湖南省株洲十八中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷

株洲市第十八中学2015年下学期期中考试试卷高二数学时量120分钟 总分150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图所示的圆盘由八个全等的扇形构成，指针绕中心旋转，可能随机停止， 则指针停止在阴影部分内的概率是 （ ） A ．12B ．14 C ．16 D ．182．“1=x ”是“12=x ”的 （ ）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 执行如图所示的程序框图，若x=4，则输出的 y=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 4. 有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷 调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为 ( ) A. 2，4，6，8B. 2，6，10，14C. 5，10，15，20D. 5，8，11，145. 若书架上放有中文书5本，英文书3，日文书2本， 从中抽取1本书，恰为中文书的概率为（ ）A.15B.310C.25D.126. 某班级有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号3号 4号 5号 投中次数6 7 787A. 2B. 0.4C. 4D. 0.27. 椭圆12522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离是 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 88．命题“存在实数x ，使1>x ”的否定是 （ ） A. 对任意实数x ，都有1>x B. 不存在实数x ，使1≤x是否 开 始 输入xx>0?y=2x--y=x输出y结 束C. 对任意实数x ，都有1≤xD. 存在实数x ，使1≤x9.设有一个回归方程2 1.5y x =-，则变量x 增加1个单位时，y 平均（ ） A.增加1.5个单位 B.增加2个单位 C.减少1.5个单位 D.减少2个单位 10.下列命题中的假命题是 （ ）A.0,>∈∀xe R x B. 0ln ,=∈∃x R xC.0)1(,2≥-∈∀x R x D.01,2=+∈∃x R x 11. 已知命题:p π是有理数，命题023:2<+-x x q 的解集是（1，2）. 给出下列结论：（1）命题q p ∧是真命题 （2）命题)(q p ⌝∧是假命题（3）命题q p ∨⌝)(是真命题 （4）命题)()(q p ⌝∨⌝是假命题 其中正确的是 （ ）A. (1) (3)B. (2) (4)C. (2) (3)D. (1) (4)12．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于B A ,两点，连接BF AF ,。

2015-2016学年湖南省株洲十八中高一（上）期中数学试卷一．选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A．{0}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，1}2．（4分）若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）A．9 B．7 C．5 D．33．（4分）下列函数中，为偶函数的是（）A．y=x+1 B．y= C．y=x4 D．y=x54．（4分）下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．y=﹣2x+5 C．y=lnx D．y=5．（4分）已知函数f（x）=，则f（10）的值是（）A．﹣2 B．1 C．0 D．26．（4分）下列计算正确的是（）A．（a3）2=a9B．log26﹣log23=1C．a•a=0 D．log3（﹣4）2=2log3（﹣4）7．（4分）函数y=a x+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（）A．（0，1） B．（2，1） C．（2，0） D．（0，2）8．（4分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．（4分）函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）10．（4分）f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，若f（m﹣1）＞f（2m﹣1），实数m 的取值范围（）A．m＞0 B．C．﹣1＜m＜3 D．二．填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）函数的定义域为．12．（4分）化简：lg4+lg25=．13．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=．14．（4分）若函数f（x）=x2﹣2x（x∈[2，4]），则f（x）的最小值是．15．（4分）已知2x=5y=10，则+=．三．解答题（共5小题，每小题8分，共40分）16．（8分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．（1）求A∪B；（2）求（∁U A）∩B；（3）求∁U（A∩B）．17．（8分）已知函数f（x）=．（1）求f（﹣4）、f（3）、f（f（﹣2））的值；（2）若f（a）=10，求a的值．18．（8分）已知函数f（x）=log2（x﹣3），（1）求f（51）﹣f（6）的值；（2）若f（x）≤0，求x的取值范围．19．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣1，（1）求f（﹣1）的值．（2）求当x＜0时f（x）的解析式．20．（8分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值．（2）函数y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，求实数a的范围．附加题：一．选择题填空题（每小题5分，共25分）21．（5分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B． C．D．22．（5分）函数y=|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．23．（5分）若定义运算a⊕b=，则函数f（x）=log 2x⊕的值域是（）A．[0，+∞）B．（0，1]C．[1，+∞）D．R24．（5分）若函数f（x）=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．25．（5分）如果函数f（x）对其定义域内的任意两个实数x1，x2都满足不等式f （）＜，则称函数f（x）在定义域上具有性质M，给出下列函数：①y=；②y=x2；③y=2x；④y=log2x．其中具有性质M的是（填上所有正确答案的序号）附加题：二．解答题（共25分）26．（12分）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．27．（13分）已知奇函数f（x）=px++r（实数p、q、r为常数），且满足f（1）=，f（2）=．（1）求函数f（x）的解析式；（2）试判断函数f（x）在区间（0，]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）当x∈（0，]时，函数f（x）≥2﹣m恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年湖南省株洲十八中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A．{0}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，1}【解答】解：由M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，得M∩N={x|﹣2≤x＜2}∩{0，1，2}={0，1}．故选：D．2．（4分）若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）A．9 B．7 C．5 D．3【解答】解：令x+2=3，解得x=1代入g（x+2）=2x+3，即g（3）=5．故选：C．3．（4分）下列函数中，为偶函数的是（）A．y=x+1 B．y= C．y=x4 D．y=x5【解答】解：对于A，既不是奇函数，也不是偶函数，对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，对于C，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），则是偶函数，对于D，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，故选：C．4．（4分）下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．y=﹣2x+5 C．y=lnx D．y=【解答】解：对于A，函数y=在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；对于B，函数y=﹣2x+5在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；对于C，函数y=lnx在（0，+∞）上是增函数，∴满足题意；对于D，函数y=在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意．故选：C．5．（4分）已知函数f（x）=，则f（10）的值是（）A．﹣2 B．1 C．0 D．2【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（10）=lg10=1，故选：B．6．（4分）下列计算正确的是（）A．（a3）2=a9B．log26﹣log23=1C．a•a=0 D．log3（﹣4）2=2log3（﹣4）【解答】解：（a3）2=a6，A不正确；log26﹣log23=log22=1，B正确；a•a=a0=1，C不正确；log3（﹣4）2=2log3（﹣4），不正确；故选：B．7．（4分）函数y=a x+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（）A．（0，1） B．（2，1） C．（2，0） D．（0，2）【解答】解：令x=0，则函数f（0）=a0+3=1+1=2．∴函数f（x）=a x+1的图象必过定点（0，2）．故选：D．8．（4分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选：C．9．（4分）函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）【解答】解：当x=3时，f（3）=log33﹣8+2×3=﹣1＜0当x=4时，f（4）=log34﹣8+2×4=log34＞0即f（3）•f（4）＜0又∵函数f（x）=log3x﹣8+2x为连续函数故函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（3，4）故选：B．10．（4分）f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，若f（m﹣1）＞f（2m﹣1），实数m 的取值范围（）A．m＞0 B．C．﹣1＜m＜3 D．【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，f（m﹣1）＞f（2m﹣1），∴∴故选：B．二．填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）函数的定义域为[﹣1，+∞）．【解答】解：由x+1≥0，得：x≥﹣1．所以原函数的定义域为[﹣1，+∞）．故答案为[﹣1，+∞）．12．（4分）化简：lg4+lg25=2．【解答】解：lg4+lg25=lg（4×25）=lg100=2．故答案为：2．13．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=3．【解答】解：由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．14．（4分）若函数f（x）=x2﹣2x（x∈[2，4]），则f（x）的最小值是0．【解答】解：f（x））=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，其图象开口向上，对称抽为：x=1，所以函数f（x）在[2，4]上单调递增，所以f（x）的最小值为：f（2）=22﹣2×2=0．故答案为：0．15．（4分）已知2x=5y=10，则+=1．【解答】解：因为2x=5y=10，故x=log210，y=log510=1故答案为：1．三．解答题（共5小题，每小题8分，共40分）16．（8分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．（1）求A∪B；（2）求（∁U A）∩B；（3）求∁U（A∩B）．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．（1）A∪B={1，2，3，4，5，7}（2）（∁U A）={1，3，6，7}∴（∁U A）∩B={1，3，7}（3）∵A∩B={5}∁U（A∩B）={1，2，3，4，6，7}．17．（8分）已知函数f（x）=．（1）求f（﹣4）、f（3）、f（f（﹣2））的值；（2）若f（a）=10，求a的值．【解答】解：（1）f（﹣4）=﹣2，f（3）=6，f（f（﹣2））=f（0）=0（2）当a≤﹣1时，a+2=10，得：a=8，不符合当﹣1＜a＜2时，a2=10，得：a=，不符合；a≥2时，2a=10，得a=5，所以，a=518．（8分）已知函数f（x）=log2（x﹣3），（1）求f（51）﹣f（6）的值；（2）若f（x）≤0，求x的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log2（x﹣3），∴f（51）﹣f（6）=log248﹣log23=log216=4；（2）若f（x）≤0，则0＜x﹣3≤1，解得：x∈（3，4]19．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣1，（1）求f（﹣1）的值．（2）求当x＜0时f（x）的解析式．【解答】解：（1）∵当x＞0时，f（x）=2x﹣1，∴f（1）=1，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1；（2）当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x+1，当x=0时，f（0）=0，∴f（x）=．20．（8分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值．（2）函数y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，求实数a的范围．【解答】解：（1）a=﹣1，f（x）=（x﹣1）2+1；∴f（1）=1是f（x）的最小值，f（﹣5）=37是f（x）的最大值；（2）f（x）的对称轴为x=﹣a；∵f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数；∴﹣a≤﹣5，或﹣a≥5；∴a≥5，或a≤﹣5；∴实数a的范围为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．附加题：一．选择题填空题（每小题5分，共25分）21．（5分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B． C．D．【解答】解：依题意，有0＜a＜1且3a﹣1＜0，解得0＜a＜，又当x＜1时，（3a﹣1）x+4a＞7a﹣1，当x＞1时，log a x＜0，因为f（x）在R上单调递减，所以7a﹣1≥0解得a≥综上：≤a＜故选：C．22．（5分）函数y=|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由于函数y=lg（x+1）的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lgx的图象与X轴的交点是（1，0），故函数y=lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y=|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选：A．23．（5分）若定义运算a⊕b=，则函数f（x）=log 2x⊕的值域是（）A．[0，+∞）B．（0，1]C．[1，+∞）D．R【解答】解：令，即log2x＜﹣log2x∴2log2x＜0∴0＜x＜1令，即log 2x≥﹣log2x∴2log2x≥0∴x≥1又∵∴当0＜x＜1时，函数单调递减，∴此时f（x）∈（0，+∞）当x≥1时，函数f（x）=log2x单调递增，∴此时f（x）∈[0，+∞）∴函数f（x）的值域为[0，+∞）故选：A．24．（5分）若函数f（x）=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，1] ．【解答】解：当x＞0时，由f（x）=lnx=0，得x=1．∵函数f（x）有两个不同的零点，∴当x≤0时，函数f（x）=2x﹣a还有一个零点，令f（x）=0得a=2x，∵0＜2x≤20=1，∴0＜a≤1，∴实数a的取值范围是0＜a≤1．故答案为：（0，1]．25．（5分）如果函数f（x）对其定义域内的任意两个实数x1，x2都满足不等式f （）＜，则称函数f（x）在定义域上具有性质M，给出下列函数：①y=；②y=x2；③y=2x；④y=log2x．其中具有性质M的是②③（填上所有正确答案的序号）【解答】解：函数f（x）对其定义域内的任意两个实数x1，x2都满足不等式f （）＜，则称函数f（x）在定义域上具有性质M，（为下凸函数）．由函数的图象可知：②y=x2；③y=2x．其中具有性质M．故答案为：②③．附加题：二．解答题（共25分）26．（12分）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．因为f（x+1）﹣f（x）=2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x．即2ax+a+b=2x，所以，∴，所以f（x）=x2﹣x+1（2）由题意得x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立．即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立．设g（x）=x2﹣3x+1﹣m，其图象的对称轴为直线，所以g（x）在[﹣1，1]上递减．故只需最小值g（1）＞0，即12﹣3×1+1﹣m＞0，解得m＜﹣1．27．（13分）已知奇函数f（x）=px++r（实数p、q、r为常数），且满足f（1）=，f（2）=．（1）求函数f（x）的解析式；（2）试判断函数f（x）在区间（0，]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）当x∈（0，]时，函数f（x）≥2﹣m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（﹣x）=﹣f（x）∴r=0∵即有即，则f（x）=2x+；（2）函数f（x）在区间（0，]上单调递减．证明：设0＜m＜n，则f（m）﹣f（n）=2（m﹣n）+﹣=2（m﹣n）+=，由于0＜m＜n，则m﹣n＜0，0＜mn＜，1﹣4mn＞0，则有f（m）﹣f（n）＞0，即f（m）＞f（n），则函数f（x）在区间（0，]上单调递减；（3）由（2）知，函数f（x）在区间（0，]上单调递减，则f（）最小，且为2，当x∈（0，]时，函数f（x）≥2﹣m恒成立即为f（x）min≥2﹣m，即有2≥2﹣m，解得，m≥0．。

휋 6
+2푥
+
휋 6
=
3휋
或
，
∴
푥1
+
2.【答案】C
【解析】解：由函数푦 = 푠푖푛푥的性质知，其在区间[2푘휋−휋2,2푘휋 + 휋2],푘 ∈ 푧上是增函数， 对 k 进行赋值，当푘 = 0时所得的区间是[−휋2,휋2] 故选：C． 依据正弦函数的性质对四个选项进行判断，即可找出正确选项． 本题考查正弦函数的单调性，考查其单调区间的判断，解答本题的关键是熟练掌握正弦 函数的单调性，熟知其单调区间的形式，从而依据性质得出正确选项．
A. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形
B. 直角三角形 D. 等边三角形
12.
已知函数푓(푥)
= 퐴푠푖푛(휔푥
+ 휑)(퐴
>
0,휔
>
0,|휑|
<
휋 2
)在一个周期内的图象如图所示，若方程푓(푥) = 푚
在区间[0,휋]上有两个不同的实数解푥1、푥2，则푥1 + 푥2的值为( )
A.
휋 3
B. 23휋
7.【答案】C
【解析】解：函数푦 = sin(2푥 + 휋5)的图象向右平移1휋0个单位长度， 得到푦 = sin[2(푥−1휋0) + 휋5] = 푠푖푛2푥， 即所得的函数解析式是푦 = 푠푖푛2푥， 故选：C． 根据三角函数的图象平移关系进行求解即可． 本题主要考查三角函数解析式的求解，结合三角函数的图象平移关系是解决本题的关键．
高一（上）期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 下列说法正确的是( )

2015—2016学年湖南省株洲十八中高一（上）期末数学试卷一．选择题（每小题4分,共40分）1．半径为3的球的表面积为()A．3πB．9πC．12πD．36π2．如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为()A．B． C．πD．3．直线4x﹣2y+5=0的斜率是（）A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣54．已知直线l过点（0,7），且与直线y=﹣4x+2平行，则直线l的方程为（）A．y=﹣4x﹣7 B．y=4x﹣7 C．y=﹣4x+7 D．y=4x+75．下列命题中正确的是（)A．若一条直线垂直平面内的两条直线，则这条直线与这个平面垂直B．若一条直线平行平面内的一条直线，则这条直线与这个平面平行C．若一条直线垂直一个平面，则过这条直线的所有平面都与这个平面垂直D．若一条直线与两条直线都垂直，则这两条直线互相平行6．已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．y=﹣x+4 B．y=x C．y=x+4 D．y=﹣x7．圆心为（1，﹣2），半径为4的圆的方程是（）A．(x+1）2+（y﹣2）2=16 B．（x﹣1)2+（y+2）2=16 C．(x+1）2+(y﹣2）2=4 D．（x﹣1）2+（y+2)2=48．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角9．下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，正确的是(）A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．α∩β=m且l∥m，则l∥α10．圆x2+y2﹣2x=0的圆心到直线y=x+1的距离是(）A．1 B．2 C．D．二．填空题（每小题4分,共20分）11．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，﹣1）,B （4,3，﹣1），则A、B两点之间的距离是．12．经过点A（0，3)，且与直线y=﹣x+2垂直的直线方程是．13．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为,△AB1D1面积为，三棱锥A﹣A1B1D1的体积为．15．已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R)是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=．三．解答题（共4小题，每小题10分，共40分)16．已知两直线l1：3x+y+1=0，l2：x+y﹣1=0相交于一点P，（1)求交点P的坐标．（2）若直线l过点P且与直线l1垂直,求直线l的方程．17．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．(1）求证：EF∥平面BCD；(2）求三棱锥A﹣BCD的体积．18．已知点O（0,0），A(4,0）,B(0,3)为矩形的三个顶点，求矩形的两条对角线所在的直线的方程．19．已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2,﹣2），且圆心C在直线L：x﹣y+1=0上，求圆C的标准方程．四、附加题（共50分）20．已知圆C和y轴相切,圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．21．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f（x）=x2+2x．(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数f（x)的图象，并根据图象写出函数f（x）的增区间；（2）写出函数f(x)的解析式和值域．22．计算下列各式的值：（1）(2）．23．如图,四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ)设PD=AD=1,求棱锥D﹣PBC的高．2015-2016学年湖南省株洲十八中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题4分，共40分）1．半径为3的球的表面积为（）A．3πB．9πC．12πD．36π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题;方程思想；综合法；球．【分析】根据球的表面积公式直接计算即可．【解答】解:∵球的半径r=3，∴球的表面积S=4π×32=36π，故选:D．【点评】本题主要考查球的表面积的计算,要求熟练掌握球的面积公式，比较基础．2．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为（)A．B． C．πD．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个圆柱，求出底面半径,和母线长,代入圆柱侧面积公式，可得答案．【解答】解:由已知中的三视力可得该几何体是一个圆柱，∵几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,∴圆柱的底面直径和母线长均为1，故圆柱的底面周长为:π，故圆柱的侧面面积为:π×1=π,故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状．3．直线4x﹣2y+5=0的斜率是(）A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5【考点】直线的斜率．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】利用直线一般式求直线斜率的公式即可得出．【解答】解：直线4x﹣2y+5=0的斜率是=2,故选：A．【点评】本题考查了直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知直线l过点(0，7），且与直线y=﹣4x+2平行,则直线l的方程为（）A．y=﹣4x﹣7 B．y=4x﹣7 C．y=﹣4x+7 D．y=4x+7【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题．【分析】根据两直线平行斜率相等,设过P与直线l平行的直线方程是y=﹣4x+m把点P（0，7）代入可解得m，从而得到所求的直线方程，【解答】解:设过P与直线l平行的直线方程是y=﹣4x+m,把点P(0，7)代入可解得m=7，故所求的直线方程是y=﹣4x+7．故选C．【点评】本题考查根据两直线平行和垂直的性质，利用待定系数法求直线方程的方法．5．下列命题中正确的是(）A．若一条直线垂直平面内的两条直线，则这条直线与这个平面垂直B．若一条直线平行平面内的一条直线，则这条直线与这个平面平行C．若一条直线垂直一个平面,则过这条直线的所有平面都与这个平面垂直D．若一条直线与两条直线都垂直，则这两条直线互相平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合法；空间位置关系与距离;立体几何．【分析】根据线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理即可判断选项A,B,C的正误，而可以知道选项D中的两直线，可能相交,可能异面，可能平行，从而可判断D错误，这样便可找出正确选项．【解答】解：A．若一条直线垂直平面内的两条相交直线，才能得到这条直线和这个平面垂直，∴该选项错误;B．若平面外一条直线平行平面内的一条直线,才能得到这条直线和这个平面平行，∴该选项错误;C．根据面面垂直的判定定理知该命题正确,∴该选项正确；D．该命题需加上条件,“在同一平面内”，否则这两直线不一定平行，∴该命题错误．故选：C．【点评】考查线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理，空间中直线和直线垂直的概念．6．已知点A（1，1），B(3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是(）A．y=﹣x+4 B．y=x C．y=x+4 D．y=﹣x【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；中点坐标公式．【专题】直线与圆．【分析】由已知得AB的中点C（2，2），k AB==1,线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1，由此能求出线段AB的垂直平分线的方程．【解答】解：∵点A(1，1），B（3,3），∴AB的中点C（2，2),k AB==1，∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y﹣2=﹣（x﹣2），整理,得：y=﹣x+4．故选:A．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题．7．圆心为(1，﹣2），半径为4的圆的方程是（）A．（x+1)2+（y﹣2）2=16 B．（x﹣1）2+（y+2）2=16 C．（x+1）2+(y﹣2)2=4 D．(x﹣1)2+（y+2）2=4【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；对应思想；演绎法；直线与圆．【分析】根据已知圆心坐标和半径，可得答案．【解答】解：圆心为(1，﹣2)，半径为4的圆的方程是（x﹣1）2+（y+2)2=16，故选：B．【点评】本题考查的知识点是圆的标准方程，难度不大，属于基础题．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（)A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．【分析】由题意画出正方体的图形,结合选项进行分析即可．【解答】解：由题意画出如下图形：A．因为AD∥A1D1，所以∠C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而∠C1A1D1=45°，所以A错；B．因为D1C1∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1,所以B错；C．因为DC∥AB．所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角,而，所以C错；D．因为A1C1∥AC，所以∠B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角,在正三角形△B1CA 中,∠B1CA=60°，所以D正确．故选:D．【点评】此题考查了正方体的特征，还考查了异面直线的夹角的定义即找异面直线所成的角往往平移直线然后把角放入同一个平面内利用三角形求解．9．下列关于直线l,m与平面α，β的命题中，正确的是（）A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β,则l∥α D．α∩β=m且l∥m，则l∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】对于A，根据线面垂直的判定可知,只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α；对于B，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于C，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；对于D，若l∥m,且α∩β=m，则l∥α或l⊂α【解答】解：对于A，若l⊂β,且α⊥β,则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以A错；对于B,根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；B正确对于C，若l⊥β，α⊥β,则l∥α或l⊂α,所以C错对于D,若l∥m，且α∩β=m,则l∥α或l⊂α，所以D错故答案为 B【点评】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的判断,是基础题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．圆x2+y2﹣2x=0的圆心到直线y=x+1的距离是(）A．1 B．2 C．D．【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】先把圆的方程化为标准方程，得圆心坐标，再利用点到直线的距离公式可求解．【解答】解:先把圆的方程化为标准方程：（x﹣1）2+y2=1，∴圆心坐标为（1，0），∴圆心到直线y=x+1的距离，故选D．【点评】本题考查圆的标准方程形式，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．运用点到直线的距离公式时，应注意吧方程化为一般式．二．填空题（每小题4分,共20分）11．在空间直角坐标系中，已知点A（1,0，﹣1），B （4，3，﹣1），则A、B两点之间的距离是3．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用．【分析】根据A,B两点的坐标，代入空间两点之间距离公式，可得答案．【解答】解：∵点A（1，0,﹣1)，B （4,3，﹣1），∴A、B两点之间的距离d==3，故答案为:3．【点评】本题考查的知识点是空间两点间的距离公式，难度不大,属于基础题．12．经过点A(0，3），且与直线y=﹣x+2垂直的直线方程是y=x+3．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】设与直线y=﹣x+2垂直的直线方程为y=x+m，把点A(0，3）代入解出m即可．【解答】解:设与直线y=﹣x+2垂直的直线方程为y=x+m，把点A（0，3）代入可得：3=0+m,解得m=3．∴要求的直线方程为：y=x+3．故答案为：y=x+3．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题．13．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m为2．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题;直线与圆．【分析】算出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离公式列式得到关于m的方程，解之即可得到实数m的值．【解答】解：∵圆x2+y2=m的圆心为原点,半径r=∴若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d==解之得m=2（舍去0)故答案为：2【点评】本题给出直线与圆相切,求参数m的值．考查了直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识,属于基础题．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为,△AB1D1面积为，三棱锥A﹣A1B1D1的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，△AB1D1是边长为=2的等边三角形，由此能求出△AB1D1面积和三棱锥A﹣A1B1D1的体积．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，∴△AB1D1是边长为=2的等边三角形，∴△AB1D1面积S==．===．故答案为：,．【点评】本题考查三角形的面积的求法，考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．15．已知直线l:x+ay﹣1=0(a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4,a）作圆C的一条切线,切点为B，则｜AB｜=6．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心(2，1)，求得a的值,可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解:由圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0得，（x﹣2)2+（y﹣1）2 =4,所以C(2，1）为圆心、半径为2，由题意可得,直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，得a=﹣1，则点A(﹣4,﹣1），即｜AC｜==，所以切线的长|AB｜===6，故答案为：6．【点评】本题考查圆的切线长的求法,解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．三．解答题（共4小题，每小题10分,共40分）16．已知两直线l1：3x+y+1=0，l2:x+y﹣1=0相交于一点P，（1）求交点P的坐标．（2）若直线l过点P且与直线l1垂直,求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】数形结合;转化思想；直线与圆．【分析】（1）联立，解得P即可得出．(2)由直线l与直线l1垂直，可设直线l的方程为：x﹣3y+m=0，把点P代入即可得出．【解答】解:(1）联立，解得P(﹣1，2）．（2）∵直线l与直线l1垂直，∴可设直线l的方程为：x﹣3y+m=0,把点P代入可得：﹣1﹣3×2+m=0，解得m=7．∴直线l的方程为：x﹣3y+7=0．【点评】本题考查了直线的交点求法、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．17．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3,BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E,F分别是AC，AD的中点．（1)求证:EF∥平面BCD；（2)求三棱锥A﹣BCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】(1）由中位线定理可得EF∥CD,故EF∥平面BCD;（2）以BCD为底面,则棱锥的高为AB,代入体积公式计算即可．【解答】解：(1)∵点E,F分别是AC，AD的中点，∴EF∥CD,又∵EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD．(2）∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角，∴∠ADB=45°,∴AB=BD=4，∵BC⊥BD,∴S△BCD==6．∴三棱锥A﹣BCD的体积V==8．【点评】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．18．已知点O（0，0），A（4,0），B（0，3）为矩形的三个顶点，求矩形的两条对角线所在的直线的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】利用截距式可得对角线AB所在直线的方程为：+=1，利用中点坐标公式可得对角线AB的中点M(2，），即可得出另一条对角线所在的直线方程．【解答】解：对角线AB所在直线的方程为：+=1，即3x+4y﹣12=0．∵对角线AB的中点M（2，),∴另一条对角线所在的直线方程为y=x，因此矩形的两条对角线所在直线的方程分别为:3x+4y﹣12=0，y=x．【点评】本题考查了截距式、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了计算能力，属于基础题．19．已知圆心为C的圆经过点A(1，1）和B（2，﹣2)，且圆心C在直线L：x﹣y+1=0上,求圆C的标准方程．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设圆心坐标为C（a，a+1)，根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a 的方程,解出a值．从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程．【解答】解:∵圆心在直线x﹣y+1=0上，∴设圆心坐标为C（a，a+1)，根据点A（1,1)和B（2，﹣2）在圆上，可得=，解之得a=﹣3∴圆心坐标为C（﹣3,﹣2），半径r=5因此，此圆的标准方程是(x+3）2+(y+2）2=25．【点评】本题给出圆C满足的条件，求圆的方程．着重考查了两点间的距离公式和圆的标准方程等知识，属于基础题．四、附加题(共50分）20．已知圆C和y轴相切,圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为,求圆C 的方程．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】由圆心在直线x﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径r,然后过圆心作出弦的垂线,根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解得到t 的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解:设圆心为(3t，t），半径为r=|3t｜，则圆心到直线y=x的距离d==｜t｜,由勾股定理及垂径定理得：（）2=r2﹣d2，即9t2﹣2t2=7,解得:t=±1，∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为(﹣3，﹣1），半径为3,则（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．21．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f（x)=x2+2x．（1）现已画出函数f(x）在y轴左侧的图象,如图所示，请补出完整函数f（x）的图象,并根据图象写出函数f（x)的增区间；（2）写出函数f（x）的解析式和值域．【考点】二次函数的图象；函数的值域;函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称,由此补出完整函数f(x）的图象即可，再由图象直接可写出f(x)的增区间．（2）可由图象利用待定系数法求出x＞0时的解析式，也可利用偶函数求解析式,值域可从图形直接观察得到．【解答】解：（1)因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如有图:所以f（x）的递增区间是（﹣1,0），(1，+∞）．(2)设x＞0，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=x2﹣2x，因为f(x）是定义在R上的偶函数，所以f （﹣x）=f（x),所以x＞0时，f（x)=x2﹣2x,故f(x）的解析式为值域为{y|y≥﹣1}【点评】本题考查分段函数求解析式、作图，同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质．22．计算下列各式的值：（1）（2)．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2)利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：（1）原式=﹣1﹣+=﹣1﹣+=．（2）原式=+lg(25×4）+2==．【点评】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．23．如图，四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．（Ⅰ)证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1,求棱锥D﹣PBC的高．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】(Ⅰ)因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=,利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD,易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理,可证PA⊥BD;(II)要求棱锥D﹣PBC的高．只需证BC⊥平面PBD,然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB 于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD,由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（II）解:作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD,则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD,又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD=1，则BD=,PB=2．根据DE•PB=PD•BD，得DE=，即棱锥D﹣PBC的高为．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离,查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．2016年4月6日。