大理学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＤＡＬＩ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
何彩香，张晓玲
（大理学院数学与计算机学院，云南大理６７１００３）
［摘要］讨论了复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质，并给出了简单的证明。利用这些性质可以快速准确地判定某些复变
函数的孤立奇点的类型，这对研究某些复变函数在其孤立奇点处的去心邻域内的性质、复积分的计算等是很有意义的。
［关键词］解析点；可去奇点；极点；本质奇点
［中图分类号］０１７４．５［文献标志码］Ａ［文章编号］１６７２—２３４５（２０１０）０４—００１７—０３
Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ Ａｎａｌｙｔｉｃ Ｐｏｉｎｔ ａｎｄ Ｉｓｏｌａｔｅｄ Ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｏｆ Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＨＥ Ｃａｉｘｉａｎｇ，ＺＨＡＮＧ Ｘｉａｏｌｉｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｄａｌｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉ，Ｙｕｎｎａｎ ６７１００３，Ｃｈｉｎａ）
（Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃ ｐｏｉｎｔ ａｎｄ ｉｓｏｌａｔｅｄ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｇｉｖｅｓ ｏｕｔ
ｓｉｍｐｌｅ ｐｒｏｏｆｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅｍ．Ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，ｗｅ ｃａｎ ｄｅｃｉｄｅ ｔｈｅ ｔｙｐｅ ｏｆ ｉｓｏｌａｔｅｄ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｏｆ ｓｏｍｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｔｈｉｓ ｉｓ ｖｅｒｙ ｍｅａｎｉｎｇｆｕｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｒ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｉｓｏｌａｔｅｄ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｌｅｔｅｄ ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ
- 1 - 谈解析函数中有限孤立奇点的判定方法
有限孤立奇点是一种重要的数学概念，它是一种有限、孤立的特殊点，具有解析函数的性质。有限孤立奇点的存在及其判断具有重要的理论和应用价值。本文主要就解析函数中的有限孤立奇点作一深入的研究，主要介绍以下内容：
一、有限孤立奇点的定义
有限孤立奇点是指一类有限的孤立的点，这些点具有解析函数的性质。可定义为：若函数f（x）在x=x_0处及它的邻域内无有限值，则称x_0是f（x）的有限孤立奇点。这里，f（x）一般指定义域上的可导分析函数，并且特征点x_0也要满足函数f（x）在有限范围内无有限值。
二、有限孤立奇点的重要性
有限孤立奇点对于解析函数有着重要的意义。首先，有限孤立奇点可以帮助数学研究人员更加深入地研究函数，从而有助于函数分析。其次，有限孤立奇点也可以用来分析一些特定问题，比如求解方程。在应用中，有限孤立奇点的存在也可以提供一种有力的理论基础，涉及到一些数学上的研究，如解析函数的求解、有限元素分析等。
三、有限孤立奇点的判定方法
判断一个点是否为有限孤立奇点，有多种方法可以实现。首先，是通过函数的求导，利用极值定理，从而判断函数是否有孤立的极值点，若是的话，这个点就可能是有限孤立奇点。其次，还可以利用超参数曲面，观察曲面的拐点以及曲线的行为来判定。 - 2 - 再次，可以利用数值求解的方法，给定函数的定义域，进行穷举，并利用精确数值计算和迭代法，不断收敛，最后达到极值点。最后，还可以通过分离变量法来进行求解。
四、总结
本文讨论了解析函数中有限孤立奇点的判定方法，提出了多种判定方法，以便解析函数中有限孤立奇点的判断。借助这些方法，可以更深入地了解函数的性质，为函数分析和应用提供有力的理论支持。
§2 解析函数的孤立奇点
一、教学目标或要求：
掌握解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理
二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
基本内容：解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理的叙述和证明
重点：解析函数的孤立奇点的分类
难点: 许瓦兹引理的叙述和证明
三、教学手段与方法：
讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习： 4－7
§2 解析函数的孤立奇点
1. 孤立奇点的三种类型
若为的孤立奇点，则在点的某去心邻域内可以展开成Laurent展式 。
定义5.3 设点a为函数)(zf的孤立奇点：
(1)若)(zf在点a的罗朗级数的主要部分为零（即Laurent展式不含负幂项），则称点a为)(zf的可去奇点；
(2)若)(zf在点a的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为
0,)()(11)1(mmmmmcazcazcazc
则称点a为)(zf的m级（阶）极点；
(3)若)(zf在点a的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点a为)(zf的本性奇点．
依定义，点0z为zzsin的可去奇点，点0z为2ezz的二级极点，点1z为zz1sin的本性奇点．
2. 可去奇点
定理5.3 若点a为)(zf的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：
(1) 在点 的主要部分为0；
(2)
(3) 在点 的某去心邻域内有界。
证 由于 且在内解析，从而连续，故 。
由于 ,故
取 ，则 ,
即得。
设 ， 考虑 在 的主要部分
则
对 成立，故当 时， 即得。
3.Schwarz引理
如果函数)(zf在单位圆1||z内解析，并且满足条件
),1|(|1|)(|,0)0(zzff
则在单位圆1||z内恒有|,||)(|zzf 且有1|)0('|f。
如果上式等号成立，或在圆1||z内一点00z处前一式等号成立，则)1|(|)(zzezfia，其中a为一实常数。
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复变函数中孤立奇点的判别
作者：苗保山 张文英 解妮 童小红
来源：《教育教学论坛》2018年第39期
摘要：先给出复变函数的零点及阶数，再根据零点和孤立奇点的关系，给出判断孤立奇点类型的方法.
关键词：零点；阶数；孤立奇点
中图分类号：O174.5 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）39-0203-02
一、引言
在复变函数[1]中，把孤立奇点分成三种类型：可去奇点、极点和本性奇点.教材中给出了两种判别孤立奇点类型的方法，一种是在奇点的去心邻域内将函数展开成罗伦阶数，根据负幂项的有无及多少来判断，但是要将有些函数展开成罗伦阶数比较困难；另外一种是对函数求极限，根据极限值来判断，此种方法可以求出孤立奇点是函数的哪一类奇点，但若是函数的极点，却不能判断出极点的阶数.
一些文章[2-6]也给出了求孤立奇点类型的方法.本文先求出函数分母的零点，再根据零点和孤立奇点的关系，最后给出判断复变函数孤立奇点类型的方法.
二、函数的零点
（一）没有因子表达式的零点
1.定义：若不恒等于零的函数f（z）可表示成f（z）=（z-z ） φ（z），其中函数φ（z）在z 解析，且φ（z ）≠0（m≥1）且为正整数，那么z 称为函数f（z）的m阶零点.
例1：求函数z -z -z+1的零点及阶数.
因为z -z -z+1=（z-1） （z+1），所以z=1是2阶零点；z=-1是1阶零点.
例2：证明z=0是函数z-sinz的3阶零点.
证明：将sinz在0点展开成泰勒级数，然后得
z-sinz=z-z- z + z - z +……=z
- z + z +…… 龙源期刊网
