2010-2019北京高考数学(文)真题分类汇编专题八空间几何体的三视图、表面积和体积

专题08 三视图1．（2021年全国高考甲卷数学试题）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）体截去三棱锥A EFGA．B．C．D．【答案】D【分析】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D二、填空题2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）以图①为正视图，在图①①①①中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】①①（答案不唯一）【分析】选择侧视图为①，俯视图为①，如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC BB ===，,E F 分别为棱11,B C BC 的中点，则正视图①，侧视图①，俯视图①对应的几何体为三棱锥E ADF -.故答案为：①①.1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB === ∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴该几何体的表面积是：632=⨯++故选：C.2．（2019年全国统一高考数学试卷）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A．B．C．3D．2【答案】B【分析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，= B.3．（2018年全国卷①文数高考试题）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A．B．C．D．【答案】A【详解】：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.4．（2018年全国卷高考试题）-2021年新高考数学一轮复习讲练测）如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】对于A 选项，如下图所示，连接CD ，在正方体中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ， N 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//NQ CD ，//AB NQ ∴，AB ⊄平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于B 选项，连接CD ，如下图所示：在正方体中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ， M 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//MQ CD ，//AB MQ ∴，AB ⊄平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于C 选项，连接CD ，如下图所示：在正方体中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ， M 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//MQ CD ，//AB MQ ∴，AB ⊄平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于D 选项，如下图所示，连接BE 交MN 于点F ，连接QF ，连接CD 交BE 于点O ，若//AB 平面MNQ ，AB ⊂平面ABE ，平面ABE 平面MNQ FQ =，则//FQ AB ，则EF EQ BE AE=， 由于四边形BCED 为正方形，对角线交于点O ，则O 为BE 的中点， M 、N 分别为DE 、CE 的中点，则//MN CD ，且MNBE F =， 则12EF EN EO CE ==，1124EF OE BE ∴==， 则14EF BE =，又12EQ AE =，则EF EQ BE AE≠，所以，AB 与平面MNQ 不平行； 故选：D.5．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B【解析】 由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【答案】B【详解】 由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B. 7．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是A．17πB．18πC．20πD．28π【答案】A【详解】：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,即该几何体是78个球，设球的半径为R，则37428R833Vππ=⨯=，解得R2=，所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和,即22734221784πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A．8．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国2卷））如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．20πB．24πC．28πD．32π【答案】C【详解】析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．9．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国3卷））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．18+B．54+C．90D．81【答案】B【详解】：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，前后侧面的面积为：3×6×2=36，左右侧面的面积为：32=，++=+．故棱柱的表面积为：183654故选B．10．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标①））圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【分析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，①其表面积为：22222111142222542222r r r r r r r r r πππππ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+ ， 又①该几何体的表面积为16+20π，①22541620r r ππ+=+ ，解得r=2，本题选择B 选项.11．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标①））一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A．B．C．D．【答案】D【详解】：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，①正方体切掉部分的体积为111111326⨯⨯⨯⨯=，①剩余部分体积为15166-=，①截去部分体积与剩余部分体积的比值为15．故选D．12．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标①）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【答案】B【详解】试题分析：由三视图中的正视图可知，由一个面为直角三角形，左视图和俯视图可知其它的面为长方形．综合可判断为三棱柱．13．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国①卷））如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A ．1727B ．59C ．1027D ．13【答案】C【详解】因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积154V π=，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积2161834V πππ=+=，所以削掉部分的体积与原体积之比为5434105427πππ-=，故选C.14．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为A ．16+8πB ．8+8πC ．16+16πD ．8+16π【答案】A【详解】：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，故半圆柱的底面积212=22S ππ=⨯⨯，半圆柱的高4h =． 故半圆柱的体积为8π，长方体的长宽高分别为422，，，故长方体的体积为42216⨯⨯=， 故该几何体的体积为168+π，选A15．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．16．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【答案】B【详解】13V Sh =，1163332=⨯⨯⨯⨯，9=．选B.二、填空题17．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）以图①为正视图，在图①①①①中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】①①（答案不唯一）【分析】选择侧视图为①，俯视图为①，如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC BB ===，,E F分别为棱11,B C BC的中点，则正视图①，侧视图①，俯视图①对应的几何体为三棱锥E ADF.故答案为：①①.。

专题八 立体几何第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积答案部分 2019年1.解析：该半正多面体共有888226+++=个面，设其棱长为x ，则122x x x ++=，解得1x =． 2.解：（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故11B C BE ⊥.又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C .（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==. 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=. F3.解析 该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==，14cm AA =，所以该模型体积为：1111311664(46432)314412132(cm )32ABCD A B C D O EFGH V V ---=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=，3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)⨯=．4.解析 因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，所以三棱锥E BCD -的体积：111332E BCD BCD V S CE BC DC CE -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=111012AB BC DD ⨯⨯⨯=.5.解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2.因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形所以该圆柱的体积为2112V Sh ⎛⎫==π⨯= ⎪⎝⎭6.解析 三视图对应的几何体，是在棱长为4的正方体上，去掉一个底面为梯形(上底为2，下底为4，高为2)、高为4的四棱柱而得到， 故其体积()144424246424402V =⨯⨯-⨯+⨯⨯=-=. 7.解析：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即11(46)3(26)32722ABCDE S =+⨯++⨯=五边形，高为6， 则该柱体的体积是276162V =⨯=． 故选B ．2010-2018年1．B 【解析】∵过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为，所以该圆柱的表面积为2212ππ⨯⨯+⨯=．故选B ．2．B 【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长16．画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则2=MS ，4=SN ，则从M 到N=B ．SNM图① 图②3．C 【解析】连接1BC ，因为AB ⊥平面11BB C C ，所以130AC B ∠=，1AB BC ⊥，所以1ABC ∆为直角三角形．又2AB =，所以1BC =，又112B C =，所以1BB==22V =⨯⨯=4．A 【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A ．5．B 【解析】设等边三角形ABC 的边长为x ，则21sin 60932x =6x =． 设ABC ∆的外接圆半径为r ，则62sin 60r=，解得r =，所以球心到ABC ∆所在平面的距离2d ==，则点D 到平面ABC 的最大距离146d d =+=，所以三棱锥D ABC -体积的最大值max 116633ABC V S ∆=⨯=⨯=B ．6．C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积1(12)2262V =⨯+⨯⨯=．故选C ． 7．C 【解析】解法一 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，DCBA P易知，BC AD ∥，1BC =，2AD AB PA ===，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故PAD ∆，PAB ∆为直角三角形，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PA BC ⊥，又BC AB ⊥，且PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ．BC PB ⊥，∴PBC ∆为直角三角形，容易求得3PC =，CD =，PD =，故PCD ∆不是直角三角形，故选C ．解法二 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P ABCD -，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C ．PDCBA8．B 【解析】圆柱的轴截面如图，1AC =，12AB =，所以圆柱底面半径2r BC ==，那么圆柱的体积是223()124V r h πππ==⨯⨯=，故选B ．CBA9．D 【解析】借助立方体可知所求三棱锥为下图粗线部分该几何体的体积为11(35)41032V =⨯⨯⨯=．选D ． 10．A 【解析】该几何体是由一个高为3的圆锥的一半，和高为3的三棱锥组成（如图），其体积为：21111(13)(213)132322ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．选A ．11．B 【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为221π36π3463π2V =⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B ． 12．C 【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积21111133V =⨯⨯=．设半球的半径为R，则2R =2R =，所以半球的体积32142326V π=⨯⨯=．故该几何体的体积12136V V V =+=+．故选C ．13．A 【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故37428833r ππ⨯=，所以2r =，表面积227341784S r r πππ=⨯+=，选A ． 14．C 【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l =，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．15．B 【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为3，故面积都为2(9 +18+16．C 【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积3322231223=⨯⨯+=V ，故选C ． 17．D 【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 18．A 【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A ．19．D 【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥111A A B D -，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15．A 1AC20．B 【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥P ABC -，表面积为21122222⨯⨯⨯⨯=+．21．A【解析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2x，高为h，则由三角形相似可得，2 12 x h-=，所以22h x=-，(0,1)x∈，长方体体积2232216)2(22)2()327x x xV h x x++-==-=长方体≤，当且仅当22x x=-，即23x=时取等号，2121233Vππ=⨯⨯=圆锥，故材料利用率为16827293ππ=，选A．22．B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为22222422016r r r rππππ+++=+，所以2r=．23．B【解析】如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A BCD-，最长的棱为6AD==，选B．24．C【解析】原毛坯的体积2(3)654Vππ=⨯⨯=，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积2212(2)4(3)234V V Vπππ'=+=⨯⨯+⨯⨯=，故所求比值为10127VV'-=．25．A【解析】如图，将边长为2的正方体截去两个角，∴21226112212S=⨯⨯-⨯⨯+=+表26．A 【解析】圆柱的正视图是矩形，∴选A ．27．D 【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积1232S S S S S S =-+++正方形斜面，其中1S 是长方体的表面积，2S 是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，3S 是三棱柱的一个底面的面积，可求得2138()S cm =，选D ．28．C 【解析】由题意可知AD BC ⊥，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面11DB C ，又2sin 603AD =⋅=111111121332A B DC B DC V AD S -∆=⋅=⨯=， 故选C ．29．A 【解析】圆柱的底面半径为1，母线长为1，2112S ππ=⨯⨯=侧． 30．B 【解析】直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为l 的14圆柱，所以该几何体的体积为321221284ππ-⨯⨯⨯⨯=-． 31．C 【解析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积22S rh ππ==．32．B 【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．33．A 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A ． 34．A 【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5的长方体上面是半径为3高为2的半个圆柱．35．C 【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为221353573V πππ=⨯⨯+⨯=36．B 【解析】由三视图可知该几何体的体积：221121232V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=． 37．D 【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故侧视图可以为D ．38．C 【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所以该四棱柱的表面积12(24)444242S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯24+48=+39．D 【解析】选项A 正确，∵SD ⊥平面ABCD ，而AC 在平面ABCD 内，所以AC SD ⊥．因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，而BD 与SD 相交，所以AC ⊥平面SBD ，所以AC SB ⊥；选项B 正确，因为AB CD ，而CD 在平面SCD 内，AB 不在平面SCD 内，所以AB平面SCD ；选项C 正确，设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则SA 与平面SBD 所成的角ASO ∠，SC 与平面SBD 所成的角CSO ∠，易知这两个角相等；选项D 错误，AB 与SC 所成的角等于SCD ∠，而DC 与SA 所成的角等于SAB ∠，易知这两个角不相等．40．C 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．2(10810282)2(6882)360S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 41．B 【解析】该几何体上半部是底面边长为4cm ，高为2cm ，的正四棱柱，其体积为344232()cm ⨯⨯=；下半部分是上、下底面边长分别为4cm ，8cm ，高为2cm 的正四棱台，其体积为1224(164864)233⨯+⨯+⨯=，故其总体积为2243203233+=．42．13【解析】解法一 连接11A C ，交11B D 于点E ，则111AE BD ⊥，11A E BB ⊥，则1A E ⊥平面11BB D D ，所以1A E 为四棱锥111A BB D D -的高，且12A E =，矩形11BB D D 的，1，故111111323A BB D D V -=⨯=． 解法二 连接1BD ，则四棱锥111A BB D D -分成两个三棱锥111B A DD -和111B A B D -111111111111111111132323A BB D D B A DD B A B D V V V ---=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．43．43【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正，则该正八面体的体积为214233⨯⨯=． 44．36π【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，因为,SA AC SB BC ==，所以,OA SC OB SC ⊥⊥． 因为平面SAC ⊥平面SBC ，所以OA ⊥平面SBC ． 设OA r =，3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以31933r r =⇒=，所以球的表面积为2436r ππ=．45．14π【解析】球的直径是长方体的体对角线，设球O 的半径为R ，所以224π14π.R S R ====46．9π2【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=.47．22π+【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+． 48．32【解析】设球的半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==． 49．3.2【解析】通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积(12)1322S +⨯==，通过侧视图可知四棱柱的高1h =，所以该四棱柱的体积32V Sh ==． 50．80 ；40【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，22262244242280S =⨯+⨯+⨯⨯-⨯=表，3244240V =+⨯⨯=．51．83π【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积22181221133V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．52．12【解析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h ，则216234h ⨯⨯⨯=，解得1h =2=，该六棱锥的侧面积为1122122⨯⨯=． 53．结合三视图有PA ⊥平面ABC ，2PA =，AB BC ==2CA =，所以PB ==，PC ==，∴三棱锥最长棱的棱长为54．32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是12,r r ，母线长分别是12,l l ．则由1294S S =，可得1232r r =．又两个圆柱的侧面积相等，即112222rl r l ππ=，则112223l r l r ==， 所以111222923432V S l V S l ==⨯=．55【解析】设正方体的棱长为a2r =，即球半径r =．若球的体积为92π，即349)32ππ=，解得a =56．1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的 相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3． 所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24． 另：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=，所以121:24V V =． 57．38【解析】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为()243+41+31+2-2=38ππ⨯⨯⨯⨯． 58．92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱几何体的表面积是12(25)4(2544922S =⨯⨯+⨯++++⨯=．59111322sin 603332ABC VPA S ∆=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=．60．13【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的316，得223416r R ππ=，所以2r R =，则小圆锥的高为2R，大圆锥的高为32R ，所以比值为13．61．【解析】(1)由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ． 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC ．EMP QDCBA(2)由已知可得，3===DC CM AB ，=DA ．又23BP DQ DA ==，所以BP = 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE=13DC ． 由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，1=QE ． 因此，三棱锥Q ABP -的体积为11113451332-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△Q ABP ABP V QE S ．62．【解析】（1）由已知90BAP CDP ==︒∠∠，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．PACD E（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ． 设AB x =，则由已知可得AD =，2PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得31833x =，故2x =． 从而2PA PD ==，AD BC ==PB PC ==． 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 6062222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+ 63．【解析】（Ⅰ）证明：PD ⊥平面,,ABCD PD PCD ⊂∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD平面,ABCD CD MD =⊂平面ABCD ，MD CD ⊥，∴MD ⊥平面PCD ，,,,,,CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF ⊂∴⊥⊥⊂平面又平面MD MF M =，∴CF MDF ⊥平面．（Ⅱ）00,,60,30,CF MDF CF DF PCD CDF ⊥∴⊥∠=∴∠=平面又易知11==,22CF CD 从而12,,,244DE CF EF DC DE PE DP CP ∴=∴=∴=∥12CDE S CD DE ∆=⋅=，22MD ====11.338216M CDE CDE V S MD -∆∴=⋅=⋅=64．【解析】（Ⅰ）由已知得ABC DBC ∆≅∆，因此AC DC =，又G 为AD 的中点，CG AD ⊥；同理BG AD ⊥；因此AD ⊥平面BCG ,又EF AD ∥,∴EF ⊥平面BCG ．CD（Ⅱ）在平面ABC 内，做AO CB ⊥，交CB 的延长线于O ，由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BCD ，又G 为AD 的中点，因此G 到平面BCD 的距离h 是AO 的一半，在AOB ∆中，sin 603AO AB =⋅=1132D BCG G BCD DBG V V S h --∆==⨯⨯=． 65．【解析】（Ⅰ）连结1AC ，交1A C 于点O ，连结DO ，则O 为1AC 的中点，因为D 为AB的中点，所以OD ∥1BC ，又因为OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ， 所以1BC //平面1A CD ；（Ⅱ）由题意知 CD ⊥平面11ABB A ．再由12AA AC CB ===，AB =90ACB ∠=，CD =1A D DE =13A E =．故22211A D DE A E +=，即1DE A D ⊥所以111132C A DE V -=⨯=． 66．【解析】（Ⅰ）证明：连接AC ，交于BD 于O 点，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，所以,AC BD BO DO ⊥=，由PB PD =知，PO BD ⊥．再由PO AC O ⋂=知，BD ⊥面APC ，因此BD PC ⊥．（Ⅱ）解：因为E 是P A 的中点，所以1122P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----=== 由2PB PD AB AD ====知，ABD PBD ≅ 因为60BAD ∠=,所以1PO AO AC BO ====.又222,PA PO AO PA PO AC =+=⊥即.故132APCSPO AC =∙=. 由（1）知，1111,2232P BCE B APC APCBO APC V V BO S --⊥==∙∙∙=面因此． 67．【解析】（1）由已知可得AE =3，BF =4，则折叠完后EG =3，GF =4，又因为EF =5，所以可得EG GF ⊥，又因为CF EGF ⊥底面,可得CF EG ⊥，即EG CFG ⊥面所以平面DEG ⊥平面CFG .（2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G -EFCD 的高，所以所求体积为11124516335CDEF S GO ⋅=⨯⨯⨯=． 68．【解析】（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD ．又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC ．在直角梯形PDAQ 中可得DQ =PQ PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ . （II ）设AB =a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3V a =由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ ，△DCQ 的面积为22a ， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3V a =故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1．。

专题八 立体几何第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积2019年1.（2019全国II 文16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）2.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C −的体积．3.(2019全国III 文16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D −挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.4.（2019江苏9）如图，长方体1111ABCD A B C D −的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 .5.（2019天津文12）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.6.（2019北京文12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．7.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A．158 B．162C．182 D．322010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12O O的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A．B．12πC．D．10π2．(2018全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为BAA．B．C．3D．23．(2018全国卷Ⅰ)在长方体1111ABCD A B C D−中，2AB BC==，1AC与平面11BB C C所成的角为30︒，则该长方体的体积为A．8B．C．D．4．(2018全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是5．(2018全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC −体积的最大值为 A．B．C．D．6．(2018浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是俯视图正视图A ．2B ．4C ．6D ．87．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为俯视图侧(左)视图正(主)视图A．1 B．2 C．3 D．48．（2017新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．34πC．2πD．4π9．（2017北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．60 B．30 C．20 D．1010．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是俯视图侧视图正视图A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ． 332π+ 11．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π12．（2016年山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为A ．1233π+ B ．133+ C ．136π+ D ．16+ 13．（2016年全国I ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 14．（2016年全国II ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π15．（2016年全国III ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A ．18+B ．54+C ．90D ．81 16．(2015浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是A ．38cm B ．312cm C ．3323cm D ．3403cm 17．（2015陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+ 18．（2015重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．13π+ B ．23π+ C ．123π+ D ．223π+ 19．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．81 B ．71 C ．61 D ．51 20．（2015安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A ．1+B ．2+C ．1+D ．21．（2015湖南）某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 （材料利用率=新工件的体积原工件的体积）A ．89πB ．169πC ．31)πD ．31)π22．（2015新课标1）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。

自检10：空间几何体的三视图、表面积和体积A组高考真题集中训练空间几何体的三视图1．(2014·全国卷Ⅰ)如图，格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B．答案：B2．(2013·全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xy 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以Ox平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析：作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状．易知选A．答案：A空间几何体的表面积与体积1．(2017·全国卷Ⅱ)如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析：方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B ．方法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B ．答案：B2．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A ．答案：A3．(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．60B ．30C ．20D ．10解析：由三视图画出如图所示的三棱锥P －ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V 三棱锥P －ACD ＝13×12×3×5×4＝10.故选D ．答案：D4．(2016·全国甲卷)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋(23)2＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.答案：C5．(2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A ．答案：A6．(2016·全国丙卷)如图所示， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋365B ．54＋18 5解析：由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋1 8 5.故选B ．答案：B7．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O －ABC ＝V C －AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O －ABC最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O －ABC 最大，为13×12R 2×R＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C ． 答案：C8．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛解析：设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12·⎝⎛⎭⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B ． 答案：B9．(2014·全国卷Ⅱ)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A ．3B ．32C ．1D ．32解析：由题意可知AD ⊥BC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面DB 1C 1，又AD ＝2sin 60°＝3，所以VA －B 1DC 1＝13AD ·S △B 1DC 1＝13×3×12×2×3＝1，故选C ．答案：C10．(2017·山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案：2＋π2B 组 高考对接限时训练(十)(时间：35分钟 满分70分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1．(2017·大连调研)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中点P 是棱CD 上一点，则三棱锥P－A1B1A的侧视图是()解析：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P－A1B1A，B1，A1，A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，PA1的射影为PD1，且为虚线．故选D．答案：D2．(2017·汕头一模)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d解析：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选A．答案：A3．(2017·晋中一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A ．16B ．20C ．52D ．60解析：由题意，几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如图，体积为12×3×4×2＋13×12×3×4×4＝20；故选B ．答案：B4．(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．16B ．13C ．12D ．1解析：通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P －ABC ，通过侧视图得高h ＝1，底面积S ＝12×1×1＝12，所以体积V ＝13Sh ＝13×12×1＝16.答案：A5．(2017·兰州一模)某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．(9＋5)πB ．(9＋25)πC ．(10＋5)πD ．(10＋25)π解析：由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，圆柱的底面直径为2，高为4，圆锥的底面直径为2，高为2，所以几何体的表面积为π×12＋π×2×4＋12×π×2×22＋12＝(9＋5)π；故选A ．答案：A6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A ．1B ． 2C ．3D ．2解析：根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V －ABCD ，其中VB ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 是边长为1的正方形，VB ＝1.所以四棱锥中最长棱为VD .连接BD ，易知BD ＝2，在Rt △VBD 中，VD ＝VB 2＋BD 2＝ 3.答案：C7．(2017·永州一模)如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( )A ．1B ．52C ．6D ．2 3解析：由题意得，该几何体的直观图为三棱锥A －BCD ，如图，其最大面的表面是边长为22的等边三角形，故其面积为34×(22)2＝2 3.答案：D8．(2017·河南六市二模)一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．4πD ．6π解析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 3.∴此四面体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫322＝3π.故选B ． 答案：B9．(2017·临沂一模)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝3，E 、F 分别为AB 边、CD 边上一点，且AE ＝DF ＝1，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使得平面ADFE ⊥平面BCFE ，连接AB 、CD ，则所得三棱柱ABE －DCF 的侧面积比原矩形ABCD 的面积大约多(取5≈2.236)( )A ．68B ．70C ．72D ．75解析：将矩形ABCD 沿EF 折起，使得平面ADFE ⊥平面BCFE ，可得三棱柱ABE －DCF (如图)，侧面积增加的部分为ABCD ，∵EB ⊥BC ，△ABE 是直角三角形，∴AB ⊥BC .同理可证ABCD 是矩形．∵在矩形ABCD 中，AE ＝DF ＝1.AB ＝3，AD ＝5， ∴BE ＝2，∴可得三棱柱中AB ＝5，故得侧面积增加的部分为S ＝5×5＝5. 侧面积比原矩形ABCD 的面积大约多出535＝53＝2.2363＝75 ，故选D ．答案：D10．(2017·晋中一模)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )A ．6B ．5C ．92D ．94解析：由题意，四棱锥P －ABCD 是正四棱锥，球的球心O 在四棱锥的高PH 上；过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示，其中PE ，PF 是斜高，G 为球面与侧面的切点，设PH ＝h ，由几何体可知，Rt △PGO ∽Rt △PHF ，∴OG FH ＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94.故选D ．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．11．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.解析：由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为2.所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm2)；体积为4×4×2＋23＝40(cm3)．答案：804012.(2017·焦作二模)《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制1丈＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3)，则该圆柱形容器能放米________斛．解析：设圆柱的底面半径为r，则2πr＝54，r＝9，故米堆的体积为π×92×18＝4374立方尺，∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴4374÷1.62≈2700斛，故答案为2700.答案：270013．(2017·九江十校二模)某四棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为________．解析：由已知可得四棱锥是以正视图为底面的，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：2,1,1的长方体的外接球，其外接球半径R ＝12＋22＋122＝62，故它的外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π.答案：6π14．(2017·广元二诊)如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将△ADE 、△EBF 、△FCD 分别沿DE 、EF 、FD 折起，使得A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为________．解析：由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF .三棱锥的底面A ′EF 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：12＋12＋22＝ 6.∴球的半径为62. 答案：62。

专题八 立体几何初步第二十二讲空间几何体的三视图、表面积和体积答案部分 2019年ABCD A 1B 1C 1D 1，挖去四棱锥O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心， E ，F ，G ， H，分别为所在棱的中点，ABBC6cm ，AA 1 4cm ，所以该模型体积为：VABCD ABCD VOEFGH6 6 4 1 (4 6413 2) 3144 12 132(cm 3)，1 1 1 1323D 打印所用原料密度由于为3，不考虑打印消耗，所以制作该模型所需原料的质量为： 132 118.8(g)．2.分析由于长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积是 120，E 为CC 1的中点，所以VABCDABCD 1 1 AB BC DD 1 120 ，所以 三棱锥 E 的体积：11BCD VEBCD 1 S BCD CE 1 1 BC DC 1 AB BCDD 1 10. 3 3 2 CE123.分析由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直订交均分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2.由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于1，由相像比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1. 22所以该圆柱的体积为VSh 1 1.2 44.PBPC 及△ABC 是边长为 2的正三角形可知，三棱锥PABC 为正 分析：由PA 三棱锥，则极点P在底面的射影O为底面三角形的中心.连结BO并延伸，交AC于G，则AC BG，又PO AC,POIBG O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC.由于E，F分别是PA，AB的中点，所以EFPPB.又CEF90，即EF⊥CE，所以PB⊥CE，得PB⊥平面PAC.所以PB⊥PA，PB⊥PC.又由于PA PB PC，△ABC是正三角形，所以△PAC≌△PBC≌△PAB，故PA PC所以正三棱锥P ABC的三条侧棱两两相互垂直.把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为正方体的体对角线的长度，即3dPA2PB2PC26,半径为6，2则球O的体积为4π66π．应选D．325.分析：由三视图复原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即S五边形ABCDE1(46)31(26)327，高为6，22则该柱体的体积是V276162．应选B．6.分析：由三视图复原原几何体如下图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V V正方体-V四棱柱444-12+424=40.22010-2018年1．C【分析】解法一将三视图复原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如下图，PA DB C易知，BC∥AD，BC1，AD AB PA2，AB AD，PA 平面ABCD，故PAD，PAB为直角三角形，∵PA平面ABCD，BC平面ABCD，PA BC，又BC AB，且PA AB A，∴BC平面PAB，又PB平面PAB．BCPB，∴PBC为直角三角形，简单求得PC3，CD5，PD22，故PCD不是直角三角形，应选C．解法二在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，应选C．PD CAB2．B【分析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长16．画出该圆柱的侧面睁开图，如图②所示，连结MN，则MS2，SN4，则从M 到N的路径中，最短路径的长度为MS2SN2224225．应选B．MMNS N图①图②3．A【分析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，联合榫头的地点知选A．4B【分析】设等边三角形ABC的边长为x，则1x sin6093，得x6．．226设ABC的外接圆半径为r，则2r，解得r23，所以球心到ABC所sin60在平面的距离d42(23)22，则点D到平面ABC的最大距离d1d46，所以三棱锥D ABC体积的最大值V1SABC61936183．应选B．max335．D【分析】如图以AA1为底面矩形一边的四边形有AACC AA1B1B、AA1D1D AA1E1E411、、个，每一个面都有4个极点，所以阳马的个数为16个．应选D．ED11B1C1A1EDBCA6．C【分析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V1(12)226．应选C．27．B【分析】由题意可知，该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，则表面全部梯形之和为21(24)212．选B．28．B 【分析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高 为4的圆柱，其体积V 1 324 36 ，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆 柱的一半，其体积V 1( 326) 27 ， 2 2故该组合体的体积 V V 1 V 2 36 27 63 ．应选B ．解法二该几何体能够看作是高为 14，底面半径为 3的圆柱的一半，所以体积为1(32) 14 63．选B ．29．B 【分析】圆柱的轴截面如图， AC 1，AB 1，所以圆柱底面半径 rBC3， 22那么圆柱的体积是Vr 2h( 3)2 1 3 ，应选B ．2 410．A 【分析】该几何体是由一个高为 3的圆锥的一半，和高为3的三棱锥构成（如图），其体积为：11 2 11 1 ( 13) (213) 3 2 32 ．选A ．211．B 【分析】借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥，2 22最长的棱长是体对角线，所以 22 22 222 3．选B ．12．C 【分析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为 1的正方形，高为 1，其体积V 11 121 1 ．设半球的半径为 R ，则2R 2，即R2 ，3 32所以半球的体积V 21 4 (2)3 2 ．2 3 2 6故该几何体的体积VV 1V 21 2 ．应选C ．3 613．A 【分析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉1后剩下的几何体，设球的半径为r ，故74 288r 3，所以r 2，8 3 3表面积S7 4r 23 r 217 ，选A ．8 414．C 【分析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为 l ，圆柱高为h ．r 22 2由图得 ， ，由勾股定理得：l 234，c2πr4π2S 表πr 2ch 1cl 4π16π8π 28π，应选C ．215．B 【分析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为 3、该边上的高为6，故面积都为 18，左右两个侧面是矩形，边长为35和3，故面积都为9 5，则该几何体的表面积为2(9 +18+95)=54+18 5．16．C 【分析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积V231 222 32 ，应选C ．3 317．D 【分析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，此中底面圆的半径为1，母线长为 2，所以该几何体的表面积是12112223 4，应选D ． 218．A 【分析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V1 122 1 (112)1 1，选A ．2 3 2 31， 19．D 【分析】如图，设正方形的棱长为 1，则截取部分为三棱锥A-A 1B 1D 1，其体积为5，故所求比值为1． 6 又正方体的体积为 1，则节余部分的体积为6 5D 1C 1A 1B 1DCA B20．B 【分析】在长、宽、高分别为 2、1、1的长方体中，该四周体是如下图的三棱锥P-ABC ，表面积为11 22 3 ( 2)2223．241 P 11CB1A21．A 【分析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为 2x ，高为h ，则由三角形相像可得， x 2 h ，所以h 22x ， 12x(0,1)，长方体体积V长方体( 2x)2h 2x 2(2 2x ) ≤2(x x 22x )3 16， 2 12 3 27 当且仅当 x2 2x ，即 x V 2 2 ，时取等号， 1圆锥3 3316 8故资料利用率为 27 ，选A ．2 9322．B 【分析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为r 2 2r 2 4r 2 2r 220 16，所以r 2．23．B 【分析】如图，DCBA设协助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A-BCD，最长的棱为AD(4 2)2 226，选B．24．C【分析】原毛坯的体积V (32) 6 54，由三视图可知该部件为两个圆柱的组合体，其体积V V1V2(22) 4 (32) 2 34，故所求比值为V10 1．V2725．A【分析】如图，将边长为2的正方体截去两个角，∴S表22611123(2)22132426．A【分析】圆柱的正视图是矩形，∴选A．27．D【分析】由三视图画出几何体的直观图，如下图，则此几何体的表面积S S1 S正方形S2 2S3S斜面，此中S1是长方体的表面积，S 2是三棱柱的水平搁置的一个侧面的面积，S3是三棱柱的一个底面的面积，可求得S138(cm2)，选D．28．C【分析】由题意可知ADBC，由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1，又AD2sin603，所以V ABDC11ADSBDC131231，131132应选C．29．A 【分析】圆柱的底面半径为1，母线长为1，S 侧211 2．30．B 【分析】直观图为棱长为 2的正方体割去两个底面半径为 l 的 1圆柱，所以该几何体1 4的体积为232 12 2 8 ．431．C 【分析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为 1，其侧面 积S2rh2．32．B 【分析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱构成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连结的两个三角形．33．A 【分析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上面放一个 长为4宽为2高为2长方体，故其体积为1 224 4 2 2=168，应选A ． 234．A 【分析】复原后的直观图是一个长宽高挨次为 10，6 ，5的长方体上面是半径为 3高为2的半个圆柱． 35．C 【分析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为V 3 2 1 2 52 3257 5 33 136．B 【分析】由三视图可知该几何体的体积： V 12 2 1223．237．D 【分析】经过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故侧视图能够为D ．38．C 【分析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所以该四棱柱的表面积S 2 1 (2 4) 4 4 4 2 4 2 1 16 4 48 8 17．239．D 【分析】选项A 正确，∵SD 平面ABCD ，而 AC 在平面 ABCD 内，所以 ACSD ABCD 为正方形，所以 ACBD ，而 BD 与 SD 订交，所以 AC．由于平面SBD ，所以AC SB ；选项B 正确，由于AB CD ，而CD 在平面SCD内，AB 不在平面SCD 内，所以AB 平面SCD ；选项C 正确，设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则SA 与平面SBD 所成的角 ASO ，SC 与平面SBD 所成的角CSO ，易 知这两个角相等；选项 D 错误， AB 与 SC 所成的角等于 SCD ，而 DC 与 SA所成的角等于SAB ，易知这两个角不相等．40．C 【分析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下边长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．S 2(108 10 28 2) 2(6 8 8 2) 360 . 41．B 【分析】该几何体上半部是底面边长为 4cm ，高为 2cm ，的正四棱柱，其体积为44232(cm 3)；下半部分是上、下底面边长分别为4cm ，8cm ，高为2cm 的正四 棱台，其体积为1 (16 48 64)2 224 ，故其整体积为32 224 320 ． 1【分析】连结3 3 3 342． AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，由于E ，H 分别为AD 1，CD 1的 121AC ，由于F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点， 中点，所以EH ∥AC ，EH 2所以FG ∥AC ，FG 1AC ，所以EH∥FG，EH FG ，所以四边形EHGF 为 2平行四边形，又EG HF ，EH HG ，所以四边形EHGF 为正方形，又点 M 到平 面EHGF 的距离为1，所以四棱锥 MEFGH 的体积为1( 2)2 1 1 ．23 22 12 43．4【分析】正方体的棱长为2，以其全部面的中心为极点的多面体是正八面体，此中正3 八面体的全部棱长都是 2，则该正八面体的体积为 1 (2)22 4 ． 33 44．415【分析】如图连结OE 交AC 于G ，由题意OE AC ，设等边三角形 ABC 的 边长为x （0 x5），则OG3x ，GE53x ．66E A G FOCBD由题意可知三棱锥的高h GE2OG2(53x)2(3x)22553x663底面SABC3x2，4三棱锥的体积为V13x22553x155x43x5，343123设h(x)5x43x5，则h(x)20x3533x4（0x5），3令h(x)0，解得x43，当x (0,43)时，h(x)0，h(x)单一递加；当x(43,5)时，h(x)0，h(x)单一递减，所以x43是h(x)获得最大值h(43)(43)4所以Vmax 15h(43)15(43)2415．1212．9π【分析】设正方体边长为a，由6a218，得a23，4524π4π279π外接球直径为2R3a3，V33R382．46．2【分析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半2径为1，所以V2112π1212π4．247．3【分析】设球的半径为r，则V1r22r3．2V24r32348．2【分析】依据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m，高为1m的平行四边形，四棱锥的高为3m，故其体积为12132(m3)．8349．1，高为2的圆柱，两【分析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为3端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积V122211218．3350．12【分析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则16 3 22h23 ，解得h 1，底面正六边形的中心到其边的距离为 3，3 4故侧面等腰三角形底边上的高为31 2，该六棱锥的侧面积为112212 ．251．22【分析】由题意可知直观图如下图，联合三视图有PA平面ABC ，PA 2，AB BC 2，CA 2，所以PB PA 2AB 26 ，PCPA 2 AC 222，∴三棱锥最长棱的棱长为 2 2．PA CB52． 3【分析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r 1,r 2，母线长分别是l 1,l 2．2则由S19 ，可得r13 ．又两个圆柱的侧面积相等，即 2 rl 112r 2l 2，S 24 r 2 2则l1 r 1 2，所以V1S 1l 1 9 2 3 ．l 2 r 2 3V 2S 2l 2 43253．3【分析】设正方体的棱长为 a ，则正方体的体对角线为直径，即3a2r ，即球半径r 3 a ．若球的体积为 9 ，即4( 3 a ) 39 ，解得a 3．2 23 2 254．1：24【分析】三棱锥F ADE 与三棱锥A 1 ABC 的相像比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥 A 1 ABC 与三棱柱A 1B 1C 1 ABC 的体积之比为1：3．所以，三棱锥 F ADE 与三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积之比为1：24． 另：V 1 1 1 1 SABC 1 1 1 S ADE h 1 3 4 h 2 V 2，所以V 1:V 2 ．3 2 2424 55．38【分析】由三视图知，此几何体为一个长为 4，宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为 2 4 3+4 1+31+2 -2 =38． 56．92【分析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱几何体的表面积是S21(25)4(25442(52)2)492．2111 57．PAS ABC22sin603，答案应填3．3【分析】V33321【分析】由圆锥底面面积是这个球面面积的3，得r23r358．4R2，所以R，则316162小圆锥的高为R，大圆锥的高为3R，所以比值为1．22359．【分析】（Ⅰ）证明：PD平面ABCD,PD PCD,∴平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCD CD，MD平面ABCD，MD CD，∴MD平面PCD，CF平面PCD,CF MD,又CF MF,MD,MF平面MDF,MD MF M，∴CF平面MDF．（Ⅱ）CF平面MDF,CF DF,又易知PCD600,CDF300,进而CF=1CD=1,221EF∥DC,DE CF,即DE=2,DE3,PE33, DP CP3244 S CDE1CDDE3，28MD ME2DE2PE2DE2(33)2(3)26, 442V MCDE1SCDE MD1362.33821660．【分析】（Ⅰ）由已知得ABC DBC，所以AC DC，又G为AD的中点，CG AD；同理BGAD；所以AD平面BCG,又EF∥AD,∴EF平面BCG．AEGC O BDF（Ⅱ）在平面ABC内，做AOCB，交CB的延伸线于O，由平面ABC平面BCD，知AO平面BCD，又G为AD的中点，所以G到平面BCD的距离h是AO 的一半，在AOB中，AO AB sin603，所以V DBCG V GBCD 11 S DBG h．3261．【分析】（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，由于D为AB 的中点，所以OD∥BC1，又由于OD平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1//平面A1CD；（Ⅱ）由题意知CD 平面ABB1A1．再由AA1AC CB2，AB22得ACB90，CD2，A1D6，DE3，A1E3．故A1D2DE2A1E2，即DEA1D所以V CA1DE116321．3262．【分析】（Ⅰ）证明：连结AC，交于BD 于O点，连结PO．由于底面ABCD是菱形，所以AC BD,BODO，由PBPD知，POBD．再由POACO知，BD 面APC，所以BDPC ．（Ⅱ）解：由于E 是PA 的中点，所以VP BCE V CPEB1V CPAB1V BAPC22由PB PD AB AD 2 知，ABD PBD由于BAD60,所以PO AO 3,AC 23,BO1.又PA 6,PO 2AO 2PA 2,即PO AC.故S APC1PO AC3. 2BO 面APC,所以V PBCE 1 1 1 1 ．由（1）知， 2V BAPC 2 3BOSAPC 263．【分析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又由于EF=5，所以可得EG GF ，又由于CF 底面EGF,可得CF EG ，即EG 面CFG 所以平（面DEG 平面CFG.2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，所以所求体积为1S CDEF GO 1 45 12 16．3 3 564．【分析】（I ）由条件知 PDAQ 为直角梯形由于 QA 平面ABCD ，所以平面PDAQ 平面ABCD ，交线为AD ．又四边形 ABCD 为正方形，DC AD ，所以DC 平面PDAQ ，可得PQ DC ．在直角梯形 2 PD ，则PQQDPDAQ 中可得DQ=PQ=2所以PQ 平面DCQ.（II ）设AB=a. 由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积V 1a 3. 1 3由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ=2a ，△DCQ 的面积为 2a 2 ，2 所以棱锥P —DCQ 的体积为V 1a 3.2 3故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥 P —DCQ 的体积的比值为1．。

专题09立体几何历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2018年新课标1文科05】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π【解答】解:设圆柱的底面直径为2R,则高为2R,圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得:4R2＝8，解得R，则该圆柱的表面积为：12π．故选：B．2．【2018年新课标1文科09】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中,最短路径的长度为（）A．2B．2C．3 D．2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为:2,直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度：2．故选：B．3．【2018年新课标1文科10】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB ＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A．8 B．6C．8D．8【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，即∠AC1B＝30°，可得BC12．可得BB12．所以该长方体的体积为:28．故选：C．4．【2017年新课标1文科06】如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M，N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( ）A．B．C．D．【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C,由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D,由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A．5．【2016年新课标1文科07】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（)A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得:，R＝2．它的表面积是:4π•2217π．故选:A．6．【2016年新课标1文科11】平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解:如图:α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABA1B1＝n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．7．【2015年新课标1文科06】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺,高五尺．问:积及为米几何？"其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1。

2019年高考数学真题分类汇编 8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积理考点一三视图与直观图1.(xx课标Ⅰ,12,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4答案B2.(xx福建,2,5分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱答案A3.(xx江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()答案B4.(xx湖北,5,5分)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②答案D5.(xx辽宁,7,5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8-2πB.8-πC.8-D.8-答案B6.(xx北京,7,5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1答案D7.(xx湖南,7,5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4答案B考点二表面积8.(xx浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2答案D9.(xx重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.72答案B10.(xx安徽,7,5分)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A.21+B.18+C.21D.18答案A11.(xx大纲全国,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A. B.16π C.9π D.答案A考点三体积12.(xx课标Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.答案C13.(xx陕西,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A. B.4π C.2π D.答案D14.(xx湖北,8,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.答案B15.(xx江苏,8,5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是.答案16.(xx天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案π17.(xx福建,13,4分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元). 答案16018.(xx山东,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则=.答案.。