2009年普通高等学校招生全国统一考试福建卷
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2009年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数学(理工农医类)
一.选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1.函数f(x) =sinxcosx最小值是
1 1
A. -1 B. C. D.1 2 2
1. 【答案】：B
1 . 1
［解析］T f (x) sin2x f ( x) min •故选 B 2 2
2•已知全集U=R，集合A={X|X2-2X 0}，则eu A等于
A . { x I 0 空x 空2} B { x I 0
C. { x I x<0 或 x>2} D { x I x^0 或 x 乞 2}
2. ［答案】：A
［解析］•••计算可得 A = {x，x c0或 x = 2} ••• CuA = {x.0 WxW2}.故选 A
3•等差数列｛an｝的前n项和为Sn ,且S3 =6, a1 =4,贝U公差d等于
5
A. 1 B - C.- 2 D 3 3
3. ［答案】：C
3
［解析］••• & =6 (a1 a3)且 a3 二 a「2d ^=4 . d=2.故选 C
JE
4. 2- (1 cosx)dx 等于
一2
A .二 B. 2 C.二-2 D.二 +2
4. ［答案】：D
x
I .d 2 JT JT JT Jt
［解析］T 原式=x +sin x = (一 +sin —)_［ _一 +sin(——)］=兀 +2 .故选 D
x 2 2 2 2 _ _ 2
5. 下列函数f (x)中，满足"对任意 x1 , X2 € ( 0,址)，当Nf(x2)
的是 2
B. f(X)= (X—1) C . f(x) = ex D
f(x) =1 n(x 1)
5. 【答案】：A
［解析］依题意可得函数应在 X •= (0, •：：)上单调递减，故由选项可得 A正确。
6•阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A. 2 B .4 C. 8 D .16
6. 【答案】：C
［解析］由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2X4=8.故选C 7•设m, n是平面〉内的两条不同直线，h , I2是平面：内的两条相交直线，则:-// :的 一个充分而不必要条件是
A.m // :且 I // ： B. m // I 且 n // 12
C. m // :且 n // ： D. m // :且 n // 12
7. 【答案】：B
［解析］若 m/儿，n//l2,m.n二：＜,■ 1. ■ 2 :,则可得】TI - .若〉// ：则存在
8. 已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投
篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出 0到9之间取整数值的随机数，指定 1 , 2, 3, 4
表示命中，5, 6, , 7, 8, 9, 0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结 果。经随机模拟产生了 20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
A. 0.35 B 0.25 C 0.20
D 0.15
&【答案】：B
24 2
［解析］由随机数可估算出每次投篮命中的概率p 则三次投篮命中两次为 60 5
c； P2 (1-P) -0.25故选B a与b不共线, 9. 设a, b, c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足A.以a，b为两边的三角形面积
C.以a，b为邻边的平行四边形的面积 B以b，c为两边的9.【答案】：C
［解析］依题意可cos(b, c) = b sin(a,c) = SI 故选 C.
发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清。若记分员计算失误, 则数字 x应该是 91,复核员在复核时, a _ c I a I =1 c I ,贝「b ? c I的值一定等于 K
10•函数f(x) =ax • bx • c(a = 0)的图象关于直线 x —对称。据此可推测，对任意的 2a
非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m〔f(x)l • nf(x) • p = 0的解集都不可能是
A.〈1,2? B "4 C “23,4? D〈1,4,16,64］
10. 【答案】：D
2
［解析］本题用特例法解决简洁快速，对方程 m［ f (x)］ • nf (x) • P =0中m,n, p分别赋
值求出f (x)代入f (x) =0求出检验即得
第二卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共 5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
2
11.若 =a + bi (i为虚数单位，a,b^ R )贝卩a + b = _______________ 1 -i
11. 【答案】：2
解析：由— a bi 21 ° 1 i，所以 a = 1,b =1,故 a - b=2。 1-i (1—i)(1+i)
12•某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛， 9位评委为参赛作品 A给出的分数如茎叶
图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为
12. 【答案】：1
解析：观察茎叶图， ”士 88 +89 +89 +92 +93 +90 +x + 92 +91 +94
可知有91 x =1。
9
13. 过抛物线y2 =2px(p 0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于 A、B两点，若线y2 -2px
2
2 P 厂
x -3px 0，又 4 AB 12), (3p)2 一4 : =8二 p = 2。 13.【答案】：2
解析：由题意可知过焦点的直线方程为“x-号，联立有
14•若曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数 a取值范围是 _________________
14. 【答案】：（-：：,0）
一 ’ - 2 1 一 一 .
解析：由题意可知 f （x） =2ax ，又因为存在垂直于 y轴的切线，
x
2 1 1
所以 2ax 0= a 3（x 0）= a （-二,0）。 x 2x
15. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
① 第一位同学首次报出的数为 1,第二位同学首次报出的数也为 1,之后每位同学所报出的
数都是前两位同学所报出的数之和；
② 若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第 100个数时，甲同学拍手的总次数为
15. 【答案】：5
解析：由题意可设第 n次报数，第n 1次报数，第n 2次报数分别为an，an .1， an.2，
所以有an ■ an an 2，又a =1,a2 =1,由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手 5次。
三解答题
16. （ 13 分）
从集合｛1,2,3,4,5｝的所有非空子集 中，等可能地取出一个。
（1） 记性质r :集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r的概率;
（2） 记所取出的非空子集的元素个数为 •，求的分布列和数学期望 E
16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质 r”为事件A
基本事件总数n=c； C2 C| C54 C55=31
事件A包含的基本事件是｛1,4,5｝ 、｛2，3，5｝、｛1，2，3，4｝
事件A包含的基本事件数 m=3
所以 p（A） = m 3- n 31 p( =4) C5 5 31
3厂 C52 10
31，p( =3) = 31 31
31 ,p^=5^C 31 31 31
AN上存在点S，使得ES _平面AMN .
可设AS -■AN
-(0, ■, ■), 故'的分布列为:
1 2 3 4 5
P 5 10 10 5 1
——
31 31 31 31 31
从而 E =1 ?+2 亠+3 卩+4 +5 丄=80
31 31 31 31 31 31
17( 13 分)
如图，四边形 ABCD是边长为1的正方形，MD _平面ABCD，
NB _平面ABCD，且MD=NB=1 , E为BC的中点
（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值
（2） 在线段AN上是否存在点S,使得ES_平面AMN ?若存在，求线段
AS的长；若不存在，请说明理由
17•解析：（1）在如图，以 D为坐标原点，建立空间直角坐标 D-xyz
1
依题意，得 D(O,O,O) A(1,O,O)M (0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,O), N(1,1,1),E(—,1,0)。
2
.NE =(一丄,0, —1),AM =(-1,0,1) 2
vTO
10，
所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为 上10 .A 10
(2)假设在线段
■ ,AN =(0,1,1), (cos 由ES _平面AMN，得 = 0, 1=0,
d,即汇)+心
1
故 ，此时 2 叭0，冷禺W
经检验，当AS 2时，ES _平面AMN .
2
故线段AN上18、(本小题满分13分)
如图，某市拟在长为 8km的道路0P的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数
y=Asin •，x(A>0, ■ >0) x • [0,4]的图象，且图象的最高点为
S(3，2； 3);赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛 运动员的安全，限定 / MNP=120 o
(I)求A，「的值和M, P两点间的距离;
(II )应如何设计，才能使折线段赛道 MNP最长?
18•本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及
应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 解法一
(I)依题意，有 A =2.3 , T =3，又T二兰
4 O H c U ■兀
。.y =2.3 sin x
6 6
x =4是，.y =2 3si 2 二 sin 3 3
■ M (4, 3)又 p(8,3)
.MP 二 42 32 =5
(□)在厶MN冲/
设/ PMN=、贝U 0
由正弦定理得」^0
sin 1200 MNP=120 < r<60
_ NP ,MP=5 ,
MN
sin 日 sin(60° -日)
10島 a 1^3 0 a
.NP sin v,. MN sin(60 - R 3 3
