初三九年级数学下册《【教案】 垂直于弦的直径性质》【沪科版适用】

24.2.2 垂径定理教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。

教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。

教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。

教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件 教学过程： 一、复习引入1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？（直径所在的直线）3、观察并回答：（1）在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ，两条直径的位置关系？（两条直径始终是互相平分的）（2）把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？二、新课（一）猜想，证明，形成垂径定理1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？（当C D ⊥AB 时）（用课件观察翻折验证）2、得出猜想：在圆⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，当C D ⊥AB 时，弦AB 会被直AOBAOB径CD 平分。

3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证：如图，已知CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为M 。

求证：AE=BE 。

4、思考：直径CD 两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？5、给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。

并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。

（二）分析垂径定理的条件和结论1、引导学生说出定理的几何语言表达形式① CD 是直径、AB 是弦① AE=BE②C D ⊥②2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。

例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？3、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。

《垂直于弦的直径》教学设计一、教学目标（一）知识技能1．知道圆是轴对称图形，能说出它的对称轴；知道圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

2．掌握垂径定理，并会用符号表示垂径定理。

（二）数学思考1．通过垂径定理探索它的推论，初步体会“分类讨论”的数学思想。

2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，感受数学思考的条理性，发展数形结合思想。

（三）解决问题1．让学生经历观察、探究、归纳、总结等过程，获得解决数学题的经验和方法，能够利用垂径定理及推论解决简单的问题。

2．通过推论的拓展，形成解决问题的一些基本策略，发展学生用数学的意识；培养学生“方程的观点”以及识别基本图形的能力。

（四）情感态度通过探究垂径定理及其推论的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质，培养学生观察能力、好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心。

二、教学重点探索垂径定理及其推论，并能正确运用它们解决问题。

三、教学难点垂径定理推论的探索及应用。

四、教学方法自主探究——合作交流五、教学媒体多媒体六、教学过程［活动一］问题1，圆是轴对称图形吗：是中心对称图形吗？（类比思想）设计意图：可请一位学生演示：①沿着圆形纸片的任一条直径对折，直径两侧的两个半圆会怎样？从而得出：圆是轴对称图形，且有无数条对称轴——任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

②让学生把一个圆形纸片绕圆心旋转180°后与原来的圆重合，说明圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

（注意：其实圆绕它的圆心旋转任意角度都能与原来的圆重合，所以是特殊的中心对称图形，它的特殊性是具有——旋转不变性）这一性质后面将会用到。

问题2，利用轴对称图形的性质探究，如图：在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD ⊥AB ，你在圆中能找出哪些相等的量？并证明。

说出你猜想的结论。

（分组讨论，小组代表叙述结论）教师重点关注：学生对轴对称图形性质的应用是否熟练， 适当的进行复习巩固。

《垂直于弦的直径》教案第一章：导入教学目标：1. 引导学生观察和思考圆中的垂直关系。

2. 激发学生对垂直于弦的直径的兴趣和好奇心。

教学内容：1. 引导学生回顾圆的基本概念和性质。

2. 引导学生观察和思考圆中垂直于弦的直径的特点。

教学活动：1. 引导学生观察和描述圆中的垂直关系。

2. 引导学生思考垂直于弦的直径的性质和特点。

教学评估：1. 观察学生对垂直于弦的直径的兴趣和参与程度。

2. 评估学生对垂直于弦的直径性质的理解和应用能力。

第二章：理论讲解教学目标：1. 帮助学生理解垂直于弦的直径的性质。

2. 引导学生通过几何推理证明垂直于弦的直径的性质。

教学内容：1. 介绍垂直于弦的直径的性质。

2. 引导学生通过几何推理证明垂直于弦的直径的性质。

教学活动：1. 引导学生观察和分析垂直于弦的直径的性质。

2. 引导学生运用几何推理证明垂直于弦的直径的性质。

教学评估：1. 观察学生对垂直于弦的直径性质的理解程度。

2. 评估学生运用几何推理证明垂直于弦的直径性质的能力。

第三章：实例解析教学目标：1. 帮助学生通过实例分析和理解垂直于弦的直径的性质。

2. 培养学生运用垂直于弦的直径性质解决实际问题的能力。

教学内容：1. 提供实例，引导学生分析和理解垂直于弦的直径的性质。

2. 引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。

教学活动：1. 引导学生分析和理解实例中垂直于弦的直径的性质。

2. 引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。

教学评估：1. 观察学生对实例中垂直于弦的直径性质的理解程度。

2. 评估学生运用垂直于弦的直径性质解决实际问题的能力。

第四章：练习与巩固教学目标：1. 帮助学生巩固对垂直于弦的直径的理解和应用能力。

2. 培养学生通过练习题解决问题的能力。

教学内容：1. 提供练习题，引导学生巩固对垂直于弦的直径的理解和应用能力。

教学活动：1. 引导学生独立完成练习题。

2. 引导学生与同伴交流讨论，共同解决问题。

《垂直于弦的直径》教案一、教学目标：1. 让学生理解垂直于弦的直径的概念，掌握其性质和判定方法。

2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学美的感知，培养学生的逻辑思维和空间想象能力。

二、教学内容：1. 垂直于弦的直径的定义及性质。

2. 垂直于弦的直径的判定方法。

3. 应用垂直于弦的直径解决实际问题。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：垂直于弦的直径的性质和判定方法。

2. 教学难点：垂直于弦的直径在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究垂直于弦的直径的性质和判定方法。

2. 利用几何画板软件，动态展示垂直于弦的直径的特点，增强学生直观感知。

3. 设计具有梯度的练习题，巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入：利用几何画板软件，展示一个圆和一条弦，引导学生思考：如何判断一条直径是否垂直于弦？2. 新课讲解：讲解垂直于弦的直径的定义、性质和判定方法。

3. 例题讲解：分析并解决一些关于垂直于弦的直径的例题，让学生掌握解题方法。

4. 课堂练习：设计一些具有梯度的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调垂直于弦的直径在几何学中的重要性。

6. 作业布置：布置一些有关垂直于弦的直径的练习题，让学生课后巩固。

7. 课后反思：对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。

六、教学评价1. 评价目标：通过评价，检查学生对垂直于弦的直径概念、性质和判定方法的掌握程度，以及运用所学知识解决实际问题的能力。

2. 评价方法：课堂提问：检查学生对垂直于弦的直径的基本概念的理解。

练习题解答：评估学生运用性质和判定方法解决问题的能力。

小组讨论：观察学生在团队合作中是否能有效沟通、共同解决问题。

3. 评价内容：学生是否能准确描述垂直于弦的直径的性质。

学生是否能运用判定方法判断一条直径是否垂直于弦。

学生是否能将垂直于弦的直径的知识应用于解决几何问题。

数学《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案
一、教学目标
1. 了解垂直于弦的直径的概念及性质。

2. 掌握垂直于弦的直径的相关定理。

3. 能够应用垂直于弦的直径的相关定理解决实际问题。

二、教学重点
1. 垂直于弦的直径的概念及性质。

2. 相关定理的证明和应用。

三、教学难点
1. 单位圆和圆心角的概念。

2. 定理的证明过程。

四、教学方法
1. 讲授法。

2. 演示法。

3. 讨论法。

五、教学过程
1. 导入
教师用一张圆形卡片向学生展示，并询问学生对圆形的认识及性质。

2. 呈现问题
教师引导学生思考：“在圆内部任取一条弦，如何找到一条过
圆心的直径，使其垂直于弦？”
3. 探究证明
教师呈现“垂直于弦的直径定理”并进行证明过程讲解。

4. 案例分析
教师通过案例分析提出练习题目：在一个半径为R的圆内部，一条长为a的弦与圆心的距离为d（d<R），求证明存在一条
距离圆心为R-a/2的直径与该弦垂直。

请以证明的方式演示这
个问题。

5. 总结与归纳
教师对本节内容进行总结，重点强调垂直于弦的直径的概念、性质及相关定理的应用，加深学生的理解、记忆。

六、教学反思
垂直于弦的直径是圆的重要性质之一，具有广泛的应用，但是学生对单位圆和圆心角这些概念的理解可能会有困难，需要教师耐心讲解。

另外，在教学中要注意将证明思路讲清，让学生理清证明的逻辑，加深对相关定理的理解和应用。

垂直于弦的直径（三）数学教案标题：垂直于弦的直径（三）数学教案一、教学目标：1. 学生能够理解和掌握垂直于弦的直径的性质。

2. 学生能运用所学知识解决相关问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的空间观念和逻辑思维能力。

二、教学内容：本节课主要讲解圆的几何性质之一——垂直于弦的直径。

具体包括理解垂直于弦的直径的概念，掌握其基本性质，并能灵活运用到实际问题中。

三、教学方法：采用直观教学法、讨论法和实践操作法相结合的方式进行教学。

四、教学过程：1. 引入新课：首先回顾上节课的内容，然后展示一些关于圆的问题，让学生观察并思考其中的规律，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。

2. 讲解新课：(1) 定义解释：在圆中，如果一条直线垂直于弦并且穿过圆心，那么这条直线就是圆的直径。

(2) 性质介绍：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。

通过实例和图形演示，帮助学生理解和掌握这个性质。

3. 实践操作：组织学生进行实践活动，例如画图或制作模型，以加深对垂直于弦的直径的理解和记忆。

4. 课堂练习：设计一系列题目供学生练习，以检验他们是否真正掌握了垂直于弦的直径的性质。

5. 小结与作业：总结本节课的主要内容和重点难点，布置相关的课后作业。

五、教学评估：通过课堂提问、课堂练习以及课后作业的完成情况，对学生的学习效果进行评估。

六、教学反思：通过对教学过程的反思，找出教学中的优点和不足，以便于在今后的教学中改进。

七、拓展学习：鼓励学生利用课外时间阅读有关圆的书籍或资料，进一步深化对垂直于弦的直径的理解。

24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标（一）学习目标1.探索圆的对称性．2.在探究问题过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及其相关性质的过程．3.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．（二）学习重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．（三）学习难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）圆是轴对称图形，也是中心对称图形（2）圆的对称轴是圆的直径所在的直线，圆的对称中心是圆心2.预习自测（1）如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）=C.∠ACD=∠ADC D.OM=MDA.CM=DMB. CB BD【知识点】垂径定理，勾股定理.=，AC=AD，【解题过程】根据垂径定理得：CM=DM，CB BD由AC=AD得∠ACD=∠ADC，而OM=MD不一定成立.【思路点拨】本题主要考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧. 【答案】D（2）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（）A、16B、10C、8D、6【知识点】垂径定理，勾股定理.【数学思想】数形结合【解题过程】根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出从而求得AB=2BC=2×8=16.故选A.【思路点拨】根据勾股定理得到BC的长度，再由垂径定理得到AB.【答案】A（3）如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12【知识点】垂径定理，勾股定理。

【数学思想】数形结合【解题过程】过O作OD⊥AB于D，连接OB，根据垂径定理求出BD=AD=8，在Rt△OBD中，6OD。

故选A。

【思路点拨】根据垂径定理得到BD的长，再根据勾股定理得到OD的长。

【答案】A。

（4）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D．若AB=，0D=1，则半径OB的长为________．【知识点】垂径定理，勾股定理。

初三数学垂直于弦的直径教案【】初三数学垂直于弦的直径教案学习本课进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。

教学目标：(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证明;(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.教学重点、难点：重点：①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.难点：垂径定理的证明.教学学习活动设计：（一）实验活动，提出问题：1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.通过演示实验观察感性理性引出垂径定理.（二）垂径定理及证明：已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E.求证：AE=EB， = ， = .证明：连结OA、OB，则OA=OB.又∵CDAB，直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合.因此，AE=BE， = ， = .从而得到圆的一条重要性质.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD为⊙O的直径，CDAB AE=EB， = ， = .为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.（三）应用和训练例1、已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OEAB于E，而AE=EB= AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.解：连结OA，作OEAB于E.则AE=EB.∵AB=8cm，AE=4cm.又∵OE=3cm，在Rt△AOE中，(cm).⊙O的半径为5 cm.说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系：r = h+d; r2 = d2 + (a/2)2例2、已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.(证明略)说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线弦心距.（四）小节与反思教师组织学生进行：知识：(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用.单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

九年级数学《垂直于弦的直径》教案教学目标【知识与技能】：(1)使学生理解圆的轴对称性、中心对称性、旋转不变性；(2)掌握垂直于弦的直径的性质；(3)初步应用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

【过程与方法】：让学生经历“实验―观察―猜想―验证―归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察、分析、归纳问题和解决问题的能力。

【情感态度】：1、经历将已学知识应用到未学知识的探索过程，发展学生的数学思维；2、通过圆的对称性，渗透对学生的美育教育，并激发学生对数学的热爱；3、通过对定理的推导，培养学生团结合作和敢于猜想勇于探索的科研精神；4、通过对赵州桥历史的了解，感受数学在生活中的运用。

【教学重点】：垂直于弦的直径的性质及其应用。

【教学难点】：1、垂径定理的证明，因为叠合法证题对于学生比较陌生；2、垂径定理的题设与结论的区分，由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏。

【教学关键】：是圆的轴对称性的理解。

教学过程（一）、创设情境，聚焦课题1、复习回顾（1）、圆、弦、弧的有关概念（2）、什么是轴对称图形？（3）、我们学过哪些轴对称图形？2、问题情境导入，由求解赵州桥主桥拱的半径引入课题【教学说明】复习旧知为新课做准备；赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系，了解我国古代人民的勤劳与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调动了学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入新课.（二）主导进程，主体发现：1.圆的轴对称性问题1用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】学生通过自己动手操作，归纳出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.2.垂径定理探究问题2 请同学们完成下列问题：如右图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD.使CD⊥AB，垂足为M.（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么呢？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由.【教学说明】问题（1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（2）作下铺垫，垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题（2）可由问题（1）得到，问题（2）由学生合作交流完成，培养他们合作交流和主动参与的意识.（三）.整合探究，新知生成3、垂径定理及其推论问（1）一条直线满足：①过圆心.②垂直于弦，则可得到什么结论？【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论，这样可以加深学生对定理的理解.问（2）已知直径CD，弦AB且AM=BM（点M在AB上），那么可得到结论有哪些？（可要学生自己画图）提示：分M点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即：AB是直径或AB是除直径外的弦来讨论.结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.问（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径的弦？【教学说明】问题（2）是为了推出垂径定理的推论而设立的，通过学生动手画图，观察思考，得出结论.问题（3）是对推论进行强调，使学生抓住实质，注意条件，加深印象.4、垂径定理三角形关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。