第一章集合与函数概念(教师用书)

《函数的概念》教学设计人教版《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》第一章概述：《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.如何上好一节概念课，概念不是由老师讲出，而是让学生去发现，并归纳概括出概念呢？从而让学生更好的理解概念，熟练的去应用概念解决问题.在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体，创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，从而去发现问题、提出问题和解决问题.注重培养他们的观察、分析和解决问题的能力，培养他们的逻辑思维能力及抽象概括能力.运用新课标的理念，我从以下几个方面加以说明：教材内容分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析【教材内容分析】1.教材的地位及作用函数的概念是人教版数学必修①第一章第二节的内容，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且是学好后继知识的基础和工具．本节的主要内容就是函数的概念和函数的三个要素，学习了本小节后，为以后学习其他类型的函数打下扎实的基础。

由于函数反映出的数学思想渗透到数学的各个领域并且它在物理﹑化学及生物等其他领域也有广泛的应用．因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一。

2.学情分析在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，且比较习惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。

由于函数的概念比较抽象，学生思维不成熟、不严密，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。

【教学目标分析】根据上述教材内容分析，并结合学生的学习心理和认知结构，我将教学目标分成三部分进行说明：知识与技能：1、从集合与对应的观点出发，加深对函数概念的理解2、理解函数的三要素：定义域、值域和对应法则3、理解函数符号的含义。

过程与方法：在丰富的实例中，通过关键词的强调和引导，使学生发现、概括出它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

集合间的基本关系课前预习· 预习案〖学习目标〗1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．了解空集的含义.3．能使用Venn图表示集合间的关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 〖学习重点〗1．子集的概念2．子集、真子集的概念；能利用数轴表达集合间的关系。

〖学习难点〗1．元素与子集、属于与包含之间的区别2．能利用数轴表达集合间的关系〖自主学习〗1．集合的相关概念(1)子集：(2)集合相等：①若，则集合中的元素和集合中的元素是_______________.②用子集的含义去理解，则_______________ 且 ________________.(3)真子集：①的含义是：集合，但存在元素，且______________.②有两种情况：与.2．Venn图Venn图表示集合的优点在于：形象直观，通常用平面上封闭曲线的内部代表集合3．空集的有关概念以及常用结论(1)空集的有关概念：①特征：不含任何元素；②表示：_________________；③规定：空集是任何集合的__________________.(2)常用结论：①任何一个集合是它本身的_______________，即_______________.②对于集合，，，如果，且，那么 _____________.〖预习评价〗1．已知集合，，则A. B.C. D.2．下列四个集合中，是空集的是A.B.C.D.3．用适当的符号填空：(l)______________.(2)_____________，(3)_____________4．已知集合，则集合= ______________.5．集合，，若，则=____________.知识拓展· 探究案〖合作探究〗1．子集根据子集的含义，探究以下问题：(1)“”与“”各反映什么样的关系？(2)若，则说明集合是由集合的部分元素组成的，对吗？2．子集观察下面给出的集合中的元素与集合中的元素.，.②设为新华中学高一(2)班男生的全体组成的集合，为这个班学生的全体组成的集合，思考问题：(1) 两组中的集合中元素与集合有什么关系？(2) 两集合间的关系如何表示？(3) 如何用直观图表示集合，之间的关系？3．真子集、集合相等及空集的概念根据真子集与集合相等的概念及或，思考下列问题.(1)若，则中的元素是否一定比中元素少呢？(2)集合相等的定义中的“”能否换为“”？(3)对于集合，，，若，则吗？(4)有没有真子集？有没有真子集？〖教师点拨〗1．对子集含义的两点说明(1)“是的子集”的含义是：集合中的任何一个元素都是集合中的元素.(2)任何一个集合都是它本身的子集.2．对真子集、空集的三点说明(1)空集是任何非空集合的真子集.(2)对于集合，，，如果，，那么(3)空集是不含任何元素的集合，不能认为，也不能认为，而是，或.3．对集合相等的两点说明(1)从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合中的元素和集合中的元素相同，则这两个集合相等.(2)从两个集合的关系出发表达两个集合相等，即若，别对任意.都有，同时若，则对任意都有，这说明两个集合的元素是相同的，即两集合相等.〖交流展示〗1．如果,那么A. B. C. D.2．已知集合{x|x=,x∈N且x<2},,试判断集合,间的关系.3．集合),定义,则的子集个数为A.7B.12C.16D.324．已知集合,求集合所有子集的元素之和.5．已知,若则的值是A.2B.2或3C.1或3D.1或26．已知集合,集合,若,求的值.〖学习小结〗1．判断两集合关系的步骤(1)先对所给集合进行化简.(2)弄清两集合中元素的组成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化、形象化.提醒：要分清所判断的是元素与集合的关系，还是集合与集合的关系，也就是说使用属于(不属于)符号，还是使用包含(不包含)符号.2．求集合子集、真子集个数的三个步骤3．与子集、真子集个数有关的四个结论假设集合中合有个元素，则有：①的子集的个数为个；②的真子集的个数为个；③的非空子集的个数为个；④的非空真子集的个数为个.以上结论在求解时可以直接应用.〖当堂检测〗1．设,若,则=A.0B.-2C.0或-2D.0或±22．设,若,则实数的取值范围是A. B. C. D.3．同时满足：①；②则的非空集合有A.16个B.15个C.7个D.6个4．满足的集合的个数为_________.5．已知,求的取值范围. 6．已知集合,集合,试问集合与的关系怎样？答案课前预习· 预习案〖自主学习〗1．(1)任意一个含于包含(2)①一样的②(3)①x∉A3．(1)②Ø③子集(2)①子集②〖预习评价〗1．C2．B3．(1)(2)(3)4．{1，3}5．0知识拓展· 探究案〖合作探究〗1．(1)“∈”表示元素与集合之间的关系；“”表示集合与集合之间的关系.(2)不对，如集合A与集合B相等，显然A不是由B的部分元素组成的.2．(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.(2)两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作(或.(3)如图，用Venn图表示两个集合之间的“包含”关系，(或).3．(1)一定，因为B中至少有一个元素不属于A.(2)不能.因为A B同时B A的集合A，B是不存在的.(3)相等，由集合相等的定义可知A＝B，B＝C，则A＝C一定成立.(4)因为Ø是不含任何元素的集合，所以它没有真子集；{0}有真子集，是Ø.〖交流展示〗1．D2．因为x＝|x|,所以x≥0.又因为x∈N且x＜2,所以集合M＝{0,1}.又因为x∈Z,－2＜x＜2,所以集合N＝{－1,0,1}.由子集的定义可知M N.3．C4．集合A的所有子集分别是：Ø,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}.注意A中的每个元素均出现在A的四个子集中,故所求元素之和为(1＋3＋5)×4＝36.5．D6．因为A＝B且a≠0,所以b＝0,因此由已知得a2＝1,所以a＝1或a＝－1,若a＝1,那么集合A中的元素a＝1,与元素的互异性矛盾,所以a＝1不成立,则只有a＝－1成立,所以a2 013＋b2 013＝(－1)2 013＝－1.〖当堂检测〗1．C2．A3．C4．75．m≤36．因为a∈R,所以x＝1＋a2≥1,x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1,所以M＝{x|x≥1},M＝{x|x≥1},所以M＝P.。

第一章集合与函数概念一. 课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 .函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 .1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力.6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 .7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 .8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 .9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二. 编写意图与教学建议1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。

§1.2.1函数的概念一、教学目标1、知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。

二、教学重点与难点：重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；三、学法与教学用具1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 .2、教学用具：投影仪 .四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。

4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．（二）研探新知1、函数的有关概念（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．注意：① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”；②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． （2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域 （3）区间的概念 ①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； ②无穷区间；③区间的数轴表示．（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y =ax +b (a ≠0) y =ax 2+b x +c (a ≠0) y =xk(k ≠0) 比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。

第1讲 § 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于〞关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言〔列举法或描述法〕描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合〔set 〕，其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }〞括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于〔belong to 〕与不属于〔not belong to 〕，分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：[例1]试分别用列举法和描述法表示以下集合：〔1〕由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； 〔2〕大于2且小于7的整数. 解：〔1〕用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.〔2〕用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.[例2]用适当的符号填空：{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，那么有： 17 A ； －5 A ； 17B .解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉；由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈. [例3]试选择适当的方法表示以下集合：〔教材P 6 练习题2， P 13A 组题4〕 〔1〕一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；〔2〕二次函数24y x =-的函数值组成的集合； 〔3〕反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合. 解：〔1〕3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. 〔2〕2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. 〔3〕2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比〔2〕与〔3〕中的两个集合，自变量的X 围和函数值的X 围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*[例4]集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 解：化方程212x a x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况：⑴方程有等根且不是 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．x =a =1x =-⑶方程有一解为x =代入得a =1x =+，合．综上可知，9{,4A =-．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第1练 § 集合的含义与表示※基础达标1．以下元素的全体不能够构成集合的是〔 〕.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程210x -=的实数解D. 周长为10cm 的三角形 2．方程组{23211x y x y -=+=的解集是〔 〕.A . {}51，B. {}15，C. (){}51，D. (){}15，3．给出以下关系：①12R ∈； Q ；③*3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是〔 〕. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．有以下说法：〔1〕0与{0}表示同一个集合；〔2〕由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；〔3〕方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1，1，2}；〔4〕集合{45}x x <<是有限集. 其中正确的说法是〔 〕.A. 只有〔1〕和〔4〕B. 只有〔2〕和〔3〕C. 只有〔2〕D. 以上四种说法都不对5．以下各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是〔 〕.A. {}M π=, {3.14159}N =B. {2,3}M =, {(2,3)}N =C. {|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =D. {}M π=, {,1,|N π= 6．实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，那么a 与B 的关系是. 7．x R ∈，那么集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为. ※能力提高8．试选择适当的方法表示以下集合：〔1〕二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合； 〔2〕函数232y x =-的自变量的值组成的集合.9．集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合A .※探究创新10．给出以下集合：①{(x ，y )|x ≠1，y ≠1，x ≠2，y ≠-3}； ②{{12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎨⎬≠≠-⎩⎭且 ③{{12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎨⎬≠≠-⎩⎭或； ④{(x ，y )|[(x -1)2+(y -1)2]·[(x -2)2+(y +3)2]≠0}． 其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点〔1，1〕，〔2，-3〕之外的所有点的集合〞的序号有.A BB A A B A B A ． B ．C ．D ． 第2讲 § 集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，那么说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集〔subset 〕，记作A B ⊆〔或B A ⊇〕，读作“A 含于B 〞〔或“B 包含A 〞〕.2. 如果集合A 是集合B 的子集〔A B ⊆〕，且集合B 是集合A 的子集〔B A ⊇〕，即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，那么称集合A 是集合B 的真子集〔proper subset 〕，记作A ≠⊂B 〔或B ≠⊃A 〕.4. 不含任何元素的集合叫作空集〔empty set 〕，记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；假设A B ⊆，B C ⊆，那么A C ⊆；假设A B A =，那么A B ⊆；假设A B A =，那么B A ⊆. ¤例题精讲：[例1]用适当的符号填空：〔1〕{菱形}{平行四边形}； {等腰三角形}{等边三角形}. 〔2〕∅2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅{0}； N {0}. 解：〔1〕， ；〔2〕=， ∈， ，. [例2]设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，那么以下图形能表示A 与B 关系的是〔 〕.解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．[例3]假设集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，某某数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. 〔i 〕假设0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆； 〔ii 〕假设0a ≠时，得1{}N a =. 假设N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123a a ==-或. 故所某某数a 的值为0或12或13-. 点评：在考察“A B ⊆〞这一关系时，不要忘记“∅〞 ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.[例4]集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 假设A =B ，某某数x 的值.解：假设22a b axa b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.假设22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-. 经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第2练 § 集合间的基本关系※基础达标1．集合{}{}3,,6,A x x k k Z B x x k k Z ==∈==∈, 那么A 与B 之间最适合的关系是〔 〕. A.A B ⊆ B.A B ⊇ C. A ≠⊂B D. A ≠⊃B2．设集合{}|12M x x =-≤<，{}|0N x x k =-≤，假设M N ⊆，那么k 的取值X 围是〔 〕. A ．2k ≤ B ．1k ≥- C ．1k >- D ．2k ≥ 3．假设2{,0,1}{,,0}a a b -=，那么20072007a b +的值为〔 〕. A. 0 B. 1 C. 1- D. 24．集合M ={x |x =2k +14,k ∈Z }, N ={x |x =4k +12, k ∈Z }. 假设x 0∈M ，那么x 0与N 的关系是〔 〕. A. x 0∈N B. x 0∉N C. x 0∈N 或x 0∉N5．集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1}，假设Q ⊆P ，那么a 的值是〔 〕.A. 1B. －1C. 1或－1D. 0，1或－1 6．集合{},,,A a b c =，那么集合A 的真子集的个数是. 7．当2{1,,}{0,,}b a a a b a=+时，a =_________，b =_________.※能力提高8．A ={2,3}，M ={2,5,235a a -+}，N ={1,3,2610a a -+}，A ⊆M ，且A ⊆N ，某某数a 的值.9．集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.假设B A ⊆，某某数m 的取值X 围.※探究创新10．集合S ={0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，假设有x -1∉A 且x +1∉A ，那么称x 为A 的一个“孤立元素〞，写出S 中所有无“孤立元素〞的4元子集.第3讲 § 集合的基本运算〔一〕¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集 交集 补集概念由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集〔union set 〕 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的交集〔intersection set 〕 对于集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集〔plementary set 〕 记号 A B 〔读作“A 并B 〞〕 A B 〔读作“A 交B 〞〕 U A 〔读作“A 的补集〞〕符号 {|,}A B x x A x B =∈∈或 {|,}A B x x A x B =∈∈且{|,}UA x x U x A =∈∉且图形表示¤例题精讲：[例1]设集合,{|15},{|39},,()U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求.解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤，(){|1,9}U C AB x x x =<-≥或，[例2]设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：〔1〕()A B C ； 〔2〕()A A B C . 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------. 〔1〕又{}3B C =，∴()A B C ={}3；〔2〕又{}1,2,3,4,5,6BC =，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C BC =------.∴()A A C BC {}6,5,4,3,2,1,0=------.[例3]集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，某某数m 的取值X 围.解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.[例4]全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C AB ，()UC AB ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，那么(){6,7,9}U C AB =.由{5,8}AB =，那么(){1,2,3,4,6,7,9}UC AB =由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 那么()(){6,7,9}U U C A C B =，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C AB =，()()()U U U C A C B C A B =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.UA-2 4 m xB AA BB A点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =与()()()U U U C A C B C AB = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第3练 § 集合的基本运算〔一〕※基础达标1．全集{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}2,4,5A =，那么UA =〔 〕.A. ∅B. {}2,4,6C. {}1,3,6,7D. {}1,3,5,7 2．假设{|02},{|12}A x x B x x =<<=≤<，那么A B =〔 〕.A. {|2}x x <B. {|1}x x ≥C. {|12}x x ≤<D. {|02}x x <<3．右图中阴影部分表示的集合是〔 〕. A. U A B B. U AB C.()UA B D.()U A B 4．假设{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，那么A B =〔 〕. A. {}1,2 B. {}0,1 C. {}0,3 D. {}35．设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤，假设M N φ≠，那么k 的取值X 围是〔 〕.A ．2k ≤B ．1k ≥-C ．1k ->D ．12k -<≤6．设全集*{|8}U x N x =∈<，{1,3,5,7}A =，{2,4,5}B =,那么()U C A B =. 7．集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N =.※能力提高8．设全集*{|010,}U x x x N =<<∈，假设{3}A B =，{1,5,7}UAB =，{9}UUAB =，求集合A 、B .9．设U R =，{|24}A x x =-≤<，{|8237}B x x x =-≥-，求()U A B 、()()UUA B .※探究创新10．设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=. 〔1〕求A B ，A B ；〔2〕假设A B ⊆，某某数a 的值；〔3〕假设5a =，那么A B 的真子集共有个, 集合P 满足条件()A B ≠⊂P ≠⊂()AB ，写出所有可能的集合P .A第4讲 § 集合的基本运算〔二〕¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n AB n A n B n A B =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：[例1]设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，假设{}9A B =，某某数a 的值.解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9AB =，那么有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去； 当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.所以，3a ＝－.[例2]设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求AB , A B .〔教材P 14B组题2〕解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，那么{1,3,4}AB =，A B =∅；当1a =时，{1,3}A =，那么{1,3,4}A B =，{1}A B =； 当4a =时，{3,4}A =，那么{1,3,4}A B =，{4}A B =；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，那么{1,3,4,}A B a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原那么.[例3]设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，假设A B =B ，某某数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-. 由AB =B ，那么B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )假设B =∅，那么224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )假设0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-，当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )假设－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1， 当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.[例4]对集合A 与B ，假设定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -=. 〔由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉且〞而拓展〕解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，那么 {1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，那么A B -也相当于()U AC B .第4练 § 集合的基本运算〔二〕※基础达标1．集合A = {}1,2,4, B ={}8x x 是的正约数, 那么A 与B 的关系是〔 〕.A. A = BB. A ≠⊂B C. A ≠⊃B D. A ∪B =∅2．,,a b c 为非零实数, 代数式||||||||a b c abca b c abc +++的值所组成的集合为M , 那么以下判断正确的选项是〔 〕.A. 0M ∉B. 4M -∉C. 2M ∈D. 4M ∈ 3．1〕{}2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5,7M =，{}2,4,5,6N =，那么〔 〕.A ．{}4,6MN = B.MN U =C ．()u C N M U = D.()u C M N N =4．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，假设{1,2,3}A =，{1,2}B =，那么A B *中的所有元素数字之和为〔 〕.A ．9 B. 14 C. 18 D. 215．设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>与{}|31N x x x =≥<或都是U 的子集〔如右图所示〕，那么阴影部分所表示的集合为〔 〕.A. {}|21x x -≤<B. {}|22x x -≤≤C. {}|12x x <≤D. {}|2x x <6．集合{11}A x x =-≤≤，{}B x x a =>，且满足AB φ=，那么实数a 的取值X 围是.7．经统计知，某村有的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有又有农用三轮车的家庭有20家，那么和农用三轮车至少有一种的家庭数为.※能力提高8．集合2{|0}A x x px q =++=，2{|20}B x x px q =--=，且{1}A B =-，求A B ．9．集合U =2{2,3,23}a a +-，A ={|a +1|，2}，U C A ={a +3}，某某数a 的值.※探究创新 10．〔1〕给定集合A 、B ，定义A ※B ={x |x =m -n ，m ∈A ，n ∈B }．假设A ={4，5，6}，B ={1，2，3}，那么集合A ※B 中的所有元素之和为 〔〕A ．15B ．14C ．29D ．-14〔2〕设全集为U ，集合A 、B 是U 的子集，定义集合A 、B 的运算：A *B ={x |x ∈A ，或x ∈B ,且x ∉A ∩B }，那么(A *B )*A 等于〔 〕A ．AB ．BC ．()U A B ∩D ．()U A B ∪〔3〕集合A ={x |2x n ≠且3x n ≠，n ∈N ，x ∈N *，x ≤100}，试求出集合A 的元素之和.第5讲 § 函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数〔function 〕，记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值X 围A 叫作定义域〔domain 〕，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域〔range 〕.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，那么：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间； {x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞〞读“无穷大〞；“－∞〞读“负无穷大〞；“+∞〞读“正无穷大〞. 那么{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法那么. 当且仅当函数定义域、对应法那么分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：[例1]求以下函数的定义域：〔1〕121y x =+-；〔2〕y =.解：〔1〕由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.〔2〕由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.[例2]求以下函数的定义域与值域：〔1〕3254x y x+=-； 〔2〕22y x x =-++. 解：〔1〕要使函数有意义，那么540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.〔2〕22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.[例3]函数1()1xf x x -=+. 求：〔1〕(2)f 的值； 〔2〕()f x 的表达式 解：〔1〕由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.〔2〕设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1xf x x-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.[例4]函数22(),1x f x x R x =∈+.〔1〕求1()()f x f x +的值；〔2〕计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：〔1〕由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.〔2〕原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第5练 § 函数的概念※基础达标1．以下各组函数中，表示同一函数的是〔 〕. A. 1,xy y==B. 11,y x y =+=C. ,y x y ==2||,y x y ==2．函数y 的定义域为〔 〕.A. (,1]-∞B. (,2]-∞C. 11(,)(,1]22-∞--D. 11(,)(,1]22-∞--3．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出以下四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是〔〕.4．以下四个图象中，不是函数图象的是〔 〕.5．函数()f x 的定义域为[1,2)-，那么(1)f x -的定义域为〔〕.A ．[1,2)-B ．[0,2)-C ．[0,3)-D ．[2,1)-6．()f x ＝2x ＋x ＋1，那么f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 7．2(21)2f x x x +=-，那么(3)f =. ※能力提高 8．〔1〕求函数y =的定义域； 〔2〕求函数2113x y x+=-的定义域与值域.9．2()f x ax bx c =++，(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++，试求()f x 的表达式.A. B.C.D.※探究创新10．函数()f x ，()g x 同时满足：()()()()()g x y g x g y f x f y -=+；(1)1f -=-，(0)0f =，(1)1f =，求(0),(1),(2)g g g 的值.第6讲 § 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法〔图象法、列表法、解析法〕表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法〔用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值〕；图象法〔用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势〕；列表法〔列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值〕.2. 分段函数的表示法与意义〔一个函数，不同X 围的x ，对应法那么不同〕.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射〔mapping 〕．记作“:f A B →〞.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法那么f .¤例题精讲：[例1]如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.[例2]f (x )=333322x x x x-⎧++⎪⎨+⎪⎩(,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵0(,1)∈-∞， ∴f (0)=32.又 ∵32>1，∴f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52. [例3]画出以下函数的图象：〔1〕|2|y x =-； 〔教材P 26 练习题3〕 〔2〕|1||24|y x x =-++.解：〔1〕由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.〔2〕33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.[例4]函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第6练 § 函数的表示法※基础达标1．函数f (x )=2(1)xx x ⎧⎨+⎩,0,0x x ≥< ，那么(2)f -=〔 〕.A. 1 B .2 C. 3 D. 42．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是〔 〕.3．函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(12)f 等于〔 〕.A . p q + B. 2p q + C. 2p q + D. 2p q + 4．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法那么f 不是映射的是〔 〕.A. f ：x →y ＝12x B. f ：x →y ＝13x C. f ：x →y ＝14x D. f ：x →y ＝16x 5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费由[]3.71,(04)() 1.06(0.52),(4)m f m m m <≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩给出，其中[]m 是不超过m 的最大整数，如：[]3.743=，从甲地到乙地通话分钟的话费是〔〕.A. 3.71B. 4.24C. 4.77D.6．函数(),mf x x x=+且此函数图象过点〔1，5〕，实数m 的值为. 7．24,02(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==⎨>⎩已知函数则；假设00()8,f x x ==则. ※能力提高8．画出以下函数的图象：〔1〕22||3y x x =-++； 〔2〕2|23|y x x =-++.9．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-且()f x =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求()f x 的解析式※探究创新 10．〔1〕设集合{,,}A a b c =，{0,1}B =. 试问：从A 到B 的映射共有几个？〔2〕集合A 有元素m 个，集合B 有元素n 个，试问：从A 到B 的映射共有几个？第7讲 § 函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增〔减〕函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数〔increasing function 〕. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有〔严格的〕单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的〔如右图1〕，减函数的图象从左向右是下降的〔如右图2〕. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：[例1]试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间〔0，1〕上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 那么1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在〔0，1〕上是减函数.[例2]求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 那么22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.假设0a <，当122b x x a <≤-时，有120x x -<，12bx x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a -∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2ba-+∞上单调递减.[例3]求以下函数的单调区间： 〔1〕|1||24|y x x =-++；〔2〕22||3y x x =-++.解：〔1〕33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.〔2〕22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.[例4]31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间.解：∵3(2)55()322x f x x x +--==+++， ∴ 把5()g x x-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如下图.由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.第7练 § 函数的单调性※基础达标1．函数26y x x =-的减区间是〔 〕.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间〔0，2〕上是增函数的是〔 〕.A. y =－x +1B. y =xC. y = x 2－4x ＋5D. y =2x3．函数()||()(2)f x x g x x x ==-和的递增区间依次是〔 〕.A. (,0],(,1]-∞-∞B. (,0],[1,)-∞+∞C. [0,),(,1]+∞-∞D. [0,),[1,)+∞+∞4．()f x 是R 上的增函数，令()(1)3F x f x =-+，那么()F x 是R 上的〔 〕. A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减5．二次函数2()2f x x ax b =++在区间(-∞，4)上是减函数，你能确定的是〔 〕.A. 2a ≥B. 2b ≥C. 4a ≤-D. 4b ≤-6．函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x -->，那么()f x 在(,)a b 上是. 〔填“增函数〞或“减函数〞或“非单调函数〞〕7．函数f (x )=x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f (3)之间的大小关系为. ※能力提高8．指出以下函数的单调区间及单调性：〔1〕3()1x f x x +=-；〔2〕2|23|y x x =-++ 9．假设2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==. 〔1〕求b 与c 的值；〔2〕试证明函数()f x 在区间(2,)+∞上是增函数.※探究创新10．函数()f x 的定义域为R ，对任意实数m 、n 均有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()22f =，又当12x >-时，有()0f x >. 〔1〕求1()2f -的值； 〔2〕求证：()f x 是单调递增函数.第8讲 § 函数最大〔小〕值¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大〔小〕值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大〔小〕值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值〔Maximum Value 〕. 仿照最大值定义，可以给出最小值〔Minimum Value 〕的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大〔小〕值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac b a-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：[例1]求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.[例2]某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，那么提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---.即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. [例3]求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究. [另解]令1x t -=，那么0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.[例4]求以下函数的最大值和最小值：〔1〕25332,[,]22y x x x =--∈-； 〔2〕|1||2|y x x =+--.解：〔1〕二次函数232y x x =--的对称轴为2bx a=-，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 94y =-.所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.〔2〕 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第8练 § 函数最大〔小〕值※基础达标 1．函数42y x =-在区间[]3,6上是减函数，那么y 的最小值是〔 〕. A . 1 B. 3 C. －2 D. 52．函数221y x x =-+的最大值是〔 〕.A. 8B. 83C. 4D. 433．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，那么a 的取值X 围是〔 〕. A ．1a < B ．1a ≤ C ．1a > D ．1a ≥4．某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h 与时间t 的函数关系式是()24.914.718h t t t =-++那么炮弹在发射几秒后最高呢〔 〕.5. 23()1,[0,]2f x x x x =++∈已知函数的最大〔小〕值情况为〔 〕.A. 有最大值34，但无最小值B. 有最小值34，有最大值1C. 有最小值1，有最大值194D. 无最大值，也无最小值6．函数32y x x =--的最大值是.7．3()3xf x x =-，[4,6]x ∈. 那么()f x 的最大值与最小值分别为.※能力提高8．函数2()2f x x x =-+.〔1〕证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;〔2〕当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值.9．一个星级旅馆有100个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定房价〔元〕 住房率〔%〕160 55价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？※探究创新10．函数2142a y x ax =-+-+在区间[0，1]上的最大值为2，某某数a 的值.第9讲 § 函数的奇偶性¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点： 1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数〔even function 〕. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-〕，那么函数()f x 叫奇函数〔odd function 〕. 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：[例1]判别以下函数的奇偶性：〔1〕31()f x x x=-； 〔2〕()|1||1|f x x x =-++；〔3〕23()f x x x =-. 解：〔1〕原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以为奇函数.〔2〕原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数. 〔3〕由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数. [例2]()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ∴()()f x f x -=-，()()g x g x -=.那么1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩.两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-.[例3]()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2). ∵()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一致， ∴0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.。

第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确信性、互异性和无序性. （2）经常使用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或a M ∉，二者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无穷个元素的集合叫做无穷集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的大体关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，那么它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的大体运算（8）交集、并集、补集 ∅=∅B A ⊆，B {|x A A =A ∅=B A ⊇，B B ⊇补集UA {|,}x x U x A ∈∉且(1)()U A A =∅ (2)()U A A U =(3)()()()U U U A B A B = (4)()()()U U U A B A B =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示【知识回忆】一、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：概念域R ，值域R 二、反比例函数)(x f =xk(k ≠0)：概念域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：概念域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b ac 442-｝；当a ＜0时，｛y |y ≤ab ac 442-｝.【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，若是依照某种对应法那么f ，关于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确信的数()f x 和它对应，那么如此的对应（包括集合A ，B 和A 到B 的对应法那么f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素：概念域、值域和对应法那么．③只有概念域相同，且对应法那么也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，知足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；知足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；知足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，别离记做[,)a b ，(,]a b ；知足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合别离记做[,),(,),(,],a a b +∞+∞-∞(,)b -∞．注意：关于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 能够大于或等于b ，而后者必需a b <． （3）求函数的概念域时，一样遵循以下原那么：①()f x 是整式时，概念域是全部实数．②()f x 是分式函数时，概念域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，概念域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦假设()f x 是由有限个大体初等函数的四那么运算而合成的函数时，那么其概念域一样是各大体初等函数的概念域的交集．⑧关于求复合函数概念域问题，一样步骤是：假设已知()f x 的概念域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的概念域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨关于含字母参数的函数，求其概念域，依照问题具体情形需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确信的函数，其概念域除使函数成心义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的经常使用方式和求函数值域的方式大体上是相同的．事实上，若是在函数的值域中存在一个最小（大）数，那个数确实是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的经常使用方式：①观观点：关于比较简单的函数，咱们能够通过观看直接取得值域或最值．②配方式：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后依照变量的取值范围确信函数的值域或最值．③判别式法：假设函数()y f x =能够化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，那么在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必需有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确信函数的值域或最值．④不等式法：利用大体不等式确信函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的概念域与值域的互逆关系确信函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方式确信函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方式表示函数的方式，经常使用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：确实是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：确实是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：确实是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，若是依照某种对应法那么f ，关于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么如此的对应（包括集合A ，B 和A 到B 的对应法那么f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．若是元素a 和元素b 对应，那么咱们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为f (a ). 函数与映射的关系函数是特殊的映射，映射是函数的推行。

函数概念整体设计教学分析函数是中学数学中最重要根本概念之一.在中学,函数学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单函数,了解了它们图象、性质等.本节学习函数概念与后续将要学习函数根本性质、根本初等函数(Ⅰ)和根本初等函数(Ⅱ)是学习函数第二阶段,这是对函数概念再认识阶段.第三阶段是在选修系列导数及其应用学习,这是函数学习进一步深化和提高.在学生学习用集合与对应语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间依赖关系;同时,虽然函数概念比拟抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应语言定义函数方式介绍函数概念.三维目标1.会用集合与对应语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)含义;通过学习函数概念,培养学生观察问题、提出问题探究能力,进一步培养学习数学兴趣和抽象概括能力;启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵规律,逐渐形成善于提出问题习惯,学会数学表达和交流,开展数学应用意识.2.掌握构成函数三要素,会求一些简单函数定义域,体会对应关系在刻画函数概念中作用,使学生感受到学习函数必要性重要性,激发学生学习积极性.重点难点教学重点:理解函数模型化思想,用集合与对应语言来刻画函数.教学难点:符号“y=f(x)〞含义,不容易认识到函数概念整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.课时安排2课时教学过程第1课时函数概念导入新课思路1.北京时间2005年10月12日9时整,万众瞩目“神舟〞六号飞船胜利发射升空,5天后圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟〞六号飞行期间,我们时刻关注“神舟〞六号离我们距离y随时间t是如何变化,本节课就对这种变量关系进展定量描述和研究.引出课题. 思路2.问题:函数y=1,x∈瘙綂下标RQ,0,x∈瘙綂下标RQ,请用初中所学函数定义来解释y与x函数关系？先让学生答复后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用新观点来解释,引出课题.推进新课新知探究提出问题(1)给出以下三种对应:(幻灯片)845 m,且炮弹距地面高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化规律是h=130t-5t2.时间t变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.那么有对应f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.1-2-1-1中曲线显示了南极上空臭氧层空洞面积S(单位:106 km2)随时间t(单位:年)从1991~2001年变化情况.图1-2-1-1根据图1-2-1-1中曲线,可知时间t变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面积S变化范围是数集B={S|0≤S≤26},那么有对应:f:t→S,t∈A,S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量上下,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中恩格尔系数y随时间t(年)变化情况说明,“八五〞方案以来,我国城镇居民生活质量发生了显著变化.“八五〞方案以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 恩格尔系数y根据上表,可知时间t变化范围是数集A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数y变化范围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.那么有对应:f:t→y,t∈A,y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样对应称为函数,请用集合观点给出函数定义.(3)函数定义域是自变量取值范围,那么你是如何理解这个“取值范围〞？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f:A→B值域为C,那么集合B=C吗？活动：让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应本质共性. 解：(1)共同特点是:集合A、B都是数集,并且对于数集A中每一个元素x,在对应关系f:A→B 下,在数集B中都有唯一确定元素y与之对应.(2)一般地,设A、B都是非空数集,如果按照某个确定对应关系f,使对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫自变量,x取值范围A叫做函数定义域,函数值集合{f(x)|x∈A}叫做函数值域.在研究函数时常会用到区间概念,设a,b是两个实数,且a<b,如下表所示:定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间［a,b］{x|a<x<b} 开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间［a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b］{x|x≥a}［a,+∞){x|x>a} (a,b］{x|x≤a}(-∞,a］{x|x<a} (-∞,a)R (-∞,+∞)(4)函数有意义是指:自变量取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时,那么还要满足实际取值等等. (5)C ⊆B. 应用例如思路11.函数f(x)=3x ++, (1)求函数定义域; (2)求f(-3),f(32)值; (3)当a>0时,求f(a),f(a-1)值. 活动：(1)让学生回想函数定义域指是什么？函数定义域是使函数有意义自变量取值范围,故转化为求使3x +和有意义自变量取值范围;3x +有意义,那么x+3≥0, 有意义,那么x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成不等式组.(2)让学生回想f(-3),f(32)表示什么含义？f(-3)表示自变量x=-3时对应函数值,f(32)表示自变量x=32时对应函数值.分别将-3,32代入函数对应法那么中得f(-3),f(32)值.(3)f(a)表示自变量x=a 时对应函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应函数值.分别将a,a-1代入函数对应法那么中得f(a),f(a-1)值.解：(1)要使函数有意义,自变量x 取值需满足解得-3≤x<-2或x>-2, 即函数定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞). (2)f(-3)=33-++=-1; f(32)==. (3)∵a>0,∴a∈［-3,-2)∪(-2,+∞), 即f(a),f(a-1)有意义. 那么f(a)=3a ++;f(a-1)==.点评：此题主要考察函数定义域以及对符号f(x)理解.求使函数有意义自变量取值范围,通常转化为解不等式组.f(x)是表示关于变量x 函数,又可以表示自变量x 对应函数值,是一个整体符号,分开符号f(x)没有什么意义.符号f 可以看作是对“x〞施加某种法那么或运算.例如f(x)=x 2-x+5,当x=2时,看作“2”施加了这样运算法那么:先平方,再减去2,再加上5;当x 为某一代数式(或某一个函数记号时),那么左右两边所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f ［g(x)］=［g(x)］2-g(x)+5等等.符号y=f(x)表示变量y 是变量x 函数,它仅仅是函数符号,并不表示y 等于f 与x 乘积;符号f(x)与f(m)既有区别又有联系,当m 是变量时,函数f(x)与函数f(m)是同一个函数;当m 是常数时,f(m)表示自变量x=m 对应函数值,是一个常量.函数解析式,求函数定义域,就是求使得函数解析式有意义自变量取值范围,即:(1)如果f(x)是整式,那么函数定义域是实数集R .(2)如果f(x)是分式,那么函数定义域是使分母不等于零实数集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函数定义域是使根号内式子大于或等于零实数集合.(4)如果f(x)是由几个局部数学式子构成,那么函数定义域是使各局部式子都有意义实数集合(即求各局部定义域交集).(5)对于由实际问题背景确定函数,其定义域还要受实际问题制约. 变式训练1.求函数y=定义域.答案：{x|x≤1,且x≠-1}.点评：此题容易错解：化简函数解析式为y=x+1x -1-,得函数定义域为{x|x≤1}.其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先原那么.化简函数解析式容易引起函数定义域发生变化,因此求函数定义域之前时,不要化简解析式. 2.2007山东滨州二模,理1假设f(x)=x1定义域为M,g(x)=|x|定义域为N,令全集U=R ,那么M∩N 等于( )A.M C.M D.N分析:由题意得M={x|x>0},N=R ,那么M∩N={x|x>0}=M. 答案：A3.函数f(x)定义域是［-1,1］,那么函数f(2x-1)定义域是________.分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x 取值需满足-1≤2x -1≤1,∴0≤x≤1. 答案：［0,1］思路2 1.2007湖北武昌第一次调研,文14函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+f(21)+f(3)+f(31) +f(4)+f(41)=________. 活动：观察所求式子特点,引导学生探讨f(a)+f(a1)值. 解法一：原式=22222222222222)41(1)41(414)31(1)31(313)21(1)21(212111+++++++++++++=21+17117161011095154+++++=27. 解法二：由题意得f(x)+f(x1)===1.那么原式=21+1+1+1=27.点评：此题主要考察对函数符号f(x)理解.对于符号f(x),当x 是一个具体数值时,相应地f(x)也是一个具体函数值.此题没有求代数式中各个函数值,而是看到代数式中含有f(x)+f(x 1),故先探讨f(x)+f(x1)值,从而使问题简单地获解.求含有多个函数符号代数式值时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式特 找到规律再求解.受思维定势影响,此题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费时间,得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经历积累. 变式训练1.a 、b∈N *,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,那么)2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________.分析:令a=x,b=1(x∈N *),那么有f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x),即有=2(x∈N *).所以,原式=2006222++=4012. 答案：40122.2007山东蓬莱一模,理13设函数f(n)=k(k∈N *),k 是π小数点后第n 位数字,π=3.1415926535…,那么等于________.分析:由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…, 那么有=1. 答案：12.2007山东济宁二模,理10A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B 满足f(a)+f(b)+f(c)=0,那么这样函数f(x)有( )活动：学生思考函数概念,什么是不同函数.定义域和值域确定后,不同对应法那么就是不同函数,因此对f(a),f(b),f(c)值分类讨论,注意要满足f(a)+f(b)+f(c)=0. 解：当f(a)=-1时,那么f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0, 即此时满足条件函数有2个; 当f(a)=0时,那么f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0, 即此时满足条件函数有3个; 当f(a)=1时,那么f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0, 即此时满足条件函数有2个.综上所得,满足条件函数共有2+3+2=7(个). 应选C.点评：此题主要考察对函数概念理解,用集合观点来对待函数. 变式训练假设一系列函数解析式一样,值域一样,但是定义域不同,那么称这些函数为“同族函数〞.那么解析式为y=x 2,值域是{1,4}“同族函数〞共有( ) A.9个分析:“同族函数〞个数由定义域个数来确定,此题中每个“同族函数〞定义域中至少含有1个绝对值为1实数和绝对值为2实数.令x 2=1,得x=±1;令x 2=4,得x=±2.所有“同族函数〞定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2}, {-1,-2,2},{1,-1,-2,2},那么“同族函数〞共有9个. 答案：A 知能训练1.2007学年度山东淄博高三第二次摸底考试,理16函数f(x)满足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,那么)9()10()5()7()8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(22222f f f f f f f f f f f f f f f +++++++++=______.解：∵f(p+q)=f(p)f(q),∴f(x+x)=f(x)f(x),即f 2(x)=f(2x). 令q=1,得f(p+1)=f(p)f(1),∴=f(1)=3. ∴原式=)9()10(2)7()8(2)5()6(2)3()4(2)1()2(2f f f f f f f f f f ++++=2(3+3+3+3+3)=30. 答案：302.2006第十七届“希望杯〞全国数学邀请赛(高一)第一试,2假设f(x)=x1定义域为A,g(x)=f(x+1)-f(x)定义域为B,那么( )A.A∪B=B B ⊆B D.A∩B=∅分析:由题意得A={x|x≠0},B={x|x≠0,且x≠-1}.那么A∪B=A,那么A 错;A∩B=B,那么D 错;由于B A,那么C 错,B 正确. 答案：B 拓展提升问题:函数f(x)=x 2+1,x∈R .(1)分别计算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)值. (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.活动：让学生探求f(x)-f(-x)值.分析(1)中各值规律,归纳猜测出结论,再用解析式证明.解：(1)f(1)-f(-1)=(12+1)-［(-1)2+1］=2-2=0;f(2)-f(-2)=(22+1)-［(-2)2+1］=5-5=0;f(3)-f(-3)=(32+1)-［(-3)2+1］=10-10=0.(2)由(1)可发现结论:对任意x∈R ,有f(x)=f(-x).证明如下:由题意得f(-x)=(-x)2+1=x 2+1=f(x). ∴对任意x∈R ,总有f(x)=f(-x). 课堂小结本节课学习了:函数概念、函数定义域求法和对函数符号f(x)理解. 作业课本P 24,习题组1、5.设计感想本节教学中,在归纳函数概念时,本节设计运用了大量实例,如果不借助于信息技术,那么会把时间浪费在实例书写上,会造成课时缺乏即拖堂现象.本节重点设计了函数定义域求法,而函数值域求法将放在函数表示法中学习.由于函数是高中数学重点内容之一,也是高考重点和热点,因此对函数概念等知识进展了适当拓展,以满足高考需要.。