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光环大数据人工智能培训_ Hopfield神经网络模型光环大数据作为国内知名的人工智能培训的机构，帮助无数学员稳健、扎实的提升人工智能技术，来光环大数据学人工智能，高薪就业不是梦！Hopfield网络是神经网络发展历史上的一个重要的里程碑。
Hopfield神经网络是1982年美国物理学家J.Hopfield首先提出来的，属于反馈神经网络类型。
与前向型神经网络不同，前向神经网络不考虑输出与输入之间在时间上的滞后影响，其输出与输入之间仅仅是一种映射关系。
而Hopfield网络则不同，它采用反馈连接，考虑输出与输入在时间上的传输延迟，所表示的是一个动态过程，需要用差分或微分方程来描述，因而Hopfield网络是一种由非线性元件构成的反馈系统，其稳定状态的分析比前向神经网络要复杂得多。
Hopfield用能量函数的思想形成了一种新的计算方法，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络稳定性判据，并指出信息存储在网络各个神经元之间的连接上，形成了所谓的Hopfield网络。
Hopfield还将该反馈网络同统计物理中的lsing 模型相类比，把磁旋的向上和向下方向看成神经元的激活和抑制两种状态，把磁旋的相互作用看成神经元的突触权值。
这种类推为大量的物理学理论和许多的物理学家进入神经网络领域铺平了道路。
1984年，Hopfield设计并研制了Hopfleld 网络模型的电路，指出神经元可以用运算放大器来实现，所有神经元的连接可用电子线路来模拟，称之为连续Hopfield网络。
使用该电路，Hopfleld成功地解决了旅行商(TSP)计算难题。
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具有Logistic增长和时滞的HIV-1感染模型的Hopf分支胡晴;胡志兴;廖福成【摘要】研究目标细胞具有Logistic增长、细胞间可以传播的、带有两个时滞的HIV-1病毒感染模型,两个时滞分别为细胞因病毒引起感染过程的时滞和病毒在感染细胞内繁殖的时滞.讨论在不同情况下各个平衡点存在的条件,通过分析特征方程,建立三个平衡点的局部稳定性和把两个时滞作为分支参数时Hopf分支的存在性.结论显示:两个时滞对琐细平衡点和边界平衡点的局部稳定性没有影响,但可能使正平衡点扰动,进而可能存在周期解.数值模拟验证了所得结论.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2016(033)005【总页数】10页(P561-570)【关键词】HIV-1;Logistic增长;时滞;局部稳定性;Hopf分支【作者】胡晴;胡志兴;廖福成【作者单位】北京科技大学数理学院,北京100083;北京科技大学数理学院,北京100083;北京科技大学数理学院,北京100083【正文语种】中文【中图分类】O175近年来，关于HIV病毒感染模型已经被广泛研究[1-8]，文献[2]研究了一类包含细胞与病毒传播的时滞HIV-1模型，文献[3]研究了一类包含细胞间传播的时滞HIV-1模型，文献[4]研究了一类既包含细胞与病毒之间的传播也包含细胞间传播的时滞HIV-1模型，文献[9]研究了目标细胞具有形如rT(t)(1-T(t)/K)的Logistic增长的病毒感染模型。
文献[10]研究了目标细胞具有形如rT(t)[1-(T(t)+I(t))/Tmax]的Logistic增长的病毒感染模型，文献[5]研究了目标细胞具有形如rT(t)[1-(T(t)+αI(t))/Tmax]的Logistic增长的无时滞病毒感染模型。
另外，文献[11-12]考虑了病毒在感染细胞内繁殖的时滞，而大部分文献[13-15]考虑了细胞因病毒引起感染过程的时滞。
广义logit模型广义logit模型随着现代统计学的发展，广义logit模型在各个学科领域越来越受到关注，尤其是在数据分析和生物医学等领域中得到了广泛应用。
本文将从定义和优点、应用范围、模型参数和特性等方面进行详细介绍。
一、定义和优点广义logit模型，是一种关于二元或多元分类问题的统计模型，可以通过广义线性模型（GLM）方法求解。
与传统的logit模型相比，广义logit模型更为灵活，可以在一些数据分析和生物医学领域中得到更好的拟合效果。
广义logit模型不仅可以用于二元分类问题，也可以用于多元分类问题，另外可以使用不同的函数形式来描述判别函数与自变量之间的关系。
二、应用范围广义logit模型可以应用于各种领域的分类问题，尤其在生物医学领域具有广泛的应用。
例如，在癌症患者的药物反应预测和疾病诊断等方面有着重要的作用。
此外，广义logit模型还可以应用于金融、工程、社会科学和市场研究等领域，以及推荐系统和个性化广告等数据驱动的业务中。
三、模型参数和特性广义logit模型的参数由自变量、因变量和连续概率假设函数（link function）的形式构成。
其中，自变量是研究对象的特征，因变量是分类标签，而连续概率假设函数提供了判别函数与自变量之间的关系，决定了模型的形式和性质。
广义logit模型的特性包括可解释性、可重复性和可扩展性。
可解释性指的是模型中的参数具有直观的意义，可以帮助解释和理解研究对象的分类行为；可重复性指的是在不同样本中模型的参数具有一定的稳定性和可重复性。
可扩展性是指广义logit模型可以容易地扩展到批量处理和大规模数据分析等场景中。
总之，广义logit模型在数据分析和生物医学等领域中具有广泛的应用前景，其灵活性和可扩展性能够满足大规模数据分析和分类问题的需求。
具有双时滞的企业竞争模型的稳定性分析徐飞;李庶民【摘要】以一类3维金融企业竞争模型为研究对象,研究时滞反馈作用下企业竞争的稳定性.首先,运用Hopf分支理论与稳定性得到系统正平衡点的特性;其次,取时滞τ1和τ2作为分支参数,得到当经过分支点时,系统正平衡点的稳定性发生改变,继而引起混沌现象的消失,且可以分支出周期轨,也可以利用Hassard方法与中心流形定理,得到周期解的分支方向与稳定性的判定公式;最后,利用Matlab数值模拟了时滞受控系统动力学行为随参数的演变,从而验证解析结果的有效性.【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(042)005【总页数】9页(P518-526)【关键词】企业竞争模型;Hopf分支;稳定性;时滞微分方程【作者】徐飞;李庶民【作者单位】昆明理工大学理学院数学系,云南昆明 650500;昆明理工大学理学院数学系,云南昆明 650500【正文语种】中文【中图分类】O175.10 引言动力系统分支理论作为一种解决现代科技中所出现的一些疑难问题的重要工具,它已经广泛应用于力学、物理学、生态学、经济学、数值计算、工程技术等领域中,其稳定性和分支现象是微分方程的研究主题[1-4].人们已经认识到时滞不但会引起系统稳定性的改变,而且还会使系统产生振荡或产生周期解[5-8].正如在经济学中，企业之间的相互竞争随着经济不断的发展也变得越来越激烈，许多学者运用生态学理论来研究企业竞争活动之间的规律.最初是由J. Freeman等[9]在综合了相关组织生态学论述的基础上提出了完整的组织生态学概念和研究框架，同时建立了数学模型来衡量整个企业中个体的发展、变迁和演替.接着由J.F. Moore[10]提出的企业生态系统演化理论可以得出：随着环境变化的日益加剧，现如今世界经济正趋于一个互相融合、共同发展的方向，作为一个精明的企业家要想企业发展得好，就必须要创新，要从自身企业的角度出发，制定出适合自身企业的发展规划.在投资市场的竞争中，投资项目和投资企业之间的关系类似于捕食模型中捕食者与食饵之间的关系.与此同时，投资企业之间也存在着内部竞争，而这种内部竞争又类似于捕食模型中2种捕食者之间的关系.正是由于这种相似性才为对企业投资行为的深入分析提供了新的方法和思路.刘凯[11]提出了捕食者具有年龄结构的捕食模型[12-13]，得到投资企业与投资项目之间的“捕食”模型：(1)其中x、y、z分别表示投资项目、中小型投资公司、大型投资公司在t时刻的单位面积内的个体数；一个地区的投资项目数，在拥有ax的自然扩张力之外，同时受到x的增长对其的反馈影响(即-μx2),从长远来看该函数应满足S型曲线,用P.F. Verhulst提出的Logistic方程(a-μx)x表示投资项目随时间t变化的改变量，这里a表示投资项目的自然增长速度,μ表示投资项目受已有项目数的抑制系数；b表示大型投资公司退出市场的系数；c表示中小型投资公司随投资项目变化的增长率；d表示投资项目被投资公司所“捕食”的作用系数；x(t-τ)表示某一地区投资项目经过时间τ积累的数目；e表示中小型投资公司退出该行业的系数；m表示中小型投资公司转化成大型投资公司的比例系数；m+e表示中小型投资公司总的减少比例.对于系统(1)，文献[11]虽然分析了平衡点的局部稳定性、全局稳定性和持久性，也对其进行了数值模拟,但是它没有考虑到市场外界的客观因素对投资项目的干扰以及时间延迟对大型投资公司退出市场的时机是否成熟的影响，因此在一定意义上并不能更好地推动企业发展.本文注意到了以上的局限性，在(1)式的基础上增加了宏观调控因素，即对投资项目的增长速度以及大型投资公司退出市场的时机是否成熟分别添加了控制因素τ1和τ2，τ1和τ2分别表示投资项目的增长时滞和大型投资公司退出市场时机的成熟时滞.在尊重市场调节的前提下对经济运行状态和经济关系进行调节和干预，得到了含有双时滞的企业竞争模型：(2)1 平衡点的稳定性及局部Hopf分支的存在性对于系统(2)求得系统的平衡点为E*=(x*,y*,z*)，其中x*=b(m+e)/[c(m+b)],y*=b(acm+abc-bmμ-beμ)/[cd(b+m)2],z*=m(acm+abc-bmμ-beμ)/[cd(b+m)2].设则得到仍用x,y,z表示,则对应的线性系统为(3)令α1=a-2μx*-dy*-dz*,α2=α3=-dx*,α4=c(y*+z*),α5=cx*-m-e,α6=cx*,α7=m,α8=-b,则系统(3)变为对应的特征方程为λ3-(Aλ2+B)e-λτ2-(Cλ+D)e-λτ1+Ee-λ(τ1+τ2)-Fλ2+Gλ+H=0,(4)其中A=α8,B=α1α5α8-α1α8-α5α8,C=α2α4,D=α3α4α7,E=α2α4α8,F=α1+α5,G=α1α5-α6α7,H=α1α6α7.情况1 当τ1=τ2=0时，方程(4)变为λ3-(A+F)λ2+(G-C)λ+E+H-B-D=0.由Hurwitz 判据知，若满足H1=-(A+F)>0,其中U=E+H-B-D,则所有的根具有负实部.定理1 当τ1=τ2=0时，平衡点(x*,y*,z*)是渐近稳定的.情况2 考虑τ1=0,τ2>0.定理2 若τ1=0，当0<τ2<τ20时，则平衡点(x*,y*,z*)是渐近稳定的.然而，当τ2=τ20时，系统(3)出现Hopf分支,其中//ω20.证当τ1=0时，特征方程(4)变为λ3-(Aλ2+b-E)e-λτ2-Fλ2+(G-C)λ+H-D=0.(5)设±iω(ω>0)是方程(5)的一对纯虚根，则可得到(Aω2+E-B)cos ωτ2=-Fω2,(Aω2+E-B)sin ωτ2=-ω3+(G-C)ω.(6)两边同时平方并相加得-ω6+[A2-F2+2(G-C)]ω4+[2A(E-B)-(G-C)2]ω2+(E-B)2=0.(7)设u=ω2，令p=-A2+F2-2(G-C),q=-2A(E-B)+(G-C)2,r=-(E-B)2,则(7)式变为u3+pu2+qu+r=0.(8)引理1 若r<0，则(8)式至少有1个正根；若r≥0，f(u)=u3+pu2+qu+r,则(8)式至少有1个正根当且仅当u*>0，使得f ′(u*)=0且f ″(u*)≥0.容易得(6)式有唯一正根则对应的临界值τ2n是令λ(τ2n)=±iω20是方程(5)的根，则可得横截性条件为(dλ/dτ2)-1=(3λ2-2Fλ+G-C)eλτ2/[λ(Aλ2+B-E)]-2A/(Aλ2+B-E)+τ2/λ.由Sign{Re d(λ(τ2))/Sign{(Re(3λ2-2Fλ+G-C)eλτ2/[λ(Aλ2+B-E)])τ2=τ2n-(Re 2A/(Aλ2+B-E))τ2=τ2n}=2a1a2)]/(a1ω2-a2)2,其中a1=A,a2=B-E,a3=F,a4=G-C,a5=H-D.情况3 考虑τ2=0,τ1>0.定理3 若τ2=0成立，当0<τ1<τ10时，则平衡点(x*,y*,z*)是渐近稳定的.然而,当τ1=τ10时，系统出现Hopf分支,其中/证此定理的证明类似于定理2.情况4 考虑τ2是(0,τ20)中的一个固定值，并且τ1>0.定理4 对于系统(2)，τ1>0,τ2∈(0,τ20),τ1≠τ2，假设H1>0,H2>0，当τ1∈(0,τ10)时，平衡点(x*,y*,z*)是渐近稳定的，然而,当τ1=τ10时，系统出现Hopf分支.证已知τ2是固定的，把τ1作为参数，设iω(ω>0)是方程(4)的根，分离实部虚部可得进而化简成(9)其中E11=Cω+Esin ωτ2,E12=D-Ecos ωτ2,E13=Fω2+H+(Aω2-B)cosωτ2,E14=-ω3+Gω-(Aω2-B)sin ωτ2.由(9)式得ω6+e1ω4+e2ω2+e3+(e4ω4+e5ω2+e6)·cos ωτ2+(e7ω5+e8ω3+e9ω)sin ωτ2=0,(10)其中e1=A2+F2-2G,e2=2FH-2AB+G2-C2，e3=B2+H2-D2-E2,e4=2AF,e5=2(AH-BF),e6=-2BH+2DE,e7=2A,e8=-2(B+AG),e9=2(BG-CE). 设H1>0，(10)式的根表示为每个对应的临界值为设是(10)式在下的根，令是方程(4)的根得(dλ/dτ1)-1=[3λ2-2Aλe-λτ2+(Aλ2+B)τ2e-λτ2-Ce-λτ1+(Cλ+D)τ1e-λτ1-(τ1+τ2)Ee-λ(τ1+τ2)]/[λEe-λ(τ1+τ2)-λ(Cλ+D)e-λτ1]=(P′+iQ′)/(M′+iN′),Re(dλ//(M′+iN′))=(P′M′+Q′N′)/(M′2+N′2),其中P′=-3ω2-2Aωsin ωτ2-Aω2τ2cos ωτ2+Bτ2cos ωτ2-Ccos ωτ1+Cωτ1sin ωτ1+Dτ1cos ωτ1-(τ1+τ2)Ecos ω(τ1+τ2),Q′=-2Aωcos ωτ2+Aω2τ2sin ωτ2-Bτ2sin ωτ2+Csin ωτ1+Cωτ1cos ωτ1-Dτ1sin ωτ1+(τ1+τ2)Esin (τ1+τ2),M′=ωEsin ω(τ1+τ2)+Cω2cos ωτ1-Dωsin ωτ1,N′=ωEcos ω(τ1+τ2)-Cω2sin ωτ1-Dωcos ωτ1.横截性条件在如下条件下成立：(P1) P′M′+Q′N′≠0.情况5 考虑τ1是(0,τ10)中的一个固定值，并且τ2>0，在τ1是固定值，τ2是参数的情况下考虑方程(4)，类似于情况4，得到定理5.定理5 对于系统(2)，τ2>0,τ1∈(0,τ10),τ1≠τ2 ，假设H1>0,H2>0，当τ2∈(0,τ20)时，平衡点(x*,y*,z*)是渐近稳定的，然而,当τ2=τ20时，系统出现Hopf分支.证已知τ1是固定的，把τ2作为参数，设iω(ω>0)是方程(4)的根，分离实部虚部可得进而化简成(11)其中E21=Esinωτ1,E22=Aω2-B-Ecos ωτ1,E23=-Fω2-H+Cωsin ωτ1+Dcos ωτ1,E24=ω3-Gω+Cωcos ωτ1-Dsin ωτ1.由(11)式得(12)其中设H2>0，(12)式的根表示为每个对应的临界值为/设是(12)式在下的根，令是方程(4)的根得(dλ/dτ2)-1=(P″+iQ″)/(M″+iN″),Re(dλ//(M″+iN″))=(P″M″+Q″N″)/(M″2+N″2),其中P″=-3ω2-2Aωsin ωτ2+(B-Aω2)τ2+(Dτ1-C)cos ωτ1+Cωτ1sin ωτ1-(τ1+τ2)Ecos ω(τ1+τ2),Q″=-2Aωcos ωτ2+(C-Dτ1)sin ωτ1+Cωτ1cos ωτ1+(τ1+τ2)Esin ω(τ1+τ2), M″=ωEsin ω(τ1+τ2)+(Aω3-Bω)sin ωτ2,N″=ωEcos ω(τ1+τ2)+(Aω3-Bω)cos ωτ2.横截性条件在如下条件下成立：(P2) P″M″+Q″N″≠0.2 周期解的稳定性与分支方向考虑平衡点E*在情况下的Hopf分支，设使得在μ=0时出现Hopf分支.不失一般性，假设其中现在继续沿用文献[12,14-15]的思想，令t=tτ2,X(t)=x-x*,Y(t)=y-y*,Z(t)=z-z*,则系统(2)可以写成dv//τ2)+B3v(t-1)+f(x,y,z)],其中f=(f1,f2,f3)T,v(t)=(X(t),Y(t),Z(t))T,为了方便，X(t),Y(t),Z(t)仍然分别用x(t),y(t),z(t)表示，非线性项f1,f2,f3分别是f1=-μx2(t)-dx(t)y(t)-dx(t)z(t),//τ2)z(t),f3=0.定义一组算子:/τ2)+B3φ(-1)],φ=(φ1,φ2,φ3)T∈C([-1,0],R3).通过应用Riesz表示定理，存在一个有界变差矩阵η(θ,μ):[-1,0] →R2,使得选取对φ=(φ1,φ2,φ3)T∈C([-1,0],R3]，定义其中φ=(φ1,φ2,φ3)T∈C([-1,0],R3),//τ2)φ3(0),h3=0.因此，系统(2)可以写成dv/dt=A(μ)μt+R(μ)μt,(13)其中v=(X(t),y(t),Z(t))T,μt(θ)=μ(t+θ),θ∈[-1,0].对φ∈C([0,1],(R3)*)，定义A(0)=A和A的共轭算子A*如下:其中ηT是矩阵η的转置.对ψ∈C([-1,0],R3)和φ∈C([0,1],(R3)*)定义一个双线性内积:其中η(0)=η(θ,0).A和A*的特征值是而A和A*的特征向量通过它们所对应的特征值和计算得出. 引理2 A的特征值所对应的特征向量为的特征值所对应的特征向量为并且其中1//下面计算中心流C0在μ=0时的坐标，定义z(t)=〈q*, xt〉,W(t,θ)=xt(θ)-2Re{z(t)q(θ)}.(14)在中心流C0上，有且W30(θ)z3/6+…,这里z与是中心流C0在方向为q与上的局部坐标，注意到:若W和xt为实数，则仅考虑实值解.对xt∈C0，由于μ=0,dz/dt=〈q*,dx/dt〉=〈q*,这里(15)由(14)式可得并且可以推出z2/2+…z2/2+…z2/2+…τ2)z2/2+…τ2)z2/2+…τ2)z2/2+…又因为则可得到////由于g21中需要对W20(θ),W11(θ)进行计算，因而从(13)式和(15)式可得dω/dt=dxt/dt-qdz//dt=(16)这里//2+….(17)由于系数相等，从而可以获得(18)与(17)式比较系数，可以得到由(18)式和A的定义可得dW20(θ)/假设因此//(19)其中为常向量，同理可得//(20)其中的是常向量.接下来需要求出适当的E1和E2，从(18)式和A的定义可知(21)其中η(θ)=η(0,θ)，由(16)式可以得出(22)(23)将(19)～(20)、(22)～(23)式代入(21)式中可得所以有从而其中同理，可以得到其中从而可以确定W20(θ)和W11(θ)，进一步，可以确定每一个gij.因此，每一个gij 可由时滞系统(2)的参数表示出来，计算得出下列各值:c1(0)=i(g11g20-2-/3)/g21/2,μ2=-Re{c1(0)}//β2=2Re{c1(0)}.以上表达式给出了系统(2)分支周期解在中心流C0上的描述，进一步，当和临界值时，有以下结论：(i)μ2表示周期解的分支方向，若μ2>0(μ2<0)，则周期解分支是超临界(次临界)的；(ii)β2是确定分支周期解的稳定性，若β2<0(β2>0)，则周期解是稳定(不稳定)的；(iii)T2确定分支周期解的周期，若T2>0(T2<0)，则周期是增加(减少)的.3 数值模拟为了更深入地了解系统的性质，可以运用Matlab软件对系统模型进行数值模拟与分析.具体参数设置如下：a=1.02,b=0.17,c=0.40,d=0.20,e=0.40.(i)当τ1=0时，取τ2 的临界值为τ20=4.31，易得系统的平衡点为E*=(0.97,3.99,0.23)，当τ2(=4.20)<τ20(=4.31)时，平衡点E*是渐近稳定的，然而,当τ2(=9.35)>τ20(=4.31)时，E*失去稳定并且出现Hopf分支现象，如图1所示.(ii)当τ2=0时，取τ1的临界值为τ10=3.02，易得系统的平衡点为E*=(0.97,2.62,0.15)，当τ1(=1.90)<τ10(=3.02)时，平衡点E*是渐近稳定的，然而,当τ1(=3.79)>τ10(=3.02)时，E*失去稳定并且出现Hopf分支现象，如图2所示.τ2=4.20 τ2=9.35图1 τ1=0的数值模拟τ1=1.69 τ1=3.79图2 τ2=0的数值模拟(iii)在τ1=1.60的条件下，当时，易得E*=(0.97,2.62,0.15)是渐近稳定的，然而,当时，E*失去稳定并且出现Hopf分支现象，如图3所示.τ2=3.45 τ2=8.90图3 τ1=1.60的数值模拟(iv)在τ2=4.40的条件下，当时，易得E*=(0.97,3.99,0.23)是渐近稳定的，然而,当时，E*失去稳定并且出现Hopf分支现象，如图4所示.τ1=0.12τ1=0.60图4 τ2=4.40的数值模拟4 小结本文首先运用Hopf分支理论与稳定性得到系统正平衡点的特性;其次,取时滞τ1和τ2作为分支参数,得到当经过分支点时,系统正平衡点的稳定性发生改变,从而导致混沌现象消失,且可以分支出周期轨;然后，利用Hassard方法与中心流形定理，得到周期解的分支方向与稳定性的判定公式;最后,利用数值模拟验证解析结果的有效性.A. Hastings等[16]对于不含时滞的3维企业竞争模型只是简单地用一个模型来代表企业竞争之间的关系,并没有考虑到一个市场的稳定性以及企业的发展会受到许多其他外界因素的干扰.而刘凯[11]在添加单时滞后情况有所改变,企业可以通过选择不同的时间点进入市场从而产生不同的影响.然而,中小型企业发展成为大型企业所需要的时间对市场的稳定性并没有影响,只是对企业的发展历程有影响.本文引入双时滞对投资市场动力学模型进行分析,研究表明:可以通过对投资项目的增长速度添加控制因素τ1(即增长时滞)来促进市场的稳定性，接着再对大型投资公司退出市场的时机是否成熟添加另一个控制因素τ2(即成熟时滞),为企业选择最好的时间点进入市场做准备.当进入市场的时间在临界值之内,会促进市场的稳定发展;当进入市场的时间在临界值之外,则会导致市场秩序混乱,企业可以为了自身更好地发展选择合适的时间点进入市场.由此为投资市场的稳定性发展以及管理者更好地发展市场提供了理论依据,同时也要求市场调控者在调控时应考虑时滞对市场稳定性的影响,通过政策调控企业进入市场的最佳时间.5 参考文献【相关文献】[1] 李继彬,冯贝叶.稳定性,分支与混沌 [M]．昆明:云南科技出版社,1995.[2] 张芷芬,丁同仁,黄文灶,等.微分方程定性理论 [M].北京:科学出版社,1997.[3] Xu Rui,Ma Zhen.Stability and Hopf bifurcation in a predator-prey model with stage structure for the predator [J].Nonlinear Anal Real World Appl,2008,9(4):1444-1460. [4] Yuan Sanling,Song Yongli.Stability and Hopf bifurcation in a delayed Leslie-Gower predator-prey system [J].J Math Anal Appl,2009,335(1):82-100.[5] Song Yongli,Han Maoan,Peng Yahong.Stability and Hopf bifurcation in a competitive Lotka-Volterra system with two delays [J].Chaos,Solitons and Fractals,2004,22(5):1139-1148.[6] Tang Xianhua,Zhou Xingfu.Global attractivity of non-autonomous Lotka-Volterra competition system without instantaneous negative feedback [J].Journal of Differential Equations,2003,192(2):502-535.[7] Sun Chengjun,Lin Yiping,Han Maoan.Stability and Hopf bifurcation for an epidemic disease model with delay [J].Chaos,Solitons and Fractals,2006,30(1):204-216.[8] Yan Xiangping,Chu Yandong.Stability and bifurcation analysis for a delayed Lotka-Volterra predator-prey system [J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2006,196(1):198-210.[9] Freeman J,Hannan M T.Niche width and the dynamic of organizational populations [J].American Journal of Sociological,1983,88(6):1116-1145.[10] Moore J F.Predators and prey:a new ecology of competition [J].Harvard Business Review,1993,71(3):75-86.[11] 刘凯.一类时滞金融模型的稳定性分析 [D].镇江:江苏大学,2011:20-33.[12] Chen Yuanyuan,Song Changming.Stability and Hopf bifurcation analysis in a prey-predator system with stage-structure for prey and time delay [J].Chaos,Solotions andFractals,2008,38(4):1104-1114.[13] Kar T K,Batabyal A.Stability and bifurcation of a prey-predator model with time delay [J].Comptes Rendus Biology,2009,332(7):642-651.[14] Hassard B D,Kazarinoff N D,Wan Yieh Hei.Theory and application of Hopf bifurcation [M].Cambridge:Cambridge University Press,1981:961-969.[15] Paolo Russu.Hopf bifurcation in a environmental defensive expenditures model with time delay [J].Chaos,Solitions and Fractals,2009,42(5):3147-3159.[16] Hastings A,Powell T.Chaos in a three-species food chain [J].Ecology,1991,72(3):896-903.。
