【数学】湖南省郴州市湘南中学2015-2016学年高一上学期入学摸底考试

2014-2015学年湖南省郴州市湘南中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，1．（5分）以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2﹣1=0的实数解D．周长为10cm的三角形2．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{﹣2，2}D．{﹣2，1，2，3}3．（5分）下列各个对应中，构成映射的是（）A．B．C．D．4．（5分）下列四个图象中，不是函数图象的是（）A． B． C．D．5．（5分）下列表述正确的是（）A．∅={0}B．∅⊆{0}C．∅⊇{0}D．∅∈{0}6．（5分）已知函数f（x）=﹣x2，则（）A．f（x）在（﹣∞，0）上是减函数B．f（x）是减函数C．f（x）是增函数D．f（x）在（﹣∞，0）上是增函数7．（5分）下列函数中，是偶函数的是（）A．y=2x B．y=（x﹣1）0 C．y=D．y=8．（5分）下列四组函数中f（x）与g（x）是同一函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=2lgx，g（x）=lgx2D．f（x）=|x|，g（x）=9．（5分）幂函数y=x∂必过定点（）A．（0，0） B．（1，1） C．（0，1） D．（1，0）10．（5分）f（x）=lnx+x﹣2的零点所在区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）二、填空题（本题5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B=．12．（5分）函数f（x）=的定义域是．13．（5分）当x=时，x2﹣3x+3的值是．14．（5分）f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（﹣1）+g（1）=4，f（1）+g（﹣1）=2，则g（1）=．15．（5分）函数y=x2+2x+3（x≥0）的值域为．三、解答题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知集合A={x|﹣1＜x≤3}，B={x|1≤x＜6}，求∁R（A∪B）、∁R（A ∩B）、（∁R A）∩B、A∪（∁R B）．17．（12分）（1）计算：（2）+（lg5）0+（）；（2）解方程：log3（6x﹣9）=3．18．（12分）集合A={x|﹣2＜x＜6}，B={x|1﹣2m≤x≤m+7}，若A∪B=A，求实数m的取值范围．19．（13分）若对于一切实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）：（1）求f（0），并证明f（x）为奇函数；（2）若f（1）=3，求f（﹣5）．20．（13分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，（1）画出函数f（x）的图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间，并写出函数的值域．21．（13分）已知函数f（x）=（a，b为常数，且a≠0），满足f（2）=1，方程f（x）=x有唯一实数解，（1）求函数f（x）的解析式（2）判断f（x）在（1，3）上的单调性，并证明．（3）若f（x）﹣3a+1＞0在（1，3）上恒成立，求a的取值范围．2014-2015学年湖南省郴州市湘南中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，1．（5分）以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2﹣1=0的实数解D．周长为10cm的三角形【解答】解：由题意可知：对A：中国古代四大发明，满足构成集合的元素的特征；对C：方程x2﹣1=0的实数解，即﹣1、1满足结合元素的特征；对D：周长为10cm的三角形所对应的元素，满足几何元素的特性．而对B：地球上的小河流，则不具备确定性的特点，因为小到什么时候才算小是不确定的．故选：B．2．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{﹣2，2}D．{﹣2，1，2，3}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，∴A∩B={2}．故选：B．3．（5分）下列各个对应中，构成映射的是（）A．B．C．D．【解答】解：映射概念是：给出A、B两个非空集合，给出一个对应关系f，在对应关系f的对应下，集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之相对应，把对应f：A→B叫做从集合A到集合B的映射．选项A中，集合M中的元素2在集合N中没有对应元素，由映射概念可知，该对应不构成映射；选项C中，集合M中的元素1在集合N中对应元素不唯一，由映射概念可知，该对应不构成映射；选项D中，集合M中的元素2在集合N中对应元素不唯一，由映射概念可知，该对应不构成映射；选项B符合映射概念，该对应构成映射．故选：B．4．（5分）下列四个图象中，不是函数图象的是（）A． B． C．D．【解答】解：根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选：B．5．（5分）下列表述正确的是（）A．∅={0}B．∅⊆{0}C．∅⊇{0}D．∅∈{0}【解答】解：因为空集是非空集合的子集，所以B正确．故选：B．6．（5分）已知函数f（x）=﹣x2，则（）A．f（x）在（﹣∞，0）上是减函数B．f（x）是减函数C．f（x）是增函数D．f（x）在（﹣∞，0）上是增函数【解答】解：∵f（x）=﹣x2，开口向下，对称轴x=0，∴f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减，故选：D．7．（5分）下列函数中，是偶函数的是（）A．y=2x B．y=（x﹣1）0 C．y=D．y=【解答】解：A．函数y=2x为奇函数．B．函数的定义域为{x|x≠1}，定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数．C．函数的定义域为R，则f（﹣x）==f（x），则函数f（x）为偶函数，满足条件．D．函数y==x，则函数为奇函数．故选：C．8．（5分）下列四组函数中f（x）与g（x）是同一函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=2lgx，g（x）=lgx2D．f（x）=|x|，g（x）=【解答】解：A．不是同一函数，定义域不同，f（x）定义域是R，g（x）定义域是{x|x≠0}；B．不是同一函数，对应法则不同，f（x）是指数函数，g（x）是幂函数；C．不是同一函数，对应法则不同，f（x）=2lgx，g（x）=2lg|x|；D．是同一函数，f（x）=|x|，g（x）=|x|．故选：D．9．（5分）幂函数y=x∂必过定点（）A．（0，0） B．（1，1） C．（0，1） D．（1，0）【解答】解：∵1α=1，∴幂函数y=x∂必过定点（1，1），故选：B．10．（5分）f（x）=lnx+x﹣2的零点所在区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵f（x）=lnx+x﹣2，∴f′（x）=+1＞0，又∵f（1）=ln1+1﹣2＜0，f（2）=ln2+2﹣2=ln2＞0，故f（x）=lnx+x﹣2的零点所在区间为（1，2），故选：B．二、填空题（本题5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B={3，4，5，6，7，8} ．【解答】解：∵集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，∴A∪B={3，4，5，6，7，8}．故答案为：{3，4，5，6，7，8}．12．（5分）函数f（x）=的定义域是[﹣1，1）∪（1，+∞）．【解答】解：由题意得：，解得：x≥﹣1且x≠1，故答案为：[﹣1，1）∪（1，+∞）．13．（5分）当x=时，x2﹣3x+3的值是2．【解答】解：当x=时，x2﹣3x+3=2﹣3=2．故答案为：2．14．（5分）f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（﹣1）+g（1）=4，f（1）+g（﹣1）=2，则g（1）=3．【解答】解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），g（﹣1）=g（1）．又f（﹣1）+g（1）=4，f（1）+g（﹣1）=2，∴﹣f（1）+g（1）=4，f（1）+g（1）=2，∴2g（1）=6，∴g（1）=3．故答案为：3．15．（5分）函数y=x2+2x+3（x≥0）的值域为[3，+∞）．【解答】解：y=x2+2x+3的对称轴为x=﹣1；∴该函数在[0，+∞）上为增函数；若设y=f（x），则f（x）≥f（0）=3；∴该函数的值域为[3，+∞）．三、解答题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知集合A={x|﹣1＜x≤3}，B={x|1≤x＜6}，求∁R（A∪B）、∁R（A ∩B）、（∁R A）∩B、A∪（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x≤3}，B={x|1≤x＜6}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜6}，∁R（A∪B）={x|x≤﹣1，或x≥6}，A∩B={x|1≤x≤3}，∁R（A∩B）={x|x＜1，或x＞3}，∁R A={x|x≤﹣1，或x＞3}，（∁R A）∩B={x|3＜x＜6}，∁R B={x|x＜1，或x≥6}，A∪（∁R B）={x|x≤3，或x≥6}．17．（12分）（1）计算：（2）+（lg5）0+（）；（2）解方程：log3（6x﹣9）=3．【解答】解：（1）=（）+（lg5）0+[（）3]=+1+=4．（2）由方程log 3（6x﹣9）=3得6x﹣9=33=27，∴6x=36=62，∴x=2．经检验，x=2是原方程的解．∴原方程的解为x=2．18．（12分）集合A={x|﹣2＜x＜6}，B={x|1﹣2m≤x≤m+7}，若A∪B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：由A∪B=A，得B⊆A，当B=∅时，1﹣2m＞m+7，解得m＜﹣2，当B≠∅时，有，解得﹣2≤m＜﹣1，综上，实数m的取值范围为m＜﹣1．19．（13分）若对于一切实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）：（1）求f（0），并证明f（x）为奇函数；（2）若f（1）=3，求f（﹣5）．【解答】解：（1）由于对一切实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），故在上式中可令x=y=0，则有：f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．…（2分）再令y=﹣x，则有：f[x+（﹣x）]=f（x）+f（﹣x），所以：f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），f（x）为奇函数．…（5分）（2）由于f（x）为奇函数，且f（x+y）=f（x）+f（y），f（﹣5）=f[（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）]=f（﹣1）+f（﹣1）+f （﹣1）+f（﹣1）+f（﹣1）=5f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5×3=﹣15…（8分）20．（13分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，（1）画出函数f（x）的图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间，并写出函数的值域．【解答】解：（1）函数f（x）的图象如图所示（2）由图象得，f（x）的单调区间为：（﹣∞，0）上是增函数，（0，+∞）上是减函数，值域为（0，1]．21．（13分）已知函数f（x）=（a，b为常数，且a≠0），满足f（2）=1，方程f（x）=x有唯一实数解，（1）求函数f（x）的解析式（2）判断f（x）在（1，3）上的单调性，并证明．（3）若f（x）﹣3a+1＞0在（1，3）上恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=且f（2）=1，∴2=2a+b．又∵方程f（x）=x有唯一实数解．∴ax2+（b﹣1）x=0（a≠0）有唯一实数解．故（b﹣1）2﹣4a×0=0，即b=1，又上式2a+b=2，可得：a=，从而f（x）==，（2）f（x）在（1，3）上单调递增，下面进行证明：设任意1＜x1＜x2＜3则，∵1＜x1＜x2＜3，∴x1﹣x2＜0，（x1+2）＞0，（x2+2）＞0即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（1，3）上单调递增．（3）由题（2）f（1）＜f（x）＜f（3）又f（x）﹣3a+1＞0在（1，3）上恒成立，∴解得．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

xx 学校xx 学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:已知集合，，则等于（）A. B. C. D.试题2:函数的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3 试题3:若函数，则等于（）A．3 B．8 C. 9 D. 试题4:下列四组函数中，表示同一个函数的是( )A.与B.C.D.与试题5:下列函数是幂函数的是（）A. B. C. D.试题6:设f(x)是定义在R上的奇函数，当时，f(x) ＝ 2x2－x，则f(-1)＝( )A．－3 B．3 C．1 D．－1试题7:函数的定义域为（）A．[1，+∞) B．(1，+∞） C．[1，2) D．(2，+∞）试题8:已知函数，f(2)=4，则函数f(x)的解析式是（）A .f(x)=2x B. f(x)= C. f(x)=4x D. f(x)=试题9:三个数、、的大小顺序为( )A. B. C. D.试题10:已知函数是定义在上的函数，且对任意的、满足，则不等式的解集为( )A． B． C． D．试题11:计算：______________.试题12:函数在区间上值域为___________．试题13:已知是奇函数，则实数=____________．试题14:函数在区间上递增,则的取值范围是____________．试题15:已知函数是奇函数，当时，;当时，=________．试题16:设全集U为R,已知A={x|1<x<7},B={x|x<3或x>5},求（1）A B (2)A B (3)C U B试题17:；试题18:.试题19:已知二次函数，满足，.（1）求函数的解析式；（2）当，求函数的最小值与最大值.试题20:已知函数的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）求证：．试题21:已知函数（）．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）解不等式f（x）＞0．试题1答案:C试题2答案:C试题3答案:A试题4答案:A试题5答案:D试题6答案:D试题7答案:A试题8答案:A试题9答案:D试题10答案:A试题11答案:_2________.试题12答案:________．试题13答案:0________．试题14答案:________．试题15答案:_______．试题16答案:解：（1）.............2分（2）.............4分（3）.............6分试题17答案:原式=.............4分试题18答案:原式=.............8分试题19答案:解：（1）............4分（2）.试题20答案:解：（1）因为函数的图象经过点，所以，即，得，所以函数的解析式为；.............4分（2）证明：因为，所以，所以． .............8分试题21答案:解：（1）.............3分（2）∵函数的定义域为（﹣1，1）关于原点对称；且；∴f（x）为奇函数；.............6分（3）∵f（x）＞0，①当0＜a＜1时，；.............8分②当a＞1时，.............10分。

2015-2016学年湖南省郴州市湘南中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题包括12小题，每小题2分，共24分．每小题只有一个选项最符合题意）1．已知集合A={x|y=lg（x+3）}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B2．函数y=（a＜0且a为常数）在区间（﹣∞，1]上有意义，则实数a的取值范围（）A．[﹣1，0）B．（﹣1，0）C．[﹣1，0] D．（﹣1，+∞）3．设偶函数f（x），当x≥0时，f（x）=x3﹣8，则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x ＞2}4．a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a5．函数y=﹣lnx的零点所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）6．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm），则该几何体的表面积和体积分别为（）A．24πcm2，12πcm3B．15πcm2，12πcm3C．24πcm2，36πcm3D．15πcm2，36πcm37．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积为（）A．B．2 C．2 D．28．设α、β是两个不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（）A．若α∥β，m⊂α，则m∥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m∥α，m∥β，α∩β=n，则m∥n D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β9．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．10．在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C．D．11．过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=112．设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x二、填空题（本题包括6小题，每小题2分，共12分．）13．函数的定义域是．14．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）= ．15．与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线方程为．16．过直线l：y=2x上一点P作圆C：（x﹣8）2+（y﹣1）2=2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为．17．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x、y轴于点A（10，0），B（0，﹣30），一圆心位于（0，3），半径为3的动圆沿x轴向右滚动，动圆每6秒滚动一圈，则动圆与直线AB第一次相切时所用的时间为秒．18．下列几个命题：①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②函数y=+是偶函数，但不是奇函数；③设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1﹣x）与y=f（x﹣1）的图象关于y轴对称；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．其中正确的有．三、解答题（本题包括7小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．已知直线l：x+y﹣1=0，（1）若直线l1过点（3，2）且l1∥l2，求直线l1的方程；（2）若直线l2过l与直线2x﹣y+7=0的交点，且l2⊥l，求直线l2的方程．20．记U=R，若集合A={x|3≤x＜8}，B={x|2＜x≤6}，则（1）求A∩B，A∪B，∁U A；（2）若集合C={x|x≥a}，A⊆C，求a的取值范围．21．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作A F⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．22．（1）求值：；（2）求值：（lg2）2+lg5•lg20+lg100；（3）已知5a=3，5b=4．求a、b，并用a，b表示log2512．（4）已知函数f（x）=log2（ax+b），若f（2）=1，f（3）=2，求f（5）．23．设圆上的点A（2，﹣3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且圆与y轴相切，求圆的方程．24．某工厂为了提高经济效益，决定花5600千元引进新技术，同时适当进行裁员．已知这家公司现有职工m人，每人每年可创利100千元．据测算，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．（1）若m=400时，要使公司利润至少增加10%，那么公司裁员人数应在什么范围内？（2）若m=20k，且15＜k＜50，为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？25．设f（x）=为奇函数，a为常数，（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞+m恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年湖南省郴州市湘南中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括12小题，每小题2分，共24分．每小题只有一个选项最符合题意）1．已知集合A={x|y=lg（x+3）}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B【考点】对数函数的定义域；元素与集合关系的判断．【专题】规律型．【分析】先求出集合A，根据元素和集合之间的关系分别进行判断．【解答】解：∵A={x|y=lg（x+3）}={x|x+3＞0}={x|x＞﹣3}，∴﹣3∉A，∴A错误．∵B={x|x≥2}，∴3∈B，∴B错误．A∩B={x|x≥2}=B，∴C正确．A∪B={x|x＞﹣3}=A，∴D错误．故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的判断，比较基础．2．函数y=（a＜0且a为常数）在区间（﹣∞，1]上有意义，则实数a的取值范围（）A．[﹣1，0）B．（﹣1，0）C．[﹣1，0] D．（﹣1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可得到结论．【解答】解：∵y=（a＜0且a为常数）在区间（﹣∞，1]上有意义，∴当x≤1时，ax+1≥0恒成立．∵a＜0，∴不等式ax+1≥0等价为x，则≥1，即a≥﹣1，∵a＜0，∴﹣1≤a＜0，故选：A【点评】本题主要考查函数定义域的应用，利用参数恒成立问题是解决本题的关键．3．设偶函数f（x），当x≥0时，f（x）=x3﹣8，则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x ＞2}【考点】其他不等式的解法；函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】先利用偶函数的性质解出函数的解析式，然后再解分段不等式，分段不等式特点是分段求解，再求并集．【解答】解：当x＜0时，则﹣x＞0，由偶函数f（x）满足f（x）=x3﹣8（x≥0）可得，f （x）=f（﹣x）=﹣x3﹣8，则f（x）=，∴f（x﹣2）=，当x≥3时，（x﹣2）3﹣8＞0，解得x＞4；当x＜3时，﹣（x﹣2）3﹣8＞0，解得x＜0；综上：x＞4或x＜0，故选B．【点评】本题以函数为载体，主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，考查分段函数的性质．4．a=log0.70.8，b=log1.10.9，c=1.10.9的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【考点】指数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】由指数函数，对数函数的单调性，确定0＜a=log0.70.8＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1．【解答】解：0＜a=log0.70.8＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1．故选A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性的应用，属于基础题．5．函数y=﹣lnx的零点所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=y=﹣lnx，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，∵f（2）=1﹣ln2＞0，f（3）=﹣ln3＜0，∴f（2）•f（3）＜0，在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，故选：C．【点评】本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键．6．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm），则该几何体的表面积和体积分别为（）A．24πcm2，12πcm3B．15πcm2，12πcm3C．24πcm2，36πcm3D．15πcm2，36πcm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图及其尺寸，我们易判断这个几何体是圆锥，且底面直径为6，圆锥的母线长为5，代入圆锥的表面积和体积公式，我们易得结论．【解答】解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5则圆锥的底面积S底面=π•r2=9π侧面积S侧面=π•r•l=15π故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm2，又由圆锥的高h==4故V=•S底面•h=12πcm3故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积和体积，根据三视图判断几何体的底面半径和母线长是解答本题的关键．7．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积为（）A．B．2 C．2 D．2【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，投影线平行于BD，可得：该三棱锥的侧视图是一个以△BCD中BD边的上高为底，以棱锥的高为高的三角形，进而可得答案．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，投影线平行于BD，∴该三棱锥的侧视图是一个以△BCD中BD边的上高为底，以棱锥的高为高的三角形，∵BC⊥CD，AB=BC=CD=2，∴△BCD中BD边的上高为，故该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积S=××2=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中分析出该三棱锥的侧视图是一个以△BCD中BD边的上高为底，以棱锥的高为高的三角形，是解答的关键．8．设α、β是两个不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（）A．若α∥β，m⊂α，则m∥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m∥α，m∥β，α∩β=n，则m∥n D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】规律型；空间位置关系与距离．【分析】由题意，α、β是两个不重合的平面，m、n为不重合的直线，可对四个选项中的四个命题逐一判断找出正确选项，A选项可由面面平行的性质来判断；B选项可由面面平行的条件来判断；C选项可由线面平行的判定定理与性质定理，通过论证来判断，D选项可由面面垂直判定定理来判断．【解答】解：对A，∵α∥β，m⊂α，则m∥β成立，这是面面平行的性质定理，故A正确；对B，∵m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，没有条件m与n相交，故α与β不一定平行，故B错误；对C，∵m∥α，m∥β，α∩β=n，过m作两个平面分别与平面α、β交于a、b，由线面平行的性质得m∥a，m∥b，则a∥b，从而可证a∥β，再由线面平行的性质可得a∥n，可得m∥a∥n，故正确；对D，∵m∥α，m⊥β，过m平面γ，α∩γ=b，由线面平行的性质可得m∥b，∴b⊥β，b⊂α，∴α⊥β，故D正确；综上，只有B选项中的命题是错误的，故选B．【点评】本题考察了线面平行、垂直，面面平行的判定与性质，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对每个命题涉及的知识熟练掌握，此类题涉及到的考点多，知识覆盖面广，是高考命题者比较喜欢的类型，有着较为广泛的基础知识储备是解此类题的重点，本题考察了空间想像能力及推理判断的能力．9．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】以A为原点，在平面ABC处以过点A垂直于AC的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM与CN所成角的余弦值．【解答】解：如图，以A为原点，在平面ABC处以过点A垂直于AC的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知A（0，0，0），M（，1），C（0，2，0），N（，，2），∴=（），，设直线AM与CN所成角的大小为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用．10．在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】先求出直线的斜率tanθ 的值，根据倾斜角θ 的范围求出θ的大小．【解答】解：直线x+y﹣3﹣0的斜率等于﹣，设此直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，又0≤θ＜π，∴θ=，故选C．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，已知三角函数值求角是解题的难点．11．过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=1 【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据切线的性质可知PA垂直于CA，PB垂直于CB，所以过A、B、C三点的圆即为四边形PACB的外接圆，且线段AC为外接圆的直径，所以根据中点坐标公式求出外接圆的圆心，根据两点间的距离公式即可求出圆的半径，根据求出的圆心坐标与圆的半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，得到圆心C（1，2），又P（﹣1，0）则所求圆的圆心坐标为（，）即为（0，1），圆的半径r==，所以过A、B、C的圆方程为：x2+（y﹣1）2=2．故选A【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切的性质，掌握90°的圆周角所对的弦为直径，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．12．设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x【考点】轨迹方程．【分析】结合题设条件作出图形，观察图形知图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，由此能求出其轨迹方程．【解答】解：作图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，其轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2．故选B．【点评】本题考查轨迹方程，结合图形进行求解，事半功倍．二、填空题（本题包括6小题，每小题2分，共12分．）13．函数的定义域是（﹣∞，2）∪（2，3）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】欲求此函数的定义域，可由3﹣x＞0，且x﹣2≠0，解出x的取值范围，最终得出答案．【解答】解：∵3﹣x＞0，且x﹣2≠0，∴x＜3且x≠2，故答案为：（﹣∞，2）∪（2，3）．【点评】本题考查的是求定义域时要注意对数函数的真数大于0，并且分母不能是0的问题．14．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）= ．【考点】幂函数的图像；函数的值．【专题】待定系数法．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过（，8）确定出解析式，然后令x=﹣2即可得到f （﹣2）的值．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过，则有8=，∴a=﹣3，即f（x）=x﹣3，∴f（﹣2）=（﹣2）﹣3=﹣故答案为：﹣【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．15．与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线方程为3x+4y﹣11=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】设直线3x+4y+1=0平行的直线为3x+4y+m=0，把点（1，2）代入解得即可．【解答】解：设直线3x+4y+1=0平行的直线为3x+4y+m=0，∵此直线又过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=﹣11．故答案为：3x+4y﹣11=0．【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，属于基础题．16．过直线l：y=2x上一点P作圆C：（x﹣8）2+（y﹣1）2=2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】由圆的方程找出圆心坐标，经过判定发现，圆心不在已知直线上，由对称性可知，只有直线y=2x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=2x，从这点做切线才能关于直线y=2x对称．由直线y=2x的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出该点与圆心连线方程的斜率，由圆心坐标和求出的斜率写出此直线的方程，与已知直线方程联立求出该点的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出此时这个点到圆心C的距离．【解答】解：显然圆心（8，1）不在直线y=2x上．由对称性可知，只有直线y=2x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=2x，从这点做切线才能关于直线y=2x对称．所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣8），即x+2y﹣10=0，与y=2x联立可求出该点坐标为（2，4），所以该点到圆心的距离为： =3．故答案为：3【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及两点间的距离公式．由对称性得到该点与圆心连线所在的直线方程与直线l垂直是解本题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x、y轴于点A（10，0），B（0，﹣30），一圆心位于（0，3），半径为3的动圆沿x轴向右滚动，动圆每6秒滚动一圈，则动圆与直线AB第一次相切时所用的时间为秒．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】根据题意画出图形，得出第一次与AB相切时，O正好在∠OAC的角平分线上，求出∠OAB的度数，求出∠OAM，根据三角函数值求出AM、求出OM，根据动圆每6秒滚动一圈即可求出动圆与直线AB第一次相切时所用的时间．【解答】解：如图当⊙O于AB第一次相切时，于x轴切于M，此时O正好在∠OAC的角平分线上，∵A（10，0），B（0，﹣30），∴OA=10，OB=30，∴tan∠OAB==，∴∠OAB=60°，∴∠OAM=60°，∵OM=3，∴tan60°==，∴AM=，∴OM=10，设动圆与直线AB第一次相切时所用的时间是x秒，∵动圆每6秒滚动一圈，∴=，解得：x=．故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质，特殊角的三角函数值，圆的性质等知识点，关键是能根据题意画出图形，并知道主要应该求那一条线段的长，题目比较难懂，是有一定难度的题目．18．下列几个命题：①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②函数y=+是偶函数，但不是奇函数；③设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1﹣x）与y=f（x﹣1）的图象关于y轴对称；④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．其中正确的有①④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用一元二次方程根与系数之间的关系判断．②利用函数奇偶性的定义和性质判断．③利用函数图象的对称性判断．④利用函数图象判断函数交点个数．【解答】解：①要使方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则根据根与系数之间的关系，可两根之积为负值，即a＜0，∴①正确．②要使函数有意义，则÷，即x2=1，解得x=±1，即函数f（x）的定义域为{1，﹣1}，关于原点对称，此时f（x）=0，∴f（x）为既是奇函数也是偶函数，∴②错误．③∵y=f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]，∴令t=x﹣1，则y=f（1﹣x）=f（﹣t），y=f（x﹣1）=f（t），则y=f（t）和y=f（﹣t）关于t=0对称，由t=x﹣1=0，解得x=1，即函数y=f（1﹣x）与y=f（x﹣1）的图象关于x=1轴对称，∴③错误．④作出函数y=|3﹣x2|的图象如图，由图象可知，当a＞3时，两个图象的交点个数为2个，当a=3时，两个图象的交点个数为3个，当0＜a＜3时，两个图象的交点个数为4个，当a=0时，两个图象的交点个数为2个，当a＜0时，两个图象的交点个数为0个，故m不可能是1个，∴④正确．故答案为：①④．【点评】本题主要考查函数的图象和性质，考查函数性质的综合应用，综合性较强．三、解答题（本题包括7小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．已知直线l：x+y﹣1=0，（1）若直线l1过点（3，2）且l1∥l2，求直线l1的方程；（2）若直线l2过l与直线2x﹣y+7=0的交点，且l2⊥l，求直线l2的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）由题意和平行关系设直线l1的方程为x+y+m=0，代点可得m的方程，解得m 值可得直线l1的方程；（2）解方程组可得交点坐标，由垂直关系可得直线斜率，可得直线方程．【解答】解：（1）由题意和平行关系设直线l1的方程为x+y+m=0，∵直线l1过点（3，2），∴3+2+m=0，解得m=﹣5，直线l1的方程为x+y﹣5=0；（2）解方程组可得，∴直线l与直线2x﹣y+7=0的交点为（﹣2，3）∵l2⊥l，∴直线l2的斜率k=1，∴直线方程为x﹣y+5=0【点评】本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题．20．记U=R，若集合A={x|3≤x＜8}，B={x|2＜x≤6}，则（1）求A∩B，A∪B，∁U A；（2）若集合C={x|x≥a}，A⊆C，求a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】（1）根据给出的集合A和集合B，然后运用交集和并集的概念进行运算求解，并且求出∁U A．（2）直接利用集合的包含关系求出a的取值范围．【解答】解：（1）因为集合A={x|3≤x＜8}，B={x|2＜x≤6}，所以A∩B={3≤x≤6}，A∪B={x|2＜x＜8}，∁U A={x|x＜3或x≥8}．（2）因为集合C={x|x≥a}，A={x|3≤x＜8}，又A⊆C，所以a≤3．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．21．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC 中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB 内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．【点评】本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．22．（1）求值：；（2）求值：（lg2）2+lg5•lg20+lg100；（3）已知5a=3，5b=4．求a、b，并用a，b表示log2512．（4）已知函数f（x）=log2（ax+b），若f（2）=1，f（3）=2，求f（5）．【考点】函数解析式的求解及常用方法；有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】（1）直接利用有理指数幂的有身份证化简求解即可．（2）利用对数运算法则寒假期间即可．（3）利用但是的有身份证化简．（4）求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：（1）=﹣4﹣1+0.5×4=﹣3．（2）（lg2）2+lg5•lg20+lg100=（lg2）2+lg5•（1+lg2）+2=lg2（lg2+lg5）+lg5+2=1+2=3；（3）∵5a=3，5b=4．∴a=log53．b=log54，则log2512=（log53+log54）=．（4）∵f（x）=log2（ax+b），∴若f（2）=1，f（3）=2，可得log2（2a+b）=1，log2（3a+b）=2，即2a+b=2，3a+b，=4，解得a=2，b=﹣2，f（5）=log2（10﹣2）=3．【点评】本题考查函数的解析式的求法，对数运算法则以及有理指数幂的运算，考查计算能力．23．设圆上的点A（2，﹣3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且圆与y轴相切，求圆的方程．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】设A关于直线x+2y=0的对称点为A'，由已知AA'为圆的弦，从而AA'的对称轴x+2y=0过圆心，再由圆与y轴相切，能求出圆的方程．【解答】解：设A关于直线x+2y=0的对称点为A'，由已知AA'为圆的弦，∴AA'的对称轴x+2y=0过圆心，设圆心P（﹣2a，a），半径为R，则R2=|PA|2=（﹣2a﹣2）2+（a+3）2，①∵圆与y轴相切，∴R2=4a2，②由①②，得a=﹣1或a=﹣13，当a=﹣1时，圆心为（2，﹣1），半径r=2，圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4，当a=﹣13时，圆心为（26，﹣13），半径r=26，圆的方程为（x﹣26）2+（y+13）2=676．【点评】本题考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．24．某工厂为了提高经济效益，决定花5600千元引进新技术，同时适当进行裁员．已知这家公司现有职工m人，每人每年可创利100千元．据测算，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．（1）若m=400时，要使公司利润至少增加10%，那么公司裁员人数应在什么范围内？（2）若m=20k，且15＜k＜50，为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？【考点】函数模型的选择与应用；函数的表示方法；函数最值的应用．【专题】应用题．【分析】（1）根据已知条件，当m=400时，我们根据若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%．设该公司应裁员x人，我们分0≤x≤80，80≤x≤100两种情况分析讨论公司所获利润，然后列出公司利润至少增加10%的对应的不等式，解不等式，即可得到公司裁员人数的取值范围．（2）当m=20k，时，我们根据（1）中的分析，分0≤x≤4k，4k＜x≤5k，两种情况分析讨论公司所获利润，然后在构造出公司利润与栽员人数之间的分段函数的解析式，然后在每一段上，分析函数的最值，进而得到合理的裁员方案．【解答】解：设该公司应裁员x人，x∈N*，所获得利润为y．（1）m=400时，若0≤x≤80公司所获利润y=（400﹣x）（100+x）﹣20x﹣5600要使公司利润至少增加10%那么（400﹣x）（100+x）﹣20x﹣5600≥400×100×（1+10%）x2﹣280x+9600≤0又0≤x≤80所以40≤x≤80．若80≤x≤100公司所获利润y=（400﹣x）（100+2x）﹣20x﹣5600要使公司利润至少增加10%那么（400﹣x）（100+2x）﹣20x﹣5600≥400×100×（1+10%）x2﹣340x+4800≤0它在80≤x≤100时成立所以40≤x≤100时公司利润至少增加10%．（2）设公司裁员x人，所获得利润为y千元．则==设f1（x）=﹣（x﹣（10k﹣60））2+2000k﹣5600+（10k﹣60）2，0≤x≤4k，因为10k﹣60＞150﹣60=90＞4k．所以当x=4k时，函数f1（x）取最大值为：f1（x）max=64k2+80k﹣5600．设f2（x）=﹣2（x﹣（10k﹣30））2+2000k﹣5600+2（10k﹣30）2，4k＜x≤5k，因为10k﹣30＞150﹣30=120＞5k．所以当x=5k时，函数f2（x）取最大值为：f1（x）max=150k2+50k﹣5600．f2（x）﹣f1（x）=86k2﹣30k＞0．所以当x=5k时公司可获得最大利润．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．25．设f（x）=为奇函数，a为常数，（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（1）利用奇函数的定义找关系求解出字母的值，注意对多解的取舍．（2）利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性，关键要在自变量大小的前提下推导出函数值的大小．（3）将恒成立问题转化为函数的最值问题，用到了分离变量的思想．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴．检验a=1（舍），∴a=﹣1．（2）由（1）知证明：任取1＜x2＜x1，∴x1﹣1＞x2﹣1＞0∴即f（x1）＞f（x2）．∴f（x）在（1，+∞）内单调递增．（3）对[3，4]于上的每一个x的值，不等式恒成立，即恒成立．令．只需g（x）min＞m，又易知在[3，4]上是增函数，∴．∴时原式恒成立．【点评】本题是以对数函数为载体考查函数基本性质的小综合题，用到了函数奇偶性，函数单调性的定义．恒成立问题中求字母的取值范围问题往往通过分离变量转化为函数的最值问题，体现了等价转化的思想．。

湘南中学2016年高一入学摸底考试数学试卷时间：120分钟 分值：100分一、选择题（每小题3分，共30分）每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分. 1．.函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）A ． 1>xB ．1≥xC ．1<xD ．1≤x2． 下列各式计算不正确．．．的是（ ） A ．(3)3--= B ．42= C ．()3339x x = D ．2121=- 3．中国的领水面积约为370000km 2，将数370000用科学记数法表示为（ ） A ．37×104B ． 3.7×104C ． 0.37×106D ． 3.7×1054．下列所示的四幅图中,可表示为y=f （x ）的图像的只可能是（ ）5．设集合{1,0,1}A =-，{|0}B x R x =∈>，则A B =I （ ） A ．{1,0}- B ．{1} C ．{0,1} D ．{1}- 6．设21,x x 是一元二次方程0322=--x x 的两根，则21x x +=（ ） A ．2 B ． 2- C ．3- D ． 3 7. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．3y x =- C ．1y x=D ．||y x x = 8． 如图1，已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）A ． 24πcm B ． 26πcm C ． 29πcm D ． 212πcmA B C D9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>=)0(1)0()0(0)(2x x x x f ππ，则)))1(((-f f f 的值等于（ ）A.12-πB.12+πC.πD.0 10．如图所示的几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）11．设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A∩B)＝________. 12．因式分解：=-42m _________13．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .14．如图3，在四边形ABCD 中，已知AB CD =，再添加一个条件___________（写出一个即可），则四边形ABCD 是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)图1120︒BOA6cm15．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是__________16．函数22+-=x y 在]3,1[-上的最大值和最小值分别是_________ 17．不透明的袋中装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外没有任何其它区别，搅匀后小红从中随机摸出一球，则摸出红球的概率是__________．18、下列方程：①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x ，其中，没有实数根的方程是 。

2016年湖南省郴州市高考数学摸底试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合A={0，a﹣2，3}，若{﹣2，0}⊆A，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知向量=（4，2），=（x，3），且∥，则x的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．3．已知sinα=，α∈（，π），则cosα的值为（）A．B． C．D．4．在随机试验中，在区间[﹣2，3]内任取一个实数x，则这个数小于1的概率为（）A．B．C．D．5．函数f（x）=3x﹣（）x的零点存在区间为（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）6．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重（单位：kg）在[3.2，4.0）的人数是（）A．30 B．40 C．50 D．557．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．28．要得到函数y=sinx+cosx的图象，只需将曲线y=sinx上所有的点（）A．向左平移单位长度B．向右平移单位长度C．向左平移单位长度D．向右平移单位长度9．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）A．48+12 B．48+24 C．36+12 D．36+2410．定义在R上的偶函数f（x）在区间[﹣1，0]上为增函数，且满足f（x+1）=﹣f（x），则（）A．f（）＜f（2）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（）C．f（3）＜f（2）＜f（）D．f（3）＜f（）＜f（2）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．某程序框图如图，当输入x的值为27时，则输出y的值为．12．圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心到直线y=x+1的距离是．13．如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段B1C1上的动点，则异面直线AE与直线D1C所成的角为．14．在△ABC中，若AB=3，∠ABC=75°，∠ACB=60°，则BC等于．15．把长为l的铁丝折成一个面积为8的直角三角形，当l取最小值时，直角三角形的斜边长为．三、解答题：本大题共5小题，共40分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．某校团委准备组织学生志愿者去野外植树，该校有高一、高二年级志愿者的人数分别为150人、100人，为偏于管理，团委决定从这两个年级中选5名志愿者作为临时干部．（Ⅰ）若用分层抽样法选取，则5位临时干部应分别从高一和高二年级中各选几人？（Ⅱ）若从选取的5为临时干部中，任选2人担任主要负责人，问此两人分别来自高一和高二年级的概率为多少？17．已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，AE⊥正方形BCDE所在的平面，点F，G分别是AB和AC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面ADE；（Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面ACE．19．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ）若0＜x1＜x2＜1，试比较与的大小．20．已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．2016年湖南省郴州市高考数学摸底试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合A={0，a﹣2，3}，若{﹣2，0}⊆A，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】转化思想；综合法；集合．【分析】利用元素与集合之间的关系、集合之间的关系即可得出．【解答】解：∵集合A={0，a﹣2，3}，{﹣2，0}⊆A，∴﹣2=a﹣2，解得a=0．故选：A．【点评】本题考查了元素与集合之间的关系、集合之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．2．已知向量=（4，2），=（x，3），且∥，则x的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．【考点】平行向量与共线向量．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出x的值．【解答】解：∵向量=（4，2），=（x，3），且∥，∴2x﹣3×4=0，解得x=6．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．3．已知sinα=，α∈（，π），则cosα的值为（）A．B． C．D．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】首先根据α所在的象限，利用已知条件求得cosα值的符号，然后根据sin2α+cos2α=1进一步求出cosα的值．【解答】解：已知α∈（，π），则α的中终边在第二象限内．已知sinα=根据三角恒等式sin2α+cos2α=1进一步求出cosα=﹣，故选：D．【点评】本题考查的知识点：同角的基本关系式，根据已知α所在的象限角确定三角函数的符号．4．在随机试验中，在区间[﹣2，3]内任取一个实数x，则这个数小于1的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；规律型；方程思想；概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：区间[﹣2，3]的两端点间距离是5，在区间[﹣2，3]内任取一点，这个数小于1，该点表示的数都小于1，故在区间中随机地取出一个数，这个数小于的概率=，故选：C．【点评】本题主要考查概率的计算，根据几何概型的概率公式是解决本题的关键．5．函数f（x）=3x﹣（）x的零点存在区间为（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；规律型；方程思想；函数的性质及应用．【分析】根据题意分别计算出f（﹣2）、f（﹣1）、f（0），f（1）与f（2），判断它们的符号再结合根的存在性定理可得答案．【解答】解：因为函数f（x）=3x﹣（）x，f（﹣2）=﹣10、f（﹣1）=﹣5、f（2）=6﹣=，f（0）=﹣1＜0，f（1）=3﹣＞0，所以根据根的存在性定理可得：函数f（x）=3x﹣（）x的零点存在区间为（0，1）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点问题，解决此类问题的关键是熟练掌握根的存在性定理的应用．6．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重（单位：kg）在[3.2，4.0）的人数是（）A．30 B．40 C．50 D．55【考点】频率分布直方图．【专题】图表型；概率与统计．【分析】新生婴儿的体重在[3.2，4.0）（kg）的分为[3.2，3.6），[3.6，4.0）两部分．在频率分步直方图中小长方形的面积为频率，用长乘以宽，得到频率，用频率乘以总体个数，分别得到这两个范围中的个体数．再相加，可得答案．【解答】解：在频率分步直方图中小长方形的面积为频率．在[3.2，3.6）的频率为0.625×0.4=0.25，频数为0.25×100=25，在[3.6，4.0）的频率为0.375×0.4=0.15，频数为0.15×100=15．则新生婴儿的体重在[3.2，4.0）（kg）内大约有25+15=40人．故选B．【点评】本题考查频率分步直方图，考查频率分步直方图中小长方形的面积等于频率，考查频率，频数和样本容量之间的关系7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】1．作出可行域2目标函数z的几何意义：直线截距2倍，直线截距去的最大值时z也取得最大值【解答】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．【点评】本题考查线性规划问题：目标函数的几何意义8．要得到函数y=sinx+cosx的图象，只需将曲线y=sinx上所有的点（）A．向左平移单位长度B．向右平移单位长度C．向左平移单位长度D．向右平移单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将曲线y=sinx上所有的点向左平移单位长度，可得函数y=sin（x+）=sinx+cosx 的图象，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）A．48+12 B．48+24 C．36+12 D．36+24【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；压轴题；图表型．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高已知，底面是长度为6的等腰直角三角形，故先求出底面积，再各个侧面积，最后相加即可得全面积．【解答】解：此几何体为一个三棱锥，其底面是边长为6的等腰直角三角形，顶点在底面的投影是斜边的中点由底面是边长为6的等腰直角三角形知其底面积是=18又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥高为4，所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是4，底面边长为6，其余两个侧面的斜高为=5故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积为4×6=12，另两个侧面三角形的面积都是=15故此几何体的全面积是18+2×15+12=48+12故选A【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．10．定义在R上的偶函数f（x）在区间[﹣1，0]上为增函数，且满足f（x+1）=﹣f（x），则（）A．f（）＜f（2）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（）C．f（3）＜f（2）＜f（）D．f（3）＜f（）＜f（2）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据f（x+1）=﹣f（x）便可得到f（x）为周期为2的周期函数，从而有，而由题意可得到f（x）在[0，1]上单调递减，从而可以得到，这样便可找出正确选项．【解答】解：f（x+1）=﹣f（x）；∴f（x）=f（x+2）；∴f（x）是以2为周期的周期函数；根据题意知，f（x）在[0，1]上为减函数；又1；∴，且；∴．故选：D．【点评】考查周期函数的定义，偶函数在对称区间上的单调性特点，以及减函数的定义，将自变量的值变到单调区间上再比较函数值大小的方法．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．某程序框图如图，当输入x的值为27时，则输出y的值为2．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，代入x=27，即可计算得解．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，由于输入x的值为27时，27＞0，可得：y=log327﹣1=3﹣1=2，故答案为：2．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，属于基础题．12．圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心到直线y=x+1的距离是．【考点】点到直线的距离公式；圆的一般方程．【专题】转化思想；配方法；直线与圆．【分析】圆x2+y2﹣2x+2y=0即（x﹣1）2+（y+1）2=2的圆心（1，﹣1），再利用点到直线的距离公式即可得出到直线y=x+1的距离．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y=0即（x﹣1）2+（y+1）2=2的圆心（1，﹣1）到直线y=x+1的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段B1C1上的动点，则异面直线AE与直线D1C所成的角为90°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】由已知推导出CD1⊥平面AB1C1，从而AE⊥D1C，由此能求出异面直线AE与直线D1C所成的角的大小．【解答】解：在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段B1C1上的动点，∵CD1⊥B1C1，CD1⊥AB1，AB1∩B1C1=B1，∴CD1⊥平面AB1C1，∵AE⊂平面AB1C1，∴AE⊥D1C，∴异面直线AE与直线D1C所成的角为90°．故答案为：90°．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14．在△ABC中，若AB=3，∠ABC=75°，∠ACB=60°，则BC等于．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据三角形内角和求得∠BAC，进而根据正弦定理求得BC．【解答】解：根据三角形内角和定理知∠BAC=180°﹣75°﹣60°=45°．根据正弦定理得=，即=，∴BC===．故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生对基础知识的运用．15．把长为l的铁丝折成一个面积为8的直角三角形，当l取最小值时，直角三角形的斜边长为．【考点】基本不等式．【专题】方程思想；转化思想；不等式．【分析】设直角三角形的直角边分别为a，b，则斜边为，由题意可得：a+b+=l，S=ab=8，即ab=16．利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设直角三角形的直角边分别为a，b，则斜边为，由题意可得：a+b+=l，S=ab=8，即ab=16．∴l+=8+4，当且仅当a=b=4时取等号，则直角三角形的斜边长为=4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的性质、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共40分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．某校团委准备组织学生志愿者去野外植树，该校有高一、高二年级志愿者的人数分别为150人、100人，为偏于管理，团委决定从这两个年级中选5名志愿者作为临时干部．（Ⅰ）若用分层抽样法选取，则5位临时干部应分别从高一和高二年级中各选几人？（Ⅱ）若从选取的5为临时干部中，任选2人担任主要负责人，问此两人分别来自高一和高二年级的概率为多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）先求出每个个体被抽到的概率，再用各个年级的人数乘以此概率，即得分别从这两个年级选的人数．（Ⅱ）列举出所有的选法有10，选出的两人分别来自高一和高二年级的选法有6种，由此求得概率．【解答】解：（Ⅰ）由题知，从高一年级选取的人数为×150=3人，从高一年级选取的人数为×100=2人，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设高一选取的3人为A1、A2、A3，高二选取2的B1、B2，这5人中抽出2人的基本事件有（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，A3）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B1）、（A3，B2）、（B1，B2）共10种，此两人分别来自高一和高二年级的事件共有6种，故其概率P==【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，以及，求等可能事件的概率的方法，属于中档题．17．已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（I）由a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列，可得=2a1•（a1+a4），即=2a1（2a1+6），解得a1即可得出．（II）b n=a n+2n﹣1=（2n﹣1）+2n﹣1．再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵等差数列{a n}的公差为2，∴a2=a1+2，a4=a1+6，∵a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列，∴=2a1•（a1+a4），即=2a1（2a1+6），解得a1=1．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）b n=a n+2n﹣1=（2n﹣1）+2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和S n=+=n2+2n﹣1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图，AE⊥正方形BCDE所在的平面，点F，G分别是AB和AC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面ADE；（Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面ACE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）由中位线定理和平行公理可知FG∥DE，故FG∥平面ADE；（II）由AE⊥平面BCDE可知AE⊥BD，由正方形性质得EC⊥BD，故而BD⊥平面ACE，从而平面ABD⊥平面ACE．【解答】证明：（I）∵点F，G分别是AB和AC的中点，∴FG∥BC，又BC∥DE，∴FG∥DE，∵FG⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴FG∥平面ADE．（II）∵AE⊥平面BCDE，BD⊂平面BCDE，∴AE⊥BD，∵四边形BCDE是正方形，∴EC⊥BD，又AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，AE∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACE．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．19．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ）若0＜x1＜x2＜1，试比较与的大小．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由﹣x2+2x≥0即可求出函数定义域，根据二次函数的性质即可求出值域，（Ⅱ）判断函数=在区间（0，1）上是减函数，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）由﹣x2+2x≥0得0≤x≤2，∴函数f（x）的定义域为[0，2]，∵0≤﹣x2+2x≤1，∴函数f（x）的值域为[0，1]，（Ⅱ）当x＞0时，==在区间（0，1）上是减函数，∴0＜x1＜x2＜1时，＞．【点评】本题考查了函数的定义域值域的求法，以及函数的单调性的应用，属于基础题．20．已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）根据已知设出圆的标准方程，将点A，B的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆C的方程．（Ⅱ）根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=2x上，故可设圆心C（a，2a），半径为r．则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．∵圆C经过A（3，2）、B（1，6），∴．解得a=2，r=．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r=．直线l经过点P（﹣1，3），①若直线斜率不存在，则直线l：x=﹣1．圆心C（2，4）到直线l的距离为d=3＜r=，故直线与圆相交，不符合题意．②若直线斜率存在，设斜率为k，则直线l：y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0．圆心C（2，4）到直线l的距离为d==．∵直线与圆相切，∴d=r，即=．∴（3k﹣1）2=5+5k2，解得k=2或k=．∴直线l的方程为2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0．【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的综合应用，属于中档题．。

湖南省郴州市湘南中学2020-2021学年高一数学上学期入学考试试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共100分,考试时间120分钟。

分卷I一、选择题（共10小题,每小题4。

0分，共40分） 1。

集合A ＝{x ∈Z |－2〈x <3}的元素个数为( ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 2。

若集合{}*,70x A N x x ∈<<=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=A y N y 6y B *，，则B 中元素个数为( ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 3。

已知集合A ＝{1，2,3｝,B ＝｛x ｜(x ＋1)(x －2)＝0，x ∈Z },则A ∩B 等于( ）A ． ｛1}B ． ｛2｝C ． ｛－1，2}D ． {1,2，3｝4.若A ＝，下列关系错误的是( )A ． ∅⊆∅B ．A ⊆AC ． ∅⊆AD ．∅∈A5.已知二次函数图象的顶点坐标为(1,1）,且过(2,2)点，则该二次函数的解析式为()A．y＝x2－1 B．y＝－(x－1)2＋1 C．y＝(x－1）2＋1 D．y＝(x－1)2－16。

设集合A＝｛－1,0，1}，B＝{x∈R|x>0}，则A∩B等于（）A． {－1，0} B．｛－1｝ C． {0,1} D． {1}7。

已知集合A＝{x｜x>2｝，B＝｛x|1<x〈3｝，则A∩B等于（）A．{x｜x>2｝B．｛x|x〉1} C．{x|2<x〈3} D．｛x｜1〈x〈3｝8.设集合M＝｛x｜x2－3x－4〈0}，N＝｛x｜0≤x≤5}，则M∩N等于()A．（0,4］B．［0，4) C．[－1,0) D．（－1，0]9。

下列命题是真命题的是（）A．∀x∈R,（x－）2＞0 B．∀x∈Q，x2＞0C．∃x0∈Z,3x0＝812 D．∃x0∈R，3－4＝6x010。

下列命题中真命题有（）①p：∀x∈R，x2－x＋≥0；②q:所有的正方形都是矩形；③r:∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；④s:至少有一个实数x，使x2＋1＝0.A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个分卷II二、填空题(共5小题,每小题4。

湖南省郴州市湘南中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题时量：120分钟 满 分：150 分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，1．以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程210x -=的实数解D. 周长为10cm 的三角形 2．设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B ⋂=（ ） A ．∅ B ．{2} C ．{2,2}- D ． {2,1,2,3}-3．下列各个对应中，构成映射的是( )4．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.5．下列表述正确的是（ ） A.}0{=∅ B. }0{⊆∅ C. }0{⊇∅ D. }0{∈∅ 6、已知函数2)(x x f -=，则 （ ）A.)(x f 在)0,(-∞上是减函数 B.)(x f 是减函数 C.)(x f 是增函数 D.)(x f 在)0,(-∞上是增函数7、下列函数中，是偶函数的是（ ）A. 2y x =B.(1)y x =-︒C. yD. y =8、下列四组函数中()f x 与()g x 是同一函数的是（ ）A. 2(),()x f x x g x x ==B. 121()(),()2xf xg x x ==C. 2()2,()f x lgx g x lgx ==D. (0)(),()(0)x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩9、幂函数y x ∂=必过定点（ ）A.（0，0）B.（1，1）C.（0，1）D.（1，0） 10、()2f x lnx x =+-的零点所在区间（ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）二、填空题(本题5小题，每小题5分,共25分)11、若集合{}{},8,7,5,3,8,6,5,4==B A 则=B A ；12、函数()1f x x =-的定义域是 ；13、当x =时，23x x -+____________；14．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且(1)(1)4,(1)(1)2f g f g -+=+-=，则(1)g =_________.15、函数y ＝x 2＋2x ＋3(x ≥0)的值域为 ；三、解答题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)已知集合{|13}A x x =-<≤，{|16}B x x =≤<，求()R C A B 、()R A C B .17.（本题满分12分)（1）计算：;)6427()5(lg )972(3121-++（2）解方程：3)96(log 3=-x18.（本题满分12分)集合{|26}A x x =-<<，{|127}B x m x m =-≤≤+，若A B A = ，求实数m 的取值范围.19.(本题满分13分)若对于一切实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+：（1）求(0)f ，并证明()f x 为奇函数； （2）若(1)3f =，求(5)f -.20.(本题满分13分)已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当xx f x )21()(,0=≥， （1）画出函数)(x f 的图像；（2）根据图像写出)(x f 的单调区间，并写出函数的值域。

湘南中学2016年下期高一期中考试数学试卷一. 选择题(每小题4分,共40分)1. 已知集合{1,2,3,4,5}=A ，{2,5,7,9}=B ，则AB 等于（ ）A.{1,2,3,4,5}B.{2,5,7,9}C.{2,5}D.{1,2,3,4,5,7,9}2. 函数)2)(1()(+-=x x x f 的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 33. 若函数()=f x (6)f 等于（ ）A ．3B ．6 C. 9 4. 下列四组函数中，表示同一个函数的是( )A.y x =与y =2x y x y x==与 C.24lg 2lg y x y x ==与 D.||y x =与y =5. 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上是减函数，则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 7. 函数01()()2f x x =-( ) A.1(2,)2- B.（－2，+∞） C.11(2,)(,)22-⋃+∞ D.1(,)2+∞ 8. 已知函数() (01)x f x a a a =>≠且，f(1)=2，则函数f(x)的解析式是（ ） A . f(x)=4x； B. f(x)= 1()4x C. f(x)=2x； D. f(x)=1()2x9. 三个数0.73a =、30.7b =、3log 0.7c =的大小顺序为( )A.b c a <<B.b a c <<C. c a b <<D.c b a <<10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的函数，且对任意的1x 、2x 满足0)()(2121>--x x x f x f ，则不等式)5()2(2-->-m m f m f 的解集为( )A ．()3,1-B ．()()+∞-∞-,31,UC ．()+∞,2D ．()+∞,3 二. 填空题(每小题4分,共20分)11. 计算：22log 1log 4+=______________. 12.函数1()f x x=在区间[]3,5上值域为___________． 13. 已知1)(2++=ax x x f 是偶函数，则实数a =_____________．14. 函数f (x )=x 2+2(a －1)x +2在区间(-∞,4］上递减,则a 的取值范围是15. 已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x);当x<0时，f(x) = . 三. 解答题(共40分)16.(本小题6分) 已知集合A={x|x≤﹣2或x≥2}，B={x|﹣1＜x≤6}，全集U=R ． （1）求A∩B；（2）求（∁U A ）∪B．17. (本小题8分) 已知函数()1(0)f x x x x=+≠ （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）求证函数在∞（1，）上单调递增。

湘南中学2017年高一入学考试数学试题卷时量：120分钟 满分：130分一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．12016的倒数是（ ） A ．20161 B ．2016 C .﹣ 20161 D ．﹣2016 2．计算（﹣3）2的结果是（ ）A ． ﹣6B ． 6C ． ﹣9D ． 93．下列计算正确的是（ ）A ．a 2+a 2 =a 4B ．(a 2 )3 =a 5C ．2a ﹣a=2D ．(ab)2 =a 2b 24．下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（ ）A. B ． C ． D ．5．以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．等腰三角形B ．平行四边形C ． 矩形D ． 等腰梯形6. 当b ＜0时，一次函数y=x+b 的图象大致是（ ）A. B. C. D.7．在郴州市中小学“创园林城市，创卫生城市，创文明城市”演讲比赛中，5位评委给靓靓同学的评分如下：9.0，9.2，9.2，9.1，9.5，则这5个数据的平均数和众数分别是（ ）A ．9.1，9.2B ．9.2，9.2C ．9.2，9.3D ．9.3，9.2 8．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，将△ABD 沿对角线BD 对折，得到△EBD，DE 与BC 交于点F ，∠ADB=30°，则EF=（ ）A ．B ． 2C ． 3D ． 3二、填空题。

（共8小题，每小题2分，满分16分）9．2016年5月23日，为期5天的第四届中国（湖南）国际矿物宝石博览会在郴州圆满落下帷幕，参观人数约32万人次，交易总额达17.6亿元人民币，320000用科学记数法表示为 。

10．若点()11P m -，和点()22P n -，都在反比例函数()0k y k x=>的图象上，则m ______n （填“>”、“<” 或“=”号）11． 分解因式：2x 2－2= 。

12．函数y =x 的取值范围 。

湖南省郴州市湘南中学2018-2019学年高一数学上学期入学（10月）测试试题（扫描版）湘南中学2018年高一入学考试数学试题参考答案一、1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.D 8.A二、9. x>2 10.2 11.2112.12π13.-2 14.]1,(-∞ 15.1->a 16.),5()0,5(+∞⋃-三、17.解：∵解不等式①得：x≤，解不等式②得：x ＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x ，在数轴上表示不等式组的解集为：18.省略19.省略20.省略21.解：（1）根据题意得：y=（200+20x ）×（6﹣x ）=﹣20x 2﹣80x+1200．（2）令y=﹣20x 2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x 2﹣80x+1200，即x 2+4x ﹣12=0，解得：x=﹣6（舍去），或x=2．答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．22.省略23.解：（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD ，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA ，∴OA=OB ，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，∴AE=2AM=4．24. 解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得，∴抛物线的表达式为y= x2﹣x+4；（2）如图1，连结AB、OC，∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），∴OA=4，OB=4，CB==2，CA==2，∴OA=OB，CA=CB，∴OC垂直平分AB，即四边形AOBC的两条对角线互相垂直；（3）能．如图2，AB==4，OC==6，设D（t，0），∵四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG，∵OC垂直平分AB，∴△OBC与△OAC关于OC对称，∴EF和DG为对应线段，∴四边形DEFG为矩形，DG∥OC，∴DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴=，即=，解得DE=t，∵DG∥OC，∴△ADG∽△AOC，∴=，即=，解得DG=（4﹣t），∴矩形DEFG的面积=DE•DG=t•（4﹣t）=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12，当t=2时，平行四边形DEFG的面积最大，最大值为12，此时D点坐标为（2，0）．25. （1）解：，，减；（2）证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0f（x1）﹣f（x2）= ﹣= = ，∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0∴x2﹣x1＞0，x2+x1＞0，x12•x22＞0，∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2）∴函数f（x）=（x＞0）是减函数．26. 解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2cm，∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s，综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．。