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对于自治的慢变参数系统 如果干扰力是小量, 对于自治的慢变参数系统, 如果干扰力是小量 则系统的微分方 自治的慢变参数系统 程式可表示为
d dt dx d x d2 x M (τ ) d t + k (τ ) x = ε f τ , x , d t , d t 2
d 2 dθ d ml (τ ) d t + 2n d t l(τ )θ + mgl(τ ) sinθ = 0 dt
[
]
取
1 3 sinθ ≈ θ − θ 6
d 2 dθ ml (τ ) d t + mgl(τ )θ = ε dt dθ f τ ,θ , dt
第九章 慢变参数系统的渐近法
9.1 慢变参数自治系统的渐近法 9.2 慢变参数非自治系统的渐近法 9.3 应用举例
第九章 慢变参数系统的渐近法
9.1 慢变参数自治系统的渐近法
在非线性微分方程中, 若质量、阻尼、刚度或干扰力随时间慢变, 在非线性微分方程中 若质量、阻尼、刚度或干扰力随时间慢变 则该系 统为慢变参数系统 慢变参数系统。 统为慢变参数系统。 所谓慢变, 是指这些参数与 相比变化很慢。 所谓慢变 是指这些参数与 时间的自然单位 ( 振动周期 ) 相比变化很慢。 这些参数要经历多个振动周期后变化才较明显 要经历多个振动周期后变化才较明显。 这些参数要经历多个振动周期后变化才较明显。 例如, 火箭发射过程中 由于燃料不断地燃烧和消耗, 例如 火箭发射过程中, 由于燃料不断地燃烧和消耗 火箭的整体质量是 随时间而慢变的。 随时间而慢变的。 大型燃气轮机、发电机和电动机等回转机械上的转子, 大型燃气轮机、发电机和电动机等回转机械上的转子 当转轴表面产生 裂纹时, 随着裂纹的逐步扩展和加深, 转子刚度会发生明显变化。 裂纹时 随着裂纹的逐步扩展和加深 转子刚度会发生明显变化。 矿井提升机提升罐笼, 罐笼与钢绳组成的振动系统的振动质量和刚度会 矿井提升机提升罐笼 罐笼与钢绳组成的振动系统的振动质量和刚度会 随钢绳的缩短或伸长而缓慢变化。 随钢绳的缩短或伸长而缓慢变化。 挖掘机的铲斗的振动, 当考虑斗杆向前推进或往后退缩时,可视为一长度 挖掘机的铲斗的振动 当考虑斗杆向前推进或往后退缩时 可视为一长度 慢变的摆。 慢变的摆。 采用改变支承刚度的办法来控制转子系统过共振区时的振动的过程 改变支承刚度的办法来控制转子系统过共振区时的振动的过程中 采用改变支承刚度的办法来控制转子系统过共振区时的振动的过程中, 支 承刚度是慢变的。 承刚度是慢变的。 装有惯性激振器的振动机的起动过程是属于干扰力慢变的振动系统 惯性激振器的振动机的起动过程是属于干扰力慢变的振动系统。 装有惯性激振器的振动机的起动过程是属于干扰力慢变的振动系统。 再如智能结构的形状或位置发生变化的动态过程多数也属于慢变过程。 智能结构的形状或位置发生变化的动态过程多数也属于慢变过程 再如智能结构的形状或位置发生变化的动态过程多数也属于慢变过程。
k (τ ) M (τ )
式中
( ) f (τ,a,ψ) = f (τ,acosψ,−aωsinψ,−aω cosψ)
f0 (τ,a,ψ) = f τ,acosψ,−aωsinψ,−aω2 cosψ
1 ' x 2
∂u1 ' +(δ1a) cosψ − aω1 sinψ +ω(τ) fx τ,acosψ,−aωsinψ,−aω2 cosψ ∂ψ
为周期的函数。 的以 2π 为周期的函数。 设该非线性系统的等效阻尼比 设该非线性系统的等效阻尼比 δ e和等效固有频率 ω e 表示为小 的幂级数的形式, 参数ε 的幂级数的形式 即
ω e = ω + εω 1 (τ , a ) + ε 2ω 2 (τ , a )
求得后, 当 δ 1 ,δ 2 ,ω 1 ,ω 2 求得后 便可求出
d dx M (τ ) dt dt
式中
M (τ ) —慢变质量； 慢变质量； 慢变质量
ε
τ
[
—慢变时间 τ＝ε 慢变时间, 慢变时间
d x d2 x ] + k (τ ) x = ε ⋅ F τ ,θ , x, d t , d t 2
(9-14)
t
;
—小参数 小参数; 小参数
式中
τ
—慢变时间 慢变时间, 慢变时间
ε —小参数 小参数; 小参数
τ＝ ε t
(9-1)
;
M (τ ) —慢变质量； 慢变质量； 慢变质量
k (τ ) —慢变刚度； 慢变刚度； 慢变刚度
d x d2 x f τ , x, , 非线性作用力。 非线性作用力 2 —非线性作用力。 dt dt
ω (τ ) a dψ = ω (τ ) − dt 16
2
a 设初始条件： 设初始条件：当 t=0 时，
分，得
= a0 。对方程组第二个方程进行积
3/ 4
a = a0 e
n t dt − m 0 l (τ )
∫
l ( 0) l (τ )
从第三个方程, 可求得 从第三个方程
∂ (δ1a ) 1 d M (τ ) ∂ (δ1a ) 2 (δ1a ) + (δ1a ) − aω1 + ω2 (τ , a ) = 2ω (τ )a ∂a M (τ ) d τ ∂τ 2π 1 − f (τ , a,ψ )cosψ dψ 2πaM (τ )ω (τ ) 0 1 (9-11) 1
这时, 这时 上式可写为
d l(τ ) dθ dθ 1 ε f τ ,θ , = −2n l(τ ) − 2ε n θ + mgl(τ )θ 3 dt dt dτ 6
ω (τ ) =
l (τ )
g
根据前述方法可求得第一近似解为
θ = a cosψ ,
3ε l ′ (τ ) da na =− − a dt ml (τ ) 4l (τ )
3/ 2 n t dt − ∫ 1 2 m 0 l (τ ) l ( 0) t ψ = ∫0 ω (τ ) 1 − a0 e dt l (τ ) 16
9. 2 慢变参数非自治系统的渐近法
9.2.1 周期激振力作用下的慢变参数非线性系统 对于周期激振力作用下的慢变参数系统, 对于周期激振力作用下的慢变参数系统 其运动方程式作适当 变换之后, 变换之后 可表示为
δ e = εδ 1 (τ , a ) + ε δ 2
2
a 和ψ 。
da = εδ 1 (τ , a ) + ε 2δ 2 (τ , a ) a + ε 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ dt dψ = ω (τ ) + εω 1 (τ , a ) + ε 2ω 2 (τ , a ) + ε 3 ⋅ ⋅ ⋅
dt
∫
(9-9)
这时有
d M (τ )ω (τ ) da εa =− − δ e (τ , a )a 2 M (τ )ω (τ ) dt dτ dψ = ω e (τ ) dt
(9-10)
[
]
在二次近似解中, 是中不包含一次谐波，由方程(9-4) 在二次近似解中 同样 u2 (τ ,a ,ψ ) 是中不包含一次谐波，由方程 第二式得
(
)
∂2u1 ∂2u1 ∂2u1 +M(τ) 2 ω(τ) +2ω(τ)(δ1a) + 2ω(τ)ω1 2 ∂a∂ψ ∂ψ ∂τ∂ψ ∂ u1 dω(τ) ∂ u1 ω(τ) d M(τ) + + ∂ψ dτ ∂ψ M(τ) dτ
（9-5） ）
f x' 和 f x'' 是函数 f 关于位移 x 和速度 x' 的一阶导数。 的一阶导数。 式中
∂ω1 1 d M (τ ) ∂ω1 (δ1a ) + + 2(δ1 )ω1 + ω1 δ 2 (τ , a ) = − 2ω (τ ) ∂a M (τ ) d τ ∂τ 2π 1 − f (τ , a,ψ )sinψ dψ 2πaM (τ )ω (τ ) 0 1 1
∫ ∫
所以, 所以 二次近似解为
∑
∫
∫
2π 1 ω1 (τ , a) = − f (τ , a,ψ )cosψ dψ 2πaM(τ )ω(τ ) 0 0
∫
(9-6) (9-7)
由上式可求出方程的第一近似解
x = a cos ψ
式中
d M (τ )ω (τ ) da εa ε 2π =− − ∫0 f 0 (τ , a ,ψ ) sinψ d ψ dt dτ 2 M (τ )ω (τ ) 2πM (τ )ω (τ ) dψ ε 2π = ω (τ ) − ∫0 f 0 (τ , a ,ψ ) cosψ d ψ dt 2πaM (τ )ω (τ ) (9-8)
在带有慢变参数的振动系统中， 在带有慢变参数的振动系统中，固有频率ω
(τ ) 是慢变时间τ
的函数。 的函数。 我们假设方程的解有以下形式
x = a cosψ + εu1 (τ , a ,ψ ) + ε u2 (τ , a ,ψ ) +L
2
(9-2)
式中
a 和 ψ 是时间 t 的周期函数 u1(τ ,a ,ψ ) ,u2 (τ ,a ,ψ ) ,L 是角 固有频率 ω (τ ) =
和前两章相同，渐近法的核心问题是如何确定 u1,u2,δ1,,δ2,ω1,ω2,L 和前两章相同， 为了求出上述未知系数, 方程的左边表示为上述未知系数的函数, 。为了求出上述未知系数 方程的左边表示为上述未知系数的函数 将方程的右边展为泰勒级数, 的同次幂的系数相等, 将方程的右边展为泰勒级数 令方程两边 ε 的同次幂的系数相等 得
