线代小组应用题作业

一21. 设 α1, α2, α3 线性无关，证明β112，β2α2α3 ， β3 α3 α1也线性无关。

1 1 1 022.计算行列式11 0 1 。

1 0 1 10 1 1 123. 1 1 0 1 2利用逆矩阵解矩阵方程0 1 1 X -1 1 。

1 0 1 1 -124.1 a 1 2已知A 0 1 a 2 ，求 a 的值，使得 r ( A)2。

1 0 1 225. 求向量组 α11111 ， α2 1 ， α3 2 ， α4 0 的秩和一个极大线性无关组，并111把其余向量用此极大线性无关组线性表示。

26. 求矩阵 A =21的特征值与特征向量。

1 2x 1 4 x 2 3x 3 027.讨论当 取何值时， 齐次线性方程组2 x 1 3x 2 x3 0 有非零解， 并在有非零解时求其x 1x 2 2 x 3通解。

参考答案 ： 21. 如果k1 1k 22k 33O ，k 1 ( 12)k 2(23)k 3(31) O ，于是(k 1 k 3 ) 1 (k 1k 2 ) 2 (k 2 k 3 ) 3 O ，由 1 , 2 ,k 1k 3 0, 3线性无关知k 1 k 2 0,k 2k 30,此方程组只有零解 k 1 0, k 2 0, k 30 ，因此 1, 2,3 线性无关。

1 1 1 01 1 1 01 10 1 1 1 0 11 10 10 0 1 122. = =101=10 1=-01 131011 0 1 0 10 11 10 1111 110 3 00 31 1 0 11 -1 1123.0 1 1 1 1 -1 故1 0 12 -11 11 1 0 12 1-1 1 1 23 01X0 1 1 -1 1 1 11-1-11 1 -1 41 0 11 -12-1 111 -12 -1 -21 a 1 20 a0 0 1 0 1 224.A01 a2 0 1 a 2 0 1 a 2 1 01 2 1 01 20 a 0 0当 a=0 时， r (A) 2。

案例一已知不同商店三种水果的价格、不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：第一个矩阵为A ，第二个矩阵为B ，而第三个矩阵为C 。

（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？ （2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？ 解：（1）设该矩阵为D ，则D=BA ，即： 此结果说明，人员A 在商店A 购买水果的费用为2.30，人员A 在商店B 购买水果的费用为3.50，人员B 在商店A 购买水果的费用为1.65，人员B 在商店B 购买水果的费用为2.10。

（2）设该矩阵为E ，则E=CB ，即：此结果说明，城镇1苹果的购买量为7000，城镇1橘子的购买量为12500，城镇1梨的购买量为5500；城镇2苹果的购买量为14000，城镇2橘子的购买量为25000，城镇2梨的购买量为11000。

题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。

其实很显然在没有矩阵的知识前，我们也可以解出这一简单的问题。

此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1和城镇2）；城镇1中有人员A （1000人）和人员B （500人），城镇2中有人员A （2021 人）和人员B （1000人）；人员A 需苹果、橘子和梨分别5、10和3，而人员B 需苹果、橘子和梨分别4、5和5；现不妨假设每个城镇中都有两个商店（商店A 和商店B ），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。

商店A 中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤0.10、0.15和0.10，而商店B 中苹果、橘子和梨的价格分别为0.15、0.20、0.10。

现问: （1）每个商店每个人购买水果的费用是多少？（2）每个城镇每种水果的购买量是多少？ 解：（1）商店A ：人员A 购买水果的费用为： 人员B 购买水果的费用为：商店B:人员A 购买水果的费用为： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10.020.015.010.015.010.0BA 商店商店梨橘子苹果⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10.205.365.130.210.020.015.010.015.010.05351045D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11000550025000125001400070005351045100020005001000E 30.210.0315.01010.05=⨯+⨯+⨯65.110.0515.0510.04=⨯+⨯+⨯05.310.0320.01015.05=⨯+⨯+⨯梨橘子苹果5103455⎡⎤⎢⎥⎣⎦BA人员人员BA 人员人员⎥⎦⎤⎢⎣⎡10005002000100021城镇城镇人员B 购买水果的费用为： 此时如果用矩阵表示的话，有：显然答案与用矩阵算出来的是一致的；同理对于（2）也是一样的。

线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题壹齐次线性方程组的基本公式与结论(1) 克莱姆法则若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有其中|A i|是|A|中第i列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,b n所构成的行列式.(2) 齐次线性方程组解的存在性● 若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A 的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.(3) 求解方法之高斯消元法将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.(4) 基础解系和解的结构基础解系：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的解，若①x1,x2,…,x n-r 线性无关；②任一方程组Ax=0的解均由x1,x2,…,x n-r线性表出，则称x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系.通解：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系，则k1x1+k2x2+…+k n-r x n-r是方程组Ax=0的通解，其中k1，k2，…，k n-r为任意常数.贰非齐次线性方程组的基本公式与结论非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。

(1) 解的性质● 导出组解的线性组合仍为导出组的解● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解(2) 通解的结构● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：若r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)，则有唯一解若r(A)≠r(A|b)，则无解若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个(3) 求解方法求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.叁常见题型(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题解题方法：概念与性质必须娴熟。

线性代数应用题总结分类及经典例题本文旨在总结线性代数中的应用题，并提供一些经典例题。

以下是对应的分类和例题：1. 线性方程组例题1：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + y - z = 5 \\x - 3y + 2z = -4 \\3x + 4y - z = 6 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。

例题2：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + 3y - z = 4 \\x - 2y + 3z = -1 \\3x + 4y - 2z = 7 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。

2. 矩阵与向量例题1：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

例题2：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\2 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

3. 线性变换例题1：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2 \\3 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。

例题2：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\-2 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}3 \\4 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。

线性代数应用题集锦郑波重庆文理学院数学与统计学院2011年10月目录案例一. 交通网络流量分析问题 (1)案例二. 配方问题 (4)案例三. 投入产出问题 (6)案例四. 平板的稳态温度分布问题 (8)案例五. CT图像的代数重建问题 (10)案例六. 平衡结构的梁受力计算 (12)案例七. 化学方程式配平问题 (15)案例八. 互付工资问题 (17)案例九. 平衡价格问题 (19)案例十. 电路设计问题 (21)案例十一. 平面图形的几何变换 (23)案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (25)案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (26)案例十四. 显示器色彩制式转换问题 (28)案例十五. 人员流动问题 (30)案例十六. 金融公司支付基金的流动 (32)案例十七. 选举问题 (34)案例十八. 简单的种群增长问题 (35)案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 (37)案例二十. 最值问题 (39)附录数学实验报告模板 (40)这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了.案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。

根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。

图1 某地交通实况图2 某城市单行线示意图【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计?(3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2 ①400 + x 1 = x 4 + 300 ②x 2 + x 3 = 100 + 200 ③x 4 = x 3 + 300 ④【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭−−−−→初等行变换10011000101600001130000000--⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭由此可得142434100600300x x x x x x -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩即142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩.为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可.当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = -100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改为“③→④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩可得213141500200100x x x x x x =-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩, 123242500300600x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩, 132343200300300x x x x x x =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码:16-17.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的. 500多余(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.图5 日常膳食搭配 图6 几种常见的作料 【模型准备】一种佐料由四种原料A 、B 、C 、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】 根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x 袋第一种规格的佐料与y 袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A 、B 、C 、D 四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x y x y x y x y +=⎧⎪+=⎨+=⎪+=⎩【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A , b ) =214327113125⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭−−−−→初等行变换101012000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 可见{1,2.x y == 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 1, 1)T , β = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性方程组Ax = b 是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组 214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎩ (*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief 提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief 因此获得了1973年的Nobel 经济学奖.图7 三个经济部门这里暂时只讨论一个简单的情形. 【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x 元, y 元, z 元刚好满足需求. 则有下表 表 3 消耗与产出情况产出(1元) 产出 消耗 订单 煤 电 运消耗 煤 0 0.6 0.5 x 0.6y + 0.5z60000 电 0.3 0.1 0.1 y 0.3x + 0.1y + 0.1z100000 运 0.2 0.1 0 z 0.2x + 0.1y根据需求, 应该有 (0.60.5)60000(0.30.10.1)100000(0.20.1)0x y z y x y z z x y -+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩,即0.60.5600000.30.90.11000000.20.10x y z x y z x y z --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0];>> x = A\bMatlab执行后得x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966⨯105元的煤, 电厂要生产1.8415⨯105元的电恰好满足需求.【模型分析】令x =xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭, A =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭, b =60000100000⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 其中x称为总产值列向量, A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭=0.60.50.30.10.10.20.1y zx y zx y+⎛⎫⎪++⎪+⎝⎭根据需求, 应该有x-Ax = b, 即(E-A)x = b. 故x = (E-A)-1b.Matlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T 1, T 2, T 3, T 4.图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143144231(90100)41(8060)41(8060)41(5050)4T T T T T T T T T T T T ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎪⎩ 【模型求解】将上述线性方程组整理得T 1 T 2 T 3T 4 100 8090 80 60 50 60501231241342344190414041404100T T T T T T T T T T T T --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪--+=⎪⎩. 在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T 1 = 82.9167, T 2 = 70.8333, T 3 = 70.8333, T 4 = 60.4167.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 15-16.Matlab 实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择T l = 40, T u = 10, T r = 0, T d = 45.图10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组.(3) 用Matlab 中的函数mesh 绘制三维平板温度分布图.案例五. CT 图像的代数重建问题X 射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT 则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT 图像 这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像.一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以3⨯3图像为例来说明. 3⨯3图像 各点的灰度值 水平方向上 的叠加值x 1 = 1 x 2 = 0 x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 1x 4 = 0 x 5 = 0.5 x 6 = 0.5 x 4 + x 5 + x 6 = 1x 7 = 0.5 x 8 = 0 x 9 = 1 x 7 + x 8 + x 9 = 1.5竖直方向上的叠加值x 1 + x 4 + x 7 = 1.5 x 2 + x 5 + x 8 = 0.5 x 3 + x 6 + x 9 = 1.5 i 表示灰色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)123456369111x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎩ 显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程x 1 = 1,x 2 + x 4 = 0,x 3 + x 5 + x 7 = 1,x 6 + x 8 = 0.5,x 9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组.【模型准备】设3⨯3图像中第一行3个点的灰度值依次为x 1, x 2, x 3, 第二行3个点的灰度值依次为x 4, x 5, x 6, 第三行3个点的灰度值依次为x 7, x 8, x 9. 沿竖直方向的叠加值依次为1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为1, 0, 1, 0.5, 1. 确定x 1, x 2, …, x 9的值.【模型建立】由已知条件可得(含有11个方程, 9个未知数的)线性方程组1234569111x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1;1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0;0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1];>> b = [1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol = 4.2305e-015.ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.5, x 6 = 0.5, x 7 = 0.5, x 8 = 0, x 9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的.这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.Matlab 实验题给定一个3⨯3图像的2个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2, 1.6,1.2, 0.6.(1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用Matlab 求解.(2) 将网格数据乘以256, 再取整, 用Matlab 绘制该灰度图像.案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情.图13埃菲尔铁塔全景 图14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况.【模型准备】在图15所示的双杆系统中, 已知杆1重G 1 = 200牛顿, 长L 1 = 2米, 与水平方向的夹角为θ1 = π/6, 杆2重G 2 = 100牛顿, 长L 2 = 2米, 与水平方向的夹角为θ2 = π/4. 三个铰接点A , B , C 所在平面垂直于水平面. 求杆1, 杆2在铰接点处所受到的力.图15双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零, 故N 1 = N 3,竖直方向受到的合力为零, 故N 2 + N 4 = G 1,以点A 为支点的合力矩为零, 故(L 1sin θ1)N 3 + (L 1cos θ1)N 4 = (12L 1cos θ1)G 1.图16 两杆受力情况对于杆2类似地有 A C 杆1 杆2 C N 1 N 2N 3N 5N 6 G 1G 2 A B杆1杆2 π/6 π/4N 5 = N 7, N 6 = N 8 + G 2, (L 2sin θ2)N 7 = (L 2cos θ2)N 8 + (12L 2cos θ2)G 2. 此外还有N 3 = N 7, N 4 = N 8. 于是将上述8个等式联立起来得到关于N 1, N 2, …, N 8的线性方程组:132414800N N N N G N N -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4;>> A = [1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0;0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2);0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1];>> b = [0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图16中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 157-158.Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有13条梁(图中标号的线段)和8个铰接点(图中标号的圈)联结在一起. 其中1号铰接点完全固定, 8号铰接点竖直方向固定, 并在2号, 5号和6号铰接点上, 分别有图示的10吨, 15吨和20吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况.图17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.图18 污水处理 【模型准备】某厂废水中含KCN, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:KCN + 2KOH + Cl 2 = KOCN + 2KCl + H 2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:KOCN + KOH + Cl 2 === CO 2 + N 2 + KCl + H 2O.(注: 题目摘自福建省厦门外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷)【模型建立】设x 1KOCN ＋ x 2KOH ＋ x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋ x 5N 2 ＋ x 6KCl ＋ x 7H 2O,则1261247141527362222x x x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即1261247141527360*********x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T .取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T . 可见配平后的化学方程式如下2KOCN + 4KOH + 3Cl 2 === 2CO 2 + N 2 + 6KCl + 2H 2O.【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = θ中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s, 未知数的个数就是化学方程式中的项数n.当r(A) = n-1时, Ax = θ的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A) ≤n-2时, Ax = θ的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 84-85.Matlab实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO4 + H2SO4——K2SO4 + MnSO4 + Fe2(SO4)3 + H2O + S↓(2) Al2(SO4)3 + Na2CO3 + H2O ——Al(OH)3↓+ CO2↑+ Na2SO4案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工, 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准.图19 农忙互助 图20 装修互助 【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子),(2) 每人的日工资一般的市价在60~80元之间,(3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等. 在谁家工人 木工 电工 油漆工 木工家2 1 6 电工家4 5 1 油漆工家4 43 求每人的日工资. 【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班.【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为x , y , z 元, 则由下表 在谁家 工人木工 电工 油漆工 各家应付工资 木工家2x 1y 6z 2x + y + 6z 电工家4x 5y 1z 4x + 5y + z 油漆工家4x 4y 3z 4x + 4y + 3z 各人应得收入10x 10y 10z可得 2610451044310x y z x x y z y x y z z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得ans =31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (31/36, 8/9, 1)T . 因而根据“每人的日工资一般的市价在60~80元之间”可知60 ≤3631k <98k < k ≤ 80, 即 312160≤ k ≤ 80. 也就是说, 木工, 电工, 油漆工的日工资分别为3631k 元, 98k 元, k 元, 其中312160≤ k ≤ 80. 为了简便起见, 可取k = 72, 于是木工, 电工, 油漆工的日工资分别为62元, 64元, 72元.【模型分析】事实上各人都不必付自己工资, 这时各家应付工资和各人应得收入如下由此可得6845447y z x x z y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩可见这样得到的方程组与前面得到的方程组是一样的.Matlab 实验题甲, 乙, 丙三个农民组成互助组, 每人工作6天(包括为自己家干活的天数), 刚好完成他们三人家的农活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 1.5, 2, 2.5. 根据三人干活的种类, 速度和时间, 他们确定三人不必相互支付工资刚好公平. 随后三人又合作到邻村帮忙干了2天(各人干活的种类和强度不变), 共获得工资500元.问他们应该怎样分配这500元工资才合理?案例九. 平衡价格问题为了协调多个相互依存的行业的平衡发展, 有关部门需要根据每个行业的产出在各个行业中的分配情况确定每个行业产品的指导价格, 使得每个行业的投入与产出都大致相等.图21 三个行业 【模型准备】假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示: 表7 行业产出分配表产出分配 购买者 煤炭 电力 钢铁0 0.4 0.6 煤炭0.6 0.1 0.2 电力0.4 0.5 0.2 钢铁每一列中的元素表示占该行业总产出的比例. 求使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格.【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x 1, x 2, x 3表示, 则123212331230.40.60.60.10.20.40.50.2x x x x x x x x x x x =+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 即1231231230.40.600.60.90.200.40.50.80x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩.【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8];>> x = null(A,’r ’); format short, x ’Matlab 执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (0.9394, 0.8485, 1)T .这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别0.9394亿元, 0.8485亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.Matlab实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 49-50.案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.图22 USB 扩展板 【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用11v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭记录输入电压和输入电流(电压v 以伏特为单位, 电流i 以安培为单位), 用22v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭记录输出电压和输入电流. 若22v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭= A 11v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则称矩阵A 为转移矩阵.图23 具有输入和输出终端的电子电路图 图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R 1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R 2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭和2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭串联电路 并联电路图24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. v 1 v 2 i 1i 2 R 1 v 3i 2 i 3 R 2 输入终端v 1 输出终端v 2i 1i 2 电路【模型假设】假设导线的电阻为零.【模型建立】设A 1和A 2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x 先变换成A 1x , 再变换到A 2(A 1x ). 其中A 2A 1 =2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭=121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭就是图22中梯形网络的转移矩阵.于是, 原问题转化为求R 1, R 2的值使得121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【模型求解】由121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭可得121281/0.51/5R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据其中的前两个方程可得R 1 = 8, R 2 = 2. 把R 1 = 8, R 2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R 1 = 8, R 2 = 2即为所求.【模型分析】若要求的转移矩阵改为180.54-⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 则上面的梯形网络无法实现. 因为这时对应的方程组是121281/0.51/4R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据前两个方程依然得到R 1 = 8, R 2 = 2,但把R 1 = 8, R 2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 129-130.练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i 1, i 2, i 3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:图25 简单的回路E 12案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.图26 计算机图形学的广泛应用图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现.【模型假设】设平移变换为(x, y) → (x+a, y+b)旋转变换(绕原点逆时针旋转θ角度)为(x, y) → (x cosθ-y sinθ, x sinθ + y cosθ)放缩变换(沿x轴方向放大s倍, 沿y轴方向放大t倍)为(x, y) → (sx, ty)【模型求解】R2中的每个点(x, y)可以对应于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方1单位的平面上. 我们称(x, y, 1)是(x, y)的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x, y) → (x+a, y+b)可以用齐次坐标写成(x, y, 1) → (x+a, y+b, 1).于是可以用矩阵乘积1001001ab⎛⎫⎪⎪⎝⎭1xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭=1x ay b+⎛⎫⎪+⎪⎝⎭实现.旋转变换(x, y) → (x cosθ-y sinθ, x sinθ + y cosθ) 可以用齐次坐标写成(x, y, 1) → (x cosθ-y sinθ, x sinθ + y cosθ, 1).于是可以用矩阵乘积cos sin0sin cos0001θθθθ-⎛⎫⎪⎪⎝⎭1xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭=cos sinsin cos1x yx yθθθθ-⎛⎫⎪+⎪⎝⎭实现.放缩变换(x, y) → (sx, ty) 可以用齐次坐标写成(x, y, 1) → (sx, ty, 1).于是可以用矩阵乘积0000001s t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1sx ty ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭实现. 【模型分析】由上述求解可以看出, R 2中的任何线性变换都可以用分块矩阵1⎛⎫ ⎪⎝⎭A O O 乘以齐次坐标实现, 其中A 是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 139-141.Matlab 实验题在Matlab 命令窗口输入以下命令>>clear all , clc,>>t = [1,3,5,11,13,15]*pi/8;>>x = sin(t); y=cos(t);>>fill(x,y,'r');>>grid on ;>>axis([-2.4, 2.4, -2, 2])运行后得图25.图26 Matlab 绘制的图形(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标; (2) 编写Matlab 程序, 先将上面图形放大0.9倍; 再逆时针旋转3π; 最后进行横坐标加0.8, 纵坐标减1的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形.。

线性代数应用题库(含答案)本题库旨在帮助学生巩固和应用线性代数的知识，并提供详细的解答。

题库包括以下几个主题：行列式1. 求解以下行列式的值：$$\begin{vmatrix}3 & 1 \\-2 & 4\end{vmatrix}$$- 答案：142. 计算以下行列式的值：$$\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 \\3 & -1 & 2 \\4 & 3 & -1\end{vmatrix}$$- 答案：-24矩阵运算1. 给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4\end{bmatrix}$ 和向量 $x = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$，求 $Ax$ 的结果。

- 答案：$Ax = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$2. 给定矩阵 $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1\end{bmatrix}$ 和矩阵 $C = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$，求 $BC$ 的结果。

- 答案：$BC = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 6 & -3 \end{bmatrix}$ 特征值与特征向量1. 给定矩阵 $D = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$，求其特征值和对应的特征向量。

- 答案：特征值为 5 和 2，对应特征向量为 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$2. 已知矩阵 $E = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4\end{bmatrix}$ 的特征值为 2 和 5，分别求其对应的特征向量。

◇交通流量问题◇问题：图中给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时车数） 假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量2344576121578910910836300 x +x =500x x =200 x +x =800 x +x =800 x +x =1000 x =400 x x =200 x =6001000x x x x x x −+=⎧⎪⎪⎪−⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪−⎪⎪⎪⎪++=⎩2. 2. 计算结果由非齐次线性方程组求解方法可得：一个特解*(800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600)'x =相应齐次方程组的基础解系为：12(1,01,0,1,0,1,0,0,0,0,0)',(0,0,0,0,0,1,1,1,0,0)',ζζ=−−=−−于是方程组的通解为1122*x k k x ζζ=++其中 为任意常数，12,k k x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量。

它有无穷多解。

◇生产总值问题　◇问题：一个城市有三个重要的企业：一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。

开采一元钱的煤，煤矿必须支付0.25元的运输费。

而生产一元钱的电力，发电厂需需支付0.65元的煤作燃料，自己亦需支付0.05元的电费来驱动辅助设备及支付0.05元的运输费。

而提供一元钱的运输费，铁路需支付0.55元的煤作燃料，0.10元的电费驱动它的辅助设备。

某个星期内，煤矿从外面接到50，000元煤的定货，发电厂从外面接到25，000元钱电力的定货，外界对地方铁路没有要求。

问这三个企业在那一个星期内总生产总值多少时才能精确地满足它们本身地要求和外界的要求？解：对于一个星期的周期， 表示煤矿的总产值， 表示电厂的总产值， 表示铁路的总产值。

根据题意：写成矩阵形式，得记：则上式写为：X CX −=d 即 ()I C X −=d因为系数行列式0.628750I C −=≠，根据克拉默法则，此方程组有唯一解，其解为()-1X I C =−d所以得煤矿总产值为102，087元，发电厂总产值为56，163元，铁路总产值为28，330元。

第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(3)222111c b a cb a ;解222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).4. 计算下列各行列式:(1)7110025*******214; 解 7110251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-;解 2605232112131412-260503212213041224--=====cc 041203212213041224--=====rr000003212213041214=--=====r r .(3)efcf bf decd bd ae ac ab ---;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b ec b e c b ad f ---=a b c d e fa d fbc e 4111111111=---=.(4)dc b a 100110011001---.解dc b a100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++=====d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cdc ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 6. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213ab a b a a b a ab ac c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y zy x b a )(33+=.8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n行展开))1()1(10 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=an-a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n 第二章 矩阵及其运算 1. 计算下列乘积: (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.3.已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.5. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y . 7.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.8. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵. 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x . 19.设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 20. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.21. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.22. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010********* 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.5. (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X . 9. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量. 12.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r .(1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3. P106/第四章 向量组的线性相关性 1.已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------531400251552000751610421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示. 4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.5. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.9.设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.证明 由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3=b 1-b 2+b 3-a 4=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211.解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. 13. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5. 20.求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .。

小组成员：包辛宝 吴锦浩 陶金磊 沈浩杰 林思远 汤翔帆 李子璇 顾馨艳 孙丹琼 刘焕--—----电信132班一 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应。

这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据。

在定性地检测出反应物和生成物之后，可以通过求解线性方程组配平化学方程式.图18 污水处理 【模型准备】某厂废水中含KCN, 其浓度为650mg/L 。

现用氯氧化法处理, 发生如下反应：KCN + 2KOH + Cl 2 = KOCN + 2KCl + H 2O.投入过量液氯， 可将氰酸盐进一步氧化为氮气。

请配平下列化学方程式:KOCN + KOH + Cl 2 === CO 2 + N 2 + KCl + H 2O 。

（注: 题目摘自福建省厦门外国语学校2008—2009学年高三第三次月考化学试卷)【模型建立】设x 1KOCN ＋ x 2KOH ＋ x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋ x 5N 2 ＋ x 6KCl ＋ x 7H 2O ， 则1261247141527362222x x x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩， 即1261247141527360200202020x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令〉〉 A = ［1，1,0,0，0，-1，0；1，1,0,—2,0，0，—1；1,0，0,-1,0，0，0；1，0,0,0，-2，0,0；0，1，0，0,0,0，-2;0，0，2,0，0，—1,0];〉> x = null(A,’r ’）； format rat, x ’Matlab 执行后得ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (1, 2, 3/2， 1， 1/2, 3， 1）T .取k = 2得x = (2， 4， 3, 2, 1， 6, 2)T . 可见配平后的化学方程式如下2KOCN + 4KOH + 3Cl2 ===2CO2 + N2 + 6KCl + 2H2O。

习题五1・填空题(1)当方程的个数等于未知数的个数时，Ax = b有惟一解的充分必要条件是解因为R(A) = R(A \b) = n是4x = b有惟一解的充要条件.故由R(A) = n可得\A\^0.(2)线性方程组X)+兀2 =Q|，兀2 + 兀3 = °2，可+兀4 =。

3, x4 + %)=a4有解的充分必要条件是______ .解对方程组的增广矩阵施行初等行变换所以方程组有解的充要条件是R(A) = R(B),(3)设川阶方阵力的各行元素之和均为零，且-1,则线性方程组Ax = 0的通解为_____________________解令1x =.■■丄显然x满足方程组，又因为R(A) = n-l f所以2?(/) = 1,即方程组的基础解系中有一个向量，通解为⑴1 T x = k . =£(1,1,・・・，1)T, £为任意常数.■■(4)设/为〃阶方阵，|力|=0，且伽的代数余子式4,工0 (其屮，\<k<n,丿= 1,2, •••/),则Ax = O 的通解 ______ •解 因为同=0,又九・工0,所以R(4)F — 1,并且有f0, i 壬 k;认+。

皿+・・・+绻仆仏|=0,匚=匕所以(血|,心2,…，血)丁是方程组的解，又因为R(A) = n-h 可知方程组的通解为TX = c(4】，42,…，4J ，其中c 为任意常数.(5)设Q 】A= a;■ ■其中,a 严J (i 韭j; i,j = \,2,…，n),则非齐次线性方程组A Jx = b 的解是x = _________解 x = (l,0,0,・・・，0)T.解 ci — —2 .2.单项选择题(1) _______________________________ 齐次线性方程组4x5^5xl = 〃解的情况是 •(A)无解；(B)仅有零解；(C)必有非零解； (D)可能有非零解，也可能没有非零解.答(C).(2) 设〃元齐次线性方程组的系数矩阵的秩/?(/) = 〃-3,且垃，$为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是 ______ .1a 29Cl；■ ■"a 1(6)设方程1 a1、1有无穷多个解,(A) -6, 2§, 3§3+§] - 2§2；(B) §1+§2, §2 - §3,刍+厶；答(A).(3)要使§=(l,0,2)T, ：=(0,1,—1)T都是线性方程组Ax = O的解，只要/为(A) (-2 1)；(B)1)(C)1-1) '-1 0 2、；(D)4-2-2、0 1 -L\ / <011/答(A).(4)已知屈，良是Ax = h的两个不同的解, a n a2是相应的齐次方程组Ax = 0的基础解系，k^k2为任意常数，则Ax = b的通解是______(A) kg + k2 a +~~~—(c)kg +他(屈-角)+ " 2"(B) kg + k2a -a2) + 卩'；几(D) k0\ + k2 (0] - 02)+ 卩'答(B).(5)设斤阶矩阵/的伴随矩阵A^O则对应的齐次线性方程组Ax = 0的基础解系是_______ .(A)不存在；(B)仅含一个非零解向量；(C)含有两个线性无关的解向量；(D)含有三个线性无关的解向量.答(B).(6)设有齐次线性方程组Ax =〃和Bx = 0，其屮〃均为mxn矩阵，现有4个命题:①若Ax = 0的解均是Bx = 0的解，则R(A)>R(B)；②若R(A) > R(B),则Ax = 0的解均是Bx = 0的解；③若Ax = 0与Bx = 0同解，则R⑷二R(B)；④若R(A) = R(B),则Ax = 0 与 Bx = 0同解.以上命题正确的是—(A)①，②；答(B). (B)①，③;若:是非齐次线性方程组Ax = b的互不相等的解,(C)②，④; (D)③，④.(7)设/是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则线性方程组(AB)x = 0(A)当n>m时仅有零解；(C)当m > n时仅有零解；答(D). (B)当n>m时必有非零解;(D)当m > n时必有非零解.(8)设力是〃阶矩阵，a是〃维列向量. 若秩(B) A a "0>Ax = a必有惟一解;=秩(昇)，则线性方程组.(C)A a'A么、=0仅有零解；(D)& °丿& °丿J丿(A) Ax = a必有无穷多解;〃必有非零解. 答(D).3.求下列齐次线性方程组的一个基础解系X { + X 2+ 2兀3 -兀4 = 0,(1) { 2兀]+ *2 + 兀3 一 兀4 = °，2X] + 2X 2 + X3 + 2兀=°；解对系数矩阵施行初等行变换，有与原方程组同解的方程组为4X3~~X4 =0,或写为4其中为任意常数•所以,基础解系为4、X )+ 2X 2 + X3 — X4 = 0, (2) < 3旺 + 6X 2 -x 3 - 3X 4 = 0,5x } +10x 2 +呂-5X 4 =0; 解<12 1 -0<1 2 0 -1] A = 3 6 -1 -3 T 0 0 1 0<5 \ 10 1 _5丿<0 0 0°丿与原方程组同解的方程组为(42 -1、1 0 0 ~31 -1 T 0 1 0 3 1 24 70 0 1~3>A= 21 ,2 2或写为£ =-2x 2兀3 = 0,其中，X 2, x 4可取任意常数你伦，故所以，基础解系为"-2、 1 0 <0,2x, + 3X 2 -兀3 +5兀4 = 0, 3X| + x 2 + 2*3 — 7兀4 = 0, 4兀]+x 2 - 3X 3 + 6兀=0,X] —2X 2 + 4X 3 -7X 4 = 0; 解7?（力）=4 = 〃，方程组组只有零解.3%] + 4X 2 一 5X 3 + 7X 4 = 0,2%j 一 3X 2 + 3X 3 一 2X 4 = 0, 4x, +1 lx 2 -13X 3 +I6X4 = 0, 7xj - 2X 2 + X3 + 3X 4 = 0.V3 -1 5、(\-2 4 7、3 1 2 -7 0 -3 1 21 -264 1 -3 6 0 0 1 5J -2 4 一7丿〔0 0 0 327丿A =x } +2XX =4. 求解下列非齐次线性方程组.4旺 + 2X 2 一 x 3 = 2,(1) < 3兀]—x 2 +2X 3 =10,11 兀I + 3 兀2 = &解对增广矩阵施行初等行变换<42 -1 * 2、<13 -3 '-8、B = 3 -1 2 10T-10 11 343 0 1 8丿<0 0 0 -6y« 7$ 与原方程组同解的方程组为或写为所以皐础解系为<32 -3 11 3丿3 V 13 4. 17 3 17' 19 20 ---- X173 ]73—13 * — A 17 3 17 19 — 20■ _17~ J 173 17 19 17 131720 17X = 兀2兀3<3> 1917 + k. 厂-13、-20J 丿」7丿=0, x 4,所以 /?(/) = 2, R(B) = 3.无解.2兀 + 3尹+ z = 4, x — 2y + 4z = -5, 3x + 8尹一 2z = 13,4x- j? + 9z = -6；R(A) = R(B) = 2,所以原方程组有解.与原方程组同解的方程组为x = —2z — 1, y= z + 2, z =2x+ y- z+w=l,4x+2尹一 2z+w=Z 2x+ y- z-w=l ；<2 4 2R(A) = R(B) = 2.原方程组有解.与原方程组同解的方程组为1 1 1x =——y+ —z + —,2 2 2 y= y ， z =所以原方程组的通解为厂2 31 ・4<1 0 2・ -1)1 -2 4 -5T0 1 -1 2 3 8 -2 130 0 0 0 <4 -1 9<0 00 •°丿 B =/ 、"-2、r-ny =k 1 + 2 工丿k b<-1 -2z,z .5. 问九取何值时，非齐次线性方程组九X] + x 2 + x 3 = L2x+ y- z+ w=l, 3x-2y+ z-3w=4, x+4p-3z+5w=-2・[1]<r~222 1+ Z+10 0\ 丿< )＜1、rp2 + & 0 02 < 0>o20 01 -24 -1 1 1 -3-351 4 -2£ 7 5 7£ 7 9 76 7 5 7= = 原方程组有解. 与原方程组同解的方程组为1 1 6 X = —z + —w + —,7 7 7 5 9 5 2 y = — z -- w —,7 7 7 z = z,故通解为6\z \ X「1、< ny5-9 =k 、 7 + k"0 zo< 7>7 _5 ~7 0y z严« X] +心2 +兀3 =入，£ +勺+ Z =九'(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷个解? 解系数行列式2 1 1D= 1 几 1 =(久一1)2(2 + 2)・1 1A当2工1且2工-2时D H O,方程组有惟一解.当2 = 1时，对增广矩阵施行初等行变换则R(4) = R(B) = 1<3,故原方程组有解且有无穷多解.当A = -2时，对增广矩阵施行初等行变换<-21 1r'11 -2 4、B =1 -21-2 T 1 -2 1 -2< 11 -2 4><-2 1 1<1 1 -2 4、<1 1 -2 4、 T0 -3 3 -6 T 0 -3 3 -6 ,<0 3 -3 9丿<0 0 0 3丿/?(/) = 2, R(B) = 3.所以方程组无解.6. 非齐次线性方程组—2%| ++ 兀3 = —ZX { 一2兀2 + 兀3 =儿兀1 + X 2 - 2X 3 =九2当入取何值时有解？并求出它的全部解.解对增广矩阵施行初等行变换，得<-2 1 1 -2)<11 -2B = 1 -21T0 -3 3 A(1 —兄)< J1-2 才丿0 0 (久一1)仇+ 2)丿当Q H I 且2^-2时，R(4) = 2, R(B) = 3方程组无解. 当2 = 1时,有Q o -1 r0 1 —1 o o o o ?R(4) = R(B) = 2,方程组有解，且与原方程组同解的方程组为<1 1 1r—> 0 0 0 0<0 0 0 0.故原方程组的解为当2 = -2时,有10—12、1 -12 (0 0 0 0丿与原方程组同解的方程组为故方程组的解为(2—九)X] +2x, —2兀3 = 1，7.设｛2旺+(5-九)吃- 化=2, 问九为何值吋，此方程组有惟一解、无解或有无穷—2^| —4七 + (5 —九)七=一入一1，多解？并在有无穷多解时求出其通解.解系数行列式2-2 2 -2D= 25-2 -4 =-(2-1)2(2-10). -2-45 —久当2工1且2工10时，方程组有惟一解. 当2 = 1时，有< 12-2<1 2 -2B =2 4 -42 T0 0 0 0<-2 -44_2丿<0 00 0丿R(4) = R(B) = 1,方程组有无穷多解，此时兀2 二 k\1 + 0卫3丿<1>x =X] + 2兀2 一2兀3 = 1 通解为/ 、兀2，-2、 1+嘉0 + ⑴0 "丿< °丿<1>\ / x =当2 = 10时，有厂-8 2 -2r(2 -5 -4 2B =2 -5 -42 T 01 1 1「2 -4 -5 —11丿,00 -3/?(/) = 2, R(B) = 3,故方程组无解.8•问为何值时，非齐次线性方程组(1) 有惟一解，求出惟一解; 解方程组的增广矩阵兀[+兀2X?_ *2 +(Q _ 3)兀3 _ 2X 4 =b. 3X[ + 2X 2 + X3 + ax 4 =-l有无穷多解，并写出通解.+ X3 + X4 = 0,+ 2X + 2X = 1,1 1 1 0、1 1 1 0) 0 12 21T0 1221 0 -1 67-3 -2 b0 0 a-\ 0 b + l<3 21a j 丿<0 00 a-\o>当GH1时，R(A) = R(B) = 4,方程组有惟一解.B Trr. —a + b — 2 a — 2b + 3所以，£ = ----------- ,也= ---------- ,兀3a-\ 'a-1 B T(0a-ia —2b —a-\b + la-1=0.b+1所以，当Q = 1且b^-\时，/?(/!) = 2, R(B) = 3,方程组无解.(2)无解；(3) B此时V 、[1、24 ，”2七％ =364求该方程组的通解.解 斤=4,尸=/?(/)二3,所以川一尸=1,令则§为基础解系，故方程组的通解为<0厂3、624835 J0丿<4>、6丿©=2小-(小+吃)而当G = 1且/? = 一1时，有1 o -1 -r —1、0 12 2 1 B T0 0 0R(A) = R(B) = 2,方程组有解，且与原方程组同解的方程组为x 4 = _1,x 2 +2兀3 +2 兀4 = h或写为故原方程组的通解为其中心为任意实数9.设四元非齐次线性力程组的系数矩阵的秩为3,已知％ ,弘，〃3是它的三个解向量，且其中R 可取任意常数.10. 设4〃都是〃阶方阵，且AB = O .证明R(A) + R(B)S ・证明设B = ®,筠,…，仇)，则有Ab. =0 (丿=1, 2,…，n)・可见每个曾都是Ax = O 的解向量.因R(A) = r,可知/lx 二〃的解空间的维数是n-r ,所以向量组叽 X ，…，叽的秩小于等于 m ,从而— i 于是R(4) + R(B)— + (m) = n.11. 己知非齐次线性方程组X )+吃 +兀3 +兀4 = _] 4%j + 3X 2 + 5X 3 —X 4 = —1 ax } + x? + 3X 3 + hx 4 = 1有3个线性无关的解.(1) 证明方程组的系数矩阵Z 的秩R(A) = 2； (2) 求的值及方程组的通解.解(1)设a p a 2,a 3是方程组Ax =0的3个线性无关的解，其中<111 1、r-rA = 4 3 5 -14 -i1 3 b)则有A©、_a?) = 0、A(a 、_aj = 0 ,即a } -a 2,a }-a y 是对应齐次线性方程组Ax = O 的解，且线 性无关.(否则，易推出a,,a 2,a 3线性相关，矛盾).所以n-R(A)>2,即4 — R(/)n2nR(/)52.又矩阵/中有一个2阶子式】1 =-1^0,所 以7?(/1)>2.因此R(A) =2.(2) 因为<1 1 1 1 ><1 1 1 1、<1 1 11 ) A = 4 3 5 -1 T 0 -11-5T0 -11-5W 13 b 丿(0 \-a3-a b_a 丿<0 0 4 —2Q b + 4a — 5丿又7?(力)=2,贝ijJ4-2d = 0, J G = 2, 爲+ 4a-5 = 0 戶爲二-3.对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，x = kg\+TJ\ = k<1 1 1 1 -1、<1 0 2 -4 2、 B = 4 3 5 -1 -1 —> 0 1 -1 5 -3<2 1 3 -3 /<0 0 0 0 0>故原方稈组与下面的方程组同解Xj — —2 兀3 + 4 兀4 + 2x 2= x 3 - 5X 4 _ 3选兀3,兀为自由变量，则故所求通解为1a,b,c 不全为零，矩阵〃 =2 .3且AB = O,求线性方程组Ax = O 的通解.解 由于AB = O ,故&/) + 7?(〃)53,又由a,b,c 不全为零，可知R(A) > 1. 当&H9 时，R(B) = 2 ,于是R(A) = 1；当 k = 9 时，)= 1,于是 R(4) = 1 或 7?(/) = 2.①对于殳工9,由AB = O 可得由于7=(l,2,3)T,%=(3,6,k)T 线性无关，故弘，弘为Ax = O 的一个基础解系，于是Ax = O 的通 解为x =C X TJ { + c 2r]2,其中q,C2为任意常数.②对于k = 9,分别就R(A) = 2和/?(/) = 1进行讨论.如果R(4) = 2 ,则Ax = 〃的基础解系由一个向量构成.又因为/ 2 = 0 ,所以Ax = O 的通解为X = C 1(1,2,3)T ,其中q 为任意常数.如果7?(/) = 1,则Ax = O 的基础解系由两个向量构成.又因为力的第1行是(a,b,c),且a,b,c 不 全为零，所以Ax = 0 等价于 ax } + bx 2 += 0 .不妨设 a 工0 , “】=(一/>,。

（精选）线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

第一单元 行列式案例1某工厂生产甲、乙、丙三种钢制品，已知甲种产品的钢材利用率为60%，乙种产品的钢材利用率为70%，丙种产品的钢材利用率为80%．年进钢材总吨位为100吨，年产品总吨位为67吨。

此外甲乙两种产品必须配套生产，乙产品成品总重量是甲产品成品总重量的70%。

还已知生产甲乙丙三种产品每吨位可获得利润分别是1万元，1.5万元，2万元。

问该工厂本年度可获利润多少万元？ 解：设生产甲、乙、丙三种钢制品分别用料为,,x y z 吨，则由题意可列出方程组：1000.60.70.8670.60.70.70x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪⨯-=⎩， 将方程组化简，得100678670350x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩其系数行列式111678130350D ==≠-根据克莱姆法则，方程组有唯一解。

解得123650,390,260D D D === 所以50,30,20x y z ===。

总利润为500.61300.7 1.5200.8293.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=万元。

案例2某商店经营四类商品，四个月的销售额及利润额如表1-1所示，求每类商品的销售利润率。

解：设A ，B ，C ，D 四类产品的利润率分别为1234,,,x x x x ，则由题意可列出方程组：123412341234123440608010027.44060709025.850608010028.95060909029.1x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩，将方程组化简，得12341234123412342345 1.374679 2.5856810 2.895699 2.91x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩其系数行列式2345467960568105699D ==≠ 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。

习题五作业参考解答1. 求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛633312321 解：特征多项式()()12321319336E A λλλλλλλ----=---=+----，特征方程为：()()190λλλ+-=，⇒特征值为1111,0,9λλλ=-==。

将11λ=-带入齐次线性方程组()0E A X λ-=得同解方程组为：1230x x x =-⎧⎨=⎩，令21x =，求得解向量()11,1,0TX =-，所以，特征值11λ=-对应的全部特征向量为：111(0)k X k ≠将20λ=带入齐次线性方程组()0E A X λ-=得同解方程组为：1323x x x x =-⎧⎨=-⎩，令31x =，求得解向量()21,1,1T X =--，所以，特征值20λ=对应的全部特征向量为：222(0)k X k ≠将39λ=带入齐次线性方程组()0E A X λ-=得同解方程组为：13231212x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令32x =，求得解向量()31,1,2TX =，所以，特征值39λ=对应的全部特征向量为：333(0)k X k ≠（2）注意：()112321,2,32463369⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（仿（1）求解） (3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----284014013（仿（1）求解）2. 设矩阵A 与D 相似，其中12412421A x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭,54D y ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭. 求y x ,.解：注意到D 为对角矩阵，其特征值分别为5,,4y -。

由于A 与D 相似，相似的矩阵具有相同的特征值，故A 的特征值也是5,,4y -，由特征值的性质知（P110定理5.1.2）：5(4)11y x ++-=++，即：1(1)x y -=-及：5(4)1530y A x ⨯⨯-==--，即346(2)x y -=- 联立（1）、（2）即可解出：2,3x y ==。

《线性代数与空间解析几何》 研究型、应用型、综合型题目1.一般的数字可看作零维数组，向量可看作一维数组，矩阵可看作二维数组，那么三维数组能作为一个代数概念来看待吗？其相应运算如何定义？变换如何执行？有何应用？提示：可参照矩阵的运算作相应的定义。

2. 类似于行列式的定义我们定义新的代数概念如下： 一阶：1111a a = 二阶：1112112212212122a a a a a a a a =+三阶：111213222321232122212223111213323331333132313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++………………………………类似地可对n 阶的情况给出定义。

请问这一个新的代数概念，其性质如何？有何应用？提示：可类比行列式的性质作相应的讨论。

3. 设方阵()ij n n A a ⨯=定义()ij n n A M ⊥⨯=其中ij M 为元素ij a 在矩阵A 中的余子式，试问A ⊥有什么性质？提示：可类比伴随矩阵作出讨论。

4.任意给定一个2阶实矩阵A , 能否找出所有与A 可交换相乘的矩阵? 如果给定的矩阵是实对称矩阵, 结论如何? 提示：（1）根据可交换条件AB=BA 作讨论；（2）考虑A 的特征值与相似对角化, 将一般矩阵问题转化为对角矩阵来讨论.5.设n 阶矩阵A 的各行各列都只有一个元素是1或-1，其余均为0。

是否存在正整数k ，使得A k =I ？若是，请给出你的证明；若否，请举出反例。

提示：先观察二、三阶矩阵的情况；对一般矩阵，可考察A 2，A 3 …的元素特点，找到与A 的关系。

6. 矩阵乘法是线性代数中的基本算法之一。

对两个n 阶矩阵其乘积计算往往需要3n 次乘法和3n 次加法，很长时间以来人们对此深信不疑。

然而，1969 年Strassen 通过对矩阵乘积元素之间的关系分析，构造出了一种只需2log 7 2.81()()n n οο≈次乘法的矩阵相乘运算。

习题四作业参考解答１．求下列齐次线性方程组的一个基础解系：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 解：系数矩阵10401810231245101443862000A ⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换（行最简形） 所以同解方程组为：1323443144x x x x x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，令341,0x x ==，带入同解方程组求出12x x 和，得一个解向量143410η-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭；再令340,1x x ==，带入同解方程组求出12x x 和，得一个解向量201401η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故齐次线性方程组的基础解系为12,ηη。

(2) 仿（1）(3) 0543254321=++++x x x x x ．解：同解方程组为：123452345x x x x x =----，令23451,0,0,0x x x x ====，得解向量()12,1,0,0,0Tη=-， 令23450,1,0,0x x x x ====，得解向量()23,0,1,0,0T η=-， 令23450,0,1,0x x x x ====，得解向量()34,0,0,1,0T η=-， 令23450,0,0,1x x x x ====，得解向量()45,0,0,0,1T η=-， 所以，齐次线性方程组的基础解系为：1234,,,ηηηη ２．求下列非齐次线性方程组的一般解：（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432321321321321x x x x x x x x x x x x解：增广矩阵2314102112450112382130000419600A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭初等行变换，()()24R A R A ==<，所以有无穷多组解。

应用线性代数综合作业四本篇文档将介绍应用线性代数综合作业四的题目以及解题思路。

题目1. 设 $P$ 为一个 3 阶实对称矩阵，$A$ 是由 $P$ 的特征向量所组成的矩阵。

如果 $P$ 的特征值为 $1$, $2$, $3$，则证明$A^TA$ 的特征值和 $P$ 的特征值相同。

2. 设 $A$ 为 $3$ 阶实矩阵，且 $A^T A = I$。

假设 $A$ 的奇异值分别为 $1$, $\dfrac{4}{5}$, $\dfrac{3}{5}$，求 $A$ 的列秩和零空间。

解题思路1. 首先我们可以先确定 $P$ 的特征向量。

观察题目可得，$P$ 是一个实对称矩阵，因此其一定存在一个正交矩阵 $Q$ 使得$P = Q \Lambda Q^T$，其中 $\Lambda = diag(1,2,3)$ 为特征值矩阵。

由于 $A$ 是由 $P$ 的特征向量所组成的矩阵，因此 $A = Q$。

于是有，$$\begin{aligned}A^TA &= Q^T \Lambda Q \\&= Q^{-1} \Lambda Q \\&= P\end{aligned}$$即 $A^TA$ 的特征值也是 $1$, $2$, $3$。

2. 设 $A$ 的奇异值分解为 $A = U \Sigma V^T$，其中 $U$ 和$V$ 分别是左奇异矩阵和右奇异矩阵，$\Sigma$ 是奇异值矩阵。

由于 $A^T A = I$，因此有 $V \Sigma^T U^T U \Sigma V^T = V\Sigma^T \Sigma V^T = I$。

由此可推出 $\Sigma$ 的形式，即$\Sigma = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{5}\end{matrix}\right]$。