专题1.3 变量之间的关系(精讲精练)(原卷版)【北师大版】

变量之间的关系一、基础知识回顾：1、在某一变化过程中，把数值始终不变的量称为（），把数值发生变化的量称为（）。

2、表示两个变量之间关系的方法有（）、（）、（）．3、图象法表示两个变量之间关系的特点是直观的反应了两个变量之间的变化情况。

4、用图象法表示两个变量之间关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示（），用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示（）．一、用表格表示变量间的关系某商场出售某种商品，其销售件数与守家的关系如下表：（1）上述表格中那些量在变化？自变量和因变量各是什么？（2）某顾客欲购买这种商品10件，但是只带了80元。

他所带的钱是否够用？如果不够用，则最多可购买该商品多少件？二、用关系式表示的变量间的关系：例2：一本书，每20页厚1，设从第一页到x页的厚度是y ，则y和x之间的关系式是（）A．120y x= B.20y x= C.120y x=+ D.20yx=2.一长方形的周长为12，面积y随长方形的长x的变化而变化。

Y和x的关系式是（）A．26y x x=+ B.26y x x=- C.26y x x=-3.在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系接近下列关系式中的（）A ．22v m =- B.21v m =- C.32v m =- D. 1v m =+4.小明想把一长为60，宽为40的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体小盒子。

于是在长方形纸片的四个角各剪去一个边长为x 的小正方形。

用s 表示图中阴影部分的面积。

（1）试写出s 和x 之间的关系式。

（2）当x 等于5时，求这个盒子的容积。

三、用图像表示变量间的关系 专题一、速度随时间的变化1、 汽车速度与行驶时间之间的关系可以用图象来表示，下图中A 、B 、C 、D 四个图象，可以分别用一句话来描述：（1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢。

（ ） （2）在某段时间里，汽车速度始终保持不变。

北师大版七年级物理下册变量之间的关系-专题复习引言物理中有很多变量，它们之间的联系非常重要。

本篇文章将介绍北师大版七年级物理下册变量之间的关系。

变量的种类在物理中，变量分为三种：* 定量变量：可以直接用数值表示，比如重量、长度、时间等；* 定性变量：只能用文字叙述，比如颜色、形状、气味等；* 数值型变量：既可以表示数值，也可以通过单位进行描述，比如速度、密度、体积等。

变量之间的关系变量之间的关系可以分为如下几种：1. 正比例关系：当两个变量的值同时变化时，它们的比例保持不变，比如物体的质量和体积；正比例关系：当两个变量的值同时变化时，它们的比例保持不变，比如物体的质量和体积；2. 反比例关系：当两个变量的值同时变化时，它们的比例相反，比如物体离中心的距离和重力；反比例关系：当两个变量的值同时变化时，它们的比例相反，比如物体离中心的距离和重力；3. 平方反比例关系：当两个变量的值同时变化时，它们的比例与其平方成反比，比如重力和物体距离中心的平方。

平方反比例关系：当两个变量的值同时变化时，它们的比例与其平方成反比，比如重力和物体距离中心的平方。

4. 其他函数关系：有些变量之间无法用上述关系表达，此时就需要使用函数关系，比如匀加速直线运动中的位移和时间关系。

其他函数关系：有些变量之间无法用上述关系表达，此时就需要使用函数关系，比如匀加速直线运动中的位移和时间关系。

变量之间关系的应用物理中变量之间关系的应用非常广泛。

例如：* 可以通过对物体重量和体积的正比例关系计算物体的密度；* 可以通过对牛顿第二定律公式中的力和加速度的关系得到物体的质量；* 可以通过距离和时间的关系计算速度等。

结论变量之间的关系在物理学习中非常重要，通过理解和应用这些关系，能够更轻松地学习和掌握物理知识。

希望本篇文章能够为大家的物理学习提供帮助。

最新（新课标）北师大版高中数学必修三§6 统计活动：结婚年龄的变化(略)§7 相关性[读教材·填要点]1．散点图在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．变量之间的相关关系从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．若两个变量x 和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称这两个变量是线性相关的，而若所有点看上去在某条曲线(不是直线)附近波动，则称此相关为非线性相关．如果所有点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．[小问题·大思维]1．相关关系和函数关系有什么异同？提示：如果一个变量每取一个值，另一个变量总有唯一确定的值与之对应，那么，这两个变量就是函数关系；如果一个变量每取一个值，另一个变量的取值带有一定的随机性，并且从总体上来看有关系，但不是确定性关系，那么，就说这两个变量具有相关关系．2．判断下列图中的两个变量，具有相关关系的有哪些？提示：由图易知，(1)、(3)描述的是函数关系，(2)、(4)是散点图，其中(4)不存在明显的依赖关系，所以只有(2)中的两个变量具有相关关系．[研一题][例1] 下列关系中，属于相关关系的是________．①正方形的边长与面积之间的关系；②农作物的产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．[自主解答] 在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．[答案] ②④[悟一法]两个变量x和y相关关系的确定方法：(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．[通一类]1．下列关系中为相关关系的有( )①学生的学习态度和学习成绩之间的关系；②老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①②B．①③C．②③D．②④解析：由相关关系定义可知，①②是相关关系，③④无相关关系．答案：A[研一题][例2] 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15 20 25 30 35 40 45水稻产量320 330 360 410 460 470 480(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？[自主解答] (1)散点图如下：(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增大．[悟一法]利用散点图判断不同变量的相关性时，其关键是正确画出散点图，然后观察分布规律：是分布在一条直线附近波动还是一条曲线附近波动，还是没有任何规律，从而得出线性相关、非线性相关或不相关的结论．[通一类]2．5个学生的数学和物理成绩如下表：学生成绩学科A B C D E数学80 75 70 65 60物理70 66 68 64 62画出散点图，并判断它们是否具有线性相关关系．解：以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如图所示，由散点图可知，两者之间具有线性相关关系．下列关系中带有随机性相关关系的有________．①光照时间与果树的亩产量的关系；②圆柱体积与其底面直径的关系；③自由下落的物体的质量与落地时间的关系；④球的表面积与球半径之间的关系．[错解] ①[错因] ①光照时间与果树的亩产量之间的关系是相关关系；②圆柱体积与两个变量相关，一是底面面积，一是高，这里直径决定了底面面积，而高还是一个可变量，因此在高没有确定的情况下，圆柱体积与底面直径只具有相关关系，而不是函数关系；③自由下落的物体的质量与落地时间无关，它们不具有相关关系；④球的表面积与球半径满足S＝4πR2，故它们具有函数关系．[正解] ①②1．下列变量是线性相关的是( )A．人的体重与视力B．圆心角的大小与所对的圆弧长C．收入水平与购买能力D．人的年龄与体重解析：B为确定关系；A、D不具有线性关系，C具有相关关系．答案：C2．下列分别是3对变量的散点图，则具有相关关系的是( )A．①②③B．①③C．②③D．②答案：B3．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )A．都可以分析出两个变量的关系B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C．都可以作出散点图D．都可以用确定的表达式表示两者的关系解析：给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，但不一定都能分析出两个变量的关系，更不一定是具有线性相关或函数关系．答案：C4．为了判断两个变量x，y之间是否具有相关关系，在直角坐标系中，描出每一组观测值(x，y)表示的点，得到的图形称为________．答案：散点图5．有下列关系：①曲线上的点与该点关于原点的对称点的坐标之间的关系；②苹果的产量与气候之间的关系；③森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系．其中，具有相关关系的是________．答案：②③6．李老师为了了解学生的计算能力，对某同学进行了10次试验，收集数据如下：画出散点图，并判断它们是否有线性相关关系．解：散点图如图，由散点图可以看出，两者之间具有线性相关关系．一、选择题1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧解析：瑞雪兆丰年和名师出高徒是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都是相关关系，所以A、B、C三项具有相关关系；结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反映，与人无任何关系，不具有相关关系．2．试从下面四个图中的点在散点图上的分布状态，直观上初步判断两个变量之间有线性相关关系的是( )答案：C3．下列两个变量间的关系，是相关关系的是( )A．任意实数和它的平方B．圆半径和圆的面积C．正多边形的边数和对角线的条数D．天空中的云量和下雨解析：很明显A、B、C三项都是函数关系；根据生活经验，天空中的云量和下雨之间不是确定性关系，虽然有云彩不一定下雨，但是如果没有云彩一定不下雨，这说明它们之间是相关关系．答案：D4．下列说法正确的是( )A．相关关系是函数关系B．函数关系是相关关系C．线性相关关系是一次函数关系D．相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系解析：函数关系和相关关系互不包含，所以A、B、C三项不正确；根据定义，相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系．5．2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．根据某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS病患者治愈的数据绘制出的散点图如图所示．下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系．其中正确的为( )A．①②B．①C．②D．以上都不对解析：①正确．答案：B二、填空题6．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是________．①圆的周长和它的半径②正方体的表面积与它的棱长③正n边形的边数和内角和④人的体重和身高答案：④7．下面各组变量之间具有相关关系的是________(填上正确答案的序号)．①高原含氧量与海拔高度．②速度一定时，汽车行驶的路程和所用的时间．③学生的成绩和学生的学号．④父母的身高和子女的身高．答案：①④8．下列两个变量之间的关系，是函数关系的有________．①球的体积和它的半径②人的血压和体重③底面积为定值的长方体的体积和高④城镇居民的消费水平和平均工资答案：①③三、解答题9．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下：画出散点图，并判断它们是否具有相关关系．解：散点图如下．由散点图可清楚地看到，在一定的范围内，这个男孩的年龄与身高具有明显的正相关关系，即该男孩的身高随着年龄的增大而增大．&知识就是力量&10．有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据．第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价：品牌 A B C D E F G H I J所含热量25 34 20 19 26 20 19 24 19 13的百分比口味记录89 89 80 78 75 71 65 62 60 52(1)作出散点图；(2)你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？(3)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系；(4)对于这种食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？解：(1)散点图如图所示.(2)从上图看基本近似成线性相关关系．(3)所画直线如上图所示．(4)因为当直线上方的食品和下方的食品所含热量相同时，直线上方的食品口味更好．。

第三章变量之间的关系知识点梳理及典型例题知识回顾——复习路程、速度、时间之间的关系：，，；知识点一常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为.数值始终不变的量为；在某一变化过程中，如果有两个变量x 和y，当其中一个变量x 在一定范围内取一个数值时，另一个变量y 也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变量x 叫做，后一个变量y 叫做自变量的；注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度60 千米/时是，时间t 和里程s 为变量.t 是，s 是。

知识点二用表格表示变量之间的关系表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.知识点三用关系式表示两个变量之间的关系= 2图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示，用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置；【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.【方法技巧】（1）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值.（2）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.知识点五变量之间的关系的表示方法比较表示变量之间的关系，可以用、和；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值；专题一能从表格中获取例如，正方形的边长为x，面积为y，则这个关系式就是表示两个变量两个变量之间关系的信息之间的对应关系，其中x 是，y 是；一般地，含有两个未知数（变量）的等式就是表示这两个变量的关系式；【温馨提示】（1）写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式.（2）自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义.（3）实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来.【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变1.有一个水箱，它的容量间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.知识点四用图象表示两个变量间的关系（1）在这个注水过程中，反映的是两个变量与之间的关系，其中变量是自变量，变量是因变量；（2）这个水箱原有水L；（3）min时水箱注满水；（4）由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水L. 3.七年级（1）班第一小组的同学星期天去郊外爬山，得到如下数据：（1）当爬到100 m 时，所花的时间是多少？（2）当爬到每增加10 m 时，所花的时间相同吗？（3）从表中数据的变化中，你能得到什么变化趋势？2.一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系：（1）上表反映了温度与长度两个变量之间的关系，其中自变量，是因变量.（2）当温度是10 ℃时，合金棒的长度是cm．（3）如果合金棒的长度大于10.05 cm 小于10.15 cm，根据表中的数据推测，此时的温度应在℃～℃的范围内．（4）当温度为-20 ℃和100 ℃，合金棒的长度分别为cm 和cm．4.一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10 秒之间的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？（2）如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是什么？（3）当t 每增加1 s 时，v 的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v 的增加量最大？（4）若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120 km/h，试估计还需几秒这辆小汽车的速度就达到这个上限?专题三用关系式表示两个变量之间的关系5.某水果批发市场香蕉的价格如下表：若小强购买香蕉x 千克（x 大于40 千克）付了y 元，则y 关于x 的关系式为6.（1）某礼堂共有 25 排座位，第一排有 20 个座位，后面每一排都比前一排多 1 个座位，写出每排的座位数 m 与 这排的排数 n 的关系式，并写出自变量 n 的取值范围．（2）在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：①当后面每一排都比前一排多 2 个座位时，则每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式是（1≤n ≤25，且 n 是正整数）； ②当后面每一排都比前一排多 3 个座位、4 个座位时，则每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式分别是 ，（1≤n ≤25，且 n 是正整数）；③某礼堂共有 p 排座位，第一排有 a 个座位，后面每一排都比前一排多 b 个座位， 试写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式．专题四 用关系式求值7. 一棵树苗，栽种时高度约为 80 厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：（1） 此变化过程中是自变量， 是因变量；（2） 树苗高度 h 与栽种的年数 n 之间的关系式为 ；（3） 栽种后后，树苗能长到 280 厘米． 8. 某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：（1） 现已知小伟家四月份用水 18 吨，则应缴纳水费多少元？（2） 写出每月每户的水费 y （元）与用水量 x （吨）之间的函数关系式．（3） 若已知小伟家五月份的水费为 17 元，则他家五月份用水多少吨？专题五 曲线型图象9. 温度的变化是人们经常谈论的话题．请你根据图象，讨论某地某天温度变化的情况如图所示：（1） 上午 10 时的温度是度， 14 时的温度是 度；（2） 这一天最高温度是度，是在时达到的；最低温度是度，是在时达到的； （3） 这一天从最低温度到最高温度经过了 小时；（4） 温度上升的时间范围为 ，温度下降的时间范围为 ；（5） 你预测次日凌晨 1 时的温度是．10. 如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中.（1） 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 和时间 t 的变化关系的图象，用直线段连接起来；每月每户用水量 每吨价（元） 不超过 10 吨部分 0.50 超过 10 吨而不超过 20 吨部分0.75 超过 20 吨部分1.50栽种以后的年数 n /年高度 h /厘米11052 130 31554 180 ……（2）当容器中的水恰好达到一半高度时，请在关系图的t 轴上标出此时t 值对应点T 的位置．专题六折线型图象11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．（1）A、B 两点分别表示汽车是什么状态？（2）请你分段描写汽车在第0 分钟到第19 分钟的行驶状况．（3）司机休息5 分钟后继续上路，加速1 分钟后开始以60 km/h 的速度匀速行驶，5 分钟后减速，用了2 分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．第三章 变量之间的关系复习题1. 一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：(1)(2) 弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用 x 表示弹性限度内物体的质量， 用 y 表示弹簧的长度，那么随着 x 的变化，y 的变化趋势如何？(3) 如果此时弹簧最大挂重量为 15 千克，你能预测当挂重为 10 千克时，弹簧(5) 当 x 在什么范围变化时，y 随x 的增大而增大，当 x 在什么范围变化时，y 随x 的增大而减小？你又是根据哪种表示法得到的？(6) 请你估计 x 取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？3．小红与小兰从学校出发到距学校 5 千米的书店买书，下图反应了他们两人离开学校的路程与时间的关系。

期末复习(三) 变量之间的关系01 知识结构本章知识是学习函数的基础，要求掌握表示变量之间关系的三种方法，学会分析变量之间的关系，并能进行简单的预测．02 典例精讲【例1】 下面的表格列出了一个试验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b 与下降高度d 的关系，下面能表示这种关系的式子是(C )d 50 80 100 150 b25405075A ．b ＝d 2B ．b ＝2dC ．b ＝d2D ．b ＝d ＋25【思路点拨】 这是一个用图表表示的关系，可以看出d 是b 的2倍，即可得关系式．【方法归纳】 利用表格表示两个变量之间关系，其对应值清晰明了，但它们之间的关系不够明朗，要结合数据加以分析才能发现潜在的规律．从表示自变量与因变量的表格中辨识自变量与因变量，一般第一栏为自变量，第二栏为因变量．【例2】 下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序(D )①一辆汽车在公路上匀速行驶(汽车行驶的路程与时间的关系)；②向锥形瓶中匀速注水(水面的高度与注水时间的关系)；③将常温下的温度计插入一杯热水中(温度计的读数与时间的关系)；④一杯越来越凉的水(水温与时间的关系)．A ．①②④③B ．③④②①C ．①④②③D ．③②④①【思路点拨】 观察图象的走势，并与实际情景相联系是解决此题的关键．【方法归纳】 解决此类题重在观察图象并对图象上的数量关系和走势进行分析，抓住图象的转折点，这些转折点往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．【例3】 如图所示，圆柱的高为10 cm ，当圆柱的底面半径变化时，圆柱的体积也发生变化．(1)在这个变化过程中，圆柱的底面半径是自变量，圆柱的体积是因变量；(2)请你求出圆柱的体积V(cm 3)与圆柱的底面半径R(cm )之间的关系式； (3)R 的值能为负值吗？为什么？(4)当圆柱的底面半径从2 cm 变化到5 cm 时，圆柱的体积变化了多少？(最后结果保留π)【思路点拨】 (1)题目中有两个变量，主动变化的量是圆柱的底面半径，随之变化的是圆柱的体积；在(2)中，根据圆柱的体积＝底面积×高即可求出V 与R 之间的关系式；由于R 为圆柱的底面半径，所以(3)中R 不能为负值；在(4)中，分别求出R 1＝2 cm 和R 2＝5 cm 时圆柱的体积，其差值即为体积的变化量． 【解答】 (2)因为圆柱的体积＝底面积×高，所以V ＝πR 2×10＝10πR 2.(3)因为R 为圆柱的底面半径，所以R>0，因此R 不能为负值．(4)因为10πR 22－10πR 21＝10π·52－10π·22＝10π·(52－22)＝210π，所以圆柱体积增加了210π cm 3.【方法归纳】 当变量之间的关系以图形形式表示时，可根据图形特点寻找有关变量的等量关系．然后根据等量关系列出关系式．值得注意的是，为使实际问题有意义，在求出变量之间的关系式后，要根据具体的题目要求，确定自变量的取值范围． 03 整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．小亮以每小时8千米的速度匀速行走时，所走路程s(千米)随时间t(小时)的增大而增大，则下列说法正确的是(C )A ．8和s ，t 都是变量B ．8和t 都是变量C ．s 和t 都是变量D ．8和s 都是变量2．已知三角形ABC 的面积为2 cm 2，则它的底边a(cm )与底边上的高h(cm )之间的关系为(D ) A ．a ＝4h B ．h ＝4aC ．a ＝h 4D ．a ＝4h3．对关系式的描述，不正确的是(D )A ．x 看作自变量时，y 就是因变量B ．x ，y 之间的关系也可以用表格表示C ．x 在非负数范围内，y 的最大值为2D ．当y ＝0时，x 的值为－24．如图所示y ＝2－x 是某市某天的气温随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是(C )A ．这天15时气温最高B ．这天3时气温最低C ．这天最高气温与最低气温的差是13℃D ．这天有两个时刻气温是30℃5．2017年1月4日上午，小华同学接到通知，他的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x ，录入字数为y ，下面能反映y 与x 的函数关系的大致图象是(C )6海拔高度/m … 0 100 200 300 400 … 平均气温/℃…2221.521a20…则表中a 的值为(B )A ．21.5B ．20.5C ．21D ．19.57．一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子(质量非常轻的空心小圆球)后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x 表示注水时间，用y 表示浮子的高度，则用来表示变量y 与x 之间关系的选项是(B )8．(衡阳中考)小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分钟)之间的关系，根据图象，下列信息错误的是(A )A ．小明看报用时8分钟B ．公共阅报栏距小明家200米C ．小明离家最远的距离为400米D ．小明从出发到回家共用时16分钟9．贝贝利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：输入 … 1 2 3 4 5 … 输出…1225310417526…那么，当输入数据8时，输出的数据是(C )A.861B.863C.865D.86710．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分)，则变量S 与t 的大致图象为(A )二、填空题(每小题4分，共20分)11．圆的周长C 与圆的半径r 之间的关系式为C ＝2πr ，其中常量是2，π.12．一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)之间的关系式是h ＝20－4t .13．如图是某个计算y 值的程序，若输入x 的值是32，则输出的y 值是12.14．(义乌中考)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的图象，则小明回家的速度是每分钟步行80米．15．下面由小木棒拼出的系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，请写出第n个图形中小木棒的根数S与n的关系式S＝3n＋1．三、解答题(共50分)16．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y(元)与印刷数量x(张)之间关系如表：印刷数量x(张) …100 200 300 400 …收费y(元) …15 30 45 60 …(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)从上表可知：收费y(元)随印刷数量x(张)的增加而增大；(3)若要印制1 000张宣传单，收费多少元？解：(1)上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系，印刷数量是自变量，收费是因变量．(3)由上表可知：印刷数量每增加100张，收费增加15元，所以每张的价格是0.15元．所以收费y(元)与印刷数量x(张)之间的关系式为y＝0.15x.当x＝1 000时，y＝0.15×1 000＝150(元)．故要印制1 000张宣传单，收费150元．17．(10分)青春期男、女生身高变化情况不尽相同，下图是小军和小蕊青春期身高的变化情况．(1)上图反映了哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？(2)A，B两点表示什么？(3)小蕊10岁时身高多少？17岁时呢？(4)比较小军和小蕊青春期的身高情况有何相同与不同．解：(1)反映了身高随年龄的变化而变化的关系，自变量是年龄，因变量是身高．(2)A点表示小军和小蕊在11岁时身高都是140厘米，B点表示小军和小蕊在14岁时身高都是155厘米．(3)小蕊10岁时身高130厘米，17岁时身高160厘米．(4)相同点：进入青春期，两人随年龄的增长而快速长高，并且在11岁和14岁时两人的身高相同；不同点：11岁至14岁间小蕊的身高变化比小军的快些，14岁后小军的身高变化比小蕊的快些．18．(10分)如图所示，在△ABC中，底边BC＝8 cm，高AD＝6 cm，E为AD上一动点，当点E从点D沿DA向点A 运动时，△BEC的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？(2)若设DE长为x(cm)，△BEC的面积为y(cm2)，求y与x之间的关系式．解：(1)ED长度是自变量，△BEC的面积是因变量．(2)y与x的关系式为y＝4x.19．(10分)新成药业集团研究开发了一种新药，在试验药效时发现，如果儿童按规定剂量服用，那么2小时的时候血液中含药量最高，接着逐步衰减，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示．当儿童按规定剂量服药后：(1)何时血液中含药量最高？是多少微克？ (2)A 点表示什么意义？(3)每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效期是多长？解：(1)服药后2小时血液中含药量最高，最高是4微克． (2)A 点表示血液中含药量为0. (3)有效期为5小时．20．(10分)如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的长方形菜园ABCD ，设与墙平行的篱笆AB 的长为x m ，菜园的面积为y m 2. (1)试写出y 与x 之间的关系式；(2)当AB 的长分别为10 m 和20 m 时，菜园的面积各是多少？解：(1)因为与墙平行的篱笆AB 的长为x m ， 所以长方形的另一边长为60－x2 m ，则长方形的面积为60－x 2·x m 2.所以y 与x 之间的关系式为： y ＝60－x 2·x＝－12x 2＋30x.(2)当x ＝10时，y ＝－12×102＋30×10＝250(m 2)；当x ＝20时，y ＝－12×202＋30×20＝400(m 2)．21．(12分)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x(h )，两车之间的距离为y(km )，图中的折线表示y 与x 之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为900km ； (2)请解释图中点B 的实际意义； (3)求慢车和快车的速度．解：(2)图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4 h 时，慢车和快车相遇． (3)由图象可知，慢车12 h 行驶的路程为900 km ， 所以慢车的速度为90012＝75(km /h )．当慢车行驶4 h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900 km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为9004＝225(km /h )，所以快车的速度为225－75＝150(km /h ).。

变量之间的关系【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系.3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.4. 能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测.【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. t 是自变量，s 是因变量.要点二、用表格表示变量间关系借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.要点诠释：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等.要点三、用关系式表示变量间关系关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.要点诠释：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.要点四、用图象表示变量间关系图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.要点诠释：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色.【典型例题】类型一、常量、自变量与因变量1、对于圆的周长公式C=2πR ，下列说法正确的是（ ）A ．π、R 是变量，2是常量B ．R 是变量，π是常量C ．C 是变量，π、R 是常量D ．C 、R 是变量，2、π是常量【思路点拨】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．【答案】D ；【解析】解：C 、R 是变量，2、π是常量．【总结升华】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容．举一反三：【变式】从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而逐渐增大，这个问题中自变量是（）A．物体 B．速度 C．时间 D．空气【答案】C.类型二、用表格表示变量间关系2、已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径底面半径x（cm）1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0用铝量y（cm3） 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5（2）当易拉罐底面半径为2.4cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由．（4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．【思路点拨】（1）用铝量是随底面半径的变化而变化的，因而底面半径为自变量，用铝量为因变量；（2）根据表格可以直接得到；（3）选择用铝量最小的一个即可；（4）根据表格，说明随底面半径的增大，用铝量的变化即可．【答案与解析】解：（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量.（2）当底面半径为2.4cm时，易拉罐的用铝量为5.6cm3.（3）易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适，因为此时用铝较少，成本低.（4）当易拉罐底面半径在1.6～2.8cm变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8～4.0cm间变化时，用铝量随半径的增大而增大．【总结升华】根据表格理解：随底面半径的增大，用铝量的变化情况是关键．类型三、用关系式表示变量间关系3、（2015春•淄博校级期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P在BC上运动，点P不与点B，C重合，设PC=x，若用y表示△APB的面积，求y与x 的函数关系式，并求自变量x的取值范围．【答案与解析】解：解：∵BC=8，CP=x，∴PB=8﹣x，=PB•AC∴S△APB=×（8﹣x ）×6=24﹣3x∵点P 不与点B ，C 重合，∴自变量的取值范围是：0＜x ＜8．【总结升华】利用三角形面积公式找到变量之间的关系式，要把握点P 是一动点这个规律，结合图形观察到点P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．举一反三：【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形．请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】解：由题意得，2x y +＝80,所以802y x =-，由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩，解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<.类型四、用图象表示变量间关系4、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s （m ）与散步所用的时间t （min ）之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟；（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟；（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟；（4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米／分钟．【答案】（1）300，4；（2）6；（3）200，3；（4）5，100.【解析】由图象可知，0到4分钟，小红从家走到离家300米的报栏，4到10分钟，在公共报栏看新闻，10到13分钟从报栏走到200米外的邮亭，13到18分钟，从离家500米的邮亭返回家里.【总结升华】这个图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.这条线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间.举一反三：【变式】（2015秋•南京期末）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．如图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与离家后所用时间t（分）之间的函数关系．则下列说法中错误的是（）A．小明看报用时8分钟B．小明离家最远的距离为400米C．小明从家到公共阅报栏步行的速度为50米/分D．小明从出发到回家共用时16分钟【答案】A；【解析】A、小明看报用时8﹣4=4分钟，错误；B、小明离家最远的距离为400米，正确；C、小明从家到公共阅报栏步行的速度为50米/分，正确；D、小明从出发到回家共用时16分钟，正确；故选A．【巩固练习】一.选择题1． 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝13时，y 的值为（ ） A ．5 B ．10 C ．4 D ．－42. 下列关于圆的面积S 与半径R 之间的关系式S 2R π=中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）A ．S ，2R 是变量，π是常量B ．S ，π，R 是变量，2是常量C ．S ，R 是变量，π是常量D ．S ，R 是变量，π和2是常量3. 在关系式131y x =-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．13x < B ．13x ≠- C ．13x ≠ D ．13x >4．矩形的周长为18cm ，则它的面积S （2cm ）与它的一边长x （cm ）之间的关系式是（ ）A ．(9)(09)S x x x =-<<B ．(9)(09)S x x x =+<≤C ．(18)(09)S x x x =-<≤D ．(18)(09)S x x x =+<<5．（2015春•南昌期末）如图，描述了安佶同学某日造成的一段生活过程：他早上从家里跑步去书店，在书店买了一本书后：马上就去早餐店吃早餐，吃完早餐后，立即散步走回家．图象中的平面直角坐标系中的x 表示时间，y 表示安佶离家的距离．请你认真研读这个图象，根据图象提供的信息，以下说法错误的是（ ）A ．安佶从家到新华书店的平均速度是10千米/分钟B ．安佶买书花了15分钟C ．安佶吃早餐花了20分钟D ．从早餐店到安佶家的1.5千米6．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）间的关系用图象表示是（ ）二.填空题7. 若球体体积为V ，半径为R ，则334R V π=．其中变量是_______、•_______，常量是________．8．如图中，每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，•图案的每条边（包括两个顶点）上都有n （n ≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为S ，按图的排列规律推断S 与n 之间的关系可以用式子___________来表示．9. 油箱中有油30kg ，油从管道中匀速流出，1小时流完，•求油箱中剩余油量Q （kg ）与流出时间t （分钟）间的关系式为_______________，•自变量的范围是____________．当Q ＝10kg 时，t ＝__________（分钟）．10．（2014春•招远市期末）星期日，小明同学从家中出发，步行去菜地里浇水，浇完后又去玉米地里除草，然后回到家里．如图是所用的时间与离家的距离的关系的图象，若菜地和玉米地的距离为a 千米，在玉米地里除草比在菜地里浇水多用的时间为b 分钟，则a= ，b= ．11. 如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y （元）与托运行李的质量x （千克）的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_________千克，•就可以免费托运．12．已知等腰三角形的周长为60，底边长为x ，腰长为y ，则y 与x 之间的关系式及自变量的取值范围为_______.三.解答题13.（2014春•元宝区校级期中）如图，这是反映爷爷每天晚饭后从家中出发去元宝山公园锻炼的时间与距离之间关系的一幅图．（1）如图反映的自变量、因变量分别是什么？（2）爷爷每天从公园返回用多长时间？（3）爷爷散步时最远离家多少米？（4）爷爷在公园锻炼多长时间？（5）计算爷爷离家后的20分钟内的平均速度．14. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系：（其中0≤x≤30）提出概念所用时间（x）2 5 7 10 12 13 14 17 20对概念的接受能力（y）47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强；（4）从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？从点C均以1 /cm s的速度分别向点B、点D运动，当点E与点B重合时，运动停止．设运动时间为x(s)，运动过程中△AEF的面积为y，请写出用x表示y的关系式，并写出自变量x的取值范围．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】130610643y =⨯-=-=. 2. 【答案】C ；【解析】π是圆周率，是一个常量.3. 【答案】C ；【解析】要使式子有意义，需3x －1≠0.4. 【答案】A ；【解析】矩形的另一边长为18292x x -=-，所以(9)(09)S x x x =-<<. 5. 【答案】A ；【解析】A 、安佶从家到新华书店的平均速度是2.5÷15=千米/分钟，故A 选项错误；B 、由图象可得出安佶买书花了30﹣15=15（分钟），故B 选项正确；C 、由图象可得出安佶吃早餐花了65﹣45=20（分钟），故C 选项正确；D 、由函数图象可知，从早餐店到安佶家的1.5千米，故D 选项正确．故选：A ．6. 【答案】D ；二.填空题7. 【答案】R 、V ；43π；8. 【答案】44S n =-；9. 【答案】t Q 5.030-=；600≤≤t ；40．【解析】油从油箱里流出的速度为30÷60=0.5/min kg ，所以关系式为t Q 5.030-=10.【答案】0.9km ；8min.【解析】由纵坐标看出家到菜地的距离是1.1千米，家到玉米地的距离是2千米，菜地和玉米地的距离为：2=1.1=0.9千米；由横坐标看出浇水时间为25﹣15=10（分钟），除草时间为55﹣38=18分钟，在玉米地里除草比在菜地里浇水多用的时间为18=10=8分钟，故答案为；0.9km ，8min ．11.【答案】20；【解析】由图象可知，在0＜x ＜20的范围内，y ＝0.12.【答案】130(030)2y x x =-<<； 【解析】2y ＋x ＝60，1302y x =-，由于2y ＞x 且x ＞0，所以030x <<. 二.解答题13.【解析】解：（1）由图象知，图形反映了距离和时间之间的函数关系；自变量是时间，因变量是路程．（2）爷爷没天从公园返回用了15分钟．（3）爷爷散步时最远离家900米．（4）爷爷在公园锻炼10分钟．（5）900÷20=45（米/分）．14.【解析】 解：（1）提出概念所用的时间x 和对概念接受能力y 两个变量；（2）当x =10时，y =59，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59．（3）当x =13时，y 的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强．（4）由表中数据可知：当2＜x ＜13时，y 值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当13＜x ＜20时，y 值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低．15.【解析】解：ABE DAF CEF y S S S S ∆∆∆=---正方形ABCD2111222BC AB BE AD DF EF FC =---g g g 211144(4)4(4)222x x x x =-⨯⨯--⨯⨯--g 214(04)2x x x =-+≤≤．。

第三章《变量之间的关系》一、变量、自变量、因变量的概念在—个变化过程中, 可以取不同数值的量, 叫做变量, 数值保持不变的量叫做常量.例如在表示路程关系式s=50t中, 速度50恒定不变为常量, 随t取不同数值时也取不同数值, s 与t都为变量. t是自变量, s是因变量.二、变量之间关系表示方式1.关系式法: 可以定量表示自变量和因变量的关系（给定自变量的值可以求因变量的值）；2.表格法: 可以大致确定因变量随自变量的变化趋势；3.图像法: 可以清晰地观察自变量随因变量的变化趋势.三、重要数学模型1. 小车下滑的时间；2. 变化中的三角形；3. 温度的变化；4. 速度的变化.四、知识网络图(1)上述表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当所挂重物为4kg时, 弹簧多长?不挂重物呢?(3)若所挂重物为6kg时(在弹簧的允许范围内), 你能说出此时弹簧的长度吗?2. 如图6—1所示, 梯形上底的长是x, 下底的长是15, 高是8.(1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么?(2)用表格表示当x从10变到20时(每次增加1), y的相应值；(3)当x每增加1时, y如何变化?说说你的理由；(4)当x=0时, y等于什么?此时它表示的是什么?3. 地壳的厚度约为8到40km. 在地表以下不太深的地方, 温度可按y=35x+t计算, 其中x是深度(km), t是地球表面温度（℃）, y是所达深度的温度（℃).(1)在这个变化过程中, 自变量、因变量各是什么?(2)分别计算当x为lkm, 5km, 10km,20km时地壳的温度(地表温度为2℃)．4.图6—4是某地一天的气温随时间变化的图象. 根据图象回答, 在这一天中:(1)什么时间气温最高?什么时间气温最低?最高气温和最低气温各是多少?(2)20时的气温是多少?(3)什么时间的气温为6℃?(4)哪段时间内气温不断下降?(5)哪段时间内气温持续不变?设某户该月用水量为x, 应交水费为y(元).(1)求a、c的值, 并写出用水不超过和超过时, y与x之间的关系式；(2)若该户5月份的用水量为, 求该户5月份的水费是多少元?6.如图6—26表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数). 两地间的距离是80km. 请你根据图象回答或解决下面的问题:(1)谁出发的较早?早多长时间?谁到达乙地较早?早到多长时间?(2)两人在途中行驶的速度分别是多少?(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点)；在这一时间段内, 请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式(不要化简, 也不要求解):①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面.练习题1.如图1, 射线, 分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系, 则他们行进的速度关系是（）A. 甲比乙快B. 乙比甲快C. 甲、乙同速D. 不一定2. 为节约用水, 某冲厕水箱经改造后, 当水箱水满后就按一定的速度放掉水箱的一半水, 随后立即按一定的速度注水, 等水箱的水满后, 又立即按一定的速度放掉水箱一半的水. 下面的哪一幅图可以大致刻画水箱的存水量V（立方米）与放水或注水的时间T（分钟）之间的关系（）3. 某山区今年6月中旬的天气情况是: 前5天小雨, 后5天暴雨. 那么反映该地区某河流水位变化的图象大致是（）4. 父亲节, 学校“文苑”专栏登出了某同学回忆父亲的小诗: “同辞家门赴车站, 别时叮咛语千万, 学子满载信心去, 老父怀抱希望还. ”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离, 横轴x表示离家的时间, 那么下面与上述诗意大致相吻的图象是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5.已知△ABC的底边BC上的高为8cm, 当它的底边BC从16cm变化到5cm时, △ABC的面积（）A.从20cm变化到64cm B、从64cm变化到20cm50 80 100 150C.从128cm变化到40cmD.从40cm变化到128cm6.下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b与下降高度d的关系，下面能表示这种关系的式子是（）db 25 40 50 75A. B. C. D.7.如图是某市一天的温度随时间变化的图象，通过观察可知下列说法错误的是( )A. 这天15点时温度最高B. 这天3点时温度最低C. 这天21点时温度是30 ℃D. 这天最高温度与最低温度的差是13 ℃8.李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下修车，车修好后，因怕耽误时间，于是加快了车速．如用s表示李明离家的距离，t为时间．在下面给出的表示s与t的关系图中，符合上述情况的是（）9. 下面说法正确的是（）A. 两个变量间的关系只能用关系式表示B. 图象不能直观的表示两个变量间的数量关系C. 借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况D. 以上说法都不对10.经测量，人运动时心跳速率通常和人的年龄有关．如果用x表示一个人的年龄，用Y表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么Y=0.8（220－x），根据此关系式计算一个18岁的青少年所能承受的每分钟的最高心跳次数是（取整数）（）A. 80B. 100C. 162D. 161二、填空题（每空2分, 共30分）11. 汽车以60千米/时的速度行驶了t小时, 路程s随着时间t的变化而变化, 其中______是自变量, ______因变量.12. △ABC的高是3cm, 则面积S与底边x间的数量关系可表示为______. 13．在圆的面积公式中, ______随______变化而变化, ______是自变量．14. 购买单价8.50元的书x本所要的钱数y=______.15.某种储蓄的年利率为1.5%, 存入1000元本金后, 则本息和y（元）与所存年数x之间的关系式为______, 3年后的本息和为______元（此利息要交纳所得税的20%）.16.小明和弟弟进行百米赛跑，小明比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢．如图2所示，现在小明让弟弟先跑______米，直线______表示小明的路程与时间的关系，大约______秒时，小明追上了弟弟，弟弟在这次赛跑中的速度是______米／秒.17.如图3, 小明用3秒的时间跑了______米.18.如果没盒圆珠笔有12支, 售价18元, 用y （元）表示圆珠笔的售价, x 表示圆珠笔的支数, 那么y 与x 之间的关系应该是 .三、解答题（每小题10分, 共40分）19.某文具店出售书包和文具盒，书包每个定价30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案；①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的9折(总价的90％)付款，某班学生需购买8个书包、文具盒若干(不少于8个)，如果设文具盒数x(个)，付款数为y(元)．(1)分别求出两种优惠方案中y 与x 之间的关系式.(2)购买文具盒多少个时, 两种方案付款相同, 购买文具盒数大于8时, 两种方案中哪一种更省钱?20.为了了解某小区居民的用水情况, 随机抽查了该小区10户家庭的月用水量, 结果如下:月用水量（吨）10 13 14 17 18 户数 2 2 3 2 1(1) 计算这家庭的平均月用水量；(2) 如果该小区有500户家庭, 根据上面的计算结果, 估计该小区居民每月共用水多少吨？图2图321.已知长方形的相邻两边的长分别是和, 设长方形的周长为.①试写出长方形的周长y与x之间的关系式；②求当长为, 时的周长；③求当周长分别为, 时的值．22.小明晚饭后外出散步, 遇见同学, 交谈一会, 返回途中在读报厅看了一会报. 下图是根据此情景画出的图象, 请你回答下列问题:（1）小明在距家多远遇见同学的, 交谈了多少时间？（2）读报厅离家多远？（3）小明在哪一段路程中走得最快, 速度是多少？。

专题3.1-3表示变量之间的关系典例体系（本专题共36题20页）一、知识点1.变量、自变量、因变量1）在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

2）如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

3）自变量与因变量的确定：2.三种变量之间关系的表达方法与特点：考点用图象表示变量之间关系典例：（2021·重庆北碚区·西南大学附中九年级期末）体育训练课上，小健同学与小宇同学在AB之间进行往返蛙跳训练．小健先出发10s，小宇随后出发．当小宇恰好追上小健时，王老师立即飞奔3秒到小宇身边对他进行指导，一分钟．．．后小宇继续前行，但速度减为原来的12，小健和小宇相距的路程y（米）与小健出发时间t（秒）的关系如图所示，则当小宇再次出发时，两人还有__________秒二次相遇．方法或规律点拨本题考查的是函数图像及从函数图像中获取信息，掌握函数图像上点的横纵坐标的含义是解题的关键．巩固练习1．（2020·浙江八年级期末）小明和小华同时从小华家出发到球场去．小华先到并停留了8分钟，发现东西忘在了家里，于是沿原路以同样的速度回家去取．已知小明的速度为180米/分，他们各自距离小华家的路程y（米）与出发时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．小明到达球场时小华离球场3150米B．小华家距离球场3500米C．小华到家时小明已经在球场待了8分钟D．整个过程一共耗时30分钟2．（2021·河南郑州市·八年级期末）如图所示直线反映了某公司产品的销售成本和销售收入与销售量之间的关系，则下列说法错误的是（）A．直线l1反映了该公司产品的销售收入与销售量之间的关系B．未开始销售时，该公司为销售所花的成本为2000元C．当销售量大于4吨时，该公司赢利D．每销售1吨产品，销售收入为500 元3．（2021·浙江宁波市·八年级期末）小聪上午8：00从家里出发，骑“共享单车”去一家超市购物，然后从这家超市原路返回家中，小聪离家的路程y（米）和经过的时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（）A．从小聪家到超市的路程是1300米B．小聪从家到超市的平均速度为100米/分C．小聪在超市购物用时45分钟D．小聪从超市返回家中的平均速度为100米/秒4．（2021·江苏苏州市·八年级期末）向一个垂直放置的容器内匀速注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化情况如图所示．则这个容器的形状可能是（）A ．B ．C ．D ．5．（2021·陕西西安市·八年级期末）甲、乙两汽车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时间t 的对应关系如图所示．下列结论错误的是（ ）．A ．A ，B 两城相距300km B ．行程中甲、乙两车的速度比为3∶5C ．乙车于7：20追上甲车D ．9：00时，甲、乙两车相距60km6．（2021·江苏南京市·八年级期末）在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程1()y m 、2()y m 都是行进时间(min)x 的函数，它们的图像如图所示．下列结论：①乙龙舟队先到达终点；②1.5min 时，甲龙舟队处于领先位置；③当1023x <<时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m ，其中正确结论的序号是（ ）A．①②B．①②③C．①②④D．①③④7．（2021·江苏连云港市·八年级期末）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图像描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为120米；③火车整体都在隧道内的时间为35秒；④隧道长度为1200米．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．③④D．①③④8．（2021·江苏盐城市·八年级期末）小明从家跑步到学校，接着立即原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系的图像，则小明步行回家的平均速度是__________米/分．9．（2021·山东泰安市·七年级期末）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系如图所示，当x=1.5时货车的速度是_____km/h．10．（2021·北京西城区·八年级期末）已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上．小腾从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查阅资料，然后回家．下面的图象反映了这个过程中小腾离家的距离y（单位：m）与时间x （单位：min）之间的对应关系．根据图象可知，小腾从食堂到图书馆所用时间为_____min；请你根据图象再写出一个结论：______．11．（2020·浙江金华市·八年级期中）某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出的速度保持不变）．该仓库库存物资m（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是________小时．考点2：用列表法表示函数典例：（2020·广东揭阳市·七年级期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x与每月利润y分别是变量和变量；（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？方法或规律点拨本题考查了根据表格与函数知识，正确读懂表格，理解表格体现变化趋势是解题关键．巩固练习1．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）下表为某旅游景点旺季时的售票量、售票收入的变化情况，在该变化过程中，常量是( )．A．票价B．售票量C．日期D．售票收入2．（2018·山东济南市·七年级期中）小明到单位附近的加油站加油，如图是小明所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（）A．金额B．数量C．单价D．金额和数量3．（2021·全国八年级）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据下列说法错误的是（）A．这个问题中，空气温度和声速都是变量B．空气温度每降低10℃，声速减少6m/sC．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710mD ．由数据可以推测，在一定范围内，空气温度越高，声速越快4．（2021·全国九年级）弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度()y cm 最长为20cm ，与所挂物体重量()x kg 间有下面的关系．下列说法不正确的是（ ）A ．x 与y 都是变量，x 是自变量，y 是因变量B ．所挂物体为6kg ，弹簧长度为11cmC ．物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cmD ．挂30kg 物体时一定比原长增加15cm5．（2020·河北邢台市·八年级月考）某销售商对某品牌豆浆机的销量与定价的关系进行了调查，结果如下表所示，则（ ）A ．定价是常量B ．销量是自变量C ．定价是自变量D ．定价是因变量6．（2021·全国八年级）在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（h ）与下滑的时间（t ）的关系如下表：以下结论错误的是（ ） A ．当h ＝40时，t 约2.66秒 B ．随高度增加，下滑时间越来越短 C ．估计当h ＝80cm 时，t 一定小于2.56秒 D ．高度每增加了10cm ，时间就会减少0.24秒7．（2020·陕西榆林市·七年级期末）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如下表所示：下列说法错误的是（）A．自变量是温度，因变量是传播速度B．温度越高，传播速度越快m sC．当温度为10C︒时，声音5s可以传播1650m D．温度每升高10C︒，传播速度增加6/ 8．（2020·辽宁丹东市·七年级期末）某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是y与x的部分数据．（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）请将表格补充完整．（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润=收入-支出费用）9．（2019·河北沧州市·八年级期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：（1）在这个变化过程中，是自变量，是因变量；（2）观察表中数据，计算平均每个人的车费是_______元；（3）写出利润y与乘车人数x之间的关系式；（4）若5月份想获得利润5000元，请你估计乘客量需要达到多少人？考点3：用关系式表示变量之间关系典例：（2020·山东青岛市·七年级期中）如图所示，在一个边长为10cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量．因变量各是什么？（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积ycm2，请写出y与x的关系式；（3）当小正方形的边长由1cm变化到3cm时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？方法或规律点拨此题考查的是函数解析式的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．巩固练习1．（2021·浙江杭州市·八年级期末）把一个长为5，宽为2的长方形的长减少x (0≤x<5)，宽不变，所得长方形的面积y关于x的函数表达式为( )A．y=10－x B．y=5x C．y=2x D．y=－2x+ 102．（2021·江苏九年级专题练习）等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，则下列y与x的关系式及自变量x的取值范围中，正确的是（）A．y＝36﹣x（0＜x＜36）B．y＝36﹣x（0＜x＜18）C．y＝36﹣2x（0＜x＜18）D．y＝36﹣2x（9＜x＜18）3．（2019·山西七年级月考）如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个矩形()ABCD菜园，若菜园靠墙的一边()AD长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（）A．(12)2x xy-=B．(12)y x x=-C．(24)2x xy-=D．(24)y x x=-4．（2020·山东聊城市·七年级期末）用总长为60m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积()2S m与一边长()l m之间的函数关系式为____________ ．5．（2020·辽宁阜新蒙古族自治县第四中学八年级期末）为了迎接学校“歌咏比赛”的到来，九年级学生组织了一个梯形鲜花队参加开幕式，要求共站20排，第一排10人，以后每一排都比前一排多站一人，则某排人数y与该排排数x之间的函数关系式为_________________．(写出自变量的取值范围）．6．（2020·四川成都市·石室锦城外国语学校八年级期中）小明妈妈给了小明100元去买作业本，已知作业本的单价是1.5元，小明购买了x本作业本，剩余费用为y元，则y与x的函数关系式为_________．7．（2019·南京东山外国语学校八年级月考）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用住房墙（住11 / 11房墙的长度大于BC ），另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在CD 边上留一个1m 宽的门．若设AB 为()y m ，BC 为()x m ，则y 与x 之间的函数关系式为______．8．（2020·四川成都市·天府四中七年级期中）用一根长为26cm 的绳子围成一个长方形，设这个长方形的长为,xcm 面积为2ycm ，则y 与x 之间的关系式可表示为_________________． 9．（2021·全国九年级）中国联通在某地的某套餐的月租金为59元，超出套餐部分国内拨打0.36元/分钟（不足1分钟按1分钟时间收费）．下表是超出套餐部分国内拨打的收费标准：（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用x 表示超出套餐部分的拨打时间，y 表示超出套餐部分的电话费，那么y 与x 的关系式是什么？ （3）由于业务多，小明的爸爸上个月拨打电话的时间超出套餐部分25分钟，他需付多少电话费？（4）某用户某月国内拨打电话的费用超出套餐部分的是54元，那么他该月拨打电话的时间超出套餐部分几分钟？10．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）声音在空气中传播的速度随气温的变化而变化，科学家测得两种气温下声音传播的速度如下表．如果用x 表示气温，y 表示该气温下声音在空气中的传播速度，那么y ax b =+，其中a ，b 是常数．（1）求a ，b 的值；（2）求气温为30℃时，声音在空气中的传播速度．。

学生做题前请先回答以下问题问题1：在用图象法表示变量之间的关系时，常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示__________，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示__________．问题2：看图的方法：____________、___________、___________．问题3：看轴：明确______________________；看点：看_________、_________、__________，与实际情景对应；看线：观察线段的______________．变量之间的关系（计算）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.小明某天上午9时骑车离家，15时回家，下图描绘了他离家的距离与时间的具体变化情况．给出下列说法：①他经过12时到达离家最远的地方；②11时到12时，他行驶了13千米；③他由离家最远的地方返回的平均速度是15千米/时．根据图象信息，以上说法正确的是( )A.①②B.①③C.②③D.③答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：用图象表示变量之间的关系2.如图为一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程与时间的变化图．根据图中信息，下列说法正确的是( )①时间是自变量，路程是因变量；②该旅行者在9时所走的路程是4千米，10时30分所走的路程是8千米，12时所走的路程是15千米；③他在途中休息了半个小时；④他从休息后直至到达目的地这段时间内的平均速度是4千米/时．A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：用图象表示变量之间的关系3.某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调进与调出的速度保持不变）．该仓库库存物资m（吨）与时间t（小时）之间的关系如图所示，则这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是( )A.8.4小时B.8.6小时C.8.8小时D.0.8小时答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：用图象表示变量之间的关系4.李老师为锻炼身体一直坚持步行上班，已知学校到李老师家总路程为2000米．一天，李老师下班后，以45米/分的速度从学校往家走，走到离学校900米时，正好遇到一个朋友，停下来聊了半小时，之后以110米/分的速度走回家．李老师回家过程中，离家的路程s（米）与所用时间t（分）之间的关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是( )①时间是自变量，李老师所走的路程是因变量；②b=1100；③a=20；④c=30；⑤李老师从学校到家的总时间是60分．A.①②⑤B.①③④C.②③⑤D.②③④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：用图象表示变量之间的关系5.某年，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．下图表示的是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）之间的关系，且出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，结合图象信息，下列说法错误的是( )A.出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克3元B.出台该项优惠政策后，销售每千克脐橙收入2.9元C.“绿荫”果园总共销售了40吨脐橙D.在此过程中，政府共补助8万元答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：用图象表示变量之间的关系。