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对数函数高考必背知识点数函数是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中的必考知识点之一。
掌握好数函数的相关知识，是考生取得高分的关键之一。
本文将从数函数的定义、性质、图像及应用等方面进行论述。
一、数函数的定义数函数是数学中描述数之间的映射关系的工具。
它由自变量和对应的函数值组成，通常用符号表示。
在高考中，经常出现的数函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指以一个正数为底数的幂与拓展对数，是指数函数的反函数。
对数函数可以表示为y=logba，其中a>0且a≠1，b>0且b≠1。
对于常见的以10为底和以自然常数e为底的对数函数，可以分别记作log10x和lnx。
对数函数的性质主要包括：1. 对数函数的定义域为正实数集。
因为对数函数的底数不能为负数或零，所以自变量必须大于0。
2. 对于同一个数x，不同底数的对数函数的函数值不同。
底数越小，函数值越大。
3. 对数函数的反函数是指数函数。
4. 对数函数具有换底公式，即logab=logcb/logca。
5. 对数函数在自变量为1时等于0，即logaa=0。
6. 对数函数在自变量为0时无定义。
三、对数函数的图像对数函数的图像特点如下：1. 对数函数在定义域内递增。
对于以10为底和以e为底的对数函数，其图像在x轴的右侧递增。
2. 对数函数与指数函数的图像关于直线y=x对称。
这是因为对数函数是指数函数的反函数，反函数的图像与原函数的图像关于y=x 对称。
3. 对数函数的图像呈现出不断变缓的特点。
初始时变化较快，但随着自变量的不断增大，变化趋于平缓。
这是因为底数是固定的，变化量越大，函数值的变化越小。
四、对数函数的应用对数函数在现实生活中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 对数函数在金融领域的应用。
在复利计算、财务分析等方面，对数函数可以发挥重要作用。
2. 对数函数在生物学中的应用。
在生物学研究中，对数函数经常用来描述某些生物指标或现象的增长和变化规律。
2021年高考数学一轮复习 9对数与对数函数限时检测 新人教A 版3322 由对数函数的性质可知log 52＜log 32，∴b ＜a ＜c ，故选D. 【答案】 D5．(xx·辽宁高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 f (x )＋f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＋2＝ln(1＋9x 2－9x 2)＋2＝ln 1＋2＝2，由上式关系知f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝2.【答案】 D6．(xx·长沙模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，log 12－x， x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】 ①当a ＞0时，－a ＜0，由f (a )＞f (－a )得log 2a ＞log 12a ，∴2log 2a ＞0，∴a ＞1.②当a ＜0时，－a ＞0，由f (a )＞f (－a )得，log 12 (－a )＞log 2(－a )，∴2log 2(－a )＜0，∴0＜－a ＜1，即－1＜a ＜0. 由①②可知－1＜a ＜0或a ＞1. 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(xx·四川高考)lg 5＋lg 20的值是________． 【解析】 lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. 【答案】 18．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点________． 【解析】 ∵log a 1＝0，∴x －1＝1，即x ＝2，此时y ＝2.因此函数图象恒过定点(2,2)． 【答案】 (2,2)9．(xx·烟台模拟)已知函数f (x )＝ln x ，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 且x 1＜x 2，则①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0 ②f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜fx 1＋f x 22③x 1f (x 2)＞x 2f (x 1) ④x 2f (x 2)＞x 1f (x 1) 上述结论中正确的命题序号是________．【解析】 f (x )＝ln x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 的图象如图所示显然f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增，故①不正确．又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是凸函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞fx 1＋f x 22，所以②不正确．令F (x )＝ln xx ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，则F ′(x )＝1－ln x x 2.∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，F ′(x )＞0，即F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 上为增函数，又x 1＜x 2，故F (x 1)＜F (x 2)，从而ln x 1x 1＜ln x 2x 2，即x 1ln x 2＞x 2ln x 1，所以③正确．令F (x )＝x ln x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e ，由F ′(x )＝1＋ln x 可知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，F ′(x )＜0，所以F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上为单调减函数．又x 1＜x 2，从而F (x 1)＞F (x 2)，故x 2f (x 2)＜x 1f (x 1)，所以④不正确． 【答案】 ③三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)若a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． 【解】 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 则⎩⎨⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}． (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是{x |0＜x ＜1}．11．(12分)设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a ＞0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．【解】 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13－32＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.12．(13分)已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0)． (1)判断函数f (x )在其定义域内的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)内恒为正，试比较a －b 与1的大小关系． 【解】 (1)由a x－b x＞0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x＞1.∵a ＞1＞b ＞0，∴a b＞1，∴x ＞0，∴f (x )定义域为(0，＋∞)． 设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则由a ＞1＞b ＞0，得ax 2＞ax 1，bx 1＞bx 2， 所以ax 2－bx 2＞ax 1－bx 1＞0，∴f (x 2)＝lg(ax 2－bx 2)＞lg(ax 1－bx 1)＝f (x 1)， ∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数．(2)由(1)，得x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)恒成立．要使f (x )＞0，则只需f (1)≥0，即a －b ≥1.X29764 7444 瑄?29933 74ED 瓭;21365 5375 卵22705 58B1 墱34760 87C8 蟈28956 711C 焜20919 51B7 冷39587 9AA3 骣x25468 637C 捼40034 9C62 鱢。
第三节幂函数、指数函数与对数函数对数函数考向聚焦对数函数是高考的热点内容,考查内容涉及以下几个方面:一是对数运算以及对数值的大小比较;二是对数函数以及与对数函数有关的函数图象的应用;三是对数函数的性质及其应用.对数函数在高考中主要以选择题的形式出现,为基础题目和中档题,所占分值为5分左右,在高考试卷中常有考查.备考指津对数运算是一个难点和易错点,应强化训练,要重视对数函数图象和性质的练习,熟练掌握借助函数图象解决问题的方法.1.(2012年全国大纲卷,理9,5分)已知x=ln π,y=log 52,z=,则( )(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x解析:∵x=ln π>ln e=1,y=log52<log55=1,又log25>2,∴y<.z==,∴<z<1.∴y<z<x,故选D.答案:D.2.(2011年江西卷,理3)若f(x)=,则f(x)的定义域为( )(A)(-,0) (B)(-,0](C)(-,+∞) (D)(0,+∞)解析:法一:由题意知lo(2x+1)>0,即0<2x+1<1,∴-<x<0.函数f(x)的定义域为(-,0).故选A.法二:当x=0时,函数解析式的分母等于零,无意义,由此排除选项B和C;当x=时,lo(2x+1)=-1,所以无意义,由此排除选项D,故选A.答案:A.3.(2010年天津卷,理8)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( )(A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)(-1,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,1)解析:法一:①若a>0,由f(a)>f(-a)得log 2a>lo a,由换底公式得log2a>-log2a,即2log2a>0,∴a>1.②若a<0,由f(a)>f(-a)得lo(-a)>log 2(-a),由换底公式得log2(-a)<0,∴0<-a<1,∴-1<a<0.综合①②知a的取值范围是a>1或-1<a<0.选C.法二:数形结合,画出f(x)草图.显然,a>1时f(a)>0,f(-a)<0,即f(a)>f(-a),同理-1<a<0时,f(a)>f(-a),故选C.答案:C.本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式以及计算等知识,同时对分类讨论和数形结合这两种数学思想方法也进行了考查.4.(2011年天津卷,理7)已知a=,b=,c=(,则( )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>a>b解析:∵0<log43.6<1,∴b=<5,而又log23.4>1,log3>1,∴a=>5,c=(==>5,∴a>b,c>b.∵log23.4>log33.4>log3,∴a>c.∴a>c>b,故选C.答案:C.5.(2011年四川卷,理13)计算(lg-lg 25)÷10= . 解析:(lg-lg 25)÷10=lg÷10=lg 10-2÷=-2×10=-20.答案:-20。
高考数学难点突破_难点09__指数对数函数指数对数函数是高考数学中的一个重要的难点，也是学生普遍认为比较难理解和掌握的内容之一、本文将从基本概念、性质、解题技巧等方面进行详细介绍，帮助学生突破这一难点。
一、基本概念1.指数函数：指数函数是以指数为自变量，以底数为底的函数。
比如y=2^x就是一个指数函数，其中2是底数，x是指数。
2. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，也就是说，指数函数和对数函数互为反函数。
比如 y = log2(x) 就是一个对数函数，其中 2 是底数，y 是对数。
二、性质1.指数函数的性质：(1)底数为正数且不等于1；(2)指数为任意实数；(3)当底数小于1时，指数函数是递减函数；(4)当底数大于1时，指数函数是递增函数。
2.对数函数的性质：(1)底数为正数且不等于1；(2)对数为任意正数；(3)对数函数的定义域是正数集合，值域是实数集合；(4)对数函数图象是一条过点(1,0)的上凸曲线。
三、解题技巧1.指数函数的解题技巧：(1)利用指数函数的性质进行函数图象的绘制；(2)将指数转化为对数的形式，利用对数的性质简化计算；(3)注意指数函数的定义域和值域，避免出现无解的情况；(4)利用指数函数的性质解决等式、不等式，注意正确应用换底公式。
2.对数函数的解题技巧：(1)利用对数函数的性质进行函数图象的绘制；(2)利用对数函数的反函数性质化简等式、不等式的解；(3)根据定义域和值域限制，判断函数是否有解；(4)注意合理利用换底公式，化简对数运算。
四、经典题型1. 解对数方程：如 log2(x+3) + log2(x-2) = 3，将对数方程转化为指数方程求解。
2.判断函数性质：如f(x)=5^(x-3)，要求判断指数函数f(x)的增减性和定义域。
3.运用指数对数函数求最值：如y=3^x-3^(1-x)，通过化简求函数的最值。
4. 判断指数函数与对数函数的关系：如 f(x) = 2^x 和 g(x) = log2(x)，要求判断两个函数的值域和定义域。
专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0<b ,a <b ，则b >-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b <b aC.sin b <b a <log 12cD.sin b <log 12c <b a【答案】B【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得a ,b ,c 的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可.【解析】因为y =x a 图象过1,1 ，故由图象可得a <0，又y =b x 图象过0,1 ，故由图象可得0<b <1，又y =log c x 图象过1,0 ，故由图象可得c >1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b <b a .故选：B14(2024高三·全国·专题练习)在同一平面直角坐标系中，函数y =1a x，y =log a x +12 (a >0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a <b <1B.0<a <1<bC.0<b <1<aD.a <0<1<b【答案】B【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到a ,b 的范围，从而得到结果.【解析】由图象可得，指数函数y =a x 为减函数，对数函数y =log b x 为增函数，所以0<a <1,b >1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】D【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a ,b ,c ∈0,1 ，得到log a b <1=log a a ，求出b>a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a <b <1．由g c +f g a c =0，得ln c +e ln a c=0，即ln c +a c =0．易知a c >0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】A【分析】令g x =e x -x -1，利用导数求得g x 在(0,1)单调递增，得到g x >g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a <b <c【答案】C【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.【解析】b =log 1225>log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a <b 2，故选项C 正确．当a ,b ∈(0,1)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a >log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。
西安市高考数学一轮复习：09 对数函数（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·宁波期末) 已知a= ，b= ，c= ，则下列关系中正确的是（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . a＞c＞bD . c＞a＞b2. （2分） (2017高一上·汪清期末) 如果m＞n＞0，那么下列不等式成立的是（）A . log3m＜log3nB . log0.3m＞log0.3nC . 3m＜3nD . 03m＜0.3n3. （2分）(2020·攀枝花模拟) 设，，，则（）A .B .C .D .4. （2分）设a＞1，则log0.2a、0.2a、a0.2的大小关系是（）A . 0.2a＜log0.2a＜a0.2B . log0.2a＜0.2a＜a0.2C . log0.2a＜a0.2＜0.2aD . 0.2a＜a0.2＜log0.2a5. （2分）已知，则（）A . n＜m＜1B . m＜n＜1C . 1＜m＜nD . 1＜n＜m6. （2分）已知，给出下列命题：①若A>B，则；②若ab≠0，则；③若，则；④若，则a，b中至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 17. （2分）若，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一上·温州期中) 已知函数则 =（）A .B . eC .D . ﹣e9. （2分）如果lg2=m，lg3=n，则等于（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一上·辽宁期末) 已知函数f（x）=ln（﹣2x）+3，则f（lg2）+f（lg ）=（）A . 0B . ﹣3C . 3D . 611. （2分）若，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·深圳模拟) 已知a=0.30.3 ， b=1.20.3 ， c=log1.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A . c＜a＜bB . c＜b＜aC . a＜b＜cD . a＜c＜b二、填空题 (共6题；共8分)13. （2分）计算+（）﹣2+（27﹣1+16﹣2）0=________ ．14. （1分）=________15. （1分） (2016高一上·常州期中) 函数y=loga（x﹣1）﹣1（a＞0且a≠1）必过定点________16. （2分） (2019高一上·都匀期中) 若，则 ________17. （1分） (2017高二下·邢台期末) 已知函数，若，则________.18. （1分）化简（log43+log83）（log32+log92）=________三、解答题 (共5题；共45分)19. （5分） (2017高一上·长沙月考) 已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）若函数没有零点，求得取值范围；（3）若函数，的最小值为0，求实数的值.20. （10分） (2016高一上·徐州期中) 已知2x≤256，且log2x≥ ．（1）求x的取值范围；（2）求函数f（x）=log2（）•log2（）的最大值和最小值．21. （10分） (2018高一上·宝坻月考) 设函数的定义域为，（1）若，求t的取值范围；（2）求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出最值时对应的x的值．22. （10分） (2016高一上·六安期中) 解答题（1）已知x+x﹣1=3，求下列各式，x2+x﹣2的值；（2）求值：（lg2）2+lg2lg50+lg25．23. （10分） (2016高一上·嘉兴期中) 已知函数f（x）=log2（x+1）﹣2．（1）若f（x）＞0，求x的取值范围．（2）若x∈（﹣1，3]，求f（x）的值域．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共45分) 19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
（2014跳出题海）高考数学总复习高分攻略[第9讲 指数函数、对数函数、幂函数](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·德州二模] 函数y ＝|x |axx(a >1)的图象大致形状是( )图2．[2013·南阳模拟] 设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1，3B ．－1，1C ．－1，3D ．－1，1，33．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．44．[2013·韶关调研] 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝3xC ．y ＝x 13D ．y ＝lg|x |能力提升5．[2013·三明模拟] 已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100的值等于( )A.1lg2 B ．－1lg2 C ．lg2 D ．－lg2 6．[2013·皖南八校三联] 若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图K9－2所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b )－3 7．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（4－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x >0，则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．28．[2013·南昌调研] 函数f (x )＝log 22x 2＋1的值域为( )A ．[1，＋∞)B ．(0，1]C ．(－∞，1]D ．(－∞，1) 9．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c10．[2013·惠州一模] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，则f (f (2))的值为________． 11．若log a 34<1(a >0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x （0≤x ≤1），x 2－4x ＋4（x >1），则不等式1<f (x )<4的解集为____________．13．设a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a ，2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时，a 的取值的集合为________．14．(10分)定义在R 上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )与一个偶函数h (x )之和，如果f (x )＝lg(10x＋1)，x ∈R ，求g (x )，h (x )的解析式．15．(13分)已知函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．难点突破16．(12分)[2013·宁德质检] 已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)>2－x成立，求实数k的取值范围．【基础热身】1．B [解析] 当x >0时，y ＝a x ；当x <0时，y ＝－a x.根据指数函数图象可知为选项B 中的图象．2．A [解析] 幂函数为奇函数时α＝－1，1，3，定义域为R ，α≠－1，所以α＝1，3.3．D [解析] 因为a >1，所以函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ，log a a ＝1，它们的差为12，∴log a 2＝12，a ＝4.4．C [解析] 由题可知A 不是单调函数，B 不是奇函数，D 是偶函数，只有C 满足．【能力提升】5．D [解析] 当x >0时，f (x )＝lg x ，∴f 1100＝lg 1100＝－2，ff 1100＝f (－2)，又y ＝f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，f (－2)＝－f (2)＝－lg2.6．B [解析] 根据函数f (x )的图象可知0<a <1，0<b <1，故函数g (x )的图象为选项B 中的图象．7．B [解析] 由已知得f (－1)＝log 25，f (0)＝log 24＝2，f (1)＝f (0)－f (－1)＝2－log 25， f (2)＝f (1)－f (0)＝－log 25，f (3)＝f (2)－f (1)＝－log 25－(2－log 25)＝－2.8．C [解析] 因2x 2＋1≤2，所以log 22x 2＋1≤log 22，即f (x )∈(－∞，1]，选C.9．A [解析] 由2a＝log 12a ⇒a >0⇒2a>1⇒log 12a >1⇒0<a <12，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b 可知b >0且0<log 12b <1⇒12<b <1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c 可知c >1且0<log 2c <1⇒1<c <2，从而a <b <c .10．2 [解析] f (f (2))＝f (1)＝2×e 1－1＝2. 11.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪0<a <34或a >1 [解析] 当a >1时，由log a 34<1得，a >34，所以a >1.当0<a <1时，由log a 34<1得0<a <34，所以实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪0<a <34或a >1.12．(0，1]∪(3，4) [解析] 分段求解．当0≤x ≤1时，1<3x<4，解得0<x <log 34，故此时0<x ≤1；当x >1时，结合1<x 2－4x ＋4<4，解得3<x <4.故所求不等式的解集是 (0，1]∪(3，4)．13．{2} [解析] 由已知得y ＝a c x ，单调递减，所以当x ∈[a ，2a ]时，y ∈a c －12，a c －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a c －12≥a ，a c －1≤a 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ≥2＋log a 2，c ≤3，因为有且只有一个常数c 符合题意，所以2＋log a 2＝3，解得a ＝2，所以a 的取值的集合为{2}．14．解：f (x )＝g (x )＋h (x )，f (－x )＝g (－x )＋h (－x )＝－g (x )＋h (x )，h (x )＝f （x ）＋f （－x ）2＝lg （10x ＋1）＋lg （10－x ＋1）2＝lg （10x ＋10－x＋2）2＝lg（10x＋1）210x 2＝12lg(10x ＋1)2－12lg10x ＝lg(10x＋1)－12x ；g (x )＝f （x ）－f （－x ）2＝lg （10x＋1）－lg （10－x ＋1）2＝12lg 10x ＋110－x ＋1＝12x .∴g (x )＝12x ，h (x )＝lg(10x＋1)－12x .15．解：(1)当x<0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－12x ，由条件可知2x－12x＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±2，∵x>0∴x＝log2(1＋2)．(2)当t∈[1，2]时，2t22t－122t＋m2t－12t≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，∵t∈[1，2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．【难点突破】16．解：(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，∴(1＋k)2x＋(k＋1)22x＝0对一切x∈R恒成立，∴k＝－1.(2)∵对x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x，即2x＋k·2－x>2－x成立，∴1－k<22x对x≥0恒成立．∴1－k<(22x)min(x≥0)，又y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x)min＝1，∴k>0.。
第8讲幂函数与二次函数知识梳理1、幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：函数y x=2y x =3y x =12y x=1y x -=图象定义域R R R {|0}x x ≥{|0}x x ≠值域R{|0}y y ≥R{|0}y y ≥{|0}y y ≠奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R 上单调递增在(0)-∞，上单调递减，在(0+)∞，上单调递增在R 上单调递增在[0+)∞，上单调递增在(0)-∞，和(0+)∞，上单调递减公共点(11)，4、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标.5、二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--.（1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，212121212||||()4||M M x x x x x x a ∆=-=+-=.6、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p qx +=：（1）若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(()2bm f M f q a =-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a=-=；（4）若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==.【解题方法总结】1、幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下：①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出；②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出；③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=<3、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩12x m x <<()0f m <12x x m<<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内没有实根∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩2()0b naf n∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f mf n≤⎧⎨≤⎩在区间(,)m n内有且只有一个实根()0()0f mf n>⎧⎨<⎩()0()0f mf n<⎧⎨>⎩在区间(,)m n内有两个不等实根2()0()0bm naf mf n∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.必考题型全归纳题型一：幂函数的定义及其图像【例1】（2024·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数()22()22m f x m m x-=--⋅是幂函数，且在()0+∞，上递减，则实数m =（）A ．1-B ．1-或3C ．3D ．2【答案】A【解析】因为()22()22m f x m m x -=--⋅是幂函数，所以2221m m --=，解得3m =或1m =-，又因为()f x 在()0+∞，上单调递减，则1m =-.故选：A【对点训练1】（2024·海南·统考模拟预测）已知()()25mf x m m x =+-为幂函数，则（）．A ．()f x 在(),0∞-上单调递增B ．()f x 在(),0∞-上单调递减C ．()f x 在()0,∞+上单调递增D ．()f x 在()0,∞+上单调递减【答案】B【解析】因为()()25mf x m m x =+-是幂函数，所以251m m +-=，解得2m =或3m =-，所以()2f x x =或()3f x x -=，对于()2f x x =，函数在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减；对于()3f x x -=，函数在()0,∞+上单调递减，且为奇函数，故在(),0∞-上单调递减；故只有B 选项“()f x 在(),0∞-上单调递减”符合这两个函数的性质．故选：B【对点训练2】（2024·河北·高三学业考试）已知幂函数()y f x =的图象过点(8,，则()9f 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】B【解析】设幂函数为()a f x x =，图象过点(8,，故()88af ==12a =，()12f x x =，()93f =.故选：B【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（）A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】当1a =-时，1y x -=定义域和值域均为()(),00,∞-+∞U ，符合题意；0a =时，0y x =定义域为()(),00,∞-+∞U ，值域为{}1，故不合题意；12a =时，y =[)0,∞+，值域为[)0,∞+，符合题意；1a =时，y x =定义域与值域均为R ，符合题意；2a =时，2y x =定义域为R ，值域为[)0,∞+，不符合题意；3a =时，3y x =定义域与值域均为R ，符合题意.故选：C【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）已知幂函数pq y x =（,Z p q ∈且,p q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且0pq>B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q <C ．q 为奇数，p 为偶数，且0pq >D ．q 为奇数，p 为偶数，且0pq<【答案】D【解析】因为函数p qy x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且在(0,)+∞上单调递减，所以pq<0，因为函数pq y x =的图象关于y 轴对称，所以函数pqy x =为偶函数，即p 为偶数，又p 、q 互质，所以q 为奇数，所以选项D 正确，故选：D.【解题方法总结】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用【例2】（2024·吉林长春·高三校考期中）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132m ma a +>-成立的实数a 的取值范围为___________.【答案】2(,4)3【解析】因函数()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，则2331m m -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，2()f x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称，与已知()f x 的图象关于原点对称矛盾，当2m =时，3()f x x =是奇函数，其图象关于原点对称，于是得2m =，不等式()()132m ma a +>-化为：()()22132a a +>-，即(32)(4)0a a --<，解得：243a <<，所以实数a 的取值范围为2(,4)3.故答案为：2(,4)3【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②0y x =图象是一条直线；③若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤；④若函数1y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；⑤若函数2y x =的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域一定是{}|22x x -≤≤．其中不正确命题的序号是________．【答案】②③④⑤【解析】幂函数图象不过第四象限，①正确；0y x =图象是直线1y =上去掉点(0,1)，②错误；函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{|01}y y <≤，③错误；函数1y x=的定义域是{}|2x x >，则它的值域是1|02y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，④错误；若函数2y x =的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域也可能是{}|02x x ≤≤，⑤错误，故答案为：②③④⑤．【对点训练6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知2()f x x =，1()()2xg x m =-，若对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是_________.【答案】1[,)4+∞【解析】因为对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，所以只需min min ()()f x g x ≥即可，因为2()f x x =，1()()2xg x m =-，所以()min ()00f x f ==，()min 1()24g x g m ==-，由104m ≥-，解得14m ≥故答案为：1[,)4+∞.【对点训练7】（2024·福建三明·高三校考期中）已知121111log 122aa a ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭，，，则实数a 的取值范围是___________【答案】1(0,2【解析】 已知1log 12a<，1a ∴>或102a <<①；1()12a < ，0a ∴>②；121a =< ，01a ∴<③．综合①②③，求得实数a 的取值范围为1(0,)2．故答案为：1(0,2﹒【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2(),x af x x x a=>⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]0,1【解析】由函数y =①当a<0时，若x a ≤0≤<，而20x ≥，此时函数()f x 的值域不是R ；②当0a ≥时，若x a ≤≤22x a >，若函数()f x 的值域为R ，必有2a 01a ≤≤．则实数a 的取值范围为[]0,1．故答案为：[]0,1【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）不等式()10112202221210x x x -++-≤的解集为：_________．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】不等式变形为()()101110112222110x x x x -+-++≤，所以()()()10111011222211x x x x +≤-+-，令()1011f x x x =+，则有()()221f x f x ≤-，因为函数1011,y x y x ==在R 上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，则221x x ≤-，解得x ≤故不等式的解集为⎡⎢⎣⎦．故答案为：,22⎡⎢⎣⎦.【对点训练10】（2024·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数1101 ()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()182f a f a -<-，则a 的取值范围是__________.【答案】(3,4)【解析】由幂函数1110101()f x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且是递减函数，因为()()182f a f a -<-，可得18210820a a a a ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得34a <<，即实数a 的取值范围为(3,4).故答案为：(3,4).【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=奇函数，且在()0,∞+上为严格减函数，则α=__________.【答案】-1【解析】因为幂函数()f x x α=在()0,∞+上为严格减函数，所以0α<，所以12,1,2α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，又因为幂函数()f x x α=奇函数，且12,1,2α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，所以1α=-，故答案为：-1【解题方法总结】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.题型三：二次方程()200ax bx c a ++=≠的实根分布及条件【例3】（2024·全国·高三专题练习）关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（）A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4【答案】A【解析】 关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根，()()222141440∴∆=--⨯⨯-=-+⎡⎤⎣⎦m m m m ，解得：1m ，关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，2(1)m αβ∴+=--，2m m αβ⋅=-，()()()22222221212αβαβαβ∴+=+-⋅=----=⎡⎤⎣⎦m m m ，即2340m m --=，解得：1m =-或4(m =舍去).故选：A.【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）设a 为实数，若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）.A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B ．(1,0)-C ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,0(1,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】令2()2g x x ax a =-+，由方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解可得244011(1)0(1)0a a a g g ⎧∆=->⎪-<<⎪⎨->⎪⎪>⎩，即011131a a a a <⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩或111131a a a a >⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩，解得103a -<<，故选：C【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）方程2(2)50x m x m +-+-=的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m 的取值范围是（）A ．(5,4)--B ．13,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(5,2)--【答案】C【解析】令2()(2)5f x x m x m =+-+-，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，另一根在区间（3，4）内，只需(2)0(3)0(4)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即42(2)5093(2)50164(2)50m m m m m m +-+->⎧⎪+-+-<⎨⎪+-+->⎩，解不等式组可得1343m -<<-，即m 的取值范围为13,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选：C.【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，那么a 的取值范围是（）A ．2275a -<<B ．25a >C ．27a <-D ．2011a -<<【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a <-，故2011a -<<，故选：D【解题方法总结】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【例4】（2024·上海·高三专题练习）已知()()224,,f x ax bx c a b c =++∈R .(1)若()01f =-，20a b +=，解关于x 的不等式()()13f x a x <+-；(2)若0a c +=，()f x 在[]22-,上的最大值为23，最小值为12-，求证：2b a ≤.【解析】（1）因为()01f =-，所以41c =-，又因20a b +=，所以2b a =-，所以()21f x ax ax =--，则不等式()()13f x a x <+-即为()22120ax a x -++<，即()()120ax x --<，若0a =，则不等式的解集为()2,+∞；若a<0，则不等式的解集为()12,,a ⎛⎫+∞⋃-∞ ⎪⎝⎭；若0a >，当102a <<时，则不等式的解集为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当12a =时，则不等式的解集为∅；当12a >时，则不等式的解集为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）若0a =，则0c =，()2f x bx =，当22x -≤≤时，则()()max min 243142f x b f x b ⎧==⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩无解，所以0a ≠；若0a ≠时，由0a c +=，得2()24f x ax bx a =+-，对称轴为b x a=-，假设(ba ∈-∞，2)(2-⋃，)∞+，区间[2-，2]在对称轴的左外侧或右外侧，所以()f x 在[2-，2]上是单调函数，则()f x 的最值必在2x =，2x =-处取到，()24f b =，(2)4f b -=-，()2112(2)0(326f f +-=≠+-=，所以假设错误，则2ba≤，综上，得到2ba≤.【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且(]0,2x ∈时，()21xf x =-，()22g x x x m =-+.(1)求()f x 在区间[)2,0-上的解析式；(2)若对[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.【解析】(1)设[)2,0x ∈-，则(]0,2x -∈，()()()12112xxf x f x -⎛⎫=--=--=-+ ⎪⎝⎭，即当[)2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(2)当(]0,2x ∈时，()(]210,3xf x =-∈；当[)2,0x ∈-时，()[)113,02xf x ⎛⎫=-+∈- ⎪⎝⎭；又因为()00f =，所以，函数()f x 在[]22-,上的值域为[]3,3-，()22g x x x m =-+ 在[)2,1-上单调递减，在(]1,2上单调递增，当[]2,2x ∈-时，()()min 11g x g m ==-，()()(){}()max max 2,228g x g g g m =-=-=+，因为[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，则1383m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得52m --≤≤.【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）由已知可得()f x 的定义域为R ，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是单调递增函数．（2）()()()()223333x xx x f x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-．当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min 424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去．综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()2(0)f x x ax a =->．(1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【解析】（1）当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ，所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃．（2）(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥，若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥，所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知值域为[1,)-+∞的二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=--，且方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=．(1)求()f x 的表达式；(2)函数()()g x f x kx =-在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，求实数k 的取值范围．【解析】（1）由(1)(1)f x f x -+=--，可得()f x 的图象关于直线=1x -对称，函数()f x 的值域为[1,)-+∞，所以二次函数的顶点坐标为(1,1)--，所以设22()(1)121f x a x ax ax a =+-=++-，根据根与系数的关系，可得122x x +=-，121a x x a-=，因为方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=则122x x -===，解得：1a =，所以()22f x x x =+.（2）由于函数()g x 在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，则函数()g x 在区间[2,2]-上单调递增，又2())2(g x f x kx x x kx =-=+-，即()2(2)g x x k x =+-，所以()g x 的对称轴方程为22k x -=，则222k -≤-，即2k ≤-，故k 的取值范围为(],2-∞-.【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()2ln 1()xf x e ax a R =++∈为偶函数.（1）求a 的值；（2）设函数()()f x xx g x eme +=+，是否存在实数m ，使得函数()g x 在区间[]1,2上的最小值为214e -若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意知函数()f x 的定义域为R ，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=对任意的x R ∈恒成立，即22ln(1)ln(1)x x e ax e ax -+-=++对任意的x R ∈恒成立，即22ln()()12ln 1()x x e a x e ax +-+=++对任意的x R ∈恒成立，即()220a x +=对任意的x R ∈恒成立，所以220a +=，解得1a =-.（2）由（1）知()()2ln 1,xf x e x +-=所以()[]21,1,2x xg e m e x x =+⋅+∈，令2,,x t e t e e ⎡⎤=∈⎣⎦，则()221,,h t t mt t e e =++∈⎡⎤⎣⎦，其对称轴为2mt =-，①当22m e -≥，即22m e ≤-时，()h t 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()242min 1h t h e e me ==++，由422114e me e ++=-，解得24m e =--，此时不满足22m e ≤-，此时不存在符合题意的m 值；②当22m e e <-<，即222e m e -<<-时，()h t 在,2m e ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，在2,2m e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min124m m h t h ⎛⎫⎪⎝=-⎭=-+，由221144m e -+=-，解得4m e =-或4m e =，又222e m e -<<-，所以4m e =-；③当2me -≤，即2m e ≥-时，()h t 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以()()2min 1h t h e e me ==++，由22114e me e ++=-，解得5m e =-，不满足2m e ≥-，此时不存在符合题意的m 值.综上所述，存在4m e =-，使得函数()g x 在区间[]1,2上的最小值为214e -.【解题方法总结】“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.题型五：二次函数最大值的最小值问题【例5】（2024·湖南衡阳·高一统考期末）二次函数()f x 为偶函数，()11f =，且()232f x x x +≤恒成立．(1)求()f x 的解析式；(2)R a ∈，记函数()()21h x f x ax =-+在[]0,1上的最大值为()T a ，求()T a 的最小值．【解析】（1）依题设()2f x ax c =+，由()11f =，得1a c +=，()232f x x x +≤，得()23210a x x a -++-≥恒成立，∴30Δ44(1)(3)0a a a ->⎧⎨=---≤⎩，得()220a -≤，所以2a =，又1a c +=，所以1c =-，∴()221f x x =-；（2）由题意可得：()222h x x ax =-，[]0,1x ∈，若0a ≤，则()222h x x ax =-，则()h x 在[0,1]上单调递增，所以()()122T a h a ==-；若0a >，当12a≥，即2a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，()()122T a h a ==-当12a <，只须比较222a a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()122h a =-的大小，由()22202a a -->，得：21a <<，此时()22a T a =，02a <≤时，2222a a -≤，此时()22T a a =-，综上，()222,222222,2a a aT a a a a -≥⎧⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-<⎩，2a ≥时，()2T a ≥，22a <<时，()62T a -<<，2a ≤时，()6T a -，综上可知：()T a 的最小值为6-【对点训练20】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()1,f x x ax b a b x=+--∈R ，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，求(),M a b 的最小值．【解析】令()1g x x ax b x =+--，分别取12x =，1，2，可得()151,222g a b M a b ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，()()12,g a b M a b =--≤，()()522,2g a b M a b =--≤．由()()13231222g g g ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，利用绝对值三角不等式可得()()()()()311231223126,222g g g g g g M a b ⎛⎫⎛⎫=-+≤++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()1,4M a b ≥当0a =，94b =时，()19144g x x x +-≥-=，当且仅当1x =时取等号，而()111,2244g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭=，得()194f x x x =+-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，说明等号能成立．故(),M a b 的最小值为14．【对点训练21】（2024·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中）已知函数()(2)||(R)f x x x a a =-+∈，(1)当1a =-时，①求函数()f x 单调递增区间；②求函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域；(2)当[3,3]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的最小值．【解析】（1）当1a =-时，函数()(2)|1|f x x x =--，当1x >时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+，此时，函数()f x 在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，当1x ≤时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+-，此时，函数()f x 在(],1-∞上单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；因为函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，所以函数()f x 在区间[]4,1-上单调递增，在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min 3()min (4),()2f x f f ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，max 7()max (1),()4f x f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为(4)(42)(14)30f -=--+=-，1()(2)()43331222f -=-=-，(1)(12)(11)0f =--=，3((2)()167771444f ==---，所以函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]30,0-；（2）由已知可得，22(2)()(2)2,()(2)()(2)2,x x a x a x a x a f x x x a x a x a x a ⎧-+=+--≥=⎨--+=-+-+<⎩，当3a -≥时，即3a ≤-时，2()(2)2f x x a x a =-+-+，对称轴为2522a x -=≥，当232a -≥时，即4a ≤-时，函数()f x 在区间[3,3]-上单调递增，所以()(3)3g a f a ==--，当52322a -≤<时，即43a -<≤-时，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以242244()()a a g a f a ++=-=，当2a -≤时，即2a ≥-时，若[3,2]x ∈-，()0f x ≤，若[2,3]x ∈，()0f x >，因为当(]2,3x ∈时，2()(2)2f x x a x a =+--，对称轴为222a x -=≤，所以函数()f x 在区间(]2,3上单调递增，所以()(3)3g a f a ==+，当23a <-<，即32a -<<-时，此时2252a -<<，当22a a -≥-，即22a -≤<时，函数()f x 在区间[)3,a --上单调递增，在区间2,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间2,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以{}{}()max (3),()max 3,03g a f f a a a =-=+=+，当22a a -<-，即32a -<<-时，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间(],3a -上单调递增，所以244()max (3),()max ,4232a a a g a f a f ⎧⎫++⎧⎫⎭-+=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩若24434a a a +++≥，即2a -≤<-时，()3g a a =+，若24434a a a +++<，即3a -≤<-244()4a a g a ++=，综上所述，23,44(),443,4a a a a g a a a a ⎧+≥-⎪++⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎪⎩，函数()3g a a =--在区间(],4-∞-上单调递减，函数244()4a a g a ++=在区间(4,--上单调递减，函数()3g a a =+在区间)⎡-+∞⎣上单调递增，所以min 33()(g a g -=-=-=【对点训练22】（2024·浙江·高一校联考阶段练习）已知函数()1f x x x a =--+．(1)当2a =时，解方程()0f x =；(2)当[]0,5a ∈时，记函数()y f x =在[]1,4x ∈上的最大值为()g a ，求()g a 的最小值．【解析】（1）当2a =时，令210x x --+=．当2x ≥时，()210x x --+=，解得：1x =当2x <时，()210x x --+=，解得：1x =故方程的解为：11；（2）()221,1,x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩，其中()()01f f a ==，因为21,y x ax x a =-++≥对称轴为2a x =，开口向下；21,y x ax x a =-+<对称轴为2a x =，开口向上，于是最大值在()()()1,4,f f f a 中取得．当01a ≤≤，即1022a ≤≤时，()f x 在[]1,4上单调递减．()max ()1f x f a ∴==；当12a <≤，即1122a <≤时，()f x 在[]1,a 上单调递增，在[],4a 上单调递减，()max ()1f x f a ∴==；当24a <≤，即122a <≤时，()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[],4a 上单调递减，()(){}{}max ()max 1,max 2,11f x f f a a ∴==-=；当45a <≤，即5222a <≤时，()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,42a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()(){}{}max ()max 1,4max 2,174174f x f f a a a∴==--=-(),011,14174,45a a g a a a a ≤≤⎧⎪∴=<≤⎨⎪-<≤⎩()min ()53g a g ∴==-。
第二节对数与对数函数复习目标学法指导1.对数与对数运算(1)对数的概念.(2)常用对数与自然对数.(3)对数的运算性质.(4)对数的换底公式.2.对数函数及其性质(1)对数函数的概念.(2)对数函数的图象.(3)对数函数的性质.(4)指数函数与对数函数的关系.会求一些与对数函数有关的简单的复合函数的定义域、值域、单调性.(发展要求) 1.通过对数的概念,明确对数来源于指数,利用指数的知识理解与掌握对数.2.在同底的条件下,对数只能进行加、减运算,注意应用的顺序.3.掌握对数函数的图象与性质,一定要坚持分类讨论的思想.4.应用对数函数的性质解决对数类问题要遵循定义域优先的原则.一、对数如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N.其中a叫做底数,N叫做真数底数的限制a>0,且a ≠1 对数式与指数式的互化:a x =N ⇔log a N=x负数和零没有对数1的对数是零,log a 1=0 底数的对数是1,log a a=1 对数恒等式:log a Na=Nlog a (M ·N)=log a M+log a Na>0,且a ≠1,M>0,N>0log a M N =log a M-log a N log a M n =nlog a M(n ∈R)公式:log a b=log log c cb a(a>0,且a ≠1;c>0,且c ≠1;b>0) 推广:log am b n =nm log a b(a>0且a ≠1,b>0);log a b=1log ba(a>0且a ≠1;b>0且b ≠1)1.法则理解应用法则log a M+log a N=log a (M ·N)时,注意M>0,且N>0,而不能只考虑到M ·N>0,导致增解. 2.与换底公式有关的结论 log a b ·log b c ·log c d=log a d. 二、对数函数1.对数函数的概念、图象与性质 概念 函数y=log a x(a>0,且a ≠1)叫做对数函数底数a>10<a<1图象定义域(0,+∞)值域R过定点(1,0),即x=1时,y=0性质在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数2.指数函数与对数函数的关系指数函数y=a x(a>0且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.1.概念理解(1)对数函数的定义是形式定义,其解析式的特征为①系数为1;②次数为1;③底数a>0且a≠1;④真数只能是自变量x.(2)对数函数解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标,即可确定一个对数函数.2.与对数函数图象相关的知识点(1)如图是对数函数①y=log a x;②y=log b x;③y=log c x;④y=log d x的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是0<a<b<1<c<d.(2)对数函数图象之间的位置关系:在第一象限,图象从左到右,底数由小到大;(3)对数函数图象以y 轴为渐近线,进行图象变换时,渐近线也应随之变换;(4)底数互为倒数的对数函数的图象关于x 轴对称; (5)画对数函数图象应抓住三个关键点: (1a,-1),(1,0),(a,1). 3.与对数函数性质的应用相关联的知识(1)对数类函数的问题求解时要树立定义域优先的意识; (2)比较幂、对数大小的常用方法 ①单调性法:构造函数,利用其单调性;②中间量法:通过与特殊值比较大小判定结论,常见的有a 0=1,log a 1=0,log a a=1; ③数形结合法.1.函数12log x (D )(A){x|x>0} (B){x|x ≥1} (C){x|x ≤1} (D){x|0<x ≤1} 解析:要使得函数12log x 12log 0,0,x x ≥⎧⎪⎨⎪>⎩ 所以0<x ≤1,因此可知函数的定义域为{x|0<x ≤1}.选D.2.(2019·天津卷)已知a=log 52,b=log 0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c 的大小关系为( A )(A)a<c<b (B)a<b<c(C)b<c<a (D)c<a<b解析:因为y=log5x是增函数,所以a=log52<log因为y=log0.5x是减函数,所以b=log0.50.2>log0.50.5=1.因为y=0.5x是减函数,所以0.5=0.51<c=0.50.2<0.50=1,即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A.3.函数y=log a(3x-2)(a>0,且a≠1)的图象经过定点A,则A点坐标是( C )(A)(0,23) (B)(23,0)(C)(1,0) (D)(0,1)解析:当3x-2=1,即x=1时,y=log a1=0,故定点A为(1,0).4.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即a b=N⇔b=log a N.现在已知2a=3,3b=4,则ab= .解析:因为2a=3,3b=4,所以a=log23,b=log34,所以ab=log 23·log 34=ln3ln 2×ln 4ln3=ln 4ln 2=2. 答案:25.已知定义域为R 的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,若f(1)<f(lg x),则实数x 的取值范围是 . 解析:因为f(x)是偶函数,并且在区间[0,+∞)上是增函数, 所以f(x)在区间(-∞,0]上是减函数, 所以由f(1)<f(lg x)得|lg x|>1, 所以lg x>1或lg x<-1,所以x>10或0<x<110.所以实数x 的取值范围为{x|x>10或0<x<110}. 答案:{x|x>10或0<x<110}考点一 对数的基本运算[例1] (1)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m+n ;(2)计算26666(1log 3)log 2log 18log 4-+⋅;(3)计算(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 解:(1)法一 因为log a 2=m,log a 3=n, 所以a m =2,a n =3,所以a 2m+n =(a m )2·a n =22×3=12. 法二 因为log a 2=m,log a 3=n, 所以a 2m+n =(a m )2·a n =(log 2a a)2·log 3a a=22×3=12.(2)原式=266666612log 3log 3log log (63)3log 4-++⋅⨯（） =26666612log 3log 3(1log 3)(1log 3)log 4-++-+（）=22666612log3log 31(log 3)log 4-++-（）=6621log 32log 2-（） =666log 6log 3log 2- =66log 2log 2=1. (3)原式=(lg 2lg3+lg 2lg9)·(lg3lg 4+lg3lg8) =(lg 2lg3+lg 22lg 3)·(lg 32lg 2+lg 33lg 2) =3lg 22lg 3·5lg 36lg 2=54. 在对数运算中, 要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.1.(1)计算log 22的值是 ;(2)计算lg 4+lg 50-lg 2的值是 . 解析:(1)log 2=log 2=log 2 122-=-12. (2)lg 4+lg 50-lg 2=lg(4×50÷2)=lg 100=2. 答案:(1)-12(2)2 2.(2019·杭州市期末检测)设a=log 23,b=log 38,则2a = ;ab= . 解析:由a=log 23得2a=3,ab=log 23×log 38=ln3ln2×ln8ln 3=3ln 2ln 2=3ln 2ln 2=3.答案:3 3考点二 对数函数的图象及应用[例2] (1)已知函数y=log a (x+b)(a,b 为常数,其中a>0,且a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )(A)a>1,b>1 (B)a>1,0<b<1 (C)0<a<1,b>1 (D)0<a<1,0<b<1(2)设方程10x =|lg(-x)|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) (A)x 1x 2<0 (B)x 1x 2=0 (C)x 1x 2>1 (D)0<x 1x 2<1解析:(1)函数y=log a (x+b)递减,所以0<a<1.同时log (1)0,log 0aa b b +<⎧⎨>⎩⇒11,01,b b +>⎧⎨<<⎩⇒0<b<1,故选D. (2)作出y=10x ,与y=|lg(-x)|的大致图象,如图. 显然x 1<0,x 2<0. 不妨设x 1<x 2,则x1<-1<x2<0,所以110x=lg(-x1),210x=-lg(-x2),此时110x<210x,即lg(-x1)<-lg(-x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故选D.应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)常将一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2018·绍兴市柯桥区二模)若log a2<log b2<0,则( B )(A)0<a<b<1 (B)0<b<a<1(C)a>b>1 (D)b>a>1解析:log a2<log b2<0,所以a,b都小于1,log a2<log b2⇒lg2lg a <lg2lg b⇒lg a>lgb⇒a>b,综上0<b<a<1.故选B.2.(2019·温州适应性测试)已知实数a>0,b>0,a≠1,且满足lna 则下列判断正确的是( C )(A)a>b (B)a<b(C)log a b>1 (D)log a b<1解析:由a aa得aa=0,设f(x)=ln x-x +1x(x>0), 则f ′(x)=1x-12x-12x x =2(1)2x x x--,则函数f(x)=ln x-x +1x在(0,+∞)上单调递减,且f(1)=0,所以当0<x<1时,ln x-x +1x>0,即ln x>x -1x;当x>1时,ln x-x +1x<0,即ln x<x -1x,在平面直角坐标系内画出函数y=ln x 与y=x -1x的图象如图所示,由图易得若ln b=1a a-=a-1a,则0<b<a<1或1<a<b,A,B 错误;当a>1时,1<a<b,函数y=log a x 为增函数,则log a b>log a a=1,当0<a<1时,0<b<a<1,函数y=log a x 为减函数,则log a b>log a a=1,C 正确,D 错误,故选C.考点三 对数函数的性质及应用 [例3] 已知函数f(x)=12log (x 2-2ax+3).(1)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数?若存在,求出a 的范围;若不存在,说明理由.解:(1)由f(-1)=-3,得12log (4+2a)=-3.所以4+2a=8,所以a=2. 这时f(x)= 12log (x 2-4x+3),由x 2-4x+3>0, 得x>3或x<1,故函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞). 令g(x)=x 2-4x+3,则g(x)在(-∞,1)上单调递减, 在(3,+∞)上单调递增.又y=12log x 在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1), 单调递减区间是(3,+∞).(2)不存在满足题意的实数a,理由:令h(x)=x 2-2ax+3,要使f(x)在(-∞,2)上为增函数,应使h(x)在(-∞,2)上单调递减,且恒大于0.因此2,(2)0,a h ≥⎧⎨>⎩即2,740,a a ≥⎧⎨->⎩a 无解.所以不存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数.(1)利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的. (2)利用对数性质比较大小的解题策略①能化为同底数的对数值可直接利用其单调性进行判断.②既不同底数,又不同真数的对数值,先引入中间量(如-1,0,1等),再利用对数函数的性质进行比较.③底数不同,真数相同的对数值,可利用函数图象或比较其倒数大小来进行.1.(2018·江苏卷)函数2log 1x -的定义域为 .解析:由20,log 10x x >⎧⎨-≥⎩解得x ≥2,所以函数2log 1x -{x|x ≥2}.答案:{x|x ≥2} 2.函数f(x)=log 2x·log 2(4x)的最小值为 ,此时x 的值是 . 解析:f(x)=log x log 2(4x)=12log 2x ·(2+log 2x),可令log 2x=t,t ∈R,则y=12t ·(2+t)=12t 2+t, 当t=-1时,函数取到最小值为-12, 此时x=12. 答案:-1212考点四 易错辨析[例4] (2018·天津卷)已知a=log 2e,b=ln 2,c=121log 3,则a,b,c 的大小关系为( )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)c>b>a (D)c>a>b 解析:c=121log 3=log 23>log 2e=a>1,即c>a. 又b=ln 2=21log e<1<log 2e=a,即a>b. 所以c>a>b.故选D.(1)由于a 与c 既不同“底”又不同“真”,所以无法直接比较大小,造成思维受阻;(2)在利用对数函数的单调性比较大小时因函数的单调性判断错误而致误.1.已知a=2log 3.45,b=4log 3.65,c=3log 0.315（）,则( C )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>a>b解析:c=3log 0.315（）=3log 0.35=310log 35.法一 在同一坐标系中分别作出函数y=log 2x,y=log 3x,y=log 4x 的大致图象,如图所示.由图象知,log 23.4>log 3103>log 43.6. 由于y=5x 为增函数. 所以2log 3.45>310log 35>4log 3.65.即2log 3.45>3log 0.315（）>4log 3.65,故a>c>b.故选C.法二 因为103<3.4, 所以log 3103<log 33.4<log 23.4. 因为log 43.6<log 44=1,log 3103>log 33=1, 所以log 43.6<log 3103. 所以log 23.4>log 3103>log 43.6. 由于y=5x为增函数.所以2log 3.45>310log 35>4log 3.65.即2log 3.45>3log 0.315（）>4log 3.65,故a>c>b.故选C.2.(2018·全国Ⅲ卷)设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( B ) (A)a+b<ab<0 (B)ab<a+b<0 (C)a+b<0<ab (D)ab<0<a+b 解析:因为a=log 0.20.3>log 0.21=0, b=log 20.3<log 21=0,所以ab<0.因为a b ab +=1a +1b =log 0.30.2+log 0.32=log 0.30.4,1=log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31=0,所以0<a b ab +<1,所以ab<a+b<0.故选B.类型一 对数的基本运算 1.已知x,y 为正实数,则( D ) (A)2lg x+lg y =2lg x +2lg y (B)2lg(x+y)=2lg x ·2lg y (C)2lg x ·lg y =2lg x +2lg y (D)2lg(xy)=2lg x ·2lg y 解析:2lg x+lg y =2lg x ·2lg y ,选项A 错; 2lg x ·2lg y =2lg x+lg y =2lg(xy),选项B 错; 令x=10,y=10,则2lg x ·lg y =2, 2lg x +2lg y =4,选项C 错.故选D. 2.已知函数f(x)=123e 1,2,1log ,2,3x x x x -⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩则f(x)的零点为( A )(A)1,2 (B)1,-2(C)2,-2 (D)1,2,-2解析:当x<2时,令f(x)=e x-1-1=0, 即e x-1=1,解得x=1满足x<2; 当x ≥2时,令f(x)=log 3213x -=0, 则213x -=1,即x 2=4,得x=-2(舍)或x=2. 因此,函数y=f(x)的零点为1,2,故选A.3.已知函数f(x)= 311log (3),2,3,2,x x x x -+-<⎧⎪⎨≥⎪⎩则f(-6)+f(log 312)= ,满足f(x)>3的x 的取值范围是 . 解析:f(-6)=1+log 39=3, 因为log 312>log 39=2, 所以f(log 312)=4; 则f(-6)+f(log 312)=7;当x<2时,1+log 3(3-x)>3,解得x<-6, 当x ≥2时,3x-1>3,解得x>2,所以f(x)>3的x 的取值范围为(-∞,-6)∪(2,+∞). 答案:7 (-∞,-6)∪(2,+∞) 类型二 对数函数的图象及应用4.函数y=2log 4(1-x)的图象大致是( C )解析:函数y=2log 4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B; 函数y=2log 4(1-x)在定义域上单调递减,排除D.故选C.5.(2019·嘉兴市、丽水市、衢州市高三模拟测试)函数y=ln(x+21x +)·cos 2x的图象可能是( D )解析:设f(x)=y=ln(x+21x +)·cos 2x,则易得函数的定义域为R,且f(-x)=ln[-x+2()1x -+]·cos2(-x)=ln[21()1x x +-+]·cos2x=-ln(x+21x +)·cos 2x=-f(x),所以函数f(x)=ln(x+21x +)·cos2x 为奇函数,则函数图象关于原点中心对称,排除A,B;f ′(x)=22111x x x x ++++·cos2x-2ln(x+21x +)·sin 2x=211x +·cos 2x-2ln(x+21x +)·sin 2x,f ′(0)=1,即函数f(x)=ln(x+21x +)·cos2x 在原点处的切线的斜率为1,不为0,排除C,故选D.6.若不等式(x-1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立,则实数a 的取值范围是 . 解析:设f 1(x)=(x-1)2,f 2(x)=log a x,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,只需f 1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f 2(x)=log a x 图象的下方.当0<a<1时,显然不成立; 当a>1时,如图所示,要使x ∈(1,2)时,f 1(x)=(x-1)2的图象在f 2(x)=log a x 的图象下方,只需f 1(2)≤f 2(2),即(2-1)2≤log a 2,即log a 2≥1.所以1<a ≤2,即实数a 的取值范围是(1,2]. 答案:(1,2]7.已知x 1,x 2,x 3分别为方程2x =12log x, 1()2x=log 2x, 1()2x=12log x 的根,则x 1,x 2,x 3的大小关系是 (从小到大排列).解析:作出y=2x ,y=12log x,y=1()2x,y=log 2x 的大致图象,由图象知x 1<x 3<x 2.答案:x 1<x 3<x 2类型三 对数函数的性质及应用8.(2019·浙江省教育绿色评估联盟)已知a=121()3-,b=32,c=121log3,则( C )(A)a>b>c (B)c>a>b (C)a>c>b (D)c>b>a 解析:因为a=121()3-=3,b=32,c=121log 3=log 23,则a>b,又322=8<3,则log 2322=32<log 23,即b<c;构造函数f(x)=log 2x-x,则f ′(x)=1ln 2x 2x2ln 2x -因此函数f(x)在区间(0,4(e 2log )2)上单调递增,在区间 (4(e 2log )2,+∞)上单调递减,由f(4)=0,知f(3)<0,即 a>c,故选C.9.函数f(x)=12log (x 2-4x)的单调递减区间是 ;单调递增区间是 .解析:由x 2-4x>0,解得x>4或x<0,即函数定义域为(-∞,0)∪(4,+∞),根据复合函数的单调性知f(x)= 12log (x 2-4x)的单调递减区间是(4,+∞),单调递增区间是(-∞,0). 答案:(4,+∞) (-∞,0) 10.关于函数f(x)=lg 21xx+ (x ≠0),有下列结论: ①其图象关于y 轴对称;②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是lg 2;④f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数. 其中所有正确结论的序号是 . 解析:因为函数f(-x)=lg 2()1x x -+-=lg 21x x+=f(x),所以函数为偶函数,即图象关于y 轴对称,故①正确.因函数y=x+1x 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=|x|+1x在(-∞,-1)和(0,1)上单调递减,在(-1,0)和(1,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数,在区间(-∞,-1)和(0,1)上是减函数,故②错,④正确.因为21x x +=|x|+1x≥所以f(x)≥lg 2,即最小值为lg 2,故③正确. 答案:①③④11.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f(13)=0,则不等式f(18log x)>0的解集为 .解析:因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)=f(|x|),所以f 18log x)>0⇔f(|18log x|)>f(13). 因为f(x)在[0,+∞)上为增函数, 所以|18log x|>13, 即18log x<-13或18log x>13. 因为18log x=-log 8x=-13log 2x, 所以不等式可转化为log 2x>1或log 2x<-1, 所以x>2或0<x<12. 答案:(0,12)∪(2,+∞) 类型四 易错易误辨析12.若log a 43<2,则a 的取值范围是( D )(C)(0,1)∪) (D)(0,1)∪∞)解析:log a 43<2等价于log a 43<log a a 2, 201,43a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩或21,4,3a a >⎧⎪⎨<⎪⎩ 解得0<a<1或, 故选D.13.已知函数f(x)=|ln(x-1)|,满足f(a)>f(4-a),则实数a 的取值范围是( A ) (A)(1,2) (B)(2,3) (C)(1,3) (D)(2,4)解析:函数f(x)=|ln(x-1)|的定义域为(1,+∞),由f(a)>f(4-a)可得|ln(a-1)|>|ln(4-a-1)|=|ln(3-a)|,两边平方得[ln(a-1)]2>[ln(3-a)]2⇔[ln(a-1)-ln(3-a)][ln(a-1)+ln(3-a)]>0,则ln(1)ln(3)0,ln(1)ln(3)0,10,30,a aa aaa--->⎧⎪-+->⎪⎨->⎪⎪->⎩①或ln(1)ln(3)0,ln(1)ln(3)0,10,30,a aa aaa---<⎧⎪-+-<⎪⎨->⎪⎪->⎩②解①得a无解,解②得1<a<2,所以实数a的取值范围是(1,2), 故选A.。
2021年高考数学一轮复习专题2.9幂函数指数函数与对数函数讲【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 如果3x＝4，则x ＝________．【解析】 由指数式与对数式的互化规则，得x ＝log 34. 2．[教材改编] 2log 510＋log 50.25＝________．【解析】 2log 510＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 3．[教材改编] 函数y ＝log 2(x 2－1)的单调递增区间是________．【解析】 由x 2－1>0得x <－1或x >1.又函数y ＝log 2x 在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(1，＋∞)． 题组二 常错题4．函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的单调递减区间为________．【解析】 由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＞1或x＜12，易知u ＝2x 2－3x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >1或x <12在(1，＋∞)上是增函数，所以原函数的单调递减区间为(1，＋∞)．5．设a ＝14，b ＝log 985，c ＝log 83，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝14＝log 949＝log 93<log 83＝c ，a ＝log 93>log 985＝b ，所以c >a >b .题组三 常考题6． lg 52＋2lg 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－1＝________． 【解析】 原式＝lg 5－lg 2＋2lg 2＋5＝lg 5＋lg 2＋5＝1＋5＝6.7．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是________________．8． 设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1x 2＋2，若f (x )>f (2x －1)，则x 的取值范围为________． 【解析】 由f (x )＝ln(1＋|x |)－12＋x2可知f(x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1)，即f (|x |)>f (|2x －1|)，即|x |>|2x －1|，解得13<x <1.【知识清单】1 幂函数的概念、图象与性质 常用幂函数的图象与性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝ y ＝x －1图象定义域RRR[0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减2指数函数的概念、图象与性质y＝a x a>10<a<1 图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【考点深度剖析】1.与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．2.关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．3.从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质．【重点难点突破】考点1 幂函数的概念、图象与性质【1-1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？【答案】【1-2】若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)的图象不经过原点，则实数m 的值为________． 【答案】 1或2【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合.【1-3】设424999244(),(),()999a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】【解析】∵函数是增函数，∴，又∵函数是减函数，∴，∴. 【思想方法】1.判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）幂系数为1.2..幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 【温馨提醒】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键. 考点2 指数函数的概念、图象与性质【2-1】若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 【答案】 3【2-2】设f (x )＝|3x－1|，c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )，由在关系式①3c>3b ；②3b >3a ；③3c＋3a>2；④3c＋3a<2中一定成立的是.【答案】④【解析】作f(x)＝|3x－1|的图象如图所示，由图可知，要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，需有c<0且a>0，所以3c<1<3a，所以f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.又f(c)>f(a)，所以1－3c>3a－1，即3a＋3c<2，故填④.【思想方法】指数函数的底数中若含有参数，一般需分类讨论．指数函数与其他函数构成的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．【温馨提醒】一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解．考点3 对数函数的概念、图象与性质【3-1】已知f(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)，若当x∈(－1，0)时，f(x)<0，则f(x)在定义域上单调性是.【答案】增函数【解析】由于，即时，所以，因而在上是增函数．【3-2】已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性．【答案】（1）时，定义域为，时，定义域为；（2）时，增函数，时，减函数．【解析】(1)由a x－1>0得a x>1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，故0<ax1－1<ax2－1，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)．∴f(x1)<f(x2)．故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．【3-3】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)；（2）存在，．【基础知识】a>10<a<1图像定义域 (0，＋∞)值域 R 定点 过点(1,0)单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值正负当x >1时，y >0； 当0<x <1，y <0当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0【思想方法】利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决． 【温馨提醒】解决对数型函数、对数型不等式问题,一定要注意定义域优先原则.【易错试题常警惕】由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到． 如：若，则的取值范围是 ．【分析】由的图象关于轴对称知，函数在上是减函数，在上是增函数．因为，所以32010321a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩或32010321a a a a -<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩或 ()32010321a a a a ⎧->⎪+<⎨⎪->-+⎩或()32010321a a a a ⎧-<⎪+>⎨⎪-->+⎩，解得或或或，所以的取值范围是()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．【易错点】本题容易只考虑到，在同一单调区间的情况，不全面而致误． 【练一练】已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)，经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围。
对数及对数函数一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M .二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一 对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝ . （2）若3a=5b=225，则1a +1b = 。
（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。
【答案】（1）1 （2）12 （3）40【解析】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝lg 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg1 0004＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1) ＝lg 22·(3－2lg 2)＋(lg 22－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1.（2）∵3a =5b =225∴a =log 3225, b =log 5225则1a +1b =log 2253+log 2255=log 22515=12（3）∵log a 2=m ，log a 5=n ，∴a m =2，a n =5 ∴a 3m+n =a 3m ⋅a n =23⋅5=40【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为 ． 【答案】 a －2【解析】 log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝ .【答案】 1【解析】 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得x log 63＝y log 64＝2， ∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62，故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1.3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝ .【答案】 10【解析】 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.4．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .【答案】 1【解析】 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．【答案】1【解析】 令a x ＝b y ＝c z＝k .由已知k >0且k ≠1，于是x lg a ＝y lg b ＝z lg c ＝lg k ，故1x ＝lg a lg k ，1y ＝lg b lg k ，1z ＝lg c lg k .因为1x ＋1y ＋1z ＝0，所以lg a ＋lg b ＋lg c lg k ＝0，即lg (abc )lg k ＝0.故lg(abc )＝0，得abc ＝1.6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．【答案】±55. 【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ·log b C ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1log Ca ＋1log Cb ＝3，1log Ca ·log Cb ＝1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ·log C b ＝1，(log C a －log C b )2＝(log C a ＋log C b )2－4log C a ·log C b ＝32－4＝5，故log C a －log C b ＝± 5.于是log a bC ＝⎝⎛⎭⎪⎫log C a b －1＝1log C a －log C b ＝±55.7.方程33x －56＝3x －1的实数解为 ．【答案】 x ＝log 32【解析】 原方程可化为2(3x )2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x ＝log 32.考向二 对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(18)等于( ) A ．3 B ．−3 C ．−log 36 D ．−log 38 【答案】B【解析】因为函数f(x) 为对数函数，所以函数f(x)系数为1，即a 2+a −5=1，即a =2或−3，因为对数函数底数大于0，所以a =2，f(x)=log 2x ，所以f (18)=−3。
专题09指数函数对数函数以及幂函数一、指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域值域(1)R(2)(0，＋∞)(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；x <0时，性质0<y <1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数二、对数函数的图象与性质a >10<a <1(5)当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1(7)在(－∞，＋∞)上是减函数图象(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R性质(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0(6)在(0，＋∞)上是增函数三、常用的指对数变换公式：(5)当x >1时，y <0当0<x <1时，y >0(7)在(0，＋∞)上是减函数⎛m ⎫（1）a = a n ⎪；⎝⎭m n（2）logaM+logaN=logaMN；logaM-logaN=loga（3）logaN=n logaN(a>0,a≠1,N>0)；nM；N（4）换底公式：logab=logcb；logca进而有两个推论：logab=四、方法与技巧1、指对比较大小n1（令c=b）；logmN n=logaN；a mlogba（1）知识反思：需要熟悉指数与对数函数的单调性。
（2）解题反思：问题为比较两个数值得的大小，常规方法为作差法；而问确从函数思想出发，构造了两个指数函数，利用单调性从而比出数值的大小，而在（3）问中，问题层层推进，进而变式，引入中间量的方法，解决不同底数幂的大小比较问题，体现了数学思维的灵活性。
（3）推而广之：比较两个数值的大小，在后续的对数函数、幂函数及三角函数学习中也有类似的问题出现，其解决问题的基本思想为函数思想，即运用对应函数的函数性质进行大小比较；2、解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.例1、(2019常州期末）函数y＝1－ln x的定义域为________．【答案】(0，e]【解析】由题得1－ln x≥0，ln x≤1，得0<x≤e，故函数的定义域为(0，e]．易错警示①注意定义域是集合；②ln x≤1，从而得x≤e，但要注意x>0.变式1、(2019镇江期末）函数f(x)＝lg（3－x）的定义域为________．【答案】(－∞，2]⎧⎧⎪3－x>0，⎪x<3，⎨【解析】由得⎨即x≤2，故函数的定义域为(－∞，2]．⎪lg（3－x）≥0，⎩⎪3－x≥1，⎩变式2、(2018南京、盐城、连云港二模）函数f(x)＝lg(2－x)的定义域为________．【答案】(－∞，2)【解析】由题意得2－x>0，即x<2，所以函数f(x)＝lg(2－x)的定义域为(－∞，2)．例2、(2018苏州期末）已知4a＝2，logax＝2a，则正实数x的值为________．1【答案】211⎛1⎫11【解析】：由4＝2，得2＝2，所以2a＝1，即a＝2.由log2x＝1，得x＝⎝2⎭＝2.a2a1变式、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1=3logax，y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上，则实数a的值为．【答案】2【解析】设A(t,3logat)（t>0），因为正方形ABCD的边长为2，所以B(t,2logat)，C(t2,2logat)，⎧t=2⎧t2-t=2⎧t2-t-2=0则⎨，即⎨，解之得⎨，即所求的实数a的值为2．⎩3logat-2logat=2⎩logat=2⎩a=2例3、2.已知x=lnπ，y=log52，z=e【答案】y<z<x【解析】∵x=lnπ>ln e=1，0<log52<log55=12-12，则1⎛1⎫,即y∈ 0,⎪；2⎝2⎭1=e>e-=1111⎫>=,即z∈⎛ ,1⎪，∴y<z<x.2e4⎝2⎭变式1、已知定义在R 上的函数f (x -1)的图像关于x =1对称，且当x >0时，f (x )单调递减，若a =f (log 0.53),b =f (0.5-1.3),c =f (0.76),则a ,b ,c 的大小关系是【答案】c >a >b【解析】∵定义在R 上的函数f (x -1)的图像关于x =1对称，∴函数f (x )为偶函数，∵log 0.53<log 0.51=0，∴f (log 0.53)=f (log 23)，∴1=log 22<log 23<log 24=2．∵当x >0时，f (x )单调递减，∴c >a >b ，a －e x ，x<1，⎧⎪例4、(2018苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝⎨(e 是自然对数的底)．若函数y ＝f(x)的最小4⎪⎩x ＋x ，x≥1值是4，则实数a 的取值范围为________．【答案】[e ＋4，＋∞)f(x)min ＝f(2)＝4.所以当x<1时，a －e x ≥4恒成立．【解析】解法1在x≥1时，转化为a≥e x ＋4对x<1恒成立．因为e x ＋4在(－∞，1)上的值域为(4，e ＋4)，所以a≥e ＋4.44解法2当x<1时，f(x)＝a －e x >a －e ，当x≥1时，f(x)＝x ＋≥4，当且仅当x ＝，即x ＝2时，取“＝”，x x 故函数f(x)的值域是[e ＋4，＋∞) .解后反思解法1中，因为e x ＋4在x<1上没有最大值，所以要特别注意边界值e ＋4能否取到．2x 1x ＋1变式1、(2017镇江期末）已知函数y ＝x 与函数y ＝的图像共有k (k ∈N *)个公共点：A 1(x 1，y 1)，x 2＋1A 2(x 2，y 2)，…，A k (x k ，y k )，则∑(x i ＋y i )＝________.【答案】22x ＋12x ＋12【解析】思路分析函数y ＝2x ＋1可变形为y ＝2－2x ＋1，则函数y ＝2x ＋1在R 上单调递增，也可变形为y 2x －12x ＋1x ＋1＝2x ＋1＋1，则函数y ＝2x ＋1图像关于点(0,1)对称；函数y ＝x 图像也关于点(0,1)对称，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数．2x 1x ＋1如图，函数y ＝x 与函数y ＝的图像都关于点(0,1)成中心对称，所以它们的交点也关于点(0,1)成x 2＋1中心对称，且只有两个交点，所以∑i ＝0，∑i ＝2，则∑(x i ＋y i )＝2.＋＋变式2、(2017镇江期末）不等式logax－ln2x＜4(a＞0且a≠1)对任意x∈(1,100)恒成立，则实数a的取值范围为________．1【答案】(0,1)∪(e，＋∞)4【解析】：思路分析不等式恒成立问题常用方法是参变量分离，为了实现参变量分离，本题需要把logax化ln x成ln a.不等式logax－ln2x＜4可化为ln x14－ln2x＜4，即＜＋ln x对任意x∈(1,100)恒成立．因为x∈(1,100)，ln a ln a ln x4111所以ln x∈(0,2ln10)，＋ln x≥4，故＜4，解得ln a＜0或ln a＞，即0＜a＜1或a＞e.ln x ln a4411、(2017南京、盐城二模）函数f(x)＝ln的定义域为________．1－x【答案】(－∞，1)1【解析】由1－x＞0，得1－x＞0，即x＜1.易错警示定义域应该写成集合(或区间)形式，区间是某些集合的缩写．2、(2017苏锡常镇调研）函数f(x)＝3⎫【答案】⎛⎝4，1⎭∪(1，＋∞)⎧4x－3＞0，⎪3⎛3⎫⎨【解析】：由题意可得⎪解得x＞4且x≠1，故所求函数的定义域为⎝4，1⎭∪(1，＋∞)．⎩ln4x－3≠0，1的定义域为________．ln(4x-3)3、(2019南京、盐城一模）已知y＝f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝e x＋1，则f(－ln2)的值为________．【答案】－3【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－ln2)＝－f(ln2)＝－(e ln2＋1)＝－(2＋1)＝－3.1⎫x4、(2017南京学情调研）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝⎛⎝2⎭.若存在1⎤x∈⎡⎣2，1⎦，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，则实数a的取值范围是________．52⎤【答案】⎡22，2⎦⎣【解析】思路分析由于所给出的是一个函数方程，因此，根据函数的奇偶性，可以得到另外一个函数方程，从而可求出f (x )，g (x )的解析式，通过将等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0中的a 分离出来，转化为求分离之后的函数的值域问题．1⎫x 因为f (x )＋g (x )＝⎛所以f (－x )＋g (－x )＝2x .又因为f (x )，g (x )分别为奇函数、偶函数，所以－f (x )＋g (x )⎝2⎭，2x －2x 2x ＋2xx ＝2，由此解得f (x )＝，g (x )＝，从而等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0等价于a (2－x 0－2x 0)＋(22x 0＋2－221⎤22x 0＋2－2x 0t 2＋2223⎤2⎡⎡2x 0)＝0.因为x 0∈⎣2，1⎦，所以t ＝2x 0－2－x 0∈＝＝t ＋在⎡，2⎤上单，，故a ＝－t t ⎣22－x 0－2x 0⎣22⎦⎦3252⎤⎡22，52⎤.2，⎤上单调递增，故t ＋∈⎡22，调递减，在⎡，即a ∈2⎦⎣t ⎣2⎦2⎦⎣解后反思已知方程有解求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式进行变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后利用数形结合法进行求解．本题所采用的是分离参数法．5、.在平面直角坐标系xOy 中，（2019年江苏卷）点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.【答案】(e, 1).【解析】设点A (x 0,y 0)，则y=ln x 0.又y '=当x =x 0时，y '=－－1，x1，x1(x -x 0)，x点A 在曲线y =ln x 上的切线为y -y 0=即y -ln x 0=x-1，x-e -1，x代入点(-e ,-1)，得-1-ln x 0=即x 0ln x 0=e ，考查函数H (x)=x ln x，当x∈(0,1)时，H(x)<0，当x∈(1,+∞)时，H(x)>0，且H'(x)=ln x+1，当x>1时，H'(x)>0,H(x)单调递增，注意到H (e)=e，故xln x=e存在唯一的实数根x=e，此时y=1，故点A的坐标为A (e,1).。
新高考数学复习知识点讲解与练习幂函数、指数函数、对数函数知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为1.类似地指数函数、对数函数也分别满足三个条件.2.(1)幂函数图象的分布规律：作一直线x＝t>1，与幂函数交点在上面的幂函数的指数大；(2)指数函数图象的分布规律：作一直线x＝t>0，与指数函数交点在上面的指数函数的底数大；(3)对数函数图象的分布规律：作一直线y＝k>0，与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)幂函数y＝x0与常值函数y＝1图象相同.()(2)函数y＝2x 13是幂函数.()(3)y＝2x－1是指数函数，y＝log a(x2＋1)(a>0，且a≠1)是对数函数.()(4)函数y＝ln x＋1x－1与y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域相同.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析 (1)错误，y ＝1的图象去掉点(0，1)才是y ＝x 0的图象； (2)错误，因为x 13的系数不是1； (3)错误，y ＝2x －1＝12·2x ，2x 前面的系数不为1，y ＝log a (x 2＋1)(a >0且a ≠1)，真数为x 2＋1而不是单自变量x . (4)错误，y ＝lnx ＋1x －1的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 而y ＝ln(x ＋1)－ln(x －1)的定义域为(1，＋∞)， 故函数的定义域不同.2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是()答案D解析 当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减， 于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减.因此，选项D 中的两个图象符合.当a >1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增. 显然A ，B ，C ，D 四个选项都不符合. 故选D.3.(一题多解)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是() A.a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C.0<a <1，c >1 D.0<a <1，0<c <1 答案D解析 法一 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1.法二 由图可知，y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c (c ＞0)个单位而得到的，其中0＜c ＜1，再根据单调性易知0＜a ＜1.4.已知幂函数f (x )＝x α(α是实数)的图象经过点(2，2)，则f (4)的值为________. 答案2解析 幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，2)， 所以f (2)＝2α＝2，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，则f (4)＝4＝2.5.若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________.答案1或2解析 由⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合.6.当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x －3－2必过定点________，其值域为________. 答案(3，－1)(－2，＋∞)解析 函数f (x )＝a x －3－2的图象是将函数y ＝a x 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的.故函数f (x )＝a x －3－2必过定点(3，－1)，其值域为(－2，＋∞).考点一 幂函数 【1】 (1)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，【2】＋∞)上递减，则α＝________.(2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0， ＋∞)上是减函数，则n 的值为() A.－3 B.1 C.2 D.1或2 答案(1)－1(2)B解析 (1)由f (x )为奇函数，所以α＝－1，1，3，又在(0，＋∞)上为递减可知α＝－1. (2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n 在(0，＋∞)上是减函数， ∴⎩⎨⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x－2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.感悟升华(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练1】 (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝()A.12B.1C.32 D.2(2)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则() A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b(3)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C.(－1，2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2答案(1)C(2)A(3)D解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.(2)因为a ＝243＝423，b ＝323，c ＝523，又y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，所以c >a >b . (3)因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎨⎧2m＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤－5－12或m ≥5－12，－1＜m ＜2，即5－12≤m <2.考点二 指数函数【例2】已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.感悟升华(1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.(2)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；③当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练2】 (1)(2021·杭州二中检测)已知0<a <b <1，则() A.(1－a )1b >(1－a )b B.(1－a )b >(1－a )b 2 C.(1＋a )a >(1＋b )b D.(1－a )a >(1－b )b(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是________.(3)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 答案(1)D(2)(－∞，27](3)[－1，1]解析 (1)因为0<a <b <1，所以0<1－b <1－a <1，则(1－a )a >(1－a )b >(1－b )b ，故选D. (2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27； 当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27].(3)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].考点三 对数函数【例3】已知函数f (x )＝log a (ax 2－x ). (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[2，4]上是增函数，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝log 12⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－x ，由12x 2－x >0，得x 2－2x >0，解得x <0或x >2， 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)， 结合图象可得函数的单调递减区间为(2，＋∞)， 单调递增区间为(－∞，0). (2)令g (x )＝ax 2－x ，则函数g (x )的图象为开口向上、对称轴为x ＝12a 的抛物线， ①当0<a <1时，要使函数f (x )在区间[2，4]上是增函数， 则g (x )＝ax 2－x 在[2，4]上单调递减，且g (x )min >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，g （4）＝16a －4>0，此不等式组无解. ②当a >1时，要使函数f (x )在区间[2，4]上是增函数， 则g (x )＝ax 2－x 在[2，4]上单调递增，且g (x )min >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，g （2）＝4a －2>0，解得a >12， 又a >1，所以a >1， 综上可得a >1.实数a 的取值范围为(1，＋∞).感悟升华(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)(2019·天津卷)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b(2)(一题多解)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C.(1，2) D.(2，2)(3)(2021·浙江名校冲刺卷)已知实数x 1，x 2分别满足x 1＝e 11＋x 1，(x 2＋e)ln x 2＝e ，则x 1x 2＝________. 答案(1)A(2)B(3)e解析(1)因为y ＝log 5x 是增函数，所以a ＝log 52<log 55＝0.5.因为y ＝log 0.5x 是减函数，所以b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1.因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1.所以a <c <b .故选A.(2)法一 由题意得，当0<a <1时，要使得4x<log a x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方.如图所示，又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1. 当a >1时，不符合题意，舍去. 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.法二∵当0＜x ≤12时，1＜4x ≤2，要使4x ＜log a x ， 必须2＜log a x ，∴⎩⎨⎧0＜a ＜1，log a a 2＜log a x ，即⎩⎨⎧0＜a ＜1，a 2＞x 对0＜x ≤12恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 2＞12，解得22＜a ＜1. (3)由x 1＝e 11＋x 1>0，两边同时取对数得ln x 1＝1x 1＋1，又由(x 2＋e)ln x 2＝e ，得ln x 2＝ee ＋x 2＝1－x 2e ＋x 2，即1－ln x 2＝x 2e ＋x 2，故ln e x 2＝1e x 2＋1.因为函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，而y ＝1x ＋1在(0，＋∞)上单调递减，故ln x ＝1x ＋1只有唯一实根，因此，x 1＝ex 2，所以x 1x 2＝e.基础巩固题组一、选择题1.(2020·上海嘉定区调研)“函数f (x )(x ∈R )存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案B解析函数f(x)(x∈R)存在反函数，至少还有可能函数f(x)在R上为减函数，充分性不成立；根据反函数的定义可知必要性显然成立，“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的必要不充分条件，故选B.2.已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有()A.log a x＞log b yB.sin a x＞sin b yC.ay＞bxD.a x＞b y答案D解析当x＞y＞0，a＞b＞1时，由指数函数的性质易得a x＞a y＞b y，故选D.3.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则()A.ln(a－b)>0B.3a<3bC.a3－b3>0D.|a|>|b|答案C解析法一由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0<a－b<1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确.故选C.法二当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)<0，3a>3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C. 4.(2021·诸暨期末)若a－2>a2(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝log a(x－1)的图象大致是()答案 C解析 因为a －2>a 2(a >0且a ≠1)，所以0<a <1，则函数f (x )＝log a (x －1)的图象可以看作是由函数y ＝log a x 的图象向右平移一个单位长度得到的，观察各选项，只有C 选项符合，故选C.5.若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为() A.14 B.22 C.24 D.12 答案C解析 因为0＜a ＜1，所以f (x )在[a ，2a ]上是减函数.所以f (x )max ＝f (a )＝log a a ＝1，f (x )min ＝f (2a )＝log a (2a )＝1＋log a 2，由题意知1＝3(1＋log a 2)，即log a 2＝－23， 所以a ＝24.6.(2020·温州适考)定义在R 上的函数y ＝f (x )满足|f (x )|≤2|x －1|，且y ＝f (x ＋1)为奇函数，则y ＝f (x )的图象可能是()答案D解析因为y＝f(x＋1)为奇函数，所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，排除A，B；又因为|f(1.5)|≤2|1.5－1|＝20.5＝2，所以排除C，故选D.7.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案C解析因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以当x>0时，f(x)>0，从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20.8<2，又4<5.1<8，则2<log25.1<3，所以0<20.8<log25.1<3，g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，所以b<a<c，故选C.8.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是()A.y＝ln(1－x)B.y＝ln(2－x)C.y＝ln(1＋x)D.y＝ln(2＋x)答案B解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).故选B.法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.9.下列命题正确的是()A.若ln a－ln b＝a－3b，则a>b>0B.若ln a－ln b＝a－3b，则0<a<bC.若ln a－ln b＝3b－a，则a>b>0D.若ln a－ln b＝3b－a，则0<a<b答案C解析若ln a－ln b＝3b－a，则a>0，b>0，所以ln a＋a＝ln b＋3b>ln b＋b，设f(x)＝ln x ＋x，则易得函数f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>b>0，C正确.二、填空题10.函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是________.答案1解析令2x＝t，t>0，则4x－2x＋1＋11＝t2－2t＋11＝(t－1)2＋10≥10.所以lg(4x－2x＋1＋11)≥1，即所求函数的最小值为1.11.方程2x＝2－x的解的个数是________.答案1解析 方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.12.函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________. 答案(3，＋∞)解析 由于a >0，且a ≠1， ∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则y ＝log a u 必为增函数， ∴a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， ∴a －3>0，∴a >3.13.设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.答案(－1，0)解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg1＋x1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.14.(2021·浙江三校三联)函数f (x )＝log 2(3－2x －x 2)，则f (x )的单调递增区间为________，值域为________.答案(－3，－1)(－∞，2]解析 令3－2x －x 2＞0得－3＜x ＜1，所以函数f (x )＝log 2(3－2x －x 2)的定义域为(－3，1).因为函数f (u )＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，函数u (x )＝3－2x －x 2在(－3，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以函数f (x )＝log 2(3－2x －x 2)的单调递增区间为(－3，－1).由x ∈(－3，1)得u (x )∈(0，4]，所以f (u )＝log 2u ∈(－∞，2]，故f (x )的值域为(－∞，2].能力提升题组15.(2020·全国Ⅰ卷)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则() A.a >2b B.a <2b C.a >b 2 D.a <b 2 答案B解析 由指数和对数的运算性质可得 2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b .令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 2(2b )，∴2a ＋log 2a <22b ＋log 2(2b )，即f (a )<f (2b )，∴a <2b .故选B.16.函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x >2.若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则2a ＋2b＋2c 的取值范围是()A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7) 答案B解析 画出函数f (x )的图象如图所示.不妨设a <b <c ，则a <0，b >0.由f (a )＝f (b )，得1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2. 又f (a )＝f (b )＝f (c )，结合图象，得0<5－c <1，则4<c <5. ∴16<2c <32.故18<2a ＋2b ＋2c <34.17.(2021·嵊州适考)已知函数f (x )＝|ln x |＋x ，若f (x 1)＝f (x 2)，其中x 1≠x 2，则() A.x 1＋x 2<2 B.x 1＋x 2>2 C.1x 1＋1x 2<2 D.1x 1＋1x 2>2 答案D解析 根据题意不妨设0<x 1<1<x 2，则由f (x 1)＝f (x 2)，得－ln x 1＋x 1＝ln x 2＋x 2，即ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)＝x 1－x 2<0，所以0<x 1x 2<1.因为x 1＋x 2>2x 1x 2，所以1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>2x 1x 2>2，故选D.18.已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－2a )>1， 解之得1<a <83.若0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故a 不存在. 综上可知实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.19.(2018·上海卷)已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65、Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15，若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________. 答案6解析 由题意知2p 2p ＋ap ＋2q2q ＋aq＝1，∴2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ，∴a ＝6.20.若f (x )＝a （2x ＋1）－22x ＋1是R 上的奇函数，则实数a 的值为________，f (x )的值域为________. 答案1(－1，1)解析 ∵函数f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∴2a －22＝0，解得a ＝1，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1.∵2x ＋1>1，∴0<22x ＋1<2，∴－1<1－22x ＋1<1，∴f (x )的值域为(－1，1).。
