1最短路径问题

上板城初级中学八年级数学 主备：孙继广 审核： 领导签字： 班级： 姓名： 时间： 累计：

1 13.4 .1 课题学习 最短路径问题

一．学习目标：

1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.

2.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力.

二．重点难点：

重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.

难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.

三．合作探究：（同学合作，教师引导）

1、创设情景 引入课题

最短路径问题

(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题．

如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，你能找出点C的位置吗？

A ．

.B

思考：这样做的依据

2、自主探究 思考课本问题一

将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线，画图为：

问题（1）: 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC

与CB 的和最小?你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?

提示作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B';

(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.

问题2: 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

教师展示:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.

3、小结

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.

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最短路径问题

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结

点之间的最短路径．算法具体的形式包括：

①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题．

②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．

③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．

④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径．

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．

【十二个基本问题】

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【模型1】

蚂蚁沿立方体的表面爬行，从A点到B点的最短路径？

【路径演示】

（1）AB=bc2)(a22222cbacb；

（2）AB=b2)(c22222acbaab； （3）AB=c2)(b22222acbaac。 模型讲解 最短路径问题1

由此可见，ab、bc、ac谁小，则路径就最小。

【结论】

最短路径=22)(次长边最短边最长边

【模型2】

蚂蚁沿圆柱体的表面爬行，从A点到C点的最短路径？

【路径演示】

由图可知蚂蚁爬行的最短路径AC=22h)(r

方法点拨

一、解决方法：

①确定水平方向移动路程②确定竖直方向移动路程

③利用勾股定理求解 二、方法解析：

1．如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A到点C'所经过的最短路线长为（ ）

A． B． C． D．以上都不对

【解答】解：如图所示，

路径一：AC′＝＝； 路径二：AC′＝＝；

路径三：AC′＝＝；

∵61＜73＜85， ∴为最短路径．

故选：C． 例题演练 如图：点从点A出发到C点，可以看成先从A到D（水平移动），再由D到C（竖直移动）两个步骤完成 2．如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为9cm，点M离盒底的距离为3cm，底面半径为cm，一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点M爬行到点N，则该蚂蚁爬行的最短路程为（ ）cm．

A．6 B．10 C． D．

【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点M，N的最短距离为线段

MN的长，

∵AM＝9﹣3＝6（cm），AN为底面半圆弧长，AN＝•π＝8（cm），

在Rt△AMN中，

MN＝＝＝10（cm）．

故选：B．

3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）

13.3等腰三角形

13.4课题学习 最短路径问题

专题一 等腰三角形的性质和判定的综合应用

1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE； ③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)

2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数； （3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？

（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．

3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．

（1）请你写出图中所有的等腰三角形；

（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由． （3）如果BC=10，求AB+AE的长．

专题二 等边三角形的性质和判定

4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．

5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？