高三数学一轮复习概率与统计

［ 20,25 )
10
0. 20
0. 38
［ 25,30 )
11
0. 22
0. 60
［ 30,35 )
9
0. 18
0. 78
［ 35,40 )
8
0. 16
0. 94
［ 40,45 )
3
0. 06
1
总计
50
1
(2) 频率分布直方图与累积频率分布图如下 :
y 频率
y
0.9
0.20
0.8
0.7
0.15
0.6
P=
(C113 ) C452
4
.
答案 : (C113 ) 4 C542
5.解 : (1) 我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件 A，“乙射击一次击中目标”叫做事件 B. 显 然 事 件 A 、 B 相 互 独 立 ， 所 以 两 人 各 射 击 一 次 都 击 中 目 标 的 概 率 是 P(A·B)=P(A)· P(B)=0 . 6× 0. 6=0 . 36
0.5
0.10
0.4
0.3
0.05
0.2
0.1
o o 10 15 20 25 30 35 40 45 x
10 15 20 25 30 35 40 45 x
例 2 袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 中摸出一个红球的概率为 p．
1
A 中摸出一个红球的概率是
，从 B
3
(Ⅰ )从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 (i)求恰好摸 5 次停止的概率；
1 5
0.
2·0.
4
8 =0.
410
P(Y=0)= P( X=2)=C
2 5
·0.
22· 0.
83=0. 205
P(Y=－2)= P(X≥ 3)=1－ P(X=0)－P(X=1) － P(X=2)=0 . 057 故一周内的期望利润为 : EY=10× 0.328+5 × 0.410+0 × 0.205 － 2× 0.057=5.216( 万元 )
和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件 中目标的概率是
A· B 与 A ·B 互斥，所以恰有一人击
P(A· B )+P( A · B)=0 . 24+0. 24=0. 48 答: 其中恰有一人击中目标的概率是 0. 48.
(2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率
P=P(A·B)+［P(A· B )+ P( A ) ·B ］
=0. 36+0. 48=0. 84 答 : 至少有一人击中目标的概率是
0. 84.
6. 解 : (1) 因为 ξ 所在区间上的概率总和为 1，
所以 1 (1－ a+2－ a)·1=1, 2
∴ a= 1 2
概率密度曲线如图 :
y
3 2 1 1 2
o
1
2x
(2)P(1＜ ξ ＜
3 ＝= 1
1 (
3 1)
kk
Cn p
1
nk
p ，得
5
P
0
C50
11 3
32 ； 243
4
P
1
C15
1 3
1 1
3
80 243
2
3
P
2
C52
1 3
1 1
3
80 243
3
2
P
3
C53
1 3
1 1
3
17 243
（或 P
32 80 2 17
31
）
243
243
随机变量 的分布列是
0
1
2
3
32 80 80 17
P
243 243 243 243
击中的事件可以表示为 A+B+C ，即击中目标表示事件 A、B、C 中至少有一个发生 .
P( A B C) P( A) P( B) P( C) [1 P( A)] [1 P( B)] [1 P(C)]
1 1 11 (1 )(1 )(1 ) .
2 3 44
故目标被击中的概率为 1－ P( A · B · C )=1 － 1 3 44
［ 20，25 ) 10 ［40， 45 ) 3 ［ 25， 30 ) 11
(1)列出样本的频率分布表 (含累积频率 )；
(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 .
命题意图 : 本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法
.
知识依托 : 频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法
0.2，机器发生故障时全天停止工作 .若一周 5
个工作日里均无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障可获利润 5 万元，只发生两次故障
可获利润 0 万元，发生三次或三次以上故障就要亏损
2 万元。求一周内期望利润是多少？
参考答案 : 1.解析 : 设甲命中目标为事件 A，乙命中目标为事件 B，丙命中目标为事件 C，则目标被
课前后备注 :
2009 届一轮复习概率与统计
高考要求 :
概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容
.要充分注意一些重要概念
的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法
.
重难点归纳 :
本章内容分为概率初步和随机变量两部分 . 第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件
有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验
的数学期望是 :
32
80
80
17
131
E
0
1
2
3
.
243
243 243
243
81
(Ⅱ )设袋子 A 中有 m 个球，则袋子 B 中有 2m 个球 .
1 m 2mp 由3
2 ，得 p
13
.
3m
5
30
例 3 如图，用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、 N2，当元件 A、B、C 都正常工
.
错解分析 : 解答本题时， 计算容易出现失误， 且要注意频率分布与累积频率分布的区别 .
技巧与方法 : 本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 .
解 : (1) 由所给数据，计算得如下频率分布表 :
数据段wenku.baidu.com
频数
频率
累积频率
［ 10,15 )
4
0. 08
0. 08
［ 15,20 )
5
0. 10
0. 18
3 次摸到红球即停止．
(ii) 记 5 次之内 (含 5 次 )摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布率及数学期望 E ．
(Ⅱ )若 A、 B 两个袋子中的球数之比为 12，将 A、 B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球
2
的概率是 ，求 p 的值．
5
命题意图 : 本题考查利用概率知识和期望的计算方法 .
答 : 两人都击中目标的概率是 0. 36 (2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是 P(A· B )=P(A)·P( B )=0 . 6× (1－ 0. 6)=0 . 6× 0. 4=0 . 24
甲未击中、乙击中的概率是 P( A · B)= P( A )P(B)=0. 24，显然，“甲击中、乙未击中”
知识依托 : 概率的计算及期望的概念的有关知识 .
错解分析 : 在本题中，随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误
.
技巧与方法 : 可借助 n 次独立重复试验概率公式计算概率 .
2
2
解:( Ⅰ )（ i） C42
1 3
2 18 3 3 81
(ii) 随机变量 的取值为 0，1， 2， 3，；
由 n 次独立重复试验概率公式 Pn k
.第二部分包括随机变量、
离散型随机变量的期望与方差 .
涉及的思维方法 : 观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化 .
主要思维形式有 : 逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维
.
典型题例示范讲解 :
例 1 有一容量为 50 的样本，数据的分组及各组的频率数如下 :
［ 10，15］ 4 ［ 30， 35 ) 9 ［ 15，20 ) 5 ［ 35， 40 ) 8
P(X = k)=C
k 5
0.
k
2 0.
5－ k
8 ,k=0,1,2,3,4,5.
以 Y 表示一周内所获利润，则
10 若 X 0 5 若X 1 Y= g( X )= 0 若X 2
2 若X 3
Y 的概率分布为 : P(Y=10)= P(X=0)=0 . 85=0 . 328
P(Y=5)=
P(
X=1)=C
取出的废品数 ζ 的期望 Eζ=_________ .
4. 某班有 52 人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出 动，这 4 人恰好来自不同组别的概率是 _________.
4 人参加某项活
5. 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是 (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率 .
三人同时射击目标，则目标被击中的概率为 ( )
1 ，丙命中目标的概率是 3
1 . 现在 4
A. 3
B. 2
C. 4
D. 7
4
3
5
10
2. 已知随机变量 ζ 的分布列为 : P(ζ=k)= 1 ,k=1,2,3, 则 P(3ζ+5) 等于 3
A6
B9
C3
D4
3.1 盒中有 9 个正品和 3 个废品，每次取 1 个产品，取出后不再放回，在取得正品前已
答案 : A
2.
解析 :
Eξ =(1+2+3) ·
1
=2， Eξ 2=(12+22+3 2)·
1
14 =
3
33
∴ Dξ =Eξ2－ (Eξ )2= 14 － 22= 2 .
3
3
∴ D(3ξ +5)=9 Eξ =6 .
答案 : A
3. 解析 : 由条件知， ξ 的取值为
0，1， 2， 3，并且有
P(ξ =0)=
3
2 22 2 9
7.解 : 一元二次方程有实数根 解得 P≤－ 1 或 P≥ 2
Δ ≥0 而 Δ =P2－4( P 1 )=P2－ P－ 2=( P+1)( P－2) 42
故所求概率为 P= [ 0.5] {( , 1] [ 2, )}的长度 3
[ 0,5]的长度
5
8. 解 : 以 X 表示一周 5 天内机器发生故障的天数，则 X－ B(5，0. 2)，于是 X 有概率分布
(2)系统 N2 正常工作的概率 P2=P(A)·［ 1－P( B C )］
=P(A)·［1－ P( B ) P( C )］
=0. 80×［ 1－ (1－ 0.90)(1－ 0.90) ］ =0.792 故系统 N2 正常工作的概率为 0.792. 学生巩固练习 :
1.甲射击命中目标的概率是
1 ，乙命中目标的概率是 2
C19 C112
3 ,
4
P(
1)
C13C19 2C122
9 , P( 44
2)
C
2 3
C19
2C132
9 , P( 220
3)
C33C19 2C142
1 220
3
9
9
1
E0
1
2
3
0.3 答案 : 0. 3
4 44
220
220
4. 解析 : 因为每组人数为
13 ，因此，每组选
1 人有
C
1 13
种方法，所以所求概率为
作时，系统 N1 正常工作；当元件 A 正常工作且元件 B、 C 至少有一个正常工作时，系统 N2
正常工作 .已知元件 A、B、 C 正常工作的概率依次为 0. 80,0. 90,0. 90，分别求系统 N1， N2
正常工作的概率 P1、P2.
(N 1) A
BC
B
(N2) A
C
解 : 记元件 A、B、C 正常工作的事件分别为 A、B、C， 由已知条件 P(A)=0 . 80,.P(B)=0 . 90,P(C)=0. 90. (1) 因 为 事 件 A 、 B 、 C 是 相 互 独 立 的 ， 所 以 ， 系 统 N1 正 常 工 作 的 概 率 P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0 . 648,故系统 N1 正常工作的概率为 0. 648.
0. 6，计算 :
0 6.已知连续型随机变量 ζ的概率密度函数 f(x)= x a
0
x1 1x2 x2
(1)求常数 a 的值，并画出 ζ 的概率密度曲线；
(2)求 P(1＜ ζ＜ 3 ＝. 2
7. 设 P 在［ 0,5］上随机地取值，求方程
x2+px+ p 1 =0 有实根的概率 . 42
8.设一部机器在一天内发生故障的概率为