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算法设计与分析第五章重点

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算法分析与设计总结

算法分析与设计总结

第一章算法概述1.算法：解决问题的一种方法或过程；由若干条指令组成的有穷指令。

2.算法的性质：1)输入：有零个或多个输入2)输出：有至少一个输出3)确定性：每条指令是清晰的、无歧义的4)有限性：每条指令的执行次数和时间都是有限的3.算法与程序的区别➢程序是算法用某种程序设计语言的具体实现➢程序可以不满足算法的有限性4.算法复杂性分析1)算法的复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，需要时间资源的量称为时间复杂性，需要空间资源的量称为空间复杂性2)三种时间复杂性：最坏情况、最好情况、平均情况3)可操作性最好且最有实际价值的是最坏情况下的时间复杂性第二章递归与分支策略1.递归概念：直接或间接调用自身的算法2.递归函数：用函数自身给出定义的函数3.递归要素：边界条件、递归方程4.递归的应用✧汉诺塔问题void Hanuo(int n,int a,int b,int c){if(n==1) return;Hanuo(n-1,a,c,b);move(a,b)Hanuo(n-1,c,b,a);}✧全排列问题void Perm(Type list[],int k,int m){ //产生list[k,m]的所有排列if(k == m){for(int i = 0;I <= m;i++) cout<<list[i];cout<<endl;}else{for(int i = j; i<=m;i++){Swap(list[k],list[i]);Perm(list,k+1;m);Swap(list[k],list[i])}}}5.分治法的基本思想：将一个规模较大的问题分成若干个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。

6.分治法的使用条件：✓问题的规模缩小到一定程度可以容易地解决✓问题可以分解为若干个规模较小的相同问题✓利用原问题分解出的子问题的解可以合并为原问题的解✓各个子问题是相互独立的7.分治法的时间复杂度8.分治法的应用二分搜索1)时间复杂度 O(logn)2)参考算法快速排序1)快排的运行时间与划分是否对称有关2)时间复杂度O(nlogn)合并排序1)基本思想：将待排元素分成大小大致相同的两个子集合，分别对两个子集合进行排序，最总将排序好的子集合合并成所要求的排序好的集合。

算法设计与分析_总结7

算法设计与分析_总结7

第一章：算法定义: 算法是若干指令的有穷序列, 满足性质: (1)输入: 有外部提供的量作为算法的输入。

(2)输出: 算法产生至少一个量作为输出。

1. (3)确定性：组成算法的每条指令是清晰, 无歧义的。

2. (4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的, 执行每条指令的时间也是有限的。

3. 程序定义: 程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。

可以不满足算法的性质(4)。

4. 算法复杂性分为时间复杂性和空间复杂性。

5. 可操作性最好且最有使用价值的是最坏情况下的时间复杂性。

6. O(n)定义: 存在正的常数C 和自然数N0, 当N>=N0时有f(N)<=Cg(N),则称函数f(N)当N 充分大时有上界, 记作f(N)=O(g(n)). 7. Ω(n)定义: 存在正的常数C 和自然数N0, 当N>=N0时有f(N)>=Cg(N),则称函数f(N)当N 充分大时有上界, 记作f(N)=Ω(g(n)). 8. (n)定义:当f(n)=O(g(n))且f(N)=Ω(g(n)), 记作f(N)= (g(n)), 称为同阶。

求下列函数的渐进表达式: 3n2+10n ~~~O(n2) n2/10+2n~~~O(2n) 21+1/n~~~O(1) logn 3~~~O(logn) 10log3n ~~~O(n) 从低到高渐进阶排序: 2 logn n2/3 20n 4n2 3n n!第二章：1. 分治法的设计思想: 将一个难以直接解决的问题, 分割成一些规模较小的相同问题, 以便各个击破分而治之。

2. 例1 Fibonacci 数列 代码（注意边界条件）。

int fibonacci(int n) {if (n <= 1) return 1;return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);}3. Ackerman 函数双递归。

A(1,1)代入求值。

A(1,1)=A(A(0,1),0)=A(1,0)=24. 全排列的递归算法代码。

算法设计与分析重点总结

算法设计与分析重点总结

算法设计与分析重点总结考试题型：选择 2* 10个填空2* 10个简答 3* 4个程序分析填空 4* 4个综合（代码）8* 4个第⼀章基础知识1.算法的定义算法就是解决问题的⽅法，是解决某⼀特定问题的⼀组有穷指令的序列，是完成⼀个任务所需要的具体步骤和⽅法2.算法的特征有限性 ⼀个算法总是在执⾏了有穷步的运算之后终⽌确定性：算法的每种运算必须要有确切的定义，不能有⼆义性。

输⼊：每个算法有0个或多个输⼊。

所谓0个输⼊是指算法本⾝定出了初始条件。

输出：⼀个算法产⽣⼀个或多个输出，这些输出是同输⼊有某种特定关系的量可⾏性：算法中有待实现的运算都是基本的运算，原理上每种运算都能由⼈⽤纸和笔在有限的时间内完成。

（实数的算术运算是“不能⾏”的）3.计算过程只满⾜确定性、能⾏性、输⼊、输出四个特性但不⼀定能终⽌的⼀组规则4.算法的有穷性意味着不是所有的计算机程序都是算法5.算法正确性证明数学归纳法，反例：能够使算法运⾏失败的输⼊实例6.算法的好坏：通过数学⽅法进⾏分析，时间复杂度，空间复杂度，循环次数（归并，快排，贪⼼的复杂度）7.算法运⾏中主要影响运⾏时间的语句是基本操作，即占有最多⽐例的语句8.时间复杂度分析：1）确定⽤来表⽰问题规模的变量；2）确定算法的基本操作；3）写出基本操作执⾏次数的函数（运⾏时间函数）；4）如果函数依赖输⼊实例，则分情况考虑：最坏情况、最好情况、平均情况；5）只考虑问题的规模充分⼤时函数的增长率，⽤渐近符号O 、Θ、Ω 、o 来表⽰。

6）常⽤O和Θ9.基本操作算法中的某个初等操作，基本操作的选择，必须反映出该操作随着输⼊规模的增加⽽变化的情况第⼆章递归算法1.递归若⼀个对象部分地包含它⾃⼰, 或⽤它⾃⼰给⾃⼰定义, 则称这个对象是递归的；若⼀个过程直接地或间接地调⽤⾃⼰, 则称这个过程是递归的过程。

分为直接递归和间接递归2.特点（1）将问题分解成为形式上更加简单的⼦问题来进⾏求解，递归过程⼀般通过函数或⼦过程来实现（2）问题求解规模缩⼩,把问题转化为规模缩⼩了的同类问题的⼦问题（3）相邻两次重复之间有紧密的联系（4）是否收敛，即终⽌条件3.使⽤递归的三种情况问题的定义数据结构问题求解的过程4.递归模型递归边界（递归的终⽌条件）和递归体5.过程先将整个问题划分为若⼲个⼦问题,通过分别求解⼦问题,最后获得整个问题的解。

算法设计与分析第5章 贪心算法

算法设计与分析第5章 贪心算法

*
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河南工程学院
算法设计与分析
• 设y[n]是Knapsack算法得出的向量解 • 1 如果任意的yi=1,那么这个解肯定是问题的最优解 • 2 否则，设j是yi<>1的最小下标。 • 可知1<=i<j 时, yi=1 • j<i<=n时，yi=0; • i=j时， 0<=yi<1 • 3 如果y[n]不是问题的最优解，则肯定存在一个可
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河南工程学院
算法设计与分析
• 设有 n个作业，并且完成每个作业所需要的时间 都是相同的，将这个时间设为单位时间；同时， 每个作业i(1<=i<=n)的截止期限di>0，当作业i在它 的截止期限di之前完成时，会获得效益值pi>0.
• 设J 是由GreedyJob算法得到的一个作业的集合， 而W是由最优解组成的作业集合
• 9 r Find(min (n,d(i)));
• 10 if F(r)<>0
• 11 then {
• 12 k k+1;J(k) i;
• 14
l Find(F(r)-1);
• 15
Union(l,i);
• 16
F(r) F(l);
• 17
}
• 18 }
• 19 return k
*
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算法设计与分析
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算法greedySelector 的 计算过程如左图所示。 图中每行相应于算法 的一次迭代。阴影长 条表示的活动是已选 入集合A的活动，而 空白长条表示的活动 是当前正在检查相容 性的活动。
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算法设计与分析

算法设计与分析 ppt课件

算法设计与分析 ppt课件
相容的(兼容的).
活动安排问题是要求在所给的活动集合中选出最大
相容活动子集.
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算法设计与分析 > 贪心算法
[直观想法]
在安排时应该将结束时间早的活动尽量往 前安排，好给后面的活动安排留出更多的 空间，从而达到安排最多活动的目标。
贪心准则应当是：在未安排的活动中挑选 结束时间最早的活动安排。
4.1 活动安排问题
有n个活动E={1,2,…,n},其中每个活动要使用同一
资源,同一时间只允许一个活动使用该资源.
每个活动i都有一个开始时间si,和一个结束时间fi . 如果选择活动i,则它在时间区间[si, fi )内占用该资 源;若区间 [si, fi ) 与[sj, fj )不相交, 则称活动i与j是
8
算法设计与分析 > 贪心算法
背包问题
给定n种物品和一个背包。物品i的重量是wi ，其价值为vi，背包的容量为C。应如何选择装 入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值 最大?
在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的 部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。 不允许重复装入。
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算法设计与分析 > 贪心算法
ppt课件
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算法设计与分析 > 贪心算法
贪心选择：
每次捡最轻的物品装；
只考虑到多装些物品，但由 于单位价值未必高，总价值 不能达到最大；
每次选择的价值最大，但同时
每次捡价值最大的装；也的可物能品占少用 ，了未较必大能的够空达间到，总装价
值最大
每次装包时既考虑物品的重量又考虑物品的
价值，也就是说每次捡单位价值最大的装。
因为Ak中的活动都是不相交的，aj是Ak中结束时间最早的 活动，而fm≤fj ，所以Ak′中的活动都是不相交的。

《算法设计与分析》(全)

《算法设计与分析》(全)
巢湖学院计算机科学与技术系
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章 算法引论

算法设计与分析复习要点

算法设计与分析复习要点

算法设计与分析的复习要点第一章：算法问题求解基础算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。

一．算法的五个特征：1．输入：算法有零个或多个输入量；2．输出：算法至少产生一个输出量；3．确定性：算法的每一条指令都有确切的定义，没有二义性；4．可行性：算法的每一条指令必须足够基本，它们可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现；5．有穷性：算法必须总能在执行有限步之后终止。

二．什么是算法？程序与算法的区别1．笼统地说，算法是求解一类问题的任意一种特殊的方法；较严格地说，算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。

2．程序是算法用某种程序设计语言的具体实现；算法必须可终止，程序却没有这一限制；即：程序可以不满足算法的第5个性质“有穷性”。

三．一个问题求解过程包括：理解问题、设计方案、实现方案、回顾复查。

四．系统生命周期或软件生命周期分为：开发期：分析、设计、编码、测试；运行期：维护。

五．算法描述方法：自然语言、流程图、伪代码、程序设计语言等。

六．算法分析：是指对算法的执行时间和所需空间的估算。

算法的效率通过算法分析来确定。

七．递归定义：是一种直接或间接引用自身的定义方法。

一个合法的递归定义包括两部分：基础情况和递归部分；基础情况：以直接形式明确列举新事物的若干简单对象；递归部分：有简单或较简单对象定义新对象的条件和方法八．常见的程序正确性证明方法：1.归纳法：由基础情况和归纳步骤组成。

归纳法是证明递归算法正确性和进行算法分析的强有力工具；2.反证法。

第二章：算法分析基础一．会计算程序步的执行次数（如书中例题程序2-1,2-2,2-3的总程序步数的计算）。

二．会证明5个渐近记法。

（如书中P22-25例2-1至例2-9）三．会计算递推式的显式。

（迭代法、代换法，主方法）四．会用主定理求T(n)=aT(n/b)+f(n)。

（主定理见P29，如例2-15至例2-18）五．一个好的算法应具备的4个重要特征：1.正确性：算法的执行结果应当满足预先规定的功能和性能要求；2.简明性：算法应思路清晰、层次分明、容易理解、利于编码和调试；3.效率：算法应有效使用存储空间，并具有高的时间效率；4.最优性：算法的执行时间已达到求解该类问题所需时间的下界。

算法分析习题参考答案第五章

算法分析习题参考答案第五章

1．最大子段和问题：给定整数序列 n a a a ,,,21 ，求该序列形如∑=jik k a 的子段和的最大值： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=≤≤≤ji k k n j i a 1max ,0max1) 已知一个简单算法如下：int Maxsum(int n,int a,int& best i,int& bestj){ int sum = 0;for (int i=1;i<=n;i++){ int suma = 0;for (int j=i;j<=n;j++){ suma + = a[j]; if (suma > sum){ sum = suma; besti = i; bestj = j; } }}return sum;}试分析该算法的时间复杂性。

2) 试用分治算法解最大子段和问题，并分析算法的时间复杂性。

3) 试说明最大子段和问题具有最优子结构性质，并设计一个动态规划算法解最大子段和问题。

分析算法的时间复杂度。

（提示：令1()max,1,2,,jk i j nk ib j a j n ≤≤≤===∑）解：1）分析按照第一章，列出步数统计表，计算可得)(2n O2）分治算法：将所给的序列a[1:n]分为两段a [1:n/2]、a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有三种可能： ①a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同； ②a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同； ③a[1:n]的最大子段和为两部分的字段和组成，即j n jil n i ja a a a a+++++=+⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢∑ 122；intMaxSubSum ( int *a, int left , int right){int sum =0;if( left==right)sum = a[left] > 0? a[ left]:0 ;else{int center = ( left + right) /2;int leftsum =MaxSubSum ( a, left , center) ;int rightsum =MaxSubSum ( a, center +1, right) ;int s_1 =0;int left_sum =0;for ( int i = center ; i >= left; i--){left_sum + = a [ i ];if( left_sum > s1)s1 = left_sum;}int s2 =0;int right_sum =0;for ( int i = center +1; i <= right ; i++){right_sum + = a[ i];if( right_sum > s2)s2 = right_sum;}sum = s1 + s2;if ( sum < leftsum)sum = leftsum;if ( sum < rightsum)sum = rightsum;}return sum;}int MaxSum2 (int n){int a；returnMaxSubSum ( a, 1, n) ;} 该算法所需的计算时间T(n)满足典型的分治算法递归分式T(n)=2T(n/2)+O(n)，分治算法的时间复杂度为O(nlogn)3）设}{max )(1∑=≤≤=j ik k ji a j b ,则最大子段和为).(max max max max max 11111j b a a nj jik k ji n j j ik k nj n i ≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤≤==∑∑},,,,max {)(11211j j j j j j j a a a a a a a a a j b +++++=---最大子段和实际就是)}(,),2(),1(max{n b b b .要说明最大子段和具有最优子结构性质，只要找到其前后步骤的迭代关系即可。

算法设计与分析第五章1

算法设计与分析第五章1
V1 V
， (u, v) E1当且仅当 (u, v) E 。
1
2
1
2
3
3
4
(a)
5
1
2
4 3
(b)
5
4
(c)
5
回溯法-最大团问题
1
2 3
1
(b)
2
4
(a)
5
5
图(a)、补图的最大独立集
*若 U 是 G 的一个最大团, 则 U 是 G 的补图 G 的一个最大独 立集。
{1,2,5},{2,3,5},{1,4,5}
3
4
(n 1)!
E
C
3 完 全 图 59 4 2
D
4 2
3
F
4
G H
3 4
I J
2 3
K
2
L
M N
O P
Q
回溯法
剪枝函数：
用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；
用限界函数剪去得不到最优解的子树。
回溯法-0-1背包问题
w {16,15,15}
p {45,25,25}
1
A
0
c 30
回溯法-最大团问题
设无向图 G (V , E ) , V n ,用邻接矩阵 A 表示图 G , 问题的解可表示为 n 元向量 ( x1 , x2 ,, xn ), xi {0,1} 。 问题的解空间用子集树表示。
xi 0
xi 1
回溯法-最大团问题
约束条件：{x1 , x2 ,, xi } {xi 1} 不是团 剪枝
1
2 3
1
2 3
?
5
(a)

计算机算法设计与分析第5章 回溯算法PPT课件

计算机算法设计与分析第5章 回溯算法PPT课件
注意：同一个问题可以有多种表示，有些 表示方法更简单，所需表示的状态空间更 小（存储量少，搜索方法简单）。
22.09.2020
15
5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
22.09.2020
2
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
22.09.2020
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提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
22.09.2020
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5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms

(陈慧南 第3版)算法设计与分析——第5章课后习题答案

(陈慧南 第3版)算法设计与分析——第5章课后习题答案

（3） 分析算法的时间复杂度 上述算法的时间复杂度为 n 2
（2） 编写 C 程序实现这一算法；
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; #define N 1000 struct point { double x; double y; }p1[N],pxSmall[N],pxLarge[N]; double Distance (point a , point b); double min (double a , double b); bool Compare_Y (point a , point b); bool Compare_X (point a , point b); double minDistance (int l, int r); int main() { int n ; double D ; cin>>n;
int main() { int n, x, *a; cin >> n; a = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i]; cin >> x; if (Triple_search(a, 0, n - 1, x) == -1) cout << "NotFound!" << endl; else cout << Triple_search(a, 0, n - 1, x) << endl; delete []a; return 0; } int Triple_search(int a[], int l, int r, int x) { if (l <= r) { int m1 = l + (r-l)/3; int m2 = l + (r-l)*2/3; if (a[m2]<x) return Triple_search(a, m2 + 1, r, x); else if (a[m1] < x && a[m2] > x) return Triple_search(a, m1 + 1, m2 - 1, x); else if (a[m1] > x) return Triple_search(a, l, m1 - 1, x); else if (a[m1] == x) return m1; else if (a[m2] == x) return m2; } return -1; }

算法设计与分析 第2版 第5章-回溯法

算法设计与分析 第2版 第5章-回溯法
实际上，有些问题的解空间因过于复杂或状态过多难以画出来。
5.1.2 什么是回溯法
在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略， 从根结点（开始结点）出发搜索解空间树。
当从状态si搜索到状态si+1后，如果si+1变为死结点，则从状态si+1 回退到si，再从si找其他可能的路径，所以回溯法体现出走不通就退回 再走的思路。
10
LM
G
10
NO
{a,b,c} {a,b} {a, c} {a} {b,c} {b} {c} { }
排列树：当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应
的解空间树称为排列树。
注意：问题的解空间树是虚拟的，并不需要在算法运行时构造一棵
真正的树结构，然后再在该解空间树中搜索问题的解，而是只存储从根结 点到当前结点的路径。
输出结果;
else
{ for (j=下界;j<=上界;j++) //用j枚举i所有可能的路径
{ x[i]=j;
//产生一个可能的解分量
…
//其他操作
if (constraint(i) && bound(i))
backtrack(i+1);
//满足约束条件和限界函数,继续下一层
}
}
}
【例5.3】有一个含n个整数的数组a，所有元素均不相同，设
输出x;
else i++;
//进入下一层次
}
}
}
else i--;
//回溯：不存在子结点，返回上一层
}
}
2. 递归的算法框架
（1）解空间为子集树
int x[n];

算法设计与分析知识点

算法设计与分析知识点

第一章算法概述1、算法的五个性质：有穷性、确定性、能行性、输入、输出。

2、算法的复杂性取决于：(1)求解问题的规模(N) , (2)具体的输入数据(I),( 3)算法本身的设计(A)，C=F(N,I,A。

3、算法的时间复杂度的上界，下界，同阶，低阶的表示。

4、常用算法的设计技术：分治法、动态规划法、贪心法、回溯法和分支界限法。

5、常用的几种数据结构：线性表、树、图。

第二章递归与分治1、递归算法的思想：将对较大规模的对象的操作归结为对较小规模的对象实施同样的操作。

递归的时间复杂性可归结为递归方程：1 11= 1T(n) <aT(n—b) + D(n) n> 1其中，a是子问题的个数，b是递减的步长，~表示递减方式，D(n)是合成子问题的开销。

递归元的递减方式~有两种：1、减法，即n -b，的形式。

2、除法，即n / b，的形式。

2、D(n)为常数c：这时，T(n) = 0(n P)。

D(n)为线形函数cn：r O(n) 当a. < b(NT(n) = < Ofnlog^n) "n = blljI O(I1P)二"A bl吋其中.p = log b a oD(n)为幕函数n x：r O(n x) 当a< D(b)II JT{ii) = O(ni1og b n) 'ia = D(b)ll].O(nr)D(b)lHJI：中，p= log b ao考虑下列递归方程：T(1) = 1⑴ T( n) = 4T(n/2) +n⑵ T(n) = 4T(n/2)+n2⑶ T(n) = 4T(n/2)+n3解：方程中均为a = 4，b = 2，其齐次解为n2。

对⑴，T a > b (D(n) = n) /• T(n) = 0(n);对⑵，•/ a = b2 (D(n) = n2) T(n) = O(n2iog n);对⑶，•/ a < b3(D(n) = n3) - T(n) = 0(n3)；证明一个算法的正确性需要证明两点：1、算法的部分正确性。

算法分析与设计知识点总结

算法分析与设计知识点总结

算法分析与设计知识点总结第一篇：算法分析与设计知识点总结第一章概述算法的概念：算法是指解决问题的一种方法或过程，是由若干条指令组成的有穷序列。

算法的特征：可终止性：算法必须在有限时间内终止；正确性：算法必须正确描述问题的求解过程；可行性：算法必须是可实施的；算法可以有0个或0个以上的输入；算法必须有1个或1个以上的输出。

算法与程序的关系：区别：程序可以不一定满足可终止性。

但算法必须在有限时间内结束；程序可以没有输出,而算法则必须有输出；算法是面向问题求解的过程描述，程序则是算法的实现。

联系：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现；程序可以不满足算法的有限性性质。

算法描述方式：自然语言，流程图，伪代码，高级语言。

算法复杂性分析：算法复杂性的高低体现运行该算法所需计算机资源（时间，空间）的多少。

算法复杂性度量：期望反映算法本身性能，与环境无关。

理论上不能用算法在机器上真正的运行开销作为标准（硬件性能、代码质量影响）。

一般是针对问题选择基本运算和基本存储单位，用算法针对基本运算与基本存储单位的开销作为标准。

算法复杂性C依赖于问题规模N、算法输入I和算法本身A。

即C=F(N, I, A)。

第二章递归与分治分治法的基本思想：求解问题算法的复杂性一般都与问题规模相关，问题规模越小越容易处理。

分治法的基本思想是，将一个难以直接解决的大问题，分解为规模较小的相同子问题，直至这些子问题容易直接求解，并且可以利用这些子问题的解求出原问题的解。

各个击破，分而治之。

分治法产生的子问题一般是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。

递归是分治法中最常用的技术。

使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

《算法设计与分析》第5章贪心法PPT课件

《算法设计与分析》第5章贪心法PPT课件

template<class Type>
void Loading(int x[], Type w[], Type c, int n)
{
int *t = new int [n+1];
Sort(w, t, n);
的重量为wi。
最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将
尽可能多的集装箱装上轮船。
2021/4/25
成都学院计算机系
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最优装载问题可用贪心算法求解。采用重 量最轻者先装的贪心选择策略，可产生最优装 载问题的最优解。具体算法描述如下:
2021/4/25
成都学院计算机系
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5.4.1 最优装载
} return s;
2021/4/25
成都学院计算机系
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在初始状态下，解向量solution=φ，其中未 包含任何分量。使用最优度量标准，一次选择 一个分量，逐步形成解向量(x0,x1,…,xn-1).算 法执行过程中生成的向量(x0,x1,…,xk),k<n,称 为部分解向量或部分向量。
动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题，而贪 心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作 出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简 化为规模更小的子问题。
2021/4/25
成都学院计算机系
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贪心算法的一般框架
GreedyAlgorithm (parameters) { 初始化； 重复执行以下的操作：
成都学院计算机系
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若硬币面值改为：一角一分、五分和一分，而要 找给顾客一角五分钱。
用贪心算法将找给1个一角一分和4个一分的硬币。 然而，3个五分硬币是最好的找法。

同济大学 算法分析与设计 第5章

同济大学 算法分析与设计 第5章

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n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间
生成问题状态的基本方法
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做 活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产 生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子 树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结 点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前， 它一直是扩展结点 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要 不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可 能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数 的深度优先生成法称为回溯法
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问题的解空间
•问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n 元式(x1,x2,…,xn)的形式。 •显约束：对分量xi的取值限定。 •隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。 •解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的 所有多元组，构成了该实例的一个解空间。 注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单， 所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
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n后问题 在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际 象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一 斜线上的棋子。n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇 后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。 1 2 3 4 5 6 7 8 Q Q Q Q Q Q Q
Q
1 2 3 4 5 6 7 8
（3）符号三角形问题

《算法设计与分析》-第五章 回溯法

《算法设计与分析》-第五章 回溯法
回溯法的应用—n后问题 后问题
例1(8-皇问题)
皇问题) 例1(8-皇问题) ( 皇问题
在8×8的棋盘上放置8个皇后,使得这8个皇 后不在同一行,同一列及同一斜角线上.如下 1 2 3 4 5 6 7 8 图6.1: Q
1 2 3 4 5 6 7 8
Q Q Q Q Q Q Q
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 设问题的解向量为X=(x1,x2,…,xn) ,xi的取值范 围为有穷集Si .把xi的所有可能取值组合,称 为问题的解空间.每一个组合是问题的一个可 能解.
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 例:0/1背包问题,S={0,1},当n=3时,0/1背 包问题的解空间是: {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1, 1,0),(1,1,1)} 当输入规模为n时,有2n种可能的解.
A 2 C 3 F 4 L 4 2 G H 3 4 M N 1 B 3 D
4 4 I 2 O E 2 J 3 P 3 K 2 Q
----排列树 解空间大小: n!
5.1 回溯法的基本思想
(3)状态空间树的动态搜索
可行解和最优解: 可行解:满足约束条件的解,解空间中的一个子集 最优解:使目标函数取极值(极大或极小)的可行解,一 个或少数几个 例:货郎担问题,有nn种可能解. n!种可行解,只有一个或 几个解是最优解. 例:背包问题,有2n种可能解,有些是可行解,只有一个或 几个是最优解. 有些问题,只要可行解,不需要最优解,例如八后问题.
5.1 回溯法的基本思想
回溯法(backtracking)是一种系统地搜索问 题解的方法.为实现回溯,首先需要定义一个 解空间(solution space),然后以易于搜索 的方式组织解空间,最后用深度优先的方法搜 索解空间,获得问题的解.
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回溯法：具有限界凼数的深度优先搜索法称为回溯法，具有“通用解题法”之称
两类问题：存在性问题：求满足某些条件的一个或全部元组，这些条件称为约束条件。

如果不存在这样的元组，算法应返回No；优化问题：给定一组约束条件，在满足约束条件的元组中求使某目标函数达到最大（小）值的元组。

满足约束条件的元组称为问题的可行解。

回溯法和分支限界法不同：每次只构造侯选解的一个部分，然后评估这个部分构造解，如果加上剩余的分量也不可能求得一个解,就绝对不会生成剩下的分量
问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。

显约束：对分量xi的取值限定。

隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。

解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。

为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界凼数来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。

解空间：子集树。

可行性约束凼数：Σwixi≤C 上界凼数： Bound()
子集树回溯框架：void backtrack (int t){if(t>n) output(x);elsefor(int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) {x[t]=h(i);if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);}}//递归方法
void iterativeBacktrack(){int t=1;while(t>0){if(f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) {x[t]=h(i);if(constraint(t)&&bound(t)) {if(solution(t)) output(x);elset++;}}elset--;}}//迭代方法
回溯法求解步骤1、针对所给问题，定义问题的解空间；2、确定易于搜索的解空间结构；3、以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝凼数避免无效搜索。

限界凼数(上界的计算方法) :r是当前尚未考虑的剩余物品价值总和,cp是当前价值,bestp是当前最优价值. 当cp+r<=bestp时,可剪去右子树贪心策略计算方法：将剩余物品按照单位重量价值排序,然后依次装入物品,直至装不下时,再装入该物品的一部分而装满背包.该价值是右子树中解的一个上界. Bound(int i){ Typew cleft=c-cw; Typep b=cp; while(i<=n&&w[i]<=cleft){cleft-=w[i]; b+=p[i]; i++;}if (i<=n) b+=p[i]/w[i]*cleft;return b;}//计算上界
常用剪枝凼数：用约束凼数在扩展结点处剪去丌满足约束的子树；用限界凼数剪去得不到最优解的子树。

剪枝策略Constraint(t): True:当前扩展结点处的取值满足问题的约束条件False:当前扩展结点处的取值不满足问题的约束条件, 可剪去子树。

Bound(t):True:当前扩展结点处的取值未使目标凼数越界False:当前扩展结点处的取值已使目标凼数越界,可剪去子树
0-1背包问题
子集树:当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时相应的解空间树。

0/1背包问题子集树通常有2n个叶结点，结点总数为2n+1-1。

遍历解空间树需要Ω(2n)的计算时间
0-1背包回溯法伪码：Backtrack(int i){if (i>n){ bestp=cp; return;} if (cw+w[i]<=c){ cw+=w[i]; cp+=p[i]; Backtrack(i+1); cw-=w[i];cp-=p[i];}if (Bound(i+1)>bestp) //x[i]=0; 右子树Backtrack(i+1); }
装载问题策略：(1)首先将第一艘轮船尽可能装满；(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。

用回溯法设计解装载问题的O(2n)计算时间算法。

上界凼数(不选择当前元素)：当前载重量cw+剩余集装箱的重量r<=当前最优载重量bestw
解空间树。