当前位置：文档之家 › 线性代数的matlab实践性课题

线性代数的matlab实践性课题

  • 格式：pdf
  • 大小：903.28 KB
  • 文档页数：10

下载文档原格式

  / 10

合集下载

线性代数实践MATLAB

线性代数实践MATLAB
Matlab实现
使用`eig`函数求解特征值和特征向量，例如 `[V,D] = eig(A)`。
Matlab中矩阵分解相关函数
lu
用于LU分解。
qr
用于QR分解。
eig
用于求解特征值和特征向量。
用于奇异值分解。
svd
hess
用于Hessenberg分解。
用于Schur分解。
schur
03
线性空间与变换在
掌握了特征值与特征向量的计算
通过Matlab编程，我们能够快速准确地求解矩阵的特征值和特征向 量，这对于很多实际问题具有重要意义。
实现了线性方程组的求解
利用Matlab的左除和右除运算，我们方便地解决了线性方程组的求 解问题，提高了计算效率。
进行了矩阵分解与应用
通过Matlab，我们实现了矩阵的LU分解、QR分解以及SVD分解等， 这些方法在数据分析、图像处理等领域有广泛应用。
线性代数实践 matlab
目录
CONTENTS
• 线性代数基本概念与Matlab实现 • 矩阵分解方法及其在Matlab中应
用 • 线性空间与变换在Matlab中实践
目录
CONTENTS
• 线性方程组求解方法及Matlab实 现
• 特征值与特征向量计算及Matlab 应用
• 总结与展望
01
线性代数基本概念
03
矩阵转置
04
矩阵转置是指将矩阵的行和列互 换得到的结果。在Matlab中， 可以使用单引号进行矩阵转置运 算，如`A_transpose = A'`。
矩阵逆
矩阵逆是指一个矩阵与另一个矩 阵相乘得到单位矩阵的结果。在 Matlab中，可以使用`inv`函数求 解矩阵逆，如`A_inv = inv(A)`。

MATLAB软件在线性代数教学中的应用

MATLAB软件在线性代数教学中的应用

MATLAB软件在线性代数教学中的应用【摘要】MATLAB软件在线性代数教学中的应用日益重要。

本文从向量和矩阵运算、线性方程组求解、特征值和特征向量计算、线性代数可视化教学以及矩阵分解和奇异值分解等方面探讨了MATLAB的应用。

通过实际案例展示了MATLAB在教学中的实际应用，有助于学生更好地理解线性代数的概念和应用。

结合结论部分讨论了MATLAB在线性代数教学中的重要性以及未来的发展方向，强调了MATLAB在提升学生学习效果和培养解决实际问题能力方面的巨大潜力。

MATLAB在线性代数教学中的应用有着广阔的发展前景，为教学提供了更加丰富和多样化的教学手段。

【关键词】MATLAB, 线性代数, 教学应用, 向量, 矩阵运算, 线性方程组, 特征值, 特征向量, 可视化教学, 矩阵分解, 奇异值分解, 重要性, 发展方向1. 引言1.1 MATLAB软件在线性代数教学中的应用概述MATLAB是一种强大的数学软件，广泛应用于高等教育领域，尤其在线性代数教学中发挥着重要作用。

在在线性代数教学中，MATLAB可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，提高他们的数学建模和问题求解能力。

通过MATLAB软件，学生可以直观地进行向量和矩阵运算，求解线性方程组，计算特征值和特征向量，进行矩阵分解和奇异值分解等操作。

MATLAB软件提供了丰富的数学函数和工具箱，使得学生可以方便地进行各种数学计算和仿真实验。

通过MATLAB的可视化功能，学生可以直观地观察数学概念的几何意义，加深对数学知识的理解。

MATLAB还支持编程功能，学生可以通过编写脚本和函数来实现复杂的数学运算和算法，培养他们的编程能力。

在线性代数教学中，MATLAB软件的应用不仅可以帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学建模和问题求解能力，还可以激发学生的学习兴趣，培养他们的创新思维和实践能力。

MATLAB软件在线性代数教学中的应用具有重要意义，对提升教学效果和培养学生的数学素养具有积极作用。

MATLAB在工程线性代数教学的应用及实践

MATLAB在工程线性代数教学的应用及实践

MATLAB在工程线性代数教学的应用及实践【摘要】利用传统的教学方法进行工科线性代数教学，学生接受起来有一定难度，而且难以应用到实际问题中。

为了解决以上问题，本文将数学软件 MATLAB引入线性代数课堂教学中进行教学改革实践，并进行了相应的课堂教学设计和实验设计，希望能起到更好的教学效果。

【关键词】线性代数MATLAB 教学过程实践教学教学评价一、引言近年来，计算机技术和各种数学软件的飞速开展，给数学教育带来了巨大的影响。

为了提高高校传统数学的教学效果，改变只重理论无视应用的教学弊端，许多高校已在数学教学中引入 MATLAB 数学软件。

线性代数作为高校数学教育的三大根本公共根底课程之一，是培养学生的数学思维能力和计算能力的重要课程。

如何利用计算机技术改革线性代数教学，怎样进行从理论到应用的线性代数教学，是当前线性代数教学改革中的一个十分重要的课题。

MATLAB软件是一种先进的科学计算软件，它是由 MathWorks 公司于 1984 推出。

该软件集成了数据操作的根本单元，并提供了大量的内置函数，包括线性代数、矩阵分析和变换、统计、优化、数值计算等。

因此， MATLAB 软件是线性代数教学中最适合采用的数学软件。

二、教学过程设计长期以来，线性代数的教学中只重视理论和计算，无视了线性代数理论的背景及其应用。

传统的教学方法是黑板上书写定理、概念和习题，这样有利于解释理论的内容，让学生了解每一步的理论来源和逻辑思维过程，但在行列式、逆矩阵、解方程的计算例题讲授中，在黑板上写的篇幅太多而且消耗时间。

虽然“概念、定理、习题〞的教学模式能反映数学的逻辑与推理，但缺乏交互性和实用性，不利于调动学生的主动性和学习兴趣，也不利于培养学生的想象力和创造力。

因此，我们提出了利用多媒体课件和 MATLAB 软件的教学模式。

对于线性代数的理论知识和数值算例，我们仍然使用传统板书的教学方法，并结合 MATLAB数值计算和有绘图功能的多媒体教学，在黑板上逼真地再现抽象的知识和复杂的计算过程，以更生动直观的形象让学生了解解题过程，让学生在课堂内获得更多有用的信息。

用MATLAB解决线性代数问题实验报告

用MATLAB解决线性代数问题实验报告

实验三使用MATLAB解决线性代数问题学院：数计学院班级：1003班姓名：黄晓丹学号：1051020144实验目的：学习MATLAB有关线性代数运算的指令，主要学习运用MATLAB解决矩阵除法，线性方程组的通解，矩阵相似对角化问题，以及解决投入产出分析等应用问题。

实验内容：矩阵转置：A=[1 2;3 4];B=[4 3;2 1];>> A',B'ans =1 32 4ans =4 33 1矩阵加减：A-Bans=-3 -11 3矩阵乘法：A*B,A.*B(数组乘法)||比较矩阵乘法与数组乘法的区别ans=8 520 13ans=4 66 4矩阵除法：A\B,B./Aans=-6 -55 4ans=4 1.50.6667 0.25特殊矩阵生成：zeros（m，n）||生成m行n列的矩阵ones（m，n）||生成m行n列的元素全为一的矩阵eye（n）||生成n阶单位矩阵rand（m，n）||生成m行n列[0 ，1]上均匀分布随机数矩阵zeros(2,3)ans =0 0 00 0 0>> ones(3,3)ans =1 1 11 1 11 1 1>> eye(3)ans =1 0 00 1 00 0 1>> rand(2,4)ans =Columns 1 through 30.9501 0.6068 0.89130.2311 0.4860 0.7621Column 40.45650.0185矩阵处理：trace（A）||返回矩阵的迹diag（A）||返回矩阵对角线元素构成的向量tril（A）||提取矩阵的下三角部分triu（A）||提取矩阵的上三角部分flipud（A）||矩阵上下翻转fliplr（A）||矩阵左右翻转reshape(A,m,n)||将矩阵的元素重排成m行n列矩阵A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];>> t=trace(A),d=diag(A),u=triu(A)t =15d =159u =1 2 30 5 60 0 9 flipud(A),fliplr(A)ans =7 8 94 5 61 2 3 ans =3 2 16 5 49 8 7矩阵特征值与标准型：[V,D]=eig（A）||返回矩阵特征值与特征向量[V J]=Jordan(A)||返回矩阵的相似变换矩阵和若尔当标准型A=[1 2;3 4];>> [V,D]=eig(A)V =-0.8246 -0.41600.5658 -0.9094D =-0.3723 00 5.3723>> [V,J]=jordan(A)V =0.2389 0.76110.5222 -0.5222J =5.3723 00 -0.3723线性方程组求解A=[1 2 1;3 -2 1];B=[1;4];x=A\B x =1.2500 ||求一特解-0.1250>> A=[1 2;3 -2;1 -1];B=[1;4;2];x=A\Bx = ||求得一最小二乘近似解1.2838-0.1757：方阵的相似对角化及应用：A=[1 1/4 0;0 1/2 0;0 1/4 1];[P,T]=eig(A) P =1.0000 0 -0.40820 0 0.81650 1.0000 -0.4082T =1.0000 0 00 1.0000 00 0 0.5000求得三个特征值1,1,0.5，对应特征向量（1,0,0），（0,0,1），（-0.4028,0.8165，-0.4082），由于三个特征向量线性无关，从而A 可相似对角化，即p-1AP=T.那么A∧n=p[1 0 0;0 1 0;0 0 0]p-1，计算的P*diag（[1,1,0]）*inv（P）ans =1.0000 0.50000 00 0 00 0.5000 1.0000所以得到近似解。

线性代数实验报告汇总

线性代数实验报告汇总

数学实验报告题目第一次实验题目一、实验目的1MATLAB 的矩阵初等运算；．熟悉2 ．掌握求矩阵的秩、逆、化最简阶梯形的命令；3MABLAB 求解线性方程组．会用二、问题求解和程序设计流程344?221????????MATLABA1 B、，已知命令窗口中建立．，在320B???50??3A????????112?153????矩阵并对其进行以下操作：(1) A 的行列式的值计算矩阵?)?Adet((2) 分别计算下列各式：、和、、、、B?A.T112??B?BA?2A ABABAA：解（1）编写程序如下：A=[4 -2 2;-3 0 5;1 5 3];B=[1 3 4;-2 0 -3;2 -1 1];a=det(A)运行结果：a =-158（2）编写程序如下：C=2*A-BD=A*BE=A.*BF=A/BG=A\BH=A*AK=A'运行结果：C =7 -7 0-4 0 13线性代数实验报告0 11 5D =12 10 247 -14 -7-3 0 -8E =4 -6 86 0 -152 -5 3F =0 0 2.0000-2.7143 -8.0000 -8.14292.42863.0000 2.2857G =0.4873 0.4114 1.00000.3671 -0.4304 0-0.1076 0.2468 0H =24 2 4-7 31 9-8 13 36K =4 -3 1-2 0 52 5 32 MATLABrankinv 求下列矩阵的秩：中分别利用矩阵的初等变换及函数．在、函数线性代数实验报告3501??2631?????0012????(1) Rank(A)=? 2求) 求(054A?3??B1??B?????0201??4??1112????2102??解：1 编写程如下：（）format rat A=[1 -6 3 2;3 -5 4 0;-1 -11 2 4];rref(A)运行结果：ans =1 0 0 -8/50 1 0 00 0 1 6/5AA3 。

线性代数Matlab数学实验

线性代数Matlab数学实验

0.1042 -0.1436 -0.0663 0.0878 0.0337 0.0411
1.1095 1.3541 3.1761 5.3951 8.3265 1.3564
4.3899 15.0714 19.5899 28.3698 37.2783 1.8128
2.1612 9.5847 11.9050 16.2275 20.7091 0.6693
b = ( 1 3 5 7 9 11) 。
1．输入矩阵 A,B,b. 2．作X12=A/ , X22=A+B , X23=A-B , X24=AB. 3．求|A|,|B|。 4．求 R(A),R(B)。 5．求X5=A-1 . 6．求矩阵方程 XA=C 的解 X6,其中 C 为 A 的第 i 行乘以列标 i 所得到的矩阵。 7．求解方程组 AX=b 的解向量 X7. 8．求 X6 的特征向量 X8，X6 的特征向量组 X 及对角阵 D。 9．求 B2(A-1)2. 10．存储工作空间变量 A,B：save’ds1.m’,A,B 三、思考与练习 1．对本实验中得到的C矩阵求CT, |C|, C-1, C的特征值及对应的特征向量。 2．创建从 2 开始，公差为 4 的等差数列的前 15 项构成的行向量。 3．将本实验中矩阵 A 与 B 的对应元素相乘、对应元素相处并观察分母为零时的结果。 4．求 b 的每个元素自身次幂所的行向量。 5．列出本实验中所有变量。 四、操作提示 1．计算过程 A=[3 4 -1 1 -9 10;6 5 0 7 4 -16;1 -4 7 -1 6 -8;2 -4 5 -6 12 -8;-3 6 -7 8 -1 1;8 -4 9 1 3 0] B=[1 2 4 6 -3 2;7 9 16 -5 8 -7;8 11 20 1 5 5;10 15 28 13 -1 9;12 19 36 25 -7 23;2 4 6 -3 0 5] b=1:2:11 X21=A' X22=A+B X23=A-B X24=A*B X31=det(A) X32=det(B) X41=rank(A) X42=rank(B) X5=inv(A) for i=1:6 C(:,i)=i*A(:,i); end C X6=C/A X7=A\b' X8=eig(X6) [X,D]=eig(X6) X9=B^2*(A^(-1))^2 存储实验1工作空间变量AB到文件ds1.mat中：save ds1 A B 2．计算结果：

线性代数MATLAB仿真实验报告

合肥学院2018—2019学年第2学期线性代数及应用 (模块)实验报告实验名称：线性代数MATLAB实验实验类别：综合性 设计性□验证性 专业班级： 17通信工程（2）班实验时间： 9-12周组别：第组人数 3人指导教师：牛欣成绩：完成时间： 2019年 5 月9日一. 小组成员姓名学号具体分工汪蔚蔚(组长) 1705022025 A报告最后的整合，编写，案例四的计算与应用以及案例一的计算与证明陶乐 1 1705022009 C案例二，化学方程式配平问题程赢妹1505022036 A案例三，应用题灰度值的计算问题二. 实验目的1、案例一利用MATLAB进行线性代数计算，求出矩阵B2、案例二利用MATLAB计算出每一个网格数据的值，然后每一个网格数据的值乘以256以后进行归一化处理，根据每个网格中的灰度值，绘制出灰度图像。

3、案例三利用MATLAB完成对化学方程式进行配平的应用4、案例四利用MATLAB求极大线性无关组，并表示出其余向量三. 实验内容1、案例一：0,1,0,=1,0,0,0,0,0A B AB BA A B⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦已知矩阵和矩阵满足乘法交换律，即且求矩阵。

2、案例二配平下列化学方程式：3、案例三：3*320.81.21.70.20.30.6021.61.20.6.1MATLAB2256MATLAB给定一个图像的个方向上的灰度叠加值：沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为，，，，；沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为，。

，，，）建立可以确定网络数据的线性方程组，并用求解）将网络数据乘以，再取整，用绘制该灰度图像>> X1=B\C1X1 =3.00001.0000-0.0000>> X2=B\C2X2 =-0.50001.00002.5000六．实验结果1、实验一结果我们本来设,,=,,,,a b cB d e fg h i⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦最终得到d=b, e=a, f=c=h=g=0,i=i,即矩阵,,0=,,00,0,a bB d ei⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中a=e,b=d.因此B是一个对称矩阵。

线性代数的MATLAB软件实验报告

线性代数的MATLAB 软件实验一、实验目的1.熟悉矩阵代数主要MATLAB 指令。

2.掌握矩阵的转置、加、减、乘、除、乘方、除法等MATLAB 运算。

3.掌握特殊矩阵的MATLAB 生成。

4.掌握MATLAB 的矩阵处理方法。

5.掌握MATLAB 的矩阵分析方法。

6.掌握矩阵的特征值与标准形的MATLAB 验算。

7.掌握线性方程组的MATLAB 求解算法。

二、实验原理1.线性方程组 【基本观点】自然科学和工程实践很多问题的解决都涉及线性代数方程组的求解和矩阵运算.一方面，许多问题的数学模型本身就是一个线性方程组，例如结构应力分析问题、电子传输网分析问题和投入产出分析问题；另一方面，有些数值计算方法导致线性方程组求解，如数据拟合，非线性方程组求解和偏微分方程组数值解等.n 个未知量m 个方程的线性方程组一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (3.1) 令,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x x a a a a a aa a a A则得矩阵形式Ax=b. (3.2)若右端b=0,即Ax=0, (3.3)则称方程组为齐次的.方程组（3.1）可能有唯一解，可能有无穷多解，也可能无解，主要取决于系数矩阵A 及增广矩阵（A,b ）的秩.若秩（A ）=秩（A,b ）=n,存在唯一解，其解理论上用Cramer 法则求出，但由于这种方法要计算n+1个n 阶行列式，计算量太大通常并不采用；若秩（A ）=秩（A,b ）<n,存在无穷多解，其通解可表示为对应齐次方程组（3.3）的一个基础解系与（3.2）的一个特解的叠加；若秩（A ）≠秩（A,b ），则无解，这时一般寻求最小二乘近似解，即求x 使向量Ax-b 模最小.P50矩阵左除的数学思维:恒等变形Ax=b 方程两边的左边同时除以A ，得：b AAx A11=，即：b A b Ax 11-==MATLAB 的实现（左除）：x=A\b 2.逆矩阵 【基本观点】方阵A 称为可逆的，如果存在方阵B ，使 AB=BA=E,这里E 表示单位阵.并称B 为A 的逆矩阵，记B=1-A .方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行列式det A ≠0.求逆矩阵理论上的公式为*1det 1A AA =-， (3.4)这里*A 为A 的伴随矩阵.利用逆矩阵，当A 可逆时，（3.2）的解可表示为b A x 1-=.由于公式（3.4）涉及大量行列式计算，数值计算不采用.求逆矩阵的数值算法一般是基于矩阵分解的方法.3.特征值与特征向量 【基本观点】对于方阵A ，若存在数λ和非零向量x ，使,x Ax λ= (3.5) 则称λ为A 的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值λ的特征向量.特征值计算归结为特征多项式的求根.对于n 阶实数方阵，特征多项式在复数范围内总有n 个根。

matlab实验1：线性代数方法


奇异值分解： 奇异值分解： 其中U,V均为正交矩阵,S为一 个对角阵, 其中U,V均为正交矩阵,S为一 个对角阵,且对角线 U,V均为正交矩阵,S 元素恰好为A的奇异值(A’*A (A’*A的特征值的算术平方 元素恰好为A的奇异值(A’*A的特征值的算术平方 根). A=U*S*V’ 用于处理一些病态方程组的求解 格式一：只返回方阵A 格式一：只返回方阵A的特征值 格式二：其中D是由A 格式二：其中D是由A的特征值组成的对角 矩阵,V为对应特征向量组成的矩阵. ,V为对应特征向量组成的矩阵 矩阵,V为对应特征向量组成的矩阵. 求矩阵的迹: 求矩阵的迹:矩阵的迹等于矩阵的特征值之和
eig(A) [V,D]=eig(A) trace(A)
上机作业
找出你的代数书，利用 重做其中的几个作业。 找出你的代数书，利用Matlab重做其中的几个作业。 重做其中的几个作业源自函数 [Q,R]=qr(A)
功能 (QR分解 分解) 正交变换 (QR分解)： 对A进行QR分解,就是把A分解为一个正交矩阵Q和 进行QR分解,就是把A分解为一个正交矩阵Q QR分解 一个上三角矩阵R的乘积形式. 其中Q*Q’=E, 一个上三角矩阵R的乘积形式. 其中Q*Q’=E, 正交 阵!
[U,S,V]=svd( A)
%对高阶的大方程组通常用：LU、QR和cholesky分解 对高阶的大方程组通常用： 、 对高阶的大方程组通常用 和 分解 等方法求方程组的解 其优点是运算速度快、 等方法求方程组的解 。其优点是运算速度快、可以节省 磁盘空间、节省内存。 磁盘空间、节省内存。
3 求线性方程组的通解
的通解。 例：求下面线性方程组Ax=B的通解。 求下面线性方程组 的通解 输出结果： 输出结果：
解法2 解法2：利用 rref 函数

线性代数-matlab实验报告

用matlab解决线性代数问题学号: 82120545 , 姓名: 于珊,1 求解线性方程组实验内容: 用MATLAB求解如下线性方程组Ax = b, 其中A =5600000015600000015600000015600000015600000015600000015600000015⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, b = [1，4，6，0，7，1，2，4] T.实验目的:1. 了解MATLAB软件, 学会MATLAB软件的一些基本操作；2. 熟悉MATLAB软件的一些数值计算功能；3. 练习编写简单的MATLAB程序。

实验原理:1. 对于满足条件系数矩阵的行列式D＝︱A︱≠0的方程组Ax= b,根据克拉默（Gramer）法则，此线性方程组有唯一解：，j=1,2,…,n。

2. 当线性方程组的系数矩阵A是可逆矩阵时, 方程组Ax = b的解为X = A\B。

3. 当系数矩阵A可逆时, 对增广矩阵[A, b]进行初等行变换, 把它化为行最简形矩阵B, 则B的最后一列就是该方程组的解向量。

实验方案: 1. 在MATLAB命令窗口中输入如下命令:>> a_1=[5;1;0;0;0;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0;0;0;0];>> a_3=[0;6;5;1;0;0;0;0];a_4=[0;0;6;5;1;0;0;0];>> a_5=[0;0;0;6;5;1;0;0];a_6=[0;0;0;0;6;5;1;0];>> a_7=[0;0;0;0;0;6;5;1];a_8=[0;0;0;0;0;0;6;5]; %输入矩阵A>> b=[1;4;6;0;7;1;2;4];>> D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8]);>> D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8]);>> D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8]);>> D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8]);>> D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5,a_6,a_7,a_8]);>> D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b,a_6,a_7,a_8]);>> D_6=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,b,a_7,a_8]);>> D_7=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,b,a_8]);>> D_8=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,b]);>> x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D;>> x_5=D_5/D;x_6=D_6/D;x_7=D_7/D;x_8=D_8/D;>> format rat,X=[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8]%利用克拉默法则求解方程组2. 在MATLAB命令窗口中输入如下命令:>> %把该方程组记为AX=b，则X=A\b>> A=[5,6,0,0,0,0,0,0;1,5,6,0,0,0,0,0;0,1,5,6,0,0,0,0;0,0,1,5,6,0,0,0;0,0,0,1,5,6,0,0;0,0,0,0,1,5,6,0;0,0,0,0,0,1,5,6;0,0,0,0,0,0,1,5]; %输入矩阵A>> b=[1;4;6;0;7;1;2;4]; %输入矩阵b>>format rat,X=A\b%求解方程组3. 在MATLAB命令窗口中输入如下命令:>> A=[5,6,0,0,0,0,0,0;1,5,6,0,0,0,0,0;0,1,5,6,0,0,0,0;0,0,1,5,6,0,0,0;0,0,0,1,5,6,0,0;0,0,0,0,1,5,6,0;0,0,0,0,0,1,5,6;0,0,0,0,0,0,1,5];%输入矩阵A>> b=[1;4;6;0;7;1;2;4]; %输入矩阵b>> B=[A,b];%B为增广矩阵[A,b]>> format rat>> C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形>> X=C(:,9) %利用高斯消元法求解方程组实验结果:1.方法一的计算结果为：X =Columns 1 through 6-3419/592 727/146 -2543/1009 697/307 -131/89 2033/1009 Columns 7 through 8-835/659 1913/18162方法二的计算结果为：.X =-3419/592727/146-2543/1009697/307-131/892033/1009-835/6591913/18163.方法三的计算结果为：X =-797/138727/146-310/123697/307-131/89542/269-204/161138/131对实验结果的分析:上述3种方案所得的结果不完全一致, 这是因为不同的计算方法在计算机中有不同的精度，导致计算数据结果的不同。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
>>clear all, clc, >>t=[1,3,5,11,13,15]*pi/8; >>x=sin(t);y=cos(t); >>fill(x,y,'r'); % r 表示填充红色。 >>grid on; >>axis([-2.4, 2.4, -2, 2]) 运行后得图1.
图 1 Matlab 绘制的图形 (1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标; (2) 编写 Matlab 程序, 先将上面图形放大 0.9 倍; 再逆时针旋转
在木工家的工作天数 在电工家的工作天数 在油漆工家的工作天数
课题 4（矩阵求逆的应用）---------军事通讯中的加密与解密 军事中通讯中， 需要将字符转化成数字，所以这就需要将字符与数字一一对 应，如： a b c d ..…… x y z 1 2 3 4 …… 24 25 26 如 are 对应的矩阵 B=（1 18 5） ，如果直接按这种方式传输，则很容易被敌人破 译而造成巨大的损失，这就需要加密，通常的做法是用一个约定的加密矩阵 A 乘以原信号矩阵 B，传输信号时，不是传输的矩阵 B，而是传输的转换后的矩阵 C=A BT ,收到信号时，再将信号还原。如果敌人不知道加密矩阵，则他就很难弄 明白传输的信号的含义。
5
应用范例 1：化学方程式配平问题 在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的 化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据 . 在定性地检测出反应物和生成 物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.
图 污水处理 【模型准备】 某厂废水中含 KCN, 其浓度为 650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如 下反应: KCN + 2KOH + Cl2 = KOCN + 2KCl + H2O. 投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式: KOCN + KOH + Cl2 === CO2 + N2 + KCl + H2O. (注: 题目摘自福建省厦门外国语学校 2008-2009 学年高三第三次月考化学试卷) 【模型建立】设 x1KOCN ＋ x2KOH ＋ x3Cl2 === x4CO2 ＋ x5N2 ＋ x6KCl ＋ x7H2O, 则 x1 x2 x6 x1 x2 x6 0 x x 2x x x x 2x x 0 4 7 4 7 1 2 1 2 x x x x 0 1 4 , 即 1 4 x1 2 x5 x1 2 x5 0 x2 2 x7 x2 2 x7 0 2 x3 x6 2 x3 x6 0 【模型求解】在 Matlab 命令窗口输入以下命令 >> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0; 1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0]; >>format rat; >> x = null(A,’r’); Matlab 执行后得 x = 1 2 3/2 1 1/2 3 1
课题 6 （线性变换的应用）
1 平面图形的几何变换 随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设 计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.
计算机图形学的广泛应用 图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到 的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换. 平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现 , 但是图形的平移并不是 线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求建立一种方法使平移、旋转、放 缩能统一用矩阵乘法来实现. 设平移变换为 (x, y) (x+a, y+b)，
-1 0 1 知加密矩阵是 A= 0 1 1 , 问 1 1 1
T
原信号 B 是什么？
2
课题 5（相似矩阵的应用）
1 市场份额问题 某地区甲、乙两公司经营同一业务. 经验表明甲公司的客户每年有 1/3 继续 留作甲的客户, 而 2/3 转作乙的客户; 乙的客户有 3/5 转作甲的客户, 而 2/5 继续 留作乙的客户, 假定客户的总量不变. (1)假定起始年甲、乙两公司拥有的客户份额分别为 2/3 和 1/3, 求一年后客户市 场分配情况; (2)试确定起始年客户份额, 使甲、乙两公司在一年后市场份额不变. 2 金融公司支付基金的流动 金融机构为保证现金充分支付, 设立一笔总额 5400 万的基金, 分开放置在 位于 A 城和 B 城的两家公司, 基金在平时可以使用, 但每周末结算时必须确保总 额仍然为 5400 万. 经过相当长的一段时期的现金流动, 发现每过一周, 各公司的 支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内, 而 A 城公司有 10%支付基金 流动到 B 城公司, B 城公司则有 12%支付基金流动到 A 城公司. 起初 A 城公司基 金为 2600 万, B 城公司基金为 2800 万. 按此规律, 两公司支付基金数额变化趋势 如何? 如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于 2200 万, 那么是否需要 在必要时调动基金?
3
旋转变换(绕原点逆时针旋转角度)为 (x, y) (xcos ysin, xsin + ycos) 放缩变换(沿 x 轴方向放大 s 倍, 沿 y 轴方向放大 t 倍) 为 (x, y) (sx, ty) 因为 R2 中的每个点(x, y)可以对应于 R3 中的(x, y, 1). 它在 xOy 平面上方 1 单位的 平面上. 我们称(x, y, 1)是(x, y)的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换 (x, y) (x+a, y+b) 可以用齐次坐标写成 (x, y, 1) (x+a, y+b, 1). 1 0 a x x a 于是可以用矩阵乘积 0 1 b y = y b 实现. 0 0 1 1 1 旋转变换 (x, y) (xcos ysin, xsin + ycos) 可以用齐次坐标写成 (x, y, 1) (xcos ysin, xsin + ycos, 1). cos sin 0 x x cos y sin 于是可以用矩阵乘积 sin cos 0 y = x sin y cos 实现. 0 0 1 1 1 放缩变换 (x, y) (sx, ty)，可以用齐次坐标写成 (x, y, 1) (sx, ty, 1). s 0 0 x sx 于是可以用矩阵乘积 0 t 0 y = ty 实现. 0 0 1 1 1 A O 由上述求解可以看出, R2 中的任何线性变换都可以用分块矩阵 O 1 乘以 齐次坐标实现, 其中 A 是 2 阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成 列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个 3 阶变换矩阵来实现. 在 Matlab 命令窗口输入以下命令
4
; 最后进行横 3
坐标加 0.8, 纵坐标减 1 的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形. 2 应用矩阵编制 Hill 密码 密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用 . 现代密码学涉及很多高深 的数学知识. 这里无法展开介绍. 请求重传 噪声 加 信 加 冗 信 错 识 解 信
攻击
图 2 保密通信的基本模型 密码学中将信息代码称为密码, 尚未转换成密码的文字信息称为明文, 由密码表 示的信息称为密文. 从明文到密文的过程称为加密, 反之为解密. 1929 年, 希尔 (Hill)通过线性变换对待传输信息进行加密处理, 提出了在密码史上有重要地位 的希尔加密算法. 下面我们略去一些实际应用中的细节, 只介绍最基本的思想. 假定每个字母都对应一个非负整数 , 空格和 26 个英文字母依次对应整数 0~26(见下表). 表 1 空格及字母的整数代码表 B C D E F G H I J K L M 空格 A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 (2) 假设将单词中从左到右, 每 3 个字母分为一组, 并将对应的 3 个整数排成 3 维的行向量, 加密后仍为 3 维的行向量, 其分量仍为整数. 设 3 维向量 x 为明文, 要选一个矩阵 A 使密文 y = xA, 还要确保接收方能由 y 准确地解出 x. 因此 A 必须是一个 3 阶可逆矩阵. 这样就可以由 y = xA 得 x = yA1. 为了避免小数引起误差, 并且确保 y 也是整数向量, A 和 A1 的元素应该都 是整数. 注意到, 当整数矩阵 A 的行列式= 1 时, A1 也是整数矩阵. 因此原问题 转化为 (1) 把 action 翻译成两个行向量: x1, x2. (2) 构造一个行列式= 1 的整数矩阵 A(当然不能取 A = E). (3) 计算 x1A 和 x2A. (4) 计算 A1. 针对上述算法思想，若要发出信息 action, 给出相应的解密方法.
1
课题 3（线性方程组的应用） 1 插值多项式的求法 下 表 给 出 函 数 f (t ) 上 4 个 点 的 值 ， 试 求 三 次 插 值 多 项 式
p(t ) a0 a1t a2t 2 a3t 3 ，并求 f (1.5) 的近似值。如何推广该方法到一般的 n 次
插值多项式的计算？说明原因。 ti f(ti) 2 工人工资定价问题 现有一个木工、 一个电工、 一个油漆工三人相互同意彼此装修他们自己的房 子，在装修之前，他们约定：(1)没人总共工作 10 天(包括给自己家干活在内)； (2)每人的日工资根据一般的市价在 60~80 元之间； (3)每人的日工资数应使得每 人的总收入与总支出相等， 下面的表格是他们工作天数的分配方案，根据分配方 案表，确定他们每人的日工资. 天数 工种 木工 2 4 4 电工 1 5 4 油漆工 6 1 3 0 3 1 0 2 -1 3 6