圆切线方程公式

｜　｜　。Ｆ　２４　ＳＨＵＸＵＥＪＩＡＯＹＵ　在高中数学《圆的方程》一节中有　例题，是关于求过已知圆上一点的切　线方程。除了用斜率和向量的方法之外　还有几种方法，现将这些方法归纳整　理，以供参考。　例：已知圆的方程是　ｙ　＝ｒ２，求经　过圆上一点Ｍ（ｘ。，ｙＯ的切线的方程。　解法一：利用斜　率求解　（１）如图１，设切　图１　线的斜率为ｋ，则ｋ・　：一１　ｏ　・．‘　＝垃，　０　．－．　＝一　经过点Ｍ的切线　方程是：　Ｙ—Ｙ０＝一　・　（　一　０）　整理得ｘｏｘ＋　ｙ　＋　。　因为点　在圆　上，所以　＋　＝ｒ２。　所求的直线方程为：ｘｏｘ＋ｙｏｙ＝ｒ　。　（２）当点Ｍ在坐标上时上面方程　同样适用。　解法二：利用向量求解　如图２，设切线上的任意一点Ｐ的　．　坐标（　，Ｙ）　．．．　Ｊ＿　．　百　＝（　ｙ０），　＝（　ｏ—　．　Ｙｏ－Ｙ　Ｊ　．．．ｏ－￣．　：０　．。．ＸＯＸ（Ｘ０－％）十ｙｏＸ（ｙｏ—Ｙ）　０　整理得：ｘｏｘ＋ＹｕＹ　＋　。　因为点　在圆上，所以Ｘｏ‘＋Ｙ　ｏ＝ｒ２。　所求的直线方程为：ｘｏｘ＋），　＝ｒ２。　（这种方法的优点在于不用考虑直　线的斜率是否存在）　解法三：利用几何特征求解　如图２，设直线上不同于Ｍ（ｘ。，Ｙｏ）　的一点Ｊｐ（　，Ｙ）　’？ＯＭＬＰＭ　．・．Ｉ　ＯＭ　Ｉ　ｚ＋ｌ　１　ｌ　ＯＰ　Ｉ　．・．　＋　十（　—ｘｏ）　＋（）　一Ｙｏ）　＋　整理得：ｘｏｘ＋ｙｏｙ＝ｘｏ　＋Ｙｏ‘　因为点Ｍ在圆上，所以　＝ｒ２。　所求的直线方程为：ｘｏｘ＋ｙ　＝ｒ２。　当Ｐ和Ｍ重合时上面方程同样适　用　解法四：用待定系数法求解　１．利用点到直线的距离求解　（１）设所求直线方程的斜率为ｋ，则　直线方程为：　ｙ－ｙｏ＝ｋ（ｘ—ＸＯ），　即ｋｘ－Ｙ＋Ｙｏ—ｋｘｎ　０　（１）　原点０（０，０）到切线的距离等于半　径：　Ｉ　。二　Ｑ　ｊ：　、／研　化简整理得：（ｒＬ　：）ｋ％２ｘｃｙｃｋ　＋ｒ乙ｙ：＝Ｏ　（２）　因为　＋　＝ｒ２　所以（２）式可化为：ｙ　＋２ｘｏｙ＆＋ｘ　＝ｎ　解得：　＝一堑代入（１）式　整理得：　＋　。　因为点Ｍ在圆上，所以　＋　＝ｒ２。　所求的直线方程为：ｘ￣＋ｙＱｙ＝ｄ。　（２）当斜率不存在时上面方程同样　适用。　２．利用直线与圆的位置关系求解　设所求直线方程的斜率为ｋ，则直　线方程为：　Ｙ—ｙｏ＝　（　—　０），　即：ｋｘ—ｙ＋ｙｏ－ｋｘｏ＝Ｏ　（１）　ｋｘ－ｙ＋ｙｏ一　０消去Ｙ得　【　十Ｙ　ｒＬ　（１¨　）　＋２ｋ（ｙ０－ｋ￣＃　：＋ｋ２ｘ：　——２ｋｙｏｘｏ－ｄ＝＝０　△＝４ｋ　（ｙｏ－ｋｘＯ２—４（１＋　２）（）　＋ｋ２ｘ：　２ｋｙｏｘｏ－ｒ￣＝０　整理得　（ｒ２　）ｋ％２ｘｏｙｏｋ＋ｒ２一　ｏ　（２）　因为Ｘ‘ｏ＋Ｙｏ‘＝ｒ２　所以（２）式可化为：ｙ：　＋２ｘｏｙ￣ｋ＋ｘ：　＝０　解得：　＝一　代入（１）式　ｙ。　整理得：ｘｏｘ＋ｙｏｙ＝ｘｏ　＋　。　因为点Ｍ在圆上，所以　＋　ｒ２。　所求的直线方程为：　－）－ｙ￣＝ｆｌ。　当斜率不存在时上面的方程同样　适用。　这是圆心在坐标原点的圆的切线　方程的求法，若圆心不在原点，同样也　可以用这些方法求解。　同样一道题，思路不同，方法不同，　难易程度不同。显然在以上的几种解法　中，用向量法和几何特征求解相对来说　简单一些。实际上在圆这一章，很多时　候用几何特征求解圆的方程和直线方　程是较简单的方法，同学们不妨一试。　２０１０・５　中学数学学习障碍　及萁成因的韧析　安徽省铜陵市第四中学朱齐　关键词：依赖急躁定势　中学生数学学习的心理障碍，是指影响、制　约、阻碍中学生积极主动和持久有效地学习数学　知识、训练创造性思维、发展智力、培养数学自学　能力和自学习惯的一种心理状态，也即是中学生　在数学学习过程中因“困惑”、“曲解’　或“误会”而　产生的一种消极心理现象。其主要表现有以下几　个方面：　一、依赖心理　、　数学教学中，学生普遍对教师存有依赖心理，　缺乏学习的主动钻研和创造精神。一是期望教师　对数学问题进行归纳概括并分门别类地一一讲　述，突出重点难点；二是期望教师提供详尽的解题　示范，习惯于一步一步地模仿硬套。事实上，我们　大多数数学教师也乐于此道，课前不布置学生预　习教材，上课不要求学生阅读教材，课后也不布置　学生复习教材；习惯于一块黑板、一道例题和演算　几道练习题。长此以往，学生的钻研精神被压抑，　创造潜能遭扼杀，学习的积极性和主动性逐渐丧　失。在这种情况下，学生就不可能产生“学习的高　峰体验”、“高涨的激励情绪”，也不可能在“学习中　意识和感觉到自己的智慧力量，体验到创造的乐　趣”。　二、急躁心理　急功近利，急于求成，盲目下笔，导致解题出错。　是未弄清题意，未认真读题、审题，没弄清　哪些是已知条件，哪些是未知条件，哪些是直接条　件，哪些是间接条件，需要回答什么问题等；二是　未进行条件选择，没有从贮存的记忆材料中去提　取设问题所需要的材料进行对比、筛选，就“急于　猜解题方案和盲目尝试解题”　三是被题设假象蒙　蔽，未能采用多层次的抽象、概括、判断和准确的　逻辑推理；四是忽视对数学问题解题后的整体思　考、回顾和反思，包括“该数学问题解题方案是否　正确？是否最佳？是否可找出另外的方案？该方案　有什么独到之处？能否推广和做到智能迁移等　等”　三、定势心理　定势心理即人们分析问题、思考问题的思维　定势。在较长时期的数学教学过程中，在教师习惯　鍪江苏省泰兴市横垛高级中学任小英　求圆昀切线方程昀几种方法

圆的切点弦公式的推导过程如下：

第一步，设圆上的两个切点为和，切线方程为。

第二步，由于点在圆上，所以有。

第三步，将切线方程代入圆的方程，得到。

第四步，整理上一步的方程，得到。

第五步，由于点和在切线上，所以上述方程有两个相等的实数根，即。

第六步，根据判别式，得到。

第七步，整理上一步的方程，得到。

第八步，继续整理上一步的方程，得到。

第九步，由于和是不同的两个点，所以上述方程有两个不相等的实数根，即。

第十步，根据判别式，得到。

第十一步，整理上一步的方程，得到。

第十二步，继续整理上一步的方程，得到。

第十三步，由于上述方程是一个二次不等式，解得的范围为

。

第十四步，根据切线与半径垂直的性质，得到切点弦所在的直线方程为。

综上，我们得到了圆的切点弦公式的推导过程。x+

2y=

2r

2A(x,y)

11B(x,y)

22y−y=

1k(x−x)

1

A(x,y)

11x+

12y=

12r

2

(1+k)x−222k(y−

1kx)x+

1y−

12

2ykx+

11x=

12r

2

(1+k)x−222k(y−

1kx)x+

1(y−

12

2ykx+

11x−

12r)=

20

A(x,y)

11B(x,y)

22Δ=0

Δ=b−24ac4k(y−2

1kx)−

124(1+k)(y−2

12

2ykx+

11x−

12r)=

20

4k(y−2

12

2kxy)−

114(y−

12

2kxy)=

110

(4k−24)y+

12

(8kx−2

18kx)y+

114x−

12

4r=20

A(x,y)

11B(x,y)

22Δ>0

Δ=b−24ac(8kx−2

18kx)−

124(4k−24)(4x−

12

4r)>20

(8kx)−2

128k(4k−24)x+

1(4k−24)(4r)>20

(8k)x+22

12

(8r(4k−224)−(8k))x+22

1(4k−24)(r)>220

x

1−

<

(8k)+(8r(4k−4))2222(8k)22

x<

1

(8k)+(8r(4k−4))2222(8k)22

xx+

1yy=

1r

2

如何求圆的切线方程

在直线与圆的位置关系中，相切是一个重要的位置关系。众所周知，在圆上的点可以作一条直线与该圆相切，过圆外一点可以作二条直线与该圆相切。在历年高考中，常常出现在选择题中。本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论，供同学们参考。

1、 利用几何性质来求切线方程

当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。因此，利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程。

例1 已知圆C的方程是22(1)4xy，圆外一点P（3，2），求经过点P且与圆C相切的直线方程。

解：当过P的直线的斜率不存在时，显然不是圆的切线。故设所求的直线的斜率为k，直线方程为：2(3)ykx。

由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离d等于半径2，即：

22|12(03)||31|211kkdkk

解之，得：3265k

所以，切线方程为：3262(3)5yx

点评：求切线方程时，点到直线的距离公式相当重要，不能记错。设直线方程时，一定要考虑直线的斜率不存在时的情况，避免漏解。

2、 利用方程的判别式来求切线方程

当直线与圆相切时，直线与圆只有一个公共点，此时方程与直线联立方程，利用判别式等于零即可以求出切线方程。

例2 已知圆C的方程是22(1)4xy，圆外一点P（2，2），求经过点P且与圆C相切的直线方程。

解：当过P的直线的斜率不存在时，直线x=2是圆的切线。当过P的直线的斜率存在时，设所求的直线的斜率为k，直线方程为：2(2)ykx。

直线方程与圆的方程联立，可得：222(1)2(12)4430kxkkxkk

因为直线与圆只有一个公共点，故22224(12)4(1)(443)0kkkkk

解之，得：34k

故所求的切线方程是：32,2(2)4xyx

点评：利用判别式求解时，计算量比较大。本题注意不能漏解了x=2。

3、 利用垂直关系求切线方程

圆的切点弦方程的解法探究

在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识：

1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a（)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；

在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0） 下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。 22

22

22222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0） 的公共弦所在的直线

方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。

223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点

P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。

224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22

P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：

； （x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）

xx1+yy1+Dx+x1y+y1。 +E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22

二、题目 已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆

的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。

三、解法 解法一：用判别式法求切线的斜率

如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线

方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]

即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由 ⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0