一年级数学 第1讲 排队的学问(学生版)

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四点共圆（一）

模块一 辅助圆思想

模块二 四点共圆的判定（一）

2 模块一：辅助圆思想

平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．

几何条件：OAOBOC．

辅助圆：以O为圆心、OA为半径作圆O⊙．

∵OAOBOC，∴点B、C在O⊙上．

几何条件：OCOD,2CODCAD．

辅助圆：以O为圆心、OC为半径作圆O⊙．

∵OCOD，2CODCAD，∴点A、D在O⊙上．

模块二：四点共圆的判定（一）

若平面上A、B、C、D四个点满足ABDACD，则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的圆上（可证EAEBECED）．

若平面上A、B、C、D四个点满足ABCADC，则A、B、C、D在以AC中点E为圆心、EA为半径的圆上（可证EAEBECED）．

若平面上A、B、C、D四个点满足ADBACB，则A、B、C、D四点共圆．

证明条件：线段同侧张角相等．

若平面上A、B、C、D四个点满足ABCADC，则A、B、C、D四点共圆．

证明条件：1．四边形对角互补；

2．四边形外角等于内对角．

OABCODCA2ααABCDEEDCBA HODCBAODCBA

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（1）如图1-1，四边形ABCD中，ABACAD，若76CAD，13BDC，则CBD_____，BAC__________．

（2）如图1-2，已知四边形ABCD，AB//CD，ABACADa，BCb，且2ab，求BD的值．

图1-1 图1-2

（1）如图2-1，平面上有四个点A、O、B、C，其中120AOB，60ACB，AOBO，23AB，则OC__________．

一年级数学排队问题讲解

一年级的数学排队问题是指在给定的一组数字中，按照一定的规则安排数字的顺序。这个问题旨在培养学生的逻辑思维能力和对数学规律的敏感度。

首先，让我们来看一个简单的排队问题。假设有一组数字：2、5、1、6、3、4。现在我们要按照从小到大的顺序来排队，即将这些数字从左到右重新排列。在这个问题中，我们可以采取以下步骤：

1.找到最小的数字。在这个例子中，最小的数字是1。

2.将最小的数字放在排队的第一个位置，即将1放在第一个位置。

3.从剩下的数字中找到下一个最小的数字。在这个例子中，下一个最小的数字是2。

4.将下一个最小的数字放在排队的第二个位置，即将2放在第二个位置。

5.依此类推，重复上述步骤，直到所有的数字都被排列好。在这个例子中，我们得到的最终排列结果是：1、2、3、4、5、6。 在上述的步骤中，我们采取了从小到大的顺序来排队。这是一种常用的排队方法，也是一年级学生所掌握的最基本的排队规则之一。

除了按照从小到大的顺序排队，我们还可以按照其他的规则来安排数字的顺序。以下是几种常见的排队规则：

1.从大到小的顺序排队：与从小到大的顺序相反，从大到小的顺序排队就是将数字从右到左重新排列，使得最大的数字排在最前面。

2.奇数位于偶数前面的顺序排队：在一组数字中，将所有的奇数放在前面，所有的偶数放在后面。

3.负数位于正数前面的顺序排队：在一组数字中，将所有的负数放在前面，所有的正数放在后面。

4.按照数字的位置排队：在一组数字中，将数字按照其在原始序列中的位置重新排列。例如，如果原始序列是2、5、1、6、3、4，则重新排列后的顺序为1、2、3、4、5、6。

通过不同的排队规则，孩子们可以锻炼自己的观察力、逻辑思维和数学能力。在解决排队问题时，他们需要仔细观察数字之间的关系，并根据规则来确定正确的排队顺序。 除了排队规则，数学排队问题还可以扩展到其他方面，例如利用图形、图表或其他物体来进行排队。通过这些扩展，孩子们可以将排队问题与现实生活中的场景相联系，增加问题的趣味性和实用性。

MSDC模块化分级讲义体系 初中数学.圆B级.第01讲.学生版 Page 1 of 15

内容

基本要求 略高要求 较高要求

圆的有关概念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题

圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题 能运用圆的性质解决有关问题

垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题

1．理解圆及相关概念，了解弧、弦、圆心角的关系；

2．探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系；

3．能够利用垂径定理解决相关问题．

祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．

祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"．后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一．直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形， 求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间．并得出了π分数形式的近似值，取为约率 ，中考要求

重难点

课前预习 圆的基本性质 MSDC模块化分级讲义体系 初中数学.圆B级.第01讲.学生版 Page 2 of 15 取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率， 外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"．

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在生活当中我们经常会比多少，你会发现比的结果有这样几种：同样多或者有的多有的少。如果要使多少不等的两者之间同样多，你会有哪些办法呢？让多的那方给少的一点，当然也可以让少的一方想办法再增加一点，或者多的一方减少一点。

移多补少，即在几份数量不同的实物中，从多的那份里取出一些移到少的那份里，使每一份都相等，其实质就是求每份原数和平均数之差。

基本解法：先求出各份实物数量的平均数，再求出每份原数和平均数的差（即移动的数量）。如果需要移动的实物是3份或超过3份，比较适合用基本解法求解。

巧妙解法：如果需要移动的实物只有两份，移动的数量就是两份实物的差的一半。只要用两份实物数量之差除以2就可以了。甲乙两份物品，甲比乙多，要使两份一样多，可以把甲份中多出来的那部分，拿出来重新分配，乙份需要补上的（即移动的数量），是两数差的一半。千万不要把甲比乙多的部分，全从甲移到乙，那样，乙就比甲多了。

【例1】 甲堆和乙堆一共有14个，甲堆比乙堆多6个，甲、乙两堆各有几个?

【例2】 小明有16个,小红有12个.小明给小红几个,两人个数就会同样多?

小明

小红

第1讲 移多补少与排队问题

知识框架

例题精练 移多补少 2 / 4

【例3】 甲筐比乙筐多10棵，从甲筐拿几棵到乙筐，甲乙两筐的棵数同样多？

甲筐 ……

乙筐 ……

【例4】 文文和飞飞各有一些，飞飞给文文3个后，两人同样多，原来飞飞比文文多几个？

文文：……

飞飞：……

【例5】 二（1）班有60名小朋友排队做操，第一队调4人到第二队，两队人数同样多，原来第一队比第二队多几人？

第一队：

第二队：

【例6】 小华给小强2枝铅笔，两人铅笔枝数同样多，原来小华比小强多几枝铅笔？

小华：…… 小强：……

【例7】 肖肖有8个，肖肖给飞飞2个后两人有的个数一样多，飞飞原来有几个？