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r ． O
L=
S=
3.扇形的面积公式
nπr 180
nπr2
360
或
S=
1
2
lr
4.圆柱的展开图: A h
D
B
r
C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
5.圆锥的展开图:
a h r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2 底面 a 侧面
常见的基本图形及结论: 1.如图,在以O为圆心的 两个同心圆中,大圆的弦 AB交小圆于C、D,则: B D AC=BD 若大圆的弦切小圆于C,则 AC=BC
．A
∵PA、PB为⊙O的切线 ∴PA=PB, P ∠APO= ∠BPO
． O
．
B
三角形的外接圆与内切圆:
A．
B． O A
．
． C
． O
B C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
不在同一直线上的三点确定一个圆.
特别的: 等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2. A
a 2
⑴d + h = r
⑵ r
2
d O
d
2
(
a 2
)
2
4.圆周角:
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的 角，叫做圆周角. 性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角的一半.
A C O
∠BAC= 1 ∠BOC
2
B
圆周角的性质(2)
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
．
C
．
A ．
点与圆的位置关 系
d与r的关系
． B
点在圆内 点在圆上 点在圆外
d＜r d＝r d＞r
2.直线和圆的位置关系:
．
O
．
O l
．
O l
l (1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做 直线与这个圆相离. (2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫 做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫 做直线与这个圆相交.
．
2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系 : (1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所
对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相 等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相 等,所对的圆心角相等.
D ∵ ∠COD =∠AOB O
∴
B
︵ =︵ AB CD
D E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB C 是同弧所对的圆周角
O A B
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径. ∵AB是⊙O的直径
C
∴ ∠ACB=900
B
A
O
三.与圆有关的位置关系: 1.点和圆的位置关系 (1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外 如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
第24章圆知识体系复习
本章知识结构图
圆的基本性质
圆的对称性
弧、弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系 三角形的外接圆 切线
与圆有关的位置关系
直线和圆的位置关系
三角形内切圆
圆
正多边形和圆
圆和圆的位置关系
等分圆
弧长 有关圆的计算 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积
本 第1部分 圆的基本性质 章 第2部分 与圆有关的位置关系 安 排 第3部分 正多边形和圆 复 第4部分 弧长和面积的计算 习 内 第5部分 有关作图 容
C ∴AB=CD
A
3.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且 平分弦所对的两条弧.
C
．
A P D
∵CD是圆O的直径 ,CD⊥AB ∴AP=BP, AD = BD B AC = BC
︵ ︵
︵ ︵
垂径定理的 应用
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离 d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要 已知其中任意两个量，就可以求出另外两 个量，如图有： h
B
O ． A
C
E
O
A
．
C
∟
∟
两圆之间的环形面积 S=
1 4
πAB2
2.如图,以等腰△ABC的腰AB为直径作 ⊙O交底边BC于点D,则:
A
点D是BC的中点.
O C
B
D
3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B, 过弧AB上任一点E作圆O的切线,交 PA,PB于点C,D,则: A C E P O D
．
C D A
O1
E O F
B
(1)说明D是AC的中点. (2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
2.如图,正方形ABCD的边长为2,P是线段 BC上的一个动点.以AB为直径作圆O,过点 P作圆O的切CDFP的周长. P (2)设BP=x,AF=y,求y关 Q 于x的函数解析式. B
．
O A l
∟
∵OA是半径,OA⊥ l ∴直线l是⊙O的切线.
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径.
(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.
(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
． O ．
A
∟
∵直线l是⊙O的切线,切 点为A
l
∴ OA⊥ l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等；这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
A
O
B C
G D
2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这 E 个正多边形的半径． 3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆 的圆心角叫做这个正多边形的中心角． 4.边心距：中心到正多边形一边的距离 叫做这个正多边形的边心距．
四.圆中的有关计算:
1.圆的周长和面积公式
周长C=2πr
2.弧长的计算公式
面积s=πr2
． ． ．
B (1) △PCD的周长=2PA (2) ∠COD=
0- 1 ∠APB 90
2
A
． D
B
F ． ．
4.如图, △ABC各边分别 切圆O于点D、E、F. (1) ∠DEF= 900- ∠A C (2) ∠BOC= 900+ ∠A
2 2 1 1
O
．
E A
D． B
． F ．
O
(3) S △ABC=
一.圆的基本概念:
1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
． O
(3)弦心距
二. 圆的基本性质
1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
1 2
(a+b+c)r
E
．
C
A
5.在Rt △ABC中, ∠ACB是直角,三边分 别是a、b、c,内切圆半径是r,则:
a+b-c 内切圆半径r= 2 ． F ab 或r= D． a+b+c O ． C B E
．
6.如图,AB是圆O的直径,AD,BC,DC均 为切线,则:
A D
(1)DC=AD+BC
．
O
直线与圆位置关系的识别:
r
．
O d
∟
r
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则 :(1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
∟
∟
O d
．
r
dO
．
l
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半 径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条 半径的直线是圆的切线。
O
B
D
C
圆与圆的位置关系:
. .
外离
外切
.
.
.
相交
内切
内含
． O
1
． O
2
． O
1
． O
2
．． O
1
O2
． ． O
O2
1
． ． O
2 O1
两圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
数量关系及识别方法 d＞R+r d=R+r R-r＜d＜R+r d=R-r d＜R-r
三.正多边形:
１.中心：一个正多边形外接圆的圆心 F 叫做这个正多边形的中心．
E
(2) ∠DOC=900
O
C B
专题一：与圆有关的辅助线的作法：
辅助线， 莫乱添， 规律方法记心间； 圆半径， 不起眼， 角的计算常要连， 构成等腰解疑难；
弦与弦心距， 亲密紧相连； 切点和圆心， 连结要领先； 遇到直径想直角， 灵活应用才方便。
典型例题:
1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
