简谐运动的图象及公式

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. 简谐运动公式

一、简谐运动判定方法

1、恢复力判定法 kFx

2、运动方程判定法 cos()Atx

3、动力学方程判定法 20ax

4、能量判定 221122mkEvx

二、弹簧振子

1、恢复力 2mmkFaxx

2、位移 cos()Atx

3、速度 cos()Atv

4、加速度 22cos()Atax

5、周期 22mTk

6、角频率 2T

7、能量 222111222EkAkmxv

三、单摆

1、周期 2lTg =2d2coscoslTgl

2、重力加速度 2224Tgll

学案3 简谐运动的图像和公式

[目标定位] 1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息．

一、简谐运动的图像

[问题设计]

1．我们研究直线运动时，经常使用x－t图像和v－t图像来描述物体的运动，对于简谐运动也可以用运动图像来描述它的运动情况．

甲、乙两同学合作模拟简谐运动的x－t图像

如图1所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸．

图1

(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？

(2)乙同学匀速向右拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？

答案 (1)是一条垂直于OO′的线段．

(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线．

2．绘制简谐运动的x－t图像

图2

如图2所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线．若以漏斗的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立x轴，垂直于振动方向建立t轴，则这些曲线就是漏斗的位移—时间图像．

(1)为什么这就是漏斗的位移—时间图像？ (2)位移—时间图像与什么函数图像类似？

答案 (1)当单摆摆动时，薄板从左向右匀速运动，所以薄板运动的距离与时间成正比，因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻摆球(漏斗)离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律．

(2)与正弦(或余弦)函数图像类似．

[要点提炼]

1．图像的建立

以横轴表示做简谐运动的物体的运动时间t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x.

2．图像的特点

一条正弦(或余弦)曲线，如图3所示．

图3

3．图像的应用

(1)确定振动物体在任一时刻的位移．如图4所示，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝7 cm，x2＝－5 cm.

简谐运动 简谐运动的图象

1、简谐运动 简谐运动的图象

2、简谐运动的能量特征 受迫振动 共振

3、实验：用单摆测定重力加速度

简谐运动 简谐运动的图象：

1、简谐运动：简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，是一种变加速运动。

2、弹簧振子

（1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。

（2）当与弹簧振子相接的小球体积较小时，可以认为小球是一个质点。

（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。

（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内。

3、单摆：悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，线长比物体的直径大得多。单摆是实际摆的理想模型。

单摆摆动的振幅很小即偏角很小时，单摆做简谐运动。

4、描述简谐运动特征的物理量

（1）位移、简谐运动的位移，以平衡位置为起点，方向背离平衡位置。 （2）回复力：回复力的作用效果是使振子回到平衡位置。简谐运动中，

，负号表示力的方向总是与位移的方向相反。

（3）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需的时间。用T表示，单位秒（s）。 单摆周期

弹簧振子的频率只与弹簧的劲度系数和振子质量有关。 （4）频率：单位时间内完成全振动的次数。用f表示，单位赫兹（Hz）。 周期与频率的关系： （5）振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离。

5、简谐运动的公式描述：，A是简谐运动的振幅，ω是

圆频率（或角频率），叫简谐运动在t时刻的相位，是初相位。

6、简谐运动的图象

简谐运动的图象是正弦（或余弦）函数图象（注意简谐运动的具体图象形状，取决于t=0时振动物体的位置和正方向的选取，可参看“例1”）。

简谐运动图象的应用如下：

（1）可直观地读取振幅A、周期T、各时刻的位移x及各时刻的振动速度的方向和加速度的方向；

（2）能判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化

情况。

简谐运动图象蕴含的信息

1.描述简谐运动的图像：物理意义是表示振动物体偏离平衡位置的位移x随时间t变化的情况。可直观地读取振幅A、周期T及各时刻振子的位移x，从而知道位移x随时间t的变化情况。

2．简谐运动图像的应用主要是：

（1）判断各时刻振子的速度方向。在简谐运动图象中，用做曲线上某点切线的办法可确定各时刻质点的速度大小和方向，切线与x轴正方向夹角小于900时，速度与选定的正方向相同，且夹角越大表明此时速度越大，当切线与x轴正方向的夹角大于900时，速度方向与选定的正方向相反，且夹角越大，表明此时的速度越小。

（2）由makxF可判断各时刻振子所受回复力和加速度的方向（总指向时间轴）。

（3）判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。

（4）某段时间内振子运动的路程。

3、值得注意的问题

(1)注意振动图像不是振动质点的运动轨迹。

(2)简谐运动的周期和频率只与做简谐运动的物体本身有关，与外界条件无关

4、典例探究：

公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在坚直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。取竖直向下为正方向，以某时刻作为计时起点，即0t，其振动图象如图所示，则（ ）

A． Tt41时，货物对车厢底板的压力最大;

B． Tt21时，货物对车厢底板的压力最小;

C． Tt43时，货物对车厢底板的压力最大;

D． Tt43时，货物对车厢底板的压力最小.

［解析］ 由振动图象知，货物受重力和车厢底板的支持力，货物振动到最高点时，具有向下的最大加速度，根据牛顿第二定律mg-F=ma, 此时F最小，由牛顿第三可知，货物对车厢底板的压力此时也最小。当货物振动最低点时，同理可得货物对车厢底板的压力最大，故选项C正确。

［答案］ C

［互动探究］此类题的已知条件全部由图象提供，这充分说明振动图象所包含信息的丰富性，解此类题的关键是将图象与具体的振动过程对应起来。