圆锥曲线(椭圆)推论及证明

推导过程圆锥曲线的方程推导与性质证明圆锥曲线是数学中的重要概念，涉及到方程推导与性质证明。

在本文中，将对圆锥曲线的方程推导和性质进行详细讨论。

我们将从定义出发，逐步推导，并通过严密的数学证明，揭示圆锥曲线的性质。

首先，让我们从圆锥曲线的定义开始。

圆锥曲线是在三维空间中，由平面切割一个圆锥而形成的曲线。

根据切割的不同方式，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、抛物线和双曲线。

我们将依次推导这三类圆锥曲线的方程以及性质。

1. 椭圆的方程推导与性质证明椭圆是圆锥曲线的一种，在平面几何中具有重要的应用。

我们来推导椭圆的方程。

首先，考虑一个平面上的点P(x, y)，到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a，其中a为椭圆的长半轴。

根据距离公式，PF1 = √((x - x1)² + (y - y1)²)和PF2 = √((x - x2)² + (y - y2)²)，带入公式得到√((x - x1)² + (y - y1)²) + √((x - x2)² + (y - y2)²) = 2a，对该方程进行平方处理得到(x - x1)² + (y - y1)² + 2√((x - x1)² + (y - y1)²)√((x - x2)²+ (y - y2)²) + (x - x2)² + (y - y2)² = 4a²。

化简上述方程可以得到(x - x1)² + (y - y1)² + (x - x2)² + (y - y2)² +2√((x - x1)² + (y - y1)²)√((x - x2)² + (y - y2)²) = 4a²，这就是椭圆的方程。

2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。

椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== xO F 1F 2Py A 2A 1B 1B 2同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb xO F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22221x y a b+=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相切的切线L 方程为：12020=+byy a x x 。

12222=+by a x'2'2()()1x y +=推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率分别为1k ，2k ，0010000y ay b k x bx a-==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ⋅=-，∴02101bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx xy x b ay a -=--，又'',x yx y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a-=--，即为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-⋅，000022()()y y y x x x b a --=-，2200002222x x y y x y a b a b +=+，又点P(00,y x )是椭圆上一点，∴2200221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y ya b+=1；易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。

综上，推导完毕。

2、直线与椭圆位置关系判定推论：已知椭圆C 方程12222=+by a x （a>b>0），一直线L 方程为：0Ax By C ++=,则L 与C 相交⇔2222A a B b +>2C ；L 与C 相切⇔2222A a B b +=2C ；L 与C 相离⇔2222A a B b +<2C 。

圆锥曲线的方程与性质1.椭圆（1）椭圆概念的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。

若 M为椭圆上任意一点，则有|MF 1 I |MF 2 I 2a 。

0的条件，要分清焦点的位置，只要看 X 2和y 2的分表示焦点在y 轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于X 轴、y 轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心;X 0，得y b ，则B 1（0, b ）， B 2（0,b ）是椭圆与y 轴的两个交点。

同理令 y 0得X a ，即A （ a,0），A 2（a,0）是椭圆与X 轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

平面内与两个定点 F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于IF 1F 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆上）。

椭圆的标准方程为:22Xy22a b0）（焦点在 x 轴上）2y a 2XP 1 （ a b 0 ）（焦点在y 轴b 2注：①以上方程中 a,b 的大小 a b 0,其中b 2母的大小。

例如椭圆2y nn ）当m n 时表示焦点在X 轴上的椭圆；当 m n 时1两个方程中都有aX 2①范围：由标准方程a1知|X| a ，|y| b ，说明椭圆位于直线 X a ，b 所围成的矩形里; ②对称性：在曲线方程里, 若以 y 代替y 方程不变，所以若点（X, y ）在曲线上时,（X, y ）也在曲线上, 所以曲线关于X 轴对称，同理，以X 代替X 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。

若同时以X 代替X ， y 代替y③ 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与X 轴、y 轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令焦距。

（2）双曲线的性质同时，线段 AA 、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a 和2b , a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。

为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。

上面这些都仅仅是为了推导方便而已。

设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 ax+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}四种不同开口的标准型：二、椭圆(Ellipse)几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{aligned}令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出c<a）所以，\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1\end{aligned}常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。

圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程/*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。

具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。

*/圆锥曲线的切线方程在历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。

本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。

从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。

【基础知识1:切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x2换成xxO,y2换成yyO,x换成(x+x0)/2,y换成(y+yO)/2.ri-u椭圆的切线方程：①椭圆22%+5=1a b上一点P(x。

J。

)处的切线方程是仙。

彼。

_1②过椭圆22a2b2外一点P（X"。

）所引两条切线的切点弦方程是仙。

工均。

_1汀"1③椭圆/+萨-|与直线如+母+C=0相切的条件是A2a2+B2b2-C2=Q （也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=（）的充要条件）[1-2]双曲线的切线方程：①双曲线/b2上一点P（x"。

）处的切线方程是女。

加=1a2b2~②过椭圆丁"外一点P（x°J。

）所引两条切线的切点弦方程是夕。

加=1a2b2~③椭圆丁"与直线如+母+C=0相切的条件是A2a2-B2b2-C2=0 [1-3]抛物线的切线方程:2物线y2=2px上一点P（x"。

）处的切线方程是必=2p(x+Xo)②过抛物线y2=2px外一点处所引两条切线是W）=2。

（"工0）③抛物线y2=2px与直线+位+C=0相切的条件是pB2=2AC [1-4]基础知识的证明：【公式一：曲线C上切点公式证明】1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程设曲线C上某一点处P（x"。

）的切线方程为y-y0=k（x-x0）,联立方程，令△=o,得到k的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式So）?,3o）21a2b2a2b2（注：k的表达式可以在草稿中巧用点差法求，具体见下）2、第2种证明思路：点差法（求斜率，其余跟第一种方法一样）证明：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为（X],月）、（32）,中点P（*0,为）则有22土+土=1 (1)/+V】，（1）V......⑵静+厂（2）n⑴一（2），得2222^-^-+>^-=0.a2b2b2•「2一乃力+土1'•2x2-Xj x2+Xj a又._y2~yi m+*2_2*°_y0MN~'；一~一—.x2-x}X]+x22x q x0■k•也=—N..A MN2x。

圆锥曲线的二级结论及证明圆锥曲线是在平面上由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）所确定的曲线。

它包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。

首先我们来看椭圆。

椭圆定义为到焦点和准线距离之和为常数的点的轨迹。

我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

（2）椭圆上任意一点处的法线交准线于焦点。

证明（1）：设椭圆的焦点为F，准线为L。

取椭圆上一点P，分别连接PF和PL。

根据椭圆的定义，我们知道PF + PL = 定值。

又根据椭圆的特性，PL = 长轴长度的一半。

因此，PF + PL = 定值 = 长轴长度。

所以，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

证明（2）：设椭圆上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。

我们需要证明N恰好是焦点F。

首先，由于N位于P处的法线上，所以PN垂直于椭圆的切线。

其次，设椭圆的焦距为2c，P到焦点F的距离为PF = d。

根据椭圆的性质，我们知道PF / c = PL / a，其中a为椭圆的长半轴。

而又由于PL = PN + NL，其中NL为椭圆的短半轴b。

所以，d / c = (d - NL) / a + NL / b。

通过化简，我们得到d = NL，即焦点到椭圆上的点处的法线与准线的交点恰好是焦点F。

接下来我们来看双曲线。

双曲线定义为到焦点和准线距离之差为常数的点的轨迹。

我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。

（2）双曲线上任意一点处的法线交准线于焦点。

证明（1）：设双曲线的焦点为F，准线为L。

取双曲线上一点P，分别连接PF和PL。

根据双曲线的定义，我们知道PF - PL = 定值。

又根据双曲线的特性，PL = 双曲线的距离差。

因此，PF - PL = 定值= 双曲线的距离差。

所以，焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。

证明（2）：设双曲线上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。

【前言】圆锥曲线是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、几何等各个领域。

在学习圆锥曲线的过程中，掌握其二级结论以及相应的证明过程是非常重要的，可以帮助我们深入理解圆锥曲线的性质和特点。

本文将对圆锥曲线的二级结论进行全面总结，并给出简单的证明过程，以帮助读者更好地掌握这一知识点。

【一、椭圆的二级结论及证明】1. 椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和为常数的轨迹，具有如下的性质：（1）椭圆的离心率小于1；（2）椭圆是凸曲线，任何一条与椭圆相交的直线最多有两个交点；（3）椭圆的两个焦点到任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

2. 椭圆的二级结论（1）椭圆的焦点到椭圆上任意一点的切线长度之和等于椭圆的长轴长度。

证明：设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为长轴的一半，$b$为短轴的一半。

设椭圆上一点为$P(x_0,y_0)$，过点$P$作椭圆的切线，设切点为$Q(x,y)$，则切线的斜率为$k=\frac{y_0}{x_0}$。

椭圆的斜率为$\frac{dy}{dx}=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{a^2}{b^2}$。

切线的方程为$y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{a^2}{b^2}(x-x_0)$。

设椭圆的焦点为$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，其中$c^2=a^2-b^2$，则焦点$F_1$到点$P$的距离为$d_1=\sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}$，焦点$F_2$到点$P$的距离为$d_2=\sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}$。

根据切线的性质，焦点到切点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即$d_1+d_2=2a$。

（2）椭圆上两点到椭圆的两个焦点的距离之和相等。

证明：设椭圆上两点分别为$P_1(x_1,y_1)$和$P_2(x_2,y_2)$，椭圆的焦点为$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$。

第三定义椭圆证明
椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的），现在高中教材上有两种定义：1、平
面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭
圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）。

2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。

这两个定义
是等价的。

椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动度形成的
立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一
个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法〔1〕椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

〔2〕双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离〞互相转化。

〔3〕抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法〞。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法〞，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求〞法，具体有：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，那么有02020=+k b y a x 。

〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)那么有02020=-k b y a x 〔3〕y 2=2px 〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),那么有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,那么点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：〔1〕A 在抛物线外，如图，连PF ，那么PF PH =F 三点共线时，距离和最小。