高一数学人教版必修一 函数的单调性

《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析1. 教材内容及地位本节课是人教版版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.2. 教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.3. 教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.二、学生学情分析1. 教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“V随X的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2. 教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.三、课堂教学目标1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量.4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力.四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随x 的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1. 指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随x 的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4. 在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.五、教学过程(一)通过问题，引入课题分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y=x²的图像，并且观察自变量变化时，函数图像有什么变化趋势?y=-x+10 1X1y=x²1问题一问题二如何描述函数图像的上升或下降?图像上升，y 随着x的增大而增大图像上升，y随着x的增大而减小向题三如何用符号化的数学语言来描述y 随着x 的增大而增大呢?(二)引导探究，生成概念探究在函数y=f(x)的给定区间上任取x₁,x₂,当x₁<x₂时，有f(x)<f(x₂),这时我们就说函数y=f(x)在给定区间上是增函数.单调性的定义一般的，设函数f(x) 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有_f(x)<f(x₂),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有f(x)>f(x),那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数；如果函数y=f(x) 在区间D上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性；区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间(三)学以致用，理解感悟概念理解( 1 ) 已知,因为f(-1)<f(2), 所以函数f(x)是增函数.(2)能不能说y= (x≠0)定义域(-∝,0)∪(0,+∝)上是单调减函数？(3)对于函数f(x),x∈D,若x,x₂∈D,(x₂-x) [f(x₂)-f(x₁)]>0 ,则函数f(x)在D上是增函数.(4)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且x₁<x₂,则f(x)>f(x₂).- 用于比较函数值的大小(5)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且f(x₁)>f(x₂),则x₁<x₂…用于比较自变量值的大小概念升华：(1)x,x₂具有任意性；(2)单调性是相对区间而言的，在一点处不具有单调性，单调区间之间用“,”隔开(不可用“U”符号连接)(3)定义的等价变形；(4)“知二推一”的应用典型例题—根据图像，指出函数的单调区间，并指明函数在这些区间上的增减性。

四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。

提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

通过练习。

最新人教版高一数学必修1第一章《函数的单调性》夯实基础2.3 函数的单调性巩固·夯实基础一、自主梳理1.单调性的定义设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量x 1、x 2,当 x 1f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.2.判断函数单调性的方法(1)定义法.(2)利用基本函数的单调性,如:二次函数y=x 2-2x 在(-∞,1)上是减函数.(3)利用复合函数同增异减这个结论判断.(4)利用函数图象上升增下降减进行判断.另外利用导数值的符号也能判断函数的单调性.二、点击双基1．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A.y=-x+1B.y=xC.y=x 2-4x+5D.y=x2 答案:B2．函数y=log a (x 2+2x-3)，当x=2时，y ＞0，则此函数的单调递减区间是( )A.(-∞，-3)B.(1，+∞)C.(-∞，-1)D.(-1，+∞)解析:当x=2时，y=log a 5＞0，∴A ＞1.由x 2+2x-3＞0?x ＜-3或x ＞1，易见函数t=x 2+2x-3在(-∞，-3)上递减，故函数y=log a (x 2+2x-3)(其中a ＞1)也在(-∞，-3)上递减.答案:A3．（2005上海高考）若函数f(x)=121+x ,则该函数在(-∞,+∞)上是( ) A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值解析：由于u(x)=2x +1在R 上递增且大于1,则f(x)=121+x 在R 上递减,无最小值,选A. 答案：A 4．（2006北京海淀模拟）函数y=lgsin(4π-2x)的单调增区间是( ) A.(k π-85π,k π-8π)(k ∈Z) B.［k π-8π,k π+8π］(k ∈Z) C.(k π-83π,k π-8π)(k ∈Z) D.［k π-8π,k π+83π］(k ∈Z) 解析:令y=lg μ,μ=sin(4π-2x). 根据复合函数单调区间的求法,只需使2k π+2π≤4π-2x<2k π+π即可. ∴-k π-83π<="" ≤-k="">答案:C诱思·实例点拨【例1】如果二次函数f(x)=x 2-(a-1)x+5在区间(21，1）上是增函数，求f(2)的取值范围. 剖析:由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11,求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域，当然就应先求其定义域.解:二次函数f(x)在区间(21，1)上是增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，故其对称轴x=21-a 或与直线x=21重合或位于直线x=21的左侧，于是21-a ≤21,解之得a ≤2,故f(2)≥-2×2+11=7,即f(2)≥7.【例2】讨论函数f(x)=12-x ax (a>0)在x ∈(-1,1)上的单调性. 解:设-1<1,<=""bdsfid="108" p="">则f(x 1)-f(x 2)=11222211---x ax x ax =)1)(1(222122121221--+--x x ax x ax ax x ax =)1)(1()1)((22212112--+-x x x x x x a . ∵-1<1,<="" bdsfid="113" p="">∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 12-1)(x 22-1)>0.又a>0，∴f(x 1)-f(x 2)>0,函数f(x)在(-1，1)上为减函数.【例3】求函数y=x+x1的单调区间. 剖析:求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性)，一般有三种方法:(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x 与y=x1的单调性(一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f(x 2)-f(x 1)的正负.解:首先确定定义域:{x|x ≠0},∴在(-∞,0)和(0，+∞)两个区间上分别讨论.任取x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<="" 1-11x="(x" 2)-f(x="" 2+21x="" 2,则f(x="" 2-x="" bdsfid="123" p="">121x x x x -=(x 2-x 1)(1-211x x )，要确定此式的正负只要确定1-211x x 的正负即可.这样，又需要判断211x x 大于1，还是小于1.由于x 1、x 2的任意性，考虑到要将(0，+∞)分为(0，1)与(1，+∞)(这是本题的关键).(1)当x 1、x 2∈(0,1)时，1-211x x <0, ∴f(x 2)-f(x 1)<0为减函数.(2)当x 1、x 2∈(1,+∞)时，1-211x x >0, ∴f(x 2)-f(x 1)>0为增函数.同理可求(3)当x 1、x 2∈(-1,0)时，为减函数;(4)当x 1、x 2∈(-∞,-1)时，为增函数. 讲评:解答本题易出现以下错误结论:f(x)在(-1，0）∪(0，1）上是减函数，在(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函数，或说f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是单调函数.避免错误的关键是要正确理解函数的单调性概念:函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.链接·拓展求函数y=x+xa (a>0)的单调区间. 提示:函数定义域x ≠0，可先考虑在(0,+∞)上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在(-∞,0)上的单调性.答案:在(-∞,-a )，(a ,+∞)上是增函数，在(0,a ),(-a ,0)上是减函数.【例4】（2004北京东城模拟）已知定义在R 上的函数f(x)对任意的实数x 1、x 2满足关系f(x 1+x 2) =f(x 1)+f(x 2)+2.(1)证明f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称图形;(2)若x>0,则有f(x)>-2,求证:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.剖析:对于(1),只要证明2)()(x f x f -+=-2即可;对于(2),注意到f(x)是抽象函数,欲证单调性,需对f(x)进行适当的变形.证明:(1)令x 1=x 2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+2,所以f(0)=-2.对任意实数x,令x 1=x,x 2=-x,有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2,即f(0)-2=f(x)+f(-x),得2)()(x f x f -+=-2. 又2)(x x -+=0, 这表明点M(x,f(x))与点N(-x,f(-x))的中点是(0,-2),即点M 1N 关于点(0,-2)成中心对称.由点M 的任意性知:函数f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称.(2)对任意实数x 1、x 2,且x 1<="" bdsfid="150" p="">由x 2-x 1>0,有f(x 2-x 1)>-2.于是f(x 2)=f ［(x 2-x 1)+x 1］=f(x 2-x 1)+f(x 1)+2.所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+2>-2+2=0,即f(x2)>f(x1).所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.讲评:对于(1),求出f(0)=-2是解题的关键;对于(2),变形f(x2)=f ［(x2-x1)+x1］=f(x2-x1)+f(x1)+2是解题的关键.。

新人教版高一数学知识点高一上册数学必修一知识点梳理函数的性质函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：(1)任取x1，x2∈D，且x1(2)作差f(x1)-f(x2);或者做商(3)变形(通常是因式分解和配方);(4)定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;2确定f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.高一数学必修五知识点总结⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d.⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd.⑶若{a}、{b}为等差数列,则{a±b}与{ka+b}(k、b为非零常数)也是等差数列.⑷对任何m、n,在等差数列{a}中有：a=a+(n-m)d,特别地,当m=1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性.⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l+k+p+…=m+n+r+…(两边的自然数个数相等),那么当{a}为等差数列时,有：a+a+a+…=a+a+a+….⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd(k为取出项数之差).⑺如果{a}是等差数列,公差为d,那么,a,a,…,a、a也是等差数列,其公差为-d;在等差数列{a}中,a-a=a-a=md.(其中m、k、)⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.⑼当公差d>0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d<0时,等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时,等差数列中的数等于一个常数.⑽设a,a,a为等差数列中的三项,且a与a,a与a的项距差之比=(≠-1),则a=.⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式(其中a、b为常数).⑵在等差数列{a}中,当项数为2n(nN)时,S-S=nd,=;当项数为(2n-1)(n)时,S-S=a,=.⑶若数列{a}为等差数列,则S,S-S,S-S,…仍然成等差数列,公差为.⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T(n为奇数),则=.⑸在等差数列{a}中,S=a,S=b(n>m),则S=(a-b).⑹等差数列{a}中,是n的一次函数,且点(n,)均在直线y=x+(a-)上.⑺记等差数列{a}的前n项和为S.①若a>0,公差d<0,则当a≥0且a≤0时,S;②若a<0,公差d>0,则当a≤0且a≥0时,S 最小.高一数学学习方法参考基础是关键，课本是首选首先，新高一同学要明确的是：高一数学是高中数学的重点基础。