最短路径问题及其变形

1 第21讲 最短路径问题

一、方法剖析与提炼

引例：如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为d(已知d2=400000m2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小，则最小距离为___________m。

【解答】1000。

【解析】如图，作点B关于公路l的对称点B′，连接AB′交公路于点C，CA+CB最短距离就是AB′的长度。根据勾股定理可以求得AB′=1000m。

【解法】同侧的两点，通过轴对称变换成异侧，利用两点之间线段最短确定最小距离。

【解释】通过生活中的实际例子，让学生感受最短路径来源于生活，并引出求最短路径常用的方法，利用轴对称变换找对称点及两点之间线段最短（即饮马问题）。学习时可作如下归纳：（1）在初中范围内和边的不等量有关的知识有哪些，引出两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边；（2）在此图中哪种变换方式比较适合将马路同侧的两条线段变换到异侧，并且保持线段长度不变，旨在复习轴对称、平移、旋转等变换特点；（3）在移动变换中，有没有可能将两条线段置于共线的情形，即最短路径。

例1：已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，求DN+MN的最小值。

【解答】连结BD交AC于点O，根据正方形的对称性可知，B点即为D的对称点。连结BM交AC于点N，则BM的值为DN+MN的最小值。所以BM=10。

【解析】如图，点B即为点D关于AC的对称点，连接BM，BM的长度即为DN+MN的最小距离。在Rt△BCM中，根据勾股定理可求得BM=10。

【解法】此题 DN，MN这两条线段中，M，D两点固定，只有N一个点是移动的，故只需确定点N，使得距离之和最短即可。

【解释】此例从最基本的图形出发，让学生易于接受，敢于探索。学生依据正方形自身拥有的轴对称性找到对称点，将同侧两条线段利用翻折变成异侧的两条线段，利用两点之间线段最短找到最短路径。在引例的基础上逐步构建求解模型。 ABl 2 例2．已知△AOB内一定点P，试在OA、OB上各找一点M、N，使△PMN周长最短。

变分法证明球面上两点的最短路径

本文将采用变分法证明球面上两点的最短路径。为了方便，我们先介绍一些必要的定义和定理。

1. 定义：球面上的一个曲线可以看做是一组参数关于时间的函数，即$\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$。这个曲线的长度可以表示为：

$$S=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\frac{dx}{dt}^2+\frac{dy}{dt}^2+\frac{dz}{dt}^2}dt$$

其中$t_1$和$t_2$表示曲线的起点和终点。

2. 定理：两个点之间最短曲线的长度等于这两个点之间的大圆弧长度。

假设我们要求球面上从点$A$到点$B$的最短路径$\vec{r}(t)$，其中$t$表示时间。我们首先构造一个任意的曲线$\vec{p}(t)$，它连接点$A$和点$B$，并且与$\vec{r}(t)$在$t=t_1$和$t=t_2$时相交，如下图所示：


我们将$\vec{p}(t)$的长度表示为：

同时，我们按照下列步骤对$\vec{p}(t)$进行优化：

1. 将$\vec{p}(t)$变形为$\vec{p}(t)+\epsilon\vec{\eta}(t)$，其中$\epsilon$是一个趋近于0的小值，$\vec{\eta}(t)$是任意的可微向量函数。这样，我们就得到了另一条曲线$\vec{p}'(t)$，如下图所示：

$$S=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\frac{dx'}{dt}^2+\frac{dy'}{dt}^2+\frac{dz'}{dt}^2}dt=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\frac{dx}{dt}^2+\frac{dy}{dt}^2+\frac{dz}{dt}^2+2\epsilon(\frac{d\vec{\eta}}{dt}\cdot\frac{d\vec{p}}{dt})+(\epsilon\frac{d\vec{\eta}}{dt})^2}dt$$

2022-2023学年九年级数学中考复习

《轴对称最短路径问题》解答题专题训练（附答案）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF上的动点．

（1）当MD⊥BC时．

①若ME＝1，则点M到AB的距离为

；

②若∠CMD＝30°，CD＝3，求△BCM的周长；

（2）若BC＝8，且△ABC的面积为40，则△CDM的周长的最小值为 ．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．

（1）若∠B＝70°，求∠BAC的大小．

（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．

①求BC的长；

②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由．

3．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点的坐标分别为 ；

（2）△ABC的面积是 ；

（3）在x轴上作一点P，使PA+PB的值最小．（保留作图痕迹，不写作法）

4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，2）．

（1）如图1，在y轴上是否存在一点P，使PA+PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）如图2，点C坐标为（4，1），点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形．

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝60°，G，H分别是AD，BC边上的点，且AG＝CH，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F，G．

（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；

（2）填空：①当AG＝

时，四边形GEHF是矩形；

②当AG＝ 时，四边形GEHF是菱形；

第 1 页 共 4 页 “两点一线”求“最值”

在初中数学学习中，我们时常会遇到求距离的“最”值，此类问题会用许多实际问题作为包装，但其本质上还是一个求极值的问题。它们看起来很复杂，其实只需一个数学上最基本的原理――“两点之间，线段最短”。当然，为了利用这一原理来解决问题，我们还时常需要创造一定的条件，才能使问题得以解决，下面我们就讲解一下常见的两种类型最值的求法。

一、距离之“和最小”

问题原型：如图1，点A、B在直线l的两侧，试在直线l上求作一点P，使PA+PB最小？

解决思路：连接AB交直线l于点P，则点P即为所求。

我们可以做如下证明：

如图2，在直线l上任取异于点P一点P'，连接P'A、P'B，可知P'A+P'B>AB，（两点之间线段最短）所以P'A+P'B>PA+PB，所以点P即为所求做的使PA+PB最短的点。

问题变形一：如图3，点A、B在直线l的同侧，试在直线l上求作一点P，使PA+PB最小？

解决思路：相比较图2，本题中两点A、B分别位于直线l的同侧，欲参照图2作法求作距离和最小的点，需使两点位于直线的两侧，且不能影响到两点中与直线上任一点的距离，这一要求可由我们学过 第 2 页 共 4 页 的轴对称来实现，所以我们可用如下办法来寻找点P的位置：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，则点P即为所求。

我们可作如下证明：如图4，在直线l上任取异于点P的一点P'，连接P'A、P'B、P'B'，因为点B，B'关于直线l对称，由对称的性质可知PB=PB'，P'B=P'B'，如图可知：

P'A+P'B=P'A+P'B'>AB'=PA+PB'=PA+PB，

所以P'A+P'B>PA+PB，故点P即为所求。

实际应用：大王庄和小王庄都在河的同侧，现欲在河岸边修建一座水泵站向两村供水，水泵站建在何处可使到两村的距离之和最短，从而节省管道费用？