附有参数的条件平差法方程法方程法方程华北科技学院习题附

条件平差习题一、重点内容及难点1. 水准网条件平差● 条件方程列法 ● 权的确定方法2. 边角网条件平差● 条件方程个数确定方法● 条件方程类型：图形条件 极条件 边条件 方位角条件 基线条件3. 条件方程线性化11112ˆ()()()()()()()ˆˆˆˆnn i i ni f f f f f Lf L V V V f L V L L L L =∂∂∂∂=++++=+∂∂∂∂∑● 极条件方程及线性化● 符合三角网条件方程4. 理解条件平差的函数模型和随机模型● 明确必要起算数据、必要观测数据、多余起算数据和多余观测数据的概念； ● 条件平差的出发点：观测值的平差值之间应该存在的函数关系式； ● 随机模型的含义和作用二、公式汇编及条件平差计算步骤1. 根据实际问题，确定出总观测值的个数n 、必要观测值的个数t及多余观测个数r = n – t ，2. 列出条件平差值方程，对其线性化进一步列出改正数条件方程平差值条件方程 ˆ()0F L=改正数条件方程 0=+W AV3. 据具体情况确定观测值的权阵；)(21n p p p diag P =4. 组成法方程式，求出联系数；W NK =1K N W -=-5. 算出观测值改正数和观测值的平差值Lˆ； 1T V P A K -= V L L+=ˆ 6. 检查平差计算的正确性，将平差值L ˆ代入平差值条件方程式，检验平差值是否满足应有的条件关系式；0)ˆ(=LF 7. 计算单位权方差和单位权中误差；rPV V T =20ˆσ8. 列出平差值函数关系式，计算平差值函数及其精度。

对平差值函数全微分，应用广义传播律计算平差值函数的协因数，进一步计算出平差值函数的方差、协方差。

12ˆˆˆˆ(,,,)nf L L L ϕ= ˆˆˆˆTLL Q fQ f ϕϕ= 2ˆˆˆˆ0ˆD Q ϕϕϕϕσ=三、思考题：1.发现误差的必要条件是什么？2. 几何模型的必要元素与什么有关？为什么？3. 测量平差的函数模型和随机模型分别表示哪些量之间的什么关系？4. 什么叫必要起算数据？各类控制网的必要起算数据是如何确定的？5. 条件平差中求解的未知量是什么？能否由条件方程直接求得改正数？6.设某一平差问题的观测个数为n ，必要观测数为t ，若按条件平差法进行平差，其条件方程，法方程及改正数方程的个数各为多少？7. 通常用什么公式将非线性函数模型转化为线性函数模型？ 8. 在条件平差中，能否根据已列出的法方程计算单位权方差？ 9. 条件平差中的精度评定主要是解决哪些方面的问题？四、计算题5.1 有水准网如下图P1点位已知点Hp1=50.002米，P2、P3、P4,为待定点，观测六条线路的线路长度和高差为：S1= 1.0km h1=1.576m，S2=1.5 km h2=2.215m,S3=1.5 km h3=-3.800m,S4=1.0 km h4=0.871m,S5=2.0 km h5=-2.438m,S6= 2.0 km h6=-1.350m。

《误差理论与测量平差基础》授课教案2006～2007第一学期测绘工程系2006年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。

本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。

◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。

课程性质为必修课、考试课。

本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。

◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。

测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。

平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。

计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。

平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。

一、填空1.误差来源：测量仪器、观测者、外界条件。

2.误差分类：偶然误差、系统误差、粗差。

3.测量平差的基本任务：是处理一系列带有偶然误差的观测值，求取未知量的最佳估值，评定测量成果的精度。

4.偶然误差的四个特性：有限性、单峰性、对称性、有偿性。

5.水准测量中，观测值权的大小主要取决于或的大小。

6.独立观测值Li(i=1,2,3...n)的权均为p，则算术平均值x=L/n的权为np 。

7.间接平差法是以为函数模型的平差方法。

8.衡量精度的指标：中误差、平均误差、然误差。

9.相对中误差的概念为（中误差与观测值之比）其表示为（1/N）二、名词解释1.偶然误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差来看该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。

系统误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出系统性，或者在观测过程中按照一定的规律变化，或者为某一常数，这种误差称为系统误差。

2.测量平差：依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。

3.数学期望：随机变量取值的概率平均值协方差：是描述两随机变量的相关度偶然误差的特性：在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大绝对值相等的正负值出现的概率相同偶然误差数学期望为04.精度：就是指误差分布的密度或离散程度。

✓协方差传播定律：由观测值中误差求取观测值函数的中误差或方差，解决精度问题✓协因数传播定律：由观测值协因数求取观测值函数的协因数阵权：表示各观测值方差之间比例关系的数字特征水准测量定权的方法1.根据测站的观测高差定权2.根据距离的观测高差定权2.测量上确定权的常用方法？水准测量的权、同精度观测值的算术平均值的权5.单位权中误差：权为1的观测值的中误差（与单位权对应的观测值的中误差）必要元素：能够唯一确定一个几何模型所必要的元素6.条件方程：一个几何模型的独立量个数最多为t个，除此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式，这种函数关系式在测量平差中称为条件方程。

1. 误差来源，测量平差的任务，多余观测的目的。

2. 试用公式说明方差协方差阵与协因数阵之间的关系？协因数阵与权阵之间的关系？在什么情况下它们为对角矩阵？若协因数阵为单位阵表示什么意思？ 3. 已知随机变量y 、z 都是观测值L=[L1、L2、L3]T 的函数，函数关系如下：3162101733241L L L z L L L y +-=++=，已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=420231012LLQ ，证明y 、z 间互不相关。

4. 已知间接平差的模型为V=BX-L ，已知观测值的中误差为Q LL ，试推导Q VV 。

5. 已知独立观测值L 1,L 2的中误差为σ1和σ2，试求下列函数的中误差： （1）122X L L =- （2）211212Y L L L =+6. 某平差问题有15个同精度观测值，必要观测数为8，现选取8个参数，且参数之间有2个限制条件。

若按附有限制条件的条件平差法进行平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程？由其组成的法方程有几个？7. 在相同条件下，观测两个角度∠A=30︒00'00"，∠B=75︒00'00"，设对∠A 观测6个测回的权为1，问观测∠B 9个测回的权为多少？8. 在相同观测条件下，应用水准测量测定点A —B —C —D 之间的高差，设路线长度分别为S 1=2km ，S 2=4km ，S 3=6km ，令12km 的高差观测值权为单位权观测，设每公里观测高差中误差为σ，试求各段观测高差之权及单位权中误差。

9. 取一长度为d 的直线之丈量结果的权为1，则长度为D 的直线之丈量结果的权为多少？若长度为D 的直线丈量了n 次，则其算术平均值的权为多少？。

10. 已知一水准网如下图，其中A 、B 为已知点，观测了8段高差，若设E 点高程的平差值与B 、E 之间高差的平差值为未知参数21ˆˆX X 、，按附有限制条件的条件平差法（概括平差法）进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为C11. 在已知水准点A 、B （其搞成无误差）间布设设水准线路，如图所示。

第一章 习题参考答案 1题.略2题.解 (1)222194σσ+（2）2221212219)3(σσL L L +-(3) 222212211************")(cos )sin(sin ")(cos )sin(sin )cos(cos σρσρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++L L L L L L L L L L L L L 3题. 解T T TLL XY LL YL LL XL B A AD D BAD D AD D ===,,4题.解 设路线总长S 公里，按照测量学上的附合路线计算步骤，则路线闭合差B A h H h h H f -++=21由于是路线中点，故()B A h H h h H f v v -++-===21212121 则线路中点高程()()B A B A B A A A H H h h H H h h H h h H h H v h H H ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=-++-+=-+=2121212121212121ˆ212121111中点设每公里高差观测中误差为0σ，则021)2/(σσσs h h ==按误差传播定律)(16,10425)52/(41)52/(41)2/(41)2/(414141212100212122220202222ˆ21121km S S s s s s h h h h H ≤≤=⋅⨯+⋅⨯=⨯+⨯=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=σσσσσσσ中点5.解 设每个测回的中误差为0σ，需要再增加n 个测回，则)2(2028.0,28.020)1(2042.0,42.0200000+±=±=+±=±=n n σσσσ由上式可解出n.即252023202028.042.020222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⨯=n 再增加25个测回6题.解[][][][][][][][][]][][][,100010001...,...)...(2121211212122111⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎣⎡⎥⎦⎤=+++==p p p p p p p p p P p P p P p Q L L L P p P p P p L p L p L p x n n n p xx n n n n p p pL x][][][][][][p p p p p p p p p p p p p p p nnn⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=1 (1)12221117题。

第一章测试1.误差是不可避免的。

A:对B:错答案:A2.构成观测条件的要素有哪些A:外界条件B:计算工具C:观测者D:测量仪器答案:ACD3.对中误差属于那种误差A:系统误差B:偶然误差C:不是误差D:粗差答案:B第二章测试1.两随机变量的协方差等于0时，说明这两个随机变量A:相关B:互不相关C:相互独立答案:B2.观测量的数学期望就是它的真值A:错B:对答案:A3.衡量系统误差大小的指标为A:精确度B:准确度C:不确定度D:精度答案:B4.精度是指误差分布的密集或离散程度，即离散度的大小。

A:错B:对答案:B5.若两观测值的中误差相同，则它们的A:测量仪器相同B:真误差相同C:观测值相同D:精度相同答案:D第三章测试1.设L的权为1，则乘积4L的权P=（）。

A:1/4B:4C:1/16D:16答案:C2.有一角度测20测回，得中误差±0.42秒，如果要使其中误差为±0.28秒，则还需增加的测回数N=（）。

A:25B:45C:20D:5答案:A3.在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1cm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm，问可以设25站。

A:对B:错答案:A4.已知距离AB=100m，丈量一次的权为2，丈量4次平均值的中误差为2cm，若以同样的精度丈量CD的距离16次，CD=400m，则两距离丈量结果的相对中误差分别为（ 1/5000 ）、（1/20000 ）。

A:错B:对答案:B5.A:29B:35C:5D:25答案:D第四章测试1.当观测值为正态随机变量时，最小二乘估计可由最大似然估计导出。

A:对B:错答案:A2.多余观测产生的平差数学模型，都不可能直接获得唯一解。

A:对B:错答案:A3.在平差函数模型中，n、t、r、u、s、c等字母各代表什么量？它们之间有何关系？( n观测值的个数 )(t必要观测数 )(r多余观测数,r=n-t )(u所选参数的个数 )( s非独立参数的个数,s=u-t )( c所列方程的个数,c=r+u )A:对B:错答案:A4.A:对B:错答案:A5.A:错B:对答案:B第五章测试1.关于条件平差中条件方程的说法正确的是：A: 这r个条件方程应彼此线性无关B: 应列出r个条件方程C: r个线性无关的条件方程必定是唯一确定的，不可能有其它组合。

一、填空题：1、观测条件由观测仪器、____________和_____________三部分构成。

2、观测误差按其性质的不同可分为系统误差和偶然误差，其中____________误差在观测或计算过程中可以采用一定的措施消除或削弱，而___________误差在观测结果中必然存在。

3、测量平差的首要任务是经过数据处理，确定观测值的________________，而__________________________________________也是其必不可少的任务。

4、偶然误差的统计规律性是指：界限性、_______性、_______性和_______性。

5、在某相片上量得一距离长为200㎝，其相对中误差为1/3000,则该距离的绝对中误差为_____________________㎝。

6、测量平差是在______________的基础上利用_______________原理进行的。

7、单位权中误差mo、权Pi和中误差mi之间的关系为_______________________。

8、有一四边形导线环，同精度观测其各内角，共观测5组结果，计算出5个闭合差为﹣8″、9″、7″、﹣5″、-7″，则每组观测值之和中误差为____________，每个导线角观测值中误差___________。

（保留一位小数）9、设某角度观测值的协因数为3，则其观测值的权为_________。

10、观测成果的质量高低__________（能、否）反映观测条件的好坏。

11、理论上我们取3倍中误差为极限误差；而等级控制测量因为观测的精度要求比较高，往往规定______倍中误差为极限误差12、衡量精度常用的几种指标有中误差、___________误差和__________误差。

13、精度是指误差分布的________________程度。

14、由三角形闭合差ω计算测角中误差mβ的公式为______________________。

1.1 观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.2 测量误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测成果有何影响？ 1.3 何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？1.4 测量平差的任务是什么？带有系统误差的观测值能否参加平差？2.1 观测量的真值i L ~及真误差i ∆各是怎样定义的？它们与观测值i L 之间有怎样的关系？ 2.2 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2.3 偶然误差∆服从什么分布？它的数学期望与方差各是多少？2.4 何谓精度？通常采用哪几种衡量精度的指标？它们各自是怎样定义的？2.5 在相同的观测条件下，对同一个量进行了若干次观测，这些观测值的精度是否相同？在相同的观测条件下所测得的观测值，能否理解为误差小的观测值一定比误差大的观测值的精度高？2.6 为什么通常采用中误差作为衡量精度的标准？它的几何意义是什么？ 2.7 什么是极限误差？它的理论依据是什么？2.8 已知两段距离的长度及其中误差为300.465m ±4.5cm ，660.894m ±4.5cm ，试说明这两个长度的真误差是否相等？它们的最大限差是否相等？它们的精度是否相等？它们的相对精度是否相等。

2.9 有一段距离，其观测值及中误差为345.675m ±15mm ，试估计这个观测值误差的实际可能范围是多少？并求出该观测值的相对中误差？3.1 协方差传播律是用来解决什么问题的？3.2 相关观测值向量1,n X 的协方差阵是怎样定义的？试说明nn xx D ,中各个元素的含义。

当向量1,n X 中的各个分量是两两互相独立时，其协方差阵有什么特点？3.3 已知观测值21,L L 的中误差,21σσσ==协方差012=σ。

设2112-=5+2=L L Y L X ,，Y X T L L Z +==21,，试求X 、Y 、Z 、T 的中误差。

3.4 已知独立观测值21,L L 的中误差为1σ和2σ，试求下列函数的中误差： （1）212L L X -= （2）212121L L L Y +=（3）)sin(/sin 211L L L Z += 3.5 已知观测值向量1,31,21,321,,n n n L L L 及其协方差阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332322131211D D D D D D 对称, 组成函数⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=030201C CL Z B BL Y A AL X式中A,B,C 为系数阵，000C B A ,,为常数阵。

附合导线按条件平差算例9.4.1附合导线的条件平差方程式如图9-6所示，符合在已知),(A A y x A ，),(C C y x C 之间的单一符合导线有n 条AB α与CDα是已知方位角。

设观测角为β、β、… …、β，测角中误差为 ，观测边长为s 、s 、… …、s ，故t1为v 1=ii BACD 011=+∑+=a i n i v ω （9-2）式中a ω—方位角条件的不符值，按180)1(ˆ11+-∑+-=+=n in i CD BAaβααω （9-3）若导线的A 点与C 点重合，则形成一闭合导线，由此坐标方位角条件就成了多边形的图形闭合条件。

2、纵、横坐标条件 设以1ˆx ∆、2ˆx ∆、…、n x ˆ∆表示图中各导线边的纵坐标增量之平差值；1ˆy∆、2y ∆、…、n yˆ∆表示图中各导线边的横坐标增量之平差值；由图可写出以坐标增量平差值表示的纵、横坐标条件。

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∑+∆∑+=∆∑+=∑+∆∑+=∆∑+=∆∆yi n i n A i n A C xi n i n A i nA C v y y yy y v x x xx x 111111ˆˆ （9-4）σ令⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--∆∑=--∆∑=)()(11A Ci nyA C i nx y y y x x x ωω （9-5）则⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∑=+∑∆∆0011yyi nx xi nv v ωω （9-6） 以微分量代替改正数，则有)()()(211n xi nx d x d x d v ∆++∆+∆=∑∆{}ρα1231211)()()(cos v y y y y y y v v n Csi i nxin-'++-+--∑=∑∆将上式代入式9-6得纵坐标条件式，且同理已可得横坐标的条件式即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+-'∑+∑=+-'∑-∑====0)(1sin 0)(1cos 1111y i i Cni sii n i x i i Cni si i n i v x x v v y y v ωραωρα （9-7）上式就是单一符合导线的纵、横坐标条件方程x ω、y ω为条件式的不符值，按⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-'=-∆∑+=-'=-∆∑+=C CCi nA yC CC i nA x y y y y y x x x x x 11ωω （9-8）式中i x 、i y 是由观测值计算的各导线点的近似坐标。

一、 正误判断（正确“T ”，错误“F ”每题1分，共10 分）。

1．已知两段距离的长度及中误差分别为128.286m ±4.5cm 与218.268m ±4.5cm ，则其真误差与精度均相同（ ）。

2．如果X 与Y 的协方差0xy σ=，则其不相关（ ）。

3．水准测量中，按公式i icp s =（i s 为水准路线长）来定权，要求每公里高差精度相同（ ）。

4．可用误差椭圆来确定待定点与待定点之间的某些精度指标（ ）。

5．在某一平差问题中，观测数为n ，必要观测数为t ，参数个数u ＜t 且不独立，则该平差问题可采用附有参数的条件平差的函数模型。

（ ）。

6．由于同一平差问题采用不同的平差方法得到的结果不同，因此为了得到最佳平差结果，必须谨慎选择平差方法（ ）。

7．根据公式()222220cos sin 0360E F θσθθθ=+≤≤得到的曲线就是误差椭圆（ ）。

8．对于特定的平面控制网，如果按间接平差法解算，则误差方程的个数是一定的（ ）。

9．对于同一个观测值来说,若选定一定权常数0σ，则权愈小，其方差愈小，其精度愈高（ ）。

10．设观测值向量,1n L 彼此不独立，其权为()1,2,,i P i n =，12(,,,)n Z f L L L =，则有22211221111Z n nf f f P L P L P L P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）。

二、填空题（每空2分，共24分）。

1、设对某三角网进行同精度观测，得三角形角度闭合差分别为：3秒，-3秒，2秒，4秒，-2秒，-1秒，0秒，-4秒，3秒，-2秒，则测角中误差为 秒。

2、某平差问题函数模型)(I Q =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=+-+=--0ˆ03060515443121x v v v v v v v v ，则该函数模型为 平差方法的模型；=n ，=t ，=r ，=c ，=u 。