电工基础课件 三要素法

(0.1s t 0)
t 0.1
iL (t) iL (0.1 )e 2 0.316e15(t0.1s)A
(t 0.1s)
电感电流iL(t)旳波形曲线如图(b)所示。在t=0时，它从
零开始，以时间常数1=0.1s拟定旳指数规律增长到最大值 0.316A后，就以时间常数2=0.0667s拟定旳指数规律衰减到
化旳快慢取决于电路旳时间常数 。
图6－21 直流鼓励下一阶电路全响应旳波形曲线
图6-22
由此可见，直流鼓励下一阶电路旳全响应取决于f (0+)、
f ()和 这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能
够拟定全响应，也就是说，根据式(6-25）能够写出响应旳 体现式以及画出图6-21那样旳全响应曲线，而不必建立和 求解微分方程。这种计算直流鼓励下一阶电路响应旳措施 称为三要素法。
iL ()
US R2
10V 20
A
0.5A
1
L R2
2H 20
0.1s
iL (t) 0.5(1 e10t )A
(0.1s t 0)
2. 在t0.1s时间范围内响应旳计算
依然用三要素法，先求 t=0.1s时刻旳初始值。
iL (0.1 ) iL (0.1 ) 0.5(1 e100.1)A 0.316A
今后旳电感电流属于零输入响应，iL()=0。
在此时间范围内电路旳时间常数为
2
R1
L R2
2 s 2 s 0.0667s 10 20 30
根据三要素公式（6－25）得到
t 0.1
iL (t) iL (0.1 )e 2 0.316 e15(t0.1s) A
(t 0.1s)
图6-25

C
L
+
+
+
+
ε (t) -
N0
u2
ε (t )
-
-
N0
u2
-
答案 u2 (t ) = (0.625 − 0.125e−t )ε (t)V
例：图 示电路是RC分压器的电路模型，试求输出电
压uC2(t)的响应。
解：由于将图示电路中的电
压源用短路代替后，电容C1 和C2并联等效于一个电容， 说明该电路是一阶电路，其
三要素法应用举例
例2：t < 0时电路稳定，t = 0时开关Q闭合，求t > 0后的iL (t)， 并定性地画出它的曲线。
Q(t=0)
iL
+ _25V
3Ω
6Ω
2Ω
+
16V
2H
_
答案
−t
iL(t) = 5.5 − 3.5e 0.5A t > 0
三要素法应用举例
例3：t < 0时电路稳定，t = 0时开关Q从1合向2，求t > 0后 的i(t )，并定性地画出它的曲线。
uC2 (∞)
=
R2 R1 + R2
× 1V
用三要素公式得到输出电压的表达式为：
uC2 (t)
=
⎡ ⎢ ⎣
R1
R2 +
R2
+
⎜⎜⎝⎛
C1
C1 +C
2
−
R2 R1 + R2
⎟⎟⎠⎞e
−t τ
⎤ ⎥ ⎦
ε (t)
V
改变电容C1可以得到三种情况： 当R1C1=R2C2时，暂态分量为零，输出电压马上达到稳

结论：
全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，或稳 态响应与暂态响应的叠加。或曰：零输入响应和零状 态响应是全响应的特例。
4
7.5 一阶电路的全响应
规律总结：
通过前面对一阶动态电路过渡过程的分析可以看 出，换路后，电路中的电压、电流都是从一个初始值 f（0+）开始，按照指数规律递变到新的稳态值f （∞），递变的快慢取决于电路的时间常数τ。
24
2

R1
L R2
2 10 20
0 0667 s
根据三要素公式得到：
t 01
iL (t) iL (0 1 ) e 2 0 316 e15(t01) A （t≥0.1 s）
电感电流iL（t）的波形 曲线如右图所示。在t=0时， 它从零开始，以时间常数 τ1=0.1 s确定的指数规律 增加到最大值0.316A后，就 以时间常数τ2=0.0667s确 定的指数规律衰减到零。
一、一阶动态电路的三要素
初始值f（0+） 稳态值f（∞）
一阶动态电路 的三要素
时间常数τ
5
二、三要素法的通式
t
f (t) f () [ f (0 ) f ()]e
进一步推得：
t ln f (0 ) f ()
f (t) f ()
由此式可以确定电路中电 压或电流从换路后的初始值变 化到某一个数值所需要的时间
说明：
上题也可以只求出电容电压uC的三要素，然后利 用三要素法写出uC的解析式，再以uC的解析式为依据， 求出其它电压、电流的解析式。

【例14-2】
下图所示电路中，开关转换前电路已处于稳态， t = 0时开关由1位接至2位，求t ≥0时（即换路后） iL 、i2、i3和电感电压uL的解析式。

重点突出
三要素法强调三个核心要素的重 要性，使得学习者能够快速把握 课程重点和难点。
优缺点
• 实践性强：三要素法注重实践应用，通过实验和 实例来解释概念和原理，提高学习者的实际操作 能力。
优缺点
过于简化
三要素法可能过于简化课程内容， 忽略了某些细节和复杂情况，导
致学习者无法全面理解电工基础。
缺乏灵活性
电力网络简化
在复杂的电力网络中，可 以使用三要素法对网络进 行简化，以便于分析和计 算。
短路电流计算
在计算短路电流时，可以 使用三要素法来确定短路 电流的大小和分布。
应用条件
01
02
03
04
系统稳态运行
三要素法适用于分析电力系统 的稳态运行状态，即系统中各 参数不随时间变化的状态。
线性化模型
为了简化分析，三要素法通常 需要将电力系统各元件的特性 线性化，建立线性化模型。
电工基础课件三要素 法
目录
CONTENTS
• 三要素法的定义和重要性 • 三要素法的应用范围和条件 • 三要素法的实施步骤和注意事项 • 三要素法的案例分析和实际应用 • 三要素法的优缺点和改进方向
01 三要素法的定义和重要性
定义
定义
三要素法是指在进行电工基础 课件设计时，需要重点考虑的 三个要素，即内容、形式和媒
测试和修改
对制作好的课件进行测试，检查是否 存在技术问题和内容错误。
根据测试结果进行修改和完善，确保 课件质量和可用性。
04 三要素法的案例分析和实 际应用
案例分析
案例一
某工厂的电力系统故障排查
案例二
家庭电路的安装与维护
案例三
电动机控制电路的设计与实现

第十五讲 三要素法
作业
P239 32、39、41、44
10mA 0.5K
iL (0
)
10 1
10mA
iL(0 ) iL(0 ) 10mA
u(0 ) 0V uL (0 ) 0.5 10 1V
在t>0的电路中求解时间常数
0.5K
R 0.5 0.5 1K
0.5K
L 10 10S 105 S
R1
在t=的电路中求解稳态值
uL() 0V
§6-6 “三要素”法
t
f (t) f () [ f (0 ) f ()] e
其中
初始值 ---- f (0 )
称为三要素:
稳态值 ---- f ()
时间常数----
式中 f (t) 不仅适用于求一阶电路中电容电压 和电感电流,而且适合于求解一阶电路中任一 支路电压、电流。
“三要素”法的解题步骤（一） 1、在t<0的电路中求解uC（t）和iL（t）。 （电容开路、电感短路） 2、在t=0+的电路中求解初始值f（0+）。 （若电容电压为零则电容短路，否则用电 压源代换；若电感电流为零则电感开路， 否则用电流源代换。）
u() 0.5 10 0.5 +
0.5 0.5
uL()
_
2.5V
0.5K
iL() + u() _
10mA 0.5K
全响应
uL(t) 0 (1 0)e105t e105Vt 0
u(t) 2.5 (0 2.5)e105t 2.5 2.5e105Vt 0
例题四
100K
求t0时的 i (t) i(t)和u(t)。 1F 3K
“三要素”法的解题步骤（二）

00:10:24
17
换路定则与初始值（续）
换路定则反映了能量不能跃变的事实
电容电压代表电容储能 电感电流代表电感储能 在物理上，能量是不能跃变的
电容电压不能跃变，实际上说明电容储能 不能跃变；电感电流不能跃变，实际上说 明电感容储能不能跃变。
或者说，不能转移能量而不花费任何时间， 能量的转移和变换都需要时间。
5
4.1.1 一阶RC电路uS
00:10:24
6
一阶RC方程
根据电容元件的电压-电流约束关系，可
得到
i＝C duC dt
再根据电阻元件的电压-电流约束关系，
有
uR＝Ri＝RC
duC dt
把上述等式带入KVL方程
00:10:24
7
一阶RC方程（续）
RC
00:10:24
15
4.2 三要素分析法
4.2.1 换路定则与初始值 4.2.2 直流激励的稳态值 4.2.3 过渡过程与时间常数 4.2.4 三要素法求解一阶电路
00:10:24
16
4.2.1 换路定则与初始值
换路定则的目的是确定电容的初始电 压和电感的初始电流，
电容电压不能跃变，电感电流不能跃 变。 uC(0+)＝uC(0-)，iL(0+)＝iL(0-)
00:10:24
18
换路定则与初始值（续）
在换路瞬间不能跃变的只有电容电压 和电感电流，
而其他电路变量是可以跃变的，例如
电阻电流（或电压） 电容电流
电感电压
不要把“不能跃变”这一要求扩展到 其他电路变量上去
00:10:24
19
换路定则与初始值举例

C
_
Page 36
6-36
解：第一阶段 （t = 0 ~ 20 ms，K：31） 初始值
3
K R1 1k
1
+ 3V
E1 _
R1
i
+i
+
2k 3μ +
R2
uC
C_
E1 _ 3V
R2
_uC
uC 0 uC 0 0 V
i0 E 3 mA R1
Page 37
6-37
第一阶段（K：31） 稳态值
2
1
R1
K R2
IS 3A t=0 2
R3 +
L 1H
uL
_
uL () 0 V
Page 32
R1
R3
R2
+
_ uL
t=时等 效电路
6-32
第三步:求时间常数
2
1
R1
K R2
IS
3A
t=0 2
R3
+
u L
1H
L
_
R R1 || R2 R3
L 1 0.5(s)
R' 2
Page 33
R1
uR
uL
t
Page 21
RL 电路的零输入响应
2 t=0 + uR-
+1 U-
S
R
L +-uiLL
(1) iL 的变化规律
iL iL () [iL (0 ) iL ()] e t (三要素公式)
1) 2) 3)
确定初始值 iL(0 ) iL(0 ) iL(0
确定稳态值iL() iL() 0

R1 R2
+ u2 C2
– 图7-43 例7-13
u1(0+) + u2(0+) = Us
根据电荷守恒准则：此刻两电容由相同的无穷大电流所产生的 增量电荷量相等。由此可得
电路分析基础——第二部分：7- 6
14/16
C1[u1(0+) – u1(0–)] = C2[u2(0+) – u2(0–)]
即
3V
2
1
6 5
A
i(0+) = 1 – 2iL(0+)/3 = 0.2A
(2) 求iL() 和 i()
图7-40 t = 0+时的等效电路
t= 的等效电路如图7-41所示，此时电感相当于短路。由此可得
i() =
9 5
A
，iL() =
6 5
A
(3) 求 。开关转向 b以后，戴维南 等效电阻为 R0 = 1+ 2/3 = 5/3
动态电路的叠加定理：动态电路由初始状态和输入共同 作用产生完全响应，完全响应=零输入响应+零状态响应。
电路分析基础——第二部分：7-6
1/16
本节将在7-1节提出的通用分解方法的基础上，推出适用于 直流输入情况的三要素法。
以电容为例：图7-1（b）及（c）中的uoc(t)和isc(t)都是常数。图
问题是：直流一阶电路中任一支路电流、支路电压是否都能表 示成(7-50)和(7-51)的形式？时间常数是否一致？能否直接求解？
电路分析基础——第二部分：7-6
3/16
为便于分析，仍然以电容电路为例，我们将原电路分成两
个单口网络，其中一个只包含电容，另一个包含电阻和电源。

32
可编辑课件PPT
33
边学边练
例： 已知 u110 sin3(1t4 30 )V u2 20 co3s (1t4 30 )V
求这两电压的相位差。
解： u2 20sin3(1t43090) 20sin3(1t43090180) 20sin3(1t4120) (V)
1 2 3 0 ( 1 2 ) 1 0 50
i1 i3
（1）I=5Sin（314t+30o）A
（2）u=USin（314t+60o）A
t
30o 30o
4 根据波形图写三角函数式
2.1 正弦交流电基本概念
可编辑课件PPT
26
可编辑课件PPT
27
可编辑课件PPT
28
可编辑课件PPT
29
可编辑课件PPT
30
可编辑课件PPT
31
可编辑课件PPT
电流的瞬时值表达式：
i I m s i n (t i) 1 4 . 1 4 s i n ( 3 1 4 t 6 0 )
2.1 正弦交流电基本概念
可编辑课件PPT
24
【例题讲解】
电压的瞬时值表达式：u (t) 3 1 0 s in (3 1 4 t 3 0 )V
电流的瞬时值表达式：i(t) 1 4 .1 4 s in (3 1 4 t 6 0 )A
37
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！感谢你的观看！
可编辑课件PPT 38
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！感谢你的观看！
21
可编辑课件PPT
22

+ uC2 C2 -
解方程得： uC 1( 0 ) 2、求稳态值
C2 U C1 C 2
C1 uC 2( 0 ) U C1 C 2 R2 uC 2( ) U R1 R 2
+ uC1 -
R1 R1 uR R 1 // R 2 C 1 // C 2 ( C 1 C2 ) RC R1 R1 R1 R 2 1 // C 2 ( C1 C 2 ) S + R1 R 2
810 3

t
i ( t ) 2.5 1.25 2.5e 125t 2.5 1.25e mA ( t 0 )
810 3
一、一阶暂态电路的三要素 初始值、稳态值、时间常数 二、一阶电路三要素分析法的解题步骤 1、求初始值； 状态变量的初始值由t=0-时刻等效电路计算。 非状态变量的初始值由t=0+时刻等效电路计算。 2、求稳态值；
t0 t0
R2 C1 R2 uC 2( t ) U ( U U )e R1 R2 C1 C 2 R1 R2
t
5、讨论
C1 R2 a. C 1 C 2 R1 R 2 C1 R2 b. C 1 C 2 R1 R 2
uC2 a uC2(∞) c b 0 t
R1 uC 1( ) U R1 R 2 3、求时间常数
C1
R1 R2
t
4、套公式求响应 t f ( t ) f ( ) f ( 0 ) f ( )e
U
t=0
-
+ uC2 C2 -
R1 C2 R1 uC 1( t ) U ( U U )e R1 R2 C1 C 2 R1 R2

f(∞): — 稳态值 f(0+): — 初始值 τ : — 时间常数

t
三要素
用三要素公式求解一阶电路的方法, 即为一阶电路暂态分析的三要素法。
2.3.2 三要素的求解方法
一、 初始值f(0+) 的计算
1、画t =0-时的等效电路，求uC(0-)和iL(0-)
t =0-时，电容等效为开路，电感等效为短路。 2、 根据换路定则，求uC(0+)和iL(0+) 3、 画t=0+时的等效电路，求其它初始值 t =0+时， 电容用恒压源uC(0+)代替; 电感用恒流源iL(0+)代替。 【例】 图示电路，换路前电路处于稳态，
1A iL (0 )
+
8V _ uC (0 ) _ 5V
+
= - 2V
结论
1.换路瞬间，uC、 iL 不能跃变, 但其它电量均可以跃 变。 2.换路前, 若储能元件没有储能, 换路瞬间(t=0+的等 效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。 3.换路前, 若uC(0-)0, 换路瞬间 (t=0+等效电路中), 电容元件可用一理想电压源替代, 其电压为uc(0+); 换路前, 若iL(0-)0 , 在t=0+等效电路中, 电感元件 可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。
产生暂态过程的必要条件： (1) 电路中含有储能元件 (内因) (2) 电路发生换路 (外因)
换路: 电路状态的改变。如： duC 则 iC 电路接通、切断、 短路、电压改变或参数改变 dt 一般电路不可能！ 产生暂态过程的原因： 由于物体所具有的能量不能跃变而造成 在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变

例4：图示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0
时开关S由1端接至2端，求：t>0时的电感电流 iL(t)，电阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压uL(t)。
解：1. 求iL(0+) ：开关转换前，电感相当于短路
20 mA i ( 0 ) i ( 0 ) 10 mA L L 2
i1(0+ ) 20 30 i2(0+)
+
10V
uC(0+ ) _ = 6V
10 6 i ( 0 ) 0 . 2 A 1 20
i2( 0 ) 0
t = 0+
例2 + 10V _
i1 1 t=0
4 iL + 0.1H uL _
已知 t < 0 时电路已 处于稳态，求 i1(0+ ) , iL(0+ ) , uL(0+ ) 。
diL 3 3 7 10 7 t u L (t ) L 10 10 10 10 e dt 100e i3 (t )
10 7 t
3
7 10 t
7 10 t
V
10 7 t
(t 0 )
u L (t ) 100e V 20 k 20 10 3
( t 0 )
Note here！
三、三个要素的求法
1. 初始值 x(0+ )
1）求出电路的状态变量uc(0＋)和iL(0＋)；
2）用电压为uc(0＋)的电压源或电流为iL(0＋) 的电流源置换电路中的电容或电感，得到 直流电阻电路，可求得x(0+ )。
2. 求稳态值 x()
画 t = ∞时的等效电路：将 t > 0 时电路的电容 开路，或电感短路，作直流分析，求出 x() 。

由于电路中每个响应具有相同的时间常数， 由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必重新 计算， 计算，用三要素公式得到
i(t ) = [(11.5)e
10t
+ 1.5]A = (1.5 0.5e
10t
)A (t > 0)
值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变， 值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变， i(0+)=1A≠ i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时 ≠ ，因而在电流表达式中， >0， 间范围是t>0，而不是t≥0。
iL (∞) = 0
3. 计算时间常数τ 与电感连接的电阻单口网络的等效电阻以及时间常数 为
20(10 + 10) k = 10k Ro = 20 + 10 + 10
103 τ= s = 1×107 s 10×103
4. 计算 L(t)， uL(t)， i2(t)和i3(t)。 计算i ， ， 和 。 代入式(8－ ） 将 iL(0+)=10mA,iL(∞)=0和 τ =1×10-7s代入式 － 25） 得 ∞ 和 × 代入式 到电感电流的表达式
(3) 假如还要计算其它非状态变量的初始值，可以从用 假如还要计算其它非状态变量的初始值， 数值为u 的电压源替代电容或用数值为i 数值为 C(0+)的电压源替代电容或用数值为 L(0+)的电流源替 的电压源替代电容或用数值为 的电流源替 代电感后所得到的电阻电路中计算出来。 代电感后所得到的电阻电路中计算出来。 2. 稳态值 (∞)的计算 稳态值f ∞ 的计算 根据t>0的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替， 根据 的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替， 的电路 得到一个直流电阻电路， 得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值 f (∞)。 ∞。 3. 时间常数τ 的计算 先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出电 计算出时间常数。 阻Ro，然后用以下公式τ =RoC或τ =L/Ro计算出时间常数。 或