可行域为直线250,20,0x y x y x +-=--==围成的三角形及其内部；三顶点为()()50,,0,2,3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，当23z x y =+过点()3,1时取得最大值9考点：线性规划问题 7．B分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个项目，有11232212C C A =种情况，②没有人与甲在同一个项目，则有12C C 32•A 22=12种情况；则若甲要求不去A 项目，则不同的分配方案有12+12=24种； 故选B ．考点：本题主要考查排列、组合的应用，计数原理．点评：易错题，注意题意中“每个比赛项目至少分配一人”这一条件，再分配甲之后，需要对其余的三人分情况讨论． 8．A先求出直线1y kx =+与圆2212x y +=相切时k 的值，再由充分必要条件的定义判定，即可得出结论.设圆心(0,0)O 到直线1y kx =+距离为d ， 由直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则2d ==，解得1k =±， ∴p 成立则q 成立，q 成立p 不一定成立，所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A .本题考查充分不必要条件的判定以及直线与圆的位置关系，属于基础题. 9．A建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角． 因为直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥， 故以AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，如图， 设1AB =，则1BB =(1,0,0)B ，(0,1,0)C，1(1B，1(0,1C ，1(1AB =，1(1,1BC =-，111111cos ,63AB BC ABBC AB BC ⋅<>===． ∴直线1AB 与1BC ． 故选：A ．本题考查求异面直线所成的角，解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法求解． 10．A本题可以先将双曲线转化为标准式方程，得出实轴长与虚轴长，最后根据题意解得结果．双曲线方程可化为2211y x m-=，则实轴长为2，虚轴长为由题意可得124=⨯116m =．故选A ． 本题考查双曲线方程，双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22221y x b a-=．11．(,2](2,)-∞-⋃+∞首先分离常数，再求出21x x +-的范围，得出211x x +-的范围，即可逐步求出函数的值域.2222235211x x y x x x x ++==++-+-， 因为221551244x x x ⎛⎫+-=+-- ⎪⎝⎭，所以21415x x ≤-+-或2101x x >+-， 则25221x x +≤-+-或25221x x +>+-，即(,2](2,)y ∈-∞-⋃+∞. 故答案为：(,2](2,)-∞-⋃+∞本题考查具体函数的值域问题，属于中档题. 12．1e =因为2 AOF 为正三角形，故可根据椭圆的定义可得,a c 的关系，从而得到离心率.我们也可以根据已知条件得到12A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，把A 代入椭圆整理，得42840e e -+=，由此能够求出椭圆的离心率．解法1：如图，设122F F c =，1OF c =，因为1AF 与2AF 的长度之比为2：1，故1120AOF ∠=，260AOF ∠=， 所以2AOF △为正三角形，故2AF c =.在等腰1AOF △中，求得1AF =.根据椭圆的定义，可得)1221a AF AF c =+=，故椭圆的离心率212c c e a a ====. 解法2：如图，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，122F F c =.由题意，易知1120AOF ∠=，260AOF ∠=，所以2AOF △为正三角形，故12A c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为点A 在椭圆上，所以22223144c c a b+=，即()222223144c c a a c +=-，即()22231441e e e +=-， 整理，得()22221344e eee -+=-，即42840e e -+=，解得24e =+24e =-，所以1e =.本题考查椭圆的本题考查了椭圆的定义，性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用． 13．[]4,4-先作出曲线||2||2x y +=对应的图像，再结合简单的线性规划问题，观察图像即可得解. 解：曲线||2||2x y +=对应的图像为如图所示的菱形ABCD ，设00()M x y ，则()00,OM x y =，因为M 是曲线||2||2x y +=上的动点， 则00||2||2x y +=，又向量(2,1)a =，则002z a OM x y --→=⋅+=，由图可知：目标函数2z x y =+过点(2,0)A -时，函数取最小值2(2)104⨯-+⨯=-， 过点(2,0)C 时，函数取最大值22104⨯+⨯=， 即a OM --→⋅的取值范围为[]4,4-，故答案为：[]4,4-.本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 14．[1,1]22ππ--+利用函数的单调性，结合函数的定义域求解即可． 因为函数arcsin tan()4y x x π=+的定义域是[1-，1]，函数是增函数，所以函数的最小值为：12π--，最大值为：12π+．所以函数的值域为：[12π--，1]2π+．故答案为[12π--，1]2π+．本题考查函数的单调性以及函数的值域的求法，考查计算能力． 15．(1)3C π=;(2)4b =.分析：（Ⅰ）由正弦定理统一角，可求得cosC ．（Ⅱ）由角C 的面积公式与角C 的余弦定理和均值不等式，求得了面积的最大值，同时均值不等式等号成立条件可求得b 边．详解：（Ⅰ）因为()cos cos 2cos a B b A c C +=， 由正弦定理可得()sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 即()sin 2sin cos A B C C +=，sin 2sin cos C C C = 又sin 0C ≠，即可得1cos 2C =，故3C π= （Ⅱ）依题意，ABC ∆的面积1sin 24S ab C ab ==，故只需ab 最大即可； 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，即2216a b ab =+-， 结合基本不等式可得16ab ≤，当且仅当4a b ==时取等号， 所以当ABC ∆的面积取最大值时，4b =.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 第三步：求结果，判定是否符合条件，或有多解情况． 16．（1）1；（2）2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （1）对函数求导，求函数的单调性，利用单调性即可求得最大值.（2）不妨设121x x >>，由（1）知当x ∈(1，＋∞)时，y ＝f (x )单调递减，由题意可得2121()ln ()ln f x k x f x k x +≥+成立，构造函数()()ln h x f x k x =+，得h (x )在(1，＋∞)上存在减区间，则()234ln kx xh x x -'=<0有解，即k <24ln x x 有解，则k <2max4ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令t (x )＝24ln x x ，求出y ＝t (x )的最大值即可. （1）()34ln x f x x '=-，令()34ln 0x f x x'=-=，得x ＝1， 当x ∈(0，1)时，()0f x '>，函数单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，()0f x '<，函数单调递减， 所以当x ＝1时函数取到最大值为f （1）＝1.（2）不妨设121x x >>，由（1）知当x ∈(1，＋∞)时，y ＝f (x )单调递减.1212()()ln ln f x f x k x x -≥-即()1122()()ln ln f x f x k x x -≥-，即2121()ln ()ln f x k x f x k x +≥+，存在()12,1,x x ∈+∞且12x x ≠，使2121()ln ()ln f x k x f x k x +≥+成立.令()()ln h x f x k x =+，h (x )在(1，＋∞)上存在减区间，则()234ln kx xh x x -'=<0有解， 即k <24ln x x 有解，则k <2max 4ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令t (x )＝24ln x x ，t ′(x )＝()3412ln x x-. 当x ∈(0时，()0t x '>，y ＝t (x )单调递增； 当x ∈，＋∞)时，()0t x '<，y ＝t (x )单调递减.所以当x =2e=. 所以k 的取值范围是2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 本题考查利用导数研究函数的最值，考查构造函数的思想，利用导数研究函数的单调性，考查分析能力和计算能力，属于中档题.17．（1）24y x =；（2）1x =+.（1）由10AF BF +=，结合抛物线的定义得出1210x x p ++=，再由中垂线的性质得出QA QB =，利用两点间的距离公式得出12122x x p +=-，可求出实数p 的值，由此可得出抛物线C 的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，将直线l 平移且使得平移后的直线与直线l 之间的距离等于2，可得出直线1:1l x my =++，2:1l x my =+-，可知直线1l 或2l 与抛物线C 相切，并与抛物线C 的方程联立，利用0∆=求出实数m 的值，即可得出直线l 的方程. （1）由抛物线的定义可得1210AF BF x x p +=++=，① 由于线段AB 的垂直平分线过()6,0Q ，则QA QB =，=221112221236212362x x px x x px -++=-++，()()()1212121220x x x x p x x ∴+--+-=，()()12121220x x x x p -+-+=，12x x ≠，12122x x p ∴+=-，②由①②得2p =，因此，抛物线C 的方程为24y x =；（2）设直线l 的方程为1x my =+，将直线l 平移且使得平移后的直线与直线l 之间的距离等于2，设平移后的直线方程为x my t =+2=，得1t =±，得直线1:1l x my =++，2:1l x my =+-， 可知直线1l 或2l 与抛物线C 相切，若直线1l 与抛物线C相切，则214x my y x⎧⎪=++⎨=⎪⎩2440y my ---=，2116160m ∆=++=，此方程无解；若直线2l 与抛物线C相切，则214x my y x⎧⎪=+-⎨=⎪⎩，得2440y my --+=，2216160m ∆=+-=，得23m =，解得m =因此，直线l的方程为10x -=或10x +-=.本题考查抛物线方程的求解，以及抛物线上的点到直线的距离问题，可以利用平移直线法转化为直线与抛物线相切，考查化归与转化思想，属于中等题. 18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅰ）PD ⊥平面ABCD 可得PD BC ⊥，从而证出BC ⊥平面PCD ，则BC DE ⊥， 从而可证出DE ⊥平面PCB ；（Ⅱ）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，求出平面BDE 和平面PDB 的的一个法向量，再根据法向量求出二面角． （Ⅰ）证：PD ⊥平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又∴正方形ABCD 中，CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，BC ∴⊥平面PCD ， 又DE ⊂平面PCD ，BC DE ∴⊥，PD CD =，当F 为DC 的中点时，EF 平行平面PAD ，所以E 是PC 的中点， DE PC ⊥，PC BC C ⋂=，DE ∴⊥平面PCB ；（Ⅱ）解：以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(0,0,2)P ，(2,2,0)B ，(0,1,1)E ，(2,2,0)DB =，(0,1,1)DE =， 设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则0n DB ⋅=，0n DE ⋅=，2200x y y z +=⎧∴⎨+=⎩，令1z =，得到1y =-，1x =，(1,1,1)n ∴=-；又(0,2,0)C ，(2,0,0)A ，(2,2,0)=-AC ，且AC ⊥平面PDB ，∴平面PDB 的一个法向量为(1,1,0)m =-；设二面角E BD P --的平面角为α，由图可知角α为锐角，则1cos |cos ,|m n α+=<>==，∴二面角E BD P --． 本题主要考查线面垂直的判定和性质，考查二面角的求法，属于中档题．19．（1）2,0,6--；（2）2n b n =-；（3）当k 为奇数时,k S 的最大值为0; 当k 为偶数时，k S 的最大值为2k-. (1)由递推关系得到4a 的所有可能值；(2)由题意可知数列{}n a 的偶数项2462,,,...,...n a a a a 是单调递增数列，先证明数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数，即可得到结果；(3) 由（2）的证明知，1,n n a a +不能都为非负数，分类讨论即可得到结果.（1）4a 的值可以取2,0,6-- .（2）因为2n n b a =，因为1n n b b +<对任意*n N ∈成立，所以{}n b 为单调递增数列， 即数列{}n a 的偶数项2462,,,...,...n a a a a 是单调递增数列， 根据条件21a =-，40a =， 所以当20n a ≥对2n ≥成立 ，下面我们证明“数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数”， 假设数列{}n a 中存在1,i i a a +同时为非负数， 因为1||i i a a i +-=，若1,i i a a i +-= 则有()i 1112i i a a i i ++-=+≥>，与条件矛盾，若i 1,i a a i +-=-则有112i i i a a i i +-=+≥>， 与条件矛盾 ， 所以假设错误，即数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数， 此时20n a ≥对2n ≥成立，所以当2n ≥时，21210,0n n a a -+≤≤，即212212,n n n n a a a a -+<<， 所以 22121n n a a n --=-，()212222n n a a n ---=--，所以()()22121221n n n n a a a a ----+-=， 即2221n n a a --=，其中2n ≥ ， 即11n n b b --=，其中2n ≥， 又121b a ==-，240b a ==，所以{}n b 是以11b =-，公差为1的等差数列， 所以()112n b n n =-+-=- . （3） 记1231k k k S a a a a a -=+++++，由（2）的证明知，1,n n a a +不能都为非负数， 当0n a ≥，则1a 0n +<，根据1||n n a a n +-=，得到1n n a a n +=-，所以112212n n n n a a a n n +-+=-≤-≤-， 当10n a +≥，则a 0n <，根据1||n n a a n +-=，得到+1n n a a n =-，所以11112202n n n n a a a n n +++-+=-≤-≤， 所以，总有10n n a a ++≤成立 ，当n 为奇数时，1||n n a a n +-=，故1,n n a a -的奇偶性不同，则1n n a a ++ 1≤-， 当n 为偶数时，10n n a a ++≤ ， 当k 为奇数时，()()12310k k k S a a a a a -=+++++≤，考虑数列：01,1,2,2,--，， 12k --，12k -⋯， 可以验证，所给的数列满足条件，且0k S =, 所以k S 的最大值为0，当k 为偶数时，()()1212k k k k S a a a a -=++++≤-，考虑数列：01,1,2,2--，，，-22k -，22k -，2k- ,可以验证，所给的数列满足条件，且2k kS =-，所以k S 的最大值为2k-.本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，考查了转化能力和运算能力，属于难题. 20．25 54125根据计数原理，所有的取球方法共有36C 种，而三种球各有一个共包含()312C 个，故获奖的概率可求.有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X ,则2~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故恰好有1人获奖的概率可求.设中奖为事件A ,则事件A 包含的基本事件个数为()3128C =，所有的基本事件共有3620C =个，所以中奖概率为82()205P A ==；有3个人参与这个游戏,设中奖人数为X ,则2~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2132254(1)155125P X C ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭； 故答案为：254;5125. 本题主要考查古典概率和二项分布，明确题目的求解模型是解题关键，侧重考查数学建模的核心素养.21．()1n- 9利用1t x =+将问题转化为二项式的问题，然后利用二项式的通项分别表示出即可求解.令1t x =+，则()20121nn n t a a t a t a t -=+++…+，则()01na =-，()4441n n n a C --=-，()5551n n n a C --=-，∵450a a +=，故45n n n n C C --=，即45n n C C =，解得9n =.本题考查二项式定理,二项展开式的项和系数的关系是易错点.22．2根据复数z 满足1)3i z i +=+（，利用复数的乘除化简为2z i =-，再利用复数的概念和模的公式求解.因为复数z 满足1)3i z i +=+（， 所以()()31)32111)i i i z i i i i +-+===-++-（（，所以()()31)3111)i i i z i i i +-+====++-（（故答案为：①2本题主要考查复数的运算和复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.。
2020届浙江省衢州二中高三下学期第一次模拟考试数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ） A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-2．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-3．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．113D ．46．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =8．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±9．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．110．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ） A ．12B ．1-C ．±1D ．12±第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、双空题11．若23log 3,log 2a b ==,则ab =______,lg lg a b +=______.12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．13．已知实数x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为______，若目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m 等于______. 14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则1ξ=对应的排法有______种；()E ξ= ______；三、填空题15．已知函数()2,4,x x mf x x x x m<⎧=⎨+≥⎩，且p m ∀<，q m ∃>，使得()()0f p f q +=，则实数m 的取值范围是______.16．已知实数a ，b ，c 满足22221a b c ++=，则ab c +的最小值是______.17．若四棱锥P ABCD -的侧面PAB 内有一动点Q ，已知Q 到底面ABCD 的距离与Q 到点P 的距离之比为正常数k ，且动点Q 的轨迹是抛物线，则当二面角P AB C 平面角的大小为30时，k 的值为______.四、解答题18．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知222,3A b c a π=+=．（1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．19．已知等腰梯形ABCD 中（如图1），4AB =，2BC CD DA ===，F 为线段CD 的中点，E 、M 为线段AB 上的点，1AE EM ==，现将四边形AEFD 沿EF 折起（如图2）（1）求证：//AM 平面BCD ；（2）在图2中，若BD =，求直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*21n n S a n N +=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11111n n n c a a +=++-，n T 为数列{}n c 的前n 项和.求证：123n T n >-. 21．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2e =，且短轴的一个端点B与两焦点A ，C（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆E 上的一点，过点P 作椭圆E 的切线交圆O ：222x y a +=于不同的两点M ，N （其中M 在N 的右侧），求四边形ACMN 面积的最大值. 22．已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈有两个零点12,x x . (1)求a 的取值范围；(2)是否存在实数λ， 对于符合题意的任意12,x x ，当012(1)0x x x λλ=+-> 时均有()'0f x <?若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．B 【解析】 【分析】先化简集合A,再求U C A . 【详解】由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1,1,2UA =- ，故答案为B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力. 2．B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】由虚数单位i 的运算性质可得1z i =-，则答案可求. 【详解】 解：∵41i =，∴202045051i i ⨯==，201945043i i i ⨯+==-， 则202020191z i i ⋅=+化为1z i =-，∴z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查了虚数单位i 的运算性质、复数的概念，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案. 【详解】直线1:240l ax y ++=，()2:120l x a y +-+=，12l l 的充要条件是()1221a a a a -=⇒==-或，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“1a =-”是“12l l ”的充分必要条件. 故答案为C. 【点睛】判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 5．C 【解析】 【分析】首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积. 【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体， 如图所示：故：111112*********V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法. 7．D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【详解】当2n 时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+． 所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩，所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 8．B 【解析】 【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，从而解得渐近线方程. 【详解】 如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=是解题的关键，属于中档题. 9．B 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==OC c =.E 为OB 中点.由1a b +=即可求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】根据题意,||2,b =设()(),,2,0OP a x y OB b ====,(),1,0OC c E =则2bOE =由1a b +=1=即P 点的轨迹方程为2221x y又因为c a b λμ=+,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即2OC OP OE λμ=+,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:所以||c 的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=由切线性质及点M1=,化简可得281k =即4k =±所以切线方程为044x y --=或044x y +-= 所以当a 变化时, O 到直线PE 的最大值为13m ==即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.10．C 【解析】 【分析】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，再结合图像即可求出答案. 【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()221g x x axh x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，结合图像，210x -=，得1x =±， 所以1a =±. 故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题. 11．1 0 【解析】 【分析】①根据换底公式计算即可得解；②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解. 【详解】①由题：23log 3,log 2a b ==,则22322log 2log 3log 2log 31log 3ab =⋅=⋅=；②由①可得：lg lg lg lg10a b ab +===. 故答案为：①1，②0 【点睛】此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目. 12．12π﹣【解析】 【分析】过O 作OC AB ⊥，交AB 于D ，先求得圆心角AOB ∠的弧度数，然后解解三角形求得AB 的长.利用扇形面积减去三角形OAB 的面积，求得弧田的面积. 【详解】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ⊥，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB . ∴α＝∠AOB ＝46π＝23π，可得∠AOD ＝3π，OA ＝6，∴AB ＝2AD ＝2OA sin3π＝2×6＝∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12⨯4π×6﹣132⨯＝12π﹣． 故答案为：12π﹣【点睛】本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题. 13．2m > 5m =【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数z x y =-的最小值，利用数形结合即可得到结论. 【详解】作出可行域如图，则要为三角形需满足()1,1B 在直线x y m +=下方，即11m +<，2m >； 目标函数可视为y x z =-，则z 为斜率为1的直线纵截距的相反数， 该直线截距最大在过点A 时，此时min 1z =-，直线PA ：1y x =+，与AB ：21y x =-的交点为()2,3A ， 该点也在直线AC ：x y m +=上，故235m =+=， 故答案为：2m >；5m =. 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题. 14．36 ；1. 【解析】 【分析】ξ的可能取值为0，1，2，3，1ξ=对应的排法有：123323C A A 36=.分别求出()0P ξ=，()1P ξ=，()2P ξ=，()3P ξ=，由此能求出()E ξ.【详解】解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ的可能取值为0，1，2，3，1ξ=对应的排法有：123323C A A 36=.∴1ξ=对应的排法有36种；()242455A A 480A 120P ξ===，()12332355C A A 361A 120P ξ===， ()22232255A A A 242A 120P ξ===，()223255A A 123A 120P ξ===， ∴()4836241201231120120120120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：36；1. 【点睛】本题考查了排列、组合的应用，离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题. 15．(],0-∞ 【解析】 【分析】根据条件转化为函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[),m +∞上的值域的子集；分别求值域即可得到结论. 【详解】解：依题意，()()f q f p =-，即函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[),m +∞上的值域的子集. 因为()y f x =在[),m +∞上的值域为[)4,-+∞（2m ≤-）或24,m m ⎡⎤++∞⎣⎦（2m >-）， ()y f x =-在(),m -∞上的值域为(),m -+∞，故24m m ≤-⎧⎨-≥-⎩或224m m m m >-⎧⎨-≥+⎩， 解得0m ≤ 故答案为：(],0-∞. 【点睛】本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围，属于中档题. 16．916-【解析】 【分析】先分离出22a b +，应用基本不等式转化为关于c 的二次函数，进而求出最小值. 【详解】解：若ab c +取最小值，则ab 异号，0c <， 根据题意得：22212c a b -=+，又由2222a b ab ab +≥=-，即有2122c ab -≥-，则221192416ab c c c c ⎛⎫+≥+-=+- ⎪⎝⎭，即2ab c +的最小值为916-， 故答案为：916- 【点睛】本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题. 17．12【解析】 【分析】 二面角PAB C 平面角为θ，点Q 到底面ABCD 的距离为QH ，点Q 到定直线AB 得距离为d ，则sin QHd θ=.再由点Q 到底面ABCD 的距离与到点P 的距离之比为正常数k ，可得QH PQ k =，由此可得sin k θ=，则由cos cos30θ=︒=可求k 值. 【详解】解：如图， 设二面角PAB C 平面角为θ，点Q 到底面ABCD 的距离为QH ，点Q 到定直线AB 的距离为d ，则sin QH d θ=，即sin QHd θ=. ∵点Q 到底面ABCD 的距离与到点P 的距离之比为正常数k ， ∴QH k PQ=，则QHPQ k=， ∵动点Q 的轨迹是抛物线， ∴PQ d =，即sin QH QHk θ=则sin k θ=.∴二面角PAB C 的平面角的余弦值为cos cos30θ===︒=解得：12k =（0k >）.故答案为：12. 【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.18．（1（2【解析】 【分析】（1）由222b c a +-=，利用余弦定理可得2cos bc A =,结合3A π=可得结果；（2）由正弦定理1sin 2B =，π6B =, 利用三角形内角和定理可得π2C =，由三角形面积公式可得结果. 【详解】（1）由题意，得2223b c a abc +-=. ∵2222cos b c a bc A +-=.∴2cos 3bc A abc =, ∵π3A =，∴a A ==.（2）∵a =由正弦定理sin sin a b A B =，可得1sin 2B =. ∵a>b ，∴π6B =,∴ππ2C A B =--=.∴1sin 22ABC S ab C ∆==. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）先连接CM ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，证明平面BCFE ⊥平面BOD ，得到点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上，记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ，得出DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角，再由题中数据求解，即可得出结果. 【详解】（1）连接CM ，因为等腰梯形ABCD 中（如图1），2AM AE EM CD =+==，//AB CD ， 所以AM 与CD 平行且相等，即四边形AMCD 为平行四边形；所以//AD CM ； 又F 为线段CD 的中点，E 为AM 中点，易得：四边形AEFD 也为平行四边形，所以//AD EF ；将四边形AEFD 沿EF 折起后，平行关系没有变化，仍有：//AD CM ，且AD CM =， 所以翻折后四边形AMCD 也为平行四边形；故//AM CD ； 因为AM ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以//AM 平面BCD ；（2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，因为2AD =，1AE =，翻折前梯形ABCD 的高为FM DE == 所以60DAE DFE ∠=∠=，则3sin 602DO DF =⋅=，1cos602OF DF =⋅=；所以32OE EF OF =-=； 又3BE EM MB =+=，60FEM DFE ∠=∠=，所以3602BO ==，即222BO OE BE +=，所以BO OE ⊥； 又DO BO O ⋂=，且DO ⊂平面BOD ，BO ⊂平面BOD ， 所以EO ⊥平面BOD ；因此，平面BCFE ⊥平面BOD ； 所以点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上； 记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ， 则DH ⊥平面BCFE ；所以DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角，因为BD =2221cos 23OB OD BD BOD OB OD +-∠==⋅，因此sin DH DO DOB =⋅∠=，1cos 3OH DO DOB =⋅∠=故BH BO OH =-=； 因为120OFC EFC FCB ∠=∠=∠=，所以3601201209030HBC OBC ∠=∠=---=，因此3CH =，故CD ==所以sin DH DCH CD ∠==. 即直线CD 与平面BCFE【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.20．（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.（2）先将n c 缩小即111233n n n c +⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立. 【详解】（1）∵()*21n n S a n N+=∈，令1n =，得113a=. 又()11212n n S a n --+=≥，两式相减，得113n n a a -=. ∴13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）∵111111133n nn c +=+⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1113311231313131n n n n n n +++=+=-++-+- 11123131n n +⎛⎫=-- ⎪+-⎝⎭.又∵11313n n <+，1111313n n ++>-，∴111233n n n c +⎛⎫>-- ⎪⎝⎭. ∴22311111112333333n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫>--+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111122333n n n +=+->-. ∴123n T n >-. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）4. 【解析】 【分析】（Ⅰ）结合已知可得2c a =，bc =a ，b 的值，即可得椭圆方程； （Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得2241m k =+，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得MCO ANO S S ∆∆+，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出MON S ∆，得到ACMN MON MCO ANO S S S S ∆∆∆=++，整理后利用基本不等式求最值.【详解】解：（Ⅰ）可得c a =bc =222a b c =+， 解得2a =，c =，1b =，得椭圆方程2214x y +=； （Ⅱ）易知直线MN 的斜率k 存在，设MN ：y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()()222418410k x kmx m +++-=， 由()()222264164110k m k m ∆=-+-=，得2241m k =+，∵ACMN MON MCO ANO S S S S ∆∆∆=++，设点O 到直线MN ：0kx y m -+=的距离为d ，d =MN ==12MON S ∆=⨯==，由224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221240k x kmx m +++-=， 12221km x x k -+=+，212241m x x k -⋅=+， ∴()1212122y y kx m kx m k x x m +=+++=++2222211km m k m k k ⎛⎫=-+=⎪++⎝⎭∴)12121|)2MCO NAO S S y y y y ∆∆+=+=+=∴()ACMN MON NAO MCO S S S S ∆∆∆==++而2241m k =+，2214m k -=，易知20k ≥，∴21m ≥，则1m ≥， 四边形ACMN的面积414S m m ===≤=++ 当且仅当3m m=，即m =“=”. ∴四边形ACMN 面积的最大值为4.【点睛】本题考查了由,,a b c 求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.22．(1)1(,0)e -；(2)12λ=. 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，对参数进行分类讨论，根据函数单调性即可求得. （2）先根据()0'0f x <，得01x a>-，再根据零点解得2121ln ln x x a x x -=--，转化不等式得()2112211ln ln x x x x x x λλ-+->-，令21x t x =，化简得()11ln t t t λλ-+->，因此min 11,()1ln t t t t λ><--- ，max 101,()1ln t t t tλ<---，最后根据导数研究对应函数单调性，确定对应函数最值，即得λ取值集合.【详解】（1）()1'(0)f x a x x=+>，当0a ≥时，()'0f x >对0x >恒成立，与题意不符，当0a <，()1'1ax a x f x x +=+=， ∴10x a<<-时()'0f x >， 即函数()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减， ∵0x →和x →+∞时均有()f x →-∞， ∴111ln 0f a a ⎛⎫⎛⎫-=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：10a e -<<， 综上可知：a 的取值范围1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）由(1)可知()00f x '<，则011(0)x a a e>--<<， 由12,x x 的任意性及()()12''0f x f x ⋅<知，0λ≠，且1λ≠，112200ax lnx ax lnx +=⎧⎨+=⎩∴2121ln ln x x a x x -=--， 故()21012211ln ln x x x x x x x λλ-=+->-， 又∵()22121111ln x x x x x x λλ-+->，令21x t x =， 则0,1t t >≠，且()110ln t t t λλ-+->>恒成立， 令()()1ln (0)1t g t t t tλλ-=->+-，而()10g =， ∴1t >时，()0,01g t t ><<时，()()0.*g t <∴()()()()()()2222211111'11t t g t t t t t λλλλλλλ⎡⎤---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=-=⎡⎤⎡⎤+-+-⎣⎦⎣⎦，令()221λμλ=-， 若1μ<，则1t μ<<时，()'0g t <，即函数在(),1μ单调递减，∴()()10g t g >=，与()*不符；若1μ>，则1t μ<<时，()'0g t <，即函数()g t 在()1,μ单调递减，∴()()10g t g <=，与()*式不符；若1μ=，解得12λ=，此时()'0g t ≥恒成立，()()'01g t t =⇔=， 即函数()g t 在()0,∞+单调递增，又()10g =，∴1t >时，()0g t >；01t <<时，()0g t <符合()*式， 综上，存在唯一实数12λ=符合题意. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。
浙江省两校2019-2020学年高三下学期第一次联考数学试题一、单选题(★) 1 . 已知全集，，，则（）A．B．C．或D．(★) 2 . 二项式的展开式中的系数为（）A．10B．C．80D．(★) 3 . 已知复数满足( 为虚数单位)，则（）A．B．C．D．5(★) 4 . 已知直线和平面，已知，（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则(★★) 5 . 实数满足，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．4(★) 6 . 函数的图像可能是（）A．B．C．D．(★★★★) 7 . 随机变量的分布列如下：其中是互不相等的正数，则 的取值范围（）A ．B ．C ．D ．(★★) 8 . 已知三棱锥中，，，平面于，设二面角，，分别为，则（）A ．B ．C ．D ．不确定(★★★★) 9 . 如图，已知白纸上有一椭圆 ，它焦点为，长轴，短轴， 是椭圆上一点，将白纸沿直线折成角，则下列正确的是（）①当 在 (或 )时， 最大. ②当 在(或)时，最小.A ．①②B ．①C ．②D ．都不正确(★★★★) 10 . 实数，满足 ，且 ，则对，的最大值为 ，则（）A ．B ．C ．D ．二、双空题(★) 11 . 杨辉在《详解九章算法》中给出了三角垛垛积公式：(其中为正整数).据此公式，______，______.(★★) 12 . 某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的表面积为：_____ ，体积为_____ .(★) 13 . 双曲线的焦点坐标______，渐近线方程_________.(★★) 14 . 已知，曲线向左平移得曲线，则的解析式为_______，的最大值为_______.三、填空题(★★) 15 . 从中任选4个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列(即按先后顺序，但大小写可以交换位置，如或都可以)，这样的情况有______种.(★★★★) 16 . 已知，函数的最小值为，则的取值范围是：______.(★★★★) 17 . 如图，已知圆半径为2，是圆内一定点，，圆上的两动点满足，存在点使构成矩形，则的取值范围是：________.四、解答题(★★) 18 . 中，角所对边分别为.已知，，.（1）求；（2）求.(★★) 19 . 如图，已知几何体中，是正方形，为中点，平面，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角.(★★) 20 . 已知是等差数列，公差，是等比数列，且，，. （1）求，的通项公式；（2）求.(★★★★) 21 . 如图已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和(其中位于轴上方)，直线交于点.（1）求证：点在定直线上；（2）当分别为的中点时，求出直线的方程.(★★★★) 22 . 已知函数有两个极值点.（1）求实数的取值范围；（2）求证：；（3）求证：.。
2019-2020学年浙江省两校高三（下）第一次联考数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U =R ，集合A ={x |x ＞-1}，B ={x |x ＞2}，则A ∩∁U B =（ ）A. {x |-1≤x ＜2}B. {x |-1＜x ≤2}C. {x |x ＜-1}D. {x |x ＞2}2. 二项式(x −2y)5的展开式中x 2y 3的系数为( )A. 10B. −10C. 80D. −803. 已知复数z 满足z(2+i)=3−4i(i 为虚数单位)，则|z|=( )A. √3B. √5C. 2√3D. 54. 已知直线a ，b 和平面α，β，已知a//α，b ⊥β，( )A. 若a//b ，则α//βB. 若a//b ，则α⊥βC. 若a ⊥b ，则α//βD. 若a ⊥b ，则α⊥β5. 实数x ，y 满足{x −y ≤0x +y −2≥0x −3y +6≥0，则2x −y 的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 函数y =x ⋅e cosx 的图象可能是( )A.B.C.D.7. 随机变量ξ的分布列如表：ξa b c Pabc其中a ，b ，c 是互不相等的正数，则Eξ的取值范围( )A. (0,13)B. (0,12)C. (12,1)D. (13,1)8. 已知三棱锥P −ABC 中，PA =PB =PC ，∠APB >∠BPC >∠CPA ，PO ⊥平面ABC于O ，设二面角P −AB −O ，P −BC −O ，P −CA −O 分别为α，β，γ，则( )A. α>β>γB. γ>β>αC. β>α>γD. 不确定9. 如图，已知白纸上有一椭圆C ，它焦点为F 1，F 2，长轴A 1A 2，短轴B 1B 2，P 是椭圆上一点，将白纸沿直线B 1B 2折成90°角，则下列正确的是( )①当P 在B 1(或B 2)时，PF 1+PF 2最大． ②当P 在A 1(或A 2)时，PF 1+PF 2最小．A. ①②B. ①C. ②D. 都不正确10. 实数a 1，a 2，…，a 9，满足a 1=a 9，且|a i +a i+2−2a i+1|≤1(i =1,2，…，7)，则对1≤i <j ≤9，|a i −a j |的最大值为M ，则( )A. M =7B. M =8C. M =9D. M =10二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 从A ，B ，C ，a ，b ，c 中任选4个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列(即按A(a)，B(b)，C(c)先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc 或aABc 都可以)，这样的情况有______种． 12. 已知a ，b ∈R ，函数f(x)=x 2+ax+b+|x 2−ax−b|2的最小值为b 2，则b 的取值范围是______．13. 如图，已知圆O 半径为2，P 是圆内一定点，OP =1，圆O 上的两动点A ，B 满足PA ⊥PB ，存在点C 使PACB 构成矩形，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 杨辉在《详解九章算法》中给出了三角垛垛积公式：1+3+6+⋯+n(n+1)2=16n(n +1)(n +2)(其中n 为正整数).据此公式，则1+3+6+10+15+21+28= (1) ；12+22+⋯+102= (2) ．15.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为：_cm2，体积为__cm3．16.双曲线y23−x24=1的焦点坐标，渐近线方程．17.已知f(x)=sin(2x−π3)，曲线f(x)向左平移π6得曲线g(x)，则g(x)的解析式为，f(x)+g(x)的最大值为．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.已知b=3，a2=c2−2c+9，A−B=π4．(Ⅰ)求cos A；(Ⅱ)求a．19.如图，已知几何体QPABCD中，ABCD是正方形，O为BD中点，PA⊥平面ABCD，PQ//AD，AB=2，PA=PQ=1．(Ⅰ)求证：PO//平面QCD；(Ⅱ)求直线BD与平面QCD所成角．20.已知{a n}是等差数列，公差d=3，{b n}是等比数列，且b a1=2，b2=4，b a2=16．(Ⅰ)求{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)求a b1+a b2+⋯+a bn．21.如图已知抛物线y2=2x，过点P(1,0)作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D(其中A，C位于x轴上方)，直线AC，BD交于点Q．(Ⅰ)求证：点Q在定直线上；(Ⅱ)当A，D分别为QC，QB的中点时，求出直线AB，CD的方程．22.已知函数f(x)=e1−x+alnx有两个极值点x1，x2(x1<x2).(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)求证：x1+x2>2；(Ⅲ)求证：x1x2<1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由已知全集U=R，B={x|x＞2}，得到∁U B={x|x≤2}，又集合A={x|x＞-1}，所以A∩∁U B={x|-1＜x≤2}，故选：B．根据全集为R，由集合B求出B的补集，然后求出A和B补集的交集即可．此题考查了交集和补集的运算，是一道基础题．2.【答案】D【解析】解：二项式(x−2y)5的展开式的通项为T r+1=C5r x5−r(−2y)r=(−2)r C5r x5−r y r，要求展开式中x2y3的系数，∴r=3，∴展开式中x2y3的系数为(−2)3C53=−80．故选：D．利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可．本题考查二项式定理的通项公式的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由z(2+i)=3−4i，得z=3−4i2+i，∴|z|=|3−4i2+i |=|3−4i||2+i|=√32+(−4)2√22+12=√5=√5．故选：B．把已知等式变形求得z，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由直线a ，b 和平面α，β，a//α，b ⊥β，知： 对于A ，若a//b ，则α与β相交，故A 错误；对于B ，若a//b ，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B 正确； 对于C ，若a ⊥b ，则α与β相交或平行，故C 错误； 对于D ，若a ⊥b ，则α与β平行或相交，故D 错误． 故选：B ．对于A ，α与β相交；对于B ，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于C ，α与β相交或平行；对于D ，α与β平行或相交．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解：先根据约束条件画出可行域，目标函数z =2x −y ，z 在点A 处，目标函数的截距取得最小值，z 取得最大值，由{x −y =0x −3y +6=0，解得A(3,3)可得z max =2×3−3=3， 故最大值为3， 故选：C ．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z =x −2y 过y 轴的截距最小，即z 最大值，从而求解．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵y =f(x)=x ⋅e cosx ，∴f(−x)=−x ⋅e cos(−x)=−x ⋅e cosx =−f(x)， 即f(x)=x ⋅e cosx 为奇函数，排除A ，B ， 又f(1)=e cos1>0，排除D ，故选：C．先判断函数为奇函数，再根据函数值的特点即可判断．本题考查了函数图象的识别，考查了函数的奇偶性和函数值的特点，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：由题意，可知a+b+c=1，根据分布列，可得Eξ=a2+b2+c2，∵a，b，c是互不相等的正数，∴a2+b2>2ab，a2+c2>2ac，b2+c2>2bc，各式相加，整理得a2+b2+c2>ab+ac+bc，∵1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc<a2+b2+c2+2(a2+b2+ c2)=3(a2+b2+c2)，∴a2+b2+c2>13，又∵ab+ac+bc>0，∴a2+b2+c2=1−2(ab+ac+bc)<1，∴13<a2+b2+c2<1，即13<Eξ<1，故选：D．本题先根据随机变量的知识可知a+b+c=1，然后计算出Eξ=a2+b2+c2，再根据基本不等式的性质进行运用，进一步进行不等式的运算即可得到正确选项．本题主要考查概率统计与不等式的综合运用．考查了转化思想，定义法，基本不等式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．8.【答案】A【解析】解：连接OA，OB，OC，则△POA，POB，POC均为直角三角形，∵PA=PB=PC，PO为公共边，∴△POA≌△POB≌△POC ，∴OA =OB =OC ，故O 为△ABC 的外心，设D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ， 又PA =PB =PC ，∴PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ， ∴∠PDO =α，∠PEO =β，∠PFO =γ， ∵cos∠APB 2=PD PA ，cos∠BPC 2=PE PB ，cos∠APC 2=PFPC ，且∠APB >∠BPC >∠CPA ，PA =PB =PC ， ∴PD <PE <PF ，又sinα=POPD ，sinβ=POPE ，sinγ=POPF ， ∴sinα>sinβ>sinγ， ∴α>β>γ． 故选：A ．判断O 点位置，根据∠APB >∠BPC >∠CPA 得出P 到底边的距离的大小关系，从而得出三个二面角的平面角的正弦的大小，再得出结论．本题考查了二面角的平面角的作法，棱锥的结构特征，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：设翻折前椭圆方程为：y 2a 2+x 2b 2=1，如图所示建立空间直角坐标系，根据对称性，不妨设P(0,bcosθ,asinθ),θ∈[0,π2]， F 1(c,0，0)，F 2(0,0，c)，则PF 1+PF 2=√c 2+b 2cos 2θ+a 2sinθ+√b 2cos 2θ+(asinθ−c)2 =√a 2+c 2sin 2θ+√a 2+c 2sin 2θ−2acsinθ=√a 2+c 2sin 2θ+a −csinθ， 设f(θ)=√a 2+c 2sin 2θ+a −csinθ，则f′(θ)=2√a 2+c 2sin 2θ−ccosθ<√(a c)+sin θ−ccosθ<0，故函数单调递减，故当θ=0，即当P 在B 1(或B 2)时，PF 1+PF 2最大， 故θ=π2时，当P 在A 1(或A 2)时，PF 1+PF 2最小． 故选：A ．如图所示建立空间直角坐标系，根据对称性，不妨设P(0,bcosθ,asinθ),θ∈[0,π2]，PF 1+PF 2=√a 2+c 2sin 2θ+a −csinθ，求导证明f(θ)=√a 2+c 2sin 2θ+a −csinθ单调递减，得到答案．本题考查了椭圆内线段最值，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于难题．10.【答案】B【解析】解：令b i =a i+1−a i ，则|b i+1−b i |≤1，此时b 1+b 2+⋯…+b 8=0， 由题意可知，必存在k ，使得b k b k+1<0，则|b k −b k+1|≤1，必有min{|b k |,|b k+1|}≤12， 下面所有正数项和记为S ，所有负数项和记为T ，则有S =T ， 下面对正数项的项数n 进行讨论， 若存在8个正数项，显然不成立； 若存在7个正数项时，T ≤1； 若存在6个正数项时，T ≤1+2=3； 若存在5个正数项时，T ≤1+2+3=6；若存在4个正数项时，存在|b k |≤12，此时T ≤12+32+52+72=8； 综上所述，对1≤i ≤j ≤9，|a i −a j |的最大值为8． 故选：B ．令b i =a i+1−a i ，则|b i+1−b i |≤1，b 1+b 2+⋯…+b 8=0，且必存在k ，使得b k b k+1<0，则|b k −b k+1|≤1，必有min{|b k |,|b k+1|}≤12，再对正数项的项数进行讨论即可得出结论．本题考查数列中最值的求解，考查递推数列的运用，考查逻辑推理能力，属于较难题目．11.【答案】36【解析】解：若选出的4个字母中有1对大小写字母，则不同的排列顺序有C 31C 21C 21A 22=24种，若选出的4个字母中有2对大小写字母，则不同的排列顺序有C 32A 22A 22=12种，24+12=36． 故答案为：36．讨论选出的4个字母中相同字母的对数，根据组合数公式和排列数公式计算．本题考查了排列组合数公式的应用，属于基础题．12.【答案】[0,1]【解析】解：f(x)={x 2,x 2≥ax +bax +b,x 2<ax +b，即f(x)=max{x 2,ax +b}， ①当y =x 2与y =ax +b 没有交点或交点在y 轴同侧时，此时f(x)min =b 2=0，解得b =0；②当y =x 2与y =ax +b 的交点在y 轴异侧时，则b >0，当a ≥0时，最低点交点坐标为(−b,b 2)，此时b 2=−ab +b ，b =−a +1≤1，即0<b ≤1；当a <0时，最低点交点坐标为(b,b 2)，此时b 2=ab +b ，b =a +1<1，即0<b <1； 综上，实数b 的取值范围为[0,1]． 故答案为：[0,1]．分析可知，f(x)=max{x 2,ax +b}，然后以y =x 2与y =ax +b 的交点情况讨论函数f(x)的最小值，结合题意，即可求得实数b 的取值范围．本题考查绝对值函数的最值求解，考查分类讨论思想，属于中档题．13.【答案】[−√7,√7]【解析】解：设矩形PACB 对角线交点为M ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，① 又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，② ①+②可得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=7， ∴|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√7cos∠POC ， 又−1≤cos∠POC ≤1， ∴−√7≤OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤√7．故答案为：[−√7,√7].根据矩形性质得出|OC|=√7，再根据平面向量的数量积定义得出答案．本题考查了平面向量的数量积计算，向量在几何证明中的应用，属于中档题．14.【答案】84385【解析】解：由1+3+6+⋯+n(n+1)2=16n(n+1)(n+2)，所以1+3+6+10+15+21+28=16×7×8×9=84，易得12+22+32+⋯+2=16n(n+1)(2n+1)，所以12+22+⋯+102=16×10×11×21=385，故答案为：84 385．由归纳推理得：1+3+6+10+15+21+28=16×7×8×9=84，易得12+22+32+⋯+2=16n(n+1)(2n+1)，所以12+22+⋯+102=16×10×11×21=385，得解．本题考查了归纳推理，属中档题．15.【答案】7π，83π【解析】解：由已知可得该几何体是一个圆柱和一个半球的组合体，圆柱的底面半径为1，高(母线)为2，球的半径为1．则该几何体的表面积S=2π×1×2+π×12+12×4π×12=7πcm2，体积为V=π×12×2+12×43π×13=8π3cm3，故答案为：7π，83π．由已知可得该几何体是一个圆柱和一个半球的组合体，求出圆柱的底面半径和母线长，代入球、圆柱表面积公式和体积公式，可得答案．本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键，属于基础题．16.【答案】(0,±√7)y =±√32x【解析】解：双曲线y 23−x 24=1的a =√3，b =2，c =√7，所以双曲线的焦点坐标(0,±√7)，渐近线方程：y =±√32x.故答案为：(0,±√7)；y =±√32x.直接利用双曲线的标准方程求解焦点坐标以及渐近线方程即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．17.【答案】g(x)=sin2x√3【解析】 【分析】本题考查三角函数图象的变换规律，正余弦型三角函数最值的求法．属于基础题． 根据“左加右减”的规律求出g(x)，然后将f(x)+g(x)化简成形如Asin(ωx +φ)三角函数的形式，即可求出最值． 【解答】解：由已知得g(x)=sin[2(x +π6)−π3]=sin2x ． 故g(x)=sin2x ．所以f(x)+g(x)=sin2x +sin(2x −π3)=sin2x +sin2x ⋅cos π3−cos2x ⋅sin π3=32sin2x −√32cos2x =√3(√32sin2x −12cos2x)=√3sin(2x−π6)≤√3．故答案为：g(x)=sin2x；√3．18.【答案】解：(Ⅰ)△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.已知b=3，a2=c2−2c+9，所以cosA=b2+c2−a22bc =c2+9−a22bc=2c2bc=1b=13．(Ⅱ)由(Ⅰ)cosA=13，所以sinA=2√23，由于A−B=π4，所以sin(A−π4)=sinAcosπ4−cosAsinπ4=2√23×√22−13×√22=4−√26，即sinB=4−√26．利用正弦定理：asinA =bsinB，故a=bsinAsinB =24√2+127．【解析】(Ⅰ)直接利用余弦定理的应用求出结果．(Ⅱ)利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果平．本题考查的知识要点：余弦定理、正弦定理，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取CD中点H，连接QH，OH，O为BD中点，CD中点H，故OH 平行且相等12BC ，PQ 平行且相等12BC ，故PQ 平行且相等OH ，故四边形OHQP 为平行四边形，故PO//QH ， PO ⊄平面QCD ，QH ⊂平面QCD ， 故PO//平面QCD ． (Ⅱ)如图，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则B(2,0，0)，D(0,2，0)，C(2,2，0)，Q(0,1，1)， 设平面QCD 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {−2x =0y −z =0，取y =1，则法向量为n ⃗ =(0,1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)， 设直线BD 与平面QCD 所成角为θ(0≤θ≤π2)， 则sinθ=|cos〈n ⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n ⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×2√2=12，故直线BD 与平面QCD 所成角为π6．【解析】(Ⅰ)取CD 中点H ，连接QH ，OH ，O 为BD 中点，通过证明四边形OHQP 为平行四边形，得到PO//QH ，进而证明PO//平面QCD ；(Ⅱ)以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面QCD 的法向量，设直线BD 与平面QCD 所成角为θ(0≤θ≤π2)，再结合sinθ=|cos〈n ⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|即可求出θ．本题考查线面平行的证明，考查空间向量的应用，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设{b n }是公比为q 的等比数列，由b a 1=2，b 2=4，b a 2=16，可得b 1q a 1−1=2，b 1q =4，b 1q a 2−1=16， 又a 2−a 1=d =3，可得q 3=8，即q =2，b 1=2，a 1=1， 则a n =1+3(n −1)=3n −2，b n =2n ，n ∈N ∗；(Ⅱ)a b 1+a b 2+⋯+a b n =(3×2−2)+(3×4−2)+⋯+(3×2n −2) =3×(2+4+⋯+2n )−2n =3×2(1−2n )1−2−2n =3×2n+1−6−2n ．【解析】(Ⅰ)设{b n }是公比为q 的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；(Ⅱ)求得a b n =3×2n −2，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)证明：设A(2t 12,2t 1),B(2t 22,2t 2),C(2t 32,2t 3),D(2t 42,2t 4)，(t 1,t 3>0,t 2,t 4<0)，则k AC =2t 3−2t 12t 32−2t 12=1t1+t 3，∴直线AC 的方程为：y =1t1+t 3x +2t 1t 3t 1+t 3，同理可得直线BD 的方程为：y =1t 2+t 4x +2t 2t 4t2+t 4，∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ //PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t 12−1,2t 1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t 22−1,2t 2)，∴2t 1(2t 22−1)=2t 2(2t 12−1)，化简可得t 1t 2=−12，同理可得t 3t 4=−12，由{y =1t 1+t 3x +2t 1t3t 1+t 3y =1t 2+t 4x +2t 2t 4t 2+t4，化简整理可得(t 1+t 3−t 2−t 4)x =2(t 1t 2t 3+t 1t 3t 4−t 1t 2t 4−t 2t 3t 4)=−t 3−t 1+t 4+t 2，∴x =−1，即点Q 在直线x =−1上，即得证； (Ⅱ)∵A ，D 分别为QC ，QB 的中点，∴{4t 12=−1+2t 324t 42=−1+2t 22，则{4t 12=−1+2t 3244t 32=−1+24t 12，即2t 34−t 32−1=0， ∴t 32=1或t 32=−12(舍)， ∵t 3>0， ∴t 3=1， ∴t 4=−12，∴C(2,2),A(12,1),B(2,−2),D(12,−1)，∴直线AB 的方程为2x +y −2=0，直线CD 的方程为2x −y −2=0．【解析】(Ⅰ)设出A ，B ，C ，D 四点坐标，求出直线AC ，BD 的斜率及方程，由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ //PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得t 1t 2=−12，t 3t 4=−12，再联立直线方程，化简即可得证；(Ⅱ)依题意，{4t 12=−1+2t 324t 42=−1+2t 22，计算可得t 3=1，t 4=−12，进而求得点A ，B ，C ，D 四点坐标，由此得出所求直线方程．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线方程的求解，对运算能力的要求较高，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=e 1−x +alnx,f′(x)=−e 1−x +ax =0，依题意，a =xe 1−x 有两个正数解，设g(x)=xe 1−x ，则g′(x)=e 1−x −xe 1−x =(1−x)e 1−x ， 函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，g(1)=1， 画出函数g(x)图象如下图所示，由图象可知，0<a <1；(Ⅱ)证明：g(x)=xe 1−x =a 的两个根为x 1，x 2(x 1<1<x 2)，构造函数F(x)=g(x)−g(2−x)，则F′(x)=g′(x)−g′(2−x)=(1−x)e 1−x +(x −1)e x−1=(x −1)(e x−1−1e x−1)， 当x ≥1时，F′(x)≥0；当0<x <1时，F′(x)>0， 故函数F(x)单调递增，且F(1)=0，F(x 2)=g(x 2)−g(2−x 2)>F(1)=0，即g(x 2)>g(2−x 2)，亦即g(x 1)>g(2−x 2)，x 1∈(0,1)，2−x 2∈(0,1)，当x ∈(0,1)时，函数g(x)单调递增，故x 1>2−x 2， ∴x 1+x 2>2，得证；(Ⅲ)证明：根据题意，a =x 1e 1−x 1,a =x 2e 1−x 2，两式相除得到：1=x2x 1e x 1−x 2，设x2x 1=t >1，故x 2−x 1=lnt ，解得x 2=tlnt t−1,x 1=lnt t−1，故x 1x 2=tlnt t−1⋅lnt t−1=tln 2t (t−1)2，要证x 1x 2<1，即证√tlntt−1<1，即证√tlnt −t +1<0，设K(t)=√tlnt −t +1，则K′(t)=2√t+√t−1=√t2√t， 设M(t)=lnt +2−2√t ，则M′(t)=1t √t <0，且M(1)=0， ∴K′(t)<0恒成立，∴K(t)单调递减，故K (t)<K(1)=0恒成立，即得证．【解析】(Ⅰ)求导化简可得a =xe 1−x 有两个正数解，构造函数g(x)=xe 1−x ，画出函数图象得答案；(Ⅱ)构造函数F(x)=g(x)−g(2−x)，证明函数F(x)单调递增，进而F(x 2)>F(1)=0，得证；(Ⅲ)由题意，a =x 1e 1−x 1,a =x 2e 1−x 2，两式相除得到：1=x2x 1e x 1−x2，构造函数K(t)=√tlnt −t +1，证明K(t)<K(1)=0即得证．本题考查了根据极值点求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题．。
浙江省衢州二中高三数学下学期第一次综合练习试题 文一、选择题（5×10=50分）1．设R 为实数集，i 是虚数单位，复数21i z +=，集合}1,0,1{-=A ，则（ ）A ．A i ∈B ．AC i R ∈ C ．A z ∈2D ．A z ∈42．设D C B A ,,,是平面α内的四个定点，平面α内的点M 满足=+++这样的点M 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．43．已知三角形ABC 的一个内角是0120，三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积是（ ）A ．310B ．315C ．320D ．3254．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+002052x y x y x ，则y x 32+的大值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7.55．直线l 平面α相交，若直线l 不垂直于平面α，则（ ）A ．l 与α内的任意一条直线不垂直B ．α内与l 垂直的直线仅有１条C ．α内至少有一条直线与l 平行D ．α内存在无数条直线与l 异面6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．48 B ．17832+ C ．17848+D ．807．设R b a ∈,，则“11>>b a 且”的充要条件是（ ） A．2>+b aB ．12>>+ab b a 且C ．012>+-->+b a ab b a 且D ．12>>+b b a 且8．已知双曲线12222=-by a x 的两条渐近线均与圆05622=+-+x y x 相切，且双曲线的右焦点与圆05622=+-+x y x 的圆心重合，则双曲线的方程是（ ）A ．14522=-y xB ．15422=-y xC ．13622=-y xD ．16322=-y x 9．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，N M Q P ,,,分别是线段OD OC OB OA ,,,的中点，在C M P A ,,,中任取一点记为E ，在D N Q B ,,,中任取一点记为F ，设+=，则点G 落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率是（ ）A ．21B ．85C ．43D ．8710．设函数x x x f -+=)12sin(4)(,则在下列区间中函数不存在零点的是（ ）A ．]2,4[--B ．]0,2[-C ．]2,0[D ．]4,2[ 二、填空题（4×7=28分）11．某市有大型超市，中型超市400家，小型超市1400家，为了掌握各类超市的营 业情况， 现按分层抽样方法抽取一个容量 为100的样本，应抽取中型超市___ 家．12．若m 是某已知的正整数，某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的数是31，则m =___13．正方形ABCD 四顶点D C B A ,,,按逆时针方向排列，已知A 、B 两点的坐标)1,3(),0,0(B A ，则C 点的坐标是___14．平面上有A 、B 两定点，且1||=AB ，C 是平面内的一动点，满足31cos -=∠ACB ，则||BC 的取值范围是___ ___15．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到 直线2y x =-的最小距离为16．已知0≠a ，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则实数a 的值是___ 17．已知32,21≤≤≤≤y x ，当y x ,在可取值范围内变化时，不等式222y ax xy +≤恒成立，则实数a 的取值范围是___ ___三、解答题18．(本题满分14分)设R x ∈，向量)sin 2,sin 3(x x a =，)sin 2,cos 2(x x =，函数1)(-⋅=x f ．（Ⅰ）在区间),0(π内，求)(x f 的单调递减区间； （Ⅱ）若1)(=θf ，其中20πθ<<，求)3cos(πθ+．19．(本题满分14分)设等比数列}{n a 的首项为a ，公比10≠>q q 且，前n 项和为n S （Ⅰ）当1=a 时，121321+++，S，SS 三数成等差数列，求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数n ，命题甲：21),1(,+++n n n S S S 三数构成等差数列．命题乙：321),1(,++++n n n S S S 三数构成等差数列．求证：对于同一个正整数n ，命题甲与命题乙不能同时为真命题．本题满分14分)四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90=∠ABC ，222===CD BC AB ，PD PA PD PA ⊥=,，PC PB =（Ⅰ）求证：平面⊥PAD 平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PAD 所成角的正切值．21．(本题满分15分)函数ax bx x x f 22131)(23++-=,)('x f 是它的导函数． （Ⅰ）当1=b 时，若)(x f 在区间),32(+∞存在单调递增区间，求a 的取值范围。
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53)B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞C ．(1,53)D ．(,3)-∞2．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=3．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ） A ．2425-B ．725-C ．1625D ．854．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ） A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”5．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．247-B ．1731-C ．247D ．17316．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >7．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( ) A ．3-B ．0C ．0或32-D ．32-9．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．810．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种11．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．812．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2B 5C ．23D ．83二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
