《图形的相似》专题专练
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第四章《图形的相似》专题专练
专题一：线段的比
、专题概述
1. 结合现实情境了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的性质及其
简单应用;
2. 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的
比，那么这四条线段叫成比例线段，简称为比例线段.如有四条线段
d，若a： b=c： d或-，则a、b、c、d叫比例线段. b d
二、典例分析
:8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm,
分析：根据关系式：比例尺=图上距离：实际距离，计算实际距离，同时要
注意单位换算.
25
—，x = 200000cm= 2000m，所以应选
专练一:
1、在比例尺为1 : 500000的平面地图上，A、B两地的距离是6 cm，那么A、B
两地的实际距离是（
A
■—
3、已知xy = mn，则把它改写成比例式后，错误的是
C、
4、若3x— 4y = 0,则的值是（ y a、 b、 c、
例1.在比例尺是1
它的实际长度约为（ ).
A. 320 cm B . 320m C. 2000cm D . 2000m
解：设实际距离为X cm，则800
2、 60km B、1.2km C、 30km D、20km
如图，线段AB : BC = 1 : 2,那么 AC : BC等于（ 2 / 15
（填写一个即可）.
7、同学们都知道，在相同的时刻，物高与影长成比例，某班同学要测量学校国
专题二：黄金分割
、专题概述
1•经历对黄金分割的探索过程，体会其中的文化价值，体验用所学知识解
决实际问题
2 .黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果養浇， 那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做AB的黄金分割点，AC与AB的比 叫黄金比. B、 C、
5、 已知线段a b、c、d是成比例线段，且 a = 2 cm, b = 0.6 cm, c=4 cm,那么
d= cm.
&已知三个数1, 2, 73，请你再写一个数, 使这四个数能成比例，那么这个数
旗的旗杆高度，在某一时刻, 量得旗杆的影长是 8米，而同一时刻，量得某一身
高为1.5米的同学的影长为 1米，求旗杆的高度是多少?
8、已知 3=5=7,求（1） a +b +c b a+2b-3c 的值. a
+ C 3 / 15
二、典例剖析
例 2.如图 2,在^ ABC 中，AB = AC = 2, BC =上-1, Z A = 36°,
BD平分/ ABC，交AC于点D，试说明点D是线段AC的黄金分割点.
分析：本题可先判别 AD = BD = BC =7^-1，再根据黄金分割的概念确
定这个特征的比值，即可判定点 D是线段AC的黄金分割点.
解：在△ ABC 中，因为 AB=AC,NA = 36°，所以 NABC=NC=72\
因为BD平分/ ABC，所以N 1=N2=36''，所以/ 1 = / A，
所以/ BDC = / 1 + / A = 720，所以/ BDC = / C，从而有
75-1 .
所以嚣=导，即点D为线段AC的黄金分割点
专练二:
V5-1
A、75-1 B、3-躬 C、 2
2、 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC >CB，则下列等式中成立的是（）
2 2 2 2
A. AB =AC-CB ; B . CB =AC- AB ; C. AC =CB-AB ; D . AC =2BC-AB
3、 把长为7cm的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为
21-1^ 21+7JT 7^5-21
A. 2B . ~ C.
4、 点C是线段AB的黄金分割点，
那么AC的值是 _______________ .
AB
5、 电视节目主持人在主持节目时，
最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离
也处在比较得体的位置？（结果精确到 0.1m） 所以AD = BD .
BC = BD = AD =
1、若点C是线段AB的黄金分割点，且 AB=2，贝U AC=(
D. 3
AC > BC，
站在舞台的黄金分割点处
A点至少 m处？，如果他向B点再走 m， C 4 / 15
6已知线段AB=10cm，C、D是AB上的两个黄金分割点,7、已知线段 MN = 1 ,在MN上有一点A，如果AN = 一 ，求证：点 A是
2
MN的黄金分割点.
3_ f5
8、(1)已知线段AB=a，在线段AB上有一点C,若AC=^^^a，则点C是线段
AB的黄金分割点吗？为什么?
(2)宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. 请你设法作出一个黄金矩形.
专题三：相似图形
、专题概述
1•了解相似图形的含义，会判断两多边形是否为相似多边形
2. 相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相似多边形, 相似多边形的对应边的比叫相似比.
二、典例剖析
例3•我们已经学过了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而 大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形，比如两个正方形，它们的边长, 对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形.
现在给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形;
④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单 地说明理由.
解：①④一定是相似图形，原因是它们的对应元素成比例. 求线段CD的长. 3_
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②③不一定是相似图形，原因是②的对应角不一定相等，③的对应边不一定成比0 6 / 15
例，例如：长方形 ABCD 的长AB=5cm，宽BC=2cm，长方形 A'B'C'D'的长
A'B'=10cm,宽B'c'=6cm,长方形ABCD与长方形 A'B'C'D'的边不成比例,
两者不相似.
专练三:
1、下列图形中一定相似的是（）
2、下列结论不正确的是（）
3、五边形ABCDES五边形A B C D 'E',若对应边AB与AB的长分别为50
厘米和40厘米，则五边形A B C D E与五边形ABCDE的相似比是（ ）
4、如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的
比是（）
5、两个相似多边形的相似比是1，则这两个多边形的对应对角线的比是
& 在菱形 ABCD 和菱形 A B C D 中，/ A= / A，=60若 AB : A B，=1 73，
相似.其中正确的命题有A.有一个角相等的两个平行四边形; B.有一个角相等的两个等腰梯形
C.有一个角相等的两个菱形; D.有一组邻边对应成比例的两平行四边形
A.所有的矩形都相似; B.所有的正方形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似; D.所有的正八边形都相似
A.5 : 4 B.4 : 5 C.5 : 2 D.2 : 5
A.2 : 1 B.4 : 1 C.72 : 1 D.1 ： 72
7、下列各组图形中相似的是（
）
1.5
A、①②③ 图4
B、②③④ C、 ①③④ D、①②④
8、（ 1）以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所
有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形都 ② 閔 ③ 7 / 15
9、如图，图5 (1)是一个正六边形ABCDEF，使线段BC、FE的长增加相等的 数，得图5(2)，将图5( 1)中的点A、D分别向两边拉长相等的量，得图5(3)，
那么图4( 1)与图5 (2)相似吗？图5 (1)
图5 (3)呢？为什么?
试问图中的两个梯形能相似吗？请说明理由.
11、如图7,在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相 等.花坛AB = 20米，AD = 30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使
小路四周所围成的矩形 A'B'C'D'能与矩形ABCD相似？请说明理由.
A t 7 D
A
A r"
*
图7
12、如图8,有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽 10米 的环形跑道，那么：①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？ ②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗? 与图5 (3)相似吗？图5 (2)与
10、如图6,如果梯形ABCD的各边向外平移 2个单位得到新的梯形A'B'C'D'， 0 8 / 15
、专题概述
1. 通过一些具体的情境和应用，深入对相似三角形的理解和认识，初步认识特
殊与一般之间的辨证关系
2. 掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单的问
3. 相似三角形的性质
对于两个相似三角形来说，它们具有如下常用性质:
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
②相似三角形周长比等于相似比.
③相似三角形的面积比等于相似比的平方.
4.相似三角形的判定方法:
判定一 两边对应成比例，
夹角对应相等
判定二 两角对应相等
判定三 三条边对应成比例
直角三角形的判定 一条直角边、
斜边对应成比例
、典例剖析
例4.如图9,正方形ABCD的边长为2, AE=EB，MN=1，线段MN的两
三角形相似 专题四：相似三角形
端在BC、CD上滑动，当CM= 时，△ AED与以M、N、C为顶点的
