2016考研数学：概率统计中的矩估计法分析

2016考研数学：概率真题解析从真题上可以看出，概率继续延续往年的出题特点：重基础，题型比较固定，解法比较单一，计算技巧要求相对低一些。

例如：数学三的第14题，主要考查二维正态分布的性质，一维正态分布的性质，随机变量的独立性，只要考生能够从已知条件中得到X,Y服从什么样的正态分布，再根据正态分布概率密度的对称性即可得到结果;数学三的两道概率大题仍然是我们近几年真题常考的题型，第22题是考查一维离散型随机变量的概率分布及数学期望，难度并不大;第23题主要考查点估计的两种方法，矩估计和最大似然估计，像这种题型解法比较单一，尤其是矩估计，那么对于最大似然估计，需要我们先写出似然函数，然后求当参数为何值时，似然函数能够取得最大值，所以只要我们按照常规步骤去做，就一定能求解出来，对于这种常考题型，在我们平时的钻卡课程中以及日常的测试中是频繁练习的。

下面中公考研数学名师李擂结合概率论这门学科的考试特点以及考试规律，给各位2016年的考生一些复习指导建议。

一、仔细分析考试大纲，抓住重点考试大纲是最重要的备考资料，一定要将大纲中要求的内容仔细梳理一下，在复习过程中一定要明确重点，对于不太重要的内容，如古典概型，只要求掌握一些简单的概率计算即可，不需要在复杂的题目上投入太多精力。

而对于概率的重点考查对象一定要重视，例如，随机变量函数的分布基本上每年都会以解答题的形式考查，其中离散型随机变量函数的分布是比较简单的，连续型随机变量函数的分布是考试频率最高的，也是较难的一类题目，在利用分布函数法求概率密度函数过程中，如何正确寻找分段点以及确定积分上下限是正确解决这类问题的关键，所以平时复习要加强这类题型的训练，一个离散型一个连续型随机变量函数的分布，求最大值、最小值函数的分布考频也是比较高的。

另外，二维连续型随机变量的边缘分布、条件分布也是考试的重点，大家在复习过程中一定要深刻理解他们的定义和计算方法。

随机变量的分布还经常与数字特征结合出题，所以数字特征也是概率的一大重点，但往往考生对于这部分知识掌握的不好，失分现象严重，所以要求大家复习时要灵活应用数字特征相应的计算公式及性质。

矩估计法的公式摘要：一、矩估计法简介1.矩估计法的概念2.矩估计法在统计学中的应用二、矩估计法公式1.矩的定义2.矩估计法的推导过程3.常见矩估计量及其公式三、矩估计法的性质与特点1.矩估计量的性质2.矩估计法的优点与局限性四、矩估计法在实际问题中的应用1.参数估计问题2.假设检验问题正文：一、矩估计法简介矩估计法是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据对未知参数进行估计。

矩估计法的核心思想是通过样本数据的矩（如均值、方差等）来估计总体的矩，从而得到参数的估计值。

矩估计法在统计学中有着广泛的应用，例如在区间估计、假设检验等问题中都有涉及。

二、矩估计法公式1.矩的定义矩是描述数据分布特征的一个量，它反映了数据围绕均值分布的情况。

对于连续型随机变量，其矩的定义如下：μk = E(X^k) = ∫x^kf(x)dx，k∈N其中，E(X^k) 表示随机变量X 的k 阶矩，f(x) 表示X 的概率密度函数，∫表示积分。

2.矩估计法的推导过程设总体分布为F(x)，参数为θ，根据矩的定义，我们有：E(X) = ∫xf(x;θ)dx = μθ其中，μθ表示总体均值，μ表示样本均值，θ表示参数。

根据样本数据，我们可以得到n 个样本观测值x1, x2, ..., xn，对应的样本矩为：S_n = (x1^2 + x2^2 + ...+ xn^2) / n对S_n 求导，可得：dS_n/dθ = 2(x1 + x2 + ...+ xn) / n令dS_n/dθ = 0，解得：θ= μ = (x1 + x2 + ...+ xn) / n因此，我们可以用样本均值μ作为参数θ的估计值。

3.常见矩估计量及其公式除了均值，还有其他一些常见的矩估计量，如方差、协方差等。

这里列举一些常见的矩估计量及其公式：- 样本均值：μ = (x1 + x2 + ...+ xn) / n- 样本方差：s^2 = (Σ(xi - μ)^2) / (n - 1)- 样本标准差：s = √s^2- 样本相关系数：r = Σ(xi - μ)(yi - μ) / (s * s")三、矩估计法的性质与特点1.矩估计量的性质矩估计量具有良好的性质，如无偏性、有效性、一致性等。

概率论与数理统计第6章参数估计第1讲矩估计法第一讲矩估计法点估计根据样本构造一个统计量用它估计未知参数称为点估计.称为的估计量;称为的估计值.01矩估计法02 典型例题本 讲 内容用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的估计量, 建立含有待用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法称为矩估计法.理论依据——大数定律——生活经验：Ὅ例X —某品牌手机的待机时间，欲估计其抽取Ὅ 替换原理Ὅ 方法解方程组 , 得 m 个统计量：——含未知参数θ1,θ2, ⋯,θm 的方程组未知参数θ1, ⋯,θm 的矩估计量代入一组样本值得 m 个数:设待估计的参数为设总体的 k 阶矩存在，记为样本X 1, X 2,…, X n 的k 阶矩为Ὅ例1解令Ὅ例2设X的分布列为其中是未知参数.利用总体X的样本值:3,1,3,的矩估计.0,3,1,2,3,求01矩估计法02 典型例题本 讲 内容即令设总体X有数学期望和方差：Ὅ例3X 1,…,X n 是X 的一组样本,求 的矩估计.解解得一般,不论总体服从什么分布,若总体期望 μ 与方差σ2存在,则它们的矩估计量分别为设总体 X ~ U (a,b ) , a,b 未知, 求参数a,b 的矩估由于令Ὅ例4解1计量.解得设某种钛金属制品的技术指标为X ，其概率密度为其中未知参数 ， 为来自总体X 的简单随求 得矩估计量.由于令Ὅ例5机样本，解已知某种金属板的厚度 X 在( a , b)上服从均匀分由于X 在( a , b)上服从均匀分布，故则总体的二阶矩设抽查了n片金属板，厚度分别为Ὅ例6解，试用矩估计法估计a ，b.分布，其中a , b 未知，令解此方程组，得到矩估计量为不同的矩法可得到不同的矩估计，因此矩估计不唯一.设总体X ~U ( 0 ,θ )，θ未知，X 1 ,…, X n 是 X 的样本，法1 上题的特例法2法4 法3Ὅ例7试求 θ 的矩估计量.这一讲我们介绍了点估计的第一种方法——矩估计法. 缺点是：矩估计法的优点是简单易行, 并不需要事先知道总体是什么分布.信息.时,矩估计法会失效.当总体类型已知时,没有充分利用分布提供的一般场合下,矩估计量不具有唯一性.当矩不纯在第1讲 矩估计法学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。

矩估计法的公式(一)矩估计法的公式简介矩估计法是一种参数估计方法，通过求解矩方程组得到参数的估计值。

它基于样本的矩与理论的矩之间的相等关系，是一种常用的统计推断方法。

矩估计法的基本原理矩估计法的基本原理是利用样本的矩以及理论的矩之间的关系来估计参数的值。

对于一般连续型分布或者离散型分布，其概率密度函数为f(x;θ），其中θ是待估参数。

假设我们有n个相互独立同分布的样本观察值x1, x2, …, xn，我们可以根据下面的步骤来进行矩估计：1.计算样本的k阶原点矩：μk’ = 1/n * ∑(xi^k)，其中i从1到n；2.用样本的k阶原点矩估计理论的k阶原点矩：μk’ = E[X^k]，其中E[]表示期望值；3.解方程组μk’ = μk’，得到参数的估计值。

矩估计法的公式下面是一些常用的矩估计法的公式：1. 一阶矩估计对于参数θ，其一阶矩估计为：θ’ = μ1’其中，μ1’为样本的一阶原点矩。

2. 二阶矩估计对于参数θ，其二阶矩估计为：θ’ = (√(μ2’ -μ1’^2))/σ’其中，μ2’为样本的二阶原点矩，μ1’为样本的一阶原点矩，σ’为样本的标准差。

3. 多参数估计对于多个参数的情况，我们可以根据不同的矩关系列出方程组进行求解。

例如，对于参数θ1和θ2，我们可以列出方程组：μ1’ = g1(θ1,θ2) μ2’ = g2(θ1,θ2)其中，g1(θ1,θ2)和g2(θ1,θ2)为关于θ1和θ2的函数。

通过解这个方程组，我们可以得到θ1和θ2的估计值。

例子说明假设我们想要估计某种产品的平均寿命，我们收集了20个产品的寿命观察值。

根据经验，我们知道产品的寿命服从指数分布，概率密度函数为f(x;θ) = θ * e^(-θx)，其中θ为待估参数。

我们可以通过矩估计法来估计参数θ的值。

步骤如下： 1. 计算样本的一阶原点矩：μ1’ = (1/n) *∑(xi) 2. 用样本的一阶原点矩估计理论的一阶原点矩：μ1’ =1/θ 3. 解方程μ1’ = μ1’，得到参数的估计值：θ’ = 1/μ1’例如，我们计算得到样本的一阶原点矩为μ1’ = ，那么根据步骤3，我们可以得到参数θ的估计值为：θ’ = 1/ = 20因此，根据我们的样本数据，我们估计产品的平均寿命为20个单位。

矩估计法和似然估计法在考研数学中经常以解答题形式出现，这类题⽬⼀般不难，解题思路⽐较固定，所以万学海⽂数学考研辅导⽼师们在此主要就矩估计法和似然估计法这两个知识点，为⼴⼤2012年的考⽣们进⾏详细讲解.
1、矩估计法
矩估计法的思想是⽤样本矩来估计相应的总体矩.
解题思路：
(1)若总体分布中只有⼀个未知参数，则令，求出未知参数的矩估计量（值）.
(2)若总体分布中有两个未知参数，则令
，或，求出未知参数的矩估计量（值）.
其中，，.
2、似然估计法
似然估计法的思想是求未知参数使得样本获取样本值的概率.
解题思路：
（1）似然函数：
1）若总体是离散型随机变量，概率分布为则似然函数为;
2)若总体是连续型随机变量，概率密度为，则似然函数为.
（2）取对数：；
（3）求导：；
（4）若驻点存在且，则该值为所求的似然估计值；若驻点不存在，则似然估计值在边界点上找.
以上就是矩估计法和似然估计法的具体解题步骤，下⾯我们通过⼀个例题来看具体应⽤：
例设总体服从上的均匀分布，是取⾃总体的⼀个简单随机样本，试求：（I）未知参数的矩估计量；
（II）未知参数的似然估计量.
【解析】（I）依题意，,
令，即,因此的矩估计量为.
（II）的密度函数为
似然函数为
当时，.显然，是单调减函数，越⼩，就越⼤，但，所以是的似然估计量.
在求似然估计量（值）时，同学们往往不能正确写出似然函数，这⾥⼀定要注意随机变量是离散型的还是连续型的.
若总体是离散型随机变量，概率分布为则似然函数为;
若总体是连续型随机变量，概率密度为，则似然函数为.。

2016考研数学复习之矩估计来源：文都教育参数估计是考研数学大纲中概率论与数理统计部分第七章的内容，根据历年真题分析发现，无偏估计、矩估计和极大似然估计是每年考试的重点。

那么对于这几种估计方法，我们该如何有效、高效的学习、掌握呢？文都考研数学老师接下来为大家大致总结一下本章的第一部分内容-矩估计。

一、基本知识点 矩估计一般来说，用样本的各阶矩作为总体分布函数中的未知矩的估计。

含一个参数：设总体(,)X f x θ ，但是参数θ未知，需要对参数θ进行估计。

具体步骤：①取样：12,,,nX X X …；②计算样本均值11n ii X n =∑，根据大数定律1111n n Pi i i i X X EX EX n n ===−−→=∑∑；③令X EX =（在EX 的结果中包含θ），则可求出ˆθ。

含两个参数：若含有两个参数12,θθ， ①取样；②由大数定律2222111111,n n n PP i i i i i i X X EX A X EX EX n n n ====−−→==−−→=∑∑∑；③令X EX=，222211=+()n i i A X EX DX EX n ===∑（或者令211()1ni i X X DX n =-=-∑），则可求出12,θθ的估计量。

所谓矩估计法就是利用样本原点矩去替换总体矩. 矩估计法的计算步骤：（1）计算总体原点矩EX μ=，建立关于参数的有效方程；（2）用样本原点矩11ni i A X n ==∑作为总体原点矩EX μ=的估计，令A μ=即11(1,2,)ni i X EX k n ===∑ ； （3）通过求解有效方程，将未知参数用样本的统计量表示出来，再将未知参数θ用对应的估计量θ∧代替；（4） 若给定一个样本观测值12(,)n x x x ，代入θ∧可得θ的一个矩估计值二、典型例题例1 设总体X 的概率密度为,01(;)1,120,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，其中θ是未知参数（01θ<<）.12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,,,n x x x 中小于1的个数.求：（1）θ的矩估计；（2）θ的最大似然估计. 解析：（1）1213()(1)2EX xf x dx xdx xdx θθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰， 令EX X =，得矩估计量32X θ=-. （2）似然函数()(1)Nn NL θθθ-=-，ln ()Nln (N)ln(1)L n θθθ=+--，令ln ()01d N n NL d θθθθ-=-=-，得θ的最大似然估计为N n θ= .例罐中有N 个硬币，其中有θ个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为0.5），其余N θ-个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，然后放回，如此重复n 次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为012012,,()n n n n n n n ++=.（1）求θ的矩估计 1θ，最大似然估计 2θ； （2）求 12E E θθ、； （3）求 2D θ. 解析：（1）设X 为连掷两次正面出现的次数，A ：“取出的硬币为普通硬币”，则21(0)()(0|)()(0|)()24P X P A P X A P A P X A N Nθθ===+===，1221(1)()(1|)()(1|)()22P X P A P X A P A P X A C N Nθθ===+===， 2143(2)()(2|)()(2|)()24N N P X P A P X A P A P X A N N Nθθθ--===+==+=， 则X 的分布律为X0 1 2P4Nθ2Nθ434N Nθ- 则12012432(2)(2)(2)22n n N N NEX X N X N n n NN N n nθθθθ+--=+==⇒=-=-=+ 则θ的矩估计 101(2)Nn n nθ=+. 似然函数012143(,,;)424n n n n N L X X N N Nθθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 012ln (ln ln(4))(ln ln(4))(ln(43)ln(4))L n N n N n N N θθθ=-+-+--，012013ln 40()433n n n d L Nn n d N n θθθθθ=+-=⇒=+-， 则θ的最大似然估计 2014()3Nn n nθ=+. （2）01243(,),(,),(,)424N n B n n B n n B n NNNθθθ- ， 则012(43),,424n n n N En En En N N Nθθθ-=== 12(2)22N E EN X N NE X N N Nθθθ-=-=-=-⨯=， 20101444()()()33342N N N n n E E n n En En n n n N N θθθθ=+=+=+=. （3）01(1),(1)4422n n Dn En N N N Nθθθθ=-=-， 则 22201012222241616(4)(2)()()()3991641259N N N n N n N D D n n Dn Dn n n n N N N nθθθθθθθ--=+=+=+-=例总体X 的概率分布为1{},1,2,,P X k k N N=== ，其中N 是未知参数(正整数)，利用总体X 的如下样本值：1,3,2,3,2,1,2,N N -，求N 的矩估计值..【解析】由X 的概率分布知，1111(){}2==+=⋅==⋅=∑∑N Nk k N E X k P X k k N ， 样本均值()131323212824Nx N N =+++++-++=+. 令()=X E X ，得31242N N ++=，解得ˆ4N=，即N 的矩估计值是4. 以上是文都考研数学老师总结的参数估计当中的矩估计法，另外，同学们要牢记常用的参数的距估计值，这样可以节约很多时间。

矩估计法的公式摘要：1.矩估计法的概念与基本思想2.矩估计法的公式推导3.矩估计法的应用与实例4.矩估计法的优缺点分析正文：一、矩估计法的概念与基本思想矩估计法是一种用于求解统计量估计的数学方法，其基本思想是通过样本矩与总体矩之间的关系，构造出样本统计量的矩估计值，从而得到总体参数的估计值。

矩估计法既适用于离散型随机变量，也适用于连续型随机变量。

二、矩估计法的公式推导设随机变量X 具有离散型分布，其概率质量函数为p(x)，n 为样本容量，样本均值和样本方差分别为μ_n 和σ_n^2，总体均值和总体方差分别为μ和σ^2。

根据矩的定义，有：E(X) = Σx * P(X=x) = ∑_{i=1}^{n} x_i * p(x_i)Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = Σx^2 * P(X=x) = ∑_{i=1}^{n} x_i^2 * p(x_i)根据矩估计法的思想，样本均值μ_n 可以作为总体均值μ的矩估计值，样本方差σ_n^2 可以作为总体方差σ^2 的矩估计值。

即：μ_n = Σx * P(X=x) / nσ_n^2 = [Σx^2 * P(X=x)] / (n-1)对于连续型随机变量，样本矩可以表示为：μ_n = ∫xf(x)dxσ_n^2 = ∫[x^2f(x)]dx - [∫xf(x)dx]^2 / (n-1)其中，f(x) 为随机变量X 的概率密度函数。

三、矩估计法的应用与实例矩估计法在实际应用中具有广泛的应用，例如在统计推断、参数估计、假设检验等领域。

下面举一个简单的例子来说明矩估计法的应用：假设有一个箱子中装有若干个红球和白球，现在从箱子中抽取n 个球，记抽取到的红球个数为X，求箱子中红球和白球的比例。

根据矩估计法的公式，可以得到样本红球和白球比例的矩估计值，从而估计出总体红球和白球的比例。

四、矩估计法的优缺点分析1.优点：矩估计法具有较强的理论依据，可以得到较好的估计效果。