2020届高三理科数学小题狂练10：直线与圆(附解析)

第三讲 直线与圆的综合运用(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r 相交；d ＝r 相切；d >r 相离. (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.考向一 直线与圆的位置关系【例1】（1）4．圆 与直线 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离（2）在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是________．（3）若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】（1）B （2）相切 （3）[0,10]【解析】（1）由题意知圆心 到直线 的距离 且 ，所以直线与圆相交但不过圆心．（2） 因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，所以由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝0. 故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切．（3）圆的方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1， 所以圆心为(－1,2)，半径r ＝1，圆心到直线3x ＋4y －m ＝0的距离d ＝|－3＋8－m |9＋16＝|5－m |5，∵直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，∴0≤|5－m |5≤1，解得0≤m ≤10，∴实数m 的取值范围是[0,10]．【举一反三】1．若直线与圆 -相切，则a=______．【答案】【解析】由题意，直线与圆相切，所以d，解得．故答案为：．2．若曲线与直线始终有公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵y表示 在x轴上方的部分（包括x轴上的点），作出函数y与y＝x+b图象，由图可知：当直线与圆相切时， ，即得 ,结合图像可知 ，又当直线过（1，0）时，b=-1，若曲线与直线始终有公共点，则﹣1.故选：A．3．已知圆过点，圆心为．（1）求圆 的标准方程；（2）如果过点 且斜率为 的直线 与圆 没有公共点，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）∞【解析】（1）由已知可得圆的半径为 ． ∴圆 的标准方程 ；（2）由题意可知，直线方程为 ，即 ．由 ，解得．∴实数 的取值范围是∞ ．考向二 直线与圆的弦长【例2】（1）直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________． （2）已知直线 与圆 交于 两点（ 为坐标原点），且 ，则 。

10 直线和圆1.（2020•北京卷）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A . 4 B . 5C . 6D . 7【答案】A【解析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.2.（2020•全国1卷）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A. 210x y --= B. 210x y +-= C. 210x y -+= D. 210x y ++=【答案】D【解析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l 的距离为2221125221d ⨯++==>+，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而24PA MP =-，当直线MP l ⊥时，min 5MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D .【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．3.（2020•全国2卷）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ） A.55B.255C.355D.455【答案】B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==；所以，圆心到直线230x y --=的距离为255. 故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4.（2020•江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)2P ，，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________． 【答案】105【解析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形P AB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则231||=236,||144AB d PC -=+= 所以2221236(1)(36)(1)2PABSd d d d ≤⋅-+=-+ 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为105， 故答案为：105【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 5.（2020•天津卷）已知直线380x y -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．【答案】5【解析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式22||2AB r d =-，即可求得r ． 【详解】因为圆心()0,0到直线380x y -+=的距离8413d ==+， 由22||2AB r d =-可得22624r =-，解得=5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 6.（2020•浙江卷）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |＝2，且P 为函数y ＝234x -图像上的点，则|OP |＝（ ） A .222B .4105C .7D .10【答案】D【解析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数234y x =-的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-的图象上，所以，由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+=．故选：D . 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7.（2020•浙江卷）设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b ＝______． 【答案】 (1).33 (2). 233-【解析】由直线与圆12,C C 相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，即22||11b k =+，22|4|11k b k +=+，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得323,33k b ==-.故答案为：323;33-【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.。

直线与圆练习及答案一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知(1,2),(4,3)M N 直线l 过点(2,1)P -且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A. (,3][2,)-∞-+∞B. 11[,]22-C ．[3,2]- D. 11(,][,)32-∞+∞ 2．过点(1,2)P ，且与原点距离最大的直线方程是（ ）A. 250x y +-=B.240x y +-=C ．370x y +-= D. 350x y +-=3．过圆2240x y x my +-+=上一点(1,1)P 的圆的切线方程为（ ）A. 230x y +-=B.210x y --= C ．210x y --= D. 210x y -+= 4．已知两点(0,0),(2,2)A B 到直线l 的距离分别为1和2，这样的直线l 条数为（ ）A. 1条B. 2条 C ．3条 D. 4条5．若直线20ax by -+=(0,0)a b >>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）A. 32+B. C ． 14 D. 32+6．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为,a b ，且直线80ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于,B C 两点，且120BAC ∠=，则圆C 的方程为（ ）A. 22(1)(1)1x y -++=B. 22(1)(1)2x y -++=C ． 2218(1)(1)17x y -++= D.2212(1)(1)15x y -++=7．在区间[3,3]-中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆22(2)1x y -+=相交”发生的概率为（ ）A. C 8．已知圆221:(1)(1)1C x y -++=，圆222:(4)(5)9C x y -+-=，点,M N 分别是圆1C ，圆2C 上的动点， P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）A. 7B. 4 C ． 9 D. 29．已知点(,)M a b 在直线430x y c -+=上，若22(1)(1)a b -+-的最小值为4，则实数c 的值为（ ）A. 21-或19B. 11-或9 C ．21-或9 D. 11-或19 10．已知点,,A B C 在圆224x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为(3,4)，则||PA PB PC ++的取值范围为（ ）A. [10,15]B.[12,17]C ．[13,17] D.[15,17]11．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ， |34||349|x y a x y -++--的取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（ ） A. 4a ≤- B.46a -≤≤ C ． 4a ≤或6a ≥ D.6a ≥12．设集合2222436{(,)|(3)(4)},{(,)|(3)(4)},55A x y x yB x y x y =-+-==-+-={(,)|2|3||4|}C x y x y λ=-+-=，若()A B C φ≠，则实数λ的取值范围是（ ）A.65[,6]B.C. [4,6]D. 65{2}[,6]二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 武当山上有个练轻功的场地，场中有两根树桩垂直竖在水平地面上，两根树桩的高度分别为10米和15米且相距20米，高手可以在树桩飞上飞下飞来飞去。

专题10 直线和圆问题考情分析真题再现1.（2018·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点若，则点A的横坐标为______．【答案】3【解析】解：设，，，，，，，则圆C的方程为．联立，解得，．，，．解得：或．又，．即A的横坐标为3．故答案为：3．2.（2017·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，，，，，点P在圆O：上若，则点P的横坐标的取值范围是______．【答案】，【解析】解：根据题意，设，，则有，， ， ，化为： ，即 ，表示直线 以及直线下左上方的区域，联立，解可得 或 ， 结合图形分析可得：点P 的横坐标 的取值范围是 ， ，故答案为： ， ．核心要点1． 直线与圆的位置关系：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心到直线l 的距离d ＝||Aa ＋Bb ＋C A 2＋B 2．若l 与圆C 相离⇔d >r ；l 与圆C 相切⇔d ＝r ；l 与圆C 相交⇔d <r .若通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两解，即Δ>0，则相交；若有一解，即Δ＝0，则相切；若无解，即Δ<0，则相离．2．圆的弦和切线：圆的半径为r ，直线l 与圆相交于A 、B ，圆心到l 的距离为d ，则|AB |＝2r 2－d 2．过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．3．坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．拔高训练1. （2019·南通模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 ， ，点 ， ，P 为圆 上一动点，则的最大值是______．【答案】2【解析】解：设，，，即，则，圆两边乘以，两圆方程相减可得，点，到直线的距离，，，的最大值是2，故答案为2．2.（2019·苏州模拟）在平面直角坐标系xOy中，过点，的直线l与圆交于A，B两点，其中A点在第一象限，且，则直线l的方程为_____________．【答案】【解析】解：由题意，设直线与圆联立，可得，设，，，，则，，因为A在第一象限，联立解得，直线l的方程为，故答案为：．3.（2019·南京模拟）已知，，若直线与圆相切，则的取值范围是______．【答案】，【解析】解：由圆的方程，得到圆心坐标为，，半径，直线与圆相切，圆心到直线的距离，整理得：，设，则有，即，解得：，则的取值范围为，．故答案为，．4.（2019·宿迁模拟）若过点，的直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为_____【答案】4【解析】解：圆的圆心为，，半径，点，与圆心，间的距离，的最小值．故答案为4．5.（2019·淮安模拟）已知直线l：，圆C：，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数______．【答案】【解析】解：由C：得，圆心坐标是，，半径是，直线l：过定点，，且在圆内，当时，直线l被圆截得的弦长最短，，．故答案为．6.（2019·徐州模拟）在平面直角坐标系xOy中，圆O：，圆M：为实数若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得，则a的取值范围为______．【答案】，【解析】解：过Q作圆O的切线QR，切点为R根据圆的切线性质，有；反过来，如果，则不存在圆上的点P，使得，所以，若圆O上存在点P，使得，则，因为，所以时不成立，所以，即点Q在圆面上，又因为点Q在圆M上，所以圆M：与圆面有公共点，所以，即，解得．故答案为，．7.（2019·常州模拟）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是______．【答案】，【解析】解：如图所示：曲线，即，，表示以，为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线的距离等于半径2，可得，，或．结合图象可得，故答案为，．8.（2019·镇江模拟）已知圆C：，直线l：与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若，则实数k的取值范围是______．【答案】，【解析】解：圆C：，直线l：与x轴交于点，，设，，由，可得，即，即满足的点P的轨迹是一个圆，所以问题可转化为直线l与圆有公共点，所以，，解得，实数k的取值范围是，故答案为：，9.（2019·无锡校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，：，动点P在直线上，过P分别作圆O，的切线，且点分别为A，B，若满足的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意，，，设，，则，，，圆心坐标为，，半径为，动点P在直线上，满足的点P有且只有两个，直线与圆相交，圆心到直线的距离，故答案为：．10.（2019·连云港模拟）设直线l：，圆C：，若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得，则r的取值范围是______．【答案】，【解析】解：圆C：，圆心为：，，半径为r，在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得，在直线l上存在一点M，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90，只需时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于即可到直线l：的距离2，则．故答案为：，．11.（2019·南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，，若圆C：上存在点P，使得，则实数m的取值范围是______．【答案】，【解析】解：设的外接圆为圆M，由于，由正弦定理可知，圆M的半径r满足，所以，圆M的半径长为，易知，且圆心M在线段AB的垂直平分线上，可求得点M的坐标为，或，，由于点P在圆C上，也在圆C上，则圆C与圆P有公共点．若M的坐标为，，则圆M的方程为，此时，由于圆M与圆C有公共点，则，即，化简得，解得；若点M的坐标为，，则圆M的方程为，此时，由于圆M与圆C有公共点，则，即，化简得，解得．综上所述，实数m的取值范围是，，故答案为，．12.（2019·江阴模拟）已知圆C：和点，，过点，作直线l交圆于A，B两点，则的取值范围是______．【答案】，【解析】解：设，，，，则，，设直线l的方程为，代入圆可得，恒成立，即有，，则，由，可得，时，；时，，即为，解得，则的取值范围是，．故答案为：，．13.（2019·常州模拟）设，，点，过点P引圆的两条切线PA，PB，若的最大值为，则r的值为______．【答案】1【解析】解：根据题意，设直线l为，圆的圆心为M，则，，为直线的上方以及直线部分，过点P引圆的两条切线PA，PB，若的最大值为，必有MP的距离最小，此时P在直线上且MP与直线l垂直，此时，，则有，即r的值为1；故答案为：1．14.（2019·南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，圆M：与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点若D为线段AC的中点，则直线l的方程为______．【答案】【解析】解：根据题意，圆M：中，令，即，解可得或，又由A在B的右侧，则，，，，以AB为直径的圆记为圆N，则圆N的方程为，即，直线l过点A，则直线l的方程为，设，，又由若D为线段AC的中点，则D的坐标为，，连接BC、BD，而D为线段AC的中点，则，则有，解可得，，又由直线l过点A，则，则直线l的方程为：，即．故答案为．15.（2019·苏州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，，从直线AB上一点P向圆引两条切线PC，PD，切点分别为C，设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为______．【答案】【解析】解：如图，直线AB的方程为，设，，则，以OP为直径的圆的方程为，联立，可得CD所在直线方程为：，线段CD的中点为M，则直线OM：，联立消去，，可得M的轨迹方程为，圆心坐标为，，半径，又，，．故答案为：．16.（2019·无锡模拟）已知直线l：与圆C：无公共点，AB为圆C的直径，若在直线l上存在点P使得，则直线l的斜率k的取值范围是______．【答案】，，【解析】解：直线l：与圆C：无公共点，可得，解得，设，，由题意可得，两边平方可得，即为，化为，即有P在直线l上，又在圆上，可得，解得或，综上可得，，故答案为：，，17.（2019·南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆：与，为圆心的圆相交于，，，两点，且满足，则实数m的值为______．【答案】【解析】解：设以，为圆心的圆的方程为，即，两圆相交于，，，两点，，，，两点的坐标满足两圆的方程，即，，，得，，则，即又，，得，，则，，即，得，故答案为：18.（2019·泰州模拟）已知圆C的圆心时直线与x轴的交点，且圆C与圆相外切，若过点，的直线l与圆C交于A，B两点，当最小时，直线l的方程为______．【答案】【解析】解：圆C的圆心是直线与x轴的交点，则：圆心，设圆C的半径为r．由于：圆C与圆相外切，则：，解得：．故圆C的方程为：，若过点，的直线l与圆C交于两点，则点P在圆的内部，当过P的直线与圆的直径垂直时，最小，所以：直线A和B的交点的直线方程为：，整理得：．故答案为：．19.（2019·扬州模拟）已知点，，，，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：设，，则，，，即，则问题转化为圆与圆有交点，则，解得：．故答案为．20.（2019·连云港模拟）在平面直角坐标系xOy中，圆O：，圆C：若存在过点，的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围______．【答案】【解析】解：显然直线l有斜率，设直线l：，即，依题意得有解，即，解得，代入得且解得，故答案为：．。

直线与圆、圆与圆一、学习目标1. 掌握直线与圆、圆与圆的位置关系及判定；2. 能解决与圆有关的综合问题． 二、基础自测1. 已知直线l 过点(1,2)P 且与圆22:2C x y +=相交于,A B 两点，ABC ∆的面积为1，则直线l 的方程为 .10x -=或3450x y -+=2. 过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A ,B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为 .2450x y +-=3. 已知直线:60l x -+=与圆2212x y +=交于A ,B 两点，过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则CD = .44. 已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为 .3-+三、典例分析题型一：与圆有关的求值问题1. 方程10)x y -≥表示的曲线长度为 .2. 已知圆22410x y x +--=与圆22240x y x y +--=相交于M N ，两点，则公共弦MN 的长为 ．3. 在平面直角坐标系xOy 60y +-=与圆22((1)2x y +-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ．60o4. 已知点P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C ：2220x y y +-= 的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ．2题型二：与圆有关的求范围问题1. 已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，点(4,0)A ，若直线1y kx =+上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，则实数k 的取值范围是__________．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2. 已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围为 ．[7,13]3. 从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为 ．224+4. 设直线l ：340x y a ++=，圆C ：()2222x y -+=，若在圆C 上存在两点P ， Q ，在直线l 上存在一点M ，使得PM PQ ⊥，则实数a 的取值范围是_________．164a -≤≤变式：1. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .[]1,52. 在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ．[6262]-+，3. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C :224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ,N 两点,点P 为圆C 上任意一点,则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为______. 442+4. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ．[21,21]-+题型三：与圆有关的综合问题1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【解】（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线l 的斜率为2011(1)-=--，设直线l 的方程为0x y m -+=， ……………………………………………2分则圆心C 到直线l的距离为d ==4分因为MN AB =而222()2MN CM d =+，所以2(2)422m +=+， ……………………………6分 解得0m =或4m =-，故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=．…………………………………8分 （2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， ………………………………10分因为|22|22-+，……………………………………12分 所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为2．…………………………………………………………14分 2. 已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r，其中O 为坐标原点，求MN .【解】（1）由l 与圆交于,M N 两点，所以直线的斜率必存在. 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+.由圆C 的方程，可得圆心为()2,3C ，则(),1d C l <1<，解得4433k <<. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,OM x y =u u u u r ，()22,ON x y =u u u r，121212OM ON x x y y =+=u u u u r u u u r g g g .把直线1y kx =+代入到()()22231x y -+-=中， 得()()2214470k x k x +-++=. 由根与系数的关系，得12271x x k =+，122441kx x k ++=+.则()()21212121224117111k k x x y y x x kx k kx k k++⋅+⋅=⋅+--==+，解得1k =. 所以直线l 的方程为1y x =+.又圆心()2,3C 到直线l 的距离(),0d C l ==，即直线l 过圆心C .所以2MN =.3. 平面直角坐标系xOy 中，直线10x y -+=截以原点O（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程； （3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP ，NP 分别交于x 轴于点(,0)m 和(,0)n ，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解】（1）因为O 点到直线10x y -+=， ………………………2分所以圆O= 故圆O 的方程为222x y +=． ………………4分 （2）设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，即0bx ay ab +-=， 由直线l 与圆O=221112a b +=， ……………6分 2222222112()()8DE a b a b a b=+=++≥， 当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20x y +-=．………10分 （3）设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=，直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，122121x y x y m y y -=-， 直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，122121x y x y n y y +=+， …………………14分 222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--g ，故mn 为定值2． …………………16分4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过(0,2)A ，(0,0)O ，(,0)(0)D t t >三点，M 是线段AD 上的动点，12,l l 是过点(1,0)B 且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点． （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，求EPQ ∆的面积的最小值． 【解】（1）由题意可知，圆C 的直径为A D ，所以，圆C 方程为：22(3)(1)10x y -+-=．设2l 方程为：(1)yk x =-，则222(21)3101k k-+=+，解得 10k =，243k =，当0k=时，直线1l 与y 轴无交点，不合，舍去．所以，43k =此时直线2l 的方程为4340x y --=．（2）设(,)M x y ，由点M 在线段A D 上，得12x yt +=，即220x ty t +-=．由AM ≤2ＢM ，得224220()()339x y -++≥． 依题意知，线段A D 与圆224220()()339x y -++≥至多有一个公共点，88||3t -≥，解得1611t -≥或1611t +≥．因为t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，所以，t =4．所以，圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-= ①当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S =V ； ②当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：(1)y k x =-（0k ≠），则1l 的方程为：1(1)yx k =--，点1(0,)E k．所以，BE =又圆心Ｃ到2l，所以，PQ ==故12EPQS BE PQ =⋅===≥V四、自我检测1. 已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ，则0x 的取值范围为________.(1,0)(0,2)-U2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为.3. 已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则实数m 的最大值为 .4. 已知圆O 的方程是2220x y +-=，圆O '的方程是228100x y x +-+=，若由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 .5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22220x y x y ++-=，直线l ：(1)0m x y m +--=经过定点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若PA，则直线l斜率的取值范围是．⎡⎣6. 如图，已知圆O：x2+y2=1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M是劣弧AC（点A、C除外）上任一点．直线AM与BC交于点P，直线CM与x轴交于点N，设直线PM，PN的斜率分别为m，n．（1）当四边形ABCM的面积最大时，求直线AM的斜率；（2）求m-2n的值；（3）试探究直线PN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．。

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题01 直线与圆相结合问题【典例1】【天津市杨村第一中学2020届高三月考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M ，N 两点，直线1A M 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若1A MN ∆的外接圆在M 处的切线与椭圆交另一点于D ，且2F MD ∆的面积为127，求椭圆的方程. 【思路引导】（Ⅰ）先求出左顶点为1A ，右焦点为2F 的坐标，由题意求出M 的坐标，由斜率公式，根据直线1A M 的斜率为12，这样可以求出椭圆的离心率； （Ⅱ）由（Ⅰ）,可设出2222143x y c c +=，设1A MN ∆的外接圆的圆心坐标为(,0)T t ，由1||||TA TM =，得2229(2)()4t c t c c +=-+，求得8ct =-，求得切线方程，代入椭圆方程，求出MD ,利用点到直线距离和三角形面积公式，代入可求出，求出c 的值，求得椭圆方程.【详解】（Ⅰ）由题意可知：12(,0),(,0)A a F c -，设(,)M x y ，由题意可知：M 在第一象限，且22221x c x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，2,b M c a ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，2221()2b ac a c a a c a a c a --∴===++，2a c ∴=12c e a ∴==； （Ⅱ）由（Ⅰ）, 22222243b a c c c c =-=-=，，所以椭圆方程为：2212231,,,(2,0)432x y M c c A c c c ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，设1A MN ∆的外接圆的圆心坐标为(,0)T t ，由1||||TA TM =，得2229(2)()4t c t c c +=-+，求得8ct =-，34238TMck c c ∴==+，切线斜率为：34k =-，切线直线方程为33()24y c x c -=--，即3490x y c +-=代入椭圆方程中,得22718110x cx c -+=，2222184711160c c c ∆=-⨯⨯=>，1115,714D Dc c x y ==，5||7c MD ∴===， 2F 到直线MD 的距离|39|655c c c d -==，2F MD ∆的面积为1||2S MD d =⋅，所以有 212156372757c c c =⨯⨯=，24c ∴=，椭圆方程为：2211612x y +=. 【典例2】【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试】在平面直角坐标系xOy 中，过点(01)P ,且互相垂直的两条直线分别与圆O ：224x y +=交于点A ，B ，与圆M ：22(2)(1)1x y -+-=交于点C ，D ．（1）若AB =CD 的长； （2）若CD 中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围． 【思路引导】（1）先由AB 的长度求出圆心O 到直线AB 的距离，列方程求出直线AB 的斜率，从而得到直线CD 的斜率，写出直线CD 的方程，用垂径定理求CD 得长度；（2）△ABE 的面积1S AB PE 2=⋅，先考虑直线AB 、CD 平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出AB ，再在△PME 中用勾股定理求出PE ，将面积S表示成直线AB 斜率k 的函数式，再求其范围.解：（1）因为ABO 半径为2 所以点O 到直线AB 的距离为14显然AB 、CD 都不平行于坐标轴 可设AB ：y kx 1=+，即kx y 10-+= 则点O 到直线AB的距离1d 4==，解得k =因为AB ⊥CD ，所以1k CD k=- 所以CD ：1y x 1k=-+，即x ky k 0+-= 点M （2,1）到直线CD的距离1d 2=='所以CD ===（2）当AB ⊥x 轴，CD ∥x 轴时，此时AB=4，点E 与点M 重合，PM=2，所以△ABE 的面积S=4 当AB ∥x 轴，CD ⊥x 轴时，显然不存在，舍 当AB 与CD 都不平行于坐标轴时由（1）知AB ===因为d'1=≤，所以23k ≥因为点E 是CD 中点，所以ME ⊥CD ，所以PE ===所以△ABE的面积1S AB PE 2=⋅= 记21t 1k =+，则10t 4<≤则S 4⎫==⎪⎪⎣⎭综上所述：S 4⎤∈⎥⎣⎦【典例3】【广东省广州市普通高中毕业班2020届高三月考】在平面直角坐标系中，动点M 分别与两个定点()2,0A -，()2,0B 的连线的斜率之积为12-. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设过点()1,0-的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，判断直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 【思路引导】（1）根据直接法求轨迹方程，（2）先用坐标表示以线段PQ 为直径的圆方程，再根据圆心到直线52x =-距离与半径大小进行判断. 【详解】（1）设动点M 的坐标为(),x y ， 因为2MA yk x =+()2x ≠-，2MB y k x =-()2x ≠， 所以1222MA MBy y k k x x =⨯=-+-，整理得22142x y +=． 所以动点M 的轨迹C 的方程22142x y +=()20x y ≠±≠或．（2）过点()1,0-的直线为x 轴时，显然不合题意． 所以可设过点()1,0-的直线方程为1x my =-，设直线1x my =-与轨迹C 的交点坐标为P ()11,x y ，()22,Q x y ，由221,1,42x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222230m y my +--=．因为()()2221220m m ∆=-++>，由韦达定理得1y +2y =222m m +，1y 2y =232m -+． 注意到1x +2x =()122422m y y m -+-=+．所以PQ 的中点坐标为222,22m N m m -⎛⎫⎪++⎝⎭．因为12PQ y y =-== 点N 到直线52x =-的距离为()22252562222m d m m +=-=++．因为2d -()24222920120442PQ m m m ++=>+，即d >2PQ ，所以直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离．1.【江西省南昌市2020届高三检测】如图，已知圆1F 的方程为2249(1)8x y ++=，圆2F 的方程为221(1)8x y -+=，若动圆M 与圆1F 内切与圆2F 外切．()1求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；()2过直线2x =上的点Q 作圆22:2O x y +=的两条切线，设切点分别是,M N ，若直线MN 与轨迹C 交于,E F 两点，求EF 的最小值． 【思路引导】（Ⅰ）设动圆M 的半径为r ，由题动圆M 与圆1F 内切，与圆2F 外切，则12122MF MF F F +=>=，由此即可得到动圆圆心M 的轨迹是以12,F F为焦点，长轴长为的椭圆，进而得到动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线2x =上任意一点Q 的坐标是()2,t ，切点,M N 坐标分别是()33,x y ，()44,x y ；则经过M 点的切线斜方程是332x x y y +=，同理经过N 点的切线方程是442x x y y +=，又两条切线MQ ，NQ 相交于Q ()2,t .可得经过,M N 两点的直线l 的方程是22x ty +=，对t 分类讨论分别求出|EF 的值，即可得到EF 的最小值. 【详解】（Ⅰ）设动圆M 的半径为r ，∵动圆M 与圆1F 内切，与圆2F 外切，∴14MF r =-，且24MF r =+.于是，12122MF MF F F +=>=， 所以动圆圆心M 的轨迹是以12,F F为焦点，长轴长为.从而，1a c ==，所以1b =.故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设直线2x =上任意一点Q 的坐标是()2,t ，切点,M N 坐标分别是()33,x y ，()44,x y ；则经过M 点的切线斜率33x k y =-，方程是332x x y y +=， 经过N 点的切线方程是442x x y y +=，又两条切线MQ ，NQ 相交于Q ()2,t .则有33442222x ty x ty +=⎧⎨+=⎩，所以经过,M N 两点的直线l 的方程是22x ty +=，①当0t =时，有()1,1M ，()1,1N -，1,2E ⎛ ⎝⎭，1,2F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则EF = ②当0t ≠时，联立222212x ty x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222816820t x x t +-+-=； 设,E F 坐标分别为()55,x y ，()66,x y ，则5622562168828x x t t x x t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以)2248t EF t +===>+ 综上所述，当时，EF 有最小值2．2.【2020届陕西省西北工业大学附属中学高三月考】已知抛物线()21:20C x py p =>和圆()222:12C x y ++=，倾斜角为45°的直线1l 过抛物线1C 的焦点，且1l 与圆2C 相切． （1）求p 的值；（2）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+u u u u r u u u r u u u r．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．【思路引导】（1）设出直线1l 的方程为2py x =+，由直线和圆相切的条件：d r =，解得p ； （2）设出(,3)M m -，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；解：（1）依题意设直线1l 的方程为2py x =+， 由已知得：圆222:(1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -，半径r =因为直线1l 与圆2C 相切，所以圆心到直线1:2pl y x =+的距离d ==，=6p =或2p =-（舍去）．所以6p =；（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，所以212x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+． 令0x =，211111111266y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，所以11(,3)MA x m y =-+u u u r ，1(,3)MB m y =--+u u u r，∴()12,6MN MA MB x m =+=-u u u u r u u u r u u u r， ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-u u u ru u u u ru u u u r．设N 点坐标为(,)x y ，则3y =， 所以点N 在定直线3y =上． 3.【重庆市巴蜀中学2020届高三月考】已知圆C 过点()()3153A B ，，，，圆心在直线y x =上. （1）求圆C 的方程；（2）过圆O 1：22(1)1x y ++=上任一点P 作圆C 的两条切线，切点分别为Q ，T ，求四边形PQCT 面积的取值范围. 【思路引导】（1）根据条件设圆的方程为()222()x a y a r -+-=，由题意可解得3,2a r ==，于是可求得圆的方程．（2）根据几何知识可得22PQCT PQC S S PQ ==，故将所求范围的问题转化为求切线长的问题，然后根据切线长的求法可得结论．详解：（1）由题意设圆心为(),C a a ，半径为r ， 则圆的标准方程为()222()x a y a r -+-=．由题意得()()222222(3)1(5)3a b r a b r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得32a r =⎧⎨=⎩， 所以圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=． （2）由圆的切线的性质得122(2)22PQCT PQCS S PQ PQ==⨯⨯=而PQ =由几何知识可得1111CQ PC CQ -≤≤+， 又15CQ =， 所以46PC ≤≤，故PQ ≤≤所以PQCT S ≤≤即四边形PQCT 面积的取值范围为⎡⎣．。

高三数学《直线与圆》专题测试题含答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 过点(2，2)，且点(5，1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝03．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C.3D ．24．过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条5．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 6．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝07．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.438．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝59．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]10．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．26B ．4 C.6D ．211．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．已知两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。

12020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线h ： mx 8y n 0和l 2: 2x my 1 0 •试确定m 、n 的值，使: (1儿与J 相交于点P m, 1 ；⑵ l i // J ;(3)11丄12，且l 1在y 轴上的截距为一1. 【答案】 (1) m 1, n 7.(2)m 4 , n 2 :时或m 4, n2时，I 1 // l 2(3) m, n 8【解析】(1)由 题意得2m 8n 0” 口，解得 m 1, n 72m n 1 0⑵当 m0时，显 :然|. 1不平行于l 2 ；m 8 n e m m 8 2 0m 4 亠m 4当m 0时，由，得或2 m18 ( 1)nmn 2n 2即 m 4 , n2时或m4, n 2时，h // l 2.(3)当且仅当2m8m 0, 即m 0时，l 1丄l 2.又 n1 , • n 8.8即m 0, n 8时，11丄12，且11在y 轴上的截距为一1. 【易错点】忽略对m 0的情况的讨论【思维点拨】 遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或k 0时，并且对于直线平行和垂直时与A 1A 2和B ,B 2间的关系要熟练记忆。

例2如图，设一直线过点(—1,1)，它被两平行直线 直线13: x — y — 1 = 0上，求其方程.1仁x + 2y — 1= 0, I 2: x + 2y — 3= 0所截的线段的中点在2【答案】2x 7y 5 0.【解析】与|1、J 平行且距离相等的直线方程为 设所求直线方程为x 2y 2 xx 2y 20.0 .又直线过A 1,11 2 1 2 0.解 1 —.•••所求直线方程为2x 7y 50 .33【易错点】求错与11、|2平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到|1、J 平行且距离相等的直线方程， 再利用这条直线求出和第三条支线的 交点，从而求解本题 题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 例1已知实数x 、y 满足方程X y 2 4x 10.（i ）求y 的最大值和最小值；x⑵求y x 的最大值和最小值.【答案】（1）y 的最大值为.3，最小值为 ... 3.x（2） y x 的最大值为 2 ,6，最小值为 2 -、6.y 23，表示以点 2,0为圆心，以■ 3为半径的圆.设1 k ，即y kx ,xk 取最大值和最小值，此时 貲J 3，解得k J 3.故丿的最大值J k 21x【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。

2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线1:80l mx y n ++=和2:210l x my +-=.试确定m 、n 的值，使： (1)1l 与2l 相交于点(),1P m -； (2)1l ∥2l ；(3)1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1. 【答案】（1）1m =，7n =.（2）4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l . （3）0m =，8n =【解析】(1)由题意得280210m n m n ⎧-+=⎨--=⎩，解得1m =，7n =.(2)当0m =时，显然1l 不平行于2l ；当0m ≠时，由821m nm =-≠-，得⎩⎨⎧-≠=⇒⎩⎨⎧≠--⨯=⨯-⋅240)1(8028n m nm m m 或⎩⎨⎧≠-=24n m . 即4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l .(3)当且仅当280m m +=，即0m =时，1l ⊥2l .又18n-=-，∴8n =.即0m =，8n =时，1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1.【易错点】忽略对0m =的情况的讨论【思维点拨】遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或0k =时，并且对于直线平行和垂直时与12A A 和12B B 间的关系要熟练记忆。

例2如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．【答案】2750x y +-=.【解析】与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程为220x y +-=.设所求直线方程为()()2210x y x y λ+-+--=，即()()1220x y λλλ++---=.又直线过()1,1A -，∴()()()112120λλλ+-+-⋅--=.解13λ=-.∴所求直线方程为2750x y +-=.2【易错点】求错与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到1l 、2l 平行且距离相等的直线方程，再利用这条直线求出和第三条支线的交点，从而求解本题.题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 例1已知实数x 、y 满足方程22410x y x +-+=.(1)求yx的最大值和最小值； (2)求y x -的最大值和最小值．【答案】（1）yx（2）y x -的最大值为2-+，最小值为2-.【解析】(1)原方程化为()2223x y -+=，表示以点()2,0为圆心，为半径的圆．设yk x=，即y kx =，当直线y kx =与圆相切时，斜率k=k =.故yx 的最大值(2)设y x b -=，即y x b =+，当y x b =+与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时=2b =-.故y x -的最大值为2-，最小值为2--. 【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。