数列的概念与简单表示法练习题(1)(可编辑修改word版)

n { n n 2 n一.选择题 数列的概念与简单表示法练习1. 下列解析式中不是数列1, -1,1, -1,1 ，的通项公式的是（ ）A. a = (-1)nB. a n = (-1)n +1C. a n = (-1)n -1D. a n =1，n 为奇数 -1，n 为偶数 2. 数列2，5，2 2，11 的一个通项公式是（） A. a n B. a n C. a n D. a n 3. 已知数列{a n } ， a n = 1 n (n + 2) (n ∈ N ) ，那么 1 是这个数列的第（ ）项. + 120A. 9B. 10C. 11D. 12 4. 数列{a n }， a n = f (n ) 是一个函数，则它的定义域为（ ） A. 非负整数集 B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{1, 2, 3, 4, , n } 5. 已知数列{a } ， a = 2n 2 -10n + 3 ，它的最小项是（ ）A. 第一项B. 第二项C. 第三项D. 第二项或第三项6. 已知数列{a n } ，a 1 = 3， a 2 = 6 ，且 a n +2 = a n +1 - a n ，则数列的第五项为（ ） A. 6B. -3C. -12D. -6 二.填空题7.已知数列{a n } ， a n = kn - 5,且a 8 = 11 ，则 a 17 = .8.已知 f (x ) = log (x 2 + 7) ， a = f (n ) ，则{a n } 的第五项为 .9.数列15 , 24 , 35 , 48 , 63 , , 的一个通项公式为 .2 5 10 17 26 10. 已知数列{a n } 满足 a 1 = -2 ， a 三.解答题= 2 + 2a n 1- a n ，则 a 4 = . 11. 已知数列{a n } 中， a 1 = 3， a 10 = 21，通项 a n 是项数 n 的一次函数， ①求{a n } 的通项公式，并求 a 2005 ； ②若{b n } 是由 a 2 , a 4 , a 6 , a 8, , 组成，试归纳{b n } 的一个通项公式.3n - 33n -1 3n +1 3n +3 n +112. 已知{a n } 满足 a 1 = 3， a n +1 = 2a n +1，试写出该数列的前5 项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.13. 已知数列 中，（1），且 对任意 n∈N*恒成立，求实数 λ 的取值范围；（2），求常数 的值14 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式. (1) a 1 ＝0, a n +1 ＝ a n ＋(2n －1)(n∈N)；(2) a ＝1, a＝ 2a n (n∈N)； 1 n +1 a n + 2(3) a 1 ＝3, a n +1 ＝3 a n －2 (n∈N).。

§2.1 数列的概念与简单表示法题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二 教材改编2．[P33A 组T4]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23 答案 D解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.3．[P33A 组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －4 题组三 易错自纠4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－3，＋∞)解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，则此数列最大项的值是________． 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *)答案 C解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．2．数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.答案 (－1)n 1n (n ＋1)解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1n (n ＋1).思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理． (3)如果是选择题，可采用代入验证的方法．题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式典例 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N *)，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N *解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N *.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13(n ∈N *)，则{a n }的通项公式a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． 跟踪训练 (1)(2017·河南八校一联)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案 －2n －1解析 由题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1. (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求通项公式典例 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1＝ln n n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2)． 又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． (2)∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n a n －1＝2n －1 (n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22n n -(n ∈N *)．(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．引申探究 在本例(2)中，若a n ＝n －1n ·a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，其他条件不变，则a n ＝________.答案 1n解析 ∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列． (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列． (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解．(4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝______________. 答案 3×2n －1－2解析 由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3， 将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n.题型四 数列的性质命题点1 数列的单调性典例 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列 答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性典例 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝_______________________________________.答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n ，∴a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值典例 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大．思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1， a 1＝35，则数列的第 2 018项为________． 答案 15解析 由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( ) A ．504 B ．588 C ．－588 D ．－504 答案 C解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n －1a n ＋1，∴a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×⎝⎛⎭⎫－76＝－588，故选C.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n，则此数列的最大项是第________项． (2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是__________． 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项． (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *，∴k >－3. 答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1 B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1 答案 C解析 对n ＝1,2,3,4进行验证，知a n ＝2sinn π2不合题意，故选C. 2．(2018·葫芦岛质检)数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223答案 C解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.3．(2017·黄冈质检)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．4C ．2 2D ．45 答案 B解析 由题意得a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1＝…＝a 22－a 21＝3，故{a 2n }是以3为公差的等差数列，即a 2n ＝3n －2.所以a 26＝3×6－2＝16.又a n >0，所以a 6＝4.故选B.4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018等于( )A ．3B ．2 C.12 D.23答案 A解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23，a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3，∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6， ∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．(2018·长春调研)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4 D ．0 答案 D解析 ∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 6．(2017·江西六校联考)已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,5) B.⎝⎛⎭⎫73，5 C.⎣⎡⎭⎫73，5 D ．(2,5) 答案 D解析 ∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a >1，5(5－a )－11<a 2，解得2<a <5，故选D.7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝________.答案 85解析 借助递推关系，由a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.9．(2018·大庆模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________. 答案 4或5解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋3)·⎝⎛⎭⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4， 即4≤n ≤5，又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.10．(2017·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________. 答案2n 2－n ＋2解析 由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2，又因为a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n2＋1＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N *)．11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2， 同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列， 故a n ＝n .12．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0.因为a 1>0，所以a 1＝1. (2)因为3T n ＝S 2n ＋2S n ，① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1，②②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1.因为a n ＋1>0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2，③ 所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2，④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1， 即a n ＋2＝2a n ＋1， 所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝2.又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0.因为a 2>0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.13．(2017·江西师大附中、鹰潭一中联考)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 015a 2 013等于( ) A ．4×2 0152－1 B ．4×2 0142－1 C ．4×2 0132－1 D ．4×2 0132 答案 C解析 由题知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，则a n ＋1a n ＝2n －1，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝(2n －3)×(2n －5)× (1)所以a 2 015a 2 013＝(2×2 015－3)(2×2 015－5)×…×1(2×2 013－3)(2×2 013－5)×…×1＝4 027×4 025＝(4 026＋1)(4 026－1)＝4 0262－1＝4×2 0132－1.14．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析 设数列为{a n }，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)·⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n (n ＋4)·⎝⎛⎭⎫23n ＝⎝⎛⎭⎫23n ⎣⎡⎦⎤23(n 2＋6n ＋5)－n 2－4n ＝2n3n ＋1(10－n 2)． 所以当n ≤3时，a n ＋1>a n ； 当n ≥4时，a n ＋1<a n .因此，a 1<a 2<a 3<a 4，a 4>a 5>a 6>…， 故a 4最大，所以k ＝4.15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n 等于( ) A.15n 2－25n ＋65 B ．n 3－5n 2＋9n －4 C ．n 2－2n ＋2 D ．2n 2－5n ＋4 答案 C解析 由题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋(1＋2n －3)(n －1)2＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2(n ∈N *)，故选C.16．(2017·太原五中模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________. 答案 1n(n ∈N *)解析 因为数列{a n }是首项为1的正项数列， 所以a n ·a n ＋1≠0，所以(n ＋1)a n ＋1a n －na na n ＋1＋1＝0.令a n ＋1a n＝t (t >0)，则(n ＋1)t 2＋t －n ＝0， 分解因式，得[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0， 所以t ＝n n ＋1或t ＝－1(舍去)，即a n ＋1a n ＝nn ＋1.方法一 (累乘法)因为a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ，所以a n ＝1n (n ∈N *)．方法二 (迭代法) 因为a n ＋1＝nn ＋1a n，所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n .n －2n －1.a n －2＝n －1n .n －2n －1.n －3n －2.a n －3＝...＝n －1n .n －2n －1.n －3n －2.. (1)2a 1，所以a n ＝1n (n ∈N *)．方法三 (特殊数列法)因为a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以(n ＋1)a n ＋1na n＝1.所以数列{na n }是以a 1为首项，1为公比的等比数列． 所以na n ＝1×1n －1＝1. 所以a n ＝1n(n ∈N *)．。

一、数列的概念选择题1．若数列{a n }满足1112,1nn na a a a ++==-，则2020a 的值为（ ） A ．2B ．－3C ．12-D ．132．已知数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007B ．1008C ．1009.5D ．10103．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则10a ＝（ ）A ．35B ．40C ．45D ．504．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．525．数列{}n a 满足()11121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（ ）A ．1006B ．1176C ．1228D ．23686．在数列{}n a 中，()1111,1(2)nn n a a n a --==+≥，则5a 等于A ．32B ．53 C ．85D ．237．若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n --B ．(1)n n -C ．1(1)1n n +-+D ．(1)1n n -+8．已知数列{}n a 的通项公式为()()211nn a n=--，则6a =（ ）A ．35B ．11-C ．35-D ．119．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若112a =，()()*n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ．1324n S ≤< B ．314n S ≤< C ．102n S <≤D ．112n S ≤< 10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184B ．174C ．188D ．16011．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，可归纳得数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1+=n n a nB ．21n n a n +=+ C ．3132n n a n -=-D ．221n na n =- 12．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24B ．26C ．28D ．3013．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，则2019a =（ ） A ．3-B ．12-C ．13D ．214．在数列{}n a 中，21n n a n +=+，则{}n a （ ） A ．是常数列B ．不是单调数列C ．是递增数列D ．是递减数列15．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-16．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（ ）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202217．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个18．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么24620201a a a a +++++=（ ）A ．2021aB ．2022aC ．2023aD ．2024a19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n S +=，则34a a +=（ ）A ．81B ．243C ．324D ．21620．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174B ．184C ．188D ．160二、多选题21．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．222．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+23．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦D ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦24．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 25．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 26．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =27．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =28．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列29．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.30．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列31．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值32．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d < C ．80a = D ．n S 的最大值是8S 或者9S33．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+34．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．D 解析：D 【分析】分别求出23456,,,,a a a a a ，得到数列{}n a 是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果. 【详解】由题意知，212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，612312a +==--，…，因此数列{}n a 是周期为4的周期数列， ∴20205054413a a a ⨯===. 故选D. 【点睛】本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.2．D解析：D 【分析】根据题设条件，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122S =+-=，从而求得2017S 的值，得到答案. 【详解】由题意，数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-， 可得234111,121,1(1)2,22a a a =-==-=-=--=，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122S =+-= 所以20173672210102S =⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.3．A解析：A 【分析】利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】223n S n n =-,n 2∴≥时，1n n n a S S -=-22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35故选：A. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．4．A解析：A 【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a >所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A 【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.5．B解析：B 【分析】根据题意，可知()11121n n n a a n ++--=-，分别列出各项，再整理得出132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，，45472a a +=，4648184a a +=，可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16，利用分组求和法，即可求出{}n a 的前48项和. 【详解】解：由题可知，()11121n n n a a n ++=-+-，即：()11121n n n a a n ++--=-，则有：211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，8713a a -=，9815a a +=，，474691a a +=，484793a a -=.所以，132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，，45472a a +=，4648184a a +=，可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16， 设数列{}n a 的前48项和为48S ， 则4812345645464748S a a a a a a a a a a =++++++++++，()()1357454724684648a a a a a a a a a a a a =+++++++++++++12111221281611762⨯=⨯+⨯+⨯=， 所以数列{}n a 的前48项和为：1176. 故选：B. 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及利用分组求和法求和，考查归纳思想和计算能力.6．D解析：D 【解析】分析：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，．详解：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，．故选D 点睛：对于含有()1n-的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．7．C解析：C 【分析】根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式. 【详解】设所求数列为{}n a ，可得出()111111a+-=+，()212121a+-=+，()313131a+-=+，()414141a+-=+，因此，该数列的一个通项公式为()111n na n +-=+.故选：C. 【点睛】本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.8．A解析：A 【分析】直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()211nn a n=--，所以626(1)(61)35a =--=.故选：A 【点睛】本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.9．D解析：D 【分析】根据题意得出1112n n n a a a a +==，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】取1x =，()y n n N*=∈，由题意可得()()()111112n n n a f n f f n a a a +=+=⋅==， 112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12为公比的等比数列，11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即112n S ≤<. 故选：D.【点睛】本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．B解析：B 【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【详解】3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()11113322n n n n -+⋅--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.11．A解析：A 【分析】将前五项的分母整理为1,2,3,4,5，则其分子为2,3,4,5,6，据此归纳即可. 【详解】 因为12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，故可得1223,12a a ==, 343a =，454a =，565a =， 故可归纳得1+=n n a n. 故选：A.本题考查简单数列通项公式的归纳总结，属基础题.12．B解析：B 【分析】先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ， 此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6， 其中1+1+2+3+1+0=8，则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=， 故选：B.13．B解析：B 【分析】由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可. 【详解】 由1111n n n a a a ++-=+，可得111nn n a a a ++=-，由12a =，可得23a =-，312a =-，413a =，52a =，由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4， 所以2019312a a ==-. 故选：B.14．D解析：D 【分析】由21111n n a n n +==+++，利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】在数列{}n a 中，21111n n a n n +==+++， 由反比例函数的性质得：{}n a 是*n N ∈时单调递减数列， 故选：D15．B解析：B由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =， 所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.16．C解析：C 【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)112a ⨯-=+=，， 第2行第1列的数为2，此时212(21)122a ⨯-=+=，， 第3行第1列的数为4 ,此时313(31)142a ⨯-=+=，， 据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)120172a ⨯-=+=，，则6452021a =，， 故选：C.17．B解析：B 【分析】讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；③若13a =，则26a =，33a =，46a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.下面说明，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.（1）当(3412,2a ⎤∈⎦且1N a *∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列； （2）假设当(()112,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(()1212,23,k k a k k N ++*⎤∈≥∈⎦时.若1a 为正偶数，则(1122,22k k a a +⎤=∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列；若1a 为正奇数，则((121321323,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.综上所述，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．18．A解析：A 【分析】根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a +++++++++=+3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++=+++=+=.故选：A19．D解析：D 【分析】利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，34216a a ∴+=故选：D 【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.20．A解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】 依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.二、多选题 21．ABC 【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.22．BD 【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设； 选项B ： ，符合题设； 选项C ：， 不符合题设； 选项D ： ，符合题设解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.23．BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……， 显然，，，，，所以且，即B 满足条件； 由， 所以 所以数列解析：BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +-=⎝⎭1115()n F F n n -+=++， 令1nn n F b-=⎝⎭，则11n n b +=+， 所以1n n b b +=-，所以n b ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭以510-32-为公比的等比数列，所以1n n b -+，所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．24．ABCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，， 可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.25．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；解析：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.26．ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确； ∵，，故有，故B 正确； 该数解析：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.27．AD 【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和， 进而可得，由此可知，故不正确； 对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案； 对于，由求出及解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.28．ABC 【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断. 【详解】 当时，由， 得， 即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以， 即，故C 正确； 所以，故A 正确； ，解析：ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC29．ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.30．AB 【分析】根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列中，即， .对于A 选项，，所以A 选项正确. 对于C 选项，，，所以，解析：AB 【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.故选：AB 【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.31．ABD 【分析】由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确； 由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.32．BD 【分析】由，即，进而可得答案． 【详解】 解：， 因为所以，，最大， 故选：． 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．解析：BD 【分析】由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案． 【详解】解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==， 因为10a >所以90a =，0d <，89S S =最大， 故选：BD ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．33．AC 【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式 【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差， 所以，. 故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.解析：AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.34．ACD 【分析】由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确. 【详解】因为，所以，所以，即解析：ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910191902a a S a+⨯===，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.35．CD 【分析】根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案； 【详解】 ，，设，则点在抛物线上， 抛物线的开口向下，对称轴为， 且为的最大值，解析：CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案； 【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

高考数学---数列的概念与简单表示法课后作业练习（含答案解析）建议用时：45分钟一、选择题1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n等于()A.（－1）n＋12B．cosnπ2C．cos n＋12πD．cosn＋22πD[令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．]2．若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝nn＋1，则1a5等于()A.56 B.65C.130D．30D[当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝nn＋1－n－1n＝1n（n＋1），所以1a5＝5×6＝30.]3．记S n为数列{a n}的前n项和．“任意正整数n，均有a n>0”是“{S n}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵“a n>0”⇒“数列{S n}是递增数列”，∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分条件．如数列{a n}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{S n}是递增数列，但是a n 不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n>0”，∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的不必要条件．∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．] 4．(2019·武汉5月模拟)数列{a n}中，a n＋1＝2a n＋1，a1＝1，则a6＝() A．32 B．62C．63 D．64C[数列{a n}中，a n＋1＝2a n＋1，故a n＋1＋1＝2(a n＋1)，因为a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故a n＋1≠0，所以a n＋1＋1a n＋1＝2，所以{a n＋1}为等比数列，首项为2，公比为2.所以a n＋1＝2n即a n＝2n－1，故a6＝63，故选C.]5．若数列{a n}的前n项和S n＝n2－10n(n∈N*)，则数列{na n}中数值最小的项是()A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项B[∵S n＝n2－10n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴a n＝2n－11(n∈N＋)．记f(n)＝na n＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图像的对称轴为直线n＝114，但n∈N＋，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{na n}中数值最小的项是第3项．]二、填空题6．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第________项．21[数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n＝5＋6（n－1）＝6n－1，令6n－1＝55，得n＝21.]7．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，a n＋1＝(2n－λ)a n(n＝1，2，…)，则a3等于________．15[令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由a n＋1＝(2n＋1)a n，得a3＝5a2＝5×3＝15.]8．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．28[∵a1a2a3＝8，且a1＝1，a2＝2.∴a3＝4，同理可求a4＝1，a5＝2.a6＝4，∴{a n}是以3为周期的数列，∴a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(1＋2＋4)×4＝28.]三、解答题9．(2019·洛阳模拟)已知数列{a n}满足a1＝50，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*)，(1)求{a n}的通项公式；(2)已知数列{b n}的前n项和为a n，若b m＝50，求正整数m的值．[解](1)当n≥2时，a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50＝2×（n－1）n2＋50＝n 2－n ＋50.又a 1＝50＝12－1＋50，∴{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋50，n ∈N *. (2)b 1＝a 1＝50， 当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝n 2－n ＋50－[(n －1)2－(n －1)＋50]＝2n －2， 即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧50，n ＝12n －2，n ≥2.当m ≥2时，令b m ＝50，得2m －2＝50，解得m ＝26. 又b 1＝50，∴正整数m 的值为1或26.10．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，设b n ＝S n －3n ，(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． [解] (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )， 即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝S 1－3＝a －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n－1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a 2＝a 1＋3＞a 1(a ≠3)．综上，a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3)C [由a n ＋1＝a n a n ＋2，知1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为1a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以1a n ＋1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －λ)·2n ，因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n －λ)2n －(n －1－λ)2n －1＝(n ＋1－λ)2n－1＞0对一切正整数n 恒成立，所以λ＜n ＋1，因为n ∈N *，所以λ＜2，故选C.]2．(2019·临沂三模)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 019项的和为( )A ．672B ．673C ．1 346D ．2 019C [由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，可得{a n }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以{a n }是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1＋1＋0＝2， 因为2 019＝673×3，所以数列{a n }的前2 019项的和为673×2＝1 346，故选C.]3．(2019·晋城三模)记数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3a n ＋2n －3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________．a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n[当n ＝1时，S 1＝a 1＝3a 1－1，解得a 1＝12；当n ≥2时，S n ＝3a n ＋2n －3，S n －1＝3a n －1＋2n －5，两式相减可得，a n ＝3a n －3a n －1＋2，故a n ＝32a n －1－1，设a n ＋λ＝32(a n －1＋λ)，故λ＝－2，即a n －2＝32(a n －1－2)，故a n －2a n －1－2＝32.故数列{a n －2}是以－32为首项，32为公比的等比数列，故a n －2＝－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n .] 4．已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． [解] (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ， ∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ， 即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，∴a n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2) ＝2·3n －λ(2n ＋1)． ∵数列{b n }为递增数列， ∴2·3n －λ(2n ＋1)>0， 即λ<2·3n2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1，即c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1. ∴{c n }为递增数列， ∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．1．(2019·烟台、菏泽高考适应性练习一)已知数列：1k ，2k －1，…，k 1(k ∈N *)，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{a n }：1，12，21，13，22，31，…，则89首次出现时为数列{a n }的( )A ．第44项B ．第76项C ．第128项D ．第144项C [观察分子分母的和出现的规律：2，3，4，5，…，把数列重新分组：⎝ ⎛⎭⎪⎫11，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，2k －1，…，k 1，可看出89第一次出现在第16组，因为1＋2＋3＋…＋15＝120，所以前15组一共有120项；第16组的项为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，215，…，710，89…，所以89是这一组中的第8项，故89第一次出现在数列的第128项，故选C.]2．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．[解] (1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0， 所以a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4， 所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5. 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37， 即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0，所以数列{c n}的变号数为3.。

一、数列的概念选择题1．若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n--B ．(1)n n -C ．1(1)1n n +-+D ．(1)1n n -+2．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 3．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=（ ）A ．135B ．141C ．149D ．1556．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足*112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则（ ）A ．63243a a a ≤-B ．2736+a a a a ≤+C ．7662)4(a a a a ≥--D ．2367a a a a +≥+7．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+ B ．21n +C ．2(1)1n -+D ．2n8．已知数列,21,n -21是这个数列的（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项9．3……，则 ）A ．第8项B ．第9项C ．第10项D ．第11项10．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()*21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ）A ．4-B ．5-C ．4D ．511．下列命题中错误的是（ ） A ．()()21f n n n N+=-∈是数列的一个通项公式B ．数列通项公式是一个函数关系式C ．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D ．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列12．已知数列{}n a ，{}n b ，其中11a =，且n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的实数根，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．6413．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．207514．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30B ．20C ．40D ．5015．已知数列{}n a 的通项公式为()()211nn a n=--，则6a =（ ）A ．35B ．11-C ．35-D ．1116．在数列{}n a 中，21n n a n +=+，则{}n a （ ） A ．是常数列B ．不是单调数列C ．是递增数列D ．是递减数列17．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-18．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（ ）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202219．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-20．已知数列{}n a 满足11a =，()*11nn n a a n N a +=∈+，则2020a =（ ） A ．12018B ．12019 C ．12020D ．12021二、多选题21．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 22．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >23．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．224．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．425．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=26．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列27．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列28．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 29．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．830．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值31．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =32．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值33．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列34．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式. 【详解】设所求数列为{}n a ，可得出()111111a+-=+，()212121a+-=+，()313131a+-=+，()414141a+-=+，因此，该数列的一个通项公式为()111n na n +-=+.故选：C. 【点睛】本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.2．A解析：A运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，121n n n n a a a a +++∴≥--，设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，∴数列{}n d 是递减数列.对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，所以1220182018d d d +++=，又1232018d d d d ≥≥≥≥，所以1122018201820182018d d d d d ≥+++≥，故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++≤++++=即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；结合A ，故B 不正确；对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A 【点睛】本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.3．C解析：C 【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++，且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21na n N *>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.4．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．5．D解析：D 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈， 所以当1n =时，得11a =， 当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S 因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======,[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==== ,[]363740[][]6S S S ====.所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D 【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】由条件可得出11n n n n a a a a -+-≤-，然后可得3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-，即可推出选项C 正确.【详解】因为*112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，所以12133n n n n S S S S -+-≤--，所以113n n n n a a a a +-≤++ 所以11n n n n a a a a -+-≤-，所以3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-所以()6232435465764a a a a a a a a a a a a -=-+-+-+-≤- 故选：C 【点睛】本题主要考查的是数列的前n 项和n S 与n a 的关系，解答的关键是由条件得到11n n n n a a a a -+-≤-，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 以上各式相加得：()()()21246.1221..212n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦-=+++==+--，又11a =，所以21n a n n =-+.故选：A. 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.8．B解析：B 【分析】根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】令2121n -=，解得n =11是这个数列的第11项. 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.9．D解析：D 【解析】 【分析】根据根号下的数字规律,可知为等差数列.利用等差数列性质求得通项公式,即可判断为第几项. 【详解】根据数列中的项,… 由前几项可知,根式下的数列是以5为首项, 4为公差的等差数列 则根式下的数字组成的等差数列通项公式为()51441n a n n =+-⨯=+而=所以4541n =+ 解得11n = 故选:D 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及简单应用,属于基础题.10．B解析：B 【分析】根据已知递推条件()*21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5a【详解】由()*21n n n a a a n N++=-∈知：3214a a a 4321a a a 5435a a a故选：B 【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题11．C解析：C 【分析】根据通项公式的概念可以判定AB 正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C 错误，根据无穷数列的概念可以判定D 正确. 【详解】数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确； 并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的； 根据无穷数列的概念，可知D 是正确的. 故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.12．D解析：D 【分析】根据题意，得到1n n n a a b ++=，12nn n a a +=，求得22a =，推出112n n a a +-=，进而可求出10a ，11a ，从而可求出结果.【详解】因为n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的实数根， 所以1n n n a a b ++=，12nn n a a +=，又11a =，所以22a =； 当2n ≥时，112n n n a a --=，所以11112n n n n n na a a a a a ++--==， 因此4102232a a =⋅=，5111232a a =⋅=所以101011323264b a a =+=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型.13．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.14．B解析：B 【分析】利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】由13920a a a ++=，得131020a d +=，则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.15．A解析：A 【分析】直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()211nn a n=--，所以626(1)(61)35a =--=.故选：A 【点睛】本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.16．D解析：D 【分析】由21111n n a n n +==+++，利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】在数列{}n a 中，21111n n a n n +==+++，由反比例函数的性质得：{}n a 是*n N ∈时单调递减数列， 故选：D17．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =， 所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.18．C解析：C 【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)112a ⨯-=+=，， 第2行第1列的数为2，此时212(21)122a ⨯-=+=，， 第3行第1列的数为4 ,此时313(31)142a ⨯-=+=，， 据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)120172a ⨯-=+=，，则6452021a =，，故选：C.19．B解析：B 【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.20．C解析：C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，结合等差数列的性质求出通项公式即可． 【详解】 解：11nn n a a a +=+， ∴两边同时取倒数得11111n n n na a a a ++==+， 即1111n na a ，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差1d =的等差数列，首项为111a ．则11(1)1nn n a =+-⨯=， 得1n a n=，则202012020a =， 故选：C 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，结合数列递推关系，利用取倒数法以及构造法构造等差数列是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力，属于基础题．二、多选题 21．ABD 【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，所以当时，，即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以 ，解析：ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x，即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.22．BC 【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错；1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.23．ABC 【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n <+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.24．BD 【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴时，， 化为：，由于数列单调递减， 可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】 本解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1nn a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．ABCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，， 可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.26．BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n aa ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.27．ABC 【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断. 【详解】 当时，由， 得， 即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以，即，故C 正确； 所以，故A 正确； ，解析：ABC【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC28．AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.29．BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.30．ABD 【分析】由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确； 由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.31．BD 【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 因为、、成等差数列，则，即， 解得，，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.32．ABD 【分析】由，判断，再依次判断选项. 【详解】 因为，，，所以数列是递减数列，故，AB 正确； ，所以，故C 不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确. 故选：AB解析：ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.33．AC 【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由， 得， 所以时，， 得时，， 即时，， 当时，由解析：AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ．本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.34．ACD 【分析】由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确. 【详解】因为，所以，所以，即解析：ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910191902a a S a+⨯===，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.35．CD 【分析】根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案； 【详解】 ，，设，则点在抛物线上， 抛物线的开口向下，对称轴为， 且为的最大值，解析：CD根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案； 【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

第一节 数列的概念与简洁表示考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式[例1] 依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….[自主解答] (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的确定值总比它的前一项的确定值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列变为89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，…， 故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n－32n .【方法规律】求数列的通项公式应关注的四个特征 (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．依据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，∴a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列21,22,23,24，…，∴a n ＝2n－12n .(3)数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因式(－1)n，各项确定值的分母组成数列{n }，分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1.∴a n ＝(－1)n 2＋－1nn.考点二由递推关系式求通项公式[例2] 依据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)；(2)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(4)a 1＝56，a n ＋1＝5a n4a n ＋1.[自主解答] (1)∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘，得a n ＝a 1×12×23×…×n －1n ＝a 1n ＝1n.(2)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3.∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2×3n －1.∴a n ＝2×3n －1－1.(4)∵a n ＋1＝5a n4a n ＋1，∴1a n ＋1＝45＋15a n ， ∴1a n ＋1－1＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1. 又1a 1－1＝15， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以15为首项，15为公比的等比数列，∴1a n －1＝15·15n －1＝15n ， ∴a n ＝5n 1＋5n .【方法规律】由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n ；。

高考数学复习专题九考点23《数列的概念与简单表示法》练习题（含答案）1.已知数列{}n a 的通项公式为2n a n kn =-，且{}n a 单调递增，则实数k 的取值范围是( ) A.(,2]-∞B.(,2)-∞C.(,3]-∞D.(,3)-∞2.22，24，…，则162( ) A.第8项B.第9项C.第10项D.第11项3.已知在数列{}n a 中，11a =，123n n a a +=+，则n a 等于( ) A.123n -+B.123n ++C.123n --D.123n +-4.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=.若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =( )A.2B.3C.4D.55.已知数列{}n a 满足32111232n n a a a a n ++++=-，则n a =( ) A.112n-B.312n - C.12nD.2nn 6.已知数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N ，且2n S n λ=+.若数列{}n a 为递增数列，则实数λ的取值范围为( ) A.(,1)-∞B.(,2)-∞C.(,3)-∞D.(,4)-∞7.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更远作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90~100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年龄最小者的年龄为( ) A.65B.66C.67D.688.已知数列{}n a 的前n 项和为112321 ,,0,3,2,1(3)22n n n n n n a aS a a a a n a a +--∈===⋅=++N .若100m a =，则m =( )A.50B.51C.100D.1019.若数列{}n a 满足12211,1,n n n a a a a a ++===+，则称数列{}n a 为斐波那契数列.1680年卡西尼发现了斐波那契数列的一个重要性质：211(1)(2)n n n na a a n -+-=-≥.在斐波那契数列{}n a 中，若k 满足22111(21)(21)999kki i i i i i a a i a ++==--≤-∑∑，给出下列结论：①k 可以是任意奇数；②k 可以是任意正偶数：③若k 是奇数，则k 的最大值是999；④若k 是偶数，则k 的最大值是500.其中正确结论的序号是( )A.①④B.②③C.①②D.③④10.已知集合{}{}1*21*3,,1333,n n A x x n B x x n --==∈==++++∈N N ∣∣.将A B ⋃的所有元素从小到大排列构成数列{}n c ，其前n 项和为n T ，则下列命题中真命题的个数为( ) ①202320222021c c c =+； ②{}2212n n c c --是等比数列；③使503n T >成立的n 的最小值为100； ④112ni ic =<∑恒成立. A.4B.3C.2D.111.在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，()122n n n a a a n --=+>.已知n S 为该数列的前n 项和，若2020S m =，则2022a =_____________.12.已知数列{}n a 中，11a =，()*12n n a a n +=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为n a =___________.13.数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1=a ___________. 14.已知数列{}n a 满足12a =，且31122(2)234n n a a a a a n n-++++=-≥，则{}n a 的通项公式为_______________.15.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2211n n n S a S λ++=-，其中λ为常数.（1）证明：12n n S S λ+=+.（2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.参考答案1.答案：D解析：∵数列{}n a 中()2*n a n kn n =-∈N ，且{}n a 单调递增，10n n a a +∴->对于*n ∈N 恒成立，即()22(1)(1)210n k n n kn n k +-+--=+->对于*n ∈N 恒成立. 21k n ∴<+对于*n ∈N 恒成立，即3k <.故选D.2.答案：B22(2)，3(2)，4(2)，…，由此可归纳该数列的通项公式为()*(2)n n ∈N .又9162(2)，所以1629项.故选B.3.答案：D解析：由123n n a a +=+，得()1323n n a a ++=+，且134a +=，则{}3n a +是以4为首项，2为公比的等比数列，则1342n n a -+=⨯，所以123n n a +=-. 4.答案：C解析：因为数列{}n a 中，m n m n a a a +=，令1m =，则112n n n a a a a +==，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则11122k k k a a ++=⋅=.所以()()1011101111210122212212k k k k k k k a a a a +++++++-+++==-=--，则1111552222k k ++-=-，所以4k =，故选C. 5.答案：D 解析：32111232n n a a a a n ++++=-①，当2n 时，31211112312n n a a a a n --++++=--②，则①-②得，1111222n n n n a n -=-=，故(2)2n n n a n =.当1n =时，112a =，也符合2n n na =，故选D. 6.答案：B解析：当1n =时，111a S λ==+；当2n 时，221(1)21n n n a S S n n n λλ-==+---=--.则120n n a a --=>，所以当2n 时，数列{}n a 为递增数列.若数列{}n a 为递增数列，只需21a a >，即31λ>+，所以2λ<.故选B.7.答案：B解析：设年龄最小者的年龄为n ，年龄最大者的年龄为([90,100])m m ∈，所以(1)(18)1520n n n m ++++++=，所以191349n m +=，所以134919m n =-，所以90134919100n -，所以14565661919n ，因为年龄为正整数，所以66n =，故选B.8.答案：D 解析：因为3412122a a a a ⋅=++，所以45a =，同理可得564,7a a ==.令2(3)2nn n a b n a -=+，则11n n b b +=，因为31b =，所以3452 1,2n n n b b b b a a -======+，则有21202(1)2 2 , 32(1)21k k a k k a k k -=+-=-=+-=+，故(1)n n a n =+-.若(1)100m m a m =+-=，则101m =.故选D. 9.答案：B解析：由211(1)(2)n n n na a a n -+-=-≥可得212111(21)(21)1357(1)(21)kkk i i i i i i a ai a k +++==-⋅--=-+-++--∑∑.若k 为偶数，则22111(21)(21)1357(21)kki i i i i i a a i a k k ++==---=-+-+--=-∑∑，此时22111(21)(21)999kki i i i i i a a i a ++==--≤-∑∑，即999k -≤，k 无最大值，所以②正确，④错误；若k 为奇数，则22111(21)(21)1357(21)kki i i i i i a a i a k k ++==---=-+-++-=∑∑，此时22111(21)(21)999k ki i i i i i a a i a ++==--≤-∑∑，即999k ≤，此时k 的最大值为999，所以①错误，③正确.故选B. 10.答案：B解析：设1*3,n n a n -=∈N ，则数列{}n a 是首项为1、公比为3的等比数列，其前n 项和213113332n n n B --=++++=.因为111a B ==，且当2n ≥时，131332n n n --<<， 所以把A B ⋃的所有元素从小到大排列为122334455,,,,,,,,,B a B a B a B a B ，所以212131,32n n n n n n c B c a -+-====.对于①，1221213131322n n nn n n c c c +-+--+=+==，取1011n =，有202320222021c c c =+，故①正确.对于②，因为2213123212n nn n c c ---=-⨯=是常数，所以{}2212n n c c -- 是以1为首项、1为公比的等比数列，故②正确.对于③，易知49503a =，则数列{}n c 的前98项和()()98235012349T a a a B B B B =++++++++()234912350234950B B B B a a a B B B B =++++++++=++++()5123505014931073333224-=⨯+++-=<，前99项和515050509998999850310731531093424T T c T B --⨯-=+=+=+=>，故使得503n T >成立的n 的最小值为99，故③错误.对于④，因为当2n ≥时，0n n B a >>，所以11113n n n B a -<=， 所以2121122311111111111112122333333nn nn i i n n c B B B a a a -=+⎛⎫⎫⎛⎛⎫⎛⎫=+++++++<+++++++=-< ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎭∑，又因为21211112n n i i i i c c -==<<∑∑，所以112ni ic =<∑恒成立，故④正确.11.答案：1m +解析：由已知，得123a a a +=，234a a a +=，…，202020212022a a a +=，以上各式相加，得1234202020222a a a a a a +++++=，即220202022a S a +=.又21a =，2020S m =，所以20221a m =+.12.答案：12n -解析：易知0n a ≠，由()*12n n a a n +=∈N ，可得12n na a +=， 所以当2n ≥时，12nn a a -=， 所以()113211221122222n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=个， 所以()122n n a n -=≥. 因为当1n =时也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为()1*2n n a n -=∈N . 13.答案：7解析：令()2n k k *=∈N ，则有()22261k k a a k k *++=-∈N ， 2468101214165,171,942=,a a a a a a a a ∴+=+=+=+，∴前16项的所有偶数项和 517294192S =+++=偶，∴前16项的所有奇数项和 54092448S =-=奇，令()21n k k *=-∈N ，则有()212164k k a a k k *+--=-∈N .()()()211315375k a a a a a a a a +∴-=-+-+-+ ()2121281464k k a a k +-+-=++++-=()(264)(31)2k k k k k *+-=-∈N ，()211(31)k a k k a k *+∴=-+∈N ，31517192,10,24,44a a a a a a a ∴=+=+=+=+ 1111131151,70,102,140a a a a a a a =+=+=+，∴前16项的所有奇数项和13 S a a =+++奇151182102444701021408a a a =+++++++=+392448=. 17a ∴=.14.答案：1n a n =+解析：依题意数列{}n a 满足12a =，且31122234n n a a a a a n-++++=-①. 当2n =时，1222a a =-，23a =， 3112122341n n n a a aa a a n n -++++++=-+②， ②-①得11n n n a a a n +=-+，121n n a n a ++=+ 则()112n n a n n a n-+=≥， 所以13211221132112n n n n n a a a a n n a a n a a a a n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+-， 1a ，2a 都符合上式.所以{}n a 的通项公式为1n a n =+. 故答案为：1n a n =+. 15.答案：（1）见解析 （2）存在，1λ=.解析：（1）11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--，()1120n n n S S S λ++∴--=.0n a >，10n S +∴>，120n n S S λ+∴--=，12n n S S λ+∴=+.（2）12n n S S λ+=+， 122n n S S n λ-∴=+≥（）， 两式相减，得1(22)n n a a n +≥=. 212S S λ=+，即2112a a a λ+=+， 21a λ∴=+，由20a >，得1λ>-.若{}n a 是等比数列，则2132a a a =，即22(1)(1)λλ+=+，得1λ=. 经检验，1λ=符合题意.故存在1λ=，使得数列{}n a 为等比数列.。

第一节 数列的概念与简单表示法时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.答案 C2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．－2解析 由题可知S n ＝2(a n －1)， 所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2.又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4. 答案 A3．(2014·济南模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A ．44B ．3×44＋1C ．3×44D ．44＋1 解析 由a n ＋1＝3S n (n ≥1)得a n ＋2＝3S n ＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝3a n ＋1，∴a n ＋2＝4a n ＋1，即a n ＋2a n ＋1＝4，a 2＝3S 1＝3，∴a 6＝a 244＝3×44.答案 C4．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1 B ．n 2 C.(n ＋1)2n 2D.n 2(n －1)2解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2. 答案 D5．(2014·江西八校联考)将石子摆成如下图的梯形形状．即数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析 因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，所以a n ＝5＋(n ＋6)(n －1)2，所以a 2 012－5＝1 009×2 011.答案 D6．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 014的值是( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析 ∵a 1a 2＝2×7＝14，∴a 3＝4,4×7＝28，∴a 4＝8,4×8＝32，∴a 5＝2,2×8＝16，∴a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，∴从第三项起，a n 的值成周期排列，周期数为6,2 014＝335×6＋4，∴a 2 014＝a 4＝8.答案 A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解析 令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8.答案 88．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是此数列中的第________项．解析 将数列分为第1组1个，第2组2个，…，第n 组n 个，(11)，(12，21)，(13，22，31)，…，(1n ，2n －1，…，n 1)，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.答案 509．(2013·湖南卷)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. 解析 本题考查数列的通项及求和．令n ＝3得S 3＝－a 3－123，① 令n ＝4得S 4＝a 4－124，② 由②－①得a 3＝－116.当n 为偶数时，S n ＝a n －12n ，③ S n －1＝－a n －1－12n －1，④③－④得a n －1＝－12n ，⑤ 将⑤代入④得S n －1＝－12n ，故n 为奇数时，a n ＝－12n ＋1，S n ＝－12n ＋1；当n 为奇数时，S n ＝－a n －12n ， ∴S n －1＋a n ＝－a n －12n ，∴S n －1＝0，即当n 为偶数时，S n ＝0，故S 1，S 3，S 5，…，S 99构成了以S 1＝－14为首项，14为公比的等比数列．∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝S 1＋S 3＋…＋S 99＝－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14501－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1. 答案 －116 13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2或3.∴数列有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94的对称轴方程为n ＝52，又n ∈N *，∴n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n >0，S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意n ∈N *，有2S n ＝p (2a 2n ＋a n －1)(p 为常数)．(1)求p 和a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)令n ＝1得2S 1＝p (2a 21＋a 1－1)． 又a 1＝S 1＝1，得p ＝1；令n ＝2，得2S 2＝2a 22＋a 2－1.又S 2＝1＋a 2， 得2a 22－a 2－3＝0，a 2＝32或a 2＝－1(舍去)， ∴a 2＝32； 令n ＝3，得2S 3＝2a 23＋a 3－1.又S 3＝52＋a 3，得2a 23－a 3－6＝0，a 3＝2或a 3＝－32(舍去)，∴a 3＝2.(2)由2S n ＝2a 2n ＋a n －1，得2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1(n ≥2)，两式相减，得2a n ＝2(a 2n －a 2n －1)＋a n －a n －1，即(a n ＋a n －1)(2a n －2a n －1－1)＝0.∵a n >0，∴2a n －2a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝12(n ≥2)． 故{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，得a n ＝12(n ＋1)．12．(2014·青岛模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值． 解 (1)当n ≥2时，由题可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，② ②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ， 即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，(n ＋1)a n ＋1na n＝3.∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)． ∴na n ＝2·3n －2，∴a n ＝2n ·3n －2(n ≥2)．∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n ·3n －2，n ≥2.(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a n n ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝n (n ＋1)2·3n (n ≥2，n ∈N *)，a n n ＋1＝132·1f (n )， 则f (n ＋1)－f (n )＝2(n ＋1)(1－n )2·3n ＋1<0，∴1f (n ＋1)>1f (n )(n ≥2)，又132·1f (2)＝13及a 12＝12，∴所求实数λ的最小值为13.。

高三数学数列的概念与简单表示法专题训练（含答案）数列中的每一个数都叫做这个数列的项，以下是数列的概念与复杂表示法专题训练，查字典数学网希望对考生有协助。

1.数列,2,,那么2是该数列的()A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项答案:B解析:由an==2,解得n=7.2.数列0,,的通项公式为()A.an=B.an=C.an=D.an=答案:C解析:原数列可变形为,,an=.3.数列的通项公式an=那么a2a3等于()A.70B.28C.20D.8答案:C解析:由an=得a2a3=210=20.选C.4.数列{an}满足:a10,,那么数列{an}是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.不确定答案:B解析:由数列各项为正,且从第二项起每一项为哪一项前一项的,那么数列{an}是递减数列.5.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,中,第25项为()A.2B.6C.7D.8答案:C解析:数字为1的有1个,数字为2的有2个,数字为3的有3个,依照此规律.当数字为6时,共有1+2+3+4+5+6=21项,当数字为7时,共有1+2+3+4+5+6+7=28项.第25项为7.6.数列{an},an=an+m(a0,nN*),满足a1=2,a2=4,那么a3= . 答案:2解析:an=(-1)n+3,a3=(-1)3+3=2.7.以下表达中正确的为.数列an=2是常数列;数列是摆动数列;数列是递增数列;假定数列{an}是递增数列,那么数列{anan+1}也是递增数列.答案:解析:中每一项均为2,是常数列.中项的符号由(-1)n调整,是摆动数列.可变形为,为递增数列.中假定an=n-3,那么anan+1=(n-3)(n-2)=n2-5n+6,不是递增数列.8.黑色两种颜色的正六边形空中砖按以下图的规律拼成假定干个图案,那么第n个图案中有白色空中砖块.答案:4n+2解析:第1个图案有白色空中砖6块,第2个图案有10块,第3个图案有14块,可以看出每个图案较前一个图案多4块白色的空中砖.第n个图案有6+4(n-1)=(4n+2)(块).9.依据数列的前几项,写出以下各数列的一个通项公式:(1),(2)1,3,6,10,15,(3)7,77,777,.剖析:(1)留意前4项中有两项的分子为4,无妨把分子一致为4,即为,,于是它们的分母依次相差3,因此有an=.(2)留意6=23,10=25,15=35,规律还不清楚,再把各项的分子和分母都乘以2,即,,因此有an=.(3)把各项除以7,得1,11,111,,再乘以9,得9,99,999,,因此有an=(10n-1).解:(1)an=;(2)an=;(3)an=(10n-1).10.数列{an}的通项公式an=.(1)求a10.(2)能否是这个数列中的项?(3)这个数列中有多少整数项?(4)能否有等于序号的项?假定有,求出该项;假定没有,说明理由.解:(1)a10=.(2)令,得n=100,故是这个数列的第100项.(3)an=1+,当n=1,2,3,6时,an为整数,故这个数列中有4项是整数项.(4)令=n得n2-n-6=0,解得n=3或n=-2(舍去),故该数列中有等于序号的项,即a3=3.数列的概念与复杂表示法专题训练的全部内容就是这些，更多精彩内容请继续关注查字典数学网。

专题六数列【真题探秘】6.1数列的概念与简单的表示法探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题例如考向关联考点数列的概念及表示方法1.了解数列的概念和几种表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊的函数.2021浙江,10,4分数列的递推公式★★★2021浙江,13,6分数列的递推公式数列的前n项和分析解读 1.了解数列的表示方法(如通项公式),并会求递推数列的通项公式.几种根本类型的通项公式的求法在高考中常常出现.2.S n求a n,特别是讨论n=1和n≥2(n∈N*)的情形也是高考中重点考查的内容.3.对本节知识的考查往往和其他知识相联系,预计2021年高考中会有所涉及.破考点练考向【考点集训】考点数列的概念及表示方法1.(2021浙江“超级全能生〞联考,10)数列{a n}满足a1=2,a n+1=12(a n+1a n)(n∈N*),设b n=a n-1a n+1,那么b100=()A.3-198B.3-298C.3-299D.3-2100答案C2.(2021浙江温州普通高中适应性测试,16)数列{a n}满足a n+1=a n+ka n-1(n∈N*,n≥2),且2a1=a2=-2a4=2,那么a n的最大值为.答案23.(2021届浙江宁波十校联考,15)常数p>0,数列{a n}满足a n+1=|p-a n|+2a n+p(n∈N*),首项为a1,前n项的和为S n,假设S n≥S3对任意n∈N*成立,那么a1p的取值范围为.答案[-6,-4]炼技法提能力【方法集训】方法数列的递推公式求通项公式1.(2021届浙江慈溪考试,10)数列{a n}满足a n=a n-2a n-12a n-2-a n-1(n∈N*,n>2),假设a1=1,a2=37,那么a2019=()A.38 075B.36 054C.56 058D.54 036答案A2.(2021届浙江绍兴一中考试,7)数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=(1+cos2nπ2)a n+sin2nπ2(n=1,2,3,…),那么a2020=()A.1010B.2020C.21010D.22020答案C3.(2021浙江高考数学仿真卷,13)数列{a n}满足a1=33,a n+1-a n=2n,那么当a nn最小时,n=.答案 64.(2021浙江三校联考,20)数列{a n }中,a 1=a(a ≠1且a ≠-3),a 2=3,a n =2a n-1+3a n-2(n ≥3).(1)求{a n+1+a n }和{a n+1-3a n }的通项公式; (2)假设数列{a n }单调递增,求a 的取值范围. 解析 (1)由a n =2a n-1+3a n-2得 a n +a n-1=3(a n-1+a n-2), ∴a n+1+a n =3(a n +a n-1), a n-1+a n-2=3(a n-2+a n-3),……a 3+a 2=3(a 2+a 1),∴a n+1+a n =3n-1(a 2+a 1)=3n-1(3+a). 由a n =2a n-1+3a n-2得a n -3a n-1=-(a n-1-3a n-2), ∴a n+1-3a n =-(a n -3a n-1), a n-1-3a n-2=-(a n-2-3a n-3),……a 3-3a 2=-(a 2-3a 1),∴a n+1-3a n =(-1)n-1(a 2-3a 1)=(-1)n-1(3-3a).(2)由(1)得a n =14[3n-1(a+3)-(-1)n-1(3-3a)],∴a n+1-a n =12[3n-1(a+3)+(-1)n-1(3-3a)].当n 为奇数时,3n-1(a+3)+(-1)n-1(3-3a)=(3n-1-3)a+3n +3. 由a n+1-a n >0可得(3n-1-3)a+3n +3>0. 当n=1时,解得a<3; 当n ≥3时,a>-3n +33n -1-3=-3-123n -1-3,∴a>-3-1232-3=-5.∴-5<a<3.当n 为偶数时,3n-1(a+3)+(-1)n-1(3-3a)=(3n-1+3)a+3n -3. 由a n+1-a n >0可得a>-3n -33n -1+3=123n -1+3-3,∴a>1232-1+3-3=-1.综上可知,a ∈(-1,1)∪(1,3).【五年高考】A 组 自主命题·浙江卷题组考点 数列的概念及表示方法1.(2021浙江,10,4分)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n2+b,n ∈N *,那么( ) A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10C.当b=-2时,a 10>10D.当b=-4时,a 10>10 答案 A2.(2021浙江,13,6分)设数列{a n }的前n 项和为S n .假设S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,那么a 1= ,S 5= . 答案 1;121B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点 数列的概念及表示方法1.(2021上海,8,5分)数列{a n }前n 项和为S n ,且满足S n +a n =2,那么S 5= . 答案31162.(2021课标全国Ⅰ理,14,5分)记S n 为数列{a n }的前n 项和.假设S n =2a n +1,那么S 6= . 答案 -633.(2021课标Ⅱ,16,5分)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,那么S n = . 答案 -1n4.(2021课标Ⅰ,17,12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.a n >0,a n 2+2a n =4S n +3.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和.解析 (1)由a n 2+2a n =4S n +3,可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3. 可得a n+12-a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1, 即2(a n+1+a n )=a n+12-a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ).由于a n >0,故a n+1-a n =2.a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. (2)由a n =2n+1可知b n =1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3). 设数列{b n }的前n 项和为T n ,那么T n =b 1+b 2+…+b n=12[(13-15)+(15-17)+…+(12n+1-12n+3)]=n3(2n+3). C 组 教师专用题组考点 数列的概念及表示方法(2021课标全国Ⅲ,17,12分)各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0. (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.解析 (1)由题意得a 2=12,a 3=14.(5分)(2)由a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0得2a n+1(a n +1)=a n (a n+1). 因为{a n }的各项都为正数,所以a n+1a n =12. 故{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,因此a n =12n -1.(12分)思路分析 (1)根据数列的递推公式,由a 1可求出a 2,由a 2求出a 3.(2)把递推公式因式分解得出{a n }是等比数列,求出其通项公式.【三年模拟】一、选择题(每题4分,共28分)1.(2021浙江浙南名校联盟期末,10)设α,β是方程x 2-x-1=0的两个不等实根,记a n =αn +βn (n ∈N *).以下两个命题:( )①数列{a n }的任意一项都是正整数;②数列{a n }存在某一项为哪一项5的倍数. A.①正确,②错误 B.①错误,②正确 C.①②都正确 D.①②都错误 答案 A2.(2021浙江高考数学仿真卷(三),10)设a>0,b>0,正项数列{x n }满足x n =ax n+1+bx n+2,假设{x n }为单调递减数列,那么( ) A.a+b>1 B.b>1 C.a+b<1 D.a>1 答案 A3.(2021届浙江浙南名校联盟联考,10)数列{a n }满足a n+1+1a n+1=2a n +1a n(n ∈N *),那么( )A.当0<a n <1(n ∈N *)时,a n+1>a nB.当a n >1(n ∈N *)时,a n+1<a nC.当a 1=12时,a n+1+1a n+1>√2n +4D.当a 1=2时,a n+1+1a n+1<√3n +20答案 C4.(2021届浙江“七彩阳光〞联盟期初联考,10)数列{a n }满足a n+1+a n =n ·(-1)n(n+1)2,前n 项和为S n ,且m+S 2 019=-1 009,那么以下说法中错误的选项是( )A.m 为定值B.m+a 1为定值C.S 2 019-a 1为定值D.ma 1有最大值 答案 A5.(2021浙江温州普通高中高考适应性测试,10)数列{x n } 满足 0 < x 1<x 2 <π,且 x n+1={x n +sin x n ,x n ≤x n -1,x n +cos x n ,x n >x n -1(n ≥2),那么 ( )A.x 3<x 4,x 2 019<πB.x 3<x 4,x 2 019>πC.x 3>x 4,x 2 019<πD.x 3>x 4,x 2 019>π答案 A6.(2021届浙江之江教育联盟联考,9)数列{a n }满足a 1=3,a n+1a n=a n +2(n ∈N *),那么使a n >42 020成立的最小正整数n 为( )A.10B.11C.12D.13 答案 C7.(2021浙江镇海中学阶段测试,8)数列{a n }满足a 1=43,a n+1=a n 2-a n+1(n ∈N *),那么m=1a 1+1a 2+…+1a 2 013的整数局部是( )A.1B.2C.3D.4 答案 B二、填空题(单空题4分,多空题6分,共22分)8.(2021浙江高考信息优化卷(三),11)数列{a n }的前n 项和S n =43a n +13,那么a 1= ;{a n }的通项公式a n = . 答案 -1;-4n-19.(2021浙江杭州二中新高考调研卷三,13)数列{a n }满足:a 1=3,a n+1=a n 2-2a n +2,那么a 3= ;a n= . 答案 17;22n -1+110.(2021浙江温州二模,14)假设递增数列{a n }满足:a 1=a,a 2=2-a,a n+2=2a n ,那么实数a 的取值范围为 ,记数列{a n }的前n 项和为S n ,那么S 2n = . 答案 (23,1);2n+1-211.(2021届浙江杭州二中开学考,17)正项数列{a n }满足2(n+1)a n 2+(n+2)a n ·a n+1-n a n+12=0,a 1=4,那么数列{a n(n+1)(n+2)}的前n 项和为 .答案2n+2n+2-2 三、解答题(共15分)12.(2021浙江高考信息优化卷(三),20)记S n 是等差数列{a n }的前n 项和,公差d>0,a 1+a 6=21,a 3·a 4=108,数列{b n }满足a n =b 13+1-b 232+1+b 333+1-b 434+1+…+(-1)n-1b n3n+1. (1)求{a n },{b n }的通项公式;(2)设c n =4n +λ·b n (n ∈N *),是否存在实数λ,当n ∈N *时,c n+1>c n 恒成立?假设存在,求出实数λ的取值范围;假设不存在,请说明理由.解析 (1)由{a 1+a 6=a 3+a 4=21,a 3·a 4=108,d >0,解得{a 3=9,a 4=12,∴d=3.由a 3=a 1+2d 可得a 1=3. ∴a n =a 1+(n-1)d=3+3(n-1)=3n. 由题意可知b 13+1-b 232+1+b 333+1-b 434+1+…+(-1)n-1bn 3n +1=3n ①. 当n ≥2时,b 13+1-b 232+1+b 333+1-b 434+1+…+(-1)n-2b n -13n -1+1=3(n-1)②. ①-②得(-1)n-1b n3n +1=3,∴b n =(-1)n-1(3n+1+3)(n ≥2)③. 又a 1=b 13+1,∴b 1=12,符合③式. 故b n =(-1)n-1(3n+1+3)(n ∈N *).(2)存在实数λ,当n ∈N *时,c n+1>c n 恒成立.由c n =4n +λ·b n 可得c n =4n +λ(-1)n-1(3n+1+3),得4n+1+λ(-1)n (3n+2+3)>4n +λ(-1)n-1(3n+1+3)恒成立.当n 为奇数时,可化简为4n+1-4n >λ(3n+2+3n+1+6),即λ<4n4×3n +2. 令g(n)=4n 4×3n+2=14×(34)n +2×(14)n,显然g(n)为单调增函数,∴λ<g(n)min =g(1)=27.当n 为偶数时,可化简为λ>-4n4×3n +2,故只需λ>(-4n 4×3n +2)max =-819. 综上可得-819<λ<27,即实数λ的取值范围为(-819,27).。

数列的概念与简单表示法练习题1下列说法正确的是 （A ）A. 数列1, 3, 5, 7可表示为1,3,5,7n 1 1C.数列——的第k 项是1- n kD.数列可以看做是一个定义域为正整数集 N *的函数2、 数列1,3,6,10, x,21,28,中，由给出的数之间的关系可知x 的值是（B ） A. 12 B. 15 C. 17 D. 183、 已知数列的通项公式为 a n n 2 8n 15,则3（ D ）A.第22项B. 第23项C. 第24项D. 第28项9.已知数列3, - 7, .11, ,15,…，贝U 5 3是数列的（）A .第18项C .第17项 A.不是数列a n 中的项B. 只是数列a n 中的第2项C.只是数列a n 中的第D.是数列a n 中的第2项或第6项 4、数列a n 的通项公式为 a n 2 3n 28n ，则数列a .各项中最小项是 A.第4项 B.第5项 C. D.第7项 5、已知数列 1, .3, ,5, ,7, ,2n 1,, 则3. 5是它的 （6、已知a n 1a n 3 0， 则数列a n 是 A.递增数列 7、已知数列 1 A.- 5B. B. 1,1, 4 1 5 递减数列 1 9,,C.— 25 C. n 1 ~2 nD. 8、数列 1,0,1,0,1,的一个通项公式是 常数列 D.摆动数列，它的第 5项的值为 25A. a nC. a nD. B.数列1，0，1, 2与数列 2, 1,0,1是相同的数列B .第19项 D .第20项10•下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是A . a n = n2—n + 1n n —1 B • a n= 2n n + 1 C. a n = 2n n + 2 D. a n= 211.若数列｛a n｝满足a1= 1,a n—1 —* …a2= 2, a n= (n>3 且n€ N )，贝U a17=( )A. 1B. 2C.2 D . 2—98712.已知数列｛a n｝的通项公式是a n= n2+ kn + 2，若对所有的n € N*，都有a n +1 >a n成立, 则实数k的取值范围是()A . k> 0B . k>—1C . k> —2D . k>—313、数列a n中，已知a n n n 1 「*,n N 。

第01讲数列的概念与简单表示法(练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第01讲数列的概念与简单表示法(精练）A 夯实基础一、单选题（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）1．已知数列1，3-，5，7-，9，…，则该数列的第10项为（）A ．21-B ．19-C ．19D ．21（2022·广西·高二学业考试）2．数列{}n a 的前4项为：1111,,,25811，则它的一个通项公式是（）A ．121n -B ．121n +C ．131n -D ．131n +（2022·广西·高二学业考试）3．一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（）A ．1B ．6C ．10D ．20（2022·陕西·绥德中学高一阶段练习）4．已知数列{}n a 满足11a =，对任意的n *∈N 都有11n n a a n +=++，则10a =（）A ．36B ．45C ．55D ．66（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）5．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即()()()()()()121,123,F F F n F n F n n n *===-+-≥∈N ，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，则1232022b b b b +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．2696B ．2697C ．2698D ．2700（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）6．若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则1211a a a +++=L （）A ．16-B ．15-C ．15D ．16（2022·山西太原·三模（理））7．已知数列{}n a 的前n 项和413n n S -=则数列的前n 项和nT =（）A ．21n-B C ．213n -D ．121n --（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）8．已知对任意()*12335217n n N a a a n a n ∈++++-= ，，则6a 的值为（）A ．711B ．25C ．13D ．17二、多选题（2022·吉林·长春市第二中学高二阶段练习）9．已知数列{an }中，a 1＝3，an ＋1＝－11n a +，能使an ＝3的n 可以为（）A ．22B ．24C ．26D ．28（2022·全国·高二课时练习）10．已知数列{}n a 的通项公式为31,,22,,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则（）A ．619a =B ．76a a >C ．522S =D ．65S S >三、填空题（2022·广西·南宁三中二模（文））11．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列{}n a 的通项公式：n a =__________．（1）数列{}n a 是无穷等比数列；（2）数列{}n a 不单调；（3）数列{}||n a 单调递减．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）12．已知数列()21n a k n =-是严格递减数列，n 为正整数，则实数k 的取值范围是____________．四、解答题（2022·全国·高三专题练习）13．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，若数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围．（2022·全国·高三专题练习）14．已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22,(N )n n S a n +=-∈.求数列{}n a 的通项公式；B 能力提升一、单选题（2022·河南·高三阶段练习（理））15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n S a n =-+，则10S =（）A ．11223-B ．10219-C ．103223⨯-D ．93219⨯-（2022·北京四中三模）16．已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））17．已知数列{}n a 满足()112,22N n na a a n n *+=-=+∈，则数列1n a 禳镲睚镲铪的前2022项的和为___________.（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（理））18．如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到．依次类推，则该数表中，第n 行第1个数是____________．123456783579111315812162024282028364452⋯⋯⋯⋯⋯三、解答题（2022·湖南师大附中三模）19．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且211232228n n a a a a n -++++= 对任意的*n ∈N 都成立，数列{}1n n b b +-是等差数列.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)证明：不存在*k ∈N ，使得(0,1)k k b a -∈.（2022·山东·安丘市普通教育教学研究室高二期中）20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足222n n n S a a =+-.求数列{}n a 的通项公式；（2022·全国·高三专题练习）21．问题：已知*n ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在数列{}n a ，满足111,1n n S a a +=≥+，__________﹖若存在．求通项公式n a ﹔若不存在，说明理由．在①1n a +=+﹔②()12n n a S n n -=+≥；③121n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．C 综合素养（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））22．《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测.推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸，地支分别为子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2023年是“癸卯”年，正值哈尔滨市第三中学建校100周年，那么据此推算，哈三中建校的年份是（）A ．癸卯年B ．癸亥年C ．辛丑年D ．辛卯年（2022·全国·高三专题练习）23．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是A ．200B ．210C ．220D ．242（2022·新疆克拉玛依·三模（理））24．大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，通项公式为221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，若把这个数列{}n a 排成下侧形状，并记(),A m n 表示第m 行中从左向右第n 个数，则()9,5A 的值为（）A ．2520B ．2312C ．2450D ．2380（2022·江苏泰州·模拟预测）25．若正整数m ．n 只有1为公约数，则称m ，n 互质，对于正整数k ，ϕ（k ）是不大于k 的正整数中与k 互质的数的个数，函数ϕ（k ）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()21ϕ=，(3)2ϕ=，(6)2ϕ=，(8)4ϕ=．已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互质，那么()()()mn m n ϕϕϕ=，例如：(6)(2)(3)ϕϕϕ=，则（）A ．(5)(8)ϕϕ=B ．数列(){}2nϕ是等比数列C ．数列(){}6nϕ不是递增数列D ．数列()16nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于35（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））26．“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________.参考答案：1．B【分析】由数列的前几项可得数列的一个通项公式，再代入计算可得；【详解】解：依题意可得该数列的通项公式可以为()()1121n n a n +=-⋅-，所以1019a =-.故选：B 2．C【分析】根据规律可得结果.【详解】将1111,,,25811可以写成1111,,,311321331341⨯-⨯-⨯-⨯-，所以{}n a 的通项公式为131n -；故选:C 3．C【分析】根据规律求得正确答案.【详解】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：123410+++=.故选：C 4．C【分析】利用累加法可求得n a ，代入10n =即可求得10a .【详解】由11n n a a n +=++得：11n n a a n +-=+，1n n a a n -∴-=，121n n a a n ---=-，232n n a a n ---=-，…，212a a -=，各式作和得：()()112232n n n a a n -+-=++⋅⋅⋅+=，()()1212n n n a -+∴=+，109121552a⨯∴=+=.故选：C.5．A【分析】列举数列{}n b ，得到数列的周期为6求解.【详解】解：由题意得：数列{}n b 为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…所以该数列的周期为6，所以1232022b b b b +++⋅⋅⋅+，()1236337+++⋅⋅⋅+=b b b b ，33782696=⨯=，故选：A 6．A【分析】利用数列{}n a 的通项公式()()132nn a n =--，分别求得12311a a a a ，，，，L 的值，即可求得1211a a a +++ 的值.【详解】数列{}n a 的通项公式()()132nn a n =--，则345167821471013161922a a a a a a a a =-==-==-==-=，，，，，，，91011252831a a a =-==-，，则12111471013161922252831a a a +++=-+-+-+-+-+-L ()()()()()1471013161922252831353116=-++-++-++-++-+-=⨯-=-故选：A 7．A【分析】利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式2(1)2n n a -=，利用等比数列的定义判定为等比数列，结合前n 项求和公式计算即可.【详解】413n n S -=，当1n =时，114113a S -===，当2n ≥时，11413n n S ---=，所以112(1)141414233n n n n n n n a S S ------=-=-==，当1n =时，11a =符合上式，所以2(1)2n n a -=12n -==，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故1(12)2112n n n T ⨯-==--.故选：A.8．A【分析】根据任意()*12335217n n N a a a n a n ∈++++-= ，，利用数列通项和前n 项和的关系，求得通项公式求解.【详解】解：因为对任意()*12335217n n N a a a n a n ∈++++-= ，，所以当1n =时，17a =，当2n ≥时，得()()1231352371-++++-=- n a a a n a n ，两式相减得()217-=n n a ，即721=-n a n ，又17a =适合上式，所以*7,21=∈-n a n N n ，所以67726111==⨯-a .故选：A 9．AD【分析】通过计算找到数列的周期，即得解.【详解】解：由a 1＝3，an ＋1＝－11n a +，得a 2＝－14，a 3＝－43，a 4＝3．所以数列{an }是周期为3的数列，故a 22＝a 28＝3．故选：AD 10．BC【分析】根据数列的通项公式列出数列的前几项，再一一判断即可；【详解】解：因为31,,22,,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以14a =，22a =-，310a =，46a =-，516a =，610a =-，722a =，所以A 错误，B 正确，()()551234421061622S a a a a a =++++=-+-+=++，故C 正确；因为610a =-，所以6560S S a -=<，所以65S S <，故D 错误；故选：BC11．12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】根据数列{}n a 需要满足的条件，可写出答案.【详解】由题意可得，12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足（1）数列{}n a 是无穷等比数列；（2）数列{}n a 不单调；（3）数列{}||n a 单调递减，故答案为：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．(),1-∞【分析】根据题意1n n a a +<对任意n N *∈恒成立即可求出.【详解】因为()21n a k n =-是严格递减数列，所以1n n a a +<对任意n N *∈恒成立，即()()()22111k n k n -+-<对任意n N *∈恒成立，解得1k <.故答案为：(),1-∞.13．3λ>-【分析】根据递增数列的定义直接求解即可.【详解】依题意对于*n N ∀∈，都有10n n a a +->，即()()22110n n n n λλ+++-->，21n λ>--，()max 213--=-n ，∴3λ>-，故答案为：3λ>-.14．()2N nn a n +=∈【分析】根据,n n s a 的关系作差即可求解{}n a 是公比为2的等比数列，即可求解.【详解】22,(N )n n S a n +=-∈ ，-1-122,(2,N )n n S a n n +=-≥∈两式相减得到-1=2(2,N )n n a a n n +≥∈.当1n =时，可得12a =，又0n a > ，{}n a ∴是首项为2，公比为2的等比数列{}n a ∴的通项公式为()2N n n a n +=∈.15．C【分析】根据通项与n S 的关系可得递推公式122n n a a -=+，再构造等比数列求{}n a 的通项公式，进而代入221n n S a n =-+求得n S 得到10S 即可【详解】当1n =时，111221S a a ==-+，解得11a =.当2n ≥时，11223n n S a n --=-+，所()11221223n n n n n a S S a n a n --=-=-+--+，即122n n a a -=+，所以()1222n n a a -+=+，即1222n n a a -+=+，所以数列{}2n a +是首项为3，公比为2的等比数列，则1232n n a -+=⨯，从而3223n n S n =⨯--，故10103223S =⨯-.故选：C 16．A【分析】根据1n n a a +>，求得21122n n λ+<=+，对n *∀∈N 恒成立，进而得到32λ<，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 的通项为22n a n n λ=-，则221(1)2(1)22120n n a a n n n n n λλλ+=+-+-+=+->-，即21122n n λ+<=+，对n *∀∈N 恒成立，当1n =时，1n 2+取得最小值32，所以32λ<，所以“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的充分不必要条件.故选：A.17．20222023【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前2022项的和即可.【详解】由题意可知，满足112,22n n a a a n +=-=+，当2n ≥时，()12122n n a a n n --=-+=，21324314,6,8,,2n n a a a a a a a a n -∴-=-=-=-= ，以上各式累加得，()()()()1213243124682n n n a a a a a a a a a a n -=+-+-+-++-=+++++ .(22)(1)2n nn n +==+，当1n =时，12,a =也满足上式，∴(1)n a n n =+，则1111(1)1n a n n n n ==-++.∴数列1na 禳镲睚镲铪的前n 项和为1231111111111223111n n S a a a n n n n 1=+++=-+-++-=-=+++ ，∴202220222023S =.故答案为：20222023.18．2(1)2n n -+⋅【分析】观察数表，得出每一行都成等差数列，且第n 行公差为12n -，设第n 行第1个数是n a ，则第n 行第2个数是12n n a -+，从而可得2122n n n a a --=+，化简计算可得出结果.【详解】观察数表，得出每一行都成等差数列，且第n 行公差为12n -，因此设第n 行第1个数是n a ，则第n 行第2个数是12n n a -+，从而可得2122n n n a a --=+，从而111224n n n n a a --=-，所以2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为14，所以2111(1),(1)22244n n n n a n n a n -+=+-==+⋅．故答案为：2(1)2n n -+⋅．19．(1)4*2()n n a n -=∈N ，2*714()n b n n n =-+∈N (2)证明见解析【分析】（1）利用211232228n n a a a a n -++++= 推出n -1时的表达式，然后作差求出数列{}n a 的通项公式，利用数列{}1n n b b +-是等差数列利用累加法求出{}n b 的通项公式；（2）化简247142kk k b a k k --=-+-通过k ≥4时，()2477224k f k k -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递增，且f（4）=1，所以k ≥4时，f （k ）≥1，结合f （1）=f （2）=f （3）=0，说明不存在*k ∈N ，使得(0,1)k k b a -∈．(1)因为21*1232228()n n a a a a n n -++++=∈N ①，则当2n时，22*12312228(1)()n n a a a a n n --++++=-∈N ②，①—②，得128n n a -=，则42n n a -=，在①中令1n =，可得41182a -==，所以4*2()n n a n -=∈N .由题设，18b =，24b =，32b =，则214b b -=-，322b b -=-，数列{}1n n b b +-的公差为2(4)2---=，14(1)226n n b b n n +-=-+-⨯=-，所以()()()2*1213218(4)(2)(28)714()n n n b b b b b b b b n n n n -=+-+-++-=+-+-++-=-+∈N .(2)247142k k k b a k k --=-+-，当4k 时，2477()224kf k k -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递增，且(4)1f =，所以4k时，24()71421k f k k k -=-+- ，又(1)(2)(3)0f f f ===，所以不存在*k ∈N ，使得(0,1)k k b a -∈.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的通项公式的求法，递推关系式的应用，数列与函数的关系，考查分析问题和解决问题的能力.在解题过程中，一定要注意对题的条件的正确转化.20．1n a n =+【分析】利用已知n S 求n a 的方法可以直接得出结果.【详解】222n n n S a a =+-①；当1n =时，代入①得12a =.当2n ≥时，211122n n n S a a ---=+-②；①-②得22112n n n n n a a a a a --=-+-，整理得()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=-+，因为0n a >，所以()112n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为等差数列，公差为1，所以1n a n =+.21．选①：1,188,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；选②：121nn a +=-；选③：2n n a n=-【分析】选①：利用n a 与n S 的关系得到关于n S 的递推公式，再由递推公式求n S ，然后可得通项n a ；选②：利用n a 与n S 的关系得到递推公式，然后构造等比数列可求通项；选③：根据递推公式构造等比数列可解.【详解】选①：11n n n a S S ++==-=1111,1n n S a a a +==-≥>2=，即是以2为公差，1为首项的等差数列21n =-，即2(21)n S n ∴=-当2n ≥时，221(21)(23)88n n n a S S n n n -=-=---=-显然，1n =时，上式不成立，所以1,188,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.选②：当2n ≥时，1n n a S n -=+，即1n n S a n -=-所以11(1)()n n n n n a S S a n a n -+=-=-+--整理得112(1)n n a a ++=+又2123a S =+=，214a +=所以{1}n a +从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列∴当2n ≥时，211422n n n a -++=⋅=，即121n n a +=-显然，1n =时，上式成立，所以121nn a +=-选③：121n n a a n +=+- 112()n n a n a n +∴++=+又112a +={}n a n ∴+是以2为公比和首项的等比数列2n n a n ∴+=，即2n n a n∴=-22．B【分析】根据天干和地支的周期计算可得结果.【详解】依题意可知，天干的周期为10，地支的周期为12，因为1001010=，所以哈三中建校的年份的天干也是癸；因为1008124=⨯+，所以哈三中建校的年份的地支为亥，哈三中建校的年份是“癸亥年”.故选：B.23．C【分析】由数列奇数项的前几项可归纳出奇数项上的通项公式，从而得到答案.【详解】根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇数项为0、4、12、24、40，有22221357113151710,4,12,24,2222a a a a ----========⋯故其奇数项上的通项公式为21,2n n a -=故221211=2202a -=，故选：C 24．D【分析】确定()9,5A 在数列{}n a 中的项数，结合数列{}n a 的通项公式可求得结果.【详解】由题可知，设数阵第n 行的项数为n b ，则数列{}n b 是以1为首项，公差为2的等差数列，数列{}n b 的前8项和为87182642⨯⨯+=，所以，()9,5A 是数列{}n a 的第64569+=项，因此，()26919,523802A -==.故选：D.25．ABD【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果.【详解】(5)4,(8)4,(5)(8)ϕϕϕϕ==∴=，A 对；∵2为质数，∴在不超过2n 的正整数中，所有偶数的个数为12n -，∴()11222=2ϕ---=n n n n 为等比数列，B 对；∵与3n 互质的数为1,2,4,5,7,8,10,11,,32,3 1.-- n n 共有11(31)323n n ---⋅=⋅个，∴1(3)23,ϕ-=⋅n n 又∵()6=(2)(3)ϕϕϕn n n=126-⋅n ，∴()6ϕn 一定是单调增数列，C 错；()1626nn ϕ-=⋅，()16nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为111263131156516nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，D 对.故选：ABD ．26．25627【分析】观察“雪花”图形可得其周长之间的关系为143n n b b -=，根据等比数列的定义可知{n b }是公比为43、首项为3的等比数列，求得1433n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅，即可求出5b .【详解】由题意知下一个图形的边长是上一个图形边长的13，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为1114433n n n b b b --=⋅⋅=，所以{n b }是公比为43q =的等比数列，而首项13b =，所以1433n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=⋅，当5n =时，“雪花”状多边形的周长为525627b =.故答案为：25627。

一、数列的概念选择题1．数列{}n a 满足1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ）A ．18B ．17 C ．131D ．162．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 3．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．[)3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞4．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=（ ）A ．135B ．141C ．149D ．1555．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足*112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则（ ）A ．63243a a a ≤-B ．2736+a a a a ≤+C ．7662)4(a a a a ≥--D ．2367a a a a +≥+6．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511B ．513C ．1025D ．10247．设数列{},{}n n a b 满足*172700,,105n n n n n a b a a b n N ++==+∈若6400=a ，则（ ） A ．43a a >B ．43<b bC ．33>a bD ．44<a b8．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24B ．26C ．28D ．309．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1B ．3C ．2D ．3-10．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1011．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-12．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（ ） A ．45B ．46C ．47D ．4813．在数列{}n a 中，21n n a n +=+，则{}n a （ ） A ．是常数列 B ．不是单调数列C ．是递增数列D ．是递减数列14．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32n n --+B ．(1)32n n -+C ．1(1)23n n --+D ．(1)23nn -+15．已知数列{}n a 满足：11a =，145n n a a +=+，则n a =（ ） A ．85233n⨯- B ．185233n -⨯- C ．85433n⨯-D ．185433n -⨯- 16．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（ ）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202217．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nnn n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个18．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（ ） A ．1348B ．1358C ．1347D ．135719．在数列{}n a 中，11a =，()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，则3a =（ ）A ．6B ．2C ．23 D ．21120．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题21．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >22．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝023．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．324．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列 25．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n=B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 26．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >27．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =28．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列29．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >30．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 31．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1232．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值33．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <34．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题1．C 解析：C 【分析】根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】 因为1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，所以211123a ==+，31131723a ==+，411711527a ==+，51115131215a ==+ 故选：C 2．A解析：A 【分析】运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，121n n n n a a a a +++∴≥--，设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，∴数列{}n d 是递减数列.对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，所以1220182018d d d +++=，又1232018d d d d ≥≥≥≥，所以1122018201820182018d d d d d ≥+++≥，故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++≤++++=即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；结合A ，故B 不正确；对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A 【点睛】本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.3．D解析：D 【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，由累加法可得()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=，()122211n a n n n n ∴==-++，22222222222311n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.故选：D. 【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.4．D解析：D 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈， 所以当1n =时，得11a =， 当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S 因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======,[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==== ,[]363740[][]6S S S ====.所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D 【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】由条件可得出11n n n n a a a a -+-≤-，然后可得3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-，即可推出选项C 正确.【详解】因为*112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，所以12133n n n n S S S S -+-≤--，所以113n n n n a a a a +-≤++ 所以11n n n n a a a a -+-≤-，所以3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-所以()6232435465764a a a a a a a a a a a a -=-+-+-+-≤- 故选：C 【点睛】本题主要考查的是数列的前n 项和n S 与n a 的关系，解答的关键是由条件得到11n n n n a a a a -+-≤-，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，所以1121n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以91021513a =+=，故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.7．C解析：C 【分析】 由题意有1328010n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小. 【详解】 由题意知：1328010n n a a +=+，6400=a ， ∴345400a a a ===，而700n n a b +=， ∴34300b b ==， 故选：C 【点睛】本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.8．B解析：B 【分析】先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ， 此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6， 其中1+1+2+3+1+0=8，则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=， 故选：B.9．C解析：C 【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=-当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.10．C解析：C 【分析】利用443a S S =-计算． 【详解】由已知22443(44)(33)8a S S =-=+-+=．故选：C ．11．A解析：A 【分析】根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S += 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解 【详解】当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C13．D解析：D 【分析】由21111n n a n n +==+++，利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】在数列{}n a 中，21111n n a n n +==+++， 由反比例函数的性质得：{}n a 是*n N ∈时单调递减数列， 故选：D14．D解析：D 【分析】根据观察法，即可得出数列的通项公式. 【详解】因为数列1111,,,, (57911)--可写成 ()()()()2342322311111,1,1,12,..24.333-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯， 所以其通项公式为(1)(1)23213nnn a n n -=-=++⨯. 故选：D.15．D解析：D 【分析】 取特殊值即可求解. 【详解】当1n =时，11a =，显然AC 不正确，当2n =时，21459a a =+=，显然B 不符合，D 符合 故选：D16．C解析：C 【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)112a ⨯-=+=，， 第2行第1列的数为2，此时212(21)122a ⨯-=+=，， 第3行第1列的数为4 ,此时313(31)142a ⨯-=+=，， 据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)120172a ⨯-=+=，，则6452021a =，， 故选：C.17．B解析：B 【分析】讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；③若13a =，则26a =，33a =，46a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.下面说明，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.（1）当(3412,2a ⎤∈⎦且1N a *∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列；（2）假设当(()112,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(()1212,23,k k a k k N ++*⎤∈≥∈⎦时. 若1a 为正偶数，则(1122,22k k a a +⎤=∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列； 若1a 为正奇数，则((121321323,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.综上所述，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．18．C解析：C 【分析】由题意可知，得数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，又202067331=⨯+，由此可得答案 【详解】解：由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a为1,1,0,1,1,0,1,1,0,⋅⋅⋅，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=， 因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+= 故选：C19．C解析：C 【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，11a =，212221a a ∴==-，3222213a a ==-. 故选：C. 【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.20．A解析：A 【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。

《2.1 数列的概念与简单表示法》测试题一、选择题1.下面四个结论：①数列的图像是一群孤立的点；②数列可看成是一列函数值；③数列的项数是无限的；④数列通项的表达式是唯一的.其中正确的结论是( ).A.①B.①②C.②③D.①②③考查目的：考查数列的有关概念及其表示.答案：A.解析：数列可看成是定义域为正整数集或正整数集的一个有限子集，当自变量从小到大依次取值时所得到的一列函数值，所以数列的图像是一群孤立的点；数列按项数可分为有穷数列和无穷数列；数列通项的表达式不一定唯一，如周期数列0，2，0，2，……的通项可表示为，也可表示为等.2.(2009湖北文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ).A.289B.1024C.1225D.1378考查目的：考查数列的概念、归纳猜想能力和推理判断能力.答案：C解析：由图形可得三角形数构成的数列通项，正方形数构成的数列通项；由可排除D，由或，得，可排除A、B，故选C. 事实上，是第49个三角形数、第35个正方形数.3.(2008江西)在数列中，，，则( ).A. B. C. D.考查目的：考查递推数列的概念、对数的运算性质，考查由递推公式求通项公式的基本方法.答案：A.解析：∵，∴()，∴当时，. 又∵也适合上式，∴().二、填空题4.数列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一个通项公式是.考查目的：考查数列通项公式的概念、归纳推理能力.答案：.解析：.还可以表示为或或.5.(由2010辽宁理改编)已知数列的通项公式为，则的最小值为________.考查目的：考查数列的通项公式及函数的单调性等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力.答案：.解析：∵，∴，设，则由函数的性质知，在上单调递增，在上单调递减，因为，所以当或时，有最小值.又因为，，所以的最小值为.6.(2012上海文)已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是.考查目的：考查函数的概念、数列的概念和性质等基础知识，考查数列递推公式的运用.答案：.解析：∵，，∴；∵，∴，，，，；又由得到，，解得(负值舍去).依次往前推，得到，∴.三、解答题7.在数列中，.⑴求证：数列先递增后递减；⑵求数列的最大项.考查目的：考查数列的概念、研究数列单调性的基本方法.答案：⑴当时，递增；当时，递减.⑵.解析：⑴由得，∴当时，递增；当时，递减.⑵由⑴可知，为数列的最大项.8.如果每一对兔子每月能生一对新兔，而每一对新兔在出生后的第三个月开始生一对新兔. 假定不发生任何死亡，那么一对新生的兔子在一年后能繁殖成多少对？考查目的：考查数列的概念、数列的递推公式，考查分析问题解决问题的能力.答案：144.解析：记为个月后兔子的对数，则，，，∵第个月后兔子的对数由两部分组成：一部分为第个月的兔子对数，另一部分是新增加的，增加的对数为第个月的兔子对数，∴，由此可得，，，，，，，，.答：一对新生的兔子在一年后能繁殖成144对.。