大学微积分第三章练习题
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大学微积分第三章练习题
第三章《导数与微分》练习题
一、 填空题
1． 由32210y x y x +--=所确定的函数()y f x =在点(0,1)处的切线方程为 . 2． 设f x ()为偶函数,在a a (,)-+内连续可导,a f ()3,2
-'= 则 a f ()2'= a (0)>
.
3． 设对于任意的x ,都有()()f x f x -=- ,且0()0f x k '-=-≠ ，则0()f x '= . 4．
设arcsin x y =y '= ;
5． 设函数()y f x =由方程y x x y =确定，则dy = ; 6． 函数2y
x =在点0x 处的改变量与微分之差y dy ?-= ; 7． 设x
y e =，则y '= ; 8． 设()y f x = ,且22
1()f x x
'= ，则dy = ;
9． 求下列微分等式:
（1）xdx = 2(1)d x - ; （2
dx = (1arcsin )d x -.
( 3 ) d 11dx x
=+; (4) d 2
s e c 3
xdx = . 二、 选择题
1. 下列结论正确的是 ( )
A. 若f x ()在0x 处可导, ()g x 在0x 处不可导,则()()f x g x +在0x
处必定不可导.
B. 若()f x 、()g x 在0x 处均不可导, 则()()f x g x ?在0x 处必定不可导.
C. 若()f x 、()g x 在0x 处均可导, 则()()
f x
g x 在0x 处必定可导.
D. 若f x ()在0x 处可导, ()g x 在0x 处不可导, 则()()f x g x ?在0x
处必定不可导. 2. 下列结论成立的是 ( )
A. 若0
lim ()x x f x →'存在,则f x ()在0x 处可导; B.若0()f x '存在,则0
lim ()()x x f x f x →'=;
C. 若f x ()在0x 处可导, 则()f x 在0x 处可微;
D.若f x ()在0x 处连续,则()f x 在0x 处可导. 3. 设f x ()在a 处可导且()0f a '≠ ,则0
()(2)lim ()()
h f a h f a h f a h f a h →+--=--+ ( )
A. 32
-
; B.
32
; C. 3()f a ' ; D. 2()f a '- .
4. 设()f x 可导,且102
()f x '=,则当0x ?→时,()f x 在0x 处的微分dy 与x ?比较 是 ( ) 无穷小量
A . 等价； B. 同阶非等价； C. 低阶； D. 高阶 5. 函数()y f x =在0x 处可微,对应自变量改变量x ?有y ?与dy ,这三个量有下列 ( ) 关系.
A . y dy ?>； B. y A x ?=?； C.
0()y x
f x ??'=； D. 0()dy f x x '=?
6. 函数()y f x =在0x 处可微, 当0x ?→时,相应的y ?有性质 ( )
A. 0;y ?=
B. 是x ?的同阶或高阶无穷小; C. 0;y ?→
D. y ?不是无穷小(在0x ?→时) 7. 若()f u 可导, 且()x y f e =,则有
( )
A. ()x dy f e dx '=;
B. ()x x dy f e de '=;
C. [()]x x dy f e de '=;
D. ()x x dy f e e dx '= 8. “()f x '存在”可以理解为：（ ）
A. 一个比值形式的函数：()()
();f x x f x x
f x +?-?'=
B. 一个极限形式的函数：()()
()lim ;f x x f x x
x f x +?-??→'=
C. 一个商数形式的函数：()()df x dx
f x '=
D. 一个商数形式的函数：
()y x
f x ??'=
9. 函数,
0(),0
x x x f x xe x
≥?
在0x =处 ( )
A . 连续； B. 可导； C. 可微 ； D. 连续,不可导 10. . 函数21,
()1,
011,1
x f x x x x x
-≥?
( ) A . 在点0x =处可导； B. 在点0x =处不可导； C. 在点1x =处可导 ； D. 在点1x =处不可导. 三、 计算极限 1． 用导数定义求下列极限:
1) sin sin lim x a
x a x a
→--; 2) 0
ln(1)lim x x x
→+;
3) 0
lim
x x → 4) 2
2
2
ln tan lim
x x x ππ→- 2． 设()f x 在点x a =处可导,求极限 0
()(2)lim 3h f a h f a h h
→+--
3． 设0()f x '存在,求极限 2
000
(())()
lim
x f x x x f x x
→+?+?-?
4． 设(1)0f =,且(1)f '存在,求极限 2
0(sin cos )lim (1)tan x
x f x x e x →+-
5． 设f f (0)1,(0)1,'==-求极限 1
(ln )1lim 1x f x x
→--
6． 设f f (0)1,(0)1,'==-则极限 0 2()1lim x
x f x x
→-
四、计算导数或微分
1. 设 2(2sin )y f x x =+ , 求 y ' .
2. 求由方程
arctan ln
y x
=所确定的隐函数 ()y y x = 的一阶导数.
3. 设 2arcsin ln tan x x y e y ?=+ , 求 0
dy x dx
= .
4. 已知 2222x y += ,
求(1y ''.
5. 已知cos (sin )x y x =，求dy .
6. 设函数f x ()可导, 22[()]y xf x = , 求 dy .
7. 已知x y xe =求()
n y
.
8. 已知y x ln(1),=+求()
n y .
9. 已知11ln
x x
y -+= , 求()
n y
.
10. 求 2 2
(tan())()d x x d x .
五、证明题
1. 若 22[()][()]d d f x f x dx
dx
= , 求证 (1)0f '=或有(1)1f = .
2. 设()()(),f x x a g x =-lim ()x a
g x A →=,证明f x ()在a 处可导.
3．若f x ()为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)0f '= . 4. 设(),()f x g x
为定义在整个实数轴上的函数,且满足:
(1) ()()()()()f x y f x g y f y g x +=+
(2) (),()f x g x 在0x =处可导且(0)1g =,(0)1f '=,(0)0g '= .试证明
f x ()在(,)-∞+∞内可导并且()()f x
g x '=, (,)x ∈-∞+∞.
六、讨论题
1．讨论函数1arctan ,0()00
x x x f x x ≠?=?
=?
在0x =处的连续性与可导性.
2．已知()x ?连续可导,()()f x x a x ?=-, 求(),()f a f a -+'';并指出什么时候()f a '存在.
七、综合题
1. 设f x ()在1x =处连续,且1
()lim 31
x f x x →=-.证明f x ()在1x =处可导,并求(1)f '.
2. 设f 是对任何实数,x y 满足方程：22()()()f x y f x f y x y xy
+=+++ 又假设0
()lim 1x f x x
→=，求(1)(0);(2)(0);(3)().f f f x ''
3. 已知()f x 是周期为５的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式 (1sin )3(1sin )8()f x f x x a x +--=+
其中()a x 是当0x →时比x 高阶的无穷小，且f x ()在1x =处可导，求曲线()y f x = 在点(6,(6))f 处的切线方程 . [参考答案]
一、1）3230y x --=； 2）-5，-0.5，7510P -； 3）-3； 4）k -
5
）
21
arcsin [11x x +-; 6) (ln )(ln )y x y y dx x y x x --; 7) 2()x ? ; 8)
,
0,
x x e x e x -?>?-
ln(1)x C ++，13
tan 3x C + 二、1) A ; 2) C ; 3) A ; 4) B ; 5) D ; 6) B C ;
7) BD ; 8）BC ； 9) ABC ; 10) AD 三、1) cos ;a 1; 34
; 1 ; 2) ()f a ' ; 3) 0()f x '; 4)
12
(1)f '; 5) 1 ; 6) ln 21-.
四、1) ()22(cos )2sin x x f x x '++; 2) x y y x y
+'=-; 3) 10
24
1ln x y π
='
=- ;
4) y ''=-
5) cos (sin )[cos cot sin ln sin ]x dy x x x x x dx =- ;
6) 22222()[()2()]dy xf x f x x f x dx '=+; 7) () ()n x
