2020年智慧树知道网课《线性代数与空间解析几何》课后章节测试满分答案

1.11. 图1-1表示了B 省的3个城市123,,B B B 与C 省的3个城市123,,C C C 的交通连接图，称为一个交通网络.每条线上的数字表示此通路上不同的运路(公路，铁路，水路，空路)数目.若以(,1,2,3)ij a i j =表示从i B 到j C 的运路数，试写出矩阵()ij a =A.图1-1解：111213212223313233042213430a a a A a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2. 当22812x y u u z x ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭时，,,,x y z u 各取何值？解 由2,2,1,82x u y u z x ===-=可得，4,1,1,2x y z u =-=-==-.. 3. 写出即是上三角形矩阵又是下三角行矩阵的n 阶矩阵的一般形式.解112200000nn a a A a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎪= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭4. 下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵，哪些不是？（1）321400010000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭;（2）321401560245⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（3）321401060010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（4）321400000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 解(1),(3)是，(2),(4)不是.5. 下列矩阵哪些是行简化的阶梯形矩阵，哪些不是？1021102011101101(1)0101;(2)0100;(3)0000;(4)0011.0010000100010000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解(1),(3)不是，(2),(4)是. 6. 写出线性方程组12n x x x b +++=的系数矩阵和增广矩阵，增广矩阵的行和列是多少？它是不是行阶梯形矩阵？是不是行简化阶梯形矩阵？解系数矩阵A =111000000n n⨯⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，增广矩阵(1)11100000000n n b ⨯+⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭A .增广矩阵n 行，1n +列，它是行阶梯形矩阵，也是行简化的阶梯形矩阵习题1.21. 已知A =131023⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, B =202111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭, C =122113-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.求：2+C A ;-+A B C ; 32-++A B C .解 1723243-⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭C A ;251241⎛⎫ ⎪-+=- ⎪⎪-⎝⎭A B C ;913211136-⎛⎫ ⎪-++=- ⎪ ⎪--⎝⎭A B C .2. 已知两个线性变换112321233123x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=+-⎨⎪=-+⎩及1123212332323245y z z z y z z z y z z =++⎧⎪=--+⎨⎪=+⎩，把它们分别表示为矩阵形式，并求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换.解 111122223333111123111;124;111051x y y z x y y z x y y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222333111123058111124056111051290x z z x z z x z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪=---=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即 12322331258,56,29.x z z x z z x z z =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩ 3. 已知矩阵1321⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，3012⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，381204⎛⎫= ⎪⎝⎭C .求：-AB BA ；BC ；CB ；22+A B ；T C A .解 3303-⎛⎫-=⎪-⎝⎭AB BA ；9243789⎛⎫= ⎪⎝⎭BC ；CB 无意义；22160511⎛⎫+= ⎪⎝⎭A B ；7782491T ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭C A .4. 设310121342⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭A ，102111211⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，且矩阵X 满足方程32-=A X B ，求X . 解 341251127115222⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭X . 5. 设101λ⎛⎫=⎪⎝⎭A ，求2A ,3A ,nA (n 为正整数). 解 21021λ⎛⎫=⎪⎝⎭A ,31031λ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,101n n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭A .6. 某机械公司生产甲、乙、丙三种型号的机械，2000年和2001年的年产量如表1-1表1-1 表2-2型号产量甲 乙 丙2000年70 50 60 2001年80 60 70这三种机械的本价与销售价如表2-2所示，求两年的总成本和总销售额.解 设67705060,7880607089⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B ,则6770506012501430788060701460167089⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭C AB . 即2000年的总成本是1250，销售总额是1430；2001年的总成本是1460，销售总额价格 型号 单位成本价 销售价甲6 7 乙7 8 丙8 9是1670.7. 已知()1,2,3T=α，11(1,,)23T =β，设T =A αβ，求nA .解 1()()()()()()()Tn T TTT T TT Tn n ==A αβA αβαβαβαβαβαβαβαβ－个个＝， 而111(1,,)23233T ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭βα)，所以111333n n T n T n ---===A αβαβA . 8. 1143011-⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，求23456()()+-+-+-+A E E A A A A A A . 解 原式=1043012-⎛⎫⎪-⎝⎭，2114114103011301101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E ,34567,,,,=====A A A E A A A E A A ，原式=71043012-⎛⎫+=+= ⎪-⎝⎭A E A E9. 设A 为m 阶对称矩阵，B 为m n ⨯矩阵，证明：TB AB 为n 阶对称矩阵. 证 ()()TTTT TT===B A B A B B B A BB A B，即T B AB 为对称矩阵. 10. 设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明ΑΒ为反对称矩阵的充分必要条件是=ΑΒΒΑ.证 充分性,T T ==-A A ΒB ,又=ΑΒΒΑ，所以()T T T==-=-ΑΒΒΑΒΑΑΒ，即ΑΒ为反对称矩阵.必要性 由()T=-AB AB ，又T T T ==-AB B A BA （），所以=ΑΒΒΑ. 习题1.31. 用分块矩阵计算下列矩阵乘积：(1) 321021201102240110104003-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(2) 11001000310010000100013100210214-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭.解 (1) 设111221223210201124011040-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭A A A A A ，112121021003⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭B B B ，则 1112111111122121222121112221+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A B A B A B AB A A B A B A B ，而1111322167200242⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B ， 1221101010110313--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B .则111112217735⎛⎫+= ⎪⎝⎭A B A B .同理211122214921-⎛⎫+= ⎪-⎝⎭A B A B ，故原式77354921⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭AB . (2) 11112122212211001000310010000100013100210214-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎝⎭A B A A B B 00 11112111222122220⎛⎫=⎪+⎝⎭A B A B A B A B 2000400010000056⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭. 2. 设34004300,0024002⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪⎝⎭A 求2k A . 解 设123424,4302⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A A ，则2134342504343025⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，24221112250025⎛⎫==⋅⋅⋅⎪⎝⎭A A A ，，由数学归纳法可得21250025kkk ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,同理可得1224404kk kk k +⎛⎫= ⎪⎝⎭A .于是，有221212250000025000044004kk k kk k k k k +⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭A A A .3. 设A 为m n ⨯实矩阵，若,T=A A 0则=A 0.证 将A 按列分块：12=(,,,)n ⋅⋅⋅A βββ，则12T T TT n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ββA β，于是1111212212221212(,,,)T T T T n T T T T Tn n T T T Tn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββββββββββββββA A ββββββββββ， 由,T =A A 0得0(1,2,,)T i i i n ==ββ,又因A 为实矩阵，故(1,2,,)0i i n ==β，故=A 0.4. 设120000=00n a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，其中当i j ≠时i j a a ≠(,1,2,,)i j n =.证明：与A可交换的矩阵只能是对角矩阵.证 设1111n n nn b b b b ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B 与A 可交换，即 11111111110000000000n n n n nn n nn n a b b b b a a b b b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即11111211111212122122222121222212211222n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于1,,n a a 互异，比较非对角元素得i ij j ij a b a b = 即0i j ij a a b =(-)，于是0()ij b i j =≠,故与A 可交换的矩阵1122000000000000nn b b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭B 为对角阵. 5. 当太空卫星发射之后，为使卫星在精确计算过的轨道上运行，需要校正它的位置.雷达屏幕给出一组矩阵1,,k x x ，它们给出卫星在不同时间里的位置与计划轨道的比较.设()12,,,k k =X x x x ,矩阵Tk k k=G X X 需要在雷达分析数据时计算出来，当1k +x 到达时，新的1k +G 必须计算出来.因数据矩阵高速达到，所以计算负担很重，而分块矩阵的计算在其中起了很大的作用.试写出从k G 计算1k +G 的矩阵形式. 解 由于()12,,,k k =X x x x ,所以()11,k k k ++=X X x ,又Tk k k=G X X ,因此 ()1111111,T TT T k k k k k k k k k k T k +++++++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭X G X X X x X X x x x . 习题1.41. 设A 是三阶方阵，将A 的第1列与第2列变换得到B ，再把B 的第2列加到第3 列得到C ，以满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为( ).01001001001()100;()101;()100;()100101001011001A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 分析 C 是对A 实行两次初等列变换得到的，因此C 可由A 与初等矩阵的乘积表示.解 −−−−→A B 初等列变换，即为010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B A ，−−−−→B C 初等列变换，即为100011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C B ，所以010100011100011100001001001C A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因此应选()D .2. 把下列矩阵化为行最简形矩阵：10210231(1)2031;(2)0343;30430471--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 11343231373354112024(3);(4)22320328303342123743----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭.解 10050105(1)0013;(2)0013;00000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11023102020012201103(3);(4)00000000140000000000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 3. 设111213113112321333212223212223313233313233333,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，问B 是A 经过哪种类型的初等变换得到的？并写出相应的初等矩阵.解 111213212223313233103(3(3),1)010001a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B E A . 4. 设201413411234⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A .(1) 求(1(2),2)E A ; (2) (2,3)E A ; (3) (3(2))E A .解 10020142014(1)(1(2),2)01013411341201123452512⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A ; 1002014201(2)(2,3)00113411234010********⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A ; 100201421(3)(3(2))0101341134100212342468⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A. 5. 把矩阵4321⎛⎫=⎪⎝⎭A 表示成初等矩阵的乘积.解 12212432121214301r r r r ↔-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−→−−−→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A1121220100101r r r ⨯-⎛⎫⎛⎫−−−→−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E即(1,2)(1(2),2)(2(1),1)(1(2))=A E E E E习题1.51. 设航线图如图1-3所示，(1) 写出邻接矩阵；(2) 求出顶点3V 到1V 长为3条航线的条数；(3) 是否存在从顶点4V 到2V 的长为3的航路？ 图1-3解 （1）0100001111011000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ； （2）2条：3241V V V V →→→；3231V V V V →→→；.（3）不存在 32101121122120011⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 2. 设{}123456,,,,,X x x x x x x =表示6个人的集合.用R 表示他们彼此之间的相貌相像的程度,如表1-3，表中i x 行和j x 列交叉处的数字表示第i 个人i x 与第j 个人j x 的相貌的相像程度，则R 是X 上的Fuzzy 关系，其隶属函数(,)R i j x x μ就是i x 行与j x 列交叉处的数字，又(,)R i i x x μ=1表示任何个人自身与自身完全相象，(,)(,)R i j R j i x x x x μμ=表示第i 个人i x 与第j 个人j x 的相貌的相像程度与j x 和i x 的相像程度相同，写出这个Fuzzy 矩阵，并求出它的合成.解 10.8210.820.200.850.350.650.82100.900.120.120.20010.120.850.250.850.900.1210.250.200.350.120.850.251⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，210.820.820.200.820.350.8210.850.350.850.350.820.8510.200.900.350.200.350.2010.250.850.820.850.900.2510.350.350.350.350.850.351⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A .复习题一1. 若1122125212111231c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭C ，则=C _________. 解 由415a +-=，得110,4a c ==;又由1261b -++=-，得223,7b c =-=-. 答案4517⎛⎫⎪--⎝⎭.2. 设α为3行的列矩阵，若111111111T -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭αα，则=ααT_________.解 设(,,)T x y z =α,则222Tx xy xz xyy yz xz yzz ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αα，故2221x y z ===.因而 2223T x y z =++=αα.答案为3.3. 设111213122223212223111213313233311132123313,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭A B ,1010100001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,2100010101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则必有__________.(A )12=AP P B ; (B)12P P A =B ;(C)21AP P =B ;(D)21P P A =B .解 解法一 选(B).首先，用初等矩阵右乘A 表示A 作行变换，故可排除(A),(C).2P A 表示将A 的第1行加于第3行，12()P P A 表示再将1,2两行变换.解法二 此题考察矩阵的初等变换和初等矩阵，比较矩阵A 和B ，可发现把矩阵A 的 第一行加到第三行，再把第二行与第一行互换，则可得到矩阵B ,而对矩阵做初等行变换，就相当于对矩阵左乘相应的初等矩阵，故上述过程恰相当于先对A 左乘2P ，再左乘1P ，即12P P A =B ，应选(B).4. 设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b ==αβ，求(1) ,TTαβαβ；(2) 令求T=γαβ，求kγ.解 (1) 12121122(,,,)Tn n n n b ba a a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪⎝⎭αβ，()1111212212221212n n Tn n n n n n a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αβ. (2) ()()()kTTT =γαβαβαβ ()()()T T T T =αβαβαβαβ11()nTk i j i a b-==∑αβ11()nk Ti j i a b -==∑αβ11()nk i j i a b -==∑γ.5. 设()12=+A B E ，证明：2=A A 当且仅当2=B E . 证 先证必要性设2=A A ，因为()()()2221112242⎡⎤=+=++==+⎢⎥⎣⎦A B E B B E A B E ，即 ()22222++=+=+B B E B E B E ，所以2=B E .再证充分性设2=B E ，则有()()()2211122442=++=++=+=A B B E E B E B E A . 6. 任意一个n n ⨯矩阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.证 任一n n ⨯矩阵都可以表示为：22T T+-=+A A A A A ，因为 222T T T⎛⎫+++== ⎪⎝⎭A A A A A A ， 即2T +A A 为对称矩阵，又222TT T T ⎛⎫---==- ⎪⎝⎭A A A A A A ，即2T-A A 为反对称矩阵. 7. 证明：如果A 是实对称矩阵且=A 20，那么=A 0.证 设111nn n nn a a a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭A ,因为T=A A ,所以 2221112122222122222212******nnn n nn a a a a a a a a a T⎛⎫+++⎪+++⎪=== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭A AA AA , 又因为=A 20，所以222120,12,i i in a a a i n+++==,,.由于()12,,;12,,ij a i n j n ==,,均为实数，故有120i i in a a a ===，12,,i n =,.即=A 0.8. 设,A B 均为n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充要条件是A 与B 可变换.证 由于,A B 是对称的，故,T T==A A B B ，如果=AB BA ，则可得()TT T ===AB B A BA AB ，即乘积AB 是对称的.反之，若AB 是对称的，即()T =AB AB ,则()TT T===AB AB B A BA ，即A 与B是可变换的.9. 设A 是任一方阵，证明,T T +A A AA 均为对称矩阵. 证 ()()()(),TTTTT TTT T T TT +=+=+==A AA A A A A AAA A A. 10. 设111222333⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求24100,,A A A .解 ()121,1,13⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,所以()()()()2111121,1,121,1,1261,1,1621,1,163333⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦A A ,同理34100996,6==A A A A .11. 设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，试计算mA ，其中m 为正整数. 解 为简化高阶幂mA 的计算，首先将其分解为一个列向量与一个行向量的乘积，为此令()()1212,,,,,,,Tn n a a a b b b ==αβ，则=A αβ，且1212(,,,)n n i i i n a a b b b a b a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑βα 为一个数.为方便计算，令λ=βα,则()()()()()()1111.mmm m m m λλ----======βαA αβαβαβαββαβαβαβαβαββααβαβA 个12. 设11r r a a ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭E A E ，其中当i j ≠时i a ≠j a (),1,2,i j n =，i E 是i n 阶单位矩阵，1ri i n n ==∑.证明：与A 可交换的矩阵只能是准对角矩阵1r ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭A A ，其中i A 是i n 阶矩阵.证 设1112112r r r rr ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B B B B B B B 与A 可变换，其中B 与A 分块方式相同， 111211112111111212r r r r r r rr r r rr r r a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B B B B B B E E E B B B B B B E ， 即111112111112121121112r r r r r r r r rr r r r rr a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B B B B B B BB B B B B ,由于12,r a a a 互异，比较非对角块元素得i ij j ij a a =B B ，即()0i j ij a a -=B ，于是()0ij i j =≠B ， 因此与A 可交换的矩阵1122rr ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B B B B 是准对角矩阵.。

第一章测试1【单选题】(2分)排列53124的逆序数是（）。

A.4B.7C.5D.62【单选题】(2分)行列式，则（）。

A.B.C.D.3【单选题】(2分)用克莱姆法则解方程组，则其解为（）。

A.B.C.D.4【单选题】(2分)对于阶行列式，则A的全部代数余子式之和等于（）。

A.1B.2C.D.-15【判断题】(2分)二阶行列式的结果是2项的代数和。

（）A.对B.错6【判断题】(2分)转置之后，行列式多一个负号。

（）A.对B.错7【判断题】(2分)范德蒙行列式是一个表达式。

（）A.对B.错8【判断题】(2分)齐次线性方程组一定有零解，可能没有非零解。

（）A.对B.错9【判断题】(2分)由n个方程构成的n元齐次线性方程组，当其系数行列式等于0时，该齐次线性方程组有非零解。

（）A.错B.对10【判断题】(2分)设D是n阶行列式，则D的第2行元素与第三行元素对应的代数余子式之积的和为0。

（）A.对B.错第二章测试1【单选题】(2分)向量的单位向量为（）。

A.B.C.D.2【单选题】(2分)若表示与同方向的单位向量,则下列表示向量在上的投影向量的是（）。

A.B.C.D.3【单选题】(2分)过点和点且平行于轴的平面方程为（）。

A.B.C.D.4【单选题】(2分)点到平面的最短距离是（）。

A.2B.1C.4D.35【判断题】(2分)曲线绕轴旋转所成的曲面方程为。

（）A.对B.错6【判断题】(2分)方程表示的是一个单叶双曲面。

（）A.错B.对7【判断题】(2分)设向量，，则。

（）A.错B.对8【判断题】(2分)若，则共面。

（）A.错B.对9【判断题】(2分)平面方程与轴平行。

（）A.错B.对10【判断题】(2分)点到直线的距离是。

（）A.错B.对第三章测试1【单选题】(2分)A.B.C.D.2【单选题】(2分)A.B.C.D.3【单选题】(2分)A.B.-2C.-1D.24【单选题】(2分)A.B.C.D.5【单选题】(2分)A.B.C.D.6【判断题】(2分)A.对B.错7【判断题】(2分)A.对B.错8【判断题】(2分)A.对B.错9【判断题】(2分)A.错B.对10【判断题】(2分)A.错B.对第四章测试1【单选题】(2分)A.B.C.D.2【单选题】(2分)A.B.C.D.3【单选题】(2分)A.B.C.D.4【单选题】(2分)A.B.C.D.5【判断题】(2分)A.错B.对6【判断题】(2分)A.错B.对7【判断题】(2分)A.对B.错8【判断题】(2分)A.对B.错9【单选题】(2分)下列哪条指令是求矩阵A的行最简形（）.A.dot(A)B.eig(A)C.size(A)D.rref(A)10【单选题】(2分)下列哪个函数用来简单绘制三维曲面().A.plotB.ezmeshC.meshD.ezplot第五章测试1【单选题】(2分)A.B.C.D.2【单选题】(2分)A.B.C.D.3【单选题】(2分)A.可能为2,也可能为3,也可能为其它数B.一定为2C.可能为2,也可能为3,不能为其它数.D.一定为34【单选题】(2分)A.B.C.D.5【单选题】(2分)A.B.C.D.6【判断题】(2分)A.错B.对7【判断题】(2分)A.错B.对8【判断题】(2分)A.对B.错9【判断题】(2分)A.对B.错10【判断题】(2分)A.错B.对第六章测试1【单选题】(2分)A.B.C.D.2【单选题】(2分)A.4B.C.6D.83【单选题】(2分)A.B.C.D.4【单选题】(2分)A.B.C.D.5【判断题】(2分)实方阵A的特征值可以是复数,相应的特征向量也可以是复向量.A.对B.错6【判断题】(2分)n阶实方阵一定存在n个特征值.A.对B.错7【判断题】(2分)若方阵A,B相似，则A,B有相同的伴随阵.A.错B.对8A.对B.错9【单选题】(2分)行列式A非零的充分条件（）.A.以A为系数行列式的线性方程组有唯一解B.A的任意两行元素之间不成比例C.A的所有元素非零D.A至少有n个元素非零10若A为n阶反对称阵，则（）.A.可能是对称阵，也可能是反对称阵，二者必居其一B.既不是对称阵，也不是反对称阵C.必为反对称阵D.必为对称阵第七章测试1【单选题】(2分)A.B.C.D.2【单选题】(2分)A.B.C.D.3【单选题】(2分)A.B.-1C.2D.14【单选题】(2分)A.B.C.D.5【单选题】(2分)A.双曲抛物面B.椭球面C.球面D.椭圆抛物面6【单选题】(2分)A.B.C.D.7【判断题】(2分)A.对B.错8【判断题】(2分)A.错B.对9【判断题】(2分)A.错B.对10【判断题】(2分)A.错B.对11【判断题】(2分)A.错B.对12【判断题】(2分)A.错B.对第八章测试1【单选题】(2分)以下集合对于指定运算构成实数域上线性空间的是:（）。

绪论单元测试1.对于线性空间的学习，要从三个方面讨论：定义，线性关系（主要是在有限维空间中），子空间。

A:对B:错答案:A2.对于线性空间中线性关系的研究有一个非常重要的概念，就是n维线性空间的基，有了基就可以把数域P上抽象的n维线性空间模型化成具体的空间Pn，而把抽象的向量模型化成它的坐标，即有序数组。

A:错B:对答案:B3.对于线性空间的认识，不仅要知道线性空间的定义，还要了解基本性质以及认识一些具体的线性空间。

A:错B:对答案:B4.线性空间立足于它的基础——集合，于是可以通过学习线性空间的子空间来更好的把握全空间，对于子空间的学习，需要把握其存在性、有限维空间中子空间的构造——生成子空间以及子空间的运算。

A:错B:对答案:B第一章测试1.全体实对称矩阵关于矩阵的加法和数量乘法构成实数域上维的线性空间。

A:对B:错答案:B2.每一n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。

A:错B:对答案:B3.数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。

A:对B:错答案:A4.在中，子集构不成子空间。

A:对B:错答案:A5.在中，向量在基，,，下的坐标是（）。

A:（1,0,0,2）B:（—1,0,0,2）C:（2,—1,1,0）D:（2,—1,0,0）答案:D6.在数域P上的n维线性空间V中，由基到基的过渡矩阵是A，由基到基的过渡矩阵是B。

那么由基到基的过渡矩阵是（）。

A:B:C:D:答案:D7.设是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素。

则（）。

A:是的一个基B:最大公因式是一次多项式C:线性相关D:线性无关答案:D8.子空间的和是直和的充要条件是（）。

A: dimdim＋dimB:C:D:⊂答案:ABC9.下列说法正确的有（）。

A:复数域关于数的加法和乘法构成有理数域上的线性空间B:有理数域关于数的加法和乘法构成实数上的线性空间C:实数域关于数的加法和乘法构成自身上的线性空间D:实数域关于数的加法和乘法构成复数域上的线性空间答案:AC10.在数域Ｐ上的线性空间Ｖ中，如果向量满足且。

{}12 3.11.:(1)(1,1,1):-2-10;(2)(1,2,0)(2,1,1):10;(3)2-0.3:(1),2,1,1,,:2(1)(1)M x y z M M y x z x y n x y ππππ++=--=+==----+-习题写出下列平面的方程过点且平行于平面过点和且垂直于平面过轴且与平面的夹角为解所求平面与平行故其法向量由点法式方程所求平面方程012(1)0,:220(2):,{1,1,0}{1,1,1},110111,(1)(2)0,30z x y z n n n i j kM M n i jx y x y π--=-+-==-=-∴=-=+--+-=+-=即法一设所求平面的法向量为则由已知条件垂直于平面的法向量与由点法式方程所求平面方程为即法二:设所求平面方程为Ax+By+Cx+D=0将M 0{,,}20{1,1,0}2001 ,0,31 0,30.3(3),0,A B C A B D n A B C D A B A B D C D x D y D x y z A x B y ππ++=⎧⎪=-+++=⎨⎪-+=⎩-=-=-+=+-=+= 12,M 的坐标代入,且由向量与平面的法向量垂直得方程组解得所求平面方程为1-即3因平面过轴故可设其方程为因其与已知平面的夹角为00022,3{,,0}{2,1,,31cos ,32||||||||1 61660,33303-0.2.?.n A B n n n n n A A B BA B Bx y x y ππ∴==⋅∴===⋅∴+-==-∴+== 其法向量与已知平面的法向量的夹角为即或平面或为所求下列图形有何特点画出其图形 (1)230;(2)0;(3)340.:(1),.z y x y z xO y -==+-=解平面平行于面图形如下图00000000000000000 (2),. (3),.3.,(,,),.:(,,){,,},, :()()()0, xO z x y z x y z x y z x x x y y y z z z x x y y z -+-+-=++与面重合图形如下图平面过原点其图形如下图由原点向平面作垂线垂足为求此平面的方程解连结点与原点的向量可作为平面的法向量由平面的点法式方程得即2220000.4.(2,3,0),(1,1,2)(4,5,1),.:{3,4,2},45114531,34214(2)5(3)310 14z x y z A B n A B i j kn a A B i j k x y z =++--==-∴=⨯==---+---=为所求平面方程平面过点且与向量a 平行求此平面的方程解法一平面的法向量与与a垂直由点法式方程得即531430.:0,,,-230{,,}20,45014435 .433143:1453143x y z A x B y C z D A B A B D A B C a A B C D A B C A D B D C D x y z --+=+++=++=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩--+=解法二设平面的一般式方程为将坐标代入并由其法向量与垂直可得方程组解得由此得平面方程0.5.1.:,,,,1 ||,6x y z abcO A B C O A B C V abc A B C O d ++===求以平面与三坐标轴的交点为顶点的三角形面积解法一设原点为平面与坐标轴的三个交点为则四面体的体积平面上的高为到平面的距离3 :(,0,0),(0,,0),(0,0,),{,,0},{,0,},111||||0||2220A B C V S d A a B b C c AB a b AC a c ABC i j kS AB AC a b bci a c ∴∆===-=-∆=⨯=-=-的面积解法二设所求平面与三个坐标轴的交点为则则的面积1212||6.(2,0,8)2470,35230,.:,,124161411,352ac j ab k M x y z x y z n n n i j kn n n i j k ππ++=--+-=+-+=∴=⨯=-=-++-平面过点且与二平面都垂直求的方程解法一所求平面的法向量与两已知平面的法向量都垂直由点法12 16(-2)-14-11(8)0,16-14-11-1200.:0,,,2802403520x y z x y z Ax By C z D M n n A A C D A B C A B C +==+++=-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩式方程得所求平面方程为即解法二设所求平面的一般式方程为将点的坐标代入由其法向量与两已知平面的法向量垂直可得方程组解得1612014120111201614111200D B DC D x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴---=所求平面方程为127.:3250:3230.:(,,), ::x y z x y z x y z ππ-+-=--+==求由平面与所成二面角的平分面方程解法一设平面上任一点的坐标为则由平面上任一点到两已知平面的距离相等得从而得所求平面方程为121212 2380,4520.:, (3)(23)(21)350.,,,.x y z x y z x y z n ππλλλλππππ+-+=-+-=+-++-+-=或解法二过平面的交线的平面束方程为由于它为的平分面因此其法向量与的法向量有相等的夹角得|(3)3(23)2(2-1)||3(3)2(23)(21)|11,,4-5-202-380.x y z x y z λ+++++++--==-+=++=解得或因此所求平面方程为或12121212112 3.41.1250 :12,:230(1)://;(2);(3).:(1){1,2,1}, x x y l y l y z z l l l l l l l s l λλλ=+⎧--=⎧⎪=-+⎨⎨-+=⎩⎪=⎩=习题对于直线与证明求与的距离求与所确定的平面方程解的方向向量的方向向量221121222 210{2,4,2},2,012 //,//.(2):(1,-3,0), (1)2(3)0,250, i j k s s s s s l l l A l x y z x y z =-==-∴-+++=+++=得法一在上找一点过该点作垂直于的平面即1112 12450,2 ,3172(,-,-).333 ||.:(1,1,0),l l B A B AB l C l λλλλ+-+++==-=-将的参数方程代入解得从而得平面与的交点则与的距离所求法二在上找一点上找111121(1,-3,0),, cos sin |||||||| ||||sin (3):(1,1,0),(1,-3,0), A AC l s AC s AC d AC l C l A n s θθθθ⋅===-=⋅==-=一点设与的夹角为则而则所求距离法一在上找一点上找一点则平面的法向量12121{2,0,2},22(-1)-20,--10. :(1,1,0),(0,3,1),(1,3,0)i j kA C x z x z l C D l A ⨯==--==----由点法式方程得即为所求法二在上找两点上找一点120,,,30 0030 10.2.:233020 ::10210760Ax By C z D A C D A B D A D A B D B B C D C D x z x y z x y l l x y x z +++=-+==-⎧⎧⎪⎪-+==⎨⎨⎪⎪--+==⎩⎩--=-++=-=⎧⎧⎨⎨+-=+-=⎩⎩设平面的一般式方程为将的坐标代入得方程组解得从而得平面方程证明二直线与1212111122212 ,,.:213{30,3,21},{10,1,7},110(21,0,15),{1,2,7}, (0,0,6) l l l l i j k l s s l A l s l B l l l =-=-=--=-相交并求出与的交点夹角以及与所确定的平面解法一的方向向量取在上找一点的方向向量上找一点从而得与的参数式方程12121212121212121221102110:,:2,215767 2,1,,(1,2,1),1919cos ,cos ,,,arccos ,3030x x y l y z z l l l l l l s s l l λλλλλλλλλλλλ=-=⎧⎧-=⎧⎪⎪==⎨⎨⎨=⎩⎪⎪=-+=-⎩⎩==-<>=<>=∴<>= 令解得分别代入的参数方程得为的交点12121212121221 {21,63,21}{1,3,1},(-21)3(15)0,3-60.:,,,,,,0,,//, ,1,n s s n x y z x y z s s A B s s AB l l s s l l l l λ=⨯=---=+++=++=⎡⎤=∴⎣⎦=平面的法向量取得平面方程即解法二同上则由知与共面而与相交将的参数式方程代入的第一个方程解得从 (1,2,-1),.而得交点坐标其余同解法一3. 3.2-3-6140,5.:2-3-60, 5,35,236350:(,,), x y z x y z D d D x y z A x y z O A +=+====±∴--±=求与平求与平面平行且与坐标原点的距离为的平面方程解法一由已知条件可设平面的一般式方程为原点到平面的距离得平面方程为解法二设原点到平面垂线的垂足为由与已知平面法向量平行可设5{2,3,6},||||7||5,,7101530 ,,,777 101530 2()-3()-6()0,2-3-6350.77741204.(3,1,4):2O A k k k O A k k A x y z x y z x y z M l x y =--===±⎛⎫∴± ⎪⎝⎭±±=±=--+=-+-由得的坐标为由点法式方程得平面方程即求点关于直线.230:(,,),114{6,6,3}212{2,2,1},:2(-3)-2(-1)(4)0, 2-20.(-5,7,0),2- z i j kA x y z l s s M l x y z x y z lB l x πλ⎧⎨+=⎩=--=--=-++=+==的对称点解法一设对称点的坐标为的方向向量取过作垂直于的平面为即在上找一点得的参数式方程58,,273158311548(,,),,,,333232323158(,,),333311548,,,232323y x y z M A M A x y z πλλππ⎧=⎨=-+⎩++-===++-===代入平面得从而l与的交点为的中点即从而l与的交点为的中点即从而7728 (-,,).33331-4:(,,),(,,)222442{2,2,1}2221,2207377728 ,(,,).33332835.(3,1,2)x y z A x y z M A l M Ax y z l s x y z x y z x y z P ++--=-⎧⎪=-+-=-⎨⎪-+=⎩⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩得对称点坐标解法二设对称点为由的中点在上及与的方向向量垂直可得方程组解得得对称点为求点1:3,1,1,.:,3(-3)(-1)(-2)0,123-120,9-11-120,1136123(,,)||11111111:(3,1,1)l x t y t z t P P l d P l x y z x y z l t t t t P P l d PP l A t t t '==-=+++=++=+++=='==-+在直线上的投影并求点到的距离解法一过点作垂直于的平面其方程为即将的参数式方程代入得解得得投影点的坐标及到的距离解法二设上任一点的坐标为,,12||,1136123(,,).11111111P A PA t P l d ====则的距离当时此距离取得最小值即为到的距离从而得投影点坐标6.2350:.220:123{1,7,5},{1,7,5}.21111(0,1,1),.175:7-10,7-1005-x y z l x y z i j k l s s x y z l A l z x y x y xO y z l y x +--=⎧⎨-++=⎩=-=---=--+-==+=+=⎧⎨=⎩求直线的标准方程和在三个坐标面上的投影解的方向向量为取取上一点得直线标准方程法一在的一般式方程中消去得从而得在面上的投影在的一般式方程中消去得11-10,5--1005-7-120,5-7-120:(21)(2)(-3)(2-5)0,{0,0,1},3,7-10,7-1z x z xO z y l x y z y z yO z x l x y z xO y k x y l xO y x y λλλλπλπ==⎧⎨=⎩==⎧⎨=⎩++-+++===+=+=从而得在面上的投影在的一般式方程中消去得从而得在面上的投影法二过的平面束为其中与面垂直的平面的法向量与垂直得从而得的方程从而得在面上的投影05--10,,00571200x z xO z yO z z y y z x =⎧⎧⎨⎨==⎩⎩--=⎧⎨=⎩同样方法可得其在面上的投影在面上的投影121211112211127.:125721;;,234322.1273:,23,22,541212730,23222(1,x y z x y z l l x x l l y y z z l l l λλλλλλλλλλλλλ-+----====--=+=+⎧⎧⎪⎪=--=+⎨⎨⎪⎪=+=-⎩⎩+=+=⎧⎧⎨⎨--=+=-⎩⎩证明直线与位于同一平面内并求这平面及两直线间的夹角解法一的参数式方程为解方程组得将代入的参数式方程得与的交点1212121212122,5),234{2,16,13},3222-16-13310,8cos ,cos(,)-8,arccos .:,(1,2,5),(7,2,1),[,i j k l l n x y z l l s s l l l l A B s s -∴=-=--+=<>==⎛⎫∴<>=-⎝-与共面,平面的法向量由点法式方程得平面方程两直线间的夹角为其方向向量的夹角解法二在上分别取两点121,]0,,0,,,231-25016720,,31234013312-16-13310,.A B l l A x B y C z D A B l A D A B C D A B C D B D A B C C D x y z =∴+++=⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪+++==-⎨⎨⎪⎪-+=⎩⎪=-⎪⎩+=与共面设平面一般式方程为将坐标代入且由其法向量与的方向向量垂直得方程组解得得平面方程其余与法一同1221121212128.7432152::342641(1):;(2).:(1):,7321644,54,322732164454289289x y z x y z l l l l l l x x y y z z λλλλλλλλλλλλ+++-+-====---=-+=+⎧⎧⎪⎪=-+=--⎨⎨⎪⎪=--=-⎩⎩-+=+⎧⎨-+=--⎩⎧=⎪⎨=-对于直线与证明它们不在同一平面上写出过且平行于的平面方程解法一的参数式方程为解得1212121212121212212,,,,.//,.:,(7,4,3),(21,5,2)342,,6415070,.2815(2):(21,-5,2),34l l l l l l l l l l A B s s AB l l l B i j kn s s λλ⎪⎪⎪⎩∴-----⎡⎤=--=-≠∴⎣⎦-=⨯=-将代入的参数式方程知无公共交点而与不在同一平面上法二上分别取一点则与不共面法一取上点平面的法向量212{12,9,36},{4,3,12}6414312930(21,5,2),(27,9,1).0,,,21520 2790,3420493n x y z l B C Ax By C z D B C s A B C D A B C D A B C A =---=--++-=--+++=-++=⎧⎪-++=⎨⎪+-=⎩=-取由点法式方程得平面方程在上取两点设平面的一般式方程为将的坐标代入且其法向量与垂直可得解得1,.431293031431D B D x y z C D ⎧⎪⎪⎪=-++-=⎨⎪⎪=-⎪⎩代入得平面方程22221.,,||||1,,,4||||||||lim:||||cos ||||,42()2||||||||limlim(||||||||)(||||||||)2||||22.22,,x x x a b b a b a xb a xa b a a a xb aa bx xb a x a xb a x a xb a a r a i j k j ππ→→→=<>=+-⋅=⋅=+-⋅+∴====++++=--复习题三设均为非零向量且求解原式设向量与共线与成锐角||||15,.:,{,2,2},||||3||15.5,,5,{5,10,10},3.368,||||2,.:,68{0,8,6},||||10|r r r a r k k k r k k r j k r p q i j k x p p p q x p q i k jp k k p ==--===±∴=-=-=++=∴⨯=-+∴=-=且求解由于与共线设得由与成锐角取得设向量和向量与轴都垂直且求向量解由于与和轴都垂直平行于设123123123123123123123186|2,,{0,,}.5554.,,,:||||4,||||2,|||| 3.().:,,,,,0()||||||||k k p ααααααααααααααααααααα==±=±===⨯⋅∴<⨯>=∴⨯⋅=⨯⋅得从而设向量两两垂直且符合右手系规则计算解由于两两垂直且符合右手系规则12312121||||||||||||sin24.25.(1,1,1)(0,1,1)0,.:,{1,0,2}{1,1,1}.1022,2--0.111:M M x y z n M M n i j k n i j k x y z παααπππ=⋅⋅⋅=-++==--=∴=--=--=平面过和且与平面垂直求的方程解法一由已知条件平面的法向量与和均垂直由点法式方程得平面方程解法二设120,,00,0A x B y C z D M M A B C D B C D A B C π+++=+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩的一般式方程为将的坐标代入由的法向量与已知平面的法向量垂直得方程组12212220:2--0.6.:2310:0,.:,(21)(13)(1)03211-31-0,,2 8-A B C BD x y z x y z x y z x y z x ππππππππλλλλπλλλλπ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩=--+=++=++-+-+=+++==解得从而得的方程 平面过与的交线且与平面垂直求的方程解法一过的平面束方程为且由其法向量与的法向量垂直得解得从而得的方程1211227-30.112:,235{2,3,5},235{8,7,1},1118730.::0,,(1,1,2),(1,2,3),,y z x y z ij k s n s n x y z Ax By C z D ππππππππππ+=++-==-=-=⨯=-=----+=+++=---解法二化的交线为标准方程其方向向量的法向量由点法式方程得的方程解法三设的一般式方程为在的交线上找两点将其代入的方程且由与垂直可83--207230301387303127.(1,-2,1):.234A D ABCD A B C D B D A B C C D x y z x y z A l π⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪+-+==-⎨⎨⎪⎪++=⎩⎪=-⎪⎩--+=+-+==-得方程组解得从而得的方程求点到直线的距离32:::1324(1,2,1)(32,13,24):,:,2(-1)-3()4(-1)02(-1)x t l y tz t A l t t t d d A l A l x y z z x =-+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩--+--+====++=解法一将写成参数方程点到上一点的距离为最小值为此即点到的距离法二过点做一平面与垂直平面方程为求平面与直线的交点1-3(2)4(-1)0,:2,31222341238.(1,2,3)(4,3,1),:211.::4(1)3(-2)(x y z y x y z z d x y z A l l A x y z αα=-⎧++=⎧⎪⎪=-+-+⎨⎨=-=⎪⎪=⎩⎩==-+--===+++解得故距离为求过点与向量垂直并与直线相交的直线方程解关键是求出待求直线与已知直线的交点法一过点且与向量垂直的平面方程为-3)0:4(1)3(-2)(-3)05510,(,,)123333211123:.8111:(12,2,3),0,(22,-4,)(4,3,1)04(22)3(-4)0l x y z x y z x y z t t t A t t t t t t αα=+++=⎧⎪-⎨-+-==⎪⎩+--==--+-++++=⇒++++=⇒此平面与的交点应满足求得交点为故待求直线方程为法二设待求之交点为此交点与的连线应与向量垂直即连线向量与之内积为即15510(,,)3333123:.8111t x y z =⇒-+---==-交点为故待求直线方程为。

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

住在富人区的她 全文为Word 可编辑，若为PDF 皆为盗版，请谨慎购买！ 中国地质大学智慧树知到“计算机科学与技术”《线性代
数》网课测试题答案 （图片大小可自由调整） 第1卷
一.综合考核(共10题)
1.如果一个矩阵的行向量组为正交的单位向量组且为方阵，那么这个矩阵的行列式为1。

()
A.错误
B.正确
2.AX=B 有无穷多解，那么Ax=0有非零解。

() A.错误 B.正确
3.n 阶方阵可逆的充要条件是它的行列式不等于0。

() A.错误 B.正确
4.矩阵A 的行列式不等于零，那么A 的行向量组线性相关。

() A.错误 B.正确
5.合同的两个矩阵的秩一定相等。

() A.错误 B.正确
6.相似的两个矩阵的秩一定相等。

() A.错误 B.正确
7.(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)构成为3维向量空间的一个基。

()
A.错误
B.正确
8.满足A 的平方=A 的n 阶方阵的特征值的和等于1。

()
A.错误
B.正确 9.两个对称矩阵不一定合同。

()
A.错误
B.正确
10.方阵A 和A 的转置有相同的特征值。

()
A.错误
B.正确
第1卷参考答案 一.综合考核
1.参考答案：B
2.参考答案：A
3.参考答案：B
4.参考答案：A
5.参考答案：B
6.参考答案：B
7.参考答案：B
8.参考答案：B
9.参考答案：B
10.参考答案：B。

绪论单元测试1【单选题】(10分)高等代数以()为主要研究对象.A.微积分和无穷级数B.线性系统和结构C.几何对象的性质与关系D.整数的性质2【单选题】(10分)四千多年前,古()人就已掌握含两个方程的二元一次方程组的解法.A.埃及B.巴比伦C.中国D.玛雅3【判断题】(10分)《九章算术》对线性方程组解法的描述中已经出现矩阵思想的雏形.A.错B.对4【判断题】(10分)我国数学家华蘅芳首次将“Algebra”一词翻译为“代数”，是汉语中代数一词的来历.A.对B.错5【单选题】(10分)下列数学家中,()没有对行列式理论的建立做出过直接的突出贡献.A.莱布尼兹B.拉普拉斯C.范德蒙德D.阿基米德6【多选题】(10分)高等代数在下列哪些领域中有直接和重要的作用？A.GPS导航B.数字图像处理C.机器人动作控制D.搜索引擎技术7【判断题】(10分)19世纪末,拉普拉斯在前人工作的基础上定义出了线性相关、线性无关以及秩的概念，并由此得出了线性方程组解的一般结构.A.错B.对8【多选题】(10分)我们对学习本课程的主要建议包括A.注重知识之间的联系B.做好学习常规C.善于提出问题D.注重独立思考9【判断题】(10分)求解一般线性方程组的算法中，程序化的消元法则由欧拉制定，至今仍使用在计算机求解过程中.A.错B.对10【判断题】(10分)高等代数的学科特点是逻辑严谨,推理缜密,强调抽象化、公理化的思想A.错B.对第一章测试1【判断题】(10分)A.对B.错2【判断题】(10分)两个数域的交仍是数域.A.对B.错3【判断题】(10分)三个多项式两两互素则它们一定互素.A.错B.对4【判断题】(10分)两个多项式的公因式与数域的扩大无关.A.错B.对5【判断题】(10分)两个多项式的最大公因式与数域的扩大无关.A.错B.对6【判断题】(10分)两个多项式的互素关系与数域的扩大无关.A.错B.对7【判断题】(10分)不可约多项式一定没有重根.A.错B.对8【判断题】(10分)四次实系数多项式一定有实数根.A.错B.对9【判断题】(10分)有无数个零点的复系数多项式是零次多项式.A.对B.错10【判断题】(10分)存在9次的有理数域上的不可约多项式.A.对B.错第二章测试1【单选题】(10分)A.2B.3C.-2D.-32【单选题】(10分)A.（-13,5）B.（13,5）C.（13，-5）D.（-13，-5）3【单选题】(10分)A.24B.8C.-72D.-244【单选题】(10分)A.B.C.D.5【多选题】(10分)下列n阶行列式值（n>2）必为0的是A.行列式中等于0的元素多于n个B.主对角线元素皆为0C.行列式中不等于0的元素少于n个D.上下三角形行列式主对角线上有一个元素是06【单选题】(10分)一个n阶行列式值不为0，则行列式中不为0的元素至少应有_____个.A.n²B.nC.n(n-1)D.(n-1)²7【单选题】(10分)下列构成六阶行列式展开式各项中，取“+”的有___A.B.C.D.8【单选题】(10分)A.1B.-4C.-1D.49【单选题】(10分)A.B.1C.D.10【单选题】(10分)下列n阶行列式D不为0的充分条件是__A.D中非零行的各元素与其代数余子式值都相等B.D中至少有n个元素不为0C.D中任意两行不成比例D.D中所有元素都不为0第三章测试1【判断题】(10分)A.错B.对2【判断题】(10分)A.对B.错3【判断题】(10分)A.对B.错4【判断题】(10分)A.对B.错5【判断题】(10分)A.对B.错6【单选题】(10分)A.1B.C.2D.37【单选题】(10分)A.B.C.D.8【单选题】(10分)A.B.C.D.9【单选题】(10分)A.B.C.D.10【单选题】(10分)A.B.C.D.第四章测试1【判断题】(10分)A.对B.错2【判断题】(10分)A.错B.对3【判断题】(10分)A.对B.错4【判断题】(10分)A.错B.对5【判断题】(10分)初等矩阵的逆矩也是初等矩阵。

{}12 3.11.:(1)(1,1,1):-2-10;(2)(1,2,0)(2,1,1):10;(3)2-0.3:(1),2,1,1,,:2(1)(1)M x y z M M y x z x y n x y ππππ++=--=+==----+-习题写出下列平面的方程过点且平行于平面过点和且垂直于平面过轴且与平面的夹角为解所求平面与平行故其法向量由点法式方程所求平面方程012(1)0,:220(2):,{1,1,0}{1,1,1},110111,(1)(2)0,30z x y z n n n i j kM M n i jx y x y π--=-+-==-=-∴=-=+--+-=+-=即法一设所求平面的法向量为则由已知条件垂直于平面的法向量与由点法式方程所求平面方程为即法二:设所求平面方程为Ax+By+Cx+D=0将M 0{,,}20{1,1,0}2001 ,0,31 0,30.3(3),0,A B C A B D n A B C D A B A B D C D x D y D x y z A x B y ππ++=⎧⎪=-+++=⎨⎪-+=⎩-=-=-+=+-=+= 12,M 的坐标代入,且由向量与平面的法向量垂直得方程组解得所求平面方程为1-即3因平面过轴故可设其方程为因其与已知平面的夹角为00022,3{,,0}{2,1,,31cos ,32||||||||1 61660,33303-0.2.?.n A B n n n n n A A B BA B Bx y x y ππ∴==⋅∴===⋅∴+-==-∴+== 其法向量与已知平面的法向量的夹角为即或平面或为所求下列图形有何特点画出其图形 (1)230;(2)0;(3)340.:(1),.z y x y z xO y -==+-=解平面平行于面图形如下图00000000000000000 (2),. (3),.3.,(,,),.:(,,){,,},, :()()()0, xO z x y z x y z x y z x x x y y y z z z x x y y z -+-+-=++与面重合图形如下图平面过原点其图形如下图由原点向平面作垂线垂足为求此平面的方程解连结点与原点的向量可作为平面的法向量由平面的点法式方程得即2220000.4.(2,3,0),(1,1,2)(4,5,1),.:{3,4,2},45114531,34214(2)5(3)310 14z x y z A B n A B i j kn a A B i j k x y z =++--==-∴=⨯==---+---=为所求平面方程平面过点且与向量a 平行求此平面的方程解法一平面的法向量与与a垂直由点法式方程得即531430.:0,,,-230{,,}20,45014435 .433143:1453143x y z A x B y C z D A B A B D A B C a A B C D A B C A D B D C D x y z --+=+++=++=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩--+=解法二设平面的一般式方程为将坐标代入并由其法向量与垂直可得方程组解得由此得平面方程0.5.1.:,,,,1 ||,6x y z abcO A B C O A B C V abc A B C O d ++===求以平面与三坐标轴的交点为顶点的三角形面积解法一设原点为平面与坐标轴的三个交点为则四面体的体积平面上的高为到平面的距离3 :(,0,0),(0,,0),(0,0,),{,,0},{,0,},111||||0||2220A B C V S d A a B b C c AB a b AC a c ABC i j kS AB AC a b bci a c ∴∆===-=-∆=⨯=-=-的面积解法二设所求平面与三个坐标轴的交点为则则的面积1212||6.(2,0,8)2470,35230,.:,,124161411,352ac j ab k M x y z x y z n n n i j kn n n i j k ππ++=--+-=+-+=∴=⨯=-=-++-平面过点且与二平面都垂直求的方程解法一所求平面的法向量与两已知平面的法向量都垂直由点法12 16(-2)-14-11(8)0,16-14-11-1200.:0,,,2802403520x y z x y z Ax By C z D M n n A A C D A B C A B C +==+++=-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩式方程得所求平面方程为即解法二设所求平面的一般式方程为将点的坐标代入由其法向量与两已知平面的法向量垂直可得方程组解得1612014120111201614111200D B DC D x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴---=所求平面方程为127.:3250:3230.:(,,), ::x y z x y z x y z ππ-+-=--+==求由平面与所成二面角的平分面方程解法一设平面上任一点的坐标为则由平面上任一点到两已知平面的距离相等得从而得所求平面方程为121212 2380,4520.:, (3)(23)(21)350.,,,.x y z x y z x y z n ππλλλλππππ+-+=-+-=+-++-+-=或解法二过平面的交线的平面束方程为由于它为的平分面因此其法向量与的法向量有相等的夹角得|(3)3(23)2(2-1)||3(3)2(23)(21)|11,,4-5-202-380.x y z x y z λ+++++++--==-+=++=解得或因此所求平面方程为或12121212112 3.41.1250 :12,:230(1)://;(2);(3).:(1){1,2,1}, x x y l y l y z z l l l l l l l s l λλλ=+⎧--=⎧⎪=-+⎨⎨-+=⎩⎪=⎩=习题对于直线与证明求与的距离求与所确定的平面方程解的方向向量的方向向量221121222 210{2,4,2},2,012 //,//.(2):(1,-3,0), (1)2(3)0,250, i j k s s s s s l l l A l x y z x y z =-==-∴-+++=+++=得法一在上找一点过该点作垂直于的平面即1112 12450,2 ,3172(,-,-).333 ||.:(1,1,0),l l B A B AB l C l λλλλ+-+++==-=-将的参数方程代入解得从而得平面与的交点则与的距离所求法二在上找一点上找111121(1,-3,0),, cos sin |||||||| ||||sin (3):(1,1,0),(1,-3,0), A AC l s AC s AC d AC l C l A n s θθθθ⋅===-=⋅==-=一点设与的夹角为则而则所求距离法一在上找一点上找一点则平面的法向量12121{2,0,2},22(-1)-20,--10. :(1,1,0),(0,3,1),(1,3,0)i j kA C x z x z l C D l A ⨯==--==----由点法式方程得即为所求法二在上找两点上找一点120,,,30 0030 10.2.:233020 ::10210760Ax By C z D A C D A B D A D A B D B B C D C D x z x y z x y l l x y x z +++=-+==-⎧⎧⎪⎪-+==⎨⎨⎪⎪--+==⎩⎩--=-++=-=⎧⎧⎨⎨+-=+-=⎩⎩设平面的一般式方程为将的坐标代入得方程组解得从而得平面方程证明二直线与1212111122212 ,,.:213{30,3,21},{10,1,7},110(21,0,15),{1,2,7}, (0,0,6) l l l l i j k l s s l A l s l B l l l =-=-=--=-相交并求出与的交点夹角以及与所确定的平面解法一的方向向量取在上找一点的方向向量上找一点从而得与的参数式方程12121212121212121221102110:,:2,215767 2,1,,(1,2,1),1919cos ,cos ,,,arccos ,3030x x y l y z z l l l l l l s s l l λλλλλλλλλλλλ=-=⎧⎧-=⎧⎪⎪==⎨⎨⎨=⎩⎪⎪=-+=-⎩⎩==-<>=<>=∴<>= 令解得分别代入的参数方程得为的交点12121212121221 {21,63,21}{1,3,1},(-21)3(15)0,3-60.:,,,,,,0,,//, ,1,n s s n x y z x y z s s A B s s AB l l s s l l l l λ=⨯=---=+++=++=⎡⎤=∴⎣⎦=平面的法向量取得平面方程即解法二同上则由知与共面而与相交将的参数式方程代入的第一个方程解得从 (1,2,-1),.而得交点坐标其余同解法一3. 3.2-3-6140,5.:2-3-60, 5,35,236350:(,,), x y z x y z D d D x y z A x y z O A +=+====±∴--±=求与平求与平面平行且与坐标原点的距离为的平面方程解法一由已知条件可设平面的一般式方程为原点到平面的距离得平面方程为解法二设原点到平面垂线的垂足为由与已知平面法向量平行可设5{2,3,6},||||7||5,,7101530 ,,,777 101530 2()-3()-6()0,2-3-6350.77741204.(3,1,4):2O A k k k O A k k A x y z x y z x y z M l x y =--===±⎛⎫∴± ⎪⎝⎭±±=±=--+=-+-由得的坐标为由点法式方程得平面方程即求点关于直线.230:(,,),114{6,6,3}212{2,2,1},:2(-3)-2(-1)(4)0, 2-20.(-5,7,0),2- z i j kA x y z l s s M l x y z x y z lB l x πλ⎧⎨+=⎩=--=--=-++=+==的对称点解法一设对称点的坐标为的方向向量取过作垂直于的平面为即在上找一点得的参数式方程58,,273158311548(,,),,,,333232323158(,,),333311548,,,232323y x y z M A M A x y z πλλππ⎧=⎨=-+⎩++-===++-===代入平面得从而l与的交点为的中点即从而l与的交点为的中点即从而7728 (-,,).33331-4:(,,),(,,)222442{2,2,1}2221,2207377728 ,(,,).33332835.(3,1,2)x y z A x y z M A l M Ax y z l s x y z x y z x y z P ++--=-⎧⎪=-+-=-⎨⎪-+=⎩⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩得对称点坐标解法二设对称点为由的中点在上及与的方向向量垂直可得方程组解得得对称点为求点1:3,1,1,.:,3(-3)(-1)(-2)0,123-120,9-11-120,1136123(,,)||11111111:(3,1,1)l x t y t z t P P l d P l x y z x y z l t t t t P P l d PP l A t t t '==-=+++=++=+++=='==-+在直线上的投影并求点到的距离解法一过点作垂直于的平面其方程为即将的参数式方程代入得解得得投影点的坐标及到的距离解法二设上任一点的坐标为,,12||,1136123(,,).11111111P A PA t P l d ====则的距离当时此距离取得最小值即为到的距离从而得投影点坐标6.2350:.220:123{1,7,5},{1,7,5}.21111(0,1,1),.175:7-10,7-1005-x y z l x y z i j k l s s x y z l A l z x y x y xO y z l y x +--=⎧⎨-++=⎩=-=---=--+-==+=+=⎧⎨=⎩求直线的标准方程和在三个坐标面上的投影解的方向向量为取取上一点得直线标准方程法一在的一般式方程中消去得从而得在面上的投影在的一般式方程中消去得11-10,5--1005-7-120,5-7-120:(21)(2)(-3)(2-5)0,{0,0,1},3,7-10,7-1z x z xO z y l x y z y z yO z x l x y z xO y k x y l xO y x y λλλλπλπ==⎧⎨=⎩==⎧⎨=⎩++-+++===+=+=从而得在面上的投影在的一般式方程中消去得从而得在面上的投影法二过的平面束为其中与面垂直的平面的法向量与垂直得从而得的方程从而得在面上的投影05--10,,00571200x z xO z yO z z y y z x =⎧⎧⎨⎨==⎩⎩--=⎧⎨=⎩同样方法可得其在面上的投影在面上的投影121211112211127.:125721;;,234322.1273:,23,22,541212730,23222(1,x y z x y z l l x x l l y y z z l l l λλλλλλλλλλλλλ-+----====--=+=+⎧⎧⎪⎪=--=+⎨⎨⎪⎪=+=-⎩⎩+=+=⎧⎧⎨⎨--=+=-⎩⎩证明直线与位于同一平面内并求这平面及两直线间的夹角解法一的参数式方程为解方程组得将代入的参数式方程得与的交点1212121212122,5),234{2,16,13},3222-16-13310,8cos ,cos(,)-8,arccos .:,(1,2,5),(7,2,1),[,i j k l l n x y z l l s s l l l l A B s s -∴=-=--+=<>==⎛⎫∴<>=-⎝-与共面,平面的法向量由点法式方程得平面方程两直线间的夹角为其方向向量的夹角解法二在上分别取两点121,]0,,0,,,231-25016720,,31234013312-16-13310,.A B l l A x B y C z D A B l A D A B C D A B C D B D A B C C D x y z =∴+++=⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪+++==-⎨⎨⎪⎪-+=⎩⎪=-⎪⎩+=与共面设平面一般式方程为将坐标代入且由其法向量与的方向向量垂直得方程组解得得平面方程其余与法一同1221121212128.7432152::342641(1):;(2).:(1):,7321644,54,322732164454289289x y z x y z l l l l l l x x y y z z λλλλλλλλλλλλ+++-+-====---=-+=+⎧⎧⎪⎪=-+=--⎨⎨⎪⎪=--=-⎩⎩-+=+⎧⎨-+=--⎩⎧=⎪⎨=-对于直线与证明它们不在同一平面上写出过且平行于的平面方程解法一的参数式方程为解得1212121212121212212,,,,.//,.:,(7,4,3),(21,5,2)342,,6415070,.2815(2):(21,-5,2),34l l l l l l l l l l A B s s AB l l l B i j kn s s λλ⎪⎪⎪⎩∴-----⎡⎤=--=-≠∴⎣⎦-=⨯=-将代入的参数式方程知无公共交点而与不在同一平面上法二上分别取一点则与不共面法一取上点平面的法向量212{12,9,36},{4,3,12}6414312930(21,5,2),(27,9,1).0,,,21520 2790,3420493n x y z l B C Ax By C z D B C s A B C D A B C D A B C A =---=--++-=--+++=-++=⎧⎪-++=⎨⎪+-=⎩=-取由点法式方程得平面方程在上取两点设平面的一般式方程为将的坐标代入且其法向量与垂直可得解得1,.431293031431D B D x y z C D ⎧⎪⎪⎪=-++-=⎨⎪⎪=-⎪⎩代入得平面方程22221.,,||||1,,,4||||||||lim:||||cos ||||,42()2||||||||limlim(||||||||)(||||||||)2||||22.22,,x x x a b b a b a xb a xa b a a a xb aa bx xb a x a xb a x a xb a a r a i j k j ππ→→→=<>=+-⋅=⋅=+-⋅+∴====++++=--复习题三设均为非零向量且求解原式设向量与共线与成锐角||||15,.:,{,2,2},||||3||15.5,,5,{5,10,10},3.368,||||2,.:,68{0,8,6},||||10|r r r a r k k k r k k r j k r p q i j k x p p p q x p q i k jp k k p ==--===±∴=-=-=++=∴⨯=-+∴=-=且求解由于与共线设得由与成锐角取得设向量和向量与轴都垂直且求向量解由于与和轴都垂直平行于设123123123123123123123186|2,,{0,,}.5554.,,,:||||4,||||2,|||| 3.().:,,,,,0()||||||||k k p ααααααααααααααααααααα==±=±===⨯⋅∴<⨯>=∴⨯⋅=⨯⋅得从而设向量两两垂直且符合右手系规则计算解由于两两垂直且符合右手系规则12312121||||||||||||sin24.25.(1,1,1)(0,1,1)0,.:,{1,0,2}{1,1,1}.1022,2--0.111:M M x y z n M M n i j k n i j k x y z παααπππ=⋅⋅⋅=-++==--=∴=--=--=平面过和且与平面垂直求的方程解法一由已知条件平面的法向量与和均垂直由点法式方程得平面方程解法二设120,,00,0A x B y C z D M M A B C D B C D A B C π+++=+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩的一般式方程为将的坐标代入由的法向量与已知平面的法向量垂直得方程组12212220:2--0.6.:2310:0,.:,(21)(13)(1)03211-31-0,,2 8-A B C BD x y z x y z x y z x y z x ππππππππλλλλπλλλλπ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩=--+=++=++-+-+=+++==解得从而得的方程 平面过与的交线且与平面垂直求的方程解法一过的平面束方程为且由其法向量与的法向量垂直得解得从而得的方程1211227-30.112:,235{2,3,5},235{8,7,1},1118730.::0,,(1,1,2),(1,2,3),,y z x y z ij k s n s n x y z Ax By C z D ππππππππππ+=++-==-=-=⨯=-=----+=+++=---解法二化的交线为标准方程其方向向量的法向量由点法式方程得的方程解法三设的一般式方程为在的交线上找两点将其代入的方程且由与垂直可83--207230301387303127.(1,-2,1):.234A D ABCD A B C D B D A B C C D x y z x y z A l π⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪+-+==-⎨⎨⎪⎪++=⎩⎪=-⎪⎩--+=+-+==-得方程组解得从而得的方程求点到直线的距离32:::1324(1,2,1)(32,13,24):,:,2(-1)-3()4(-1)02(-1)x t l y tz t A l t t t d d A l A l x y z z x =-+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩--+--+====++=解法一将写成参数方程点到上一点的距离为最小值为此即点到的距离法二过点做一平面与垂直平面方程为求平面与直线的交点1-3(2)4(-1)0,:2,31222341238.(1,2,3)(4,3,1),:211.::4(1)3(-2)(x y z y x y z z d x y z A l l A x y z αα=-⎧++=⎧⎪⎪=-+-+⎨⎨=-=⎪⎪=⎩⎩==-+--===+++解得故距离为求过点与向量垂直并与直线相交的直线方程解关键是求出待求直线与已知直线的交点法一过点且与向量垂直的平面方程为-3)0:4(1)3(-2)(-3)05510,(,,)123333211123:.8111:(12,2,3),0,(22,-4,)(4,3,1)04(22)3(-4)0l x y z x y z x y z t t t A t t t t t t αα=+++=⎧⎪-⎨-+-==⎪⎩+--==--+-++++=⇒++++=⇒此平面与的交点应满足求得交点为故待求直线方程为法二设待求之交点为此交点与的连线应与向量垂直即连线向量与之内积为即15510(,,)3333123:.8111t x y z =⇒-+---==-交点为故待求直线方程为。

线性代数智慧树知到期末考试答案章节题库2024年西安理工大学1.答案:对2.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量（）答案:错3.[2-63] 方阵A的伴随矩阵A* 的逆矩阵为(A* )-1=A. （）答案:错4.答案:对5.[2-53] 方阵A可逆的充要条件是A的行列式不为0. （）答案:对6.n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.（）答案:对7.答案:对8.[2-65] 初等矩阵P与任意矩阵A的乘积矩阵的行列式|PA|=|A|。

（）答案:错9.答案:对10.答案:错11.答案:错12.实对称阵属于不同特征值的特征向量正交.（）答案:对13.[2-57] 等价矩阵有相同的标准形。

（）答案:对14.[1-24] 上三角行列式的值与下三角行列式的值都是对角线元素之积。

（）答案:对15.答案:对16.[1-22] 次对角行列式（只有从右上到左下的元素不为零，其余均为零）行列式的值等于讲这些元素置于对角线上的对角行列式乘以-1。

（）答案:错17.答案:对18.设 .w70364844324s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w70364844324s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w70364844324s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w70364844324s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } x 为n维列向量， .w70364844305s .brush0 { fill: rgb(255,255,255); } .w70364844305s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w70364844305s .font0 { font-size: 406px;font-family: "Times New Roman", serif; } .w70364844305s .font1 { font-style: italic; font-size: 260px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w70364844305s .font2 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w70364844305s .font3 { font-size:373px; font-family: Symbol, serif; } .w70364844305s .font4 { font-weight:bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } 1, T xx =令 .w70364844288s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w70364844288s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w70364844288s .font0 { font-size: 406px;font-family: "Times New Roman", serif; } .w70364844288s .font1 { font-style: italic; font-size: 260px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w70364844288s .font2 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w70364844288s .font3 { font-size:373px; font-family: Symbol, serif; } .w70364844288s .font4 { font-weight:bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } 2, T HExx =-则 .w70364844270s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w70364844270s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w70364844270s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w70364844270s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } H 是对称的正交矩阵。

线性代数及其应用（天津大学）智慧树知到课后章节答案2023年下天津大学天津大学第一章测试1.答案:;;2.答案:对3.答案:4.答案:5.答案: 第二章测试1.答案:2m 2.答案:3.答案:4.答案:对5.答案:2;0第三章测试1.答案:(4);(1)2.答案:(1) 3.答案:(2);(4);(1)4.答案:(2)5.答案:(4);(2)6.答案:(3)7.答案:(4)8.答案:(2);(1)9.答案:(2)10.答案:(1);(2)第四章测试1.答案:（3）;（2）2.答案:（2）;（1）3.答案:（4）;（2）4.答案:错5.答案:（3）;（2）;（4）6.答案:（3）7.答案:对8.答案:（1）;（4）9.答案:（4）;（1）10.答案:（3）第五章测试1.答案:;2.答案:3.答案:34.答案:5.答案:;第六章测试1.方程组(A−k E n)X=O有非零解,则k是A的特征值 .答案:对2.主对角元都为 k（不等于零）的n阶上三角矩阵可对角化，当且仅当该上三角矩阵维数量矩阵.答案:对3.与对称矩阵正交相似的矩阵不一定是对称矩阵.答案:错4.A, B是同阶实对称矩阵, 则A与B相似, 当且仅当A与B的特征值相同 .答案:对5.设X是可逆矩阵A对应于特征值λ 的特征向量, f(A) 是A的矩阵多项式,则X不一定是( )的特征向量答案:AT6.设向量[1, a, −2]T 与 [0, 1, 3]T 是对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量,则参数 a 的值为( ).答案:67.若矩阵A与B相似,且A可逆,则下列错误的是( ).答案:AT 与 BT 不相似.8.下列矩阵只能与自己相似的是( ).答案:数量矩阵9.相似的方阵具有相同的( ).答案:行列式;迹;特征值;秩10.下列哪些条件能保证 n 阶方阵A在数域 P 上可对角化答案:A 在数域 P 内有 n 个互不相同的特征值.;A 的每个特征值都在 P 内, 且每个特征值的几何重数等于代数重数.;A 在数域 P 上有 n 个线性无关的特征向量.;A 是迹非零且秩为 1 的方阵.第七章测试1.答案:2.答案:;3.答案:54.答案:全大于15.答案:;。

线性代数知到章节测试答案智慧树2023年最新济宁学院第一章测试1.四阶方阵的行列式中含的项的符号是正的.（）参考答案:对2.行列式中，含的项为（）和含的项为（）.参考答案:;3.设是方程的根，行列式的值为（）.参考答案:4.计算行列式的值为（）.参考答案:5.判断下列行列式的值是否正确，阶行列式.（）参考答案:对6.行列式的元素的代数余子式是（）.参考答案:7.计算行列式的值为（）.参考答案:第二章测试1.设是两个三维向量，且则（）参考答案:92.设则（）参考答案:153.设都是4阶方阵,且 ,则等于（）参考答案:-810.4.设是5阶的可逆方阵,且是G的伴随矩阵,则有（）参考答案:.5.设则（）参考答案:6.矩阵可逆充要条件为 . （）参考答案:对7.为阶方阵，为数，则 . （）参考答案:对8.所有矩阵都有逆矩阵. （）参考答案:错9.设均为阶方阵，有。

（）参考答案:错第三章测试1.在秩为r的矩阵中，没有等于0的r阶子式.（）参考答案:错2.若从矩阵A中划去一行得到矩阵B，则A、B的秩的关系为（）.参考答案:;3.下列命题正确的是（）.参考答案:若对矩阵(A, E)作初等行变换, 当A变成B时, E变为C, 则B = CA；;若对矩阵(A, B)作初等行变换, 当A变成C时, B变为E, 则A = BC.;若对矩阵(A, E)作初等行变换, 当A变成E时, E变为A的逆矩阵；;若对矩阵(A, B)作初等行变换, 当A变成E时, B变为C, 则B = AC；4.设矩阵 , 若的秩为2, 则的值可能是（）.参考答案:4;-15.若方程组有唯一解，则（）.参考答案:46.若非齐次线性方程组有唯一解，则齐次线性方程组只有零解.（）参考答案:对7.若线性方程组无解，则（）.参考答案:1;-28.若齐次线性方程组有非零解，则非齐次线性方程组有无穷多解.（）参考答案:错9.若线性方程组有无穷多解, 则（）.参考答案:1第四章测试1.若可由线性表示，且，则线性相关. （）参考答案:对2.设向量组α1=(3,1,a)T,α2=(4,a,0)T,α3=(1,0,a)T线性无关，则（）.参考答案:a≠0且a≠23.已知向量组的秩为 ,则该向量组中（）参考答案:必有个向量线性无关.4.设Ax =b是非齐次线性方程组，是其任意2个解，则下列结论错误的是（）参考答案:是Ax=0的一个解;是Ax=b的一个解5.关于的基的坐标是（）参考答案:1，1，26.方程组的基础解系是（）.参考答案:;7.求方程组的通解是（）.参考答案:第五章测试1.设向量x=(-2,1,0,3),y=(3,-2,6,2),则x , y的内积为[x , y]=（）.参考答案:-22.下列四个向量中，哪一个向量与其它三个向量均不正交（）.参考答案:(1,2,3,4 ) T3.设3为矩阵的一个特征值，则a=（）.参考答案:24.矩阵的相似对角阵为（）.参考答案:5.如果λ0是n阶实对称矩阵A的k重特征值，则下列结论不成立的是（）.参考答案:齐次线性方程组（A-λ0E）x =0的基础解系有n-k个解向量6.已知二次型经正交变换x=py化为标准形则正交变换矩阵p=（）.参考答案:。

第一章测试1.行列式（）.A:2B:4C:8D:0答案:D2.设都是三维列向量，行列式 = =1，，则 = （）.A:3B:0C:12D:6答案:C3.关于方程组的解，说法正确的是（）.A:方程组无解B:方程组有唯一解C:无法判断D:方程组有无穷解答案:B4.设一个四阶行列式的值为，将的第一列移到第四列，而其它三列保持原来顺序左移，则变化后的行列式的值为（）A:B:0C:2D:答案:A5.多项式中的系数为（）A:2B:10C:-5D:5答案:C6.行列式（）A:-30B:-210C:1D:0答案:A7.已知4阶行列式D中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为8，7，2，10，则行列式D＝（）A:32B:-16C:16D:-32答案:D8.排列 341782659的逆序数等于11. （）A:错B:对答案:B9.已知n阶行列式D的每一列元素之和均为零，则D=0. （）A:对B:错答案:A10.4阶行列式中含有因子的项是 . （）A:错B:对答案:A第二章测试1.下列关于矩阵运算说法正确的是（）.A: ( 为n阶方阵)．B: ；C: ；D: ；答案:A2.关于矩阵的秩，下列说法不正确的是（）A: .w65026249088s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w65026249088s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w65026249088s .font0 { font-size: 470px;font-family: Symbol, serif; } .w65026249088s .font1 { font-size: 513px; font-family: Symbol, serif; } .w65026249088s .font2 { font-style: italic; font-size:406px; font-family: “Times New Roman”, serif; } .w65026249088s .font3{ font-size: 373px; font-family: Symbol, serif; } .w65026249088s .font4 { font-size: 374px; font-family: 宋体; } .w65026249088s .font5 { font-weight: bold;font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } ( ) ( ) ( ) RkARAk = 是实数B: .w65026249103s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w65026249103s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w65026249103s .font0 { font-size: 470px;font-family: Symbol, serif; } .w65026249103s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: “Times New Roman”, serif; } .w65026249103s .font2 { font-size: 373px; font-family: Symbol, serif; } .w65026249103s .font3 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } ( ) ( ) RARA ¢ = C:若矩阵A的秩为2，则 .w65026249074s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w65026249074s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w65026249074s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: “Times New Roman”,serif; } .w65026249074s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } A 中所有3阶子式（如果存在的话）都为0.D:若矩阵A的秩为2，则 .w65026249064s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w65026249064s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w65026249064s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-fami ly: “Times New Roman”,serif; } .w65026249064s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } A 中存在2阶子式不为0.答案:A3.设矩阵矩阵，，满足，则与分别是（）阶矩阵．A:B:C:D:答案:A4.关于矩阵乘法，下列说法正确的是（）．A:若为阶上三角形矩阵, 为阶下三角形矩阵,则．B:设、均为阶矩阵，则．C:设、均为阶方阵且满足，则或．D:若是矩阵，是矩阵，且，则．答案:D5.矩阵的秩为（）A:2B:3C:0D:1答案:A6.设，都是阶对称阵，则为对称阵是的（）A:既非充分条件,也非必要条件B:充分但非必要条件C:必要但非充分条件D:充分必要条件答案:D7.设 , 是阶方阵，且，则（）A: 且B: =0或 =0C: 或D: =0且 =0答案:C8.设分块矩阵都是可逆方阵，则（）A:B:C:D:答案:A9.设 = ，则 =（）A:24B:8C:-1D:-24答案:A10.设则B=（）A:B:C:D:答案:D第三章测试1.下列向量组中线性相关的是（）.A:B:C:D:答案:C2.设维向量组 ,其中线性相关，则有（）A: 线性无关B: 线性相关C: 线性无关D: 线性相关答案:B3.向量空间中，不可以作为基向量的向量组是（）A:B:C:D:答案:A4.设n维向量组的秩为，则向量空间 ( )的维数是（）A:无法确定B:mC:rD:n答案:C5.若维向量线性无关，则必有（）A:B:C:D:答案:A6.若4阶方阵的行列式等于零，则（）A: 中必有一行为零B: 中至少有一行是其余行的线性组合C: 中每一行都是其余行的线性组合D: 的列向量组线性无关答案:B7.设，则向量组的秩为（）A:4B:2C:1D:3答案:B8.设向量组，则（）时，是的线性组合。

线性代数知到章节测试答案智慧树2023年最新西安科技大学绪论单元测试1.线性代数是研究离散变量的。

（）参考答案:对第一章测试1.分别计算下列四个4阶排列的逆序数, 然后指出奇排列是（）参考答案:4312；2.下列结果正确的是（）。

参考答案:3.求解线性方程组则该方程组的解是（）参考答案:4.计算行列式 =( )参考答案:5.求多项式的根=,正确的是( )参考答案:第二章测试1.已知矩阵，则它的秩达到最小时，参数的值为（）参考答案:-6，52.设为n阶矩阵，则下列矩阵为对称矩阵的是（）参考答案:3.设A,B均为4阶方阵。

如果，那么( )参考答案:|4.设都是n阶方阵，且满足 ,其中为n阶单位矩阵，则=( )参考答案:5.设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的倍加到第2列得 C，记，则（）参考答案:第三章测试1.设，计算（）参考答案:；2.设, , ,．取值为时，不能经线性表示。

（）。

参考答案:3.指出下列向量组线性相关的是( )参考答案:,,,.4.计算向量组，，,的秩，并判断该向量组是否线性相关。

( )参考答案:秩为2，线性相关5.下列向量组中，( )是的一组基。

参考答案:, , ;第四章测试1.线性方程组的通解为（）.参考答案:, 其中,是任意实数.2.设，，是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量且R(A)=3，若，，C表示任意实数，则线性方程组AX=b的通解X=（）.参考答案:.3.下列命题中，正确的命题是（）.参考答案:若AX=b有两个不同的解，那么AX=0有无穷多解.4.线性方程组AX=b经过初等变换其增广矩阵化为若方程组无解，则=（）.参考答案:35.已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是对应齐次线性方程组的基础解系，为任意常数，则方程组的通解必是（）.参考答案:.第五章测试1.若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为则行列式=（）参考答案:242.设n阶矩阵A与B相似，则（）.参考答案:对任意常数t, 与相似3.若n阶方阵A与B合同，则（）R4.下述结论正确的有( ),其中A为n阶矩阵参考答案:A与有相同的特征多项式。

12117.11.(,,,)?(1){,,,,,,|,},,"""";:."""","""".(2),,,|1,,,""""nn i i V P V a b a b a b a b R P R V V a a a a a r P R =+⋅=∈=+⋅+⋅+⋅⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭+⋅∑ 习题下列系统是不构成线性空间实数域与为中的加法与数乘答代构成一个线性空间因为对与都封闭并且与满足线性运算的八条公理有理数域与为;:.,"""",.(3){3},,"""";:."""","""".(4){},,"""";:nV V V V V P V V V n P V +⋅==+⋅+⋅+⋅==+⋅中的加法与数乘答不构成一个线性空间因为在中没有零元当然对与都不可能封闭故不构成线性空间阶实对称矩阵的全体有实域与为矩阵的加法与数乘答构成一个线性空间因为对与都封闭并且与满足线性运算的八条公理阶可逆矩阵的全体实数域与为矩阵的加法与数乘答不构成一个线性空12121212.,"""",.2.?(1){(,,,)|0,};:.,,.(2){(,,,)|0,};:.,nn i nnnn i nV V V W R W a a a a a a R W R W R W W R W a a a a a a R W R W W +⋅=+=∈=+≠∈ 间因为在中没有零元当然对与都不可能封闭故不构成线性空间下列集合是否构成的子空间答构成的一个子空间因为对中的加法和数乘都封闭不空所以构成的一个子空间答不构成的子空间因为在中没有零元当然对1122121212112212,.(3){|,,,,,,0};:.,.nnnnR V W k k R k k R k k k k W R W R αααααααα=+∈∈+≠中的加法与数乘都不可能封闭故不构成线性空间当不全为零时答构成的一个子空间因为其实就是中两个线性无关向量所生成的线性子空间127.21.7.11.(1){,,,,,,|,},,"""";: 2.1,0,1,0,,1,00,1,0,1,,0,1.(3){3},,"""";:nV a b a b a b a b R P R V V V P V ηη=∈=+⋅====+⋅ 习题确定习题第题中各线性空间的维数与一组基实数域与为中的加法与数乘答的维数为与构成的一组基阶实对称矩阵的全体有实域与为矩阵的加法与数乘答的维1122331213231122*********.100000000010000,010,000,100,000000001000001000000,001,{,,,,,}1000102.7.12E E E E E E E E E E E E V ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭数为如果则构成的一组基确定习题第题中各子空间121212111234111221212121.(1){(,,,)|0,};: 1.(1,1,0,,0),(0,0,1,0,,0),(0,0,0,1,,0),,(0,0,0,,1){,,,,,}..(3){|,,,,,,n i n n nW a a a a a a R V n W W k k R k k R k k k ηηηηηηηηηαααα--=+=∈-=-====+∈∈ 的维数与组基答的维数如果则构成子空间的一组基当不全为零时12212121212-10};: 2.{,}.3.0.:0:(1,1,1,,1),,:(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(n n T T n k V W x x x x x x A ααααεεε+≠+++=+++===-=-= 答的维数为构成子空间的一组基确定的解空间的维数与一组基解方程齐次线性组的系数矩阵为它已经是一个简化行阶梯形矩阵由初等变换解方程组的方法可知,其解空间的基即齐次线性方程组基础解系为1,0,0,,1):1Tn -- 其解空间的维数为1212121211111125.:(1),,,,,,,,,.::1,,,,1,:0,,,,n n n n n n n V V V n V n x x V εεεεεεεεεαααααεεεα+++++++=⇒证明是线性空间的一组基的充要条件是线性无关且中任一向量都可由线性表出证明充分条件由线性空间基的定义和题中条件我们只需证明中任意向量线相关设是中任意个向量现在证明它们线性相关令由中任意一个向量都可以由线性表出可知12111121212121222211,(1)12,(21)2,(1)1111111121212121222211,(1)12,(,,,:0:()()(n n n n n n n n n n n n n n n n n n k k k k k k k k k x x x k k k x k k k x k k αααεεεαεεεαεεεααεεεεεεε++++++++=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩++=++++++++++可分别表示成代入得21)2,(1)1111221,(1)112112222,(1)121122,(1)11111221,(1)12112222,(1)112)0:()()()000,,,:n n n n n n n n n n n n n n n n n n k k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k εεεεεεεε++++++++++++++=++++++++++++=+++=+++=整理得由线性无关知1122,(1)11111121121120,0,,,1,,,.:,,,.,n n n n n n n n n n x k x k x x x x x x V n V V αααααεεεα++++++⎧⎪⎪⎨⎪⎪+++=⎩++=+ 该线性齐次方程组显然有非零解即中不全为零也就是中任意个向量必然线性相关必要条件我们只需证明中任意一个向量都可由线性表出设为中任意一个向量1201011220120011221212012,,,,,,,,:0,0,,,,0,0:,,,,n n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k V αεεεαεεεεεεαεεεαεεεαεεε++++==≠++++==---- 由题中条件知向量组是线性相关的因此存在不全为零的数满足如果上式中的则上式会导致线性相关与题中条件矛盾因此上式中由知即中任意一个向量都可由线性表出121212*********.(2).:,,,,,,,,,,,,1,,,,,,,,:0,n n n n n n n n n V n V n V n n k k k k k k αααααααααααααααααααε+++++= 维线性空间中任意个线性无关的向量都是的一组基证明设为维线性空间中任意个线性无关的向量由上题的结论我们只需证明中任意一个向量都可表示为的线性组合由是维线性空间中的个向量可知线性相关因此存在不全为零的数满足012001122121201212310,,,,0,0:,,,,,,,,.7.(1,2,1)(1,1,1),n n n n n n n k k k k k k k k k k k V n V n V R αααααααεαααααεεεαααααα=≠++++==----== 如果上式中的则上式会导致线性相关与题中条件矛盾因此上式中由可知即中任意一个向量都可由线性表出所以维线性空间中任意个线性无关的向量一定是的一组基在中示向量在基23123123112233123123123123(1,1,1),(1,1,1).:(1,2,1)(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)(,,),,(1,1,1)(1,1,1),(1,1,1)(1,2,1)1:21Tx x x x x x x x x x x x x x x x x x ααααααααα=-=--===-=--++=+---=++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩下的坐标解设向量 在基下的坐标下的坐标为则即由此各得12311:1,,.22x x x ===-解此方程组得12312121212(1,2,1)(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)11(1,,-).228.(,,,)(1,1,,1),(1,1,,0),,(1,0,,0).:(,,,)(1,1,,1),(1,1,,0),(1,0,,0)nn n n n R a a a ααααααααααααααα===-=--======== 因此向量在基下的坐标为在中求向量在基在基下的坐标解设在基下的坐标12112212121211212112112121(,,,),,(1,1,,1)(1,1,,0)(1,0,,0)(,,,):::,,,(,,,)(1,1,Tn n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x a a a x x x a x x x a x a x a x a a x a a a a a αααααα--+++=+++=+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪=⎩==-=-==为则即由此得由此各得解此方程组得即在基2-1124123412341234,1),(1,1,,0),(1,0,,0)(,-,,-).11.,,,,(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,0),(1,1,1,1);21111211:(,,,)3031111n Tn n n T T T Ta a a a a P αααααααααααααα=====--=-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭下的坐标为在中求由向量生成的子空间的基与维数设解由12341241234124:10100110,,,,,.0001000,,,,,,; 3.13.,.nnP R αααααααααααααααα-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭作初等行变换转换成阶梯形矩阵因此向量组的一个最大线性无关组为因此在中求由向量生成的子空间的一组基为基维数是在中求一非零使在下面两组基下面有相同的坐标112233441122334(1,0,0,0)(2,1,1,1)(0,1,0,0)(0,3,1,0)(0,0,1,0)(5,3,2,1)(0,0,0,1)(6,6,1,3):(1,0,0,0)(2,1,1,1)(0,1,0,0)(0,3,1,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εηεηεηεηεηεηεηε==-⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩==-⎧⎪==⎪⎨==⎪⎪=⎩解从基到基41122334420561336(5,3,2,1)1121113(6,6,1,3)(1,0,0,0)(2,1,1,1)(0,1,0,0)(0,3,1,0),(0,0,1,0)(5,3,2,1)(0,0,0,1)(6,6,1,3)A x ηεηεηαεηεη⎧⎛⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪=⎝⎭⎩==-⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩的过渡矩阵为设向量在基和基下的坐标都为则由坐标变换1234(-)0-10-5-60-1-2-3-601-1-1-10-10-1-20-10-5-6-1-2-3-6:1-1-1-1-10-1-210010101,0011000x A x I A x x x x x x =⇒=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的公式知即再通过初等行变换将变为简化行阶梯形矩阵因此(1,1,1,1)-2342342323123423123423434412342314.1,,,[].1)1,1,(1),(1)[].:1,1,(1),(1):(1)(1)(1)0,:()(23)(3)0:023x x x P x x x x P x x x x k k x k x k x k k k k k k k x k k x k x k k k k k k k ++++++++++++=+++++++++=+++=++已知是线性空间的一组基证明也是的一组基证明我们只需证明线性无关令得得43442312342342323232320300:0,1,1,(1),(1),1,1,(1),(1)[].2)1,,,1,1,(1),(1).:1,1,(1),(1):1(1,,,)(1,0,0,0)1(1,,Tk k k k k k k x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪=⎩====++++++++++++=+=解之得即线性无关因而也是的一组基求从基到基的过渡矩阵解把展开可得322332323232323,)(1,1,0,0)(1)(1,,,)(1,2,1,0)(1)(1,,,)(1,3,3,1)1,,,1,1,(1),(1):1111012300130013)1,1,(1),(1)1,,,.:TTTx x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x +=+=+++⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+++因此求从基到基的过渡矩阵为求从基到基的过渡矩阵解从基变换的定义和过渡矩阵的232323232323:1,1,(1),(1)1,,,1,,,1,1,(1),(1).1,1,(1),(1)1,,,:x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++定义和性质知从基到基的过渡矩阵为求从基到基的过渡矩阵的逆矩阵从基到基的过渡矩阵为1-1232301232323012301231111111101230123001300130010014)1,1,(1),(1).:1,1,(1),(1): (,,,),TAa a x a x a x x x x a a x a x a x x x x a a a a ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++++++++++求在基下的坐标解在基下的坐标为由基变换2323012301231231-1012322333:1,1,(1),(1):1111230123(,,,)00133001Ta a x a x a x x x x a a a a a a a a a A a a a a a a a a a ++++++-+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+-⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭坐标变换的定义及过渡矩阵的定义和性质知在基下的坐标为。

第一章1.行列式（）。

答案:2.行列式（）。

答案:3.行列式，则的取值为（）。

答案:4.行列式,则的取值为（）。

答案:5.日本数学家关孝和第一个从线性方程组的解法中提炼出行列式的概念。

（）答案:对6.行列式有一行元素全为0，则此行列式值为0。

（）答案:对7.行列式。

（）答案:错8.。

（）答案:错第二章1.下列等式中正确的是（）。

答案:;2.阶方阵可逆的充要条件是（）。

答案:3.若是（），则必为方阵.答案:可逆矩阵4.设、均为阶方阵，满足，则（）.答案:或5.设、为同阶方阵，则为（）答案:6.设、均为阶方阵，且，则（）答案:或7.设、为阶对称矩阵，为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是（）答案:8.设、为方阵，分块对角阵，则（）答案:9.设、是阶方阵，则必有（）答案:10.设均为可逆矩阵，且，则必有（）答案:第三章1.设则（）。

答案:2.设则( ).答案:3.设线性相关，线性无关，则下列说法正确的是().（1）能由线性表示；（2）不能由线性表示答案:（1）（2）4.向量组是线性无关的。

（）答案:对5.若一个向量组是线性无关的，则它的一个部分组也线性无关。

（）答案:对6.若一个向量组是线性相关的，则它的一个部分组也线性相关。

（）答案:错7.一个向量组的极大无关组中向量的个数总是小于向量组的维数。

（）答案:错8.向量组线性相关的充要条件是中任意两个向量成比例。

（）答案:错9.向量组线性无关的充要条件是中任意两个向量都不成比例。

（）答案:错10.将向量表示成向量的线性组合为（）。

答案:第四章1.设元齐次线性方程组中，则有非零解的充要条件是( ).答案:2.若齐次线性方程组有非零解，则( ).答案:3.设是矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的秩（）。

答案:等于4.设是矩阵，且则一定有非零解。

（）答案:对5.齐次线性方程组若有非零解，那么方程的个数小于未知数的个数。

（）答案:错6.齐次线性方程组有非零解的充要条件是（）。

线性代数智慧树知到课后章节答案2023年下贵州理工学院贵州理工学院第一章测试1.一个非齐次线性方程组的解可能有以下哪几种形式（）。

答案:无穷多解;无解;唯一解2.有若干只龟鹤同在一个地方，共有100个头和350只脚，问笼中各有多少只龟和鹤（）？答案:龟有75只，鹤有25只3.在一个含有四个方程的阶梯形方程组中，它们非零方程的个数等于其主变量的个数。

（）答案:对4.若向量，，线性无关，则应满足条件（）。

答案:5.齐次线性方程组一定有解。

（）答案:对6.一个非齐次线性方程组的自变量既有主变量，又有自由变量，则该方程组一定有唯一解。

（）答案:错7.一个向量组要么是线性相关，要么是线性无关。

（）答案:对8.设向量，，当为何值时，有成立（）。

答案:9.在以下各命题中，正确成立的有（）。

答案:向量组中任一向量都可由这个向量组线性表示;任意一个n维向量可由n维基本单位向量组线性表示;一个零向量可由任意的同维向量线性表示;一个非零向量必线性无关10.一个向量的负向量可以有多个。

（）答案:错11.已知，则（）。

答案:-0.5第二章测试1.设矩阵 , , ,则下列运算有意义的是（）。

答案:2.设为阶矩阵，下列命题正确的是（）。

答案:3.下列矩阵为初等矩阵的是（）。

答案:4.设，都是阶可逆阵，则下列运算正确的是（）。

答案:5.设阶方阵、、满足，则下列等式成立的是（）。

答案:6.可逆矩阵都是等价的。

（）答案:错7.若A、B都是n阶可逆矩阵，则A可以通过初等行变换化为B。

（）答案:错8.若AB=E，则A一定可逆。

（）答案:错9.若A、B都是n阶可逆矩阵，则它们可以化为同一个标准型矩阵。

（）答案:对10.若方阵满足，则必有或。

（）答案:错第三章测试1.的值等于（）。

答案:-142.已知4阶方阵A,其第三列元素分别为1，3，-2，2，它们的余子式的值分别为3，-2，1，1，则行列式（）。

答案:53.计算行列式（）。

答案:-1804.设行列式则行列式（）。