高中数学大题规范解答-全得分系列之函数实际应用答题模板

高中函数大题专练２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。

① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。

已知函数2()g x x =与()21x h x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。

（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。

3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式.（2）请你作出函数)(x f 的大致图像.（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。

（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x mn ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。

若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。

典例1 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)若f (α2)＝－34，α∈(0，π2)，求cos α的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间． 审题路线图 (1)f (x )＝m·n ――――→数量积运算辅助角公式得f (x )――→对称性周期性求出ω()2f α−−−−和差公式cos α (2)y ＝f (x )―――→图象变换y ＝g (x )―――→整体思想g (x )的递增区间评分细则 1.化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；2．计算cos α时，算对cos(α－π3)给1分；由cos(α－π3)计算sin(α－π3)时没有考虑范围扣1分；3．第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．跟踪演练1 已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈[－32，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1，所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.典例2 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝12ac sin B方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝12ab sin C评分细则 1.第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分．2．第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分．跟踪演练2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且3cos C ＋sin C ＝3a b， (1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝57，b ＝7，求AB →·BC →的值． 解 (1)∵3cos C ＋sin C ＝3ab， 由正弦定理可得：3cos C ＋sin C ＝3sin Asin B， ∴3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin A ， 3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin(B ＋C )3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin B cos C ＋3cos B sin C ， sin B sin C ＝3sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ， ∴tan B ＝3，又0<B <π，∴B ＝π3.(2)由余弦定理可得：2ac cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝(a ＋c )2－2ac －b 2， 整理得：3ac ＝(a ＋c )2－b 2， 即：3ac ＝175－49. ∴ac ＝42，∴AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|·cos B ＝－ac ·cos B ＝－21.典例3 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn(1)求a n 1和a 4n ；(2)设b n ＝a 4n(a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .审题路线图 数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n 分析b n 的特征―――――→选定求和方法分组法及裂项法、公式法求和评分细则 (1)求出d 给1分，求a n 1时写出公式结果错误给1分；求q 时没写q >0扣1分； (2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； (3)缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； (4)当n 为奇数时，求S n 中间过程缺一步不扣分．跟踪演练3 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *.数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，n ∈N *，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)a 21＝S 1＝a 1，∵a 1≠0，∴a 1＝1. ∵a 22＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3，∴(1＋d )2＝3＋3d ，解得d ＝－1或2.当d ＝－1时，a 2＝0不满足条件，舍去，∴d ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. ①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n ＋17恒成立即可．∵2n ＋8n≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n －15恒成立即可．∵2n －8n 是随n 的增大而增大，∴n ＝1时，2n －8n 取得最小值－6，∴λ<－21.综上①②可得λ的取值范围是(－∞，－21).典例4 (12分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AH ⊥平面DEF .审题路线图 (1)条件中各线段的中点――――→设法利用中位线定理取PD 中点M ―――――→考虑平行关系长度关系 平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――――→线面平行的判定定理EF ∥平面P AD (2)平面P AD ⊥平面ABCD P A ⊥AD ―――→面面垂直的性质P A ⊥平面ABCD ―→P A ⊥DE ――――――――→正方形ABCD 中E 、H 为AB 、BC 中点DE ⊥AH ――――→线面垂直的判定定理DE ⊥平面P AH ――――→面面垂直的判定定理平面P AH ⊥平面DEF评分细则 1.第(1)问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面P AD同样给分；2．第(2)问证明P A⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面P AH只要写出DE⊥AH，DE⊥P A，缺少条件不扣分．跟踪演练4(2015·北京)如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积．(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB ，又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB . 又OC ⊂平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB .所以三棱锥C －VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33，又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等， 所以三棱锥V －ABC 的体积为33.典例5 (12分)如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A ，B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4.(1)求证：DE⊥平面ACD；(2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．审题路线图(1)(2)CA、CB、CD两两垂直―→建立空间直角坐标系―→写各点坐标―→求平面AED与平面ABE的法向量―→将所求二面角转化为两个向量的夹角评分细则 1.第(1)问中证明DC ⊥BC 和AC ⊥BC 各给1分；证明DE ∥BC 给1分；证明BC ⊥平面ACD 时缺少AC ∩DC ＝C ，AC ，DC ⊂平面ACD ，不扣分．2．第(2)问中建系给1分；两个法向量求出1个给2分；没有最后结论扣1分；法向量取其他形式同样给分．跟踪演练5 如图，在几何体ABCDQP 中，AD ⊥平面ABPQ ，AB ⊥AQ ，AB ∥CD ∥PQ ，CD ＝AD ＝AQ ＝PQ ＝12AB ，(1)证明：平面APD ⊥平面BDP ； (2)求二面角A —BP —C 的正弦值．方法一 (1)证明 设AQ ＝QP ＝1，则AB ＝2， 易求AP ＝BP ＝2， 由勾股定理可得BP ⊥AP ，而AD ⊥平面ABPQ ，所以BP ⊥DA ， 又AP ∩AD ＝A ，故BP ⊥平面APD .而BP ⊂平面BDP ，所以平面APD ⊥平面BDP .(2)解 设M 、N 分别为AB 、PB 的中点，连接CM ，MN ，CN .易得CM ⊥平面APB ，MN ⊥PB ， 故∠CNM 为二面角A —BP —C 的平面角． 结合(1)计算可得，CM ⊥MN ，CM ＝1， MN ＝22，CN ＝62， 于是在Rt △CMN 中，sin ∠CNM ＝63. 所以二面角A —BP —C 的正弦值为63. 方法二 (1)证明 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB ＝2，依题意得A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (0,1,1)，D (0,0,1)， Q (1,0,0), P (1,1,0)，BP →＝(1，－1,0)，AP →＝(1,1,0)，AD →＝(0,0,1)，那么BP →·AP →＝0，BP →·AD →＝0，因此，BP ⊥AP ，BP ⊥AD .又AP ∩AD ＝A ，故BP ⊥平面APD ， 而BP ⊂平面BDP ， 所以平面APD ⊥平面BDP .(2)解 设平面CPB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 而BC →＝(0，－1,1)，则BP →·n ＝0，BC →·n ＝0， 那么x －y ＝0，－y ＋z ＝0，令x ＝1可得n ＝(1,1,1)． 又由题设，平面ABP 的一个法向量为m ＝(0,0,1)． 所以，cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n |＝33， 可得sin 〈m ，n 〉＝63. 所以二面角A —BP —C 的正弦值为63.典例6 (12分)2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率； (2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为n ，记随机变量X ＝m －n ，求X 的分布列及其均值． 审题路线图 (1)对事件进行分解―→求出从10块地中任取两块的方法总数―→求出空气湿度指标相同的方法总数―→利用古典概型求概率(2)确定随机变量X的所有取值―→计算X取各个值的概率―→写分布列―→求均值评分细则 1.第(1)问中，列出空气湿度相同的情况给2分；计算概率只要式子正确给2分；2．第(2)问中，列出长势等级的给2分，只要结果正确无过程不扣分；计算概率时每个式子给1分；分布列正确写出给1分．跟踪训练6(2016·课标全国乙)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P((3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040(元)． 当n ＝20时，E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080(元)． 可知当n ＝19时所需费用的均值小于n ＝20时所需费用的均值，故应选n ＝19.典例7 (12分)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．审题路线图 (1)椭圆C上点满足条件―→求出a 222e a b c =+已知离心率 基本量法求得椭圆C 方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P 、Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||QP |. ②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 最值―――――――→利用①得S △ABQ和S △OAB关系得S △ABQ 最大值评分细则 1.第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；2．第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．跟踪演练7 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22)．(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋12b 2＝1，故a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即m 2－4k 24(m 2－1)＝k 2. 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<2，且m 2≠1，设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，|PQ |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)， 所以S ＝12|PQ |d ＝m 2(2－m 2)<m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)，故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．典例8 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程(2)设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0，扣1分；(3)直线AB 方程写成斜截式形式同样给分； (4)没有假设存在点M 不扣分；(5)MA →·MB →没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分．跟踪演练8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，∴(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0. ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4，由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，∴y M ＝28y 13(x 1＋4).同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127，为定值．典例9 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．审题路线图 求f ′(x )――→讨论f ′(x )的符号f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2.(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．跟踪演练9已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e x，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]e x.依题意对任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数f(x)＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；当a＝1时，对任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)e x<0，f(x)符合条件；当a＝0时，对于任意x∈(0,1)，f′(x)＝－x e x<0，f(x)符合条件；当a <0时，因f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件． 故a 的取值范围为0≤a ≤1. (2)因g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ， g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x .(ⅰ)当a ＝0时，g ′(x )＝e x >0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.(ⅱ)当a ＝1时，对于任意x ∈(0,1)有g ′(x )＝－2x e x <0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2， 在x ＝1取得最小值g (1)＝0.(ⅲ)当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a>0.①若1－a 2a ≥1，即0<a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e.②若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值121()2e ,2aaa g a a--=在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1<a <1时，g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.典例10 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x →讨论m 确定f ′(x )符号→证明结论(2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――→结合(1)知f (x )min ＝f (0)⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1f (－1)－f (0)≤e －1→⎩⎪⎨⎪⎧e m －m ≤e －1e －m＋m ≤e －1→构造函数g (t )＝e t－t －e ＋1→研究g (t )单调性→寻求⎩⎪⎨⎪⎧g (m )≤0g (－m )≤0的条件→对m 讨论得适合条件的范围评分细则(1)求出导数给1分；(2)讨论时漏掉m＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分；(3)确定f′(x)符号时只有结论无中间过程扣1分；(4)写出f(x)在x＝0处取得最小值给1分；(5)无最后结论扣1分；(6)其他方法构造函数同样给分．跟踪演练10已知函数f(x)＝ln x＋1x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意的x>1，恒有ln(x－1)＋k＋1≤kx成立，求k的取值范围；(3)证明：ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1) (n ∈N *，n ≥2)．(1)解 f ′(x )＝－ln xx2，由f ′(x )＝0⇒x ＝1，列表如下：因此函数f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)， 极大值f (1)＝1，无极小值． (2)解 因为x >1，ln(x －1)＋k ＋1≤kx ⇔ln (x －1)＋1x －1≤k ⇔f (x －1)≤k ，所以f (x －1)max ≤k ，∴k ≥1，(3)证明 由(1)可得f (x )＝ln x ＋1x ≤f (x )max ＝f (1)＝1⇒ln x x ≤1－1x ，当且仅当x ＝1时取等号． 令x ＝n 2 (n ∈N *，n ≥2)． 则ln n 2n 2<1－1n 2⇒ln n n 2<12(1－1n2)<12(1－1n (n ＋1))＝12(1－1n ＋1n ＋1)(n ≥2)， ln 222＋ln 332＋…＋ln n n2 <12(1－12＋13)＋12(1－13＋14)＋…＋12(1－1n ＋1n ＋1) ＝12(n －1＋1n ＋1－12)＝2n 2－n －14(n ＋1).。

题型08手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值技法01具体函数的单调性知识迁移导函数与原函数的关系，)(,0)(x f x f >'单调递增，)(,0)(x f x f <'单调递减例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-，讨论()f x 的单调性【详解】()f x 的定义域为()0,+∞．由()()1ln f x x x =-得，()ln f x x '=-，【高考数学】答题技巧与模板构建令()0f x '=，则1x =，当()0,1∈x 时()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <．故()f x 在区间(]0,1内为增函数，在区间[)1,+∞内为减函数，【详解】当a =3时，321()3333f x x x x =---，2()63f x x x '=--．令()=0f x '解得x =3-或x =3+当(,3(3)x ∈-∞-⋃++∞时，()0f x '>当(33x ∈-+时．()0f x '<所以函数的增区间是(,3-∞-和(3)++∞，减区间是(3-+．1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数【答案】()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【详解】因为1a =，所以()2sin π,0,cos 2x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()()22432cos cos 2cos sin sin cos 2sin 11cos cos x x x x xx xf x xx--+'=-=-()3333222cos cos 21cos coscos 2cos cos x x xx x xx---+-==，令cos t x =，由于π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1t x =∈，所以()()()23233222cos cos 22221211x x t t t t t t t t t +-=+-=-+-=-++-()()2221t t t =++-，因为()2222110t t t ++=++>，10t -<，33cos 0x t =>，所以()233cos cos 20cos x x f x x+-'=<在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.【详解】()22e 12e 22xf x x x x -'=-+=，当e02x <<，()0f x '<；当e 2x >，()0f x '>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-．当1a =时，讨论()f x 的单调性【答案】()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.【详解】（1）当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.【答案】20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；【详解】当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅===',令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<,∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数2()e x f x ax x =+-，当a =1时，讨论f （x ）的单调性【答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.【详解】(1)当1a =时，()2e xf x x x =+-，()e 21x f x x ='+-，由于()''e 20xf x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性例2-1．（2023·河北唐山模拟）已知函数()()e xf x a a x =+-．讨论()f x 的单调性；【详解】因为()()e xf x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1x f x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10xf x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x '>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【详解】由题意函数()f x 的定义域为()()()()R,e e 11e 1x x xf x a x x x a '=+--=+-．当0a ≤时，若()(),1,0x f x ∞'∈-->，则()f x 单调递增；若()()1,,0x f x ∞'∈-+<，则()f x 单调递减．当0a >时，令()0f x '=，得=1x -或ln x a =-．①当1ln a -=-时，e a =，则()0,()f x f x '≥在R 上单调递增．②当ln 1a -<-时，e a >，则当(,ln )x a ∈-∞-时，()0,()'>f x f x 单调递增；当()ln ,1x a ∈--时，()0,()f x f x '<单调递减；当(1,)∈-+∞x 时，()0,()'>f x f x 单调递增．③当ln 1->-a 时，0e a <<，则当(,1)x ∈-∞-时，()0,()'>f x f x 单调递增；当()1,ln x a ∈--时，()0,()'<f x f x 单调递减；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0,()'>f x f x 单调递增．综上，当0a ≤时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减；当0e a <<时，()f x 在()(),1,ln ,a ∞∞---+上单调递增，在()1,ln a --上单调递减；当e a =时，()f x 在R 上单调递增；当e a >时，()f x 在()(),ln ,1,a ∞∞---+上单调递增，在()ln ,1a --上单调递减．例2-3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知函数2()e (2)e 1x x f x a ax =+---，讨论()f x 的单调性；【详解】对2()e (2)e 1x x f x a ax =+---求导得，()()2()2e (2)1e 2e e x x x xf x a a a '-+=+--=，分以下两大情形来讨论()f x 的单调性：情形一：当0a ≥时，有2e 0x a +>，令()()01()2e e x xf a x '+-==，解得0x =，所以当0x <时，有()()01()2e e x xf a x '+-=<，此时()f x 单调递减，当0x >时，有()()01()2e e x xf a x '+-=>，此时()f x 单调递增；所以()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增；情形二：当a<0时，令()()01()2e e x xf a x '+-==，解得120,ln 2a x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，接下来又分三种小情形来讨论()f x 的单调性：情形（1）：当2a <-时，有120ln 2a x x ⎛⎫=<=- ⎪⎝⎭，此时()12,),,e e (x xf x f x a +'-随x 的变化情况如下表：(),0∞-0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2e x a +--+e 1x --++()f x '+-+()f x由上表可知()f x 在(),0∞-和ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；情形（2）：当2a =-时，有120ln 2a x x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，此时()2()e 10x f x '=-≥，所以此时()f x 在R 上单调递增；情形（3）：当20a -<<时，有120ln 2a x x ⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，此时()12,),,e e (x xf x f x a +'-随x 的变化情况如下表：,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,∞+2e x a +-++e 1x ---+()f x '+-+()f x由上表可知()f x 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减.综上所述：当2a <-时，()f x 在(),0∞-和ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；当2a =-时，()f x 在R 上单调递增；当20a -<<时，()f x 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；当0a ≥时，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.1．（2023·全国·模拟预测）已知函数f 【详解】（1）函数()()()212e 2xf x x ax ax a =--+∈R ，定义域为(),∞∞-+，()()()()1e 1e x x f x x ax a x a =--'+=-⋅-，若0a ≤，则e 0x a ->，当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，∴()f x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增；若0e a <<，则ln 1a <，当ln 1a x <<时，()0f x '<，当ln x a <或1x >时，()0f x '>，∴()f x 在()ln ,1a 上单调递减，在(),ln a ∞-和()1,∞+上单调递增；若e a =，则()0f x '≥，∴()f x 在(),∞∞-+上单调递增；若e a >，则ln 1a >，当1ln x a <<时，()0f x '<，当1x <或ln x a >时，()0f x '>，∴()f x 在()1,ln a 上单调递减，在(),1∞-和()ln ,a ∞+上单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增；当0e a <<时，()f x 在()ln ,1a 上单调递减，在(),ln a ∞-和()1,∞+上单调递增；当e a =时，()f x 在(),∞∞-+上单调递增；当e a >时，()f x 在()1,ln a 上单调递减，在(),1∞-和()ln ,a ∞+上单调递增．【详解】（1）解：因为()()()()1211e ln 142ln 1x f x x a x ax x x -=----+-，所以()()()()11e ln ln e ln x xf x x a x x a x x a x --=--+=--'，设()1eln x g x x -=-，则()11e x g x x -'=-，设()11ex m x x -=-，可得()121e 0x m x x-'=+>，可得()g x '在()0,∞+上单调递增，且()10g '=，所以当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()110g x g ≥=>，即1e ln 0x x -->，若0a ≤，则0x a ->，所以()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；若0a >，则当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．【详解】（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()()()()2221e 1e 11.xx x ax f x a x xx x '---⎛⎫=--=⎪⎝⎭①当1a ≤时，因为0x >，所以e 1x >，所以e 0x a ->.所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.②当1e a <<时，由()0f x '<，解得ln 1a x <<；由()f x '>0，解得0ln x a <<或1x >.所以()f x 在(ln ,1)a 上单调递减，在(0,ln )a ，(1,)+∞上单调递增.③当e a =时，()0f x '≥（当且仅当1x =时，取等号）恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增.④当e a >时，由()0f x '<，解得1ln x a <<；由()0f x '>，解得01x <<或ln x a >.所以()f x 在(1,ln )a 上单调递减，在(0,1)，(ln ,)a +∞上单调递增.综上，当1a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；当1e a <<时，()f x 在(ln ,1)a 上单调递减，在(0,ln )a ，(1,)+∞上单调递增；当e a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当e a >时，()f x 在(1,ln )a 上单调递减，在(0,1)，(ln ,)a +∞上单调递增.4．（2021·浙江·统考高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+∈，求函数()f x 的单调区间；【详解】2(),()ln x x f x b f a x e a x a b '==+--，①若0b ≤，则()ln 0x f x a a b '=-≥，所以()f x 在R 上单调递增；②若0b >，当,log ln a b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当log ,ln ab x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增.综上可得，0b ≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞,无减区间；0b >时，函数的单调减区间为,log ln ab a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为log ,ln a b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.5．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+，讨论()f x 的单调性【详解】由函数的解析式可得：()()2xf x x e a '=-，当0a ≤时，若(),0x ∈-∞，则()()0,f x f x '<单调递减，若()0,x ∈+∞，则()()0,f x f x '>单调递增；当102a <<时，若()(),ln 2x a ∈-∞，则()()0,f x f x '>单调递增，若()()ln 2,0x a ∈，则()()0,f x f x '<单调递减，若()0,x ∈+∞，则()()0,f x f x '>单调递增；当12a =时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增；当12a >时，若(),0x ∈-∞，则()()0,f x f x '>单调递增，若()()0,ln 2x a ∈，则()()0,f x f x '<单调递减，若()()ln 2,x a ∈+∞，则()()0,f x f x '>单调递增；【详解】函数21()(2)ln (1)2f x x a x a x =+---的定义域为(0,)+∞，求导得2(1)[(2)]()(1)a x x a f x x a x x----'=+--=，①当20a -≤，即2a ≤时，由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得01x <<，因此()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；②当021a <-<，即23a <<时，由()0f x '>，得02x a <<-或1x >，由()0f x '<，得21a x -<<，因此()f x 在()0,2a -，()1,+∞上单调递增，在()2,1a -上单调递减；③当21a -=，即3a =时，()0f x '≥恒成立，因此()f x 在()0,∞+上单调递增；④当21a ->，即3a >时，由()0f x '>，得01x <<或2x a >-，由()0f x '<，得12x a <<-，因此()f x 在()0,1，()2,a -+∞上单调递增，在()1,2a -上单调递减，所以当2a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；当23a <<时，()f x 在()0,2a -，()1,+∞上单调递增，在()2,1a -上单调递减；当3a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当3a >时，()f x 在()0,1，()2,a -+∞上单调递增，在()1,2a -上单调递减．技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性【详解】()f x 定义域为()0,∞+，因为()ln 1ax f x x x =-+，所以()()()()22221111x a x af x x x x x -+-'-=-=++.令()0f x '=，则()2210x a x -+--=，所以22Δ(2)44a a a =--=-，当04a ≤≤时，Δ0≤，此时()0f x '≤，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.当0a <时，令()0f x '=，则10x=<，20x <所以当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，即()f x 在()0,∞+上单调递减.当4a >时，令()0fx '=，则10x=>，20x=>所以当x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()f x 在⎛⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，当x时，()0f x '>，即()f x 在上单调递增.综上所述：当4a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当4a >时，()f x 在⎛ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，在上单调递增例3-2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数32()1f x x x ax =-++．讨论()f x 的单调性；【详解】(1)由函数的解析式可得：()232f x x x a '=-+，导函数的判别式412a ∆=-，当14120,3a a ∆=-≤≥时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增，当时，的解为：12x x ==当x ⎛∈-∞ ⎝时，单调递增；当x ∈时，单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在上单调递减.1．（2023·四川绵阳·统考二模）已知()()()22e R x f x x mx m =++∈，讨论()f x 的单调性；【详解】由()()222e x f x x m x m ⎡⎤=++++⎣⎦'，可得：二次函数()222y x m x m =++++，①0∆≤，即当22m -≤≤时，()()()2202e x f x x m x m '=+++≥+恒成立，()f x 在R 上单增；②0∆>，即当2m <-或m>2时，()f x '在⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭上大于零，()f x '在小于零．所以()f x 在⎛-∞ ⎝上单调递增，在上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．【详解】()2222222a x ax f x x x x-+'=+-=，令()222g x x ax =-+，216a ∆=-.①当44a -≤≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在()0,∞+单调递增：②当4a <-时，0∆>，()0g x =的两根都小于0，()f x '在()0,∞+上大于0，所以()f x 在()0,∞+单调递增；③当4a >时，由()0g x =，解得1x =，2x =()()120,,x x x ∞∈⋃+，()0g x >，()0f x '>，()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增：()12,x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 在()12,x x 上单调递减.3．（2023·广西·模拟预测）已知()()22e x f x x mx =++（m ∈R ）．讨论()f x 的单调性；【详解】由()()222e x f x x m x m ⎡⎤=++++⎣⎦'，①0∆≤，即22m -≤≤时，()()222e 0x f x x m x m ⎡⎤=++++≥⎣⎦'恒成立，()f x 在R 上单增；②0∆>，即2m <-或m>2时，在∞⎛- ⎝，∞⎫+⎪⎪⎭上()0f x '>，在上()0f x '<．所以()f x在∞⎛- ⎝、∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增，在上单调递减．技法04 二阶导函数求函数的单调性例4-1．（2023·江苏·统考二模）已知函数()1e ln 1x f x a x -=--，R a ∈，若1a =，求函数()f x的单调区间【详解】()11e x f x x-'=-，()10f '=，()()11e x g x f x x -'==-，()121e 0x g x x-'=+>恒成立，所以()f x '在()0,∞+递增.所以当()0,1x ∈，()0f x '<；()1,x ∈+∞，()0f x '>所以函数()f x 的单调减区间是()0,1，单调增区间是()1,+∞.例4-2．（2021春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数()e cos x f x x x =-．当5π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调性．【详解】令()()()e cos sin 1'==--x g x f x x x ，5π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则()2e sin =-'x g x x ．令()0g x '<，得0πx <<；令()0g x '>，得5ππ<4x <．()g x ∴在[]0,π上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．()00g = ，()ππe 10g =--<，5π104g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，∴当5π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x ≤，即()0f x '≤．当且仅当0x =时等号成立，∴当5π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数()()()e ln 1x a f x x a a +=-+-∈R .若0a =，讨论()f x 的单调性；【详解】若0a =，()()e ln 1x f x x =-+，所以()1e 1x f x x ='-+，1x >-，令()()h x f x ='，则()()21e 01x h x x '++=>在()1,x ∈-+∞上恒成立，所以()h x 在()1,-+∞上单调递增，即()f x '在()1,-+∞上单调递增.又()00f '=，所以当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；2．（2022·全国·高三专题练习）设函数()1eln 1x a f x a x -=--，其中0a >当1a =时，讨论()f x 单调性；【详解】当1a =时，()1e ln 1x f x x -=--，定义域为()0,+∞，则()11e x f x x -'=-，()121e 0x f x x-+'=>'，所以()f x '在()0,+∞上单调递增，又()10f '=，当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,1上单调递减；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.综上，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.技法05 函数的极值最值知识迁移极值的定义)(x f 在0x x =处先↗后↘，)(x f 在0x x =处取得极大值)(x f 在0x x =处先↘后↗，)(x f 在0x x =处取得极小值【详解】因为()232x f x x a -=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x x a x a -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-.当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <.所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.例5-2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()lng x ax x =-有相同的最小值．求a【详解】()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,∞+，而11()ax g x a x x'-=-=.当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当ln x a >时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11ln ln a a a a-=-，整理得到1ln 1a a a -=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++，故()g a 为()0,∞+上的减函数，而()10g =，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1a a a-=+的解为1a =.综上，1a =.【详解】由函数的解析式可得()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，由()f x 在区间()0,∞+存在极值点，则()f x '在区间()0,∞+上存在变号零点;令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax -++++=，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，()f x 在区间()0,∞+存在极值点，等价于()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，()()()12ln 1,21g x ax x g x a x '=''=-+-+当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，()g x 在区间()0,∞+上无零点，不合题意;当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,g x g x '''>在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g ''>=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，所以()g x 在区间()0,∞+上无零点，不符合题意；当102a <<时，由()1201g x a x ''=-=+可得1=12x a -，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减，当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '单调递增，故()g x '的最小值为1112ln 22g a a a ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭'，令()()1ln 01m x x x x =-+<<，则()10x m x x-+'=>，函数()m x 在定义域内单调递增，()()10m x m <=，据此可得1ln 0x x -+<恒成立，则1112ln 202g a a a ⎛⎫-=-+< ⎪'⎝⎭，令()()2ln 0h x x x x x =-+>，则()221x x h x x -++'=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10h x h ≤=，即2ln x x x ≤-(取等条件为1x =)，所以()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=-+>-+-+=-+⎣⎦'，()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤->---+-=⎣⎦'，且注意到()00g '=，根据零点存在性定理可知:()g x '在区间()0,∞+上存在唯一零点0x .当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()000g x g <=.令()ln n x x =()1n x x ='则函数()ln n x x =在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，所以()()4ln 420n x n ≤=-<，所以ln x <所以2222244441=11ln 12141a g a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥+⎣⎦22444>1ln 1121a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-++--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222444441ln 11a a a a a ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+>+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝2244110a a ⎛⎛>+=+> ⎝⎝，所以函数()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.1．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数【详解】因为函数()()πtan ln 1,,12f x x x x ⎛⎫=+-∈- ⎪⎝⎭，所以()()222211111cos cos 1cos 11cos x x f x x x x x x x --+=+=+=---'，设()21cos h x x x =-+，()12cos sin 1sin20h x x x x '=-=-≥，所以()h x 在π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.又()00h =，所以当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x <；当()0,1x ∈时，()0h x >.又因为()21cos 0x x -<对π,12x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，所以当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当()0,1x ∈时，()0f x '<.即()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间()0,1上单调递减，故()()00f x f ==极大值，()f x 没有极小值.2．（2021·天津·统考高考真题）已知0a >，函数()x f x ax xe =-．证明()f x 存在唯一的极值点【详解】令()(1)0x f x a x e =-+='，则(1)x a x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，当(,2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x →-∞时，()0g x <，()10g -=，当x →+∞时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-，且()()0f m a g m '=-=，当(,)x m ∈-∞时，()a g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x m ∈+∞时，()a g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；3．（2023·全国·模拟预测）已知函数()()()3223161R f x ax a x x a =-+++∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【详解】（1）由题知，()()()()26616611f x ax a x ax x =-++=--'，若a<0，当1x a<或1x >时，()0f x '<，当11x a <<时，()0f x '>，()f x ∴在区间1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和区间()1,+∞上单调递减，在区间1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；若0a =，当1x <时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，()f x ∴在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减；若01a <<，当1x <或1x a >时，()0f x '>，当11x a<<时，()0f x '<，()f x ∴在区间(),1-∞和区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；若1a =，则()0f x '≥，()f x ∴在区间(),-∞+∞上单调递增；若1a >，当1x a<或1x >时，()0f x '>，当11x a <<时，()0f x '<，()f x ∴在区间1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和区间()1,+∞上单调递增，在区间1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．综上所述，当a<0时，()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和区间()1,+∞上单调递减，在区间1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a =时，()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在区间(),1-∞和区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和区间()1,+∞上单调递增，在区间1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在区间[)0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，当x →+∞时，()f x →-∞，不符合题意；当01a <<时，()f x 在区间[)0,1上单调递增，在区间11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()min 1()min 0,f x f f a ⎧⎫⎛⎫∴=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()()32011111623111f f a a a a a a ⎧=≥⎪∴⎨⎛⎫=⨯-+⨯++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，得113a ≤<；当1a =时，()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，()min ()011,1f x f a ∴==≥∴=符合题意；当1a >时，()f x 在区间10,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，()(){}min ()min 0,1f x f f ∴=，()()()0111231611f f a a ⎧=≥⎪∴⎨=-+++≥⎪⎩，得13a <≤．综上，实数a 的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：恒成立问题的等价转化法则（1）()0f x >恒成立()min ()0,0f x f x ⇔><恒成立max ()0f x ⇔<；（2）()f x a >恒成立()min (),f x a f x a ⇔><恒成立max ()f x a ⇔<；（3）()()f x g x >恒成立()()min []0f x g x ⇔->，()()f x g x <恒成立()()max []0f x g x ⇔-<；（4）()()1212,,x M x N f x g x ∀∈∀∈>恒成立()()12min max f x g x ⇔>．4．（2023·四川自贡·统考一模）函数()e ln x f x x =-的最小值为m .(1)判断m 与2的大小，并说明理由；(2)求函数()2ln e x m g x x -=+-的最大值.【详解】（1）m>2.理由如下：函数()e ln x f x x =-的定义域为()0+∞，求导得()1ex f x x'=-，显然函数()f x '在()0+∞上单调递增，而1()202f '<，(1)e 10f '=->，则存在唯一的01(,1)2x ∈，使得0()0f x '=，即001e 0x x -=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，于是函数()e ln x f x x =-在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，因此0min 00()()=e ln x f x f x x =-，由001e 0x x -=，得001e x x =且00ln x x =-，则00001=e ln x m x x x -=+，又函数1y x x =+在1(,1)2上单调递减，即当1(,1)2x ∈时，2y >，所以m>2.（2）函数()2ln e x m g x x -=+-的定义域为(0)+∞，求导得1()e x m g x x -'=-，显然函数1()e x m g x x-'=-在(0)+∞上单调递减， 由（1）知m>2，11(1)1e 0,()10m g g m m-''=->=-<，于是存在唯一的1(1,)x m ∈，使得1()0g x '=，即111e 0x m x --=，则当1(0,)x x ∈时，()0g x '>；当1(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，即函数()2ln e x m g x x -=+-在1(0,)x 上单调递增，在1(,)x +∞上单调递减，因此1max 11()()2ln e x m g x g x x -==+-，由111e 0x m x --=，得111e x m x -=，即11ln m x x =+，由（1）知00ln x x =-，001m x x =+，则110011ln ln m x x x x =+=+，显然函数ln y x x =+在(0,)+∞上单调递增，则101x x =，且10ln ln x x =-，从而1max 1100122n 21()2ln e l ln x m g x x x x x x -=+-=--=+-=，。

高中数学解答题8个答题模板与做大题的方法高中数学是很多同学高考道路上的拦路虎，很多同学一致回答：大题没思路。

其实掌握一些高中数学解答题的答题模板就好了，小编整理了相关资料，希望能帮助到您。

高中数学解答题8个答题模板一. 三角变换与三角函数的性质问题1.解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。

2.构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。

③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。

④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

二. 解三角形问题1.解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。

(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。

2.构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

③求结果。

④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

三. 数列的通项、求和问题1.解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。

②求通项公式。

③求数列和通式。

2.构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。

③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。

④写步骤：规范写出求和步骤。

⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。

概率与统计是高中数学的重要学习内容，在高考试卷中，每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含概率计算,统计图表的识别等知识为主的综合题,以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，注重考查基础知识和基本方法；以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算.“大题规范解答——得全分”系列之（十)概率与统计的综合问题答题模板[典例］(2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了１00名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有9５％的把握认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女合计（2),已知“超级体育迷”中有２名女性,若从“超级体育迷”中任意选取２人，求至少有1名女性观众的概率．附K2=错误!,P(Ｋ２≥k)0.05０．01k 3.841 6.635１．审条件，挖解题信息错误!―→10０名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于40分钟的观众称为体育迷,女体育迷10名 −−−−−−→借助直方可确定图错误!2.审结论,明解题方向观察所求结论―→完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性 −−−→需要＼x(确定a ,b ,c ,d 及K 2的值)3．建联系，找解题突破口由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数―→错误!―→错误!1．审条件，挖解题信息 错误!―→错误!−−−−−−→由率分布直方频图 确定“超级体育迷”的人数2．审结论，明解题方向ﻩ 错误!―→错误! −−−−→分分析类1名女性观众或两名女性观众３．建联系,找解题突破口由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数−−−−−→列法列出举举所有基本事件并计数为n 和至少有1名女性的基本事件，计数为m mP n−−−−→代入＝错误由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人,从而完成2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女451055合计75251００(3分)将２×2列联表中的数据代入公式计算,得K2=1０0×(30×１０-45×15)２7５×25×45×55＝错误!≈３.030.因为3.０30<3.84１，所以我们没有9５％的把握认为“体育迷”与性别有关．(6分)(2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为５人,从而一切可能结果所组成的基本事件为(ａ１,ａ2),(a１，a3），(ａ2，a3）,（a1，b1),(ａ1，b2)，(a2,b１),（a2,b2)，(a３,b１),（a3,ｂ２)，(b1，b2),其中aｉ表示男性,ｉ＝1,2,3,b j表示女性,j=1,２．由1０个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．(9分)用A表示“任选2人中,至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1,b１)，(a1，b2),（ａ2,b1)，（a2，b2)，(a3,b1)，(ａ3，b2),(ｂ1,b2)},(11分)事件A由7个基本事件组成,因而Ｐ(A)＝71０.(１2分)［常见失分探因]错误!错误!错误!————————————［教你一个万能模板]—————————————————第一步理清题意,理解问题中的条件和结论．尤其是直方图中给定的信息,找关键量第二步由直方图确定所需的数据，列出2×2列联表―→第三步利用独立性检验的步骤进行判断―→第四步确定基本事件总数及所求事件所含基本事件的个数―→第五步利用概率公式求事件的概率―→第六步反思回顾、检查关键点易错点及答题规范1．(2012·佛山模拟)已知某车间加工零件的个数x与所花费时间ｙ(h)之间的线性回归方程为错误!=0.01x＋０.5，则加工6０0个零件大约需要的时间为( )Ａ.６.5 ｈﻩﻩB．5.5 hＣ．3.5 ｈﻩﻩＤ．0.3 ｈ解析:选A将600代入线性回归方程错误!＝0.０１x＋0.5中得需要的时间为6.5 h.2.(２013·衡阳联考)已知x与ｙ之间的一组数据:x 012 3y m 3 5.57已求得关于y与xｍ的值为( )A.１ﻩﻩB.0.85Ｃ.0.７ﻩﻩﻩﻩＤ．0.5解析：选D回归直线必过样本中心点(1.5,ｙ),故错误!＝４，m+3+５.５＋7=1６,得m=0.5．３.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于８5分为优秀，8５分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10ｂ乙班 c 3０总计1０5已知在全部1０5,７），则下列说法正确的是()A.列联表中c的值为３0，b的值为35B.列联表中ｃ的值为15，b的值为50Ｃ．根据列联表中的数据,若按95％的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据,若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 解析：选C 由题意知，成绩优秀的学生数是30,成绩非优秀的学生数是75，所以ｃ＝２0，b =４5,选项A 、B 错误．根据列联表中的数据,得到K 2=错误!≈6.1０9＞3.84１，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.4．已知x 、y 的取值如下表:从所得的散点图分析,!,则错误!=( ) A.2．５ ﻩﻩB ．2．6Ｃ.2.7ﻩﻩD ．2．8解析:选B 因为回归方程必过样本点的中心(错误!，错误!）,又错误!＝2，错误!＝4.5,则将（2,4．5)代入错误!＝0.９5x +错误!可得错误!=2.6.5.（2０1２·湖南高考）设某大学的女生体重ｙ(单位：kg)与身高x (单位:c ｍ)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(ｉ＝１,2,…，n ),用最小二乘法建立的回归方程为＼o(y ，^)＝0.85x －85.７１，则下列结论中不．正确的是( ) A ．y 与ｘ具有正的线性相关关系Ｂ.回归直线过样本点的中心(错误!，错误!）Ｃ.若该大学某女生身高增加1 c ｍ，则其体重约增加0.8５ k ｇ D ．若该大学某女生身高为1７0 ｃm,则可断定其体重必为58.7９ ｋｇ解析：选D 由于回归直线的斜率为正值,故y 与x 具有正的线性相关关系，选项Ａ中的结论正确;回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确;根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确;由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．6．(2０13·合肥检测）由数据（x 1,y 1)，(x 2，y 2)，…，(ｘ1０，y 1０)求得线性回归方程错误!＝错误!x +错误!，则“(x ０，ｙ0)满足线性回归方程错误!＝错误!ｘ+错误!”是“x 0=错误!,ｙ０=错误!”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 Ｃ.充要条件Ｄ.既不充分也不必要条件解析:选B x 0,y ０为这1０组数据的平均值，又因为回归直线错误!=错误!x ＋错误!必过样本中心点(错误!,错误!)，因此(x 0,y 0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(错误!，错误!).7．(２０12·唐山模拟)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (c ｍ)与肱骨长度ｙ(cm ）的线性回归方程为错误!＝1.１97x －3.660,由此估计，当股骨长度为５0 ｃm 时，肱骨长度的估计值为__＿_＿___ cm.解析:根据回归方程错误!＝1.197x -３.6６0,将x =５0代入,得ｙ＝５6.1９,则肱骨长度的估计值为56．19 c ｍ.答案:56．１98．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人,经过计算Ｋ２的观测值ｋ=27.63,根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病是＿_＿＿_＿__的．（有关,无关）解析:由观测值k =27.６3与临界值比较,我们有99%的把握说打鼾与患心脏病有关． 答案：有关９．（2012·宁夏模拟)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表：-4℃时，用电量的度数约为____＿___．解析：＼x ＼to(ｘ)＝１0，错误!=４０，回归方程过点（错误!，错误!）, ∴４0=-2×1０＋a .∴ａ＝60.∴错误!=－2x ＋60.令ｘ＝－４,∴错误!＝(－2)×(-4)＋６0=68. 答案：６８10.已知ｘ,ｙ的一组数据如下表：（1）从x ，y （2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝＼f （１,3)x ＋１与y ＝错误!ｘ+12,试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好．解：（1)从ｘ,y 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有2５对,其中满足x ＋y ≥1０的有(6,4），(6,５)，(7，3），（7，4），(７,5）,(8，2)，(8,3），(８,4)，(8,５)，共9对．故所求概率P＝9 2５.(2)用ｙ=错误!x＋１作为拟合直线时,所得y值与y的实际值的差的平方和为S1=错误!２+（2-2)2＋(3-3）2+错误!２＋错误!２=错误!．用y＝错误!x+错误!作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为S2=（1-1)2＋(２－2)2+错误!２+(4-４)2+错误!2＝错误!.∵S２＜Ｓ1,∴直线y＝＼f(1，2)x+错误!的拟合程度更好．１1.（201２·东北三省联考)某学生对其亲属3０人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数．（说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.)(１)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯;(２）根据以上数据完成下列2×2的列联表：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下5０岁以上合计（3)能否有.解：（1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主.(２）主食蔬菜主食肉类合计5０岁以下４81２50岁以上162１8合计201030(2)K2=＼f（３０(8-128)2,1２×18×20×10）=错误!=１0>6．6３5，有99％的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关．1２．某电脑公司有6名产品推销员,其工作年限与年推销金额的数据如下表:推销员编号12３4 5工作年限ｘ/年35679推销金额y/万元２334５(1）以工作年限为自变量x，推销金额为因变量ｙ,作出散点图;(2）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;(3)若第６名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额．解:(1)依题意，画出散点图如图所示，（2)从散点图可以看出,这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为错误!＝错误!ｘ+错误!.则错误!=错误!＝错误!=0.５,错误!=错误!-错误!错误!＝0.4,∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为错误!=０.5ｘ+０．4.（３)由（2）可知，当x=11时，错误!＝０.5x＋0.4=０．5×11+0.4＝5.9（万元).∴可以估计第6名推销员的年推销金额为５.9万元.１.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,所得数据如下表:ｘ6810１２y 2３5 6则y对xA.错误!=２．３x－0.7 ﻩﻩﻩＢ．错误!=2.3ｘ＋0.7C.错误!＝0.７x－2.3 ﻩﻩD.错误!＝0.7x＋2.３解析:选C∵错误!iｙi=6×2＋８×3+10×5+1２×6＝158, 错误!=错误!=9,错误!＝错误!=4.∴错误!=错误!＝0.７，错误!＝４－0.7×9=－2.3.故线性回归直线方程为错误!=０.7x－2.3．２．(20１2·东北三校联考）某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用２×2列联表进行独立性检验，经计算K２＝７.0６9,则有______＿_的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”.附：P(K2≥k0)0.1000.０５0.02５0.０10０.001k0 2.706 3.8４1５.0２46.63510.828解析：因为７.069与附表中的６．635最接近(且大于6.635)，所以得到的统计学结论是:有9９％的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．答案:9９%3．某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票,暴雨后的投票收集了50份,暴雨前的投票也收集了5０份，所得统计结果如下表:支持不支持总计北京暴雨后x y 5０北京暴雨前２０3０5０总计Ａ B 100(2,5）．（１)求列联表中的数据x，y,A,B的值；(2)绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度?(3)能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关?附：K2=＼f(n(ad－bc)2,(a＋b)(ｃ+d)(ａ+c)(ｂ+ｄ))P （K 2≤k )0．15 ０.１０ ０.0５ 0.０25０.0１０0.００5 0.０01 k2．0722.7０63.8４1５.024 6．6357.8７91０.828解：(1)设“从所有投票中抽取一个,取到不支持投入的投票”为事件A , 由已知得Ｐ（Ａ)=y +30100=＼f(2,5),所以y =１0，B =40，x =40,A =６0.(2)由(１)知北京暴雨后支持为错误!＝错误!, 不支持率为1-＼f(4,5）＝错误!,北京暴雨前支持率为＼f(20，50)＝＼f(2，5), 不支持率为1-＼f （2，5)＝3５. 条形统计图如图所示，由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度．(3）K 2＝1０0(3０×40－２0×1０)2５０×5０×40×6０＝错误!=错误!≈16.78>10.828．故至少有９9.9%的把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关．１.以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格y (单位：万元）和房屋面积ｘ(单位:m２)的一组数据：房屋面积x （m 2) 8０ 1销售价格y (万元)18.42２21．6 24．829.2(1)求销售价格y 和房屋面积x 的回归直线方程；(2)根据(1）的结果估计当房屋面积为１５0 ｍ2时的销售价格.---- 解：（１)由题意知，错误!=错误!＝1０9，错误!=错误!＝２3.2．设所求回归直线方程为错误!=ｂｘ＋a ,则ｂ=错误!＝错误!≈０．1９6 2，a =错误!－b 错误!≈23.2－0.196 2×109=1.81４ 2，故回归直线方程为错误!＝0.196 ２ｘ+１．8１4 ２.（2)由(1)知，当x ＝150时,估计房屋的销售价格为错误!=０．１96 2×150＋1．814 2＝３1.2４4 2(万元)．2.(2012·徐州二模）在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人,其中有3８人患色盲，调查的５２0名女性中,有6人患色盲.(１)根据以上数据建立一个2×2列联表;（2)若认为“性别与患色盲有关系”，求出错的概率.解：（1)２×2列联表如下：(2）假设Ｈ０：“列联表中数据,可求得K 2=1 0０0×(38×514－6×442)24８0×52０×44×９56≈２7.14,又Ｐ(K 2≥1０.8２8）=０.00１,即H 0成立的概率不超过0.００1，故若认为“性别与患色盲有关系”,则出错的概率为0.１%.。

专题一：函数图像的变换与解答技巧 【高考地位】函数图像作为高中数学的一个“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已经成为各省市高考命题的一个热点。

在高考中经常以几类初等函数的图像为基础，结合函数的性质综合考查，多以选择、填空题的形式出现。

【方法点评】 方法一 特值法使用情景：函数()f x 的解析式已知的情况下解题模板：第一步 将自变量或者函数值赋以特殊值；第二步 分别一一验证选项是否符合要求； 第三步 得出结论.例1 函数x x x y sin cos +=的图象大致为（ ）【答案】C考点：函数的图像【点评】特值法是解决复杂函数的图像问题的方法之一，其将复杂问题简单化，且操作性简单可行。

【变式演练1】函数()2ln y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 试题分析：解:令()2ln y x x =+0=,解得1,1,2--=x ,∴该函数有三个零点,故排除B ；当2-<x 时,02<+x ,2>x ,02ln ln >>∴x ,∴当2-<x 时,()2ln y x x =+0<,排除C 、D ．故选A ． 考点：函数的图象．【变式演练2】函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）【答案】D 【解析】考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 【变式演练3】现有四个函数：①②③④的图象（部分）如下，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②① 【答案】C 【解析】 试题分析：因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，即与左1图对应，故排除选项A 、D ， 因为当时，，故函数的图象与左3图对应，故排除选项B ；故选C ． 【方法点睛】本题考查通过函数的解析式和性质确定函数的图象，属于中档题；已知函数的解析式确定函数的图象，往往从以下几方面考虑：定义域（确定图象是否连续），奇偶性（确定图象的对称性），单调性（确定图象的变化趋势），最值（确定图象的最高点或最低点），特殊点的函数值（通过特殊函数值排除选项），其主要方法是排除法． 考点：1．函数的奇偶性；2．函数的图象．【变式演练4】函数xe x y )1(2-=的图象大致是（ ）【答案】C 【解析】考点：偶函数图象的性质.方法二 利用函数的基本性质判断其图像 使用情景：函数()f x 的解析式已知的情况下解题模板：第一步 根据已知函数解析式分析其变化特征如单调性、奇偶性、定义域和值域等；第二步 结合简单的基本初等函数的图像特征如对称性、周期性等进行判断即可； 第三步 得出结论.例2 函数()(1)ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）【答案】A 【解析】考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、函数的图像．【思路点睛】本题主要考查了导数在研究函数的单调性中的应用和函数的图像，具有一定的综合性，属中档题．其解题的一般思路为：首先观察函数的表达式的特征如0)1(=f ，然后运用导数在研究函数的单调性和极值中的应用求出函数的单调区间，进而判断选项，最后将所选的选项进行验证得出答案即可．其解题的关键是合理地分段求出函数的单调性．【变式演练5】如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点()01A ，，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长¼AM x =，直线AM 与x 轴交于点()0N t ，，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：由圆的对称性可知，动点N 的轨迹关于原点对称，且在原点处，21=x ，0=y ；当点M 位于左半圆时，随着弧AM 的长递增，t 的值递增，且变化由快到慢，由给定图象可知选D ． 考点：函数的图象．【变式演练6】如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．221xy x =-- B ．2sin 41x x y x =+ C ．ln xy x= D ．2(2)x y x x e =-【答案】D 【解析】考点：函数的图象和性质． 【变式演练7】函数()21x f x e-=（e 是自然对数的底数）的部分图象大致是（ ）【答案】C 【解析】【变式演练8】函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：从题设中提供的解析式中可以看出1,0±≠x ,且当0>x 时, x x y ln =,由于x y ln 1/+=,故函数x x y ln =在区间)1,0(e 单调递减;在区间),1(+∞e单调递增.由函数图象的对称性可知应选D. 考点：函数图象的性质及运用. 【变式演练9】函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】考点：函数的奇偶性及函数的图象． 【变式演练10】若函数()2(2)m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,2-C ．()0,2D ．()1,2 【答案】D考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.导数的应用. 【高考再现】1. 【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项. 2.【2015高考安徽，理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <【答案】C【考点定位】1.函数的图象与应用.【名师点睛】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断,,a b c 的正负关系.3.【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C【解析】如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集选C【考点定位】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想. 【名师点睛】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，本题属于基础题，首先是函数图象平移变换，把2log y x =沿x 轴向左平移2个单位，得到2log (y x =+2)的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.4．【2014年.浙江卷.理7】在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）答案：D考点：函数图像.【名师点睛】本题主要考查了函数的指数与对数函数图像和性质，属于常见题目，难度不大；识图常用的方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．5. 【2014福建,理4】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）13OxyDC BAy=log a (-x)y=(-x)ay=x ay=a -x-1-3113OO OO1y x1xy1xyxy【答案】B 【解析】考点：函数的图象.【名师点睛】本题主要考查函数图像的识别问题及分析问题解决问题的能力，求解此题首先要根据图像经过的特殊点，确定参数的值，然后利用函数的单调性确定正确选项，解决此类问题要重视特殊点及单调性的应用.【反馈练习】1. 【2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学试卷，文5】函数111y x =--的图象是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：将1y x =-的图象沿x 轴向右平移1个单位得到11y x =--的图象，再沿y 轴向上平移1个单位得到111y x =--的图象.故选B ． 考点：函数图象的平移变换．2. 【2017届广东华南师大附中高三综合测试一数学试卷，文10】函数2ln xy x=的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B3. 【2017届广东佛山一中高三上学期月考一数学试卷，理6】函数22x y x-=的图象大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：当1x <-时，22x x <，即220x x -<，排除C 、D ，当3x =时，322310y =-=-<，排除B ， 故选A ．考点：函数的图象．4. 【2016-2017学年山西榆社中学高一10月月考数学试卷，理7】已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)f x 的图象是图乙中的（ ）【答案】B 【解析】考点：函数图象与性质．5. 【2016-2017学年河北徐水县一中高一上月考一数学试卷，理5】下列图中，画在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与y ax b =+（0a ≠，0b ≠）函数的图象只可能是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：()2f x ax bx =+图象是抛物线，()g x ax b =+图象是直线.A 选项()f x 开口向上，说明0a >，直线应斜向上，故A 错误.D 选项()f x 开口向下，说明0a <，直线应斜向下，故D 错误. C 选项()f x 图象不过原点，错误.故选B.考点：函数图象与性质．6. 【2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学试卷，理9】已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式应为（ ）A ．()ln x f x e x =B ．()ln(||)x f x ex -= C ．()ln(||)x f x e x = D ．||()ln(||)x f x e x =【答案】C【解析】考点：函数的性质．7. 【2017届湖南长沙长郡中学高三上周测十二数学试卷，文8】函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为（ ）【答案】A【解析】试题分析：因为22()(44)log x x f x x -=-，()2222()(44)log (44)log x x x x f x x x f x ---=-=--=-，所以22()(44)log x x f x x -=-是奇函数，排除B 、C,又因为0x →时，0y →，所以排除D ，故选A.考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性.8. 【2017届重庆市第八中学高三上适应性考试一数学试卷，理10】如图1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离与O 到M 的距离之和表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考点：函数的实际应用．9．【 2017届河南新乡一中高三9月月考数学试卷，文7】设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为（ ）【答案】A【解析】试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=gg ，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A ．考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法．10. 【2017届湖北襄阳五中高三上学期开学考数学试卷，文6】已知函数)(x f 是定义在R 上的增函数，则函数1|)1(|--=x f y 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考点：函数的图象，图象变换．。

概率与统计是高中数学的重要学习内容，在高考试卷中，每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含概率计算，统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，注重考查基础知识和基本方法；以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．“大题规范解答——得全分”系列之(十)概率与统计的综合问题答题模板[典例](2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息 观察条件―→−−−−−−→借助直方可确定图非体育迷及体育迷人数2．审结论，明解题方向观察所求结论―→完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性 −−−→需要确定a ，b ，c ，d 及K 2的值3．建联系，找解题突破口由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数―→完成列联表―→计算K 2可判断结论1．审条件，挖解题信息观察条件―→确定“超级体育迷”标准且有2名女性“超级体育迷” −−−−−−→由率分布直方频图 确定“超级体育迷”的人数2．审结论，明解题方向观察所求结论―→从“超级体育迷”中任取2人求至少有1名女性观众的概率 −−−−→分分析类1名女性观众或两名女性观众3．建联系，找解题突破口由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数−−−−−→列法列出举举所有基本事件并计数为n 和至少有1名女性的基本事件，计数为m mP n−−−−→代入＝求概率[教你准确规范解题](1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：(3分)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．(6分)(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．(9分)用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，(11分)事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.(12分)[常见失分探因]忽视直方图纵轴表示为频率组距导致每组人数计算失误.K 2的计算不准确、导致结果判断出错.1.“超级体育迷”人数计算错误导致失误.2.由5人中任取2人列举出所有可能结果时重复或遗漏某一情况导致失误.————————————[教你一个万能模板]—————————————————―→―→―→―→1．(2012·佛山模拟)已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为( )A ．6.5 hB ．5.5 hC ．3.5 hD ．0.3 h解析：选A 将600代入线性回归方程y ^＝0.01x ＋0.5中得需要的时间为6.5 h. 2．(2013·衡阳联考)已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程y ^＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85 C ．0.7D ．0.5解析：选D 回归直线必过样本中心点(1.5，y )，故y ＝4，m ＋3＋5.5＋7＝16，得m ＝0.5.3．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 解析：选C 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．4．已知x 、y 的取值如下表：从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ^＝( ) A ．2.5 B ．2.6 C ．2.7D ．2.8解析：选B 因为回归方程必过样本点的中心(x ，y )，又x ＝2，y ＝4.5，则将(2,4.5)代入y ^＝0.95x ＋a ^可得a ^＝2.6.5．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不．正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．6．(2013·合肥检测)由数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)求得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，因此(x 0，y 0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(x ，y )．7．(2012·唐山模拟)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________ cm.解析：根据回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入，得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案：56.198．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关，无关)解析：由观测值k ＝27.63与临界值比较，我们有99%的把握说打鼾与患心脏病有关． 答案：有关9．(2012·宁夏模拟)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ^＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a . ∴a ＝60.∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：6810．已知x ，y 的一组数据如下表：(1)从x ，y (2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好．解：(1)从x ，y 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对．故所求概率P ＝925.(2)用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 1＝⎝⎛⎭⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫103－42＋⎝⎛⎭⎫113－52＝73.用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎫72－32＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎫92－52＝12. ∵S 2<S 1，∴直线y ＝12x ＋12的拟合程度更好．11．(2012·东北三省联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．)(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析． 解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主． (2)(2)K 2＝30(8－128)12×18×20×10＝30×120×12012×18×20×10＝10＞6.635，有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关．12．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：(1)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． 解：(1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.则b ^＝∑x ＝15(x i －x )(y i －y －)∑x ＝15 (x i －x )2＝1020＝0.5，a ^＝y －b ^x －＝0.4， ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为 y ^＝0.5x ＋0.4.(3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．1．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如下表：则y 对x 的线性回归直线方程为( ) A.y ^＝2.3x －0.7 B.y ^＝2.3x ＋0.7 C.y ^＝0.7x －2.3D.y ^＝0.7x ＋2.3解析：选C ∵∑i ＝14x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4.∴b ^＝158－4×9×436＋64＋100＋144－4×81＝0.7，a ^＝4－0.7×9＝－2.3.故线性回归直线方程为y ^＝0.7x －2.3.2．(2012·东北三校联考)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝7.069，则有________的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．附：解析：因为7.069与附表中的6.635最接近(且大于6.635)，所以得到的统计学结论是：有99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．答案：99%3．某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票．按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表：已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为25.(1)求列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值；(2)绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？(3)能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：(1)设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件A ， 由已知得P (A )＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)由(1)知北京暴雨后支持为4050＝45，不支持率为1－45＝15，北京暴雨前支持率为2050＝25，不支持率为1－25＝35.条形统计图如图所示，由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度．(3)K 2＝100(30×40－20×10)250×50×40×60＝1000 00050×20×60＝503≈16.78＞10.828.故至少有99.9%的把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关．1．以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)的一组数据：若销售价格y 和房屋面积x 具有线性相关关系． (1)求销售价格y 和房屋面积x 的回归直线方程；(2)根据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．解：(1)由题意知，x ＝80＋105＋110＋115＋1355＝109，y ＝18.4＋22＋21.6＋24.8＋29.25＝23.2.设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝1n(x i －109)(y i －23.2)∑i ＝1n(x i －109)2＝3081 570≈0.196 2， a ＝y －b x ≈23.2－0.196 2×109＝1.814 2，故回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. (2)由(1)知，当x ＝150时，估计房屋的销售价格为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．2．(2012·徐州二模)在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中，有6人患色盲．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)若认为“性别与患色盲有关系”，求出错的概率． 解：(1)2×2列联表如下：(2)假设H 0：“性别与患色盲没有关系”，根据(1)中2×2列联表中数据，可求得K 2＝1 000×(38×514－6×442)2480×520×44×956≈27.14，又P (K 2≥10.828)＝0.001，即H 0成立的概率不超过0.001，故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.1%.。