2．3.2 圆的一般方程学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．知识点圆的一般方程思考1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？思考2 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？梳理方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点(－D2，－E2)D2＋E2－4F>0表示以(－D2，－E2)为圆心，以12D2＋E2－4F为半径的圆类型一圆的一般方程的概念例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1 (1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．类型二求圆的一般方程例2 已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．引申探究若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．类型三求轨迹方程例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．反思与感悟求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程．特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点．跟踪训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )A．8π B．4πC．2π D．π2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝03．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤124．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为( ) A ．－2,4,4 B ．－2，－4,4 C ．2，－4,4D ．2，－4，－45.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹方程．1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆．此时判断D 2＋E 2－4F 是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 2．待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D 、E 、F .3．求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设动点M 的坐标(x ，y )． (2)列出点M 满足条件的集合．(3)用坐标表示上述条件，列出方程f (x ，y )＝0. (4)将上述方程化简．(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．答案精析问题导学 知识点思考1 对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝－1，不表示任何图形． 思考2 对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方并移项，得 (x ＋D2)2＋(y ＋E2)2＝D 2＋E 2－4F4.①当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，它表示一个点(－D 2，－E2)；③当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形． 题型探究例1 解 由表示圆的条件， 得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0， 解得m <15，即实数m 的取值范围为(－∞，15)．圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m . 跟踪训练1 (1)(－2，－4) 5 (2)9π解析 (1)由圆的一般方程知，a ＋2＝a 2，得a ＝2或－1. 当a ＝2时，该方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，∵D 2＋E 2－4F ＝12＋22－4×52＜0，∴a ＝2不符合题意； 当a ＝－1时，方程可化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(2)圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为(－k2，－1)，由圆的性质知，直线x －y ＋1＝0经过圆心， ∴－k2＋1＋1＝0，得k ＝4，∴圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的半径为 1242＋22＋16＝3， ∴该圆的面积为9π.例2 解 (1)设△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋－12＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的一般方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0， ∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0， 即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或a ＝6. 引申探究解 ∵k AB ＝3－25－2＝13，AB 的中点坐标为(72，52)，∴AB 的垂直平分线方程为y －52＝－3(x －72)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y －52＝－3x －72，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝132，y ＝－132，即圆心C 的坐标为(132，－132)，r ＝132－22＋－132－22＝3702， ∴圆C 的方程为(x －132)2＋(y ＋132)2＝1852.跟踪训练2 解 方法一 (待定系数法) 设圆的一般方程方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 点的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知，得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48. 联立①②④，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 (几何法)由题意，得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0， ∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上， 设其坐标为(a ，a －1)． 又圆C 的半径r ＝|CP |＝a －42＋a ＋12.①由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |， ∴r 2＝a 2＋(432)2，代入①整理得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，∴r ＝13或r ＝37.故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.例3 解 (1)设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D (32，－12)．又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得圆心C (－3，－2)，则半径r ＝|CA |＝－3－12＋－2－12＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)． 因为点P 的坐标为(5,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －5，y 0＝2y .又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动， 所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25， 即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25. 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.跟踪训练3 解 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系(如图)，则点A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵|AD |＝3， ∴(x 0＋2)2＋y 20＝9.②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36. ∵点C 不能在x 轴上， ∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)． 当堂训练1．C 2.C 3.B 4.A5．解 设点B 坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点， 所以4＝x 0＋x2，3＝y 0＋y2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .① 因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动， 所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4， 即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4， 整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.。
