马井堂-经典-专题一-第3讲函数与方程及函数的应用

马井堂-高考数学汇编-专题 1 函数与导数、不等式第3讲 函数与方程及函数的应用一．瞄准高考1.函数的零点(1)三个等价关系：方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(2)函数零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f (a )f (b )<0,那么函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )＝0,这个c 也就是方程f (x )＝0的根．(尤其注意,f (a )f (b )<0是“函数y ＝f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有零点”的充分不必要条件)2.函数模型及其应用解决实际应用题,一般先考虑建立函数解析式,将其函数化,然后运用函数的知识解决问题.具体策略是:(1)审:审即审题,首先通过阅读能准确理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步预测所属数学模型,这一步是基础.(2)建:建即建立数学模型,也就是将文字语言转化为数学语言,利用已有的数学知识,建立相应的数学模型.正确进行建“模”是解应用题的关键的一步.(3)解:解即求解数学模型,得到数学结论.解题时,一要充分注意数学模型中元素的实际意义,二要注意优化过程.(4)答:答即将数学结论还原为实际问题的结果.二．解析高考题型一 函数零点的判定例1 已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6.(1)证明：f (x )在其定义域上是增函数；(2)证明：f (x )有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过14.题型二 函数与方程的综合应用例2 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象的零点至少有一个在原点的右侧,求实数m 的取值范围.【变式】已知a、b是不全为0的实数,求证：方程3ax2＋2bx－(a＋b)＝0在(0,1)内至少有一个根．题型三函数模型及应用例3某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处,已知AB＝20 km,CB＝10 km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为y km.(1)按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO＝θ(rad),将y表示成θ的函数关系式；②设OP＝x(km),将y表示成x的函数关系式．(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂位置,使三条排污管道总长度最短．三．感悟高考1．判断函数的零点,要善于运用“三个转化”,时常将函数的零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题,或转化为两个函数图象交点问题．需特别注意的是下面式子是错的：“f(a)f(b)<0⇔函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点”．2．对函数零点的考查,通常以函数为载体判断方程根的个数,或以此为背景求参数的范围,此类问题都是利用数形结合,借助函数图象(复杂函数的图象可用导数工具)加以解决．3．与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.4．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析,处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．四．备战高考1.若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3,那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是.2.设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x,y0),若x0所在的区间为(k,k+1)(k∈Z),则k= .3.(2010·福建)函数223,0,()2ln,0x x xf xx x⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为.4.食用油的零售价今年比去年只上涨25%,政府欲使明年比去年上涨10%,则明年比今年降价.5.已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a,b],且b－a＝1,a,b∈N*,则a＋b＝________.6.已知函数f(x)＝x2－1,g(x)＝a|x－1|.若|f(x)|＝g(x)有两个不同的解,则a= .7.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时12log(1).[0,1)()1|3|,[1,)x xf xx x+∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩,则关于x的方程f(x)＝a(－1<a<1)的所有根之和S= (用a表示)．8.(2009·山东)若函数f(x)＝a x－x－a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________．9.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若f(－1)＝0,试判断函数f(x)的零点个数；(2)若对∀x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),试证明∃x0∈(x1,x2),使f(x0)=12[f(x1)+f(x2)]成立.10.某生产旅游纪念品的工厂,拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算,该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t＋1成反比例．若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元,每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时,则当年的产量和销量相等．(利润＝收入－生产成本－促销费用)(1)求出x与t所满足的关系式；(2)请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；(3)试问：当2010年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大？。

函数解析式的六种求法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+xx x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y 整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

《二元一次方程组》复习指导一、复习目标及建议：二元一次方程组是方程大家族里的重要成员之一，也是我们运用方程工具求解问题需要掌握的重要技能．复习时，同学们要在几个方面下功夫：利用二元一次方程组分析与解决实际问题，二元一次方程组及其相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组以及三元一次方程组解法举例．其中，以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题既是本章的重点，又是难点．二、重要知识点回顾：1.二元一次方程：含有个未知数，并且未知项的次数是的方程叫二元一次方程，如328x y+=.2.二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解.显然，任何一个二元一次方程都有个解.3.二元一次方程组：两个含有相同未知数的二元一次方程联立在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程的左、右两边的值都相等的未知数的值，即方程组中各个方程的，叫做二元一次方程组的解.5．求解二元一次方程组的重要思想就是，我们要熟练掌握两种求解方法：代入消元法和消元法. 其中代入消元法的主要思路是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程；加减消元法的主要思路是：通过方程组中的两个方程相加（或相减）消去其中的一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．需要指出的是，在解方程组时，应根据题中的系数构成情况灵活选用两种方法，一般说来：①当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1；②当方程组中有一个方程的常数项是0，此时用代入法较简捷.又，①当方程组中两个方程的某一个未知数的系数绝对值相等；②当方程组中两个方程的某一个未知数的系数成整数倍，此时用加减法较简捷.6．构造二元一次方程组解应用题，主要步骤是：（1）弄清题意和题目中的数量关系，设出字母（如用字母x，y）表示题中的两个未知数；（2）找出能够表示应用题全部含义的两个；（3）根据两个相等关系列出方程并组成；（4）解这个方程组；（5）代入问题情境检验并写出答语.三、典型思想方法例析：1、整体求解策略【例1】有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需元钱．【解析】设购甲、乙、丙三种商品各一件分别需x 元、y 元、z 元，根据题意有： ⎩⎨⎧=++=++2853231523z y x z y x ，把这两个方程相加得：4x +4y +4z =600，所以x +y +z =150.【点评】这个问题虽然设成了三个未知数，但求解时，采取了“加减”变形技巧后就实现了问题的求解，这这种整体考虑的处理策略值得同学们体会和积累．2、数学建模思想【例2】如图，教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花,每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同，请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格.【解析】设康乃馨每支x 元，水仙花每支y 元.根据题意，可列方程组⎩⎨⎧=+=+.1822,193y x y x 解得⎩⎨⎧==.4,5y x 所以第三束花的价格是x +3y =5+3×4=17（元）.答：第三束花的价格是x +3y =5+3×4=17元.【点评】本题以教师节为背景，取材特别新颖，给学生一种耳目一新的感觉.通过实物中的标价，将这道实物信息问题，抽象出数学问题，建立方程组模型来解答.对同学们的阅读能力、识图能力和处理信息能力有一定的要求.四、易错点归纳：1．对二元一次方程的概念要理解透彻，不要将xy =2误当成二元一次方程，实际上xy =2中含有未知数的项是二次的，所以该方程不是二元一次方程．2．对二元一次方程组的解与一元一次方程的解相混淆，如方程组342x y x y +=⎧⎨+=⎩，的解应写为11x y =⎧⎨=⎩，，表示x =1且y =1同时成立，而不要写成x =1或y =1．3．在利用代入法解二元一次方程组时，应注意正确地用关于一个未知数的式子表示另一个未知数．如：解方程组25321x y x y -=⎧⎨-=⎩，，由52=-y x ，得52+=x y ，就错了，应为52-=x y ．在利用加减消元法解方程组时，应注意符号问题，特别是正系数减负系数的情况．如：解方程组34231x y x y -=⎧⎨-=⎩，， 由① 2⨯—②3⨯，得3892-=--y y ，就出现了符号上的错误，正确的应为3892-=+-y y ．4．列方程组解决实际问题时，当所给的量的单位不统一时，应注意将单位化统一．五、重要考点例析：考点1： 二元一次方程（组）相关概念考查范围：主要包括二元一次方程以及二元一次方程组的概念，二元一次方程组的解和二元一次方程组的解的意义．复习对策：会判断所给的一组值是否是二元一次方程组的解；能根据简单的实际问题列出方程组．熟练掌握二元一次方程（组）解的意义与应用．例1 已知方程组45ax by ax by -=⎧⎨+=⎩，的解为21x y =⎧⎨=⎩，，则23a b -的值为_________． 解析:由题意，把21x y =⎧⎨=⎩，，代入方程组45ax by ax by -=⎧⎨+=⎩，得2425a b a b -=⎧⎨+=⎩，．解关于a ,b 的方程组得943.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，则23a b -的值为3．点评:这类问题一般由方程组解的概念将方程组的解代入方程组，从而求相关的待定系数．当然以上解法仅给出一种通法（常规思路），分析本题系数特点，我们还可以将方程组中的（1）式乘以2再减（2）式，同学们不妨试试，会有什么发现呢？例2已知A ∠、B ∠互余，A ∠比B ∠大30.设A ∠、B ∠的度数分别为x 、y ，下列方程组中符合题意的是 ( ).A ．180,30x y x y +=⎧⎨=-⎩B ．180,30x y x y +=⎧⎨=+⎩C ．90,30x y x y +=⎧⎨=+⎩D ．90,30x y x y +=⎧⎨=-⎩ 解析:根据题目给出的信息(两句话分别揭示了两个方程关系),不难分析出应选C .点评: 这道题有效考查了方程组的列法、互余的性质，是一道设计很好的基础考题，也是近年来基础考题的一种趋势，即兼顾多个知识点，同学们注意体会．①②考点二： 解二元一次方程组考查范围：主要涉及二元一次方程组的解法：（1）代入消元法，（2）加减消元法．复习对策：体会解二元一次方程组的基本思想就是消元，掌握代入法或加减消元法解二元一次方程组；能根据方程组的系数特点准确选择优化的消元策略．例3（1）解二元一次方程组3582 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩， （2）解方程组：⎩⎨⎧=+-=-1223532y x y x ．解析：（1）3582 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩，①②由②得12-=x y ，③将③代入①，得8)12(53=-+x x ．解得1=x ．代入③，得1=y ．∴原方程组的解为11.x y =⎧⎨=⎩， （2）⎩⎨⎧=+-=-)2(1223)1(532y x y x 3)2(2)1(⨯+⨯得2613=x ,2=x 并代入(2)得3=y∴原方程组的解是⎩⎨⎧==32y x . 点评：这两个方程组分别采用了代入消元法、加减消元法实现求解．需要指出的是，这两种消元策略的选取，是需要认真观察方程组系数特点再决定的，随着同学们“题感”的丰富，相信一定能优选出便捷的消元策略的．考点三： 利用方程组求解代数式的值考查范围：主要涉及通过解二元一次方程组或运用二元一次方程组的一些重要变形技巧确定字母的值或求出与字母系数有关的代数式的值等问题．复习对策：解决问题的关键是先解方程组或将方程组中两个方程进行变形，求出方程组的解或与方程组有关的代数式，从而解决问题．例4已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,42,52y x y x 则x －y 的值为__ _. 解析：观察方程组中两个方程的系数特点，运用两方程相减，得x -y =1.故应填1.点评：本题的一般解法是求得方程组的解，把x 、y 的值代入到代数式求值.但这并不是本题的最为优化的解法，像上面运用方程组中两个方程的加减变形，非常方便地得到的求解，这就提示我们，根据方程组系数特点进行方程组的变形（可以像上面的加减变形）有时会起到事半功倍的作用，这种策略有时在解一些方程组上也适用，同学们碰到时注意类比和体会．考点四： 构建二元一次方程组解实际应用问题考查范围：主要涉及列二元一次方程组解与实际生活密切相关的热点问题．与实际生活问题密切相关的问题是中考试题中的热点，如销售利润问题、存款利率问题、打折销售问题等．复习对策：求解关键仍是从实际问题中找出相等关系，通过设适当的未知数，列出二元一次方程组． 例5如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g ．解析：不妨设一块巧克力质量为xg ,一块果冻质量为yg ,由题意得方程组5032x y x y +=⎧⎨=⎩，解得20,30.x y ==即一块巧克力的质量是20g ．点评：这是一个很好的问题情境，从实物图形给的两个等量关系中抽象出两个方程联立成方程组可以实现求解．这里有两个求解的关键：一是图象信息（天平）揭示了两个等量关系；二是设元后准确构建方程组并求解．例6暑假期间,小明到父亲经营的小超市参加社会实践活动.一天小明随父亲从银行换回来58张,共计200元的零钞用于顾客付款时找零.细心的小时清理了一下,发现其中面值为1元的有20张,面值为10元的有7张,剩下的均为2元和5元的钞票.你能否用所学的数学方法算出2元和5元的钞票的各有多少张吗?请写出演算过程.解析：设面值为2元的有x 张，面值为5元的有y 张，依题意得2520012071058207x y x y +=-⨯-⨯⎧⎨+=--⎩ 解得1615x y =⎧⎨=⎩．经检验，符合题意． 答：面值为2元的有16张，面值为5元的有15张．点评：构建二元一次方程组求解问题的关键就是寻找两个等量关系，本题两个等量关系隐藏得相对较深，不像有些应用问题，两个等量关系之间用“；”隔开，一看就很明显．那么，碰到这样的问题，就要仔细读题了，把“长题”读成“短题”，提练关键语句，服务于有效方程的构建，这是同学们要不断提高的能力．。

马井堂（14-18）上海高考数学5年总结-函数（2014年上海）【2014年上海卷（理20）】(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a ≥，函数2()2x x a f x a+=-. (1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.【解析】：（1）∵4a =，∴24()24x x f x y +==-，∴4421x y y +=-，∴244log 1y x y +=-， ∴1244()log 1x y fx x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ （2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，∴2222x x x x a a a a--++=--， 整理得(22)0x xa --=，∴0a =，此时为偶函数 若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，∴2222x x x x a a a a--++=---， 整理得210a -=，∵0a ≥，∴1a =，此时为奇函数当(0,1)(1,)a ∈⋃+∞时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数（2015年上海）23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R 的函数g （x ），若存在正常数T ，使得cosg （x ）是以T 为周期的函数，则称g （x ）为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知f （x ）是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ．设f （x ）单调递增，f （0）=0，f （T ）=4π．（1）验证g （x ）=x+sin 是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a ＜b ，证明对任意c ∈[f （a ），f （b ）]，存在x 0∈[a ，b ]，使得f （x 0）=c ；（3）证明：“u 0为方程cosf （x ）=1在[0，T ]上得解，”的充分条件是“u 0+T 为方程cosf （x ）=1在区间[T ，2T ]上的解”，并证明对任意x ∈[0，T ]，都有f （x+T ）=f （x ）+f （T ）．（2016年上海）5. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-（2017年上海）8.定义在（0，+∞）上的函数y =f （x ）的反函数为1=()y f x -，若g （x ）=()31,0,>0x x f x x ⎧-⎪⎨⎪⎩…为奇函数，则1()f x -=2的解为 .【答案】x =－8【解析】f （x ）=－3x +1⇒ f （2）=－9+1=8，∴1()f x -=2的解为x =－8.（2018年上海）11. 已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。